Algebra liniowa z geometrią

Klaudiusz Wójcik

Notatki do wykładu

Wydział Matematyki i Informatyki UJ

Kraków 2020

Część I Algebra liniowa z geometrią 1

Rozdział 1 Kilka uwag i wskazówek dla studentów

Wykłady na UJ nie są obowiązkowe i otrzymacie ode mnie notatki do wykładu. Mimo to, gorąco zachęcam Was do chodzenia na wykłady - nie tylko moje :). Notatki nigdy nie zawierają wszystkiego. Wykład to kontakt z żywym człowiekiem, pozwalający przekazać mniej formalne informacje i intuicje. Na wykładzie dowiecie się co jest naprawdę istotne, a co jest tylko detalem technicznym. Nie wyczytacie tego z notatek.

Kolekcjonujcie i analizujcie możliwie dużo konkretnych przykładów. Są one równie ważne jak definicje i twierdzenia. Starajcie się każdą definicje i każde twierdzenie widzieć w kontekście przykładów. Nie bójcie się rachunków na prostych przykładach. Wyrabiają one intuicje i często zawierają w sobie zalążki formalnych dowodów.

O ile to możliwe starajcie się myśleć geometrycznie i robić rysunki. Wiele pojęć matematycznych ma znaczenie geometryczne pozwalające na lepsze ich zrozumienie.

W trakcie wykładu zaproponuje Wam serię zadań. Spróbujcie je rozwiązać samodzielnie. Nie bójcie się dyskusji o nich z koleżankami i kolegami - to zawsze może pomóc. Jeśli się to nie uda, poproście o pomoc prowadzących ćwiczenia. Ostrzeżenie: prowadzący ćwiczenia łatwo rozpoznają czy próbowaliście rozwiązać problemy czy poszliście na łatwiznę.

Zaproponuję Wam również serię testów typu prawda czy fałsz. Powinniście je rozwiązać samodzielnie. Liczba sukcesów w odpowiedziach da Wam wyobrażenie o stopniu zrozumienia prezentowanego na wykładach materiału.

Wszystko w Waszych rękach. My jesteśmy tu po to, aby Wam pomóc. Reszta należy do Was.

• To jest przykład Uwagi - będą one przewijały się w tekście i powinniście je wnikliwie przemyśleć.

  W tekście pojawiają się Definicje, Twierdzenia, Lematy, Wnioski i Przykłady. Definicje nadają nazwy obiektom ważnym dla rozważanej teorii. Twierdzenia opisują szczególnie ważne własności wcześniej zdefiniowanych pojęć. Z logicznego punktu widzenia, Lematy są tym samym co Twierdzenia, ale ich rola jest pomocnicza - często dowody Twierdzeń są poprzedzone serią Lematów. Wnioski są zazwyczaj szczególnymi przypadkami lub prostymi konsekwencjami Twierdzeń i Definicji podkreślającymi ich użyteczność. Ważna wskazówka: starajcie się analizować założenia Twierdzeń. Zadawajcie sobie pytania typu: a może jakieś założenie nie jest potrzebne, aby zaszła teza? Analizujcie proste konkretne przykłady. Często dają one odpowiedź dlaczego założenia twierdzeń są konieczne i nie można ich pominąć.

Przykład 1.1.

Zobrazuję powyższą uwagę konkretnym przykładem. Rozważmy Twierdzenie:

Suma liczb całkowitych jest liczbą całkowitą.

Chyba się zgodzimy, że jest to zdanie prawdziwe, czyli Twierdzenie. Powinniście sobie zadać pytanie:

Co się stanie jak liczby całkowite zastąpimy innym zbiorem liczbowym?

Czy prawdziwe są stwierdzenia

Suma liczb wymiernych jest liczbą wymierną.

albo

Suma liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną.

Przemyślcie Swoje odpowiedzi!

• A teraz przykład Ostrzeżenia - będą to szczególnie ważne Uwagi.

  Jeśli Wniosek z Twierdzenia nie jest całkiem oczywisty w mojej opinii, to będę podawał jego uzasadnienie (dowód). Jeżeli Wniosek jest podany bez dowodu, to powinniście dobrze przemyśleć dlaczego uznałem, że nie ma potrzeby podawać dodatkowych argumentów jego prawdziwości, gdyż jest on bezpośrednią konsekwencją Definicji albo bardziej ogólnego Twierdzenia.

Rozdział 2 Pojęcia wstępne

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU ciało liczb rzeczywistych $\mathrm{◇}$ ciało liczb zespolonych $\mathrm{◇}$ wzór de Moivre’a $\mathrm{◇}$ zasadnicze twierdzenie algebry $\mathrm{◇}$ ciało ${\mathbb{Z}}_p$ $\mathrm{◇}$ grupa $\mathrm{◇}$ grupa ${𝕊}^1$ $\mathrm{◇}$ grupa pierwiastków zespolonych z jedynki

2.1 Zbiory i liczby rzeczywiste

Zbiór jest kolekcją pewnych obiektów. Dla przykładu, zbiór

$$A=\{1,2,3\}$$

składa się z elementów $1,2,3$ będących liczbami naturalnymi. Napis $1\in A$ oznacza, że liczba naturalna $1$ jest elementem zbioru $A$. Natomiast napis $4\notin A$ stwierdza, że $4$ nie jest elementem zbioru $A$. Zbiory $A$ i $B$ są równe, gdy składają się z tych samych elementów. Zbiory

$$\{1,2,3\}=\{3,2,1\}=\{1,2,3,1\}$$

są równe. Napis $A\subset B$ oznacza, że zbiór $A$ jest podzbiorem zbioru $A$, czyli każdy element zbioru $A$ jest elementem zbioru $B$. Dla przykładu,

$$\{1,2\}\subset \{-1,0,1,2\},\{1,8\}\not\subset \{-1,0,1,2\}.$$

Przykład 2.1.

Ważne zbiory liczbowe:

• zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,\mathrm{\dots }\}$;

• zbiór liczb całkowitych $\mathbb{Z}=\{\mathrm{\dots },-3,-2,-1,0,1,2,3,\mathrm{\dots }\}$;

• zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}:m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\}$;

• zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$.

Zachodzą zawierania

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ,$$

ale żadne z nich nie jest równością. Zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ składa się z liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ i liczb niewymiernych $ℝ\setminus \mathbb{Q}$. Przykładowo, liczby $\sqrt{2}$, $\pi$, $3-\sqrt{3}$ są niewymierne.

Zbiór pusty $\mathrm{\varnothing }$, to zbiór który nie zawiera żadnych elementów. Przykładowo,

$\mathrm{\varnothing }$ $=\{n\in \mathbb{N}:n^2=-1\}$

$=\{x\in ℝ:x\cdot 0\ne 0\}$

$=\{m\in \mathbb{Z}:m^3=2\}$

• Oceń czy poniższe zdania są prawdziwe:

  • Zbiory $A=\{x\in \mathbb{N}:x^2=16\}$ i $B=\{x\in \mathbb{Z}:x^2=16\}$ są równe;

  • Suma liczby wymiernej $x$ i niewymiernej $y$ jest liczbą niewymierną;

  • Suma $x+y$ i iloczyn $x\cdot y$ liczb wymiernych jest liczbą wymierną;

  • Suma $x+y$ liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną;

  • Iloczyn $x\cdot y$ liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną;

  • Iloczyn $x\cdot y$ liczb: wymiernej $x$ i niewymiernej $y$ jest liczbą niewymierną;

  • Suma $x+y$ liczb: wymiernej $x$ i niewymiernej $y$ jest liczbą niewymierną.

$⟵$

Liczby rzeczywiste możemy dodawać i mnożyć. Wynikiem tych operacji jest ponownie liczba rzeczywista. Bardziej formalnie oznacza to, że określone są dwie funkcje (operacje): dodawanie liczb rzeczywistych

$$+:ℝ\times ℝ\ni (x,y)⟼x+y\in ℝ$$

oraz ich mnożenie

$$\cdot :ℝ\times ℝ\ni (x,y)⟼x\cdot y\in ℝ.$$

Jeśli poprawnie rozwiązaliście Test to zauważycie, że dodawanie i mnożenie jest również dobrze określonym działaniem w zbiorze liczb wymiernych. Powyższe zdanie oznacza tyle, że suma $x\mathrm{+}y$ i iloczyn $x\mathrm{\cdot }y$ liczb wymiernych jest liczbą wymierną. Nie jest tak z liczbami niewymiernymi. Działania te wyprowadzają nas ze zbioru liczb niewymiernych. Przykładowo, liczby $\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$ są niewymierne, ale ich suma $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ i iloczyn $\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})=-2$ są liczbami wymiernymi (nawet całkowitymi).

Wróćmy do działań dodawania i mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych. Zakładamy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b,c\in ℝ$ zachodzą warunki (aksjomaty):

• $(a+b)+c=a+(b+c)$

• $a+b=b+a$

• $a+0=a$

• istnieje taka liczba rzeczywista $b$, że $a+b=0$

• $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

• $a\cdot b=b\cdot a$

• $a\cdot 1=a$

• jeżeli $a\ne 0$, to istnieje taka liczba rzeczywista $a^{-1}$ , że $a\cdot a^{-1}=1$

• $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Algebraicy mówią wtedy krótko, że zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ z działaniami $+$ oraz $\cdot$ jest ciałem. Oznacza to, że trójka $(ℝ,+,\cdot )$ (zbiór $ℝ$ i dwa działania w nim) spełnia warunki (i)-(ix).

Liczby rzeczywiste możemy ze sobą porównywać. Dla dowolnych $x,y\in ℝ$ zachodzi jeden z warunków

Relacja jest zgodna z działaniami w tym sensie, że zachodzą warunki:

• jeśli i , to ,

• jeśli i $c>0$, to .

Dla liczby rzeczywistej $x\in ℝ$ definiujemy jej wartość bezwzględną wzorem

Liczby rzeczywiste możemy interpretować jako punktu na prostej. Liczba nieujemna $|x|$ jest odległością punktu $x$ od punktu $0$. Dla liczb rzeczywistych $x,y\in ℝ$ zachodzi nierówność

$$|x+y|\le |x|+|y|.$$

2.2 Liczby zespolone

Wprowadzimy teraz ważne uogólnienie ciała liczb rzeczywistych, czyli ciało liczb zespolonych.

Zbiór liczb zespolonych $ℂ$ definiujemy jako zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych, czyli

$ℂ:=\{(x,y):x,y\in ℝ\}.$

Podobnie jak liczby rzeczywiste możemy interpretować jako punkty na prostej, tak elementy zbioru $ℂ$ są punktami na płaszczyźnie.

Na razie mamy pewien zbiór tzn. zbiór punktów na płaszczyźnie. Aby mówić o ciele liczb zespolonych musimy w zbiorze $ℂ$ wprowadzić dwa działania $+$ oraz $\cdot$ spełniające warunki (i)-(ix). Zrobimy to wykorzystując działania określone w zbiorze liczb rzeczywistych. Jest to typowy dla matematyki mechanizm tworzenia nowych struktur w oparciu o struktury już istniejące.

Definicja 2.1 (Suma i iloczyn liczb zespolonych).

Sumę i iloczyn liczb zespolonych $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)\in ℂ$ określamy wzorami

$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)$ $:=(x_1+x_2,y_1+y_2),$ (2.1)

$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)$ $:=(x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2,x_1\cdot y_2+y_1\cdot x_2).$ (2.2)

• Wzory (2.1) i (2.2) wymagają pewnego komentarza. W formule (2.1) znak $+$ z lewej strony równości jest nowo definiowanym pojęciem dodawania liczb zespolonych przy pomocy, wcześniej zdefiniowanej, formuły z prawej strony: jest to więc znak dodawania punktów na płaszczyźnie. Po prawej stronie znak $+$ jest już wcześniej znaną operacją dodawania liczb rzeczywistych. Mamy tu więc do czynienia z pewną kolizją oznaczeń: znak $+$ z prawej i lewej strony oznacza inne operacje, zdefiniowane w innych zbiorach. Musimy się do tego przyzwyczaić i domyślać się z kontekstu o jakie działanie chodzi. Alternatywą byłoby oznaczanie dodawania liczb zespolonych jakimś innym symbolem niż $+$ np. $\mathrm{♡}$. Moglibyśmy wtedy formułę (2.1) zapisać jako

  $$(x_1,y_1)\mathrm{♡}(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2).$$

  Tego typu mnożenie oznaczeń nie wydaje się jednak celowe. Zachęcam do analogicznego przeanalizowania znaczenia symboli $\cdot$, $\pm$ we wzorze (2.2).

Dla liczby zespolonej $z=(x,y)\in ℂ$ wygodnie jest wprowadzić następującą terminologię. Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną liczby zespolonej $z$. Będziemy używać oznaczeń

$$\mathrm{Re}z:=x,\mathrm{Im}z:=y.$$

Definicja 2.2 (Sprzężenie i moduł liczby zespolonej).

Dwie liczby zespolone $(x_1,y_1)$ oraz $(x_2,y_2)$ są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy $x_1=x_2$ oraz $y_1=y_2$, tzn. zarówno ich części rzeczywiste, jak i urojone są równe. Dla liczby zespolonej $z=(x,y)\in ℂ$ definiujemy liczbę przeciwną $-z:=(-x,-y)$ oraz

$\overline{z}:$ $=(x,-y)$ sprzężenie liczby zespolonej

$|z|:$ $=\sqrt{x^2+y^2}$ $\mathit{\text{moduł liczby zespolonej}}.$

Moduł liczby zespolonej $z=(x,y)$ jest odległością punktu $(x,y)$ od początku układu współrzędnych $(0,0)$.

Zachodzą własności

$$\overline{z_1+z_2}={\overline{z}}_1+{\overline{z}}_2,\overline{z_1\cdot z_2}={\overline{z}}_1\cdot {\overline{z}}_2$$

$$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|,|z_1\cdot z_2|=|z_1||z_2|$$

$$\mathrm{Re}z=\frac{z+\overline{z}}{2},\mathrm{Im}z=\frac{z-\overline{z}}{2i}.$$

Przykład 2.2.

Uzasadnimy, że

$$|z+w|\le |z|+|w|,z,w\in ℂ.$$

Zauważmy, że

${|z+w|}^2$ $=(z+w)(\overline{z+w})$

$=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})$

$={|z|}^2+z\cdot \overline{w}+\overline{z}\cdot w+{|w|}^2$

$={|z|}^2+{|w|}^2+2\mathrm{R}\mathrm{e}(z\cdot \overline{w})$

$\le {|z|}^2+{|w|}^2+2|z\cdot w|$

$={(|z|+|w|)}^2.$

Wniosek 2.1.

Dla dowolnej liczby zespolonej $z\mathrm{=}\mathrm{(}x\mathrm{,}y\mathrm{)}\mathrm{\in }\mathrm{C}$ zachodzi wzór

$$z\cdot \overline{z}=({|z|}^2,0).$$

Dowód.

Dowód polega na bezpośrednim rachunku. Mamy

$z\cdot \overline{z}$ $=(x,y)\cdot (x,-y)$

$=(x\cdot x-y\cdot (-y),x\cdot (-y)+y\cdot x)$

$=(x^2+y^2,0)$

$=({|z|}^2,0).$

∎

Twierdzenie 2.1.

Dla dowolnych liczb zespolonych $z\mathrm{,}w\mathrm{,}q$ mamy

• $(z+w)+q=z+(w+q)$

• $z+w=w+z$

• $z+(0,0)=z$

• $z+(-z)=(0,0)$

• $(z\cdot w)\cdot q=z\cdot (w\cdot q)$

• $z\cdot w=w\cdot z$

• $z\cdot (1,0)=z$

• jeżeli $z\ne 0$, to istnieje jedyna taka liczba zespolona $z^{-1}$, że $z\cdot z^{-1}=(1,0)$

• $z\cdot (w+q)=z\cdot w+z\cdot q$

W szczególności, trójka $\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{,}\mathrm{+}\mathrm{,}\mathrm{\cdot }\mathrm{)}$ jest ciałem.

Dowód.

Udowodnimy dla przykładu punkty (viii) i (ix) pozostawiając dowody pozostałych punktów jako ćwiczenie. Zaczniemy od dowodu punktu (ix). Niech $z=(x_1,y_1)$, $w=(x_2,y_2)$ i $q=(x_3,y_3)$ będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy

$z\cdot \left(w+q\right)$ $=(x_1,y_1)\cdot \left((x_2,y_2)+(x_3,y_3)\right)$

$=(x_1,y_1)\cdot (x_2+x_3,y_2+y_3)$

$=(x_1\cdot \left(x_2+x_3\right)-y_1\cdot \left(y_2+y_3\right),x_1\cdot \left(y_2+y_3\right)+y_1\cdot \left(x_2+x_3\right))$

$=(x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2+x_1\cdot x_3-y_1\cdot y_3,x_1\cdot y_2+y_1\cdot x_2+x_1\cdot y_3+y_1\cdot x_3)$

$=(x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2,x_1\cdot y_2+y_1\cdot x_2)+(x_1\cdot x_3-y_1\cdot y_3,x_1\cdot y_3+y_1\cdot x_3)$

$=z\cdot w+z\cdot q.$

Zajmiemy się teraz dowodem punktu (ix). Niech $z=(x,y)\ne (0,0)$ będzie dowolną, niezerową liczbą zespoloną. Zauważmy, że ${|z|}^2=x^2+y^2\ne 0$. Szukamy takiej liczby zespolonej $z^{-1}$, że $z\cdot z^{-1}=(1,0)$. Ponieważ

$$z\cdot \overline{z}=({|z|}^2,0),$$

więc wystarczy przyjąć, że

$$z^{-1}=(\frac{x}{{|z|}^2},\frac{-y}{{|z|}^2})=\frac{\overline{z}}{{|z|}^2}.$$

∎

Liczby zespolone postaci $(x,0)$ będziemy utożsamiać z liczbami rzeczywistymi, tzn. będziemy pisać $(x,0)=x$.

Definicja 2.3 (Jednostka urojona).

Liczbę zespoloną

$$i:=(0,1)$$

nazywamy jednostką urojoną.

Zauważmy, że

$$i^2=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1.$$

Stąd

$$i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,$$

czyli

$$i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,k\in \mathbb{N}.$$

Każdą liczbę zespoloną $z=(x,y)$ możemy zapisać w postaci algebraicznej:

$$z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)\cdot (y,0)=x+iy.$$

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych $z_1=x_1+i{y}_1$ oraz $z_2=x_2+i{y}_2$ w postaci algebraicznej przyjmuje postać

$$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2),$$

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+y_1{x}_2).$$

W tej konwencji zapisu liczby zespolone mnożymy tak samo jak liczby rzeczywiste pamiętając, że $i^2=-1$. Dla przykładu,

$(1+i\sqrt{2})(4+3i)$ $=4+4i\sqrt{2}+3i+3\sqrt{2}{i}^2$

$=4-3\sqrt{2}+i(4\sqrt{2}+3).$

Rysunek 2.1: Mnożenie przez $i$ jest obrotem o $\pi /2$.

Rysunek 2.2: Liczba zespolona $z$, jej argument, moduł i liczba zespolona $\overline{z}$ sprzężona do $z$.

Przykład 2.3.

Zapiszemy liczbę $\frac{1}{1+3i}$ w postaci $a+bi$. Mamy

${\displaystyle \frac{1}{1+3i}}$ $={\displaystyle \frac{1}{1+3i}}\cdot {\displaystyle \frac{1-3i}{1-3i}}$

$={\displaystyle \frac{1-3i}{1+3^2}}$

$={\displaystyle \frac{1-3i}{10}}.$

Każdą liczbę zespoloną $z=x+iy\ne 0$ można zapisać w postaci

$$z=x+iy=|z|\left(\frac{x}{|z|}+i\frac{y}{|z|}\right).$$

Ponadto,

$$\frac{x}{|z|}=\cos \phi ,\frac{y}{|z|}=\sin \phi ,$$ (2.3)

gdzie $\phi$ jest kątem między między osią rzeczywistą a półprostą o początku w punkcie $(0,0)$ przechodzącą przez punkt $(x,y)$. Otrzymujemy stąd postać trygonometryczną liczby zespolonej:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi ).$$ (2.4)

Każdą liczbę $\phi$ spełniającą równania (2.3) nazywamy argumentem liczby zespolonej $z\ne 0$ i oznaczamy $\arg (z)$.

Argument $\arg (z)$ nie jest wyznaczony jednoznacznie. Jeżeli $\phi$ jest pewnym argumentem $z$, to każdy inny argument $z$ jest postaci

$$\phi +2k\pi ,$$

dla pewnego $k\in \mathbb{Z}$. Jeśli $z=0$, to równość (2.4) zachodzi dla dowolnej liczby rzeczywistej $\phi$. Argumentem głównym liczby zespolonej $z\ne 0$ nazywamy liczbę rzeczywistą $\phi \in (-\pi ,\pi ]$ określoną równaniami (2.3). Oznaczamy go przez $\mathrm{Arg}(z)$.

Z powyższy rozważań wynika, że liczba zespolona $z\ne 0$ jest jednoznacznie wyznaczona przez swój moduł i argument. Wynika stąd, że dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe moduły i ich argumenty różnią się o całkowitą wielokrotność $2\pi$.

Przykład 2.4.

Zapiszemy liczbę $z=1+i\sqrt{3}$ w postaci trygonometrycznej. Mamy $|z|=\sqrt{4}=2$ oraz

$$\cos \theta =\frac{1}{2},\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Stąd $\theta =\frac{\pi }{3}$, czyli

$$1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right).$$

Lemat 2.1.

Dla danych w postaci trygonometrycznej liczb zespolonych

$$z_1=|z_1|(\cos \varphi +i\sin \varphi ),z_2=|z_2|(\cos \psi +i\sin \psi )$$

zachodzi wzór

$$z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|(\cos (\varphi +\psi )+i\sin (\varphi +\psi )).$$

Dowód.

Bezpośredni rachunek pokazuje, że

$z_1\cdot z_2$ $=|z_1|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\cdot |z_2|(\cos \psi +i\sin \psi )$

$=|z_1||z_2|(\cos \varphi \cos \psi -\sin \varphi \sin \psi +i(\sin \varphi \cos \psi +\cos \varphi \sin \psi ))$

$=|z_1||z_2|(\cos (\varphi +\psi )+i\sin (\varphi +\psi )).$

∎

Twierdzenie 2.2 (Wzór de Moivre’a).

Dla liczby zespolonej $z\mathrm{=}\mathrm{|}z\mathrm{|}\mathit{}\mathrm{(}\cos \mathit{}\varphi \mathrm{+}i\mathit{}\sin \mathit{}\varphi \mathrm{)}$ oraz dla $n\mathrm{\in }\mathrm{N}$ zachodzi wzór

$$z^n={|z|}^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).$$

W szczególności, jeśli $\mathrm{|}z\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{1}$, to

$${(\cos \varphi +i\sin \varphi )}^n=\cos n\varphi +i\sin n\varphi .$$

Dowód.

Zastosujemy indukcję względem $n$. Wzór zachodzi dla $n=1$. Zakładamy teraz, że jest on prawdziwy dla pewnej liczby naturalnej $n$. Udowodnimy, że zachodzi on również dla $n+1$. Mamy

$z^{n+1}$ $=z\cdot z^n$

$=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\cdot {|z|}^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )$

$={|z|}^{n+1}(\cos (n+1)\varphi +i\sin (n+1)\varphi ).$

∎

Przykład 2.5.

Obliczymy ${(1+i\sqrt{3})}^5$. Ponieważ $1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$, więc

${(1+i\sqrt{3})}^5$ $=2^5\left(\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}\right)$

$=32\left({\displaystyle \frac{1}{2}}-i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right).$

Definicja 2.4 (Pierwiastek z liczby zespolonej).

Niech $n\in \mathbb{N}$. Liczbę zespoloną $w$ nazywamy pierwiastkiem stopnia $n$ z liczby zespolonej $z$, jeśli $w^n=z$.

Niech $w=|w|(\cos \psi +i\sin \psi )$ będzie pierwiastkiem stopnia $n$ z liczby $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\ne 0$. Ze wzoru de Moivre’a wynika, że wtedy

$${|w|}^n(\cos n\psi +i\sin n\psi )=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi ).$$

Stąd ${|w|}^n=|z|$ oraz

$$n\psi =\varphi +2k\pi ,$$

dla pewnego $k\in \mathbb{Z}$. Wynika stąd, że dla pewnego $k\in \mathbb{Z}$ mamy

$$w=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos \left(\frac{\varphi +2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{\varphi +2k\pi }{n}\right)\right).$$ (2.5)

Łatwo sprawdzamy, że istnieje dokładnie $n$ różnych pierwiastków stopnia $n$ z liczby $z\ne 0$ danych wzorami

$$w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos \left(\frac{\varphi +2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{\varphi +2k\pi }{n}\right)\right),k=0,1,\mathrm{\dots },n-1.$$

• Na pierwiastki $w_k$ stopnia $n$ z niezerowej liczby zespolonej $z=\left|z\right|\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)$ możemy popatrzeć następująco. Niech

  $$u=\sqrt[n]{\left|z\right|}\left(\cos \left(\frac{\varphi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{\varphi }{n}\right)\right)$$

  będzie oczywistym pierwiastkiem. Dla pierwiastka stopnia $n$ z jedynki:

  $$\omega =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$$

  mamy

  $$w_k=u{\omega }^k,k=0,\mathrm{\dots },n-1,$$

  czyli pierwiastkami stopnia $n$ z liczby $z\in ℂ$ są

  $$u,u\omega ,u{\omega }^2,\mathrm{\dots },u{\omega }^{n-1}.$$

Przykład 2.6.

Wyznaczymy pierwiastki zespolone stopnia trzeciego z liczby

$$1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right).$$

Dla $k=0$ mamy

$$w_0=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi }{9}+i\sin \frac{\pi }{9}\right).$$

Dla $k=1$ otrzymujemy

$w_1$ $=\sqrt[3]{2}\left(\cos {\displaystyle \frac{\frac{\pi }{3}+2\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\frac{\pi }{3}+2\pi }{3}}\right)$

$=\sqrt[3]{2}\left(\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{9}}+i\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{9}}\right),$

a dla $k=2$ mamy

$w_2$ $=\sqrt[3]{2}\left(\cos {\displaystyle \frac{\frac{\pi }{3}+4\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\frac{\pi }{3}+4\pi }{3}}\right)$

$=\sqrt[3]{2}\left(\cos {\displaystyle \frac{13\pi }{9}}+i\sin {\displaystyle \frac{13\pi }{9}}\right).$

Przykład 2.7.

Pierwiastkami zespolonymi stopnia $4$ z jedynki są liczby

$$1,i,-1,-i.$$

• Ponieważ pierwiastki $w_k$ dla $k=0,1,\mathrm{\dots },n-1$ mają moduły równe $\sqrt[n]{\left|z\right|}$ i kolejne argumenty różnią się o $\frac{2\pi }{n}$, więc $w_k$ są wierzchołkami $n$-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $\sqrt[n]{\left|z\right|}$.

Przykład 2.8 (Pierwiastki zespolone wielomianu rzeczywistego).

Rozważmy równanie wielomianowe o współczynnikach rzeczywistych $a_0,\mathrm{\dots },a_n\in ℝ$:

$$a_n{z}^n+\mathrm{\dots }+a_{1}z+a_0=0,a_n\ne 0.$$

Uzasadnimy, że jeżeli liczba zespolona $z$ jest pierwiastkiem tego równania, to jest nim również $\overline{z}$. Nie jest to prawda, gdy współczynniki $a_0,\mathrm{\dots },a_n$ są zespolone, ale nie są rzeczywiste. Jeśli

$$a_n{z}^n+\mathrm{\dots }+a_{1}z+a_0=0,$$

to

$0=\overline{0}$ $=\overline{a_n{z}^n+\mathrm{\dots }+a_{1}z+a_0}$

$=\overline{a_n}\cdot {\overline{z}}^n+\mathrm{\dots }+\overline{a_1}\cdot \overline{z}+\overline{a_0}$

$=a_n{\overline{z}}^n+\mathrm{\dots }+a_1\overline{z}+a_0.$

Twierdzenie 2.3 (Zasadnicze twierdzenie algebry).

Każdy wielomian

$$w(z)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\mathrm{\dots }+a_{1}z+a_0,a_i\in ℂ$$

o współczynnikach zespolonych ma $n$ pierwiastków zespolonych (liczonych z krotnościami) $z_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{z}_n$. Ponadto,

$$w(z)=(z-z_1)(z-z_2)\mathrm{\dots }(z-z_n).$$

Pierwszy dowód Twierdzenia 2.3 podał Gauss w 1799 roku.

• Rozkład wielomianu rzeczywistego nad $ℝ$

  Z Zasadniczego twierdzenia algebry wynika, że wielomian o współczynnikach zespolonych $p\left(z\right)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\mathrm{\dots }+a_{1}z+a_0$ ma rozkład na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego

  $$p\left(z\right)=\left(z-z_1\right)\mathrm{\dots }\left(z-z_n\right),$$

  gdzie $z_1,\mathrm{\dots },z_n\in ℂ$ są pierwiastkami $p$. Zastanówmy się co możemy powiedzieć o rozkładzie wielomianu $p\left(z\right)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\mathrm{\dots }+a_{1}z+a_0$ o współczynnikach rzeczywistych. Jak wiemy, jeśli liczba zespolona $z_1=a+ib$ z $b\ne 0$ jest jego pierwiastkiem, to jest nim również liczba sprzężona $z_2=a-ib$. Zauważmy, że

  $\left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)$ $=\left(z-\left(a+ib\right)\right)\left(z-\left(a-ib\right)\right)$

  $=z^2-2az+a^2+b^2,$

  jest wielomianem stopnia $2$ o współczynnikach rzeczywistych nie posiadającym pierwiastków rzeczywistych. Wynika stąd, że $p$ możemy rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia jeden i wielomianów nierozkładalnych stopnia dwa o współczynnikach rzeczywistych.

Przykład 2.9.

Można sprawdzić, że wielomian $w(z)=z^4-5z^2-10z-6$ ma pierwiastki zespolone $-1,3,-1+i,-1-i$. Jako wielomian o współczynnikach zespolonych rozkłada się on na czynniki stopnia pierwszego:

$$w(z)=(z+1)(z-3)(z+1+i)(z+1-i).$$

Jeśli chcemy, go rozłożyć na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, to otrzymujemy

$$w(z)=(z+1)(z-3)\underset{=(z+1+i)(z+1-i)}{\underbrace{(z^2+2z+2)}}.$$

Przykład 2.10 (Pierwiastki zespolone równania kwadratowego).

Rozważmy równanie kwadratowe

$$a{z}^2+bz+c=0,a\ne 0$$

o współczynnikach rzeczywistych. Jeśli , to ma ono dwa sprzężone rozwiązania zespolone dane wzorami

$$z_1=\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a},z_2=\frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}.$$

Przykładowo, dla

$$z^2+z+1=0$$

mamy $\mathrm{\Delta }=-3$ oraz

$$z_1=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2},z_2=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}.$$

• Pierwiastki równania kwadratowego Rozważmy równanie kwadratowe

  $$a{z}^2+bz+c=0,a\ne 0$$

  o współczynnikach zespolonych $a,b,c\in ℂ$. Dla $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ możemy je zapisać w postaci

  $$a\left[{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}\right]=0,$$

  co jest równoważne z równością

  $${\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2},$$

  czyli

  $${\left(2az+b\right)}^2=\mathrm{\Delta }.$$

  Wystarczy więc znaleźć pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej $\mathrm{\Delta }$.

  Zauważmy, że jeśli $z_1,z_2\in ℂ$ są pierwiastkami równania $a{z}^2+bz+c=0$, to

  $$a{z}^2+bz+c=a\left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)$$

  oraz zachodzą wzory Viete’a

  $$z_1+z_2=-\frac{b}{a},z_1\cdot z_2=\frac{c}{a}.$$

Przykład 2.11.

Rozwiążemy równanie

$$4z^2+4iz+(-13-16i)=0,z\in ℂ.$$

Jest ono równoważne z równaniem $z^2+iz+\frac{-13-16i}{4}=0$, czyli

$${\left(z+\frac{i}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}-\frac{13}{4}-4i=0.$$

Stąd

$${\left(z+\frac{i}{2}\right)}^2=3+4i.$$

Znajdziemy pierwiastki stopnia $2$ z liczby $3+4i$. Jeśli ${(a+ib)}^2=3+4i$, to

$$a^2-b^2=3,2ab=4.$$

Z drugiego równania $a$ i $b$ są różne od zera i $b=\frac{2}{a}$. Z pierwszego równania mamy

$$a^2-\frac{4}{a^2}=3,$$

czyli

$$a^4-3a^2-4=0.$$

Stąd

$$(a^2+1)(a^2-4)=0,$$

czyli $a=\pm 2$. W konsekwencji, $b=\pm 1$. Mamy więc, że

$$z+\frac{i}{2}=2+i\mathit{\hspace{1em}}\text{lub}\mathit{\hspace{1em}}z+\frac{i}{2}=-2-i,$$

czyli

$$z=2+\frac{i}{2}\mathit{\hspace{1em}}\text{lub}\mathit{\hspace{1em}}z=-2-\frac{3i}{2}.$$

2.3 Grupy i ciała

Wprowadzimy teraz pewne podstawowe struktury algebraiczne. Ten fragment będzie nieco bardziej abstrakcyjny i wymaga od Was szczególnej uwagi. Ten trud opłaci się w Waszym dalszym matematycznym życiu. Podejmijcie go! Robimy to nie tylko z miłości do abstrakcji, ale przede wszystkim dlatego, że wprowadzenie i używanie tego języka jest po prostu wygodne. Niech $X$ będzie niepustym zbiorem.

Definicja 2.5 (Działanie wewnętrzne w zbiorze).

Działaniem wewnętrznym w zbiorze $X$ nazywamy dowolne odwzorowanie

$$\circ :X\times X\ni (x,y)⟼x\circ y:=\circ (x,y)\in X$$

przyporządkowujące uporządkowanej parze elementów zbioru $X$ element zbioru $X$.

Przykład 2.12.

Dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych (zespolonych) są działaniami wewnętrznymi w zbiorze $ℝ$ ($ℂ$). Ponieważ $2-3=-1$, więc odejmowanie nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze liczb naturalnych $\mathbb{N}$. Dzielenie $x\circ y=\frac{x}{y}$ nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze liczb rzeczywistych $ℝ$, bo nie jest zdefiniowane dla pary $(2,0)$ – nie wolno dzielić przez $0$.

Definicja 2.6 (Grupa i grupa abelowa).

Niech $\circ :X\times X⟶X$ będzie działaniem w zbiorze $X$. Para $(X,\circ )$ jest grupą, jeśli zachodzą warunki

• Dla dowolnych $x,y,z\in X$ zachodzi

  $$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\mathit{\hspace{1em}}\text{łączność działania}$$

• Istnieje taki $e\in X$, że dla dowolnego $x\in X$ zachodzi

  $$e\circ x=x=x\circ e\mathit{\hspace{1em}}\text{istnieje element neutralny}.$$

• Dla dowolnego $x\in X$ istnieje taki $x^{\prime }\in X$, że

  $$x\circ x^{\prime }=x^{\prime }\circ x=e\mathit{\hspace{1em}}\text{istnieje element odwrotny}.$$

Jeżeli ponadto,

• Dla dowolnych $x,y\in X$ mamy

  $$x\circ y=y\circ x,\text{przemienność działania}$$

to $(G,\circ )$ nazywamy grupą przemienną lub abelową.

• Element neutralny $e$ w grupie $G$ jest wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywiście, jeśli $e,e^{*}\in G$ są elementami neutralnymi, to

  $$e=e\circ e^{*}=e^{*}.$$

  Podobnie, element odwrotny $x^{\prime }$ do $x$ jest wyznaczony jednoznacznie. Jeśli $x^{\prime },x^{{}^{\mathrm{\prime \prime }}}$ są odwrotne do $x$, to

  $x^{\prime }$ $=x^{\prime }\circ e$

  $=x^{\prime }\circ \left(x\circ x^{{}^{\mathrm{\prime \prime }}}\right)$

  $=\left(x^{\prime }\circ x\right)\circ x^{{}^{\mathrm{\prime \prime }}}$

  $=e\circ x^{{}^{\mathrm{\prime \prime }}}$

  $=x^{{}^{\mathrm{\prime \prime }}}.$

• Oceń które ze zdań jest prawdziwe

  • $(\mathbb{N},+)$ jest grupą abelową;

  • $(\mathbb{Z},+)$ jest grupą abelową;

  • $(\mathbb{Q},+)$ jest grupą abelową;

  • $(ℝ,+)$ jest grupą abelową;

  • $(ℂ,+)$ jest grupą abelową;

  • $((0,+\mathrm{\infty }),+)$ jest grupą abelową;

  • $(\mathbb{N},\cdot )$ jest grupą abelową;

  • $(\mathbb{Z},\cdot )$ jest grupą abelową;

  • $(\mathbb{Q},\cdot )$ jest grupą abelową;

  • $(ℝ,\cdot )$ jest grupą abelową;

  • $(ℂ,\cdot )$ jest grupą abelową;

  • $(\mathbb{Z}\setminus \{0\},\cdot )$ jest grupą abelową;

  • $(\mathbb{Q}\setminus \{0\},\cdot )$ jest grupą abelową;

  • $(ℝ\setminus \{0\},\cdot )$ jest grupą abelową;

  • $(ℂ\setminus \{0\},\cdot )$ jest grupą abelową.

$⟵$

Przykład 2.13.

Niech

$$G=\{x+y\sqrt{5}:x,y\in \mathbb{Q},x^2-5y^2=1\}.$$

Pokażemy, że $G$ z mnożeniem liczb rzeczywistych jest grupą abelową. Musimy przede wszystkim pokazać, że jest to działanie wewnętrzne w $G$. Niech $x+y\sqrt{5},u+w\sqrt{5}\in G$. Oznacza to, że $x,y,u,w\in \mathbb{Q}$ oraz

$$x^2-5y^2=1=u^2-5w^2.$$

Mamy

$$(x+y\sqrt{5})(u+w\sqrt{5})=\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{xu+5yw}}+\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{(xw+yu)}}\sqrt{5}.$$

Musimy pokazać, że ${(xu+5yw)}^2-5{(xw+yu)}^2=1$. Sprawdzamy, że

${(xu+5yw)}^2-5{(xw+yu)}^2$ $=x^2{u}^2+10xuyw+25y^2{w}^2-5x^2{w}^2-10xwyu-5y^2{u}^2$

$=x^2{u}^2+25y^2{w}^2-5x^2{w}^2-5y^2{u}^2$

$=\underset{=1}{\underbrace{(x^2-5y^2)}}\underset{=1}{\underbrace{(u^2-5w^2)}}$

$=1.$

Mnożenie liczb rzeczywistych jest łączne i przemienne, więc warunki (G1) i (G4) są spełnione. Ponadto, $1\in G$, więc zachodzi warunek (G2). Zauważmy, że jeśli $x+y\sqrt{5}\in G$, to z warunku $x^2-5y^2=1$ wynika, że $x\ne 0$. Ponadto, $x+y\sqrt{5}\ne 0$, bo wtedy $\sqrt{5}$ byłby liczbą wymierną, gdy $y\ne 0$. Łatwo sprawdzamy, że $x-y\sqrt{5}\in G$ oraz

$$(x+y\sqrt{5})(x-y\sqrt{5})=x^2-5y^2=1,$$

czyli warunek (G3) zachodzi.

Przykład 2.14 (Grupa ${\mathrm{S}}^{\mathrm{1}}$).

Poprawne rozwiązanie Testu 1 prowadzi nas do wniosku, że $(ℂ\setminus \{0\},\cdot )$ jest grupą abelową. Oznacza to, że działanie mnożenia

$$\cdot :ℂ\setminus \{0\}\times ℂ\setminus \{0\}\ni (z,w)⟼z\cdot w\in ℂ\setminus \{0\}$$

spełnia warunki (G1)-(G4) z definicji grupy. Zbiór $ℂ\setminus \{0\}$ jest płaszczyzną z usuniętym początkiem układu współrzędnych. Rozważmy okrąg jednostkowy o środku w początku układu

$${𝕊}^1:=\{z\in ℂ:|z|=1\}.$$

Oczywiście ${𝕊}^1\subset ℂ\setminus \{0\}$. Zauważmy, że jeżeli $z_1$, $z_2\in {𝕊}^1$, to $z_1\cdot z_2\in {𝕊}^1$, gdyż

$$|z_1\cdot z_2|=|z_1||z_2|=1.$$

Oznacza to, że iloczyn liczb zespolonych ze zbioru ${𝕊}^1$ jest ponownie liczbą należącą do ${𝕊}^1$. Wynika stąd, że mnożenie liczb zespolonych jest działaniem wewnętrznym w zbiorze ${𝕊}^1$ i możemy je traktować jako odwzorowanie

$$\cdot :{𝕊}^1\times {𝕊}^1⟶{𝕊}^1.$$

W takim razie może $({𝕊}^1,\cdot )$ jest również grupą?

• Podgrupa

  Przypuśćmy, że $(G,\circ )$ jest grupą i $H\subset G$ jest takim jej niepustym podzbiorem, że $x\circ y\in H$ dla $x,y\in H$. Oznacza to, że $\circ$ jest również działaniem wewnętrznym w $H$. To jeszcze za mało, aby $(H,\circ )$ było grupą. Rozważmy prosty przykład grupy liczb całkowitych $G=\mathbb{Z}$ z działaniem dodawania liczb całkowitych $\circ =+$. Wtedy jest to również działanie wewnętrzne w zbiorze liczb naturalnych $H=\mathbb{N}\subset G=\mathbb{Z}$. Zauważmy, że $(\mathbb{N},+)$ nie jest grupą. Przede wszystkim dodawanie nie ma elementu neutralnego w $\mathbb{N}$, bo $0\notin \mathbb{N}$. W takim razie rozważmy podzbiór ${\mathbb{N}}_0=\left\{0\right\}\cup \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$. Oczywiście, dodawanie liczb całkowitych jest również działaniem wewnętrznym w ${\mathbb{N}}_0$ i nie mamy już problemu z elementem neutralnym. Pojawia się jednak nowy problem, gdyż przykładowo, element $1\in {\mathbb{N}}_0$ nie ma elementu odwrotnego (przeciwnego) w zbiorze ${\mathbb{N}}_0$, bo $-1\notin {\mathbb{N}}_0$.

  Z naszych rozważań wynika, że podzbiór $H\subset G$ dziedziczy strukturę grupy z $(G,\circ )$, jeśli spełnione są warunki:

  • $x\circ y\in H$ dla wszystkich $x,y\in H$,

  • $e\in H$, gdzie $e\in G$ jest elementem neutralnym dla $\circ$,

  • $x^{\prime }\in H$, gdzie $x^{\prime }\in G$ jest elementem odwrotnym do $x\in H$.

  Wtedy rzeczywiście $(H,\circ )$ jest grupą. Algebraicy mówią wtedy, że $(H,\circ )$ jest podgrupą grupy $(G,\circ )$.

Wróćmy do okręgu ${𝕊}^1$. Zauważmy, że element neutralny $1$, dla mnożenia liczb zespolonych, należy do zbioru ${𝕊}^1$. Ponadto, dla $z\in {𝕊}^1$ mamy $z^{-1}=\overline{z}\in {𝕊}^1$, bo $|\overline{z}|=|z|$. Ponieważ warunki (G1)-(G4) zachodzą w zbiorze $ℂ\setminus \{0\}$, więc tym bardziej są spełnione w mniejszym zbiorze ${𝕊}^1$. Wynika stąd, że para $({𝕊}^1,\cdot )$ jest również grupą abelową. Jest ona podgrupą grupy $(ℂ\setminus \{0\},\cdot )$.

Przykład 2.15 (Grupa zespolonych pierwiastków z jedynki).

Zdefiniujemy teraz jeszcze pewne ważne podgrupy grupy $({𝕊}^1,\cdot )$. Będą one składały się ze skończonej liczby elementów. Ustalmy dowolną liczbę naturalną $n\ge 1$. Rozważmy zbiór $G_n$ wszystkich pierwiastków stopnia $n$ z liczby $1$, czyli

$$G_n=\{{ϵ}_k:k=0,1,\mathrm{\dots },n-1\},$$

gdzie

$${ϵ}_k=\cos \left(\frac{2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{n}\right).$$

Zauważmy, że dla $z,w\in G_n$ mamy

$${(z\cdot w)}^n=z^n\cdot w^n=1\cdot 1=1.$$

Wynika stąd, że mnożenie liczb zespolonych jest działaniem wewnętrznym w zbiorze $G_n$. Ponadto, $1\in G_n$ oraz $z^{-1}=\overline{z}$, więc $z^{-1}\in G_n$, czyli $(G_n,\cdot )$ jest grupą abelową.

Rysunek 2.3: Pierwiastki zespolone szóstego stopnia z jedynki. Stanowią one grupę abelową z działaniem mnożenia liczb zespolonych.

Podamy teraz abstrakcyjną definicję algebraicznej struktury ciała z którą zetknęliśmy się już w przypadku liczb rzeczywistych i zespolonych. Rozważmy zbiór $𝔽$ w którym określone są dwa działania wewnętrzne

$$+:𝔽\times 𝔽⟶𝔽,\cdot :𝔽\times 𝔽⟶𝔽.$$

Zgodnie z przyjętym (całkowicie umownie) oznaczeniem będziemy je nazywali dodawaniem i mnożeniem, chociaż nie muszą one mieć nic wspólnego ze znanymi nam działaniami arytmetycznymi w zbiorach liczbowych.

Definicja 2.7 (Ciało).

Trójka $(𝔽,+,\cdot )$ jest ciałem, jeśli zachodzą warunki

• para $(𝔽,+)$ jest grupą abelową z elementem neutralnym $0\in 𝔽$ dla działania $+$;

• para $(𝔽\setminus \{0\},\cdot )$ jest grupą abelową z działaniem $\cdot$;

• $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ dla dowolnych $x,y,z\in 𝔽$.

• W punkcie (F2) w sposób niejawny zakładamy, że iloczyn elementów różnych od $0$ jest różny od $0$, bo mnożenie $\cdot$ jest z założenia działaniem wewnętrznym w zbiorze $𝔽\setminus \left\{0\right\}$ (definicja grupy).

  Z drugiej strony dla dowolnego $x\in 𝔽$ zachodzi równość

  $$0\cdot x=0,$$

  bo

  $$0\cdot x=\left(0+0\right)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x.$$

Przykład 2.16 (Rozszerzenie ciała $\mathrm{Q}$ o $\sqrt{\mathrm{2}}$).

Rozważmy zbiór

$$\mathbb{Q}(\sqrt{2}):=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}.$$

Elementy zbioru $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ są liczbami rzeczywistymi, czyli $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset ℝ$. Pokażemy, że struktura ciała $(ℝ,+,\cdot )$ ,,dziedziczy się’’ na zbiór $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ z działaniami dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych zawężonymi do zbioru $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Zauważmy najpierw, że

$$0=0+0\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2}),1=1+0\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2}),$$

czyli elementy neutralne działań należą do zbioru $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Ponadto, działania są wewnętrzne w $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, bo

$$(a+b\sqrt{2})+(a_1+b_1\sqrt{2})=\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{a+a_1}}+\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{(b+b_1)}}\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2}),$$

oraz

$$(a+b\sqrt{2})\cdot (a_1+b_1\sqrt{2})=\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{a{a}_1+2b{b}_1}}+\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{(a{b}_1+b{a}_1)}}\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2}).$$

Zauważmy, że

$$(a+b\sqrt{2})+(-a-b\sqrt{2})=0,$$

więc element odwrotny do $a+b\sqrt{2}$ względem działania $+$, czyli $-a-b\sqrt{2}$ jest elementem zbioru $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

Załóżmy, że $a+b\sqrt{2}\ne 0$. Wtedy $a-b\sqrt{2}\ne 0$. Stąd

$$a^2-2b^2=(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})\ne 0,$$

czyli

$$(a+b\sqrt{2})\cdot \left(\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}\right)=1,$$

więc

$$\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$$

jest elementem odwrotnym do $a+b\sqrt{2}$. Z powyższych rozważań wynika, że $(\mathbb{Q}(\sqrt{2}),+,\cdot )$ jest ciałem.

Przykład 2.17.

Rozważmy zbiór

$$X=\{a+b\sqrt[3]{5}:a,b\in \mathbb{Q}\}.$$

Uzasadnimy, że nie jest on ciałem z dodawaniem i mnożeniem liczb rzeczywistych. Problem mamy z mnożeniem, bo nie jest ono działaniem wewnętrznym w zbiorze $X$. Pokażemy bowiem, że ${(\sqrt[3]{5})}^2\notin X$. Przypuśćmy, że ${(\sqrt[3]{5})}^2=a+b\sqrt[3]{5}$ dla pewnych $a,b\in \mathbb{Q}$. Mnożąc przez $\sqrt[3]{5}$ dostajemy, że

$5=$ $a\sqrt[3]{5}+b{(\sqrt[3]{5})}^2$

$=a\sqrt[3]{5}+ab+b^2\sqrt[3]{5}$

$=ab+\sqrt[3]{5}(a+b^2).$

Ponieważ $\sqrt[3]{5}$ jest liczbą niewymierną, więc $a+b^2=0$ i $ab=5$, czyli $-b^3=5$, więc $\sqrt[3]{5}=-b\in \mathbb{Q}$. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że ${(\sqrt[3]{5})}^2\notin X$.

Przykład 2.18 (Ciało ${\mathrm{Z}}_{\mathrm{2}}$).

Niech ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$. Definiujemy dodawanie $+$ w zbiorze ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ przez tabelę wyników tego działania

+	0	1
0	0	1
1	1	0

Analogicznie definiujemy mnożenie $\cdot$ w zbiorze ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ poprzez tabelę

$\cdot$	0	1
0	0	0
1	0	1

Sprawdzamy łatwo, że tak zdefiniowana trójka $({\mathbb{Z}}_2,+,\cdot )$ jest ciałem.

• Ciało ${\mathbb{Z}}_p$

  Niech ${\mathbb{Z}}_3=\{0,1,2\}$. Definiujemy działania $+$ oraz $\cdot$ w zbiorze ${\mathbb{Z}}_3$ przez

  +	0	1	2
  0	0	1	2
  1	1	2	0
  2	2	0	1

  $\cdot$	0	1	2
  0	0	0	0
  1	0	1	2
  2	0	2	1

  Sprawdzamy łatwo, że $({\mathbb{Z}}_3,+,\cdot )$ jest ciałem.

  Dla liczby całkowitej $x\in \mathbb{Z}$ i liczby naturalnej $n\ge 1$ przez ${\left[x\right]}_n$ oznaczamy resztę z dzielenia liczby $x$ przez $n$. Zauważcie, że działania w ${\mathbb{Z}}_3$ możemy zapisać następująco:

  $$x+y={\left[x+y\right]}_3,x\cdot y={\left[x\cdot y\right]}_3,x,y\in {\mathbb{Z}}_3.$$

  Nic nie stoi na przeszkodzie, aby podobnie zdefiniować działania w zbiorze

  $${\mathbb{Z}}_n=\{0,1,\mathrm{\dots },n-1\}$$

  dla liczby naturalnej $n\ge 1$. Przyjmujemy, że

  $$x+y={\left[x+y\right]}_n,x\cdot y={\left[x\cdot y\right]}_n,x,y\in {\mathbb{Z}}_n.$$

  Trójka $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ nie zawsze jest ciałem. Elementem neutralnym dodawania jest $0$. Zauważmy, że przykładowo w ${\mathbb{Z}}_6$ mamy

  $$2\cdot 3={\left[6\right]}_6=0.$$

  Oznacza to, że ${\mathbb{Z}}_6$ nie jest ciałem. Analogiczny argument pokazuje, że ${\mathbb{Z}}_n$ nie jest ciałem, gdy $n$ nie jest liczbą pierwszą. Można sprawdzić, że (ćwiczenie) $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą pierwszą.

• Ciało skończone nie musi być równe ${\mathbb{Z}}_p$ dla liczby pierwszej $p$. Poniższe tabelki definiują ciało $4$-elementowe:

  $+$	0	1	a	b
  0	0	1	a	b
  1	1	0	b	a
  a	a	b	0	1
  b	b	a	1	0

  $\cdot$	0	1	a	b
  0	0	0	0	0
  1	0	1	a	b
  a	0	a	b	1
  b	0	b	1	a

  $({\mathbb{Z}}_4,+,\cdot )$ nie jest ciałem, bo $2\cdot 2=0$.

2.4 Macierze $M_{2\times 2}(𝔽)$

Niech $𝔽$ będzie ciałem. Przez macierz $A=[a_{ij}]$ wymiaru $2$ rozumiemy tablicę

mającą dwa wiersze i dwie kolumny. Zbiór wszystkich takich macierzy będziemy oznaczać przez $M_{2\times 2}(𝔽)$. Powiemy, że $A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]\in M_{2\times 2}(𝔽)$ są równe ($A=B$), jeśli $a_{ij}=b_{ij}$ dla $i,j=1,2$.

W zbiorze $M_{2\times 2}(𝔽)$ definiujemy działanie dodawania

$$+:M_{2\times 2}(𝔽)\times M_{2\times 2}(𝔽)⟶M_{2\times 2}(𝔽)$$

wzorem

Sprawdzamy łatwo, że $(M_{2\times 2}(𝔽),+)$ jest grupą abelową. Elementem neutralnym dodawania jest macierz zerowa

a elementem przeciwnym do $A$ jest macierz

W zbiorze $M_{2\times 2}(𝔽)$ definiujemy działanie mnożenia

$$\cdot :M_{2\times 2}(𝔽)\times M_{2\times 2}(𝔽)⟶M_{2\times 2}(𝔽).$$

Formuła na $A\cdot B$ jest nieco bardziej skomplikowana i w dalszym ciągu wyjaśni się dlaczego taka właśnie. Definiujemy

Sprawdzamy łatwo, że dla macierzy

oraz dowolnej macierzy $A\in M_{2\times 2}(𝔽)$ mamy

$$IA=AI=A.$$

Oznacza to, że $I$ jest elementem neutralnym mnożenia macierzy. Naturalne jest pytanie czy trójka $(M_{2\times 2}(𝔽),+,\cdot )$ jest ciałem. Bezpośredni rachunek pokazuje, że spełnione są następujące warunki:

• $(A+B)+C=A+(B+C)$

• $A+0=0+A=A$,

• $A+(-A)=0$,

• $A+B=B+A$,

• $(AB)C=A(BC)$,

• $AI=IA=A$,

• $A(B+C)=AB+BC$.

Z definicją ciała mamy jednak kilka problemów. Po pierwsze dla niezerowej macierzy mamy

czyli mnożenie macierzy nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze macierzy niezerowych. Nie mamy więc do czynienia z ciałem. Ponadto, niezerowa macierz nie posiada elementu odwrotnego względem mnożenia macierzy. Rzeczywiście, dla dowolnej macierzy mamy

Mnożenie macierzy nie jest też przemienne, bo przykładowo

Przykład 2.19.

Dla macierzy , mamy

$$AB=B,BA=0.$$

• Możecie, a nawet powinniście zapytać, dlaczego mnożenie macierzy definiujemy tak dziwną formułą. Moglibyśmy przecież, przez analogię do definicji dodawania macierzy, przyjąć że

  Przecież nie jest to takie złe mnożenie. Ma element neutralny, czyli macierz . Jest ono oczywiście łączne i przemienne. Oczywiście mamy problem z istnieniem elementu odwrotnego do macierzy niezerowej, bo jeśli tylko w macierzy któryś z wyrazów $a,b,c,d$ jest równy zero, to $A$ nie posiada macierzy odwrotnej. Ale przecież podobne problemy mieliśmy z wcześniej zdefiniowanym mnożeniem. Powód takiego zdefiniowania mnożenia macierzy jest nieco głębszy i poznamy go nieco później.

Naturalne jest pytanie dla jakich macierzy $A$ istnieje taka macierz $B\in M_{2\times 2}(𝔽)$, że

$$AB=BA=I.$$

Okazuje się, że takie macierze $A$ można łatwo scharakteryzować. W tym celu dla macierzy definiujemy element ciała $𝔽$ wzorem

$$\det A=ad-bc$$

i nazywamy wyznacznikiem macierzy $A$.

Wniosek 2.2.

Dla $A\mathrm{,}B\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ mamy

$$\det (AB)=\det A\cdot \det B$$

oraz $\det \mathit{}I\mathrm{=}\mathrm{1}$.

Dowód.

Sprawdzamy to bezpośrednim rachunkiem. Oczywiście zachodzi równość $\det I=1$. Dla macierzy oraz mamy

$\det (AB)$

$=(ae+bg)(cf+dh)-(ce+dg)(af+bh)$

$=aedh+bgcf-cebh-dgaf$

$=(ad-bc)(eh-fg)$

$=\det A\cdot \det B.$

∎

Wniosek 2.3.

Zachodzą warunki:

• $\det (A_1\mathrm{\dots }{A}_n)=\det A_1\cdot \mathrm{\dots }\cdot \det A_n$

• $\det (A^n)={(\det A)}^n$

Jeśli jest macierzą zespoloną, to definiujemy

Wtedy

• $\det \overline{A}=\overline{\det A}$,

• $\overline{(\overline{A})}=A,\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}$,

• $\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B},\overline{zA}=\overline{z}\overline{A}$,

• jeśli $\det A\ne 0$, to ${(\overline{A})}^{-1}=\overline{A^{-1}}$

Twierdzenie 2.4.

Dla macierzy następujące warunki są równoważne

• $\det A\ne 0$,

• istnieje taka macierz $B\in M_{2\times 2}(𝔽)$, że

  $$AB=BA=I.$$

  Piszemy wtedy, że $B=A^{-1}$.

Dowód.

(1) wynika z (2), bo wtedy

$$\det A\cdot \det B=\det (AB)=\det I=1,$$

czyli $\det A\ne 0$.

Jeśli zachodzi warunek (1), to definiujemy $B$ wzorem

Sprawdzamy łatwo, że $AB=BA=I$. ∎

Wniosek 2.4.

Niech . Jeśli $\det \mathit{}A\mathrm{\ne }\mathrm{0}$, to

Dla macierzy definiujemy jej macierz transponowaną

oraz dla $z\in 𝔽$ określamy

Bezpośredni rachunek pokazuje, że

• ${(A^T)}^T=A$,

• ${(A+B)}^T=A^T+B^T$,

• ${(z\cdot A)}^T=z\cdot A^T$,

• ${(AB)}^T=B^T{A}^T$,

• $\det A^T=\det A$.

Ponadto, jeśli $A$ jest odwracalna, to $A^{-1}A=I$, czyli $A^T{(A^{-1})}^T=I$, więc $A^T$ jest też odwracalna oraz ${(A^T)}^{-1}={(A^{-1})}^T$.

Przykład 2.20 (Macierzowa interpretacja ciała $\mathrm{C}$).

Wskażemy teraz podzbiór zbioru $M_{2\times 2}(ℝ)$, który pod względem algebraicznym bardzo przypomina ciało liczb zespolonych. Definiujemy

Łatwo sprawdzamy, że jeśli , to

oraz

więc dodawanie i mnożenie macierzy jest działaniem wewnętrznym w $M_{ℂ}$.

Można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że trójka $(M_{ℂ},+,\cdot )$ jest ciałem. My, aby to zauważyć, zastosujemy nieco inne podejście. W tym celu definiujemy

Jest to bijekcja oraz $f(0)=0$, $f(1)=I$. Ponadto,

$$f(z_1+z_2)=f(z_1)+f(z_2),$$

oraz

$$f(z_1{z}_2)=f(z_1)f(z_2),$$

dla dowolnych $z_1,z_2\in ℂ$.

Bijekcja $f$ o powyższych własnościach pozwala na identyfikację struktur algebraicznych $(ℂ,+,\cdot )$ oraz $(M_{ℂ},+,\cdot )$. Algebraicy mówią wtedy, że te ciała są izomorficzne. Z algebraicznego punktu widzenia ciała izomorficzne są nierozróżnialne.

Sprawdzamy poprzez bezpośredni rachunek, że $f$ ma dodatkowe własności:

• dla macierzy mamy

  $$J^2=-I\mathit{\hspace{1em}}\text{oraz}\mathit{\hspace{1em}}{J}^4=I,$$

• $f(i)=J$,

• $f(z^n)={(f(z))}^n$,

• $f(\overline{z})={(f(z))}^T$, gdzie

• $\det f(z)={|z|}^2$,

• $f(1/z)={(f(z))}^{-1}=\frac{1}{{|z|}^2}{(f(z))}^T$.

MACIERZOWA INTERPRETACJA CIAŁA $ℂ$ $(x+iy)(a+ib)$ $=xa-yb+i(xb+ya)$ Dla $x^2+y^2\ne 0$ Dla $z=x+iy=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$

Przykład 2.21 (Grupy izomorficzne).

Zobrazujemy pojęcie izomorfizmu grup. Rozważmy grupę abelową

$$G_4=\{1,i,-1,-i\}=\{1,i,i^2,i^3\}$$

pierwiastków zespolonych $4$ stopnia z jedynki. Działaniem grupowym jest mnożenie liczb zespolonych. Zbiór

$$G_4^{\prime }=\{I,J,-I,-J\}=\{I,J,J^2,J^3\}$$

jest grupą abelową z działaniem mnożenia macierzy. Zbiór reszt z dzielenia liczby całkowitej przez $4$

$${\mathbb{Z}}_4=\{0,\mathrm{\hspace{0.17em}1},\mathrm{\hspace{0.17em}2},\mathrm{\hspace{0.17em}3}\}$$

jest grupą z działaniem ,,dodawania reszt‘‘. Działania w tych grupach są opisane tabelkami:

$\cdot$	1	i	-1	-i
1	1	i	-1	-i
i	i	-1	-i	1
-1	-1	-i	1	i
-i	-i	1	i	-1

$\cdot$	I	J	-I	-J
I	I	J	-I	-J
J	J	-I	-J	I
-I	-I	-J	I	J
-J	-J	I	J	-I

$+$	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

Powyższe tabelki pokazują, że struktura algebraiczna wszystkich trzech grup jest identyczna. Jest ona taka sama jak dla grupy $4$-elementowej $G=\{e,a,b,c\}$ z działaniem $\circ$ opisanym tabelką

$\circ$	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	b	c	e
b	b	c	e	a
c	c	e	a	b

Przykład 2.22 ($M_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathbf{}\mathrm{(}{\mathrm{Z}}_{\mathrm{2}}\mathrm{)}$).

Zbiór $M_{2\times 2}({\mathbb{Z}}_2)$ składa się z $2^4$ elementów. Macierz $A\in M_{2\times 2}({\mathbb{Z}}_2)$ jest odwracalna, gdy $\det A\ne 0$. W ciele ${\mathbb{Z}}_2$ oznacza to, że $\det A=1$. Mamy $6$ macierzy spełniających ten warunek:

Podzbiory $M_{2\times 2}(𝔽)$ dostarczają wielu przykładów grup.

Przykład 2.23 (Grupa ${\mathrm{GL}}_{\mathrm{2}}\mathbf{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$).

Rozważmy zbiór macierzy odwracalnych

$${\mathrm{GL}}_2(𝔽)=\{A\in M_{2\times 2}(𝔽):\det A\ne 0\}.$$

Jeśli $A,B\in {\mathrm{GL}}_2(𝔽)$, to

$$\det (AB)=\det A\cdot \det B\ne 0,$$

czyli $AB\in {\mathrm{GL}}_2(𝔽)$. Ponadto, $I\in {\mathrm{GL}}_2(𝔽)$ oraz $A^{-1}\in {\mathrm{GL}}_2(𝔽)$ dla $A\in {\mathrm{GL}}_2(𝔽)$, bo

$1$ $=\det I$

$=\det (A{A}^{-1})$

$=\det A\cdot \det A^{-1},$

czyli $\det A^{-1}\ne 0$. Oznacza to, że ${\mathrm{GL}}_2(𝔽)$ z działaniem mnożenia macierzy jest grupą. Nie jest to grupa abelowa, bo przykładowo

Definiujemy ponadto zbiór

$${\mathrm{SL}}_2(𝔽)=\{A\in M_{2\times 2}(𝔽):\det A=1\}\subset {\mathrm{GL}}_2(𝔽).$$

Jest on również grupą (nieabelową) z mnożeniem macierzy.

Przykład 2.24 (Macierze symplektyczne).

Definiujemy zbiór macierzy symplektycznych jako

Sprawdzimy, że jest to grupa z mnożeniem macierzy. Można to zrobić sprawdzając warunki definiujące grupę. W tym celu należy sprawdzić, że

• jeśli $A,B\in \mathrm{Symp}(2)$, to $AB\in \mathrm{Symp}(2)$,

• $I\in \mathrm{Symp}(2)$,

• jeśli $A\in \mathrm{Symp}(2)$, to $A$ jest odwracalna oraz $A^{-1}\in \mathrm{Symp}(2)$.

My zrobimy to nieco inaczej. Bezpośredni rachunek pokazuje, że

Wynika stąd, że $A\in \mathrm{Symp}(2)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\det (A)=1$. Oznacza to, że

$$\mathrm{Symp}(2)=S{L}_2(ℝ)$$

Przykład 2.25 (Macierze górnie trójkątne).

Macierz nazywamy górnie trójkątną. Zauważmy, że

czyli iloczyn macierzy górnie trójkątnych jest macierzą górnie trójkątną. Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy $\det A=ad\ne 0$. Macierz odwrotna jest wtedy równa

czyli jest górnie trójkątna. Wynika stąd, że macierze górnie trójkątne o niezerowym wyznaczniku tworzą grupę z mnożeniem macierzy. Jest ona podgrupą grupy ${\mathrm{GL}}_2(𝔽)$. Podobnie, macierze górnie trójkątne o wyznaczniku równym $1$ (tzn. $d=1/a$) tworzą podgrupę grupy ${\mathrm{SL}}_2(𝔽)$. Ponadto, macierze górnie trójkątne spełniające warunek $a=d=1$ są również podgrupą ${\mathrm{SL}}_2(𝔽)$.

Przykład 2.26 (Macierze ortogonalne).

Definiujemy zbiór macierzy ortogonalnych przez

$$O(2)=\{A\in M_{2\times 2}(ℝ):A^{T}A=I\}.$$

Zauważmy, że

$1$ $=\det I$

$=\det (A^{T}A)$

$=\det (A^T)\cdot \det A$

$={(\det A)}^2,$

więc $\det A=\pm 1$. Oznacza to, że $A$ jest odwracalna, czyli istnieje taka macierz $A^{-1}$, że $A^{-1}A=A{A}^{-1}=I$. Mnożąc równość $A^{T}A=I$ z prawej strony przez $A^{-1}$, otrzymujemy, że $A^T=A^{-1}$.

Jeśli $A,B\in O(2)$, to

${(AB)}^T(AB)$ $=(B^T{A}^T)(AB)$

$=B^T\underset{=I}{\underbrace{(A^{T}A)}}B$

$=B^{T}B$

$=I,$

czyli $AB\in O(2)$. Oczywiście $I\in O(2)$. Ponieważ $A^{-1}=A^T$ dla $A\in O(2)$ oraz

$${(A^T)}^T{A}^T=A{A}^T=I,$$

czyli $A^{-1}\in O(2)$. Wynika stąd, że $O(2)$ jest grupą i podgrupą grupy ${\mathrm{GL}}_2(ℝ)$. Nie jest ona abelowa. Przyglądniemy się jej bliżej. Niech

Jeśli $\det A=1$, to

czyli z równości $A^T=A^{-1}$ mamy

$$a=d,b=-c.$$

Macierz $A$ ma więc postać

dla pewnych takich liczb $a,c\in ℝ$, że $a^2+c^2=\det A=1$. Wynika stąd, że

dla pewnego $\theta \in ℝ$.

Jeśli $\det A=-1$, to

więc równość $A^T=A^{-1}$ oznacza, że

$$a=-d,b=c.$$

Macierz $A$ ma więc postać

dla pewnych takich liczb $a,c\in ℝ$, że $a^2+c^2=-\det A=1$. Wynika stąd, że

dla pewnego $\theta \in ℝ$.

Zbiór

$$SO(2)=\{A\in O(2):\det A=1\}$$

jest grupą z mnożeniem macierzy. Składa się ona z wszystkich macierzy postaci

Sprawdzamy łatwo, że jest to grupa abelowa. Jest ona izomorficzna z grupą $({𝕊}^1,\cdot )$ poprzez

• Macierze ortogonalne i symplektyczne możemy traktować jako szczególny przypadek ogólniejszej konstrukcji. Mianowicie, dla ustalonej macierzy $S\in M_{2\times 2}\left(ℝ\right)$ rozważmy

  $$G_S=\{A\in G{L}_2\left(ℝ\right):A^{T}SA=S\}.$$

  Jest to grupa z mnożeniem macierzy. Dla $S=I$ otrzymujemy $O\left(2\right)$, a dla $S=J$ grupę $\mathrm{Sp}\left(2\right)$.

Przykład 2.27 (Macierze symetryczne).

Zbiór rzeczywistych macierzy symetrycznych

$${\mathrm{Sym}}_2(ℝ)=\{A\in M_{2\times 2}(ℝ):A=A^T\}$$

jest grupą z działaniem dodawania macierzy.

Dla macierzy definiujemy jej ślad wzorem

$$\mathrm{tr}A=a+d.$$

Sprawdzamy łatwo, że

• $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}A+\mathrm{tr}B$,

• $\mathrm{tr}(z\cdot A)=z\mathrm{tr}A$,

• $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$,

• $\mathrm{tr}(A^T)=\mathrm{tr}A$.

• Niech $A\in M_{2\times 2}\left(𝔽\right)$. Mówimy, że macierz $B\in M_{2\times 2}\left(𝔽\right)$ jest podobna do $A$, jeśli istnieje taka macierz odwracalna $S\in M_{2\times 2}\left(𝔽\right)$, że $B=S^{-1}AS$. Wtedy

  $\det B$ $=\det \left(S^{-1}AS\right)$

  $=\underset{=\frac{1}{\det S}}{\underbrace{\det S^{-1}}}\cdot \det A\cdot \det S$

  $=\det A$

  oraz

  $\mathrm{tr}B$ $=\mathrm{tr}\left(S^{-1}AS\right)$

  $=\mathrm{tr}\left(\left(S^{-1}A\right)S\right)$

  $=\mathrm{tr}\left(S\left(S^{-1}A\right)\right)$

  $=\mathrm{tr}\left(\left(S{S}^{-1}\right)A\right)$

  $=\mathrm{tr}A.$

Przykład 2.28 (Macierze o śladzie równym $\mathrm{0}$).

Definiujemy zbiór

$$T_0(𝔽)=\{A\in M_{2\times 2}(𝔽):\mathrm{tr}A=0\}.$$

Jest to grupa abelowa z działaniem dodawania macierzy.

Przykład 2.29 (Macierze hamiltonowskie).

Rozważmy zbiór

$$H_2=\{A\in M_{2\times 2}(ℝ):{(JA)}^T=JA\}.$$

Ponieważ $J^T=-J$ więc ${(JA)}^T=JA$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$$JA+A^{T}J=0.$$

Takie macierze są nazywane macierzami hamiltonowskimi. Pełnią one ważną rolę w teorii równań różniczkowych i mechanice klasycznej. Uzasadnimy, że $H_2$ jest grupą z dodawaniem macierzy. Zamiast sprawdzać warunki z definicji grupy zauważmy, że

Oznacza to, że $H_2=T_0(ℝ)$, czyli jest grupą.

Przykład 2.30 (Macierze unitarne).

Dla macierzy zespolonej definiujemy

Sprawdzamy łatwo, że

• $A^{*}={(\overline{A})}^T$,

• $\det A^{*}=\overline{\det A}$,

• ${(A^{*})}^{*}=A,{(zA+B)}^{*}=\overline{z}{A}^{*}+B^{*}$,

• ${(AB)}^{*}=B^{*}{A}^{*}$,

• $\det A^{*}=\overline{\text{det}A}$.

Rozważmy zbiór macierzy unitarnych

$$U(2):=\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):A^{*}A=I\}.$$

Warunek $A^{*}A=I$ oznacza, że $A^{*}=A^{-1}$ oraz $|\det A|=1$. $U(2)$ stanowi grupę z mnożeniem macierzy.

Jeśli $\det A=1$, to

Z równości $A^{*}=A^{-1}$ otrzymujemy, że

$$z_1={\overline{w}}_2,z_2=-{\overline{w}}_1.$$

Macierz $A$ ma więc w tym przypadku postać

dla pewnych takich liczb zespolonych $z,w\in ℂ$, że

$${|z|}^2+{|w|}^2=\det A=1.$$

Grupa

$$SU(2)=\{A\in U(2):\det A=1\}$$

składa się więc z macierzy postaci

Przykład 2.31 (Macierze hermitowskie).

Zbiór zespolonych macierzy hermitowskich

$${\mathrm{Herm}}_2(ℂ)=\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):A=A^{*}\}$$

jest grupą z działaniem dodawania macierzy. Przyglądniemy się jej bliżej. Niech . Ponieważ

więc

$$z_1={\overline{z}}_1,w_2={\overline{w}}_2,w_1={\overline{z}}_2.$$

Wynika stąd, że $A\in {\mathrm{Herm}}_2(ℂ)$ jeśli $A$ ma postać

Przykład 2.32 (Macierze hermitowskie).

Zbiór zespolonych macierzy hermitowskich

$${\mathrm{Herm}}_2(ℂ)=\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):A=A^{*}\}$$

jest grupą z działaniem dodawania macierzy. Przyglądniemy się jej bliżej. Niech . Ponieważ

więc

$$z_1={\overline{z}}_1,w_2={\overline{w}}_2,w_1={\overline{z}}_2.$$

Wynika stąd, że $A\in {\mathrm{Herm}}_2(ℂ)$ jeśli $A$ ma postać

2.5 Pewne ważne macierze

Rozważymy pewne specjalne macierze, które będą pojawiały się w dalszym ciągu wykładu. Zaczniemy od pewnego ogólnego rezultatu zwanego Twierdzeniem Cayleya–Hamiltona.

Lemat 2.2 (Twierdzenie Cayleya–Hamiltona).

Dla macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ zachodzi równość

Dowód.

Zastosujemy brutalną siłę, czyli bezpośredni rachunek. Niech Mamy

$A^2-(a+d)\cdot A+(ad-bc)\cdot I$ $=(A-a\cdot I)(A-d\cdot I)-(bc)\cdot I$

∎

• Twierdzenie Cayleya–Hamiltona pozwala wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy nieosobliwej $A$. Mnożąc równość $A^2-\mathrm{tr}\left(A\right)A+\det \left(A\right)I=0$ przez $A^{-1}$ otrzymujemy, że

  $$A^{-1}=\frac{1}{\det \left(A\right)}\left(\mathrm{tr}\left(A\right)\cdot I-A\right)$$

  Ponadto, $\mathrm{tr}\left(A^2\right)={\left(\mathrm{tr}\left(A\right)\right)}^2-2\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(A\right)$.

• Wzory Viete’a

  Dla macierzy $A\in M_{2\times 2}\left(ℂ\right)$ rozważmy równanie kwadratowe

  $$p_A\left(z\right)=z^2-\mathrm{tr}\left(A\right)z+\det \left(A\right)=0.$$

  Ma ono dwa pierwiastki zespolone ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℂ$, czyli

  $z^2-\mathrm{tr}\left(A\right)z+\det \left(A\right)$ $=\left(z-{\lambda }_1\right)\left(z-{\lambda }_2\right)$

  $=z^2-\left({\lambda }_1+{\lambda }_2\right)z+{\lambda }_1{\lambda }_2.$

  Wynika stąd, że

  $$\mathrm{tr}\left(A\right)={\lambda }_1+{\lambda }_2,\det \left(A\right)={\lambda }_1{\lambda }_2.$$

  Liczby ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ będziemy nazywać wartościami własnymi macierzy $A$.

  Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona mamy

  czyli

Przykład 2.33.

Niech . Korzystając z Twierdzenia Cayleya–Hamiltona obliczymy $A^5+A^3$. Rozważmy wielomian $w(z)=z^5+z^3$. Dzieląc go przez wielomian charakterystyczny $p_A(z)=z^2-2z+1={(z-1)}^2$ macierzy $A$ otrzymujemy, że

$$w(z)=(z^3+2z^2+4z+6)p_A(z)+(8z-6).$$

Z Twierdzenia Cayleya–Hamiltona mamy

$$A^5+A^3=(A^3+2A^2+4A+6I)\underset{=0}{\underbrace{{(A-I)}^2}}+(8A-6I)=8A-6I,$$

czyli

Przykład 2.34.

Korzystając z Twierdzenia Cayleya–Hamiltona obliczymy $A^{1000}$, gdzie . Wielomian charakterystyczny $p_A(z)=z^2-3z+2$ ma dwa pierwiastki ${\lambda }_1=1$ i ${\lambda }_2=2$. Dzieląc wielomian $w(z)=z^{1000}$ przez $p_A$ otrzymujemy, że

$$w(z)=q(z)p_A(z)+r(z),$$

gdzie $r(z)=r_{1}z+r_0$ jest resztą z dzielenia. Współczynniki $r_1$ i $r_0$ możemy wyznaczyć podstawiając ${\lambda }_1$ i ${\lambda }_2$ za $z$. Otrzymujemy, że

$$r_1+r_0={\lambda }_1^{1000}=1,2r_1+r_0={\lambda }_2^{1000}=2^{1000}.$$

Rozwiązaniem układu są

$$r_1=2^{1000}-1,r_0=2-2^{1000}.$$

Z Twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że

$A^{1000}$ $=r(A)$

Przykład 2.35 (Wartości własne macierzy symetrycznych i hermitowskich).

Jeśli jest macierzą symetryczną, to $A$ ma rzeczywiste wartości własne. Rzeczywiście, dla równania

$$z^2-(a+d)z+ad-b^2=0$$

mamy

${(a+d)}^2-4(ad-b^2)$ $=a^2+2ad+d^2-4ad+4b^2$

$={(a-d)}^2+4b^2$

$\ge 0.$

Również, jeśli

jest macierzą hermitowską, to $A$ ma rzeczywiste wartości własne. Dla równania

$$0=z^2-(a+d)z+ad-c\overline{c}=z^2-(a+d)z+ad-{|c|}^2$$

mamy

${(a+d)}^2-4(ad-{|c|}^2)$ $=a^2+2ad+d^2-4ad+4{|c|}^2$

$={(a-d)}^2+4{|c|}^2$

$\ge 0.$

• Twierdzenie Cayleya–Hamiltona pozwala łatwo obliczać potęgi macierzy $A$. Rozważmy macierz . Wtedy $A^2-5A-2I=0$. Powiedzmy, że chcemy znaleźć $A^4$. Mamy

  $A^3$ $=A\underset{=A^2}{\underbrace{\left(5A+2I\right)}}$

  $=5A^2+2A$

  $=5\left(5A+2I\right)+2A$

  $=27A+10I$

  oraz

  $A^4$ $=A^{3}A$

  $=\left(27A+10I\right)A$

  $=27A^2+10A$

  $=27\left(5A+2I\right)+10A$

  $=145A+54I.$

  Analogicznie pokazuje się, że $A^n=a\cdot A+b\cdot I$ dla pewnych $a,b\in 𝔽$

Przykład 2.36 (Macierz nilpotentna).

Powiemy, że macierz $A\in M_{2\times 2}(ℂ)$ jest nilpotentna, jeśli $A^n=0$ dla pewnego $n\in \mathbb{N}$. Pokażemy najpierw, że $A^2=0$. Możemy założyć, że $n\ge 2$, bo $A=0$ dla $n=1$. Zauważmy, że

$$0=\det A^n={(\det A)}^n,$$

czyli $\det A=0$. Niech . Wtedy

Ponieważ, $\det A=ad-bc$, więc

Stąd

$$0=A^n={(\mathrm{tr}(A))}^{n-1}A,$$

czyli $\mathrm{tr}A=a+d=0$. Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że

$$A^2=0.$$

Warunek ten oznacza, że

$$a^2+bc=b(a+d)=c(a+d)=bc+d^2=0.$$

Wiemy, że $a+d=0$, czyli $a=-d$. Przyglądnijmy się równaniu $a^2+bc=0$. Mamy dwa przypadki ze względu na $c$:

• jeśli $c=0$, to $a=0$ i dla $b\in ℂ$.

• jeśli $c\ne 0$, to $b=-\frac{a^2}{c}$ oraz

Przykład 2.37 (Inwolucja).

Powiemy, że $A\in M_{2\times 2}(ℂ)$ jest inwolucją, jeśli $A^2=I$. Wynika stąd, że ${(\det A)}^2=1$, czyli $\det A=\pm 1$. Ponadto, $A^{-1}=A$. Ze wzoru na $A^{-1}$ mamy, że

Jeśli $\det A=1$, to $a=d$ oraz $b=c=0$. Ponadto, $1=ad-bc=a^2$ czyli $a=\pm 1$. Stąd, $A=I$ lub $A=-I$.

Jeśli $\det A=-1$, to $a=-d$ i $-1=ad-bc=-a^2-bc$, czyli $a^2+bc=1$. Mamy dwa przypadki względem $b$:

• jeśli $b=0$, to $a=\pm 1$ i $c$ jest dowolne; wtedy

• jeśli $b\ne 0$, to $c=\frac{1-a^2}{b}$ oraz

Przykład 2.38 (Macierz idempotentna).

Macierz $A\in M_{2\times 2}(ℂ)$ nazywamy idempotentną, jeśli $A^2=A$. Ponieważ ${(\det A)}^2=\det A$, więc $\det A=1$ lub $\det A=0$. Jeśli , to $A^2=A$ oznacza, że

$$a^2+bc=a,b(a+d-1)=c(a+d-1)=(a-d)(a+d-1)=0.$$

Jeśli $a+d-1\ne 0$, to $b=c=0$, $a=d$ i $a^2=a$. Wtedy $A=0$ lub $A=I$.

Jeśli $a+d-1=0$, to warunki redukują się do $a^2+bc=a$.

Mamy dwa przypadki względem $b$:

• jeśli $b\ne 0$, to $c=\frac{a^2-a}{b}$ oraz

• jeśli $b=0$, to albo $a=0$ albo $a=1$ i wtedy

Przykład 2.39 (Macierz Grama).

Dla macierzy rzeczywistej jej macierz Grama jest zdefiniowana jako $A^{T}A$. Stąd

Zauważmy, że

• $A^{T}A$ jest symetryczna,

• $A^{T}A$ ma rzeczywiste wartości własne,

• $\mathrm{tr}{A}^{T}A=a^2+b^2+c^2+d^2$,

• $\mathrm{tr}{A}^{T}A=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A=0$.

Przyglądnijmy się wyznacznikowi macierzy $A^{T}A$. Mamy

$\det A^{T}A$ $=\det A^T\cdot \det A$

$={(\det A)}^2\ge 0.$

Przykład 2.40 (Rzeczywista macierz normalna).

Rozważmy taką macierz rzeczywistą , że

$$A^{T}A=A{A}^T.$$

Nazywamy ją macierzą normalną. Oznacza to, że

czyli

$$c^2=b^2,ab+cd=ac+bd.$$

Mamy dwie możliwości:

• jeśli $c=b$, to $A$ jest symetryczna,

• jeśli $b=-c$, to $c(d-a)=c(a-d)$; wtedy albo $c=0$ i $A$ jest symetryczna albo $c\ne 0$ i wtedy $a=d$ oraz $A$ ma postać

Rozdział 3 Przestrzeń wektorowa

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU przestrzenie wektorowe ${ℝ}^n$ i ${ℂ}^n$ $\mathrm{◇}$ przestrzeń wektorowa ${𝔽}^n$ $\mathrm{◇}$ kombinacja liniowa $\mathrm{◇}$ liniowa niezależność $\mathrm{◇}$ baza $\mathrm{◇}$ baza standardowa ${𝔽}^n$ $\mathrm{◇}$ iloczyn skalarny w ${ℝ}^n$ $\mathrm{◇}$ norma w ${ℝ}^n$ $\mathrm{◇}$ nierówność Cauchy’ego–Schwarza $\mathrm{◇}$ wektory ortogonalne $\mathrm{◇}$ proste i płaszczyzny w ${ℝ}^3$ $\mathrm{◇}$ iloczyn hermitowski

3.1 Płaszczyzna ${ℝ}^2$ jako przestrzeń wektorowa

Punkt na płaszczyźnie ${ℝ}^2$ utożsamiamy z jego współrzędnymi kartezjańskimi $(x_1,x_2)$, czyli liczbą zespoloną $z=x_1+i{x}_2$. Wprowadzimy teraz w zbiorze ${ℝ}^2$ pewną nową strukturę algebraiczną, strukturę przestrzeni wektorowej. Geometrycznie punkt $P=(x_1,x_2)$ na płaszczyźnie będziemy interpretowali jako wektor będący strzałką o początku w punkcie $0=(0,0)$ i o końcu w punkcie $P$. W tej interpretacji będzie dla nas wygodne zastosowanie nieco innej konwencji zapisu współrzędnych punktu. Zamiast pisać $(x_1,x_2)$ będziemy stosować zapis kolumnowy $\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \end{array}\right]$, czyli pierwsza współrzędna nad drugą. Dla oszczędności papieru wprowadzamy oznaczenie

$${[x_1,x_2]}^T:=\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \end{array}\right].$$

Napis $(x_1,x_2)$ oznacza, że mamy na myśli liczbę zespoloną, a napis sugeruje ${[x_1,x_2]}^T$, że myślimy o wektorze na płaszczyźnie.

Definicja 3.1.

Płaszczyzna ${\mathrm{R}}^{\mathrm{2}}$

Płaszczyzną rzeczywistą nazywamy zbiór

$${ℝ}^2:=\{{[x_1,x_2]}^T:x_1,x_2\in ℝ\}.$$

Jego elementy będziemy nazywać wektorami.

Zbiór ${ℝ}^2$ możemy łatwo wyposażyć w dodatkową strukturę algebraiczną. Wektory będziemy dodawać i mnożyć je przez liczbę rzeczywistą.

Definicja 3.2.

Dodawanie wektorów i mnożenie ich przez skalar

Niech $x={[x_1,x_2]}^T,y={[y_1,y_2]}^T\in {ℝ}^2$. Definiujemy ich sumę przez

$$x+y={[x_1,x_2]}^T+{[y_1,y_2]}^T={[x_1+y_1,x_2+y_2]}^T.$$

W zapisie kolumnowym mamy

$$\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\hfill y_1\hfill \\ \hfill y_2\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hfill x_1+y_1\hfill \\ \hfill x_2+y_2\hfill \end{array}\right]$$

Powyższy wzór określa dodawanie $+:{ℝ}^2\times {ℝ}^2⟶{ℝ}^2$ punktów (wektorów) na płaszczyźnie. Przypisuje ono dwóm punktom płaszczyzny pewien punkt na płaszczyźnie.

Niech $a\in ℝ$ i $x={[x_1,x_2]}^T\in {ℝ}^2$. Definiujemy mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą $a$ wzorem

$$a\cdot {[x_1,x_2]}^T={[a\cdot x_1,a\cdot x_2]}^T.$$

Równoważnie,

$$a\cdot \left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hfill a\cdot x_1\hfill \\ \hfill a\cdot x_2\hfill \end{array}\right]$$

Zdefiniowane powyżej mnożenie definiuje odwzorowanie $\cdot :ℝ\times {ℝ}^2\to {ℝ}^2$. Przypisuje ono liczbie rzeczywistej i punktowi na płaszczyźnie pewien punkt na płaszczyźnie.

Rysunek 3.1: Dodawanie wektorów i mnożenie ich przez liczbę rzeczywistą. Suma wektorów $u+v$ jest przekątną równoległoboku $R$ rozpiętego na wektorach $u$ i $v$. Różnicę wektorów $u-v$ otrzymujemy dodając do wektora $u$ wektor $v$ pomnożony przez liczbę $-1$ tzn. $u-v=u+(-1)v$. Długość wektora $u-v$ jest równa długości drugiej przekątnej równoległoboku $R$. Mnożąc niezerowy wektor $v$ przez wszystkie liczby rzeczywiste otrzymujemy prostą na płaszczyźnie. Dokładniej, zbiór $\{t\cdot v:t\in ℝ\}$ jest prostą przechodzącą przez $0$ i równoległą do wektora $v$.

3.2 Definicja przestrzeni wektorowej

Naturalne jest pytanie: dlaczego mielibyśmy się ograniczać wyłącznie do płaszczyzny ${ℝ}^2$? Przecież podobną konstrukcję możemy powtórzyć w przestrzeni ${ℝ}^3$, gdzie położenie punktu jest opisane trzema współrzędnymi w miejsce dwóch. A może rozważyć pięć współrzędnych? Lepiej zróbmy to od razu ogólnie dla dowolnej liczby naturalnej $n$.

Definicja 3.3.

Przestrzeń wektorowa ${\mathrm{R}}^n$Niech $n\in \mathbb{N}$. Definiujemy zbiór

$${ℝ}^n:=\{{[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T:x_1,\mathrm{\dots },x_n\in ℝ\},$$

gdzie

$${[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T=\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill x_n\hfill \end{array}\right].$$

Analogicznie do płaszczyzny ${ℝ}^2$ definiujemy działanie dodawania wektorów $+:{ℝ}^n\times {ℝ}^n⟶{ℝ}^n$ oraz ich mnożenie przez liczbę rzeczywistą $\cdot :ℝ\times {ℝ}^n⟶{ℝ}^n$ wzorami

$x+y={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T+{[y_1,\mathrm{\dots },y_n]}^T={[x_1+y_1,\mathrm{\dots },x_n+y_n]}^T$

$t\cdot {[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T={[t\cdot x_1,\mathrm{\dots },t\cdot x_n]}^T,t\in ℝ$

• Początek układu współrzędnych, czyli wektor zerowy ${[0,\mathrm{\dots },0]}^T$ będziemy oznaczać przez $0$. Zazwyczaj nie prowadzi to do nieporozumień – z kontekstu wynika czy $0$ oznacza zero jako liczbę rzeczywistą czy raczej wektor zerowy w ${ℝ}^n$.

${ℝ}^n$ - AKSJOMATY PRZESTRZENI WEKTOROWEJ

Dowód.

Dowód jest bardzo prosty. Jak się dobrze przyglądniemy to zauważymy, że wszystkie własności (1)-(8) wynikają bezpośrednio z własności działań w zbiorze liczb rzeczywistych. Wystarczy je zastosować do każdej współrzędnej z osobna. ∎

Początki teorii przestrzeni wektorowych związane są z Williamem Rowanem Hamiltonem (1805–1865) oraz Hermannem Guntherem Grassmannem (1809–1877)

Mamy więc do czynienia z pewnym zbiorem $V(={ℝ}^n)$ i dwoma działaniami

$$+:V\times V⟶V,\cdot :ℝ\times V⟶V$$

spełniającymi warunki (1)-(8).

Definicja 3.4.

Przestrzeń wektorowa nad ciałem $\mathrm{R}$

Rozważmy trójkę $(V,+,\cdot )$ z opisanymi powyżej działaniami

$$+:V\times V⟶V,\cdot :ℝ\times V⟶V.$$

Powiemy, że $(V,+,\cdot )$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $ℝ$, (bo mnożymy elementy zbiory $V$ przez liczby rzeczywiste) jeśli zachodzą powyższe warunki (1)-(8).

• Z powyższych rozważań wynika, że $({ℝ}^n,+,\cdot )$ jest przykładem przestrzeni wektorowej nad ciałem $ℝ$. Możecie zapytać po co nam jakieś przestrzenie wektorowe. Przecież mamy już wektory w ${ℝ}^n$, które dodajemy i mnożymy przez liczbę rzeczywistą. Czy to nie wystarczy? Otóż nie. Popatrzcie na funkcję $x^2+\sin \left(x\right)$ (przepraszam ortodoksyjnych matematyków za ten zapis funkcji bez podania dziedziny i przeciwdziedziny). Przecież to też jest suma pewnych obiektów (w tym wypadku funkcji), tylko teraz dodajemy funkcje zamiast liczb lub wektorów z ${ℝ}^n$. Funkcje, podobnie jak wektory możemy mnożyć przez liczby. Pewnie zetknęliście się z funkcjami typu $3x^4$ lub $-2\cos \left(x\right)$.

Przykład 3.1 (Przestrzeń $F\mathbf{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{,}\mathrm{R}\mathrm{)}$ funkcji $f\mathrm{:}\mathrm{R}\mathrm{\to }\mathrm{R}$).

Niech $F(ℝ,ℝ)$ będzie zbiorem wszystkich funkcji $f:ℝ⟶ℝ$. W zbiorze $F(ℝ,ℝ)$ mamy naturalne dodawanie $+:F(ℝ,ℝ)\times F(ℝ,ℝ)⟶F(ℝ,ℝ)$ dane wzorem

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x),$$

oraz mnożenie przez skalar $\cdot :ℝ\times F(ℝ,ℝ)⟶F(ℝ,ℝ)$ zdefiniowane formułą

$$(a\cdot f)(x)=a\cdot f(x).$$

Trójka $(F(ℝ,ℝ),+,\cdot )$ spełnia warunki (1)-(8), więc jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.

Przykład 3.2 (Przestrzeń wielomianów).

Niech $P$ będzie zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Z naturalnymi działaniami dodawania $+$ i mnożenia przez liczbą $\cdot$, trójka $(P,+,\cdot )$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.

• Jak pewnie zauważyliście, przez cały czas podkreślam, że rozważane dotąd przestrzenie wektorowe $V$ są przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $ℝ$. Może moglibyśmy rozważać przestrzenie wektorowe nad innymi ciałami? Poniższy przykład pokazuje, że możemy to robić. Co więcej jest to bardzo naturalne, a naturalne konstrukcje bardzo w matematyce lubimy.

Przykład 3.3 (Przestrzeń wektorowa ${\mathrm{C}}^n$).

Przez analogię do zbioru ${ℝ}^n$ możemy zdefiniować zbiór ${ℂ}^n$ jako

$${ℂ}^n:=\{{[z_1,\mathrm{\dots },z_n]}^T:z_1,\mathrm{\dots },z_n\in ℂ\},$$

gdzie

$${[z_1,\mathrm{\dots },z_n]}^T=\left[\begin{array}{c}\hfill z_1\hfill \\ \hfill z_2\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill z_n\hfill \end{array}\right].$$

W zbiorze ${ℂ}^n$ mamy naturalnie zdefiniowane działanie dodawania

$$+:{ℂ}^n\times {ℂ}^n⟶{ℂ}^n$$

oraz ich mnożenie przez liczbę zespoloną

$$\cdot :ℂ\times {ℂ}^n⟶{ℂ}^n.$$

Są one dane wzorami

$z+w={[z_1,\mathrm{\dots },z_n]}^T+{[w_1,\mathrm{\dots },w_n]}^T={[z_1+w_1,\mathrm{\dots },z_n+w_n]}^T,$

$t\cdot {[z_1,\mathrm{\dots },z_n]}^T={[t\cdot z_1,\mathrm{\dots },t\cdot z_n]}^T,t\in ℂ.$

Łatwo sprawdzamy, że tak określona trójka $({ℂ}^n,+,\cdot )$ spełnia warunki (1)-(8). Jedyna różnica polega na tym, że wektory (elementy zbioru ${ℂ}^n$) mnożymy teraz przez liczby zespolone, a nie liczby rzeczywiste. Możemy, więc stwierdzić, że $({ℂ}^n,+,\cdot )$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb zespolonych. Możecie powiedzieć, że przecież to nie koniec. Taką samą konstrukcje możemy przeprowadzić rozważając zbiór ${\mathbb{Q}}^n$ i jego elementy mnożyć przez liczby wymierne. Otrzymamy przestrzeń wektorową nad ciałem liczb wymiernych $\mathbb{Q}$. Prowadzi nas to do ogólnej definicji przestrzeni wektorowej nad dowolnym ciałem $𝔽$.

Definicja 3.5 (Przestrzeń wektorowa nad ciałem $\mathrm{F}$).

Niech $V$ będzie zbiorem i niech $𝔽$ będzie ciałem. Załóżmy, że określone są działania: $+:V\times V⟶V$ (dodawanie wektorów) oraz $\cdot :𝔽\times V⟶V$ (mnożenie przez skalar). Powiemy, że trójka $(V,+,\cdot )$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$, jeśli dla dowolnych wektorów $x,y,z\in V$ oraz skalarów $a,b\in 𝔽$ zachodzą warunki:

• $(x+y)+z=x+(y+z)$

• $x+y=y+x$

• istnieje taki wektor $0\in V$, że $x+0=x$

• istnieje taki wektor $x^{\prime }$, że $x+x^{\prime }=0$

• $a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y$

• $(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x$

• $(a\cdot b)\cdot x=a\cdot (b\cdot x)$

• $1\cdot x=x$.

Zauważmy, że pierwsze cztery warunki dotyczą wyłącznie dodawania wektorów i oznaczają, że $(V,+)$ jest grupą abelową W dalszym ciągu napis $V\in Vek{t}_{𝔽}$ będzie oznaczał, że $V$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$.

• Wektor zerowy $0\in V$ jest wyznaczony jednoznacznie. Jeśli $0_1,0_2\in V$ spełniają warunek (3), to $0_1=0_1+0_2=0_2$.

• Rozważmy przestrzeń wektorową $V\in Vek{t}_{𝔽}$ nad ciałem $𝔽$. Uzasadnimy, że dla $v\in V$ oraz $0\in 𝔽$ (elementu neutralnego dodawania w ciele $𝔽$) zachodzi równość

  $$0\cdot v=0\in V.$$

  Możecie powiedzieć, że to przesada aby uzasadnić takie rzeczy. Przecież $0\in 𝔽$ pomnożone przez ,,cokolwiek’’ daje $0$. Tak jest, gdy ,,cokolwiek’’ jest elementem ciała $𝔽$. W naszym przypadku $0\cdot v$ oznacza, że mnożymy $0\in 𝔽$ przez wektor $v\in V$, natomiast $0$ po prawej stronie jest wektorem, a nie elementem ciała $𝔽$.

  Z własności (6) i definicji $0$ jako elementu neutralnego dla dodawania w ciele $𝔽$ wynika, że

  $0\cdot v$ $=\left(0+0\right)\cdot v$

  $=0\cdot v+0\cdot v,$

  więc $0\cdot v=0$.

• Niech $x\in V$. Wektor $x^{\prime }$ spełniający warunek $x+x^{\prime }=0$ jest wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywiście, jeśli $x+x^{\prime }=0=x+x^{\mathrm{\prime \prime }}$, to

  $x^{\prime }$ $=x^{\prime }+0$

  $=x^{\prime }+\left(x+x^{\mathrm{\prime \prime }}\right)$

  $=\left(x^{\prime }+x\right)+x^{\mathrm{\prime \prime }}$

  $=0+x^{\mathrm{\prime \prime }}$

  $=x^{\mathrm{\prime \prime }}$

  Wektor $x^{\prime }$ nazywamy wektorem przeciwnym do $x$ i oznaczamy przez $-x$. Uzasadnimy, że $-x=\left(-1\right)\cdot x$.

  $x+\left(-1\right)\cdot x$ $=\left(1+\left(-1\right)\right)\cdot x$

  $=0\cdot x$

  $=0,$

  czyli $x^{\prime }=-x=\left(-1\right)\cdot x$.

  Analogicznie pokazujemy, że
  $a\cdot 0=0$ oraz $-a\cdot v=\left(-a\right)\cdot v$

Przykład 3.4 (Przestrzeń wektorowa $\mathrm{(}{\mathrm{F}}^n\mathrm{,}\mathrm{+}\mathrm{,}\mathrm{\cdot }\mathrm{)}$).

Jeśli $𝔽$ jest dowolnym ciałem, to naturalnie określona trójka $({𝔽}^n,+,\cdot )$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. W szczególności, $(𝔽,+,\cdot )$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$.

Przykład 3.5 (O co chodzi z tymi ciałami?).

Rozważmy ponownie przestrzeń wektorową $({ℂ}^n,+,\cdot )$. Mnożenie $\cdot$ jest mnożeniem wektora przez liczbę zespoloną. Oznaczmy je chwilowo przez ${\cdot }_{ℂ}$. Zauważmy, że w zbiorze ${ℂ}^n$ mamy też dobrze określone mnożenie ${\cdot }_{ℝ}$ przez liczbę rzeczywistą. Trójki $({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℂ})$ oraz $({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℝ})$ są różnymi obiektami matematycznymi. $({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℂ})$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $ℂ$, a $({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℝ})$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $ℝ$. Co za różnica? Otóż zasadnicza. Pierwsze dwa elementy trójek są identyczne tzn. zbiór ${ℂ}^n$ i określone w nim działanie dodawania wektorów $+$. Aby dostrzec różnicę rozważmy wektor $v={[1+2i,1+2i]}^T\in {ℂ}^2$. Zauważmy, że w przestrzeni $({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℂ})$ nad ciałem $ℂ$ zachodzi równość

$$\left[\begin{array}{c}\hfill 1+2i\hfill \\ \hfill 1+2i\hfill \end{array}\right]=(1+2i)\cdot \left[\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right].$$

W przestrzeni $({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℝ})$ nad ciałem $ℝ$ taka równość nie zachodzi. Co więcej, napis

$$(1+2i)\cdot \left[\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right]$$

nie ma sensu w tej przestrzeni, bo dopuszczamy tylko mnożenie wektorów z ${ℂ}^2$ przez liczby rzeczywiste.

Przykład 3.6.

Rozważmy przestrzeń wektorową

$${\mathbb{Z}}_3^5={\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3$$

oraz wektory

$$u={[2,2,0,1,2]}^T,v={[1,2,2,2,1]}^T.$$

Wtedy

$$u+v={[0,1,2,0,0]}^T,2\cdot u={[1,1,0,2,1]}^T.$$

• Uważny czytelnik zauważył z pewnością, że działania w przestrzeni funkcyjnej $F(ℝ,ℝ)$ są zdefiniowane dzięki temu, że potrafimy dodawać wartości dwóch funkcji z $F(ℝ,ℝ)$ oraz mnożyć wartości funkcji z $F(ℝ,ℝ)$. Jest to możliwe, bo przeciwdziedzina funkcji z $F(ℝ,ℝ)$, czyli $ℝ$ jest ciałem. Nie jest natomiast ważne, że ich dziedzina $ℝ$ ma strukturę ciała. Możemy więc rozważać bardziej ogólne funkcyjne przestrzenie wektorowe. Dokładniej, jeśli $X$ jest dowolnym niepustym zbiorem i $𝔽$ jest ciałem, to zbiór

  $$F(X,𝔽)$$

  wszystkich funkcji $f:X⟶𝔽$ jest przestrzenią wektorową z działaniami

  $$\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right),\left(a\cdot f\right)\left(x\right)=a\cdot f\left(x\right),a\in 𝔽.$$

  Przykładowo, $F([-1,1],ℝ)$ jest rzeczywistą przestrzenią wektorową. Zwróćcie uwagę, że powyżej zdefiniowane działania, nie są działaniami wewnętrznymi w zbiorze $F(ℝ,[-1,1])$, bo $\sin ,\cos \in F(ℝ,[-1,1])$, ale $\sin +\cos \notin F(ℝ,[-1,1])$ oraz $2\sin \notin F(ℝ,[-1,1])$.

Niech $𝔽$ będzie ciałem. W przestrzeni wektorowej $({𝔽}^n,+,\cdot )$ wyróżniamy $n$ wektorów danych przez

$e_1={[1,0,\mathrm{\dots },0]}^T,e_2={[0,1,\mathrm{\dots },0]}^T,\mathrm{\dots },e_n={[0,\mathrm{\dots },0,1]}^T$

Zauważmy, że każdy wektor $v={[v_1,\mathrm{\dots },v_n]}^T\in {𝔽}^n$ możemy zapisać jako

${[v_1,\mathrm{\dots },v_n]}^T$ $={[v_1,\mathrm{\dots },0]}^T+\mathrm{\dots }+{[0,\mathrm{\dots },v_n]}^T$

$=v_1\cdot {[1,\mathrm{\dots },0]}^T+\mathrm{\dots }+v_n\cdot {[0,\mathrm{\dots },1]}^T$

$=v_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+v_n\cdot e_n.$

Oznacza to, że zachodzi równość

$$v=v_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+v_n\cdot e_n,v_i\in 𝔽.$$

Mówimy wtedy, że wektor $v$ jest kombinacją liniową wektorów $e_1,\mathrm{\dots },e_n$. Zdefiniujemy to pojęcie bardziej ogólnie, co przyda nam się w przyszłości.

Definicja 3.6.

Kombinacja liniowa wektorów

Niech $(V,+.\cdot )$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. Dla wektorów $v_1,\mathrm{\dots },v_k\in V$ oraz skalarów $a_1,\mathrm{\dots },a_k\in 𝔽$, wektor

$a_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+a_k\cdot v_k\in V$

nazywamy kombinacją liniową wektorów $v_1,\mathrm{\dots },v_k\in V$.

Przykład 3.7.

Niech $(V,+,\cdot )$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. Ustalmy wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_k\in V$ i rozważmy zbiór

$$\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_k\}=\{a_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+a_k\cdot v_k:a_1,\mathrm{\dots },a_k\in 𝔽\}$$

wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów $v_1,\mathrm{\dots },v_k$. Działania $+$ oraz $\cdot$ są działaniami wewnętrznymi w zbiorze $\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_k\}$ oraz $(\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_k\},+,\cdot )$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$.

Załóżmy, że $V={ℝ}^2$. Mamy

• $\mathrm{span}\{0\}=\{0\}$,

• jeśli $0\ne v\in {ℝ}^2$, to $\mathrm{span}\{v\}=\{a\cdot v:a\in ℝ\}$ jest prostą przechodzącą przez $0$ i równoległą do wektora $v$.

Lemat 3.2.

Rozważmy przestrzeń wektorową $\mathrm{(}{\mathrm{F}}^n\mathrm{,}\mathrm{+}\mathrm{,}\mathrm{\cdot }\mathrm{)}$. Wtedy każdy wektor $v\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^n$ można jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej

$$v=v_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+v_n\cdot e_n,v_i\in 𝔽.$$

Dowód.

Wiemy już, że dla dowolnego wektora $v\in {𝔽}^n$ istnieją takie skalary $v_1,\mathrm{\dots },v_n\in 𝔽$, że $v=v_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+v_n\cdot e_n$. Pokażemy, że takie przedstawienie wektora $v$ w postaci kombinacji liniowej wektorów $e_1,\mathrm{\dots },e_n$ jest wyznaczone jednoznacznie. Przypuśćmy, że

$$v=v_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+v_n\cdot e_n=x_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot e_n.$$

Wtedy

$0={[0,\mathrm{\dots },0]}^T$ $=v+(-1)\cdot v$

$=(v_1-x_1)\cdot e_1+\mathrm{\dots }+(v_n-x_n)\cdot e_n$

$={[v_1-x_1,\mathrm{\dots },v_n-x_n]}^T,$

czyli $v_1=x_1,\mathrm{\dots },v_n=x_n$. ∎

Rysunek 3.2: Przykładowa kombinacja liniowa wektorów ${[2,1]}^T$ i ${[-1,1]}^T$.

Definicja 3.7.

Baza standardowa ${\mathrm{F}}^n$

Wektory $e_1,\mathrm{\dots },e_n$ nazywamy bazą standardową przestrzeni ${𝔽}^n$.

• Zauważmy, że jednoznaczność przedstawienia wektora $v$ jako kombinacji liniowej wektorów $e_1,\mathrm{\dots },e_n$ wynika z prawdziwości następującej implikacji:

  $$x_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot e_n=0\mathit{\hspace{1em}}\Rightarrow \mathit{\hspace{1em}}{x}_1=\mathrm{\dots }=x_n=0.$$

  Jest to więc ważna własność wektorów $e_1,\mathrm{\dots },e_n$. Warto więc ją jakoś nazwać i zbadać.

Definicja 3.8.

Liniowa niezależność

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. Wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_k\in V$ nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli dla $x_1,\mathrm{\dots },x_k\in 𝔽$ zachodzi implikacja

$$x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_k\cdot v_k=0\mathit{\hspace{1em}}\Rightarrow \mathit{\hspace{1em}}{x}_1=\mathrm{\dots }=x_k=0.$$

Przykład 3.8.

Niech $v,w\in {ℝ}^2$. Przypuśćmy, że wektory $v,w$ są liniowo zależne. Wtedy istnieją takie liczby rzeczywiste $a,b\in ℝ$, że $a\ne 0$ lub $b\ne 0$ oraz $a\cdot v+b\cdot w=0$. Jeśli $a\ne 0$, to $v=-\frac{b}{a}\cdot w$, czyli wektor $v$ leży na prostej $\{tw:t\in ℝ\}$.

Przykład 3.9.

Wektory

$$v_1={[1,1,0]}^T,v_2={[1,0,1]}^T$$

są liniowo niezależne w $𝔽$. Przypuśćmy bowiem, że $x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2=0$ dla pewnych $x_1,x_2\in 𝔽$. Ponieważ $x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2={[x_1+x_2,x_1,x_2]}^T$, więc

$$x_1+x_2=0,x_1=0,x_2=0,$$

czyli $v_1$ i $v_2$ są liniowo niezależne.

Definicja 3.9.

Baza przestrzeni wektorowej

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. Wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_k\in v$ nazywamy bazą przestrzeni wektorowej $V$, jeśli dla dowolnego wektora $v\in V$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $x_1,\mathrm{\dots },x_k\in 𝔽$, że

$$v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_k\cdot v_k.$$

Przykład 3.10.

Podmieńmy wektor $e_3={[0,0,1]}^T$ w bazie dla ${𝔽}^3$ przez wektor $u={[0,1,1]}^T$. Pokażemy, że wektory $e_1$, $e_2$, $u$ tworzą bazę ${𝔽}^3$. Rozważmy dowolny wektor ${[a,b,c]}^T\in {𝔽}^3$. Musimy uzasadnić, że istnieją jedyne takie skalary $x_1$, $x_2$, $x_3\in {𝔽}^3$, że $x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2+x_3\cdot u={[a,b,c]}^T$. Zwróćmy uwagę, że

$$x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2+x_3\cdot u={[x_1,x_2+x_3,x_3]}^T.$$

Równość ${[x_1,x_2+x_3,x_3]}^T=x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2+x_3\cdot u={[a,b,c]}^T$ jest więc równoważna z układem równań

$$x_1=a,x_2+x_3=b,x_3=c.$$

Ma on jednoznaczne rozwiązanie

$$x_1=a,x_2=b-c,x_3=c,$$

czyli $e_1$, $e_2$, $u$ są bazą ${𝔽}^3$.

Przykład 3.11.

Wektory $v_1={[1,0,0]}^T$, $v_2={[0,1,1]}^T$ są liniowo niezależne, bo równość

${[0,0,0]}^T$ $=x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2$

$=x_1\cdot {[1,0,0]}^T+x_2\cdot {[0,1,1]}^T$

$={[x_1,x_2,x_2]}^T,$

oznacza, że $x_1=x_2=0$. Nie tworzą one jednak bazy ${𝔽}^3$, bo ich kombinacje liniowe $x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2$ mają postać ${[x_1,x_2,x_2]}^T$, więc przykładowo, wektor ${[1,2,3]}^T$ nie jest kombinacją liniową $v_1$ i $v_2$.

Każdy wektor ${[x_1,x_2,x_3]}^T\in {𝔽}^3$ jest kombinacją liniową wektorów $e_1$, $e_2$, $e_3$, ${[0,1,1]}^T$, bo

$${[x_1,x_2,x_3]}^T=x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2+x_3\cdot e_3+0\cdot {[0,1,1]}^T.$$

Wektory $e_1$, $e_2$, $e_3$, ${[0,1,1]}^T$ nie tworzą jednak bazy ${𝔽}^3$, bo przykładowo

${[0,1,1]}^T$ $=0\cdot e_1+1\cdot e_2+1\cdot e_3+0\cdot {[0,1,1]}^T$

$=0\cdot e_1+0\cdot e_2+0\cdot e_3+1\cdot {[0,1,1]}^T,$

czyli przedstawienie nie jest jednoznaczne. Wynika to z faktu, że wektory $e_1$, $e_2$, $e_3$, ${[0,1,1]}^T$ są liniowo zależne, bo

$$0\cdot e_1+1\cdot e_2+1\cdot e_3-1\cdot u=0.$$

Rysunek 3.3: Baza standardowa $e_1$, $e_2$ na płaszczyźnie. Każdy wektor na płaszczyźnie można jednoznacznie zapisać jako kombinację liniową wektorów $e_1$, $e_2$.

Przykład 3.12 (Przestrzeń wektorowa macierzy $M_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathbf{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$).

Rozważmy zbiór macierzy $M_{2\times 2}(𝔽)$. Jest w nim określone działanie dodawania macierzy

$$+:M_{2\times 2}(𝔽)\times M_{2\times 2}(𝔽)⟶M_{2\times 2}(𝔽)$$

dane wzorem

oraz mnożenie macierzy przez skalar

$$\cdot :𝔽\times M_{2\times 2}(𝔽)⟶M_{2\times 2}(𝔽)$$

zdefiniowane wzorem

Trójka $(M_{2\times 2}(𝔽),+,\cdot )$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. Ponadto, dla mamy

Powyższym przedstawienie jest jednoznacznie wyznaczone przez macierz $A$, czyli macierze

tworzą bazę przestrzeni $M_{2\times 2}(𝔽)$.

3.3 Iloczyn skalarny i norma w ${ℝ}^n$

Wprowadzimy teraz w przestrzeni wektorowej $({ℝ}^n,+,\cdot )$ pewną dodatkową geometryczną strukturę, zadaną przez euklidesowy iloczyn skalarny.

Definicja 3.10.

Euklidesowy iloczyn skalarny w ${\mathrm{R}}^n$

Iloczynem skalarnym wektorów $v={[v_1,v_2]}^T,u={[u_1,u_2]}^T\in {ℝ}^2$ nazywamy liczbę rzeczywistą

$$(v|u):=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2.$$

Analogicznie, iloczyn skalarny wektorów

$$v={[v_1,\mathrm{\dots },v_n]}^T,u={[u_1,\mathrm{\dots },u_n]}^T\in {ℝ}^n$$

definiujemy jako liczbę rzeczywistą

$(v|u):=v_1\cdot u_1+\mathrm{\dots }+v_n\cdot u_n$

• Iloczyn skalarny jest też często oznaczany symbolem . My będziemy używali oznaczenia $\left(v\right|u)$, bo w tej konwencji nierówność $\left(v\right|u)>0$ jest czytelniejsza niż napis .

Iloczyn skalarny jest więc odwzorowaniem

$$(\cdot |\cdot ):{ℝ}^n\times {ℝ}^n\ni (v,u)⟼(v|u)\in ℝ.$$

Przypisuje ono parze wektorów $(v,u)$ liczbę rzeczywistą $(v|u)$.

Lemat 3.3.

Dla dowolnych wektorów $u\mathrm{,}v\mathrm{,}w\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^n$ i skalarów $a\mathrm{,}b\mathrm{\in }\mathrm{R}$ zachodzą następujące własności

• (dwuliniowość)

  $$(a\cdot u+b\cdot v|w)=a(u|w)+b(v|w),$$

  $$(u|a\cdot v+b\cdot w)=a(u|v)+b(u|w).$$

• (symetryczność)

  $(u|v)=(v|u)$

• (dodatnia określoność)

  $(u|u)\ge 0$

  przy czym $(u|u)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $u=0$.

Definicja 3.11.

Norma euklidesowa w ${\mathrm{R}}^n$

Normą (długością) wektora $u={[u_1,\mathrm{\dots },u_n]}^T\in {ℝ}^n$ nazywamy liczbę

$\parallel u\parallel :=\sqrt{(u|u)}=\sqrt{u_1^2+\mathrm{\dots }+u_n^2}\ge 0$

• Zauważmy, że wektor ${[\cos \theta ,\sin \theta ]}^T$ ma normę jeden i każdy wektor o normie jeden można zapisać w tej postaci dla pewnego $\theta$. W szczególności, dowolny wektor $v\in {ℝ}^2$ można zapisać w postaci

  $$v=\parallel v\parallel {[\cos \theta ,\sin \theta ]}^T.$$

Lemat 3.4 (Tożsamość równoległoboku).

Dla dowolnych wektorów $u\mathrm{,}v\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^n$ zachodzi równość

${\parallel u+v\parallel }^2+{\parallel u-v\parallel }^2=2({\parallel u\parallel }^2+{\parallel v\parallel }^2)$

Dowód.

Bezpośredni rachunek pokazuje, że

${\parallel u+v\parallel }^2+{\parallel u-v\parallel }^2$ $=(u+v|u+v)+(u-v|u-v)$

$=(u|u)+(u|v)+(v|u)+(v|v)$

$+(u|u)-(u|v)-(v|u)+(v|v)$

$=2(u|u)+2(v|v)=2(\parallel u{\parallel }^2+\parallel v{\parallel }^2).$

∎

Lemat 3.5 (Wzór polaryzacyjny).

Zachodzi wzór polaryzacyjny

$(u|v)=\frac{1}{4}(\parallel u+v{\parallel }^2-\parallel u-v{\parallel }^2)$.

Dowód.

Mamy

${\parallel u+v\parallel }^2-{\parallel u-v\parallel }^2$ $=(u+v|u+v)-(u-v|u-v)$

$=(u|u)+(u|v)+(v|u)+(v|v)$

$-((u|u)-(u|v)-(v|u)+(v|v))$

$=4(u|v).$

∎

Lemat 3.6.

Niech $u\mathrm{,}v\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^n$ będą wektorami. Wówczas,

$$(u,v)=0\iff {\parallel u-v\parallel }^2={\parallel u\parallel }^2+{\parallel v\parallel }^2.$$

Dowód.

Zauważmy, że

${\parallel u-v\parallel }^2$ $=(u-v|u-v)$

$=\parallel u{\parallel }^2-2(u|v)+\parallel v{\parallel }^2,$

czyli teza zachodzi. ∎

Twierdzenie 3.1 (Nierówność Cauchy’ego–Schwarza).

Dla dowolnych wektorów $u$ i $v\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^n$ zachodzi nierówność

$|(u|v)|\le \parallel u\parallel \parallel v\parallel .$

Dowód.

Możemy założyć że wektory $u$ i $v$ są niezerowe. Dla dowolnego $t\in ℝ$ mamy

$0$ $\le {\parallel u+t\cdot v\parallel }^2$

$=(u+t\cdot v|u+t\cdot v)$

$=\parallel u{\parallel }^2+2t(u|v)+t^2\parallel v{\parallel }^2,$

czyli z własności funkcji kwadratowych wynika, że

$4{((u|v))}^2-4\parallel u{\parallel }^2\parallel v{\parallel }^2\le 0,$

co kończy dowód. ∎

Wniosek 3.1 (Własności normy).

Dla dowolnych $u\mathrm{,}v\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^n$ i $a\mathrm{\in }\mathrm{R}$ mamy

• $\parallel u\parallel \ge 0$ oraz $\parallel u\parallel =0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $u=0$;

• $\parallel a\cdot u\parallel =|a|\cdot \parallel u\parallel$;

• (nierówność trójkąta)

  $\parallel u+v\parallel \le \parallel u\parallel +\parallel v\parallel$

Dowód.

Pierwsza własność wynika bezpośrednio z definicji normy. Dla dowodu drugiej zauważamy, że

${\parallel a\cdot u\parallel }^2$ $=(a\cdot u|a\cdot u)$

$=a^2(u|u)$

$=a^2{\parallel u\parallel }^2.$

Uzasadnimy nierówność trójkąta. Stosując nierówność Cauchy’ego–Schwarza mamy

${\parallel u+v\parallel }^2$ $=\parallel u{\parallel }^2+2(u|v)+\parallel v{\parallel }^2$

$\le {\parallel u\parallel }^2+2\parallel u\parallel \parallel v\parallel +{\parallel v\parallel }^2$

$={(\parallel u\parallel +\parallel v\parallel )}^2,$

co kończy dowód. ∎

Definicja 3.12.

Wektory ortogonalne

Wektory $u,v\in {ℝ}^n$ są ortogonalne (prostopadłe) wtedy i tylko wtedy, gdy

$$(u|v)=0.$$

W szczególności, wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora, więc również do samego siebie.

• Pokażemy, że dla dowolnych wektorów $u,v\in {ℝ}^2$ zachodzi równość

  $$\left(u\right|v)=\parallel u\parallel \parallel v\parallel \cos \mathrm{\angle }(u,v),$$

  gdzie $\mathrm{\angle }(u,v)$ jest kątem między wektorami $u$ i $v$. W szczególności,

  $$\left|\left(u\right|v)\right|\le \parallel u\parallel \parallel v\parallel .$$

  Jeśli któryś z wektorów $u$ lub $v$ jest zerowy to powyższa równość jest prawdziwa. Załóżmy więc, że wektory $u$ i $v$ są niezerowe. Niech wektor $q$ będzie rzutem prostopadłym wektora $u$ na prostą rozpiętą przez wektor $v$. Wtedy $q=c\cdot v$ dla pewnego $c\in ℝ$. Stąd wektor $w=u-c\cdot v$ jest prostopadły do wektora $v$. Gdy kąt $\mathrm{\angle }(u,v)$ jest ostry, to $c\ge 0$ oraz

  $$\cos \mathrm{\angle }(u,v)=\frac{\parallel c\cdot v\parallel }{\parallel u\parallel }=\left|c\right|\frac{\parallel v\parallel }{\parallel u\parallel }.$$

  Jeśli kąt $\mathrm{\angle }(u,v)$ jest rozwarty, to oraz

  $$\cos \mathrm{\angle }(u,v)=\cos \left(\pi -\mathrm{\angle }(u,-v)\right)=-\cos \mathrm{\angle }(u,-v)=-\left|c\right|\frac{\parallel v\parallel }{\parallel u\parallel }.$$

  W obydwu przypadkach

  $$\cos \mathrm{\angle }(u,v)=c\frac{\parallel v\parallel }{\parallel u\parallel }.$$

  Ponieważ wektor $w=u-c\cdot v$ jest prostopadły do $v$, więc

  $$0=(u-c\cdot v,v)=\left(u\right|v)-c\parallel v{\parallel }^2,$$

  czyli

  $$c=\frac{\left(u\right|v)}{{\parallel v\parallel }^2}.$$

  Stąd

  $$\cos \mathrm{\angle }(u,v)=\frac{\left(u\right|v)}{{\parallel v\parallel }^2}\frac{\parallel v\parallel }{\parallel u\parallel }=\frac{\left(u\right|v)}{\parallel v\parallel \parallel u\parallel },$$

  co kończy dowód.

  Możemy na to spojrzeć jeszcze inaczej. Wektory $u$ i $v$ możemy zapisać w postaci trygonometrycznej:

  $$u=\left|u\right|{(\cos \theta ,\sin \theta )}^T,v=\left|v\right|{(\cos \psi ,\sin \psi )}^T.$$

  Wtedy

  $$\left(u\right|v)=\left|u\right|\left|v\right|(\cos \theta \cos \psi +\sin \theta \sin \psi )=\left|u\right|\left|v\right|\cos (\theta -\psi ).$$

Z nierówności Cauchy’ego–Schwarza wynika, że dla niezerowych wektorów $u,v\in {ℝ}^n$ mamy

$$-1\le \frac{(u|v)}{\parallel u\parallel \parallel v\parallel }\le 1,u,v\ne 0.$$

Istnieje więc jednoznacznie wyznaczony taki kąt $0\le \mathrm{\angle }(u,v)\le \pi$, że

$$\cos \mathrm{\angle }(u,v)=\frac{(u|v)}{\parallel u\parallel \parallel v\parallel }.$$

Definicja 3.13.

Kąt między wektorami

Kątem $\mathrm{\angle }(u,v)$ pomiędzy niezerowymi wektorami $u,v\in {ℝ}^n$ nazywamy jedyny taki kąt $0\le \mathrm{\angle }(u,v)\le \pi$, że

$$\cos \mathrm{\angle }(u,v)=\frac{(u|v)}{\parallel u\parallel \parallel v\parallel }.$$

Definicja 3.14.

Wektor jednostkowy

Wektor $u\in {ℝ}^n$ nazywamy jednostkowym, gdy $\parallel u\parallel =1$.

Rysunek 3.4: Normalizacja niezerowego wektora $v$. Wektor $u=\frac{v}{\parallel v\parallel }$ leży na okręgu jednostkowym.

Przykład 3.13.

Jeśli wektor $v\in {ℝ}^n$ jest niezerowy, to wektor $u=\frac{v}{\parallel v\parallel }$ jest wektorem jednostkowym.

Przykład 3.14.

Niech . Niech $a_1={[a,c]}^T$ i $a_2={[b,d]}^T\in {ℝ}^2$ będą wektorami utworzonymi z kolumn macierzy $A$. Macierz Grama ma postać

W szczególności, $A\in O(2)$ jest ortogonalna tzn. $A^{T}A=I$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$$\parallel a_1\parallel =\parallel a_2\parallel =1,(a_1|a_2)=0,$$

czyli kolumny $A$ są wektorami jednostkowymi i są ortogonalne do siebie.

• METRYKA EUKLIDESOWA

  Korzystając z normy możemy zdefiniować funkcję

  $$d:{ℝ}^n\times {ℝ}^n⟶ℝ,$$

  wzorem

  $$d(v,w)=\parallel v-w\parallel =\sqrt{{\left(v_1-w_1\right)}^2+\mathrm{\dots }+{\left(v_n-w_n\right)}^2}.$$

  Z własności normy, dla dowolnych $v,w,u\in {ℝ}^n$ mamy

  • $d(v,w)\ge 0$ oraz $d(v,w)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $v=w$,

  • $d(v,w)=d(w,v)$,

  • $d(v,w)\le d(v,u)+d(u,w)$.

  Przykładowo,

  $d(v,w)$ $=\parallel v-w\parallel$

  $=\parallel \left(v-u\right)+\left(u-w\right)\parallel$

  $\le \parallel v-u\parallel +\parallel u-w\parallel$

  $=d(v,u)+d(u,w)$

  Funkcję $d$ nazywamy metryką euklidesową w ${ℝ}^n$. Liczbę $d(v,w)$ nazywamy odległością między $v$ i $w$.

3.4 Proste i płaszczyzny

Rozważmy niezerowy wektor $v={[v_1,v_2]}^T\in {ℝ}^2$. Jak wiemy zbiór wszystkich wektorów postaci $t\cdot v$ dla $t\in ℝ$ jest prostą równoległą do wektora $v$ i przechodzącą przez punkt $0$. Prostą równoległą do $v$ i przechodzącą przez punkt ${[a_1,a_2]}^T$ możemy opisać jako zbiór punktów postaci ${[a_1,a_2]}^T+t\cdot v$ ($t\in ℝ$).

Definicja 3.15.

Równanie parametryczne prostej

Równanie parametryczne prostej $l$ przechodzącej przez ${[a_1,a_2]}^T$ i równoległej do niezerowego wektora $v={[v_1,v_2]}^T$ ma postać

$${[x_1,x_2]}^T={[a_1,a_2]}^T+t\cdot {[v_1,v_2]}^T,t\in {ℝ}^2$$

W skrócie, $x=a+tv$.

Rysunek 3.5: Mnożąc niezerowy wektor $v$ przez wszystkie liczby rzeczywiste $t$ otrzymujemy prostą.

• Definicja oznacza, że współrzędne punktu ${[x_1,x_2]}^T$ leżącego na prostej $l$ spełniają, dla pewnego skalara $t$, układ równań

  Ponieważ wektor $v$ jest niezerowy, więc któraś z jego współrzędnych $v_1$ lub $v_2$ jest różna od zera. Załóżmy przykładowo, że $v_1\ne 0$. Możemy wtedy z pierwszego równania wyliczyć $t$ otrzymując, że $t=\frac{x_1-a_1}{v_1}$. Wstawiając do drugiego równania otrzymujemy, że

  $$x_2-a_2-\frac{x_1-a_1}{v_1}{v}_2=0,$$

  czyli

  $$-v_2\left(x_1-a_1\right)+v_1\left(x_2-a_2\right)=0.$$

  Jest to równanie ogólne prostej $l$ przechodzącej przez punkt ${[a_1,a_2]}^T$ i równoległej do wektora $v$.

Definicja 3.16.

Równanie ogólne prostej

Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie ma postać

$$A{x}_1+B{x}_2+C=0,A^2+B^2>0.$$

• Zauważmy, że prosta o równaniu ogólnym

  $$A{x}_1+B{x}_2+C=0$$

  przechodzi przez początek układu współrzędnych $0={[0,0]}^T$ wtedy i tylko wtedy, gdy $C=0$. Ma ona wtedy równanie $A{x}_1+B{x}_2=0$, które możemy zapisać przy pomocy iloczynu skalarnego następująco:

  $$\left({[A,B]}^T\right|{[x_1,x_2]}^T)=0.$$

  Oznacza to, że składa się ona ze wszystkich wektorów ${[x_1,x_2]}^T$ prostopadłych do wektora ${[A,B]}^T$.

Wniosek 3.2.

Prosta o równaniu ogólnym

$A(x_1-a_1)+B(x_2-a_2)=0,A^2+B^2>0$

przechodzi przez punkt ${\mathrm{[}{a}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{a}_{\mathrm{2}}\mathrm{]}}^T$ i jest prostopadła do wektora ${\mathrm{[}A\mathrm{,}B\mathrm{]}}^T$.

Analogicznie, dla niezerowego wektora $v={[v_1,\mathrm{\dots },v_n]}^T\in {ℝ}^n$ i punktu $a={[a_1,\mathrm{\dots },a_n]}^T$ równanie parametryczne prostej równoległej do $v$ i przechodzącej przez $a$ ma postać

$$x=a+t\cdot v,t\in ℝ.$$

Przyglądnijmy się przypadkowi $n=3$, czyli prostym w przestrzeni ${ℝ}^3$. W postaci parametrycznej jest ona zadana układem równań

Rysunek 3.6: Prosta $2x+y=0$ jest prostopadła do wektora ${[2,1]}^T$.

Jeżeli wszystkie liczby $v_1\ne 0$ dla $i=1,2,3$, to eliminując $t$ z powyższego układu otrzymujemy dwa równania

$$\frac{x-a_1}{v_1}=\frac{x-a_2}{v_2}=\frac{x-a_3}{v_3},$$

nazywane równaniami kanonicznymi prostej w przestrzeni. Jeżeli np. $v_3=0$ a $v_1$, $V_2\ne 0$, to równania przyjmują postać

$$\frac{x-a_1}{v_1}=\frac{x-a_2}{v_2},x_3=a_3.$$

Gdy np. $v_2=v_3=0$ i $v_1\ne 0$, to równanie ma postać

$$x_2=a_2,x_3=a_3.$$

Przykład 3.15.

Zastanówmy się jaki podzbiór $P$ przestrzeni ${ℝ}^3$ jest opisany przez równanie

$$2x_1-x_2+3x_3=0.$$

Możemy je zapisać równoważnie wykorzystując iloczyn skalarny jako

$$({[2,-1,3]}^T|{[x_1,x_2,x_3]}^T)=0,$$

czyli zbiór $P$ składa się z wszystkich wektorów ${[x_1,x_2,x_3]}^T$ w ${ℝ}^3$ prostopadłych do wektora ${[2,-1,3]}^T$. Oznacza to, że $P$ jest płaszczyzną prostopadłą do wektora ${[2,-1,3]}^T$ i zawierającą początek układu $0={[0,0,0]}^T$.

Definicja 3.17.

Równanie ogólne płaszczyzny w ${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}$

Równanie ogólne płaszczyzny w przestrzeni ${ℝ}^3$ ma postać

$$A{x}_1+B{x}_2+C{x}_3+D=0,A^2+B^2+C^2>0.$$

W szczególności, równanie

$$A(x_1-a_1)+B(x_2-a_2)+C(x_3-a_3)=0$$

opisuje płaszczyznę przechodzącą przez punkt ${[a_1,a_2,a_3]}^T$ i prostopadłą do wektora ${[A,B,C]}^T$.

Rysunek 3.7: Płaszczyzna $x+y-z=0$.

Rysunek 3.8: Płaszczyzny $x-2y+3z=1$, $x+y+z=1$ i ich przecięcie będące prostą w ${ℝ}^3$.

Przykład 3.16.

Rozważmy układ równań liniowych

Równania układu opisują dwie nierównoległe płaszczyzny. Zbiorem rozwiązań układu jest prosta $L$ będąca ich częścią wspólną.

Wyznaczymy dokładniej prostą $L$. Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy układ równoważny

Stąd

Zbiór rozwiązań układu jest dany jako zbiór

$$\{{[1-5/3z,2/3z,z]}^T:z\in ℝ\}.$$

Zauważmy, że

$${[1-5/3z,2/3z,z]}^T={[-5/3,2/3,1]}^{T}z+{[1,0,0]}^T.$$

Rozwiązaniem układu jest prosta $L$ o równaniu parametrycznym

$${[-5/3,2/3,1]}^{T}z+{[1,0,0]}^T,z\in ℝ.$$

Rozdział 4 Układy równań liniowych

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU układ równań liniowych $\mathrm{◇}$ dozwolone operacje $\mathrm{◇}$ macierz rozszerzona układu $\mathrm{◇}$ eliminacja Gaussa $\mathrm{◇}$ postać schodkowa $\mathrm{◇}$ podprzestrzeń $\mathrm{span}\{a_1,\mathrm{\dots },a_k\}$ $\mathrm{◇}$ układy jednorodne $\mathrm{◇}$ wyznacznik $\mathrm{◇}$ wzory Cramera

Rozważmy układ równań

Każde z równań układu opisuje pewną płaszczyznę w ${ℝ}^3$. Szukamy więc punktów leżących na obydwu płaszczyznach. Obydwie płaszczyzny zawierają punkt $0$. Pierwsza z nich jest prostopadła do wektora ${[1,1,1]}^T$, a druga jest prostopadła do wektora ${[1,-1,1]}^T$. Nie są one równoległe, więc ich przecięciem jest pewna prosta w ${ℝ}^3$. Naszym najbliższym celem będzie nauczenie się wyznaczania zbioru rozwiązań układu równań liniowych.

Definicja 4.1.

Układ równań liniowychł Niech $𝔽$ będzie ciałem. Układem równań liniowych nazywamy układ równań postaci:

(4.1)

Skalary $a_{ij}\in 𝔽$ nazywamy współczynnikami układu, a $b_i\in 𝔽$ wyrazami wolnymi. Jest to układ $k$ równań z $n$ niewiadomymi $x_1,\mathrm{\dots },x_n$. Zbiór rozwiązań układu składa się ze wszystkich wektorów ${[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T\in {𝔽}^n$, których współrzędne spełniają wszystkie równania tego układu. Mówimy, że układ

• jest sprzeczny, gdy zbiór rozwiązań jest pusty;

• ma rozwiązanie, jeśli zbiór rozwiązań jest niepusty;

• ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy zbiór rozwiązań jest nieskończony;

• ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli zbiór rozwiązań jest jednoelementowy.

• Dwa układy równań są równoważne, jeżeli mają takie same zbiory rozwiązań.

  Istnieją pewne operacje, które możemy wykonać na układzie równań (4.1) otrzymując układ równoważny.

  DOZWOLONE OPERACJE NA RÓWNANIACH UKŁADU (I) możemy dwa równania układu zamienić miejscami; (II) możemy obydwie strony któregoś z równań pomnożyć przez dowolny niezerowy skalar; (III) możemy równanie pomnożone przez dowolny skalar dodać do innego równania.

  Punkty (I) i (II) są oczywiste. Punkt (III) wynika z faktu, że ${[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T$ spełnia

  $a_{i1}{x}_1+\mathrm{\dots }+a_{in}{x}_n$ $=b_i$

  $a_{j1}{x}_1+\mathrm{\dots }+a_{jn}{x}_n$ $=b_j$

  wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia

  $a_{i1}{x}_1+\mathrm{\dots }\mathit{\hspace{1em}}+a_{in}{x}_n$ $=b_i$

  $\left(a_{j1}+c{a}_{i1}\right)x_1+\mathrm{\dots }+\left(a_{jn}+c{a}_{in}\right)x_n$ $=b_j+c{b}_i.$

Definicja 4.2.

Dozwolone operacje

Operacje (I)-(III) nazywamy dozwolonymi operacjami na równaniach układu równań liniowych.

Przykład 4.1.

Szczególnie łatwe do rozwiązania są układu w postaci ,,schodkowej’’. Przykładowo, w układzie równań (w ciele $ℝ$)

ostatnie równanie oznacza, że $x_3=2$. Wtedy z drugiego równania $x_2=4$. W konsekwencji, z pierwszego równania otrzymujemy, że $x_1=-3$. Zbiór rozwiązań układu składa się z jednego wektora ${[-3,4,2]}^T$.

4.1 Eliminacja Gaussa

Opiszemy na przykładzie metodę eliminacji Gaussa pozwalającą sprowadzić dowolny układ do postaci schodkowej. Rozważmy układ równań (w ciele $ℝ$)

Wszystkie informacje o rozważanym układzie możemy wygodnie zakodować przy pomocy macierzy (tabeli):

W wierszach macierzy wypisujemy współczynniki i wyrazy wolne poszczególnych równań. Macierz $A$ nazywamy macierzą układu, a macierz jego macierzą rozszerzoną. Dozwolone operacje (I)-(III) mają swój odpowiednik w postaci dozwolonych operacji na wierszach macierzy:

DOZWOLONE OPERACJE NA WIERSZACH MACIERZY UKŁADU RÓWNAŃ LINIOWYCH (I) możemy dwa wiersze macierzy zamienić miejscami (permutacja); (II) możemy wiersz pomnożyć przez dowolną niezerową liczbę rzeczywistą (skalowanie); (III) możemy wiersz pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą dodać do innego wiersza.

Zaczynamy od tego, że szukamy wiersza w którym pierwszy wyraz jest niezerowy. W naszym przypadku jest to wiersz pierwszy. Jeśli pierwszy niezerowy wyraz jest różny od $1$, to używamy skalowania (II), aby uzyskać $1$ na pierwszej pozycji.

• Jeżeli w pierwszym wierszu na pierwszej pozycji jest zero, to szukamy innego wiersza z niezerowym wyrazem na pierwszej pozycji. Jeśli taki istnieje, to używamy pierwszej operacji (I) i zamieniamy go miejscami z wierszem pierwszym. Może się zdarzyć, że wszystkie wiersze mają na pierwszej pozycji $0$. Wtedy powtarzamy procedurę szukając wiersza z niezerowym wyrazem na drugiej pozycji i iterujemy poprzednią procedurę.

W pierwszym kroku, używamy pierwszego wiersza i operacji (III) do wprowadzenia zer w pierwszej kolumnie pod jedynką w pierwszym wierszu. Dodając pierwszy wiersz do drugiego otrzymujemy macierz:

Następnie, pomnożony przez 2 pierwszy wiersz dodajemy do wiersza trzeciego

Kończymy ten krok odejmując pierwszy wiersz od wiersza piątego

W drugim kroku używamy analogicznie drugiego wiersza do eliminacji niezerowych elementów w trzeciej kolumnie i wierszach od trzeciego do piątego. W efekcie otrzymujemy

W ostatnim kroku używamy trzeciego wiersza do eliminacji jedynek w piątej kolumnie oraz czwartym i piątym wierszu. Otrzymujemy macierz:

Ostatnie dwa wiersze nie niosą ze sobą żadnej informacji, więc możemy je pominąć otrzymując w efekcie macierz

której odpowiada układ równań

Wstawiamy teraz $x_5=3$ do trzeciego równania i wyliczamy w nim $x_3$ otrzymując

Cofamy się teraz do pierwszego równania i wyliczamy $x_1$ po wstawieniu wartości za $x_3$ i $x_5$ otrzymując

$x_2$ i $x_3$ pełnią tu rolę parametrów. Zbiór rozwiązań jest dany przez

$$\{{[-x_2+4,x_2,-x_4-6,x_4,3]}^T:x_2,x_4\in ℝ\}.$$

Przykładowo, dla $x_2=x_4=0$ jednym z rozwiązań jest ${[4,0,-6,0,3]}^T$. Zbiór rozwiązań jest nieskończony, bo dowolnie wybranym $x_2$ i $x_4$ odpowiada jakieś rozwiązanie.

Przykład 4.2.

Przyglądnijmy się układom $3$ równań z $3$ niewiadomymi. Dla macierzy $A$ z niezerową pierwszą kolumną postać schodkowa musi być wtedy jednej z postaci:

W pierwszym przypadku układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. W przypadku drugim, $x_1$ i $x_2$ możemy uzależnić od $x_3$, które pełni rolę parametru. Zbiór rozwiązań jest nieskończony, bo $x_3$ może być dowolne. W trzecim przypadku, $x_3$ jest jednoznacznie wyznaczone i możemy uzależnić $x_1$ od $x_2$ pełniącego rolę parametru. Ponownie zbiór rozwiązań jest nieskończony. W czwartym, piątym i szóstym przypadku układ jest sprzeczny. W ostatnim układzie zbiorem rozwiązań jest płaszczyzna.

• Zredukowana postać schodkowa macierzy $A\in M_{m\times n}\left(𝔽\right)$ jest wyznaczona jednoznacznie. Uzasadnimy ten fakt stosując indukcję względem $n$, czyli liczby kolumn macierzy $A$. Dla $n=1$ jest to oczywiste. Niech $n>1$. Rozważmy macierz $A^{\prime }$ otrzymaną z $A$ przez skreślenie ostatniej kolumny. Każdy ciąg operacji elementarnych, który sprowadza $A$ do zredukowanej postaci schodkowej, sprowadza również macierz $A^{\prime }$ do zredukowanej postaci schodkowej. Z założenia indukcyjnego wynika więc, że jeśli $B$ i $C$ są zredukowanymi postaciami schodkowymi macierzy $A$, to $B$ i $C$ mogą się różnić jedynie ostatnią kolumną. Przypuśćmy, że $B\ne C$. Z definicji zredukowanej postaci schodkowej wynika, że na przykład $n$-ta kolumna $B$ jest niezerowa, a $n$-ta kolumna $C$ jest zerowa. Rozważmy taki wektor $x$, że $Bx=0$. Równoważnie $Cx=0$, bo dozwolone operacje nie zmieniają zbioru rozwiązań. Stąd również $\left(B-C\right)x=0$, czyli $x_n=0$, bo $n-1$-pierwszych kolumn macierzy $B-C$ jest zerowych, a $n$-ta jest niezerowa. Prowadzi to do sprzeczności, bo $n$-ta kolumna macierzy $C$ jest zerowa, więc $x_n$ w takim wektorze $x$, że $Cx=0$ może być dowolne.

Przykład 4.3.

Znajdziemy wielomian stopnia $3$ przechodzący przez punkty

$$(x_1,y_1)=(1,3),(x_2,y_2)=(2,-2),(x_3,y_3)=(3,-5),(x_4,y_4)=(4,0).$$

Szukany wielomian ma postać

$$w(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3.$$

Jego współczynniki $a_0,a_1,a_2,a_3$ muszą spełniać układ równań

o macierzy rozszerzonej

Stąd

$$a_0=4,a_1=3,a_2=-5,a_3=1,$$

czyli

$$w(x)=4+3x-5x^2+x^3.$$

Rysunek 4.1: Natężenie ruchu w sieci skrzyżowań.

Przykład 4.4.

Rozważmy system skrzyżowań dwóch zbiorów dróg jednokierunkowych pokazany na Rys. 4.1. Liczby przy strzałkach oznaczają godzinną średnią liczbę pojazdów wkraczających i opuszczających skrzyżowanie w godzinach szczytu. Ponieważ liczba pojazdów wjeżdżających na skrzyżowanie jest równa liczbie pojazdów z niego wyjeżdżających, więc otrzymujemy układ równań

Przykład 4.5.

Rozwiążemy następujący układ równań nad ${\mathbb{Z}}_3$:

Jest on równoważny z układem

czyli

Stąd $x_2=2$, więc $2+2x_3=1$, czyli $x_3=1$ oraz $x_1=1$.

ELIMINACJA GAUSSA – PODSUMOWANIE Jest to proces sprowadzania macierzy do postaci schodkowej. Możemy używać trzech dozwolonych operacji na wierszach: Permutacja wierszy – Skalowanie wierszy – Dodawanie wiersza do innego wiersza

POSTAĆ SCHODKOWA MACIERZY • jeśli wiersz jest niezerowy, to pierwszym wyrazem niezerowym (liderem) jest $1$ • jeśli wiersz $k$-ty jest niezerowy, to liczba wiodących wyrazów zerowych w wierszu $k+1$ jest większa niż w wierszu $k$-tym, • jeśli są wiersze zerowe, to są one poniżej wierszy niezerowych.

ZREDUKOWANA POSTAĆ SCHODKOWA MACIERZY • macierz ma postać schodkową, • pierwszy niezerowy element w wierszu jest jedynym niezerowym elementem w jego kolumnie.

Rząd macierzy: $\mathrm{rank}A=$ liczba niezerowych wierszy w postaci schodkowej macierzy $A$= liczba kolumna zawierających lidera.

ZBIÓR ROZWIĄZAŃ Dla $k\times n$-macierzy $A$ oraz $b\in {ℝ}^k$ mamy • układ ma dokładnie jedno rozwiązanie $\iff$ • układ jest sprzeczny $\iff$ • układ ma nieskończenie wiele rozwiązań $\iff$

4.2 Kilka ważnych obserwacji

Dla układu równań (4.1) wprowadzamy następujące oznaczenia: macierz

(4.2)

nazywamy macierzą główną układu, natomiast macierz

macierzą rozszerzoną układu. Macierz $A$ ma $k$ wierszy i $n$ kolumn. Przez $M_{k\times n}(𝔽)$ oznaczamy zbiór wszystkich macierzy $A$ postaci (4.2), gdzie wszystkie wyrazy macierzy $a_{ij}$ ($i=1,\mathrm{\dots }k$, $j=1,\mathrm{\dots },n$) są elementami ciała $𝔽$.

Kolumny macierzy $A$ oraz prawą stronę układu możemy interpretować jako wektory w ${𝔽}^k$:

$$a_1=\left[\begin{array}{c}\hfill a_{11}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill a_{k1}\hfill \end{array}\right],a_2=\left[\begin{array}{c}\hfill a_{12}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill a_{k2}\hfill \end{array}\right],\mathrm{\dots },a_n=\left[\begin{array}{c}\hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill a_{kn}\hfill \end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}\hfill b_1\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill b_k\hfill \end{array}\right].$$

Będziemy wtedy pisali, że

Zauważmy, że wektor $x={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T$ jest rozwiązaniem układu (4.1) wtedy i tylko wtedy, gdy

$$x_1\cdot \left[\begin{array}{c}\hfill a_{11}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill a_{k1}\hfill \end{array}\right]+\mathrm{\dots }+x_n\cdot \left[\begin{array}{c}\hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill a_{kn}\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hfill b_1\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill b_k\hfill \end{array}\right],$$

czyli

$x_1\cdot a_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot a_n=b.$

KONWENCJE MACIERZOWE ZAPISU UKŁADU RÓWNAŃ W konwencji wierszy W konwencji kolumn

UKŁAD RÓWNAŃ W ZAPISIE MACIERZOWYM $\{\begin{array}{c}\hfill a_{11}{x}_1+\mathrm{\dots }+a_{1n}{x}_n=b_1\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill a_{k1}{x}_1+\mathrm{\dots }+a_{kn}{x}_n=b_k\hfill \end{array}$ $\iff Ax=b$ $\iff x_1\cdot a_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot a_n=b$ $\iff b_1=(w_1^T|x),\mathrm{\dots },b_k=(w_k^T|x)$

Układ równań (4.1) będziemy zapisywać w skrócie jako $Ax=b$. Będziemy mówili, że układ $Ax=b$ ma rozwiązanie, jeśli zbiór jego rozwiązań jest niepusty. Powiemy, że ma on jednoznaczne rozwiązanie, jeśli zbiór jego rozwiązań składa się z jednego wektora.

Wniosek 4.1.

Układ równań $A\mathit{}x\mathrm{=}b$ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor $b$ jest kombinacją liniową kolumn $a_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{a}_n$ macierzy $A$.

Rysunek 4.2: Kolumny macierzy $A=[a_1|a_2|a_3]$ leżą w jednej płaszczyźnie $V=\mathrm{span}\{a_1,a_2,a_3\}\subset {ℝ}^3$. Po lewej: $b\notin V$, więc $Ax=b$ nie ma rozwiązań. Po prawej: $b\in V$ i układ ma rozwiązanie. Nie jest ono jednoznaczne. Wektor $b$ jest kombinacją liniową kolumn $a_1$, $a_2$, ale jest również kombinacją kolumn $a_1$ i $a_3$ oraz kolumn $a_2$, $a_3$.

Dla wektorów $a_1,\mathrm{\dots },a_n\in {𝔽}^k$ naturalnym więc jest rozważenie zbioru

$$\mathrm{Span}\{a_1,\mathrm{\dots },a_n\}=\{x_1\cdot a_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot a_n:x_1,\mathrm{\dots },x_n\in 𝔽\}$$

wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów $a_1,\mathrm{\dots },a_n$.

Wniosek 4.2.

Układ równań liniowych $A\mathit{}x\mathrm{=}b$ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $b\mathrm{\in }\mathrm{Span}\mathit{}\mathrm{\{}{a}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{a}_n\mathrm{\}}$.

Definicja 4.3.

Układ jednorodny

Układ równań (4.1) nazywamy jednorodnym, gdy

$$b_1=\mathrm{\dots }=b_k=0.$$

Wniosek 4.3.

Jeżeli układ (4.1) jest jednorodny, to $x_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{\dots }\mathrm{=}{x}_n\mathrm{=}\mathrm{0}$ jest jednym z jego rozwiązań.

Wektor zerowy $x=0$ jest zawsze jednym z rozwiązań układu jednorodnego $Ax=0$. Ciekawe jest pytanie o to kiedy układ jednorodny $Ax=0$ nie ma innych rozwiązań. Kiedy $Ax=0$ ma jednoznaczne rozwiązanie? Aby tak było musi zachodzić implikacja: jeśli $x_1\cdot a_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot a_n=0$ dla pewnych $x_i\in 𝔽$, to $x_1=\mathrm{\dots }=x_n=0$. Innymi słowy, jeśli kombinacja liniowa wektorów $a_1,\mathrm{\dots },a_n$ jest wektorem zerowym, to wszystkie jej współczynniki skalarne są równe $0$. Oznacza to liniową niezależność wektorów $a_1,\mathrm{\dots },a_n$.

Wniosek 4.4.

Układ jednorodny $A\mathit{}x\mathrm{=}\mathrm{0}$ ma jednoznaczne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny $a_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{a}_n$ macierzy $A$ są liniowo niezależne.

Wniosek 4.5.

Układ $A\mathit{}x\mathrm{=}b$ ma co najwyżej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny $a_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{a}_n$ macierzy $A$ są liniowo niezależne.

Dowód.

Zauważmy, że wektory $v={[v_1,\mathrm{\dots },v_n]}^T,w={[w_1,\mathrm{\dots },w_n]}^T\in {𝔽}^n$ są rozwiązaniami układu $Ax=b$ wtedy i tylko wtedy, gdy wektor $v-w$ jest rozwiązaniem układu jednorodnego $Ax=0$. ∎

4.3 Układy dwóch równań z dwoma niewiadomymi

Zajmiemy się teraz dokładniej układem dwóch równań liniowych (w ciele $ℝ$) z dwoma niewiadomymi

(4.3)

Skojarzone z nim macierze: główna i rozszerzona to odpowiednio

Przyglądnijmy się możliwym przypadkom.

Przypadek 1. Zakładamy, że

jest macierzą zerową. Układ (4.3) przyjmuje postać

Jeżeli któraś z liczb $b_1$ lub $b_2$ jest różna od zera, to układ jest sprzeczny, czyli jego zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym. Jeśli $b_1=b_2=0$, to zbiorem rozwiązań jest cała płaszczyzna ${ℝ}^2$.

Przypadek 2. Zakładamy, że któryś z wierszy macierzy $A$, powiedzmy drugi jest zerowy (czyli $a_{21}=a_{22}=0$), a pierwszy jest niezerowy. Układ (4.3) ma wtedy postać

Jeśli $b_2\ne 0$, to układ jest sprzeczny. Dla $b_2=0$ redukuje się on do jednego równania

$$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1$$

opisującego prostą na płaszczyźnie, bo założyliśmy, że $a_{11}^2+a_{12}^2>0$. W tym przypadku zbiorem rozwiązań układu jest więc prosta na płaszczyźnie.

Rysunek 4.3: Dwie proste na płaszczyźnie: albo przecinają się w jednym punkcie albo są równe albo nie mają punktów wspólnych.

Przypadek 3. Zakładamy, że obydwa wiersze macierzy $A$ są niezerowe. Wtedy obydwa równania opisują proste na płaszczyźnie. Szukamy więc punktów wspólnych dwóch prostych $l_1$ i $l_2$ na płaszczyźnie. Zachodzi jedna z trzech możliwości:

• Proste są równe ($l_1=l_2$). Wtedy zbiorem rozwiązań jest prosta $l_1$.

• Proste $l_1$ i $l_2$ są równoległe, ale różne. Wtedy układ jest sprzeczny.

• Proste $l_1$ i $l_2$ nie są równoległe. Wtedy przecinają się w jednym punkcie. Zbiór rozwiązań układu jest jednoelementowy, czyli układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Definicja 4.4.

Wyznacznik

Wyznacznik macierzy

definiujemy jako skalar

$$\det (A):=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\in 𝔽.$$

• Dla niezerowego skalara $a\in 𝔽$ przez $\frac{1}{a}$ będziemy oznaczać element odwrotny $a^{-1}$ do $a$ względem mnożenia w ciele $𝔽$.

Twierdzenie 4.1 (Wzory Cramera).

Układ równań (4.3) ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $\det \mathit{}\mathrm{(}A\mathrm{)}\mathrm{\ne }\mathrm{0}$. Jest ono wtedy dane wzorami Cramera

Dowód.

Załóżmy, że $\det (A)=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\ne 0$. Wtedy $a_{11}\ne 0$ lub $a_{21}\ne 0$ tzn. wektor $a_1$ nie może być zerowy. Załóżmy, że $a_{11}\ne 0$. Dowód w przypadku $a_{21}\ne 0$ jest analogiczny. Z pierwszego równania $x_1=\frac{b_1-a_{12}{x}_2}{a_{11}}$. Po podstawieniu do drugiego równania otrzymujemy równoważny z (4.3) układ równań

(4.4)

Jego rozwiązaniem jest jeden punkt

$$x_1=\frac{b_1{a}_{22}-b_2{a}_{12}}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}},x_2=\frac{b_1{a}_{21}-b_2{a}_{11}}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}},$$

co kończy dowód tej implikacji.

Zakończymy dowód pokazując, że jeżeli $\det (A)=0$, to układ (4.3) jest albo sprzeczny albo jego zbiór rozwiązań jest nieskończony. Zachodzi jedna z dwóch moźliwości

• $a_1={[0,0]}^T$;

• $a_1\ne {[0,0]}^T$.

W przypadku (a) układ (4.3) przyjmuje postać

Jest on albo sprzeczny (nie istnieje rozwiązanie $x_2$) albo ma nieskończenie wiele rozwiązań (istnieje rozwiązanie $x_2$ i wtedy $x_1$ jest dowolną liczbą rzeczywistą).

W przypadku $(b)$, jeśli przykładowo gdy $a_{11}\ne 0$, to na mocy poprzedniej części dowodu układ (4.3) jest równoważny z układem (4.4), czyli

Jest on albo sprzeczny, gdy $b_1{a}_{21}-b_2{a}_{11}\ne 0$ albo ma nieskończenie wiele rozwiązań spełniających $a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1$, gdy $b_1{a}_{21}-b_2{a}_{11}=0$. ∎

Twierdzenie 4.2.

Wektory $a_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{a}_{\mathrm{2}}\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$ są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

Wówczas, dla dowolnego $b\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $x_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\in }\mathrm{F}$, że

$$x_1\cdot a_1+x_2\cdot a_2=b.$$

Dowód.

Liniowa niezależność wektorów $a_1$ i $a_2$ jest z definicji równoważna z faktem, że równość $x_1\cdot a_1+x_2\cdot a_2=0$ implikuje, że $x_1=x_2=0$, czyli układ równań

ma dokładnie jedno rozwiązanie $x_1=x_2=0$. Ponieważ $x_1=x_2=0$ jest pewnym rozwiązaniem tego układu, więc teza wynika z Twierdzenia 4.1.

∎

Wniosek 4.6.

Niech $a_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{a}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}{a}_{\mathrm{3}}\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$. Wtedy wektory $a_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{a}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}{a}_{\mathrm{3}}$ są liniowo zależne.

Dowód.

Przeprowadzimy dowód niewprost. Przypuśćmy, że wektory $a_1$, $a_2$, $a_3$ są liniowo niezależne. Z definicji liniowej niezależności wynika, że wtedy również wektory $a_1,a_2$ są liniowo niezależne. Z Twierdzenia 4.2 istnieją takie skalary $x_1,x_2\in 𝔽$, że

$$x_1\cdot a_1+x_2\cdot a_2=a_3,$$

co prowadzi do sprzeczności z liniową niezależnością wektorów $a_1$, $a_2$, $a_3$, bo

$$x_1\cdot a_1+x_2\cdot a_2+(-1)\cdot a_3=0.$$

∎

• Podamy pewną geometryczną interpretację wyznacznika na płaszczyźnie ${ℝ}^2$. Załóżmy, że wektory $e_1={[1,0]}^T$ i $u={[u_1,u_2]}^T$ są liniowo niezależne. Wtedy . Zauważmy, że

  • wtedy i tylko wtedy, gdy $u_2>0$ wtedy i tylko wtedy, gdy najkrótszy kąt obrotu od wektora $e_1$ do wektora $u$ jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara;

  • wtedy i tylko wtedy, gdy wtedy i tylko wtedy, gdy najkrótszy kąt obrotu od wektora $e_1$ do wektora $u$ jest skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

PO CO NAM WYZNACZNIK? Dla macierzy poniższe warunki są równoważne: • $\det A\ne 0$, • kolumny $a_1$, $a_2$ są liniowo niezależne, • każdy wektor $b\in {ℝ}^2$ można jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej $b=x_1{a}_1+x_2{a}_2$, • dla każdego wektora $b\in {ℝ}^2$ układ równań $Ax=b$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Rozdział 5 Baza i wymiar

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU generowanie $\mathrm{◇}$ liniowa niezależność $\mathrm{◇}$ baza $\mathrm{◇}$ wymiar $\mathrm{◇}$ postać schodkowa $\mathrm{◇}$ podprzestrzeń $\mathrm{span}\{a_1,\mathrm{\dots },a_k\}$ $\mathrm{◇}$ przestrzeń wektorowa $M_{m\times n}(𝔽)$ $\mathrm{◇}$ podprzestrzeń wektorowa

5.1 Generowanie i liniowa niezależność

Definicja 5.1.

Podprzestrzeń generowana przez wektory

Niech $(V,+,\cdot )$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. Kombinacją liniową wektorów $v_1,\mathrm{\dots },v_k\in V$ nazywamy dowolny wektor $v$ postaci

$$v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_k\cdot v_k,x_1,\mathrm{\dots },x_k\in 𝔽.$$

Zbiór $\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_k\}$ oznacza zbiór wszystkich wektorów będących kombinacjami liniowymi wektorów $v_1,\mathrm{\dots },v_k$, czyli

$$\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_k\}=\{x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_k\cdot v_k:x_1,\mathrm{\dots },x_k\in 𝔽\}.$$

Nazywamy go podprzestrzenią generowaną przez wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_k$. Powiemy, że wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_k$ generują przestrzeń wektorową $V$, jeśli

$$\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_k\}=V.$$

Przykład 5.1.

Niech $v={[0,1,1]}^T,u={[1,1,1]}^T\in {\mathbb{Z}}_2^3$. Wyznaczymy $\mathrm{span}\{v,u\}\subset {\mathbb{Z}}_2^3$. Mamy $4$ możliwe kombinacje liniowe:

• $0\cdot u+0\cdot v=0$,

• $1\cdot u+0\cdot v=u$,

• $0\cdot u+1\cdot v=v$,

• $1\cdot u+1\cdot v={[0,1,1]}^T+{[1,1,1]}^T={[1,0,0]}^T$.

Stąd

$$\mathrm{span}\{v,u\}=\{0,v,u,{[1,0,0]}^T\}.$$

Definicja 5.2.

Liniowa niezależność wektorów

Wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_k\in V$ są liniowo niezależne, jeśli dla skalarów $x_1,\mathrm{\dots },x_k\in 𝔽$ zachodzi implikacja

$$x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_k\cdot v_k=0⟹x_1=\mathrm{\dots }=x_k=0.$$

Oznacza to, że jeśli kombinacja liniowa wektorów $v_1,\mathrm{\dots },v_k$ jest wektorem zerowym, to wszystkie jej skalarne współczynniki są równe zero.

Przykład 5.2.

Rozważmy przestrzeń wektorową $V$ wszystkich funkcji $f:ℝ\to ℝ$. Pokażemy, że funkcje $f=\sin (x)$ i $g=\cos (x)$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że $x_1\cdot f+x_2\cdot g=0$ dla pewnych $x_1,x_2\in ℝ$. Oznacza to, że dla dowolnego $x\in ℝ$ mamy

$$x_1\cdot \sin (x)+x_2\cdot \cos x=0.$$

Podstawiając w tej równości $x=0$ otrzymujemy, że $x_2=0$. Wstawiając $x=\pi /2$ dostajemy, że $x_1=0$.

Przykład 5.3.

Pokażemy, że wektory

$$v={[1,1,3]}^T,u={[2,0,2]}^T,w={[4,3,0]}^T\in {\mathbb{Z}}_5^3$$

są liniowo zależne w ${\mathbb{Z}}_5^3$. Zauważmy, że

$$v+u={[3,1,0]}^T$$

oraz

$$3\cdot (v+u)={[4,3,0]}^T=w,$$

czyli $w$ jest kombinacją liniową wektorów $v,u$.

Z drugiej strony, wektory $v,u,w\in {ℝ}^3$ są liniowo niezależne nad $ℝ$. Rzeczywiście, równość

$$x\cdot v+y\cdot u+z\cdot w=0,x,y,z\in ℝ$$

oznacza, że

$$x+2y+4z=x+3z=3x+2y=0,$$

więc $x=y=z=0$.

Definicja 5.3.

Baza przestrzeni wektorowej

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. Wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_n\in V$ stanowią bazę przestrzeni wektorowej $V$, jeśli spełnione są warunki:

• wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ generują przestrzeń $V$, czyli

  $$\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}=V,$$

• wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ są liniowo niezależne.

Warunek (B1) oznacza, że każdy wektor $v\in V$ można przedstawić jako kombinację liniową wektorów $v_1,\mathrm{\dots },v_n$, a warunek (B2) gwarantuje, że takie przedstawienie jest jednoznaczne.

Przykład 5.4.

Wektory

$$e_1={[1,0,\mathrm{\dots },0]}^T,e_2={[0,1,0,\mathrm{\dots },0]}^T,\mathrm{\dots },e_n={[0,\mathrm{\dots },0,1]}^T$$

stanowią bazę przestrzeni wektorowej ${𝔽}^n$. Rzeczywiście, są one liniowo niezależne, bo jeśli

${[0,\mathrm{\dots },0]}^T$ $=x_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot e_n$

$={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T,$

to $x_1=\mathrm{\dots }=x_n=0$. Sprawdzimy warunek (B2). Niech $v={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T\in {𝔽}^n$ będzie dowolnym wektorem. Wtedy

$v$ $={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T$

$={[x_1,0,\mathrm{\dots },0]}^T+\mathrm{\dots }+{[0,\mathrm{\dots },0,x_n]}^T$

$=x_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot e_n,$

czyli $v\in \mathrm{span}\{e_1,\mathrm{\dots },e_n\}$.

Wniosek 5.1.

Wektory $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$ stanowią bazę dla $V$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wektora $v\mathrm{\in }V$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $x_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{x}_k\mathrm{\in }\mathrm{F}$, że

$$v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n.$$

Dowód.

Załóżmy najpierw, że $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ tworzą bazę $V$. Niech $v\in V$ będzie dowolnym wektorem. Z warunku (B2) wynika, że istnieją takie skalary $x_1,\mathrm{\dots },x_n\in 𝔽$, że $v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$. Musimy pokazać, że są one wyznaczone jednoznacznie. Przypuśćmy więc, że

$$v=y_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+y_n\cdot v_n,$$

gdzie $y_i\in 𝔽$. Wtedy

$0$ $=v-v$

$=(x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n)-(y_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+y_n\cdot v_n)$

$=(x_1-y_1)\cdot v_1+\mathrm{\dots }+(x_n-y_n)\cdot v_n.$

Ponieważ wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ są liniowo niezależne, więc

$x_1-y_1=\mathrm{\dots }=x_n-y_n=0,$

co kończy dowód pierwszej implikacji.

Załóżmy teraz, że dla każdego wektora $v\in V$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $x_1,\mathrm{\dots },x_k\in 𝔽$, że

$$v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n.$$

Wtedy oczywiście zachodzi warunek (B2). Pokażemy liniową niezależność wektorów $v_1,\mathrm{\dots },v_n$. Przypuśćmy, że $x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n=0$ dla pewnych skalarów $x_1,\mathrm{\dots },x_n\in 𝔽$. Ponieważ

$$0\cdot x_1+\mathrm{\dots }+0\cdot x_n=0=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n,$$

więc z założonej jednoznaczności skalarów wynika, że $x_1=\mathrm{\dots }=x_n=0$.

∎

Lemat 5.1.

Niech $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n\mathrm{\in }V$. Jeśli $v\mathrm{\in }\mathrm{span}\mathit{}\mathrm{\{}{v}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n\mathrm{\}}$, to

$$\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}=\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n,v\}.$$

Dowód.

Oczywiście $\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}\subset \mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n,v\}$. Niech $w\in \mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n,v\}$. Wtedy

$$w=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n+x\cdot v,$$

dla pewnych skalarów $x_1,\mathrm{\dots },x_n,x\in 𝔽$. Ponieważ $v\in \mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$, więc $v=y_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+y_n\cdot v_n$ dla pewnych skalarów $y_1,\mathrm{\dots },y_n\in 𝔽$. Stąd

$$w=(x_1+x{y}_1)\cdot v_1+\mathrm{\dots }+(x_n+x{y}_n)\cdot v_n\in \mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}.$$

∎

Lemat 5.2.

Załóżmy, że wektory $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_k\mathrm{\in }V$ są liniowo niezależne. Jeśli $v_{k\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathrm{\notin }\mathrm{span}\mathit{}\mathrm{\{}{v}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_k\mathrm{\}}$, to

$$v_1,\mathrm{\dots },v_k,v_{k+1}$$

są liniowo niezależne.

Dowód.

Załóżmy, że

$$x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_k\cdot v_k+x_{k+1}\cdot v_{k+1}=0$$

dla pewnych skalarów $x_i\in 𝔽$. Zauważmy, że $x_{k+1}=0$, bo w przeciwnym razie

$$v_{k+1}=-\frac{1}{x_{k+1}}(x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_k\cdot v_k)\in \mathrm{span}(v_1,\mathrm{\dots },v_k).$$

W konsekwencji, również $x_1=\mathrm{\dots }=x_k=0$, bo $v_1,\mathrm{\dots },v_k\in V$ są liniowo niezależne. ∎

Twierdzenie 5.1.

Załóżmy, że $\mathrm{span}\mathit{}\mathrm{\{}{v}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_k\mathrm{\}}\mathrm{=}V\mathrm{\ne }\mathrm{0}$. Wtedy istnieje

$$B\subset \{v_1,\mathrm{\dots },v_k\}$$

baza dla $V$.

Dowód.

Bez straty ogólności, na podstawie Lematu 5.1, możemy założyć, że wektory $v_i$ są niezerowe. Jeżeli $\mathrm{span}\{v_1\}=V$, to dowód jest zakończony. Jeśli $\mathrm{span}\{v_1\}\ne V$, to któryś z wektorów $v_2,\mathrm{\dots },v_k$ nie należy do $\mathrm{span}\{v_1\}$. Powiedzmy, że jest to $v_2$. Wtedy $v_1,v_2$ są liniowo niezależne z Lematu 5.2. Możemy ten proces kontynuować rozważając teraz $\mathrm{span}\{v_1,v_2\}$. W skończonej liczbie kroków wybierzemy bazę $B$ ze zbioru $\{v_1,\mathrm{\dots },v_k\}$. ∎

Twierdzenie 5.2 (Steinitz).

Załóżmy, że $V\mathrm{=}\mathrm{span}\mathit{}\mathrm{\{}{v}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n\mathrm{\}}$ dla pewnych wektorów $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n\mathrm{\in }V$ ($n\mathrm{\ge }\mathrm{1}$). Jeśli wektory $w_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{w}_m\mathrm{\in }V$ są liniowo niezależne, to

• $m\le n$

• po ewentualnym przenumerowaniu wektorów $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ mamy

  $$\mathrm{span}\{w_1,\mathrm{\dots },w_m,v_{m+1},\mathrm{\dots },v_n\}=V.$$

Dowód.

Zastosujemy indukcję względem $k\in \{1,\mathrm{\dots },m\}$. Niech $k=1$. Oczywiście $n\ge 1$. Rozważmy wektor $w_1$. Ponieważ $\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}=V$, więc

$$w_1=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$$

dla pewnych skalarów $x_1,\mathrm{\dots },x_n\in 𝔽$. Ponieważ z założenia $w_1\ne 0$, więc któryś ze skalarów $x_i$ jest różny od zera. Przenumerowując wektory $v_i$ i skalary $x_i$ możemy założyć, że $x_1\ne 0$. Uzasadnimy, że $\mathrm{span}\{w_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}=V$. Ponieważ $w_1\in V=\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$, więc z Lematu 5.1 wynika, że

$$\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}=\mathrm{span}\{w_1,v_1,\mathrm{\dots },v_n\}.$$

Z drugiej strony $x_1\ne 0$, więc $v_1=\frac{1}{x_1}(w_1-x_2\cdot v_2-\mathrm{\dots }-x_n\cdot v_n)\in \mathrm{span}\{w_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$, czyli

$$\mathrm{span}\{w_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}=\mathrm{span}\{w_1,v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}=\mathrm{span}\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}=V.$$

Zakładamy teraz, że teza zachodzi dla pewnego . Pokażemy, że zachodzi dla $k+1$. Z założenia indukcyjnego $k\le n$ oraz

$$\mathrm{span}\{w_1,\mathrm{\dots },w_k,v_{k+1},\mathrm{\dots },v_n\}=V.$$

Istnieją więc takie skalary $c_1,\mathrm{\dots },c_n\in 𝔽$, że

$$w_{k+1}=c_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+c_k\cdot w_k+c_{k+1}\cdot v_{k+1}+\mathrm{\dots }+c_n\cdot v_n.$$

Zauważmy, że istnieje takie , że $c_{i_0}\ne 0$, bo w przeciwnym razie $w_{k+1}=c_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+c_k\cdot w_k$ co jest sprzeczne z ich liniową zależnością. Po ewentualnym przenumerowaniu możemy założyć, że $i_0=k+1$. W szczególności, $k+1\le n$. Mamy

$$v_{k+1}=\frac{1}{c_{k+1}}\left(w_{k+1}-\sum _{i=1}^k{c}_i\cdot w_i-\sum _{i=k+2}{c}_i\cdot v_i\right).$$

Ponieważ $v_{k+1}\in \mathrm{span}\{w_1,\mathrm{\dots },w_{k+1},v_{k+2},\mathrm{\dots },v_n\}$, więc

$$\mathrm{span}\{w_1,\mathrm{\dots },w_{k+1},v_{k+2},\mathrm{\dots },v_n\}=\mathrm{span}\{w_1,\mathrm{\dots },w_{k+1},v_{k+1}{v}_{k+2},\mathrm{\dots },v_n\}=$$

$$\mathrm{span}\{w_1,\mathrm{\dots },w_k,v_{k+1}{v}_{k+2},\mathrm{\dots },v_n\}=V.$$

∎

Twierdzenie 5.3.

Załóżmy, że wektory $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$ stanowią bazę przestrzeni wektorowej $V$. Jeśli wektory $w_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{w}_m\mathrm{\in }V$ są liniowo niezależne, to $m\mathrm{\le }n$.

Dowód.

Przypuśćmy, że $m>n$. Pokażemy, że wektory $w_1,\mathrm{\dots },w_n$ są bazą $V$. Prowadzi to do sprzeczności, bo wtedy $w_{n+1}$ jest kombinacją liniową wektorów $w_1,\mathrm{\dots },w_n$, a z założenia wektory $w_1,\mathrm{\dots },w_n,w_{n+1}$ są liniowo niezależne.

Rozważmy wektor $w_1$. Ponieważ $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ są bazą $V$, więc

$$w_1=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$$

dla jednoznacznie wyznaczonych skalarów $x_1,\mathrm{\dots },x_n\in 𝔽$. Ponieważ z założenia $w_1\ne 0$, więc któryś ze skalarów $x_i$ jest różny od zera. Przenumerowując wektory $v_i$ i skalary $x_i$ możemy założyć, że $x_1\ne 0$. Uzasadnimy, że $w_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ są bazą dla $V$. Przypuśćmy, że

$${\lambda }_1\cdot w_1+{\lambda }_2\cdot v_2+\mathrm{\dots }+{\lambda }_n\cdot v_n=0,$$

dla pewnych skalarów ${\lambda }_i$. Jeśli ${\lambda }_1=0$, to również ${\lambda }_2=\mathrm{\dots }={\lambda }_n=0$ bo wektory $v_2,\mathrm{\dots },v_n$ są liniowo niezależne. Jeśli ${\lambda }_1\ne 0$, to

$$w_1=-\frac{1}{{\lambda }_1}({\lambda }_2\cdot v_2+\mathrm{\dots }+{\lambda }_n\cdot v_n),$$

co jest sprzeczne z jednoznacznością zapisu $w_1$ w bazie $v_1,\mathrm{\dots },v_n$, bo $x_1\ne 0$.

Pokażemy teraz, że $w_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ generują $V$. Ponieważ $w_1\in V=\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$, więc z Lematu 5.1 wynika, że

$$\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}=\mathrm{span}\{w_1,v_1,\mathrm{\dots },v_n\}.$$

Z drugiej strony $v_1\in \mathrm{span}\{w_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$, więc

$$\mathrm{span}\{w_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}=\mathrm{span}\{w_1,v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}.$$

Uzasadnimy, że możemy ten proces iterować. Przypuśćmy, że dla pewnego wektory

$$w_1,\mathrm{\dots },w_k,v_{k+1},\mathrm{\dots },v_n$$

tworzą bazę $V$. Istnieją więc jedyne takie skalary $c_1,\mathrm{\dots },c_n\in 𝔽$, że

$$w_{k+1}=c_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+c_k\cdot w_k+c_{k+1}\cdot v_{k+1}+\mathrm{\dots }+c_n\cdot v_n.$$

Zauważmy, że istnieje takie , że $c_{i_0}\ne 0$, bo w przeciwnym razie $w_{k+1}=c_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+c_k\cdot w_k$ co jest sprzeczne z liniową zależnością. Z dokładnością do permutacji możemy założyć, że $c_{k+1}\ne 0$ i możemy podmienić wektor $v_{k+1}$ na $w_{k+1}$ otrzymując bazę

$$w_1,\mathrm{\dots },w_k,w_{k+1},v_{k+2},\mathrm{\dots },v_n.$$

∎

Wniosek 5.2.

Załóżmy, że $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$ jest bazą $V$. Wtedy każda baza w $V$ ma $n$ elementów.

Definicja 5.4.

Przestrzeń skończenie wymiarowa

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. Powiemy, że przestrzeń $V$ jest skończenie wymiarowa, jeśli posiada bazę skończoną. Wymiarem przestrzeni skończenie wymiarowej $V$ nazywamy liczbę elementów jej dowolnej bazy i oznaczamy przez ${\dim }_{𝔽}V$ lub $\dim V$. Przyjmujemy z definicji, że $\dim V=0$, gdy $V=\{0\}$. Jeśli przestrzeń $V$ nie jest skończenie wymiarowa, to mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa.

• Istnienie bazy skończonej $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ w przestrzeni wektorowej $V$ bardzo ułatwia analizę jej własności, bo pozwala ograniczyć się do rozważania kombinacji liniowych $x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$ skończonej liczby wektorów. Z drugiej strony musimy być świadomi w jaki sposób, jeśli w ogóle, rozważane przez nas pojęcia lub przeprowadzane rozumowania zależą od wyboru bazy w przestrzeni $V$. Przykładowo definiując wymiar przestrzeni wektorowej musieliśmy uzasadnić, że wszystkie bazy mają tyle samo elementów.

Wniosek 5.3.

${\dim }_{𝔽}{𝔽}^n=n$ dla $n\mathrm{\in }\mathrm{N}$.

Dowód.

Wektory $e_1,\mathrm{\dots },e_n$ stanowią bazę dla ${𝔽}^n$ złożoną z $n$-wektorów. ∎

Przykład 5.5.

W przestrzeni wektorowej $V={\mathbb{Z}}_2$ nad ${\mathbb{Z}}_2$ istnieje tylko jedna baza, bo w ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ mamy tylko jeden niezerowy wektor.

Przykład 5.6 (Przestrzeń ${\mathrm{C}}^n$ nad ciałami $\mathrm{C}$ i $\mathrm{R}$).

Rozważmy przestrzenie wektorowe $({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℂ})$ oraz $({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℝ})$. Pierwsza jest przestrzenią zespoloną oraz

$$\dim ({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℂ})=n.$$

Bazą dla $({ℂ}^2,+,{\cdot }_{ℂ})$ są przykładowo wektory $e_1={[1,0]}^T,e_2={[0,1]}^T\in {ℂ}^2$. Druga przestrzeń, $({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℝ})$ jest przestrzenią rzeczywistą oraz

$$\dim ({ℂ}^n,+,{\cdot }_{ℝ})=2n.$$

Bazą dla $({ℂ}^2,+,{\cdot }_{ℝ})$ są na przykład wektory:

$$e_1,e_2,{[i,0]}^T,{[0,i]}^T.$$

Rzeczywiście, dla ${[a+ib,c+id]}^T$ i $a,b,c,d\in ℝ$ mamy

$${[a+ib,c+id]}^T=a\cdot {[1,0]}^T+c\cdot {[0,1]}^T+b\cdot {[i,0]}^T+d\cdot {[0,i]}^T,$$

i to przedstawienie jest jednoznaczne.

Przykład 5.7 (Przestrzeń wektorowa macierzy $M_{k\mathrm{\times }n}\mathbf{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$).

Wprowadzimy strukturę przestrzeni wektorowej w zbiorze $M_{k\times n}(𝔽)$. W tym celu określimy działania

$$+:M_{k\times n}(𝔽)\times M_{k\times n}(𝔽)⟶M_{k\times n}(𝔽)$$

oraz

$$\cdot :𝔽\times M_{k\times n}(𝔽)⟶M_{k\times n}(𝔽).$$

Dla $A,B\in M_{k\times n}(𝔽)$ i $t\in 𝔽$ definiujemy

Sprawdzamy łatwo, że trójka $(M_{k\times n}(𝔽),+,\cdot )$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. Znajdziemy bazę dla przestrzeni $(M_{2\times 2}(𝔽),+,\cdot )$. Zauważmy, że dla dowolnej macierzy $A\in M_{2\times 2}(𝔽)$ mamy

Ponieważ współczynniki $a_{ij}$ są w tym przedstawieniu wyznaczone jednoznacznie przez macierz $A$, więc macierze

są bazą $M_{2\times 2}(𝔽)$, więc ${\dim }_{𝔽}{M}_{2\times 2}(𝔽)=4$.

Z powyższego wynika, że ${\dim }_{ℂ}{M}_{2\times 2}(ℂ)=4$. Przestrzeń $M_{2\times 2}(ℂ)$ możemy również traktować jako przestrzeń wektorową nad $ℝ$. Zastanówmy się jaki jest wymiar ${\dim }_{ℝ}{M}_{2\times 2}(ℂ)$. Każdy ze współczynników macierzy $A$ jest liczbą zespoloną. Macierz $A$ możemy teraz mnożyć tylko przez liczby rzeczywiste. Mamy

$A$

Wynika stąd, że ${\dim }_{ℝ}{M}_{2\times 2}(ℂ)=8$.

Przykład 5.8.

Pokażemy, że rozważanie przestrzeni wektorowych nad ${\mathbb{Z}}_2$ może być użyteczne w rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

W pewnym mieście mieszka $n$ osób i działa $m$ klubów dyskusyjnych. Każda z nich ma nieparzystą liczbę członków oraz każde dwa kluby mają parzystą liczbę wspólnych członków. Pokażemy, że $m\le n$.

Dla $i=1,\mathrm{\dots },m$, przez $v^i={[v_1^i,\mathrm{\dots },v_n^i]}^T\in {\mathbb{Z}}_2^n$ oznaczamy wektor przynależności mieszkańców do klubu $i$. Oznacza to, że $v_j^i=1$, gdy $j$-ty mieszkaniec należy do klubu $i$. W przeciwnym razie $v_j^i=0$. Wtedy $(v^i|v^i)={\sum }_{j=1}{(v_j^i)}^2$ jest liczbą członków klubu $i$. Wiemy, że jest to liczba nieparzysta. W ${\mathbb{Z}}_2$ mamy więc, że $(v^i|v^i)=1$. Analogicznie dla $i\ne j$, $(v^i|v^j)$ jest liczbą osób będących w klubach $i$ oraz $j$. Z założenia wynika, że $(v^i|v^j)=0$ dla $i\ne j$. Wystarczy pokazać, że $v_1,\mathrm{\dots },v_m$ są liniowo niezależne w ${\mathbb{Z}}_2^n$. Przypuśćmy, że dla pewnych $c_1,\mathrm{\dots },c_m\in {\mathbb{Z}}_2$ mamy

$$c_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+c_m\cdot v_m=0.$$

Ponieważ $(v_i|v_j)={\delta }_{ij}$, więc $c_1=\mathrm{\dots }=c_m=0$.

Lemat 5.3.

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową. Następujące warunki są równoważne

• $V$ jest nieskończenie wymiarowa,

• istnieje taki nieskończony ciąg wektorów $v_1,v_2,\mathrm{\dots }$, że dla każdego $n\in \mathbb{N}$ wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ są liniowo niezależne.

Dowód.

Załóżmy, że $V$ jest nieskończenie wymiarowa. Niech $v_1\in V$ będzie niezerowym wektorem. Ponieważ $\mathrm{span}\{v_1\}\ne V$, więc istnieje wektor $v_2\in V\setminus \mathrm{span}\{v_1\}$. Wtedy $v_1,v_2$ są liniowo niezależne. Analogicznie, $\mathrm{span}\{v_1,v_2\}\ne V$, więc istnieje wektor $v_3\in V\setminus \mathrm{span}\{v_1,v_2\}$. Wtedy $v_1,v_2,v_3$ są liniowo niezależne. Możemy ten proces kontynuować dla każdego $n\in \mathbb{N}$, co kończy dowód punktu (ii).

Załóżmy, że zachodzi warunek (ii). Gdyby $V$ miała wymiar skończony $n\ge 1$, to wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_{n+1}$ byłyby liniowo zależne. ∎

• Pojęcie bazy w przestrzeni nieskończenie wymiarowej $V$ możemy zdefiniować następująco. Powiemy, że podzbiór $A\subset V$ jest liniowo niezależny, jeżeli dla dla każdego $n\in \mathbb{N}$ dowolne różne wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_n\in A$ są liniowo niezależne. Podzbiór $A$ generuje $V$, gdy dla każdego wektora $v\in V$ istnieją takie wektory $w_1,\mathrm{\dots },w_n\in A$ oraz skalary $x_1,\mathrm{\dots },x_n\in 𝔽$, że $v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$. Podzbiór $B\subset V$ jest bazą, jeśli $B$ jest liniowo niezależny i generuje $V$. W oparciu o Lemat Kuratowskiego-Zorna można udowodnić, że w każdej przestrzeni wektorowej istnieje baza. Dokładniej, jeśli $A\subset V$ jest liniowo niezależny, $C\subset V$ generuje $V$ oraz $A\subset C$, to istnieje taka baza $B$, że $A\subset B\subset C$.

Przykład 5.9 (Przestrzeń wektorowa ciągów rzeczywistych).

Rozważmy przestrzeń wektorową

$${ℝ}^{\mathrm{\infty }}=\{{[x_1,x_2,\mathrm{\dots }]}^T:x_i\in ℝ\}$$

wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach rzeczywistych z naturalnie określonymi działaniami. Sprawdzamy łatwo, że ciąg wektorów

$$e_1={[1,0,0\mathrm{\dots }]}^T,e_2={[0,1,0,\mathrm{\dots }]}^T,\mathrm{\dots }$$

tworzy zbiór liniowo niezależny $A$, więc ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ jest nieskończenie wymiarowa. $A$ nie generuje przestrzeni ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$, bo na przykład ciąg

$$1^{\mathrm{\infty }}={[1,1,1,\mathrm{\dots }]}^T$$

nie jest skończoną kombinacją liniową wektorów $e_1,e_2,\mathrm{\dots }$.

Przykład 5.10 (Przestrzeń wektorowa wielomianów).

Niech $(P,+,\cdot )$ będzie przestrzenią wektorową wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Nie jest to przestrzeń skończonego wymiaru, bo wielomiany

$$1,x,x^2,x^3,\mathrm{\dots }$$

są liniowo niezależne.

Niech $P_n\subset P$ będzie zbiorem wielomianów stopnia co najwyżej $n$. Wtedy, $P_n$ jest podprzestrzenią wektorową oraz

$$\dim P_n=n+1.$$

Bazą dla $P_n$ są wielomiany $1,x,x^2,\mathrm{\dots },x^n$.

Jeśli $P(n)\subset P$ jest zbiorem wielomianów stopnia $n\ge 1$, to $P$ nie jest podprzestrzenią wektorową, bo wielomian zerowy nie należy do $P_n$.

Twierdzenie 5.4.

Niech $V\mathrm{\in }{\mathrm{Vekt}}_{\mathrm{F}}$ i ${\dim }_{\mathrm{F}}\mathit{}V\mathrm{=}n\mathrm{\in }\mathrm{N}$. Dla wektorów $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n\mathrm{\in }V$ następujące warunki są równoważne:

• $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ są liniowo niezależne;

• $\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}=V$;

• $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ stanowią bazę $V$.

Dowód.

(1) $\Rightarrow$ (2). Zakładamy, że $v_1,\mathrm{\dots }{v}_n$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że

$$\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}\ne V.$$

Istnieje wtedy wektor $v\notin V\setminus \mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$. Z Lematu 5.2 wynika, że wektory $v_1,\mathrm{\dots }{v}_n,v$ są liniowo niezależne. Jest to sprzeczne z Twierdzeniem 5.3.

(2) $\Rightarrow$ (3) Wynika z Lematu 5.1 i Wniosku 5.2.

(3) $\Rightarrow$ (1) Jest konsekwencją definicji bazy. ∎

Wniosek 5.4.

Wektory $a_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{a}_{\mathrm{2}}\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$ tworzą bazę ${\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

Wniosek 5.5.

Niech . Następujące warunki są równoważne

• układ $Ax=0$ ma jednoznaczne rozwiązanie zerowe,

• układ $Ax=b$ ma rozwiązanie dla każdego $b\in {𝔽}^n$,

• kolumny $a_1,\mathrm{\dots },a_n$ tworzą bazę ${𝔽}^n$.

Dowód.

Punkt (1) oznacza, że wektory $a_1,\mathrm{\dots },a_n$ są liniowo niezależne, a punkt (2) mówi, że $\mathrm{span}\{a_1,\mathrm{\dots },a_n\}={𝔽}^n$. ∎

Wniosek 5.6.

Załóżmy, że $\dim \mathit{}V\mathrm{=}n$, i wektory $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_k$ są liniowo niezależne. Wtedy istnieją takie wektory $v_{k\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$, że wektory $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$ tworzą bazę $V$.

Dowód.

Ponieważ , więc $v_1,\mathrm{\dots },v_k$ nie jest bazą. Istnieje więc wektor

$$v_{k+1}\notin \mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_k\}.$$

Z Lematu 5.2 wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_k,v_{k+1}$ są liniowo niezależne. Iterujemy tę procedurę i zakończy się ona po skończonej liczbie kroków. ∎

5.2 Podprzestrzenie wektorowe

Definicja 5.5.

Podprzestrzeń wektorowa

Niech $(V,+,\cdot )$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$ i niech $S\subset V$. Powiemy, że $S$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$, jeśli zachodzą warunki

• $0\in S$ tzn. wektor zerowy należy do $S$;

• $v+w\in S$ dla dowolnych $v,w\in S$ tzn. dodawanie wektorów nie wyprowadza nas ze zbioru $S$;

• $t\cdot v\in S$ dla dowolnych $t\in 𝔽$ i $v\in V$ tzn. mnożenie przez skalar nie wyprowadza nas ze zbioru $S$.

• Czasami (P1) zastępuje się warunkiem, że $S\ne \mathrm{\varnothing }$. Te dwie definicje są równoważne. Rzeczywiście, załóżmy, że $S\ne \mathrm{\varnothing }$ i zachodzą warunki (P2) i (P3). Niech $v\in S$. Wtedy $-v\in S$ z warunku (P3) i $0=v+\left(-v\right)\in S$ z warunku (P2).

Wniosek 5.7.

Jeśli $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_k\mathrm{\in }V$, to $\mathrm{span}\mathit{}\mathrm{\{}{v}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_k\mathrm{\}}$ jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej $V$.

Wniosek 5.8.

Zbiór rozwiązań równania jednorodnego $A\mathit{}x\mathrm{=}\mathrm{0}$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathrm{F}}^n$ dla $A\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$.

Przykład 5.11.

Rozważmy płaszczyznę $S=\{{[x_1,x_2,x_3]}^T\in {ℝ}^3:2x_1-3x_2+x_3=0\}$. Zauważmy, że wtedy $x_3=3x_2-2x_1$, więc

${[x_1,x_2,x_3]}^T$ $={[x_1,x_2,3x_2-2x_1]}^T$

$={[x_1,0,-2x_1]}^T+{[0,x_2,3x_2]}^T$

$=x_1\cdot {[1,0,-2]}^T+x_2\cdot {[0,1,3]}^T.$

Stąd $S=\mathrm{span}\{{[1,0,-2]}^T,{[0,1,3]}^T\}$, czyli jest to podprzestrzeń wektorowa w ${ℝ}^3$.

Przykład 5.12.

Pokażemy, że zbiór $S=\{{[a+b,a-b+2c,b,c]}^T:a,b,c\in ℝ\}\subset {ℝ}^4$ jest podprzestrzenią wektorową w ${ℝ}^4$. Zauważmy, że

${[a+b,a-b+2c,b,c]}^T$ $={[a,a,0,0]}^T+{[b,-b,b,0]}^T+{[0,2c,0,c]}^T$

$=a\cdot {[1,1,0,0]}^T+b\cdot {[1,-1,1,0]}^T+c\cdot {[0,2,0,1]}^T.$

Oznacza to, że $S=\mathrm{span}\{{[1,1,0,0]}^T,{[1,-1,1,0]}^T,{[0,2,0,1]}^T\}$, więc jest to podprzestrzeń wektorowa.

Przykład 5.13.

Okrąg ${𝕊}^1\subset {ℝ}^2$ nie spełnia ani jednego z warunków (P1)-(P3). Nie jest więc podprzestrzenią wektorową.

Przykład 5.14.

Zbiór $S=\{{[x_1,x_2]}^T\in {ℝ}^2:x_1{x}_2=0\}$ spełnia warunki (P1) i (P3), ale nie spełnia (P2). Nie jest więc podprzestrzenią wektorową.

Przykład 5.15.

Zbiór $S=\{{[x_1,x_2]}^T\in {ℝ}^2:x_2\ge 0\}$ spełnia warunki (P1) i (P2), ale nie spełnia (P3). Nie jest więc podprzestrzenią wektorową.

Przykład 5.16.

Zbiór pusty $\mathrm{\varnothing }\subset {ℝ}^2$ spełnia warunki (P2) i (P3), ale nie spełnia (P1). Nie jest więc podprzestrzenią wektorową.

Przykład 5.17.

Rozważmy podprzestrzeń $V\subset {\mathbb{Z}}_2^3$ daną przez

$$V=\{{[x_1,x_2,x_3]}^T\in {\mathbb{Z}}_2^3:x_1+x_2+x_3=0\}.$$

W ciele ${\mathbb{Z}}_2$ równość $x_1+x_2+x_3=0$ oznacza, że $x_1=x_2+x_3$, czyli wektory z $V$ mają postać

$${[x_2+x_3,x_2,x_3]}^T=x_2\cdot {[1,1,0]}^T+x_3\cdot [1,0,1],x_2,x_3\in {\mathbb{Z}}_2.$$

Wektory ${[1,1,0]}^T,{[1,0,1]}^T\in {\mathbb{Z}}_2^3$ są liniowo niezależne, więc $\dim V=2$. Sprawdzamy łatwo rozważając wszystkie możliwości wyboru $x_2$ i $x_3$, że

$$V=\{{[0,0,0]}^T,{[1,0,1]}^T,{[1,1,0]}^T,{[0,1,1]}^T\}.$$

Przykład 5.18.

Zastanówmy się ile $2$-wymiarowych podprzestrzeni ma przestrzeń wektorowa ${\mathbb{Z}}_2^4$? Niech $v\in {\mathbb{Z}}_2^4$ będzie niezerowym wektorem. Wtedy

$$\mathrm{span}\{v\}=\{0,v\},$$

więc jeśli $v,u$ są różnymi niezerowymi wektorami, to są one liniowo niezależne w ${\mathbb{Z}}_2^4$. Ponadto,

$$\mathrm{span}\{u,v\}=\{0,u,v,u+v\}$$

składa się z $4$ różnych wektorów. W przestrzeni ${\mathbb{Z}}_2^4$ mamy $2^4$ wektorów i $2^4-1$ wektorów niezerowych. Par liniowo niezależnych wektorów $u,v$ mamy więc $\frac{(2^4-1)(2^4-2)}{2}$. Ponieważ

$$\mathrm{span}\{u,v\}=\mathrm{span}\{u,u+v\}=\mathrm{span}\{v,u+v\},$$

więc różnych podprzestrzeni $2$ wymiarowych jest $\frac{(2^4-1)(2^4-2)}{6}$.

• Oceń prawdziwość zdań:

  • Jeśli $v_1,v_2,v_3$ tworzą bazę ${ℝ}^3$ i $b\in {ℝ}^3$ jest niezerowym wektorem, to $b+v_1,v_2,v_3$ również tworzy bazę ${ℝ}^3$.

  • Istnieją takie $2$-wymiarowe podprzestrzenie wektorowe $U$ i $W$ w ${ℝ}^3$, że $U\cap W=\{0\}$.

  • Istnieją takie $2$-wymiarowe podprzestrzenie wektorowe $U$ i $W$ w ${ℝ}^4$, że $U\cap W=\{0\}$.

  • Jeśli $U,W$ są podprzestrzeniami wektorowymi ${ℝ}^2$, to $U\cup W$ jest również podprzestrzenią wektorową.

  • Jeśli wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ generują ${ℝ}^n$, to są liniowo niezależne.

  • Jeśli wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ generują przestrzeń wektorową $V$, to są liniowo niezależne.

  • Jeśli wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ są liniowo zależne, to któryś z nich jest wektorem zerowym.

  • Jeśli wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_k$ są liniowo zależne w ${ℝ}^n$, to $k>n$.

  • Jeśli $\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_k\}={ℝ}^n$, to $k=n$.

  • Jeśli $\mathrm{span}\{u,v\}={ℝ}^2$, to $\mathrm{span}\{u,v+w\}={ℝ}^2$ dla dowolnego $w\in {ℝ}^2$.

  • Przestrzenie $M_{n\times n}(ℂ)$ i $M_{n\times n}(ℝ)$ mają ten sam wymiar nad ciałem liczb rzeczywistych $ℝ$.

  • Jeśli $\mathrm{span}\{u,v,w\}={ℝ}^2$, to któreś dwa wektory spośród $u,v,w$ są liniowo niezależne.

  • Dla dowolnej macierzy $A\in M_{2\times 2}(ℝ)$ macierze $I,A,A^2,A^3,A^4$ są liniowo zależne w przestrzeni wektorowej $M_{2\times 2}(ℝ)$.

  • Dla dowolnej macierzy niezerowej $A\in M_{2\times 2}(ℝ)$ macierze

    $$I,A,A^2,A^3,A^4$$

    generują przestrzeń wektorową $M_{2\times 2}(ℝ)$.

  • Zbiór wszystkich takich funkcji $f:ℝ\to ℝ$, że $f(0)=3f(1)$ jest przestrzenią wektorową z naturalnymi działaniami.

  • Funkcje $x^2$ i $\sin x$ są liniowo niezależne w przestrzeni funkcji $f:ℝ\to ℝ$.

  • Funkcje $x^2$ i $\sin x$ generują przestrzeń funkcji $f:ℝ\to ℝ$.

  • Jeśli $v\in {ℝ}^3$ jest dowolnym wektorem, to

    $$v^{⟂}=\{w\in {ℝ}^3:(v|w)=0\}$$

    jest podprzestrzenią wektorową ${ℝ}^3$.

  • Jeśli $u,v\in {ℝ}^n$ są takie, że $(u|v)=0$, to $u,v$ są liniowo niezależne.

$⟵$

• Oceń które z poniższych podzbiorów przestrzeni wektorowej $M_{2\times 2}(ℂ)$ są jej podprzestrzeniami wektorowymi:

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):\det (A)=0\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):\mathrm{tr}(A)=0\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):\det (A)\ne 0\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):\mathrm{tr}(A)\ne 0\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):A=A^{*}\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):A=\overline{A}\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):A=A^T\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):A^2=0\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):a_{11}=0\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):a_{12}=a_{21}=0\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(\overline{A})\}$,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):AJ=JA\}$, gdzie ,

  • $\{A\in M_{2\times 2}(ℂ):AB=0\}$, gdzie $B\in M_{2\times 2}(ℂ)$ jest ustaloną macierzą.

$⟵$

• Oceń które z poniższych podzbiorów przestrzeni wektorowej $F(ℝ,ℝ)$ funkcji $F:ℝ⟶ℝ$ są jej podprzestrzeniami wektorowymi:

  • $C(ℝ,ℝ)=\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{jest ciągła}\}$,

  • $B(ℝ,ℝ)=\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{jest ograniczona}\}$,

  • ,

  • $CB(ℝ,ℝ)=\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{jest ciągła i ograniczona}\}$,

  • $\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{jest injekcją}\}$,

  • $\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{jest surjekcją}\}$,

  • $\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{jest bijekcją}\}$,

  • $\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{jest różniczkowalna}\}$,

  • $C^1(ℝ,ℝ)=\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{ma ciągłą pochodną}\}$,

  • $C^2(ℝ,ℝ)=\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{ma ciągłą pochodną rzędu 2}\}$,

  • $C^k(ℝ,ℝ)=\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{ma ciągłą pochodną rzędu}k\in \mathbb{N}\}$,

  • $C^{\mathrm{\infty }}(ℝ,ℝ)=\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{ma ciągłą pochodną dowolnego rzędu}k\in \mathbb{N}\}$,

  • $\{f\in F(ℝ,ℝ):f(0)=0\}$,

  • $\{f\in F(ℝ,ℝ):f(0)=1\}$,

  • $F_o(ℝ,ℝ)=\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{jest nieparzysta}\}$,

  • $F_e(ℝ,ℝ)=\{f\in F(ℝ,ℝ):f\text{jest parzysta}\}$.

$⟵$

NIE ZA DUŻO NIE ZA MAŁO TYLKO W SAM RAZ Niech $n=\dim V$. • jeśli $w_1,\mathrm{\dots },w_k$ są liniowo niezależne, to $k\le n$; wtedy $w_1,\mathrm{\dots },w_k$ da się uzupełnić do bazy, • jeśli $\mathrm{span}\{w_1,\mathrm{\dots },w_k\}=V$, to $k\ge n$; wtedy ze zbioru $\{w_1,\mathrm{\dots },w_k\}$ da się wybrać bazę. Poniższe warunki są równoważne • $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ są bazą $V$, • $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ są liniowo niezależne, • $\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}=V$.

Rozdział 6 Odwzorowania liniowe

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU odwzorowanie liniowe $\mathrm{◇}$ macierz jako odwzorowanie liniowe $\mathrm{◇}$ rzut prostopadły na prostą $\mathrm{◇}$ symetria względem prostej $\mathrm{◇}$ obrót $\mathrm{◇}$ przestrzeń wektorowa odwzorowań liniowych $\mathrm{◇}$ jądro i obraz $\mathrm{◇}$ mono-epi-izo $\mathrm{◇}$ formuła wymiaru Dwie podstawowe podprzestrzenie: jądro i obraz.

Definicja 6.1.

Odwzorowanie liniowe

Niech $V$, $W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem $𝔽$. Odwzorowanie $L:V⟶W$ nazywamy odwzorowaniem liniowym, jeśli zachodzą warunki

• (addytywność)

  $$L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2),v_1,v_2\in V,$$

• (jednorodność)

  $$L(t\cdot v)=t\cdot L(v),t\in 𝔽,v\in V.$$

Wniosek 6.1.

Jeśli $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$ jest odwzorowaniem liniowym, to $L\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{0}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{0}$.

Dowód.

Teza zachodzi, bo $L(0)=L(0+0)=L(0)+L(0)$, więc $L(0)=0$. ∎

Przykład 6.1.

Odwzorowanie $L:ℝ\ni x⟼x+1\in ℝ$ nie jest odwzorowaniem liniowym, bo $L(0)=1\ne 0$.

Przykład 6.2.

Odwzorowanie $L:ℝ\ni x⟼x^2\in ℝ$ nie jest odwzorowaniem liniowym pomimo, że $L(0)=0$. Nie spełnia ono żadnego z warunków (L1)-(L2). Rzeczywiście, $L(x+y)={(x+y)}^2$ oraz $L(x)+L(y)=x^2+y^2$ i równość ${(x+y)}^2=x^2+y^2$ nie zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych. Podobnie, $L(tx)=t^2{x}^2$, a $tL(x)=t{x}^2$.

Przykład 6.3.

Pokażemy, że jeśli $L:ℝ⟶ℝ$ jest liniowe, to istnieje taka liczba rzeczywista $a\in ℝ$, że $L(x)=ax$. Rzeczywiście,

$$L(x)=L(x\cdot 1)=xL(1),$$

więc wystarczy przyjąć, że $a=L(1)$.

ODWZOROWANIE LINIOWE ZADANE MACIERZĄ Rozważmy macierz i wektor $x={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T\in {𝔽}^n$. Definiujemy $Ax$ $:=\left[\begin{array}{c}\hfill x_1{a}_{11}+\mathrm{\dots }+x_n{a}_{1n}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill x_1{a}_{k1}+\mathrm{\dots }+x_n{a}_{kn}\hfill \end{array}\right]$ $=x_1\cdot a_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot a_n\in {𝔽}^k.$ Możemy określić odwzorowanie $L_A:{𝔽}^n⟶{𝔽}^k$ przez $$L_A(x):=Ax.$$ Jest to odwzorowanie liniowe, bo jak łatwo sprawdzamy $$A(x+y)=Ax+Ay,A(t\cdot x)=t\cdot Ax.$$

Przykład 6.4.

Odwzorowanie

$$L:{ℝ}^2\ni {[x_1,x_2]}^T⟶{[3x_1-2x_2,x_1+4x_2,x_1+x_2]}^T\in {ℝ}^3$$

jest liniowe, bo $L=L_A$ (jest ono zadane macierzą $A$) dla

Zauważmy, że .

Przykład 6.5 (Rzut prostopadły na prostą w ${\mathrm{R}}^{\mathrm{2}}$).

Niech $u={[u_1,u_2]}^T\in {ℝ}^2$ będzie niezerowym wektorem. Rozważmy odwzorowanie $P:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ dane wzorem

$$P(v)=\frac{(v|u)}{(u|u)}u.$$

Jest to rzut prostopadły na prostą generowaną przez wektor $u$. Zauważmy, że

$$P(e_1)=\frac{1}{u_1^2+u_2^2}\left[\begin{array}{c}\hfill u_1^2\hfill \\ \hfill u_1{u}_2\hfill \end{array}\right],P(e_2)=\frac{1}{u_1^2+u_2^2}\left[\begin{array}{c}\hfill u_1{u}_2\hfill \\ \hfill u_2^2\hfill \end{array}\right].$$

Rozważmy macierz

Wtedy $P(v)=L_{A}v$. Zauważmy, że dla wektora jednostkowego $u={[\cos \theta ,\sin \theta ]}^T$ mamy

Przykład 6.6 (Symetria względem prostej na płaszczyźnie).

Rysunek 6.1: Symetria $S$ względem prostej $l$. Jeśli $P$ jest rzutem prostopadłym na prostą $l$, to $S(v)+v=2P(v)$.

Załóżmy, że prosta $l$ tworzy z osią $x$ kąt $\theta$. Znajdziemy macierz $M_S$ symetrii $S$ względem prostej $l$. Wektor $u={[\cos \theta ,\sin \theta ]}^T$ jest wektorem jednostkowym na prostej $l$. Niech $M_P$ będzie macierzą rzutu prostopadłego $P$ na prostą $l$. Sprawdzamy łatwo, że

$$S+I=2P,$$

czyli $S=2P-I$. Stąd

$M_S$ $=2M_P-I$

Rysunek 6.2: Obrazy kwadratu jednostkowego pod wpływem macierzy $A$.

• Rysunek 6.2 przedstawia obrazy kwadratu jednostkowego rozpiętego na wektorach bazowych $e_1,e_2$ pod wpływem działania macierzy $A\in M_{2\times 2}(ℝ)$. Dopasować poniższe macierze z odpowiednim obrazkiem:

  • z ,

  • z ,

  • jednokładność: z ,

  • jednokładność: z ,

  • symetria względem osi $x$: ,

  • obrót:

  • symetria względem punktu $0$: ,

  • symetria względem prostej nachylonej do osi $x$ pod kątem $\theta$: ,

  • z $a,b>0$,

  • rzutowanie na oś $x$: ,

  • rzutowanie na oś $x$: ,

  Przeanalizować jak zmienia się pole obrazu kwadratu jednostkowego przez $A$ w zależności od wyznacznika macierzy $A$.

$⟵$

6.1 Przestrzeń wektorowa odwzorowań liniowych

Definicja 6.2.

Przestrzeń wektorowa odwzorowań liniowych

Niech $V,W\in {\mathrm{Vekt}}_{𝔽}$. Definiujemy zbiór

$$ℒ(V,W)=\{L:V⟶W:L\mathrm{𝗃𝖾𝗌𝗍}\mathrm{𝗅𝗂𝗇𝗂𝗈𝗐𝖾}\}.$$

Wprowadzimy w zbiorze $ℒ(V,W)$ strukturę przestrzeni wektorowej nad cialem $𝔽$. Dla $L,G\in ℒ(V,W)$ oraz $t\in 𝔽$ definiujemy:

$$(L+G)(v):=L(v)+G(v),(t\cdot L)(v):=t\cdot L(v),v\in V$$

Tak określona trójka $(ℒ(V,W),+,\cdot )$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$.

• Załóżmy, że $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ jest bazą przestrzeni wektorowej $V$ i $L:V⟶W$ jest odwzorowaniem liniowym. Dla dowolnego $v\in V$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $x_1,\mathrm{\dots },x_n$, że $v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$. Wtedy z liniowości $L$ otrzymujemy, że

  $L\left(v\right)$ $=L\left(x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n\right)$

  $=L\left(x_1\cdot v_1\right)+\mathrm{\dots }+L\left(x_n\cdot v_n\right)$

  $=x_1\cdot L\left(v_1\right)+\mathrm{\dots }+x_n\cdot L\left(v_n\right),$

  czyli

  $$L\left(v\right)=x_1\cdot L\left(v_1\right)+\mathrm{\dots }+x_n\cdot L\left(v_n\right).$$ (6.1)

  Równość (6.1) oznacza, że odwzorowanie $L$ jest jednoznacznie wyznaczone przez swoje wartości $L\left(v1\right),\mathrm{\dots },L\left(v_n\right)$ na dowolnej bazie przestrzeni $V$. Jest to bardzo przyjemna własność odwzorowań liniowych: wystarczy znać skończoną liczbę wartości, aby znać całe odwzorowanie.

Wniosek 6.2.

Niech $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$ będzie bazą przestrzeni wektorowej $V$. Dla dowolnych wektorów $w_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{w}_n\mathrm{\in }W$ istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie liniowe $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$, że

$$L(v_1)=w_1,\mathrm{\dots },L(v_n)=w_n.$$

W szczególności, jeśli $L\mathrm{,}G\mathrm{\in }\mathrm{L}\mathit{}\mathrm{(}V\mathrm{,}W\mathrm{)}$ są takie, że

$$L(v_1)=G(v_1),\mathrm{\dots },L(v_n)=G(v_n),$$

to $L\mathrm{=}G$.

Dowód.

Pokażemy najpierw, że takie odwzorowanie liniowe $L$ istnieje. Wektor $v\in V$ zapisujemy jednoznacznie w bazie $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ jako kombinację liniową $v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$. Definiujemy odwzorowanie $L:V\to W$ przez

$$L(v)=x_1\cdot L(v_1)+\mathrm{\dots }+x_n\cdot L(v_n):=x_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot w_n.$$

Tak zdefiniowane $L$ jest oczywiście liniowe. Jeśli, $L^{\prime }:V\to W$ jest innym odwzorowaniem liniowym spełniającym tezę, to

$L^{\prime }(v)$ $=L^{\prime }(x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n)$

$=L^{\prime }(x_1\cdot v_1)+\mathrm{\dots }+L^{\prime }(x_n\cdot v_n)$

$=x_1\cdot L^{\prime }(v_1)+\mathrm{\dots }+x_n\cdot L^{\prime }(v_n)$

$=x_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot w_n=L(v).$

∎

Lemat 6.1.

Jeśli $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$ i $G\mathrm{:}W\mathrm{⟶}Z$ są odwzorowaniami liniowymi, to $G\mathrm{\circ }L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}Z$ jest również liniowe.

Dowód.

Warunek (L1) zachodzi, bo dla $v_1,v_2\in V$ mamy

$(G\circ L)(v_1+v_2)$ $=G(L(v_1+v_2))$

$=G(L(v_1)+L(v_2))$

$=G(L(v_1))+G(L(v_2))$

$=(G\circ L)(v_1)+(G\circ L)(v_2).$

Podobnie,

$(G\circ L)(t\cdot v)$ $=G(L(t\cdot v))$

$=G(t\cdot L(v))$

$=t\cdot G(L(v))$

$=t\cdot (G\circ L)(v).$

∎

6.2 Jądro i obraz odwzorowania liniowego

Definicja 6.3.

Jądro odwzorowania liniowego

Jądro odwzorowania liniowego $L:V⟶W$ definiujemy jako

$$\ker L:=\{v\in V:L(v)=0\}=L^{-1}(\{0\}).$$

Wniosek 6.3.

Jeśli $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$ jest odwzorowaniem liniowym, to $\ker \mathit{}L$ jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej $V$.

Dowód.

Ponieważ $L(0)=0$, więc $0\in \ker L$, czyli zachodzi warunek (P1). Jeśli $v,w\in \ker L$, to

$L(v+w)$ $=L(v)+L(w)$

$=0+0=0,$

więc $v+w\in \ker L$, czyli spełniony jest warunek (P2). Dla $t\in 𝔽$ i $v\in \ker L$, to

$L(t\cdot v)$ $=t\cdot L(v)$

$=t\cdot 0=0,$

czyli zachodzi warunek (P3). ∎

Przykład 6.7.

Rozważmy płaszczyznę $P$ o równaniu $3x_1-x_2+2x_3=0$ w ${ℝ}^3$. Ponieważ odwzorowanie

$$L:{ℝ}^3\ni {[x_1,x_2,x_3]}^T⟼3x_1-x_2+2x_3\in ℝ$$

jest liniowe oraz $P=\ker L$, więc $P$ jest podprzestrzenią wektorową w ${ℝ}^3$.

Definicja 6.4.

Obraz odwzorowania liniowego

Obraz odwzorowania liniowego $L:V⟶W$ to zbiór

$$\mathrm{im}L:=L(V)=\{L(v):v\in V\}\subset W.$$

Wniosek 6.4.

Jeśli $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$ jest odwzorowaniem liniowym, to jego obraz $L\mathit{}\mathrm{(}V\mathrm{)}$ jest podprzestrzenią wektorową w $W$.

Dowód.

Ponieważ $L(0)=0$, więc $0\in L(V)$. Niech $w_1,w_2\in L(W)$. Wtedy istnieją takie $v_1,v_2\in V$, że

$$L(v_1)=w_2,L(v_2)=w_2.$$

Stąd

$w_1+w_2$ $=L(v_1)+L(v_2)$

$=L(v_1+v_2),$

czyli $w_1+w_2\in L(V)$. Jeśli $t\in 𝔽$ i $w\in L(V)$, to istnieje taki wektor $v\in V$, że $L(v)=w$. Stąd

$t\cdot w$ $=t\cdot L(v)$

$=L(t\cdot v),$

czyli $t\cdot w\in L(V)$. ∎

Przykład 6.8.

Zbiór

$$S=\{{[x_1+x_2,2x_1-3x_2,-x_1+4x_2,x_2]}^T\in {ℝ}^4:x_1,x_2\in ℝ\}$$

jest podprzestrzenią wektorową w ${ℝ}^4$, bo jest on obrazem odwzorowania liniowego

$$L:{ℝ}^2\ni {[x_1,x_2]}^T⟼{[x_1+x_2,2x_1-3x_2,-x_1+4x_2,x_2]}^T\in {ℝ}^4.$$

6.3 Mono-Epi-Izo. Formuła wymiaru

Definicja 6.5.

Monomorfizm-epimorfizm-izomorfizm

Niech $L:V⟶W$ będzie odwzorowaniem liniowy. Mówimy, że

• $L$ jest monomorfizmem, gdy $L$ jest różnowartościowe (injekcją),

• $L$ jest epimorfizmem, gdy $W=L(V)$, czyli $L$ jest surjekcją,

• $L$ jest izomorfizmem, gdy $L$ jest bijekcją, czyli jest zarówno monomorfizmem jak i epimorfizmem.

• Możecie zapytać dlaczego wprowadzamy nowe nazwy monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm na znane nam z teorii mnogości pojęcia injekcja, surjekcja, bijekcja. Odpowiedź jest prosta. Robimy to dla wygody. Przykładowo, stwierdzenie $L:V⟶W$ jest monomorfizmem niesie w sobie więcej treści niże samo stwierdzenie, że $L$ jest odwzorowaniem różnowartościowym. Zamiast krótkiego $L:V⟶W$ jest monomorfizmem powinniśmy powiedzieć: $L:V⟶W$ jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni wektorowych i jest różnowartościowe. Monomorfizm oznacza więc różnowartościowość, ale jednocześnie liniowość odwzorowania.

  Wiele problemów matematycznych da się sprowadzić do zagadnienia istnienia i jednoznaczności rozwiązań równania

  $$L\left(x\right)=y,$$

  gdzie $L:V⟶W$ jest odwzorowaniem i $y\in W$. Różnowartościowość $L$ oznacza, że przy ustalonym $y$ istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie $x$. Z drugiej strony, surjektywność gwarantuje, że dla dowolnego $y\in W$ istnieje pewne rozwiązanie $x\in V$. Połączenie tych warunków, czyli bijektywność $L$ oznacza, że dla dowolnego $y\in W$ istnieje dokładnie jeden taki $x\in V$, że $L\left(x\right)=y$.

Lemat 6.2.

$L:V⟶W$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker \mathit{}L\mathrm{=}\mathrm{\{}\mathrm{0}\mathrm{\}}$.

Dowód.

Niech $L$ będzie monomorfizmem. Jeśli $v\in \ker L$, to $L(0)=0=L(v)$, czyli $v=0$. Oznacza to, że $\ker L=\{0\}$. Załóżmy teraz, że $\ker L=\{0\}$. Jeśli $v,w\in V$ oraz $L(v)=L(w)$, to z liniowości $L$ mamy

$$0=L(v)-L(w)=L(v-w),$$

czyli $v-w\in \ker L$, więc $v-w=0$. ∎

Lemat 6.3.

Jeśli $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$ jest monomorfizmem i $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n\mathrm{\in }V$ są liniowo niezależne, to wektory

$$L(v_1),\mathrm{\dots },L(v_n)$$

są liniowo niezależne.

Dowód.

Załóżmy, że $x_1\cdot L(v_1)+\mathrm{\dots }+x_n\cdot L(v_n)=0$ dla pewnych skalarów $x_i\in 𝔽$. Wtedy

$0$ $=L(x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n),$

czyli

$x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n\in \ker L=\{0\},$

więc

$x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n=0.$

Ponieważ $v_1,\mathrm{\dots },v_n\in V$ są liniowo niezależne, więc $x_1=\mathrm{\dots }=x_n=0$. ∎

Lemat 6.4.

Jeśli $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$ jest epimorfizmem i $V\mathrm{=}\mathrm{span}\mathit{}\mathrm{\{}{v}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n\mathrm{\}}$, to $W\mathrm{=}\mathrm{span}\mathit{}\mathrm{\{}L\mathit{}\mathrm{(}{v}_{\mathrm{1}}\mathrm{)}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}L\mathit{}\mathrm{(}{v}_n\mathrm{)}\mathrm{\}}$.

Dowód.

Niech $w\in W$. Ponieważ $L$ jest epimorfizmem, więc istnieje taki wektor $v\in V$, że $L(v)=w$. Z założenia $V=\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$, więc $v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$ dla pewnych $x_i\in 𝔽$. Wtedy

$w$ $=L(v)$

$=L(x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n)$

$=x_1\cdot L(v_1)+\mathrm{\dots }+x_n\cdot L(v_n),$

czyli $w\in \mathrm{span}\{L(v_1),\mathrm{\dots },L(v_n)\}$. ∎

Wniosek 6.5.

Jeśli $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$ jest izomorfizmem liniowym i $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n\mathrm{\in }V$ jest bazą $V$, to $L\mathit{}\mathrm{(}{v}_{\mathrm{1}}\mathrm{)}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}L\mathit{}\mathrm{(}{v}_n\mathrm{)}$ jest bazą $W$.

Wniosek 6.6.

Niech $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$ będzie odwzorowaniem liniowym i $\dim \mathit{}V\mathrm{=}n$. Następujące warunki są równoważne:

• $L:V⟶W$ jest izomorfizmem,

• dla każdej bazy $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ w $V$, wektory $L(v_1),\mathrm{\dots },L(v_n)$ tworzą bazę w $W$,

• istnieje taka baza $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ w $V$, że wektory $L(v_1),\mathrm{\dots },L(v_n)$ tworzą bazę w $W$.

Wniosek 6.7.

Jeśli odwzorowanie $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$ jest liniowe i , to .

Dowód.

Zauważmy, że odwzorowanie liniowe

$$L:V⟶L(V)$$

jest epimorfizmem, więc jeśli $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ jest bazą dla $V$, to

$$L(V)=\mathrm{span}\{L(v_1),\mathrm{\dots },L(v_n)\}.$$

∎

• Jeśli $L:V⟶W$ jest izomorfizmem liniowym, to odwzorowanie odwrotne $L^{-1}:W\to V$ jest również liniowe. Rzeczywiście, niech $w_1,w_2\in W$. Musimy uzasadnić, że $L^{-1}\left(w_1+w_2\right)=L^{-1}\left(w_1\right)+L^{-1}\left(w_2\right)$. Niech $v_1=L^{-1}\left(w_1\right)$ i $v_2=L^{-1}\left(w_2\right)$. Z liniowości $L$ mamy

  $$w_1+w_2=L\left(v_1\right)+L\left(v_2\right)=L\left(v_1+v_2\right),$$

  czyli $v_1+v_2=L^{-1}\left(w_1+w_2\right)$.

  Analogicznie uzasadniamy, że $L^{-1}\left(t\cdot w\right)=t\cdot L^{-1}\left(w\right)$. Niech $v=L^{-1}\left(w\right)$. Wtedy

  $$L\left(t\cdot v\right)=t\cdot L\left(v\right)=t\cdot w,$$

  czyli $t\cdot L^{-1}\left(w\right)=t\cdot v=L^{-1}\left(t\cdot w\right)$.

Wniosek 6.8.

Niech $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}V$ będzie odwzorowaniem liniowym i . Wtedy następujące warunki są równoważne

• $L$ jest monomorfizmem,

• $L$ jest epimorfizmem,

• $L$ jest izomorfizmem.

Rysunek 6.3: Wybór bazy $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ w $V$ zadaje izomorfizm z ${𝔽}^n$. Wektorowi $v=c_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+c_n\cdot v_n$ przypisujemy wektor ${[c_1,\mathrm{\dots },c_n]}^T$ jego współrzędnych.

Twierdzenie 6.1.

Niech $V\mathrm{\in }{\mathrm{Vekt}}_{\mathrm{F}}$. Jeśli , to $V$ jest izomorficzna z ${\mathrm{F}}^n$.

Dowód.

Niech $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ będzie bazą dla $V$, a $e_1,\mathrm{\dots },e_n$ bazą standardową w ${𝔽}^n$. Definiujemy odwzorowanie liniowe $L:V⟶{𝔽}^n$ zadając jego wartości na bazie:

$$L(v_1)=e_1,\mathrm{\dots },L(v_n)=e_n.$$

∎

Wniosek 6.9.

Jeśli $V\mathrm{,}W\mathrm{\in }{\mathrm{Vekt}}_{\mathrm{F}}$ są skończenie wymiarowe, to $V$ jest izomorficzna z $W$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\dim \mathit{}V\mathrm{=}\dim \mathit{}W$.

Dowód.

Jeśli $\dim V=\dim W=n$, to $V$ i $W$ są izomorficzne, gdyż obydwie są izomorficzne z ${𝔽}^n$. Z drugiej strony, jeśli $V$ i $W$ są izomorficzne, to mają taki sam wymiar, bo izomorfizm przekształca bijektywnie bazę na bazę. ∎

Twierdzenie 6.2 (Formuła wymiaru).

Załóżmy, że odwzorowanie $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}W$ jest liniowe i . Wtedy

$\dim V=\dim \ker L+\dim \mathrm{Im}L.$

Dowód.

Wybieramy bazę $v_1,\mathrm{\dots },v_p$ dla $\ker L\subset V$ i rozszerzamy ją do bazy

$$v_1,\mathrm{\dots },v_p,u_1,\mathrm{\dots },u_q$$

dla $V$. Wtedy

$$p=\dim \ker L,p+q=\dim V.$$

Mamy udowodnić, że $q=\dim L(V)$. Wystarczy pokazać, że wektory $L(u_1),\mathrm{\dots },L(u_q)$ tworzą bazę $L(V)$. Pokażemy najpierw, że wektory $L(u_1),\mathrm{\dots },L(u_q)$ generują $L(V)$. Niech $w\in L(V)$. Istnieje więc taki wektor

$v$ $=c_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+c_p\cdot v_p+x_1\cdot u_1+\mathrm{\dots }+x_q\cdot u_q,$

że $L(v)=w$. Stąd

$w$ $=L(c_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+c_p\cdot v_p+x_1\cdot u_1+\mathrm{\dots }+x_q\cdot u_q)$

$=c_1\cdot L(v_1)+\mathrm{\dots }+c_p\cdot L(v_p)+x_1\cdot L(u_1)+\mathrm{\dots }+x_q\cdot L(u_q)$

$=x_1\cdot L(u_1)+\mathrm{\dots }+x_q\cdot L(u_q),$

czyli $w\in \mathrm{span}\{L(u_1),\mathrm{\dots },L(u_q)\}$.

Pokażemy teraz, że wektory $L(u_1),\mathrm{\dots },L(u_q)$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że

$0$ $=x_1\cdot L(u_1)+\mathrm{\dots }+x_q\cdot L(u_q)$

dla pewnych skalarów $x_i\in ℝ$. Musimy pokazać, że

$x_1=\mathrm{\dots }=x_q=0.$

Z liniowości $L$ otrzymujemy, że

$0$ $=L(x_1\cdot u_1+\mathrm{\dots }+x_q\cdot u_q),$

czyli $x_1\cdot u_1+\mathrm{\dots }+x_q\cdot u_q\in \ker L.$ Stąd

$x_1\cdot u_1+\mathrm{\dots }+x_q\cdot u_q$

jest kombinacją liniową wektorów $v_1,\mathrm{\dots },v_p$, czyli

$x_1\cdot u_1+\mathrm{\dots }+x_q\cdot u_q=c_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+c_p\cdot v_p$

dla pewnych skalarów $c_i$. Wtedy

$x_1\cdot u_1+\mathrm{\dots }+x_q\cdot u_q-c_1\cdot v_1-\mathrm{\dots }-c_p\cdot v_p=0,$

więc $x_1=\mathrm{\dots }=x_q=c_1=\mathrm{\dots }=c_p=0$, bo $v_1,\mathrm{\dots },v_p,u_1,\mathrm{\dots },u_q$ tworzą bazę $V$.

∎

Przykład 6.9.

Rozważmy odwzorowanie liniowe $L:{\mathbb{Z}}_2^3\to {\mathbb{Z}}_2^3$ dane przez

$$L({[x_1,x_2,x_3]}^T)={[x_1+x_2,x_3+x_1,x_2+x_3]}^T.$$

Przestrzeń ${\mathbb{Z}}_2^3$ składa się tylko z $8$ wektorów, więc możemy wypisać wszystkie wartości $L$:

$$L({[0,0,0]}^T)=L({[1,1,1]}^T)={[0,0,0]}^T,$$

$$L({[1,1,0]}^T)=L({[0,0,1]}^T)={[0,1,1]}^T,$$

$$L({[1,0,1]}^T=L({[0,1,0]}^T)={[1,0,1]}^T,$$

$$L({[0,1,1]}^T)=L({[1,0,0]}^T)={[1,1,0]}^T.$$

Stąd,

$$\ker L=\mathrm{span}\left\{{[1,1,1]}^T\right\}=\{{[0,0,0]}^T,{[1,1,1]}^T\},$$

$$\mathrm{im}L=\mathrm{span}\{{[1,1,0]}^T,{[1,0,1]}^T\}=\{{[1,1,0]}^T,{[1,0,1]}^T,{[1,1,0]}^T\}.$$

Rozdział 7 Działania na macierzach

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU transponowanie $\mathrm{◇}$ macierz symetryczna i antysymetryczna $\mathrm{◇}$ macierz identycznościowa $\mathrm{◇}$ macierz nieosobliwa $\mathrm{◇}$ odwrotność iloczynu $\mathrm{◇}$ transpozycja iloczynu $\mathrm{◇}$ jądro i obraz $\mathrm{◇}$ rząd macierzy $\mathrm{◇}$ formuła wymiaru $\mathrm{◇}$ rząd macierzy transponowanej $\mathrm{◇}$ macierz diagonalna $\mathrm{◇}$ macierz trójkątna $\mathrm{◇}$ ślad macierzy $\mathrm{◇}$ grafy $\mathrm{◇}$ rekurencje liniowe $\mathrm{◇}$ macierze elementarne $\mathrm{◇}$ macierze wierszowo równoważne $\mathrm{◇}$ rozkład $LU$ $\mathrm{◇}$ zmiana bazy $\mathrm{◇}$ macierz przejścia

7.1 Transponowanie

W zbiorze macierzy $M_{k\times n}(𝔽)$ zdefiniowaliśmy dodawanie

$$+:M_{k\times n}(𝔽)\times M_{k\times n}(𝔽)⟶M_{k\times n}(𝔽)$$

oraz mnożenie macierzy przez skalar

$$\cdot :𝔽\times M_{k\times n}(𝔽)⟶M_{k\times n}(𝔽).$$

Otrzymaliśmy w ten sposób przestrzeń wektorową $(M_{k\times n}(𝔽),+,\cdot )$. Przypomnijmy, że przyjęliśmy konwencję

$${[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T=\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill x_n\hfill \end{array}\right].$$

Wektor ${[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T\in {𝔽}^n$ możemy interpretować jako macierz o $n$-wierszach i jednej kolumnie, czyli element $M_{n\times 1}(𝔽)$. Z drugiej strony $[x_1,\mathrm{\dots },x_n]$ jest w naturalny sposób macierzą o jednym wierszu i $n$-kolumnach, czyli elementem $M_{1\times n}(𝔽)$.

Definicja 7.1.

Macierz transponowana

Niech $A\in M_{n\times k}(𝔽)$ będzie macierzą o wierszach $a(1),\mathrm{\dots },a(n)\in M_{1\times k}(𝔽)$. Macierz transponowana $A^T\in M_{k\times n}(𝔽)$ jest zdefiniowana jako

Oznacza to, że wiersze macierzy $A$ stają się kolumnami macierzy transponowanej $A^T$. Wynika stąd, że jeśli $A=[a_{ij}]$ oraz $A^T=[a_{ij}^T]$, to

$$a_{ij}^T=a_{ji}.$$

Przykładowo,

MACIERZ TRANSPONOWANA gdzie $$a(i)=[a_{i1},\mathrm{\dots },a_{in}]\in M_{1\times n}(𝔽),a{(i)}^T=\left[\begin{array}{c}\hfill a_{i1}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill a_{in}\hfill \end{array}\right]\in M_{n\times 1}(𝔽)$$

Wniosek 7.1.

Dla macierzy $A\mathrm{,}B\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ i $t\mathrm{\in }\mathrm{F}$ zachodzą warunki

• ${(A^T)}^T=A$,

• ${(tA)}^T=t{A}^T$,

• ${(A+B)}^T=A^T+B^T$.

• Warunki (ii) i (iii) oznaczają, że transponowanie macierzy

  $$L:M_{k\times n}\left(𝔽\right)\in A⟼A^T\in M_{n\times k}\left(𝔽\right)$$

  jest odwzorowaniem liniowym i jest to izomorfizm. Warunek (i) gwarantuje dla $k=n$, że $L\circ L=\mathrm{id}$.

Definicja 7.2.

Macierz symetryczna i antysymetryczna

Macierz kwadratową $A\in M_{n\times n}(𝔽)$ nazywamy symetryczną, gdy

$$A^T=A.$$

Powiemy, że $A$ jest skośnie symetryczna (antysymetryczna), gdy

$$A^T=-A.$$

Wniosek 7.2.

Niech $\mathrm{F}\mathrm{=}\mathrm{C}$. Dla dowolnej macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$ macierz $A\mathrm{+}{A}^T$ jest symetryczna, a macierz $A\mathrm{-}{A}^T$ jest skośnie symetryczna. W szczególności, każda macierz $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}$ jest sumą macierzy symetrycznej i skośnie symetrycznej:

$$A=\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T).$$

Podamy teraz geometryczną interpretację rzeczywistej macierzy transponowanej.

Lemat 7.1.

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }k}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ oraz $B\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$. Następujące warunki są równoważne

• $(Ax|y)=(x|By)$ dla wszystkich $x\in {ℝ}^k$, $y\in {ℝ}^n$,

• $B=A^T$.

Dowód.

Dla $x={[x_1,\mathrm{\dots },x_k]}^T\in {ℝ}^k$, $y={[y_1,\mathrm{\dots },y_n]}^T\in {ℝ}^n$ mamy

$(Ax|y)$ $={\displaystyle \sum _{i=1}^k}{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{x}_i{y}_j(A{e}_i|e_j)$

$={\displaystyle \sum _{i=1}^k}{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{x}_i{y}_j(a_i|e_j)$

$={\displaystyle \sum _{i=1}^k}{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{x}_i{y}_j{a}_{ji}$

oraz

$(x|By)$ $={\displaystyle \sum _{i=1}^k}{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{x}_i{y}_j(e_i|B{e}_j)$

$={\displaystyle \sum _{i=1}^k}{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{x}_i{y}_j(e_i|b_j)$

$={\displaystyle \sum _{i=1}^k}{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{x}_i{y}_j{b}_{ij}.$

Wynika stąd, że $(Ax|y)=(x|By)$ dla wszystkich $x\in {ℝ}^k$ i $y\in {ℝ}^n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b_{ij}=a_{ji}$ dla wszystkich $i=1,\mathrm{\dots },k$ oraz $j=1,\mathrm{\dots }n$, czyli gdy $B=A^T$. ∎

Wniosek 7.3.

Dla dowolnej macierzy $A\mathrm{=}\mathrm{[}{a}_{i\mathit{}j}\mathrm{]}\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ mamy

$(Ax|y)=(x|A^{T}y),x,y\in {ℝ}^n.$

Ponadto, $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

$(Ax|y)=(x|Ay),x,y\in {ℝ}^n.$

7.2 Iloczyn macierzy

Rozważmy macierze

Definiujemy iloczyn

Dla macierzy o wierszach $a(1),\mathrm{\dots },a(n)\in M_{1\times k}(F)$ oraz macierzy (wektora) $b={[b_1,\mathrm{\dots },b_k]}^T\in M_{k\times 1}(ℝ)$ przyjmujemy, że

$$Ab=\left[\begin{array}{c}\hfill (a{(1)}^T|b)\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill (a{(n)}^T|b)\hfill \end{array}\right]=b_1\cdot a_1+\mathrm{\dots }+b_k\cdot a_k\in {ℝ}^n.$$

Rysunek 7.1: Macierz mnoży wektor – wersja kolumnowa.

Definicja 7.3.

Iloczyn macierzy

Niech $A\in M_{k\times n}(𝔽)$ i . Definiujemy iloczyn macierzy $AB\in M_{k\times m}(𝔽)$ wzorem

Z definicji wynika, że jeśli $A=[a_{ij}]\in M_{k\times n}(𝔽)$, $B=[b_{jl}]\in M_{n\times m}(𝔽)$ i $AB=[c_{il}]\in M_{k\times m}(𝔽)$, to

$c_{il}$ $=(a{(i)}^T|b_l)$

$=a_{i1}{b}_{1l}+\mathrm{\dots }+a_{in}{b}_{nl}$

$AB$

Wyraz o numerze $ij$ macierzy $AB$ jest iloczynem skalarnym $i$-tego wiersza $A$ oraz $j$-tej kolumny macierzy $B$.

Rysunek 7.2: Macierz mnoży macierz w wersji kolumnowej.

Przykład 7.1.

Dla macierzy

mamy

$AB$

Czasami stosuje się poniższą konwencję:

Przykład 7.2.

Uzupełnić pozostałe miejsca $\boxed{\mathrm{?}}$.

• Dla macierzy kwadratowych $A,B\in M_{n\times n}\left(ℝ\right)$ zdefiniowane są obydwa iloczyny $AB$ i $BA$, ale nie muszą one być równe. Mnożenie macierzy w zbiorze $M_{n\times n}\left(ℝ\right)$ nie jest przemienne dla $n\ge 2$. Przykładowo, dla

  mamy

Lemat 7.2 (Mnożenie macierzy jest łączne).

Załóżmy, że $A\mathrm{\in }{M}_{m\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$, $B\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }r}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ i $C\mathrm{\in }{M}_{r\mathrm{\times }s}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$. Wtedy

$(AB)C=A(BC)$

Dowód.

Z definicji iloczynu macierzy mamy

$(AB)C$

$=A(BC).$

∎

Lemat 7.3.

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ i $B\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }m}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$. Wtedy

$L_{AB}=L_A\circ L_B$

Dowód.

Wystarczy pokazać, że odwzorowania liniowe $L_{AB}$ oraz $L_A\circ L_B:{𝔽}^m\to {𝔽}^k$ przyjmują takie same wartości na bazie $e_1,\mathrm{\dots },e_m$. Mamy

$L_{AB}(e_i)$ $=AB{e}_i=A{b}_i$

$=L_A(b_i)=L_A(L_B(e_i))$

$=(L_A\circ L_B)e_i.$

∎

Definicja 7.4.

Macierz identycznościowa

Macierz identycznościowa $I=I_n=[{\delta }_{ij}]\in M_{n\times n}(𝔽)$ to macierz o współczynnikach zdefiniowanych symbolem Kroneckera:

Innymi słowy, . Przykładowo,

Wniosek 7.4.

Dla dowolnej macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ mamy

$$I_{k}A=A=A{I}_n.$$

Definicja 7.5.

Macierz nieosobliwa

Macierz $A\in M_{n\times n}(𝔽)$ jest nieosobliwa (odwracalna) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka macierz $B\in M_{n\times n}(𝔽)$, że

$BA=AB=I_n$

Macierz $B$ nazywamy wtedy macierzą odwrotną do macierzy $A$ i oznaczamy przez $A^{-1}$.

• Jeżeli $A$ jest nieosobliwa, to macierz odwrotna do $A$ jest wyznaczona jednoznacznie. Rzeczywiście, jeśli $B$ i $C$ są odwrotne do $A$, to

  $$B=BI=B\left(AC\right)=\left(BA\right)C=IC=C.$$

Wniosek 7.5 (Odwrotność iloczynu).

Jeśli $A\mathrm{,}B\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ są nieosobliwe, to macierz $A\mathit{}B$ jest nieosobliwa oraz

${(AB)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}.$

Dowód.

Sprawdzamy, że

$(B^{-1}{A}^{-1})(AB)$ $=B^{-1}(A^{-1}A)B$

$=B^{-1}IB$

$=B^{-1}B$

$=I.$

Analogicznie pokazujemy, że $(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=I$. ∎

Lemat 7.4.

Dla macierzy kwadratowej $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ następujące warunki są równoważne:

• $A$ jest nieosobliwa,

• $L_A:{ℝ}^n\ni x⟼Ax\in {ℝ}^n$ jest izomorfizmem.

Dowód.

Jeśli $A$ jest nieosobliwa, to $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$, więc

$$I=L_I=L_{A{A}^{-1}}=L_A\circ L_{A^{-1}},I=L_I=L_{A^{-1}A}=L_{A^{-1}}\circ L_A,$$

czyli $L_A$ jest izomorfizmem liniowym o odwrotnym $L_{A^{-1}}$.

Załóżmy, że $L_A:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ jest izomorfizmem liniowym. Istnieje więc odwzorowanie odwrotne $L^{-1}$. Definiujemy macierz

Wtedy $L^{-1}=L_B$, bo $L^{-1}{e}_i=B{e}_i=L_B(e_i)$. Ponadto,

$$I=L^{-1}\circ L=L_B\circ L_A=L_{BA},I=L\circ L^{-1}=L_A\circ L_B=L_{AB},$$

więc $BA=I=AB$, czyli $A$ jest nieosobliwa i $B=A^{-1}$. ∎

Lemat 7.5 (Transpozycja iloczynu).

Dla macierzy $A\mathrm{,}B\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ i $B\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }k}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ mamy

${(AB)}^T=B^T{A}^T.$

Dowód.

Porównamy elementy na pozycji $il$ po obu stronach równości. Dla macierzy ${(AB)}^T$ na pozycji $il$ stoi element ${\sum }_{j=1}^n{a}_{lj}{b}_{ji}$. Dla macierz $B^T{A}^T$ jest to element ${\sum }_{j=1}^n{b}_{ji}{a}_{lj}$. ∎

Wprowadzimy jeszcze kilka pojęć związanych z macierzami kwadratowymi.

Definicja 7.6.

Macierz diagonalna

Macierz $A\in M_{n\times n}(𝔽)$ nazywamy diagonalną, jeśli $a_{ij}=0$ dla $i\ne j$. Będziemy wtedy czasem pisać $A=\mathrm{diag}(a_{11},\mathrm{\dots },a_{nn})$.

Definicja 7.7.

Macierz górnie/dolnie trójkątna

Macierz $A\in M_{n\times n}(𝔽)$ nazywamy górnie trójkątną, gdy $a_{ij}=0$ dla $i>j$. Analogicznie, $A$ jest dolnie trójkątna, jeśli $a_{ij}=0$ dla .

Przykład 7.3.

Macierz diagonalna, górnie trójkątna i dolnie trójkątna:

• Macierze górnie trójkątne mają użyteczną charakteryzację geometryczną. Niech $e_1,\mathrm{\dots },e_n$ będzie bazą standardową ${𝔽}^n$. Dla $i=1,\mathrm{\dots },n$ rozważamy podprzestrzeń

  $$V_i=\mathrm{span}\{e_1,\mathrm{\dots },e_i\}$$

  generowaną przez pierwszych $i$ wektorów bazowych. Bezpośrednio z definicji, wynika, że macierz $A$ jest górnie trójkątna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $i=1,\mathrm{\dots },n$ podprzestrzeń $V_i$ jest niezmiennicza dla $A$ tzn. jeśli $v\in V_i$, to $Av\in V_i$. Wynika, to z faktu, że $A{e}_1,\mathrm{\dots },A{e}_i\in V_i$ dla każdego $i$ dokładnie wtedy, gdy $A$ jest górnie trójkątna.

Wniosek 7.6.

Macierz $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest dolnie i górnie trójkątna.

Definicja 7.8.

Ślad macierzy

Ślad $\mathrm{tr}(A)$ macierzy $A\in M_{n\times n}(𝔽)$ definiujemy jako liczbę

$\mathrm{tr}(A)=a_{11}+\mathrm{\dots }+a_{nn}$

7.3 Rząd i jądro macierzy

Rozważmy macierz $A\in M_{k\times n}(𝔽)$ i skojarzone odwzorowanie liniowe $L_A(v)=Av$ dla $v\in {𝔽}^n$. Przypomnijmy, że jeśli $v={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T=x_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot e_n$, to

$L_A(v)$ $=Av$

$=\left[\begin{array}{c}\hfill x_1{a}_{11}+\mathrm{\dots }+x_n{a}_{1n}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill x_1{a}_{k1}+\mathrm{\dots }+x_n{a}_{kn}\hfill \end{array}\right]$

$=x_1\cdot a_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot a_n.$

Wynika stąd, że obraz $L_A({𝔽}^n)$ jest generowany przez kolumny macierzy $A$, czyli

$$L_A({𝔽}^n)=\mathrm{span}\{a_1,\mathrm{\dots },a_n\}.$$

Definicja 7.9.

Rząd macierzy

Rząd $\mathrm{rank}A$ macierzy $A$ definiujemy jako wymiar obrazu

$$L_A({𝔽}^n)=\mathrm{span}\{a_1,\mathrm{\dots },a_n\},$$

czyli $\mathrm{rank}A$ jest (maksymalną) liczbą liniowo niezależnych kolumn macierzy $A$.

Rząd macierzy został wprowadzony w 1878 przez Georga Frobeniusa (1849–1917).

Definicja 7.10.

Jądro macierzy

Jądro $\ker A$ macierzy $A$ definiujemy jako jądro odwzorowania $L_A$. Jest to więc zbiór takich wektorów $v\in {𝔽}^n$, że $Av=0$.

Jądro macierzy został wprowadzony w 1884 przez Jamesa Josepha Sylvestera (1814–1887).

Wniosek 7.7 (Formuła wymiaru dla macierzy).

Dla $A\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ mamy

$n=\dim \ker A+\mathrm{rank}A.$

Wniosek 7.8.

Dla macierzy kwadratowej $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ następujące warunki są równoważne

• $A$ jest nieosobliwa,

• $\ker A=\{0\}$,

• $\mathrm{rank}A=n$.

W szczególności, macierz $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej kolumny są liniowo niezależne.

Lemat 7.6.

Dla dowolnej macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy $A$ jest większa bądź równa od maksymalnej liczby liniowo niezależnych wierszy macierzy $A$. W szczególności,

$$\mathrm{rank}A\ge \mathrm{rank}{A}^T.$$

Dowód.

Niech $1\le r\le k$ będzie maksymalną liczbą liniowo niezależnych wierszy macierzy $A$. Niech $v_1,\mathrm{\dots },v_r$ będą takimi wierszami $A$, że wektory $v_1^T,\mathrm{\dots },v_r^T$są liniowo niezależne. Pokażemy, że $A{v}_1^T,\mathrm{\dots },A{v}_r^T$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że

$$x_1\cdot A{v}_1^T+\mathrm{\dots }+x_r\cdot A{v}_r^T=0,$$

dla pewnych skalarów $x_i\in 𝔽$. Wtedy dla $v=x_1\cdot v_1^T+\mathrm{\dots }+x_r{v}_r^T$ mamy

$Av$ $=A(x_1\cdot v_1^T+\mathrm{\dots }+x_r\cdot v_r^T)$

$=x_1\cdot A{v}_1^T+\mathrm{\dots }+x_r\cdot A{v}_r^T$

$=0.$

Z definicji iloczynu $Av$ oznacza to, że $(v_i^T|v)=0$ dla $i=1,\mathrm{\dots },r$. Ponieważ $v\in \mathrm{span}\{v_1^T,\mathrm{\dots },v_r^T\}$, więc $(v|v)=0$. Stąd $v=0$, czyli $x_1=\mathrm{\dots }=x_r=0$. Oznacza to, że $A{v}_1^T,\mathrm{\dots },A{v}_r^T$ są liniowo niezależne. Ponieważ należą one do $L_A({𝔽}^n)$, więc z definicji rzędu wynika teza. ∎

Twierdzenie 7.1 (Rząd macierzy transponowanej).

Dla dowolnej macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ zachodzi równość

$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A}^T.$

Dowód.

Stosujemy Lemat 7.6 do macierzy $A$ i $A^T$. ∎

Wniosek 7.9.

Dla dowolnej macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy.

Przykład 7.4 (Macierze elementarne).

Wprowadzimy teraz pojęcie macierzy elementarnych. Będą to macierze nieosobliwe $M$, które zastosowane do układu (7.1) skutkują operacjami elementarnymi na wierszach macierzy $A$. Zrobimy to przykładowo dla $k=n=3$.

Startujemy z macierzy identycznościowej

Macierze elementarne powstają z macierzy $I$ przez zastosowanie do $I$ operacji elementarnych na wierszach macierzy. Będziemy więc mieć do czynienia z trzema typami macierzy elementarnych.

Typ I. Macierze elementarne odpowiadające zamianie miejscami wierszy w macierzy $I$. Rozważmy przykładowo macierz

powstałą z $I$ przez zamianę pierwszego i drugiego wiersza. Zauważmy, że dla $A\in M_{3\times 3}(ℝ)$ mamy

czyli iloczyn $E_{1}A$ odpowiada wykonanej operacji na wierszach macierzy $I$. Iloczyn $A{E}_1$ permutuje pierwszą i drugą kolumnę.

Typ II. Są to macierze elementarne otrzymane z $I$ przez przemnożenie jej wiersza przez niezerową liczbę rzeczywistą. Przykładowo,

Wtedy

Typ III. Macierze elementarne powstałe z $I$ przez dodanie do pewnego jej wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę rzeczywistą. Dla przykładu,

Mamy

Wniosek 7.10.

Jeśli $E$ jest macierzą elementarną, to $E$ jest nieosobliwa i $E^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$ jest macierzą elementarną tego samego typu.

Definicja 7.11.

Macierze wierszowo równoważne

Niech $A$, $B\in M_{k\times n}(𝔽)$. Powiemy, że $A$ jest wierszowo równoważna z $B$, jeśli istnieje taki ciąg macierzy elementarnych $E_1,E_2,\mathrm{\dots },E_k$, że

$B=E_k\mathrm{\dots }{E}_{1}A$

Jest to relacja równoważności w zbiorze $M_{k\times n}(𝔽)$.

Wniosek 7.11.

Jeśli $A$, $B\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ są wierszowo równoważne, to $\mathrm{rank}\mathit{}A\mathrm{=}\mathrm{rank}\mathit{}B$.

Wniosek 7.12.

Macierz $A\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ jest wierszowo równoważna ze swoją postacią schodkową i zredukowaną postacią schodkową otrzymanymi metodą eliminacji Gaussa.

Wniosek 7.13.

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ będzie macierzą kwadratową. Następujące warunki są równoważne:

• $A$ jest nieosobliwa,

• $A$ jest wierszowo równoważna z macierzą identycznościową.

Dowód.

Załóżmy, że zachodzi warunek (1). Wtedy układ $Ax=0$ ma tylko zerowe rozwiązanie. Stosując metodę eliminacji Gaussa możemy sprowadzić macierz $A$ do postaci schodkowej $U$. Oczywiście, $U$ jest wierszowo równoważna z $A$. Jeśli któryś z elementów diagonalnych $U$ jest zerem, to ostatni wiersz macierzy $U$ jest zerowy. Wtedy $\ker U\ne \{0\}$, więc $Ux=0$ ma niezerowe rozwiązania. Otrzymujemy sprzeczność, bo $Ax=0$ i $Ux=0$ mają takie same zbiory rozwiązań. Macierz $U$ jest więc macierzą górnie trójkątną ze wszystkimi elementami na przekątnej równymi $1$. Taka macierz jest oczywiście wierszowo równoważna z macierzą $I$, bo $I$ jest jej zredukowaną postacią schodkową.

Jeśli zachodzi warunek (2), to istnieje taki ciąg macierzy elementarnych $E_1,E_2,\mathrm{\dots },E_k$, że

$$I=E_k\mathrm{\dots }{E}_{1}A.$$

Stąd $A^{-1}=E_k\mathrm{\dots }{E}_1$. ∎

• W dowodzie powyższym skorzystaliśmy z następującego faktu: jeśli $A,B\in M_{n\times n}\left(ℝ\right)$ są macierzami kwadratowymi i $BA=I$, to $A$ jest nieosobliwa i $A^{-1}=B$. Musimy tu być trochę ostrożni. Jak wiemy mnożenie macierzy nie jest przemienne. Potencjalnie mogłoby się więc zdarzyć, że $AB\ne I$. Pokażemy, że jednak $AB=I$. Uzasadnimy najpierw, że $A$ jest nieosobliwa. Wystarczy pokazać, że $\ker A=\left\{0\right\}$. Jeśli $v\in \ker A$, to

  $$v=Iv=BAv=B0=0,$$

  więc $v=0$. Istnieje więc macierz odwrotna $A^{-1}$. Wtedy

  $$BA=I\Rightarrow \left(BA\right)A^{-1}=A^{-1}\Rightarrow B=B\left(A{A}^{-1}\right)=A^{-1}.$$

• Jak wiemy, macierz $A\in M_{n\times n}\left(ℝ\right)$ jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest wierszowo równoważna z $I$. Ponadto, $A^{-1}=E_k\mathrm{\dots }{E}_1$ dla pewnych macierzy elementarnych. Wynika stąd, że macierz możemy z pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci . Pozwala to na wyznaczenie macierzy odwrotnej $A^{-1}$.

Przykład 7.5.

Znajdziemy macierz odwrotną do macierzy

wykorzystując elementarne operacje na jej wierszach. Tworzymy macierz . Jeżeli przekształcimy ją w macierz , to wtedy $B=A^{-1}$. W naszym przypadku

więc

Rysunek 7.3: Przykładowy graf o pięciu wierzchołkach.

Przykład 7.6 (Macierze i grafy).

Teoria grafów pełni bardzo ważną rolę dla zastosowań matematyki. Graf $G$ jest zdefiniowany jako skończony zbiór wierzchołków, czyli pewien $n$-elementowy zbiór skończony $\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ oraz zbiór krawędzi, czyli pewien zbiór par wierzchołków. Przykładowo, na Rys. (7.3) przedstawiono graf o pięciu wierzchołkach $v_1,v_2,v_3,v_4,v_5$ oraz krawędziach

$$\{v_1,v_2\},\{v_2,v_5\},\{v_3,v_4\},\{v_3,v_5\},\{v_4,v_5\}.$$

Z grafem $G$ o $n$ wierzchołkach możemy skojarzyć pewną macierz $A=[a_{ij}]\in M_{n\times n}(ℝ)$, zwaną macierzą połączeń w grafie $G$. Jest ona zdefiniowana regułą:

Dla grafu z Rys. (7.3) mamy

Możemy myśleć o ścieżce w grafie $G$ jako o skończonym ciągu krawędzi od jednego wierzchołka do drugiego. Przykładowo, krawędzie $\{v_1,v_2\}$, $\{v_2,v_5\}$ są pewną ścieżką od wierzchołka $v_1$ do $v_5$. Prostym sposobem określenia ścieżki jest jest opisanie ruchu używając wierzchołków. Powyższa ścieżka ma opis

$$v_1\to v_2\to v_5$$

i ma długość $2$. Podobnie,

$$v_5\to v_3\to v_5\to v_3$$

jest ścieżką długości $3$ z $v_5$ do $v_3$.

Niech $A^k=[a_{ij}^{(k)}]\in M_{n\times n}$. Uzasadnimy, że $a_{ij}^{(k)}$ jest liczbą ścieżek długości $k$ z wierzchołka $v_i$ do wierzchołka $v_j$. Zastosujemy indukcję względem $k$. Dla $k=1$ teza zachodzi z definicji macierzy $A$. Załóżmy, że teza zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $m$, czyli $a_{il}^{(m)}$ jest liczbą ścieżek długości $m$ z wierzchołka $v_i$ do wierzchołka $v_l$. Jeśli istnieje krawędź $\{v_l,v_j\}$, to $a_{il}^{(m)}{a}_{lj}=a_{il}^{(m)}$ jest liczbą ścieżek długości $m+1$ z $v_i$ do $v_j$ postaci

$$v_1\to \mathrm{\dots }\to v_l\to v_j.$$

Ogólna liczba ścieżek długości $m+1$ z $v_i$ do $v_j$ jest równa,

$$a_{i1}^{(m)}{a}_{1j}+\mathrm{\dots }+a_{in}^{(m)}{a}_{nj},$$

ale ta liczba to $a_{ij}^{(m+1)}$ z definicji iloczynu macierzy.

W przypadku grafu z Rys. 7.3 mamy

Przykładowo, liczba ścieżek długości $3$ z $v_3$ do $v_5$ jest więc równa $a_{35}^{(3)}=4$. Zauważmy, że macierz $A^3$ (podobnie jak $A^k$) jest symetryczna. Odzwierciedla to fakt, że liczba ścieżek długości $3$ z $v_i$ do $v_j$ jest równa liczbie ścieżek długości $3$ z $v_j$ do $v_i$.

Powyższe rozważania pozostają prawdziwe dla grafów skierowanych w których krawędzie mają kierunek. Oznacza to, że może istnieć krawędź z wierzchołka $v_i$ do $v_j$, ale nie koniecznie również z $v_j$ do $v_i$. Macierz $A$ nie musi być wtedy symetryczna.

Rysunek 7.4: Graf skierowany opisujący zwycięstwa drużyn w turnieju.

Przykład 7.7.

Pięć reprezentacji siatkarskich: Polska, Brazylia, Stany Zjednoczone, Rosja i Włochy rozgrywają turniej grając mecze każdy z każdym. Chcemy ustalić ranking drużyn w którym liczą się tylko zwycięstwa – nieważne jakim stosunkiem setów. Tworzymy macierz $A$ w której wierszach kodujemy wyniki kolejnych reprezentacji: piszemy $1$ jeśli reprezentacja wygrała mecz i $0$ jeśli nie wygrała (na przekątnej są zera, bo reprezentacje nie grają ze sobą). Załóżmy, że $A$ ma postać

Jest to macierz skojarzona z grafem skierowanym, którego wierzchołkami jest pięć reprezentacji, a krawędzie są zadane zwycięstwami. Przykładowo, z wierzchołka Polska wychodzą krawędzie do wierzchołków Brazylia, Rosja i Włochy. Z kolei, Polska jest końcem krawędzi o początku w wierzchołku Stany Zjednoczone. Przykładowo, pierwszy wiersz oznacza, że Polska wygrała z Brazylią, Rosją i Włochami, a przegrała ze Stanami Zjednoczonymi. Rosja (czwarty wiersz) wygrała tylko z Włochami. Liczbę zwycięstw poszczególnych drużyn otrzymujemy obliczając

Oznacza to, że najlepsze w takim rankingu są Polska i Brazylia z trzema zwycięstwami. Następne są Stany Zjednoczone, a ostanie są Rosja i Włochy z jednym zwycięstwem.

Zauważmy, że Polska może argumentować, że jest najlepszą drużyną bo wygrała z Brazylią. Rosja wygrała z Włochami, ale Włochy mogą powiedzieć, że pokonali Stany Zjednoczone, które wygrały z Polską i Rosją. Włochy mają dwa ,,niebezpośrednie’’ zwycięstwa. Spróbujmy więc policzyć zwycięstwa reprezentacji łącznie z ich ,,niebezpośrednimi’’ zwycięstwami. Odpowiada to sumie

Rysunek 7.5: Łańcuch Markowa.

Przykład 7.8 (Łańcuchy Markowa).

W badaniach preferencji rynkowych dotyczących dwóch marek pasty do zębów $A$ i $B$ bierze udział $200$ osób. Z badań wynika, że każdego miesiąca $70$ procent użytkowników marki $A$ używa jej w następnym miesiącu, a $30$ procent dokonuje zmiany na markę $B$. Wśród użytkowników marki $B$ te proporcje są odpowiednio równe $80$ i $20$ procent. Załóżmy, że na początku było $120$ użytkowników marki $A$ i $80$ marki $B$. Zbadamy jak wiele osób będzie używać poszczególnych marek w kolejnych miesiącach. Po miesiącu marki $A$ będzie używać

$$0.7\cdot 120+0.2\cdot 80=100$$

osób, a marki $B$

$$0.3\cdot 120+0.8\cdot 80=100$$

osób. Rozważmy macierz

Wtedy

Po $n$ miesiącach liczbę osób otrzymujemy jako wektor

Czasami wygodniej zamiast posługiwania się liczbą użytkowników marek $120$ i $80$ wygodniej jest użyć ich procentowego udziału, czyli zamiast wektora ${[120,80]}^T$ używamy wtedy wektora ${[0.6,0.4]}^T$. Wtedy

Przykład 7.9 (Macierze Leslie’go).

Pewien gatunek żuka żyje co najwyżej $3$ lata. Podzielimy populację jego samic na trzy grupy:

• młode: wiek $0-1$,

• dojrzałe: wiek $1-2$,

• dorosłe: wiek $2-3$.

Młode z prawdopodobieństwem $1/2$ staną się dojrzałe, dojrzałe z prawdopodobieństwem $1/4$ staną się dorosłymi. Młode nie znoszą jajek, dojrzałe produkują średnio $4$ samice, a dorosłe średnio $3$ samice. Przypuśćmy, że wśród populacji $100$ samic jest $40$ młodych, $40$ dojrzałych, $20$ dorosłych. Spróbujemy przewidzieć populację po $3$ latach. Zobaczmy jak populacja będzie wyglądała po roku. Młodych będzie

$$40\cdot 4+20\cdot 3=220.$$

Dojrzałych będzie tyle ile młodych, które przetrwały, czyli

$$40\cdot 0.5=20,$$

a dorosłych tyle ile dojrzałych które przetrwały, czyli

$$40\cdot 0.25=10.$$

Rozważmy macierz

Zauważmy, że

Możemy ten proces iterować otrzymując po dwóch latach

po trzech latach

• Oceń prawdziwość zadań

  • Jeśli macierze $A,B\in M_{2\times 2}(ℝ)$ są nieosobliwe, to macierz $A+B$ jest nieosobliwa i ${(A+B)}^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$.

  • Dla dowolnych $A,B\in M_{2\times 2}(ℝ)$ zachodzi równość ${(A-B)}^2=A^2-2AB+B^2$.

  • Jeśli $D_1,D_2\in M_{n\times n}(ℝ)$ są macierzami diagonalnymi, to $D_1{D}_2=D_2{D}_1$.

  • Jeśli $A\in M_{n\times n}(ℝ)$ i $B=3A^4-5A^3+A^2+7A+I$, to $AB=BA$.

  • Jeśli $A,B\in M_{n\times n}(ℝ)$ są symetryczne, to $AB=BA$ wtedy i tylko wtedy, gdy $AB$ jest symetryczna.

  • Jeśli $A=[a_{ij}]\in M_{n\times n}(ℝ)$ jest skośnie symetryczna, to $a_{11}=\mathrm{\dots }=a_{nn}=0$.

  • Iloczyn macierzy górnie trójkątnych jest macierzą górnie trójkątną.

  • Macierz górnie trójkątna jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wyrazy diagonalne $a_{ii}$ są niezerowe.

  • Jeśli $A,B,C$ są takimi $2\times 2$-macierzami, że $AB=AC$, to $B=C$.

$⟵$

7.4 Układy równań liniowych raz jeszcze

Wniosek 7.14.

Niech i $b\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^k$. Następujące warunki są równoważne:

• zbiór rozwiązań układu $Ax=b$ jest niepusty,

• $b\in \mathrm{span}\{a_1,\mathrm{\dots },a_n\}$,

• .

Wniosek 7.15.

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$. Wektor zerowy $\mathrm{0}\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^n$ jest jedynym rozwiązaniem układu jednorodnego $A\mathit{}x\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^k$ wtedy i tylko wtedy, gdy wektory $a_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{a}_n$ są liniowo niezależne. Wtedy $\mathrm{rank}\mathit{}\mathrm{(}A\mathrm{)}\mathrm{=}n$ oraz $k\mathrm{\ge }n$.

Twierdzenie 7.2.

Niech . Następujące warunki są równoważne:

• Dla każdego wektora $b\in {𝔽}^k$ układ $Ax=b$ ma dokładnie jedno rozwiązanie $x\in {𝔽}^n$,

• $k=n$ i macierz $A$ jest nieosobliwa.

Dowód.

Załóżmy najpierw, że zachodzi warunek (ii). Ustalmy wektor $b\in {𝔽}^k={𝔽}^n$. Mamy pokazać, że istnieje dokładnie jeden taki wektor $x\in {𝔽}^n$, że $Ax=b$. Z warunku (ii) istnieje $A^{-1}\in M_{n\times n}(𝔽)$. Wtedy dla $x=A^{-1}b$ mamy

$$Ax=A{A}^{-1}b=Ib=b,$$

czyli wektor $x=A^{-1}b$ jest rozwiązaniem układu $Ax=b$. Takie rozwiązanie jest jedyne, bo jeśli $Av=b$, to

$$A^{-1}Av=A^{-1}b\Rightarrow v=A^{-1}b.$$

Niech teraz zachodzi warunek (i). Wystarczy pokazać, że wektory $a_1,\mathrm{\dots },a_n$ są bazą ${𝔽}^k$. Zauważmy, że warunek (i) implkuje, że

$$\mathrm{span}\{a_1,\mathrm{\dots },a_n\}={𝔽}^k.$$

Z drugiej strony, stosując (i) do wektora $b=0\in {𝔽}^k$ otrzymujemy, że wektory $a_1,\mathrm{\dots },a_n$ są liniowo niezależne. Stąd $a_1,\mathrm{\dots },a_n$ tworzą bazę ${𝔽}^k$, czyli $k=n$. ∎

• Dla i $b\in {𝔽}^k$ rozważmy ponownie układ

  $$Ax=b.$$ (7.1)

  Dla macierzy nieosobliwej $M\in M_{k\times k}\left(𝔽\right)$ rozważmy układ

  $$MAx=Mb.$$ (7.2)

  Sprawdzamy łatwo, że układy (7.1) i (7.2) są równoważne tzn. mają równe zbiory rozwiązań. Zamiast więc rozwiązywać układ (7.1) możemy rozwiązać układ (7.2), który przy odpowiednim wyborze macierzy nieosobliwej $M$ może okazać się układem prostszym do analizy.

7.5 Zmiana bazy

Rysunek 7.6: Zmiana bazy. Baza $w_1={[2,1]}^T$, $w_2={[1,4]}^T$ zadaje nowy układ współrzędnych na płaszczyźnie. Wektor $x={[7,7]}^T$ ma w bazie standardowej współrzędne $x_1=7$, $x_2=7$, bo $w=7\cdot e_1+7\cdot e_2$. W bazie $w_1$, $w_2$ wektor $w$ ma współrzędne $c_1=3$, $c_2=1$, bo $w=3\cdot w_1+1\cdot w_2$.

7.5.1 Zmiana bazy w ${𝔽}^2$

Dla dowolnego wektora $x={[x_1,x_2]}^T\in {𝔽}^2$ zachodzi równość

$$x=x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2,$$

gdzie $e_1,e_2$ jest bazą standardową. Skalary $x_1$ i $x_2$ nazywamy współrzędnymi wektora $x$ w bazie standardowej. Możemy to pojęcie uogólnić. Załóżmy, że $w_1$, $w_2$ jest ustaloną bazą ${𝔽}^2$. Dla dowolnego wektora $w\in {𝔽}^2$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $c_1,c_2\in 𝔽$, że

$$w=c_1\cdot w_1+c_2\cdot w_2.$$

Wektor $c={[c_1,c_2]}^T\in {𝔽}^2$ będziemy nazywali współrzędnymi wektora $w$ w bazie $w_{\mathrm{1}}$, $w_{\mathrm{2}}$.

• Zwróćcie uwagę, że mówiąc o bazie $w_1$, $w_2$ mamy tu na myśli bazę uporządkowaną tzn. ciąg wektorów $(w_1,w_2)$. Podając wektor współrzędnych w bazie $c={[c_1,c_2]}^T$ istotne jest który wektor bazowy jest pierwszy, a który drugi.

Przykład 7.10.

Rozważmy bazę $w_1={[2,1]}^T$, $w_2={[1,4]}^T$ w ${ℝ}^2$. Łatwo sprawdzamy, że dla wektora $w={[7,7]}^T$ mamy

$$w=3\cdot w_1+1\cdot w_2.$$

Współrzędne wektora $w={[7,7]}^T$ w bazie $w_1,w_2$ są dane wektorem $c={[3,1]}^T$.

Niech $w_1$, $w_2$ będzie dowolną bazą ${𝔽}^2$. Zajmiemy się teraz następującymi problemami:

(I) Dla danego wektora $x={[x_1,x_2]}^T=x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2$ (znamy jego współrzędne w bazie standardowej $e_1$, $e_2$) znajdziemy jego współrzędne $c={[c_1,c_2]}^T$ w bazie $w_1$, $w_2$. (II) Dla danego wektora $c_1\cdot w_1+c_2\cdot w_2$ (znamy jego współrzędne w bazie $w_1$, $w_2$) znajdziemy jego współrzędne $x={[x_1,x_2]}^T$ w bazie $e_1$, $e_2$.

Zaczniemy od problemu (II) bo jest on łatwiejszy. Załóżmy, że

$$w_1={[a_{11},a_{21}]}^T=a_{11}\cdot e_1+a_{21}\cdot e_2,w_2={[a_{12},a_{22}]}^T=a_{12}\cdot e_1+a_{22}\cdot e_2.$$

Znamy więc współrzędne wektorów bazowych $w_1$, $w_2$ w bazie $e_1$, $e_2$. Zauważmy, że

$c_1\cdot w_1+c_2\cdot w_2$ $=(a_{11}{c}_1\cdot e_1+a_{21}{c}_1\cdot e_2)+(a_{12}{c}_2\cdot e_1+a_{22}{c}_2\cdot e_2)$

$=(a_{11}{c}_1+a_{12}{c}_2)\cdot e_1+(a_{21}{c}_1+a_{22}{c}_2)\cdot e_2.$

Wynika stąd, że współrzędne wektora $c_1\cdot w_1+c_2\cdot w_2$ w bazie standardowej $e_1$, $e_2$ są dane wektorem

$x$ $={[a_{11}{c}_1+a_{12}{c}_2,a_{21}{c}_1+a_{22}{c}_2]}^T$

$=\left[\begin{array}{c}\hfill a_{11}{c}_1+a_{12}{c}_2\hfill \\ \hfill a_{21}{c}_1+a_{22}{c}_2\hfill \end{array}\right]$

Prowadzi nas to do następującej konkluzji. Jeśli $c={[c_1,c_2]}^T$ są współrzędnymi wektora $w$ w bazie $w_1$, $w_2$ oraz $x={[x_1,x_2]}^T$ są współrzędnymi wektora $w$ w bazie $e_1$, $e_2$, to

Definicja 7.12.

Macierz przejścia do bazy standardowej

Macierz nazywamy macierzą przejścia od bazy $w_1,w_2$ do bazy standardowej $e_1,e_2$.

Możemy teraz łatwo rozwiązać problem (I). Ponieważ macierz jest nieosobliwa, więc

$$c=W^{-1}x.$$

Przypuśćmy teraz, że mamy dwie dowolne bazy $w_1,w_2$ oraz $u_1,u_2$ w ${𝔽}^2$. Rozważmy wektor

$$w=c_1\cdot w_1+c_2\cdot w_2=c_1^{*}\cdot u_1+c_2^{*}\cdot u_2.$$

Znajdziemy związek pomiędzy współrzędnymi $c={[c_1,c_2]}^T$ wektora $w$ w bazie $w_1,w_2$, a jego współrzędnymi $c^{*}={[c_1^{*},c_2^{*}]}^T$ w bazie $u_1,u_2$. Niech ${[x_1,x_2]}^T$ będą współrzędnymi wektora $w$ w bazie standardowej, czyli $w=x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2$. Jak wiemy dla macierzy oraz mamy

$$Wc={[x_1,x_2]}^T=U{c}^{*}.$$

Stąd

$$c=W^{-1}U{c}^{*},c^{*}=U^{-1}Wc.$$

Macierz $S:=U^{-1}W$ możemy zinterpretować jeszcze inaczej. Niech . Zobaczymy jak wyglądają kolumny $s_1$ i $s_2$ macierzy $S$. Oczywiście

$$s_1=S{e}_1,s_2=S{e}_2.$$

Dla wektora $w=w_1$ mamy $c=e_1$, bo $w_1=1\cdot w_1+0\cdot w_2$, czyli $s_1=c^{*}$ są współrzędnymi wektora $w_1$ w bazie $u_1,u_2$, więc

$$w_1=s_{11}\cdot u_1+s_{21}\cdot u_2.$$

Analogicznie, $w_2=s_{12}\cdot u_1+s_{22}\cdot u_2$, czyli

Nazywamy ją macierzą przejścia od bazy $w_1,w_2$ do bazy $u_1,u_2$.

7.5.2 Zmiana bazy w ${𝔽}^n$

Definicja 7.13.

Współrzędne wektora w bazie

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową wymiaru $n$ (nad ciałem $𝔽$) i $w_1,\mathrm{\dots },w_n$ pewną bazą w $V$. Dowolny wektor $w\in V$ możemy jednoznacznie zapisać jako kombinację liniową

$$w=c_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+c_n\cdot w_n.$$

Wektor $c={[c_1,\mathrm{\dots },c_n]}^T\in {𝔽}^n$ nazywamy współrzędnymi wektora $w$ w bazie (uporządkowanej) $w_1,\mathrm{\dots },w_n$.

Definicja 7.14.

Macierz przejścia - zmiana bazy

Niech $w_1,\mathrm{\dots },w_n$ oraz $u_1,\mathrm{\dots },u_n$ będą bazami $V$. Istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $s_{ij}$, że

$w_1$ $=s_{11}\cdot u_1+s_{21}\cdot u_2+\mathrm{\dots }+s_{n1}\cdot u_n,$

$\mathrm{⋮}$

$w_n$ $=s_{1n}\cdot u_1+s_{2n}\cdot u_2+\mathrm{\dots }+s_{nn}\cdot u_n.$

Macierz $S\in M_{n\times n}(𝔽)$ daną przez

nazywamy macierzą przejścia od bazy $w_1,\mathrm{\dots },w_n$ do bazy $u_1,\mathrm{\dots },u_n$. Oznacza to, że $i$-ta kolumna $s_i$ macierzy $S$ jest wektorem współrzędnych wektora $w_i$ w bazie $u_1,\mathrm{\dots },u_n$.

Lemat 7.7.

Niech $c\mathrm{=}{\mathrm{[}{c}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{c}_n\mathrm{]}}^T\mathrm{,}{c}^{\mathrm{*}}\mathrm{=}{\mathrm{[}{c}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{c}_n^{\mathrm{*}}\mathrm{]}}^T\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^n$. Równość

$$c_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+c_n\cdot w_n=c_1^{*}\cdot u_1+\mathrm{\dots }+c_n^{*}\cdot u_n$$

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $c^{\mathrm{*}}\mathrm{=}S\mathit{}c$.

Dowód.

Zauważmy, że

$$c_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+c_n\cdot w_n=\left(\sum _{j=1}^n{s}_{1j}{c}_j\right)\cdot u_1+\mathrm{\dots }+\left(\sum _{j=1}^n{s}_{nj}{c}_j\right)\cdot u_n,$$

więc teza zachodzi. ∎

Wniosek 7.16.

Macierz przejścia $S\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ jest nieosobliwa.

Dowód.

Wystarczy pokazać, że jedynym rozwiązaniem $Sc=0$ jest $c=0$. Jeśli $Sc=0$, to $c^{*}=0$, czyli

$$c_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+c_n\cdot w_n=0\cdot u_1+\mathrm{\dots }+0\cdot u_n=0,$$

więc $c_1=\mathrm{\dots }=c_n=0$, bo $w_1,\mathrm{\dots },w_n$ są liniowo niezależne. ∎

Przykład 7.11.

Znajdziemy macierz przejścia od bazy $1$, $x$, $x^2$ dla $P_2$ do bazy $1$, $2x$, $4x^2-2$. Wygodnie jest znaleźć najpierw macierz przejścia $S$ od bazy $1$, $2x$, $4x^2-2$ do bazy $1$, $x$, $x^2$. Ponieważ

$1$ $=1\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2$

$2\cdot x$ $=0\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^2$

$4\cdot x^2$ $=-2\cdot 1+0\cdot x+4\cdot x^2$

więc

Macierz przejścia od bazy $1$, $x$, $x^2$ dla $P_2$ do bazy $1$, $2\cdot x$, $4\cdot x^2-2$ jest równa

ZMIANA BAZY: OD DOWOLNEJ DO STANDARDOWEJ Niech $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ będzie bazą ${𝔽}^n$. jest nieosobliwa. Jeśli $$v=x_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot e_n=c_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+c_n\cdot v_n,$$ to $$S{[c_1,\mathrm{\dots },c_n]}^T={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T,{[c_1,\mathrm{\dots },c_n]}^T=S^{-1}{[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T.$$

ZMIANA BAZY. PODSUMOWANIE Niech $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ oraz $w_1,\mathrm{\dots },w_n$ będą bazami ${𝔽}^n$. $$v_i=s_{1i}\cdot w_1+\mathrm{\dots }+s_{ni}\cdot w_n,i=1,\mathrm{\dots },n.$$ Macierz jest nieosobliwa. Jeśli $$v=x_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot w_n=c_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+c_n\cdot v_n,$$ to $$S{[c_1,\mathrm{\dots },c_n]}^T={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T.$$

• Oceń które ze zdań jest prawdziwe:

  • Transpozycja macierzy górnie trójkątnej jest macierzą górnie trójkątną.

  • Odwrotność nieosobliwej macierzy górnie trójkątnej jest macierzą dolnie trójkątną.

  • Macierz górnie trójkątna i symetryczna jest diagonalna.

  • Jeśli $A+B$ jest górnie trójkątna, to $A$ i $B$ są górnie trójkątne.

  • Jeśli $A^2$ jest symetryczna, to $A$ jest symetryczna.

  • Jeśli $A$ jest nieosobliwa, to $A^{T}A$ i $A{A}^T$ są nieosobliwe.

  • Jeśli $A$, $B\in M_{n\times n}(𝔽)$ są nieosobliwe, to $AB$ jest nieosobliwa.

  • Jeśli $A$, $B\in M_{n\times n}(𝔽)$ są nieosobliwe, to $A+B$ jest nieosobliwa.

  • Dla dowolnych $n\times n$ macierzy kwadratowych zachodzi $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$.

  • Dla dowolnej macierzy kwadratowej $I-A^2=(I-A)(I+A)$.

  • Istnieją takie macierze nieosobliwe, że ${(AB)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$.

  • Istnieje taka macierz $A\in M_{2\times 2}(ℝ)$, że $\ker A=\mathrm{im}A$.

  • Istnieje taka macierz $A\in M_{3\times 3}(ℝ)$, że $\ker A=\mathrm{im}A$.

$⟵$

Rozdział 8 Reprezentacja macierzowa

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU macierz odwzorowania liniowego $\mathrm{◇}$ macierze podobne $\mathrm{◇}$ ślad iloczynu $\mathrm{◇}$ ślad macierzy podobnych Reprezentacja odwzorowania liniowego.

8.1 Macierz odwzorowania liniowego

Lemat 8.1.

Niech $L\mathrm{:}{\mathrm{F}}^n\mathrm{⟶}{\mathrm{F}}^m$ będzie odwzorowaniem liniowym. Istnieje taka macierz $A\mathrm{\in }{M}_{m\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$, że

$$L(v)=Av,v\in {𝔽}^n.$$

Ponadto,

Dowód.

Definiujemy wektory

$$a_i=L(e_i),i=1,\mathrm{\dots },n$$

oraz macierz . Niech $v=x_1\cdot e_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot e_n$ będzie dowolnym wektorem w ${𝔽}^n$. Wtedy

$L(v)$ $=x_1\cdot L(e_1)+\mathrm{\dots }+x_n\cdot L(e_n)$

$=x_1\cdot a_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot a_n$

$=Av.$

∎

Definicja 8.1.

Macierz standardowa odwzorowania liniowego

Niech $L:{𝔽}^n⟶{𝔽}^m$ będzie odwzorowaniem liniowym. Macierz

nazywamy macierzą odwzorowania liniowego $L$ w bazach standardowych lub macierzą standardową $L$.

Przykład 8.1.

Niech $L:{ℝ}^3⟶{ℝ}^2$ będzie odwzorowaniem liniowym danym przez

$$L({[x_1,x_2,x_3]}^T)={[x_1-x_2+x_3,2x_2+3x_3]}^T.$$

Wtedy

$$L({[1,0,0]}^T)={[1,0]}^T,L({[0,1,0]}^T)={[-1,2]}^T,L({[0,0,1]}^T)={[1,3]}^T,$$

czyli macierz standardowa odwzorowania $L$ jest równa

• Załóżmy, że $L:{ℝ}^n⟶{ℝ}^m$, $G:{ℝ}^m⟶{ℝ}^k$. Niech $A\in M_{m\times n}\left(ℝ\right)$ będzie standardową reprezentacją macierzową dla $L$, a $B\in M_{k\times m}\left(ℝ\right)$ dla $G$. Wtedy $BA\in M_{k\times n}\left(ℝ\right)$ jest reprezentacją macierzową dla $G\circ L:{ℝ}^n⟶{ℝ}^k$. Rzeczywiście niech $C\in M_{k\times n}\left(ℝ\right)$ będzie macierzową reprezentacją odwzorowania $G\circ L:{ℝ}^n⟶{ℝ}^k$. Z definicji, , gdzie $c_i=\left(G\circ L\right)\left(e_i\right)$ dla $i=1,\mathrm{\dots },n$. Zauważmy, że

  $c_i$ $=\left(G\circ L\right)\left(e_i\right)$

  $=G\left(L\left(e_i\right)\right)=G\left(a_i\right)$

  $=G\left(a_{1i}\cdot e_1+\mathrm{\dots }+a_{mi}\cdot e_m\right)$

  $=a_{1i}\cdot G\left(e_1\right)+\mathrm{\dots }+a_{mi}\cdot G\left(e_m\right)$

  $=a_{1i}\cdot b_1+\mathrm{\dots }+a_{mi}\cdot b_m=B{a}_i,$

  czyli $c_i$ jest $i$-tą kolumną macierzy $BA$.

Uogólnimy powyższą konstrukcję macierzy skojarzonej z odwzorowaniem liniowym. Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową wymiaru $n$ i niech $W$ będzie przestrzenią wektorową wymiaru $m$. Ustalmy bazę

$$v_1,\mathrm{\dots },v_n$$

dla przestrzeni $V$ oraz bazę

$$w_1,\mathrm{\dots },w_m$$

dla przestrzeni $W$. Dla wektora

$$v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$$

wektor

$$x={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T\in {𝔽}^n$$

zadaje współrzędne wektora $v$ w bazie $v_1,\mathrm{\dots },v_n$. Pokażemy, że istnieje (jedyna) taka macierz $A\in M_{m\times n}(𝔽)$, że

$$Ax=y$$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$$L(v)=y_1\cdot w_1+y_2\cdot w_2+\mathrm{\dots }+y_n\cdot w_m$$

dla każdego $v\in V$, czyli $y$ jest wektorem współrzędnych $L(v)$ w bazie $w_1,\mathrm{\dots },w_m$.

Istnieją wyznaczone jednoznacznie takie skalary $a_{ij}$, że

$$L(v_j)=a_{1j}\cdot w_1+a_{2j}\cdot w_2+\mathrm{\dots }+a_{mj}\cdot w_m,1\le j\le n.$$

Wektor

$$a_j={[a_{1j},a_{2j},\mathrm{\dots },a_{mj}]}^T\in {𝔽}^m,j=1,\mathrm{\dots },n$$

zadaje współrzędne wektora $L(v_j)$ w bazie $w_1,\mathrm{\dots },w_m$ dla $W$.

Definicja 8.2.

Macierz odwzorowania liniowego

Macierz nazywamy macierzą odwzorowania liniowego $L:V⟶W$ w bazach $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ dla $V$ oraz $w_1,\mathrm{\dots },w_m$ dla $W$, jeśli

$$a_j={[a_{1j},a_{2j},\mathrm{\dots },a_{mj}]}^T\in {𝔽}^m,$$

gdzie

$$L(v_j)=a_{1j}\cdot w_1+a_{2j}\cdot w_2+\mathrm{\dots }+a_{mj}\cdot w_m,1\le j\le n.$$

Wniosek 8.1.

Niech $x\mathrm{=}{\mathrm{[}{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{x}_n\mathrm{]}}^T\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^n$, $y\mathrm{=}{\mathrm{[}{y}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{y}_m\mathrm{]}}^T\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^m$. Następujące warunki są równoważne:

• $v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$ i $L(v)=y_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+y_m\cdot w_m$,

• $Ax=y$.

Dowód.

Wystarczy zauważyć, że

$L(v)$ $=L(x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n)$

$={\displaystyle \sum _{j=1}^n}{x}_{j}L(v_j)$

$={\displaystyle \sum _{j=1}^n}{x}_j\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m}{a}_{ij}{w}_i\right)$

$={\displaystyle \sum _{i=1}^m}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n}{a}_{ij}{x}_j\right)w_i.$

∎

Wniosek 8.2.

Załóżmy, że $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$ jest bazą $V$ i $L\mathrm{:}V\mathrm{\to }V$ jest odwzorowaniem liniowym. Niech $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ będzie macierzą odwzorowania $L$ w bazie $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$. Następujące warunki są równoważne

• $v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$ i $L(v)=y_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$,

• $Ax=y$.

Oznacza to, że macierz $A$ przekształca współrzędne wektora $v$ w bazie $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$ na współrzędne wektora $L\mathit{}\mathrm{(}v\mathrm{)}$ w tej bazie.

• Zauważmy, że jeżeli $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ oraz $w_1,\mathrm{\dots }{w}_n$ są bazami przestrzeni $V$, to macierz przejścia $S$ od bazy $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ do bazy $w_1,\mathrm{\dots }{w}_n$ jest macierzą odwzorowania identycznościowego na $V$ w tych bazach.

• Popatrzmy na konstrukcję macierzy odwzorowania liniowego jeszcze trochę inaczej. Niech $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ będzie bazą dla $V$ oraz $w_1,\mathrm{\dots },w_m$ bazą dla $W$. Rozważmy izomorfizmy

  $$R:V\ni x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n⟼{[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T\in {ℝ}^n,$$

  $$S:W\ni y_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+y_m\cdot v_m⟼{[y_1,\mathrm{\dots },y_m]}^T\in {ℝ}^m,$$

  czyli przykładowo $R\left(v\right)$ jest wektorem współrzędnych $v$ w bazie $v_1,\mathrm{\dots },v_n$.

  Dla odwzorowania liniowego $L:V\to W$ możemy rozważyć odwzorowanie liniowe

  $$S\circ L\circ R^{-1}:{ℝ}^n\to {ℝ}^m.$$

  Zobaczmy jak wygląda jego macierz w bazach standardowych. Mamy

  $\left(S\circ L\circ R^{-1}\right)\left(e_i\right)$ $=\left(S\circ L\right)\left(v_i\right)$

  $=S\left(L\left(v_i\right)\right),$

  czyli $i$-ta kolumna tej macierzy to współrzędne wektora $L\left(v_i\right)$ w bazie $w_1,\mathrm{\dots },w_n$.

Przykład 8.2.

Niech $P_1$ będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej $1$. Rozważmy odwzorowanie liniowe

$$L:P_1\ni a+bx⟼(a+b)x\in P_1.$$

Znajdziemy jego macierz $A$ w bazie $1-x,1+x$. Ponieważ

$$L(1-x)=0=0\cdot (1-x)+0\cdot (1+x),$$

$$L(1+x)=2x=(-1)\cdot (1-x)+1\cdot (1+x),$$

więc

Lemat 8.2.

Niech $L\mathrm{:}{\mathrm{F}}^n\mathrm{⟶}{\mathrm{F}}^m$ będzie odwzorowaniem liniowym. Jeśli

jest macierzą $L$ w bazach $u_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{u}_n$ dla ${\mathrm{F}}^n$ i $b_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{b}_m$ dla ${\mathrm{F}}^m$, to

$$a_j=B^{-1}L(u_j),j=1,\mathrm{\dots },n$$

gdzie .

Dowód.

Z definicji

$$L(u_j)=a_{1j}\cdot b_1+\mathrm{\dots }+a_{mj}\cdot b_m=B{a}_j.$$

∎

Wniosek 8.3.

Niech $L\mathrm{:}{\mathrm{R}}^n\mathrm{⟶}{\mathrm{R}}^m$ będzie odwzorowaniem liniowym. Jeśli

jest macierzą $L$ w bazach $u_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{u}_n$ dla ${\mathrm{R}}^n$ i $b_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{b}_m$ dla ${\mathrm{R}}^m$ oraz , to macierze i są wierszowo równoważne.

Dowód.

Macierze

są wierszowo równoważne. Teza zachodzi, bo

∎

Przykład 8.3.

Rozważmy odwzorowanie liniowe $L:{ℝ}^2⟶{ℝ}^3$ dane wzorem

$$L{[x_1,x_2]}^T={[x_2,x_1+x_2,x_1-x_2]}^T.$$

Znajdziemy jego reprezentację macierzową $A$ w bazach $u_1={[1,2]}^T$, $u_2={[3,1]}^T$ oraz

$$b_1={[1,0,0]}^T,b_2={[1,1,0]}^T,b_3={[1,1,1]}^T.$$

Ponieważ $L(u_1)={[2,3,-1]}^T$ i $L(u_2)={[1,4,2]}^T$, więc rozważamy macierz

Sprowadzamy ją łatwo (poprzez dozwolone operacje na wierszach) do postaci

czyli

8.2 Macierze podobne

Rozważmy odwzorowanie liniowe $L:{𝔽}^2⟶{𝔽}^2.$ Reprezentacja macierzowa $A$ dla $L$ w bazie standardowej $e_1,e_2$ (w dziedzinie i przeciwdziedzinie) ma postać

Rozważmy teraz inną bazę $u_1,u_2$ w ${ℝ}^2$. Znajdziemy reprezentację $B$ odwzorowania $L$ w tej bazie. W tym celu musimy znaleźć współrzędne wektorów $L(u_1)$ i $L(u_2)$ w bazie $u_1$, $u_2$, bo z definicji $b_{ij}$ są zadane przez równości

$$L(u_1)=b_{11}\cdot u_1+b_{21}\cdot u_2,L(u_2)=b_{12}\cdot u_1+b_{22}\cdot u_2.$$

Współrzędne wektora $L(u_1)$ w bazie standardowej $e_1,e_2$ są równe

$$L(u_1)=A{u}_1.$$

Jak już wiemy jego współrzędne w bazie $u_1,u_2$ są dane przez

Analogicznie współrzędne wektora $L(u_2)=A{u}_2$ w bazie $u_1,u_2$ są równe $U^{-1}A{u}_2$. Z definicji reprezentacji macierzowej mamy

Z kolei z definicji mnożenia macierzy, więc

$$B=U^{-1}AU.$$

Twierdzenie 8.1 (Reprezentacja macierzowa w różnych bazach).

Załóżmy, że $V$ jest przestrzenią wektorową wymiaru $n$ oraz $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$ i $w_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{w}_n$ są bazami $V$. Niech

• $L:V⟶V$ będzie odwzorowaniem liniowym,

• $S$ będzie macierzą przejścia od bazy $w_1,\mathrm{\dots },w_n$ do bazy $v_1,\mathrm{\dots },v_n$,

• $A\in M_{n\times n}(𝔽)$ będzie reprezentacją $L$ w bazie $v_1,\mathrm{\dots },v_n$,

• $B\in M_{n\times n}(𝔽)$ będzie reprezentacją $L$ w bazie $w_1,\mathrm{\dots },w_n$.

Wtedy

$B=S^{-1}AS.$

Dowód.

Dla wektora $x={[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T\in {𝔽}^n$ rozważmy wektor

$$v=x_1\cdot w_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot w_n\in V.$$

Z definicji macierzy przejścia $S$ dla wektora $y=Sx\in {ℝ}^n$ mamy

$$v=y_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+y_n\cdot v_n.$$

Ponadto, $Ay$ zadaje współrzędne $L(v)$ w bazie $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ oraz $Bx$ zadaje współrzędne $L(v)$ w bazie $w_1,\mathrm{\dots },w_n$. Stąd

$$S^{-1}Ay=Bx,$$

czyli $S^{-1}ASx=Bx$ dla każdego $x\in {𝔽}^n$, więc $S^{-1}AS=B$.

∎

Definicja 8.3.

Macierze podobne

Niech $A,B\in M_{n\times n}(𝔽)$. Mówimy, że $B$ jest podobna do $A$, jeśli istnieje taka macierz nieosobliwa $S\in M_{n\times n}(𝔽)$, że

$$B=S^{-1}AS.$$

Podobieństwo macierzy jest relacją równoważności w $M_{n\times n}(𝔽)$.

Wniosek 8.4 (Ślad iloczynu macierzy).

Dla dowolnych macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }k}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ i $B\mathrm{\in }{M}_{k\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ mamy

$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA).$

W szczególności,

$$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(S^{-1}AS)$$

dla dowolnej macierzy nieosobliwej $S\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ i $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$.

Dowód.

Ślad macierzy kwadratowej jest sumą wyrazów na głównej przekątnej. Z definicji iloczynu macierzy mamy

$\mathrm{tr}(AB)$ $={\displaystyle \sum _{j=1}^n}{(AB)}_{jj}={\displaystyle \sum _{j=1}^n}(a{(j)}^T|b_j)$

$={\displaystyle \sum _{j=1}^n}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^k}{a}_{ji}{b}_{ij}\right)$

$={\displaystyle \sum _{j=1}^n}{\displaystyle \sum _{i=1}^k}{a}_{ji}{b}_{ij}={\displaystyle \sum _{i=1}^k}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n}{b}_{ij}{a}_{ji}\right)$

$={\displaystyle \sum _{i=1}^k}(b{(i)}^T|a_i)={\displaystyle \sum _{i=1}^k}{(BA)}_{ii}$

$=\mathrm{tr}(BA).$

Jeśli $B=S^{-1}AS$, to

$\mathrm{tr}B$ $=\mathrm{tr}(S^{-1}A)S$

$=\mathrm{tr}S(S^{-1}A)$

$=\mathrm{tr}A.$

∎

Pozwala to nam zdefiniować ślad odwzorowania liniowego $L:V⟶V$ przestrzeni skończenie wymiarowej $V$ jako ślad macierzy $A$ odwzorowania $L$ w dowolnej bazie dla $V$.

• Przypuśćmy, że $L:M_{n\times n}\left(𝔽\right)⟶𝔽$ jest takim odwzorowaniem liniowym, że

  $$L\left(AB\right)=L\left(BA\right),A,B\in 𝔽.$$

  Pokażemy, że istnieje taka $\lambda \in 𝔽$, że

  $$L\left(A\right)=\lambda \mathrm{tr}A,A\in M_{n\times n}\left(𝔽\right).$$

  Niech $E_{ji}$ ($i,j\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$) będzie bazą standardową $M_{n\times n}\left(𝔽\right)$, czyli na przecięciu $j$-tego wiersza oraz $i$-tej kolumny jest $1$, a pozostałe wyrazy są równe $0$. Zauważmy, że

  $$E_{lk}{E}_{ji}={\delta }_{kj}{E}_{li},i,j,k,l\in \{1,\mathrm{\dots },n\}.$$

  Stąd dla $i\ne j$ mamy

  $L\left(E_{ji}\right)$ $=L\left(E_{jj}{E}_{ji}\right)$

  $=L\left(E_{ji}{E}_{jj}\right)$

  $=L\left(0\right)$

  $=0$

  oraz

  $L\left(E_{ii}\right)$ $=L\left(E_{i1}{E}_{1i}\right)$

  $=L\left(E_{1i}{E}_{i1}\right)$

  $=L\left(E_{11}\right).$

  Dla $\lambda =L\left(E_{11}\right)$ mamy więc

  $$L\left(E_{ji}\right)={\delta }_{ji}\lambda ,i,j\in \{1,\mathrm{\dots },n\}.$$

  Ponieważ dla $A=\left[a_{ji}\right]$ mamy $A={\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ji}{E}_{ji}$, więc

  $L\left(A\right)$ $={\displaystyle \sum _{i,j=1}^n}{a}_{ji}L\left(E_{ji}\right)$

  $={\displaystyle \sum _{i,j=1}^n}{a}_{ji}{\delta }_{ji}\lambda$

  $={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_{ii}\lambda$

  $=\lambda \mathrm{tr}A.$

Dowód poniższego twierdzenia jest bardzo podobny do dowodu Twierdzenia 8.1.

Twierdzenie 8.2.

Załóżmy, że

• $u_1,\mathrm{\dots },u_p$ i $u_1^{\prime },\mathrm{\dots },u_p^{\prime }$ są bazami przestrzeni wektorowej $U$,

• $v_1,\mathrm{\dots },v_q$ i $v_1^{\prime },\mathrm{\dots },v_q^{\prime }$ są bazami przestrzeni wektorowej $V$,

• $L:U⟶V$ jest odwzorowaniem liniowym,

• $A$ jest macierzą $L$ w bazach $u_1,\mathrm{\dots },u_p$ i $v_1,\mathrm{\dots },v_q$,

• $A^{\prime }$ jest macierzą $L$ w bazach $u_1^{\prime },\mathrm{\dots },u_p^{\prime }$ i $v_1^{\prime },\mathrm{\dots },v_q^{\prime }$,

• $P$ jest macierzą przejścia od bazy $u_1,\mathrm{\dots },u_p$ do bazy $u_1^{\prime },\mathrm{\dots },u_p^{\prime }$,

• $Q$ jest macierzą przejścia od bazy $v_1,\mathrm{\dots },v_q$ do bazy $v_1^{\prime },\mathrm{\dots },v_q^{\prime }$.

Wtedy

$$A=Q^{-1}{A}^{\prime }P.$$

• Oceń prawdziwość zdań:

  • Jeśli $A$ i $B$ są reprezentacjami odwzorowań liniowych $L,G:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ w bazie standardowej, to istnieje taka macierz nieosobliwa $S$, że $S^{-1}AS=B$.

  • Reprezentacją macierzową odwzorowania identycznościowego jest w dowolnej bazie macierz identycznościowa.

  • Odwzorowanie $L:{ℝ}^2\ni {[x,y]}^T\mapsto {[y,x+y]}^T\in {ℝ}^2$, to $L$ ma w pewnej bazie reprezentację

  • Jeśli $L:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$ jest izomorfizmem i $A$ jest jego reprezentacją w pewnej bazie, to $A$ jest nieosobliwa.

$⟵$

8.3 Pouczający przykład

Zobrazujemy wprowadzone pojęcia na przykładzie przestrzeni ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ i pewnej jej podprzestrzeni. Przypomnijmy, że

$${ℝ}^{\mathrm{\infty }}=\{(x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots }):x_i\in ℝ\},$$

jest przestrzenią wektorową wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych z działaniami

$$(x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots })+(y_1,y_2,y_3,\mathrm{\dots })=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,\mathrm{\dots }),$$

$$t\cdot (x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots })=(t{x}_1,t{x}_2,t{x}_3,\mathrm{\dots }).$$

Dla liczby naturalnej $n\ge 1$ definiujemy

$${ℝ}_n^{\mathrm{\infty }}=\{(x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots })\in {ℝ}^{\mathrm{\infty }}:\forall i>n{x}_i=0\}.$$

Są to podprzestrzenie wektorowe przestrzeni ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ oraz

$${ℝ}_1^{\mathrm{\infty }}\subset {ℝ}_2^{\mathrm{\infty }}\subset {ℝ}_3^{\mathrm{\infty }}\subset \mathrm{\dots }$$

Odwzorowanie liniowe

$$L_n:{ℝ}_n^{\mathrm{\infty }}\ni (x_1,\mathrm{\dots },x_n,0,0,\mathrm{\dots })⟼{[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T\in {ℝ}^n$$

jest izomorfizmem. W szczególności, $\dim {ℝ}_n^{\mathrm{\infty }}=n$, czyli przestrzeń ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ zawiera podprzestrzeń wymiaru $n$ dla dowolnej liczby naturalnej.

Zbiór

$${ℝ}_0^{\mathrm{\infty }}:=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{ℝ}_n^{\mathrm{\infty }}$$

jest również podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$. Składa się ona z wszystkich ciągów, które mają tylko skończenie wiele niezerowych wyrazów. Naturalnie zdefiniowany nieskończony zbiór wektorów

$$e_1,e_2,e_3,\mathrm{\dots },e_n,\mathrm{\dots }\in {ℝ}_0^{\mathrm{\infty }}$$

składa się z wektorów liniowo niezależnych. Jest on bazą dla ${ℝ}_0^{\mathrm{\infty }}$, ale nie jest bazą dla ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$. Przestrzeń ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ nie ma przeliczalnej bazy.

Dla niezerowej liczby rzeczywistej $a\in ℝ\setminus \{0\}$ definiujemy ciąg $x^a\in {ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ przez

$$x^a=(a,a^2,a^3,\mathrm{\dots }).$$

Uzasadnimy, że każdy skończony podzbiór zbioru (równolicznego z $ℝ$)

$$\{x^a:a\in ℝ\setminus \{0\}\}$$

jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych.

Rozważmy odwzorowanie liniowe (przesunięcie) $\sigma :{ℝ}^{\mathrm{\infty }}\to {ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ zdefiniowane wzorem

$$\sigma ((x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots }))=(x_2,x_3,x_4,\mathrm{\dots }).$$

Zauważmy, że

$$\sigma (x^a)=a\cdot x^a.$$

Niech $a_1,\mathrm{\dots },a_n\in ℝ\setminus \{0\}$ będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Pokażemy, że wektory $x^{a_1},\mathrm{\dots },x^{a_n}\in {ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że maksymalna liczba wektorów liniowo niezależnych spośród nich jest równa . Możemy założyć, że $x^{a_1},\mathrm{\dots },x^{a_r}$ są liniowo niezależne. Z określenia $r$ wynika, że $x^{a_1},\mathrm{\dots },x^{a_r},x^{a_{r+1}}$ są liniowo zależne, czyli

$$x^{a_{r+1}}=t_1\cdot x^{a_1}+\mathrm{\dots }+t_r\cdot x^{a_r}$$

dla pewnych $t_1,\mathrm{\dots },t_r\in ℝ$. Stąd

$$a_{r+1}\cdot x^{a_{r+1}}=\sigma (x^{a_{r+1}})=t_1{a}_1\cdot x^{a_1}+\mathrm{\dots }+t_r{a}_r\cdot x^{a_r},$$

więc

$$0=t_1(a_1-a_{r+1})\cdot x^{a_1}+\mathrm{\dots }+t_r(a_r-a_{r+1})x^{a_r}.$$

Ponieważ $x^{a_1},\mathrm{\dots },x^{a_r}$ są liniowo niezależne oraz $a_i\ne a_{r+1}$, więc $t_1=\mathrm{\dots }=t_r=0$. Prowadzi to do sprzeczności, bo $x^{a_{r+1}}\ne 0$.

Przyglądnijmy się jeszcze odwzorowaniu $\sigma$.

Rozważmy odwzorowanie liniowe ${\sigma }_0:{ℝ}^{\mathrm{\infty }}⟶{ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ zdefiniowane wzorem

$${\sigma }_0((x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots }))=(0,x_1,x_2,x_3,x_4,\mathrm{\dots }).$$

Zauważmy, że

$$\sigma \circ {\sigma }_0((x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots }))=((x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots })),$$

czyli

$$\sigma \circ {\sigma }_0={\mathrm{id}}_{{ℝ}^{\mathrm{\infty }}}.$$

W szczególności, $\sigma$ jest epimorfizmem i ${\sigma }_0$ jest monomorfizmem. Żadne z nich nie jest izomorfizmem. Jądro $\ker \sigma$ jest $1$-wymiarowe, bo

$$\ker \sigma ={ℝ}_1^{\mathrm{\infty }}.$$

Z drugiej strony, ${\sigma }_0$ nie jest epimorfizmem, bo

$${ℝ}_1^{\mathrm{\infty }}\not\subset \mathrm{im}{\sigma }_0.$$

Zbadamy teraz jeszcze jedną podprzestrzeń wektorową przestrzeni ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$. Powiemy, że ciąg

$$x=(x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots })\in {ℝ}^{\mathrm{\infty }}$$

jest typu Fibonacciego, gdy

$$x_{n+1}=x_{n-1}+x_n,n\ge 2.$$

Przypomnijmy, że klasyczny ciąg Fibonacciego

$$F=(F_1,F_2,F_3,\mathrm{\dots })=(0,1,1,2,3,5,8,13,\mathrm{\dots })$$

otrzymujemy przyjmując $x_1=0$ i $x_2=1$.

Niech $ℱ\subset {ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ będzie zbiorem wszystkich ciągów typu Fibonacciego. Jest to podprzestrzeń wektorowa przestrzeni ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$. Pokażemy, że jest ona izomorficzna z ${ℝ}^2$. Szukanym izomorfizmem jest odwzorowanie $L:ℱ⟶{ℝ}^2$ dane przez

$$L((x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots }))={[x_1,x_2]}^T\in {ℝ}^2.$$

Odwzorowanie odwrotne przypisuje wektorowi ${[x_1,x_2]}^T\in {ℝ}^2$ ciąg Fibonacciego o dwóch pierwszych wyrazach $x_1,x_2$.

Bazie standardowej $e_1={[1,0]}^T$, $e_2={[0,1]}^T\in {ℝ}^2$ odpowiada przez izomorfizm $L$ baza $ℱ$ złożona z ciągów

$$F^{\prime }=(1,0,1,1,2,3,\mathrm{\dots }),F=(0,1,1,2,3,\mathrm{\dots }).$$

Ponadto, dla ciągu $(x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots })\in ℱ$ mamy

$$(x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots })=x_1\cdot F^{\prime }+x_2\cdot F.$$

Zauważmy, że

$$\sigma (F^{\prime })=F,F^{\prime }=\sigma (F)-F,$$

czyli

$$(x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots })=x_1\cdot (\sigma (F)-F)+x_2\cdot F$$

dla dowolnego ciągu $x=(x_1,x_2,x_3,\mathrm{\dots })\in ℱ$. Rozważmy ciąg $x^k={\sigma }^k(F)$ dla $k\ge 1$. Z definicji odwzorowania przesunięcia wynika, że $n$-ty wyraz ciągu $x^k$ jest równy

$$x_n^k={({\sigma }^k(F))}_n=F_{n+k}.$$

Ponieważ

$$x_1^k=F_{k+1},x_2^k=F_{k+2},$$

więc

$${\sigma }^k(F)=F_{k+1}\cdot (\sigma (F)-F)+F_{k+2}\cdot F,$$

czyli otrzymujemy równość

$$F_{n+k}=F_{k+1}(F_{n+1}-F_n)+F_{k+2}{F}_n.$$

Zastanówmy się teraz, czy w przestrzeni $ℱ$ leży jakiś ciąg geometryczny $(1,q,q^2,q^3,\mathrm{\dots })$? Sprawdzamy, że musi zachodzić warunek $q^2=q+1$, czyli jest tak dla

$$q_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},q_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.$$

Ponieważ wektory ${[1,q_1]}^T$, ${[1,q_2]}^T\in {ℝ}^2$ są liniowo niezależne, więc ciągi

$$x=(1,q_1,q_1^2,\mathrm{\dots }),y=(1,q_2,q_2^2,\mathrm{\dots })$$

tworzą bazę dla $ℱ$. Zapiszmy ciąg Fibonacciego w tej bazie. Szukamy takich liczb rzeczywistych $a,b\in ℝ$, że

$$F=a\cdot x+b\cdot y.$$

Liczby $a,b$ spełniają układ równań

$$a+b=1,a{q}_1+b{q}_2=1.$$

Jego jedynym rozwiązaniem są

$$a=\frac{1}{\sqrt{5}},b=-\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Ostatecznie

$$F_n=\frac{q_1^n-q_2^n}{\sqrt{5}}.$$

Rozdział 9 Suma prosta

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU suma algebraiczna podprzestrzeni $\mathrm{◇}$ suma prosta $\mathrm{◇}$ macierze blokowe $\mathrm{◇}$ podprzestrzenie niezmiennicze ${ℝ}^3=U\oplus V$.

Definicja 9.1.

Suma algebraiczna i suma prosta

Załóżmy, że $V$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $𝔽$. Niech $U_1,U_2\subset V$ będą podprzestrzeniami wektorowymi $V$. Definiujemy sumę algebraiczną $U_1,U_2$ jako

$U_1+U_2=\{u_1+u_2:u_i\in U_i,i=1,2\}$

Wtedy $U_1+U_2$ jest podprzestrzenią wektorową $V$. Mówimy, że $V$ jest sumą prostą $U_1$ oraz $U_2$ , jeśli zachodzą warunki

$V=U_1+U_2,U_1\cap U_2=\{0\}.$

Piszemy wtedy, że $V=U_1\oplus U_2$.

Wniosek 9.1.

Dla podprzestrzeni $U_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{U}_{\mathrm{2}}\mathrm{\subset }V$ przestrzeni wektorowej $V$ następujące warunki są równoważne

• $V=U_1\oplus U_2$,

• Dowolny wektor $v\in V$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

  $$v=v_1+v_2,$$

  gdzie $v_i\in U_i$ dla $i=1,2$.

Dowód.

Załóżmy, że $V=U_1\oplus U_2$ i niech $v\in V$. Ponieważ $V=U_1+U_2$, więc istnieją takie wektory $v_i\in U_i$ ($i=1,2$), że $v=v_1+v_2$. Pokażemy, że takie przedstawienie jest jednoznaczne. Przypuśćmy, że

$$v=v_1+v_2=u_1+u_2,$$

dla pewnych $u_i\in U_i$. Wtedy

$$\underset{\in U_1}{\underbrace{v_1-u_1}}=\underset{\in U_2}{\underbrace{u_2-v_2}}\in U_1\cap U_2=\{0\},$$

czyli $v_1=u_1$ oraz $v_2=u_2$.

Załóżmy teraz, że zachodzi warunek (ii). Wtedy oczywiście $V=U_1+U_2$. Pokażemy, że $U_1\cap U_2=\{0\}$. Niech $v\in U_1\cap U_2$. Wtedy

$$v=\underset{\in U_1}{\underbrace{0}}+\underset{\in U_2}{\underbrace{v}}=\underset{\in U_1}{\underbrace{v}}+\underset{\in U_2}{\underbrace{0}},$$

czyli z jednoznaczności w warunku (ii) wynika, że $v=0$. ∎

Przykład 9.1.

Rozważmy przestrzeń wektorową $M_{2\times 2}(ℝ)$ i jej dwie podprzestrzenie wektorowe

$${\mathrm{Sym}}_2(ℝ)=\{A\in M_{2\times 2}(ℝ):A=A^T\},{\mathrm{Asym}}_2(ℝ)=\{A\in M_{2\times 2}(ℝ):A=-A^T\}.$$

Wtedy

$${\mathrm{Sym}}_2(ℝ)\cap {\mathrm{Asym}}_2(ℝ)=\{0\},{\mathrm{Sym}}_2(ℝ)+{\mathrm{Asym}}_2(ℝ)=M_{2\times 2}(ℝ),$$

czyli

$$M_{2\times 2}(ℝ)={\mathrm{Sym}}_2(ℝ)\oplus {\mathrm{Asym}}_2(ℝ)$$

Przykład 9.2.

Niech $F(ℝ,ℝ)$ będzie przestrzenią wektorową funkcji $f:ℝ⟶ℝ$. Rozważmy podprzestrzeń $F_o(ℝ,ℝ)$ funkcji nieparzystych i podprzestrzeń $F_e(ℝ,ℝ)$ funkcji parzystych. Sprawdzimy, że

$$F(ℝ,ℝ)=F_e(ℝ,ℝ)\oplus F_o(ℝ,ℝ).$$

Jeśli $f\in F(ℝ,ℝ)$, to

$$f(x)=\underset{\in F_e(ℝ,ℝ)}{\underbrace{\frac{1}{2}\left(f(x)+f(-x)\right)}}+\underset{\in F_o(ℝ,ℝ)}{\underbrace{\frac{1}{2}\left(f(x)-f(-x)\right)}},$$

czyli

$$F(ℝ,ℝ)=F_e(ℝ,ℝ)+F_o(ℝ,ℝ).$$

Jeśli $f\in F_e(ℝ,ℝ)\cap F_o(ℝ,ℝ)$, to dla $x\in ℝ$ mamy

$$f(x)=f(-x)=-f(x),$$

więc $f(x)=0$. W konsekwencji,

$$F_e(ℝ,ℝ)\cap F_o(ℝ,ℝ)=\{0\}.$$

Możemy to pojęcie uogólnić na większą liczbę podprzestrzeni $U_1,\mathrm{\dots },U_k$.

Definicja 9.2.

Niech $U_1,\mathrm{\dots },U_k\subset V$ będą podprzestrzeniami wektorowymi $V$. Mówimy, że $V$ jest sumą prostą podprzestrzeni $U_1,\mathrm{\dots },U_n$ tzn.

$V=U_1\oplus \mathrm{\dots }\oplus V_k$

jeśli każdy wektor $v\in V$ można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy

$$v=u_1+\mathrm{\dots }+u_k,$$

gdzie $u_i\in U_i$ dla $i=1,\mathrm{\dots },k$.

Wniosek 9.2.

Niech $U_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{U}_{\mathrm{2}}\mathrm{\subset }V$ będą podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej $V$. Załóżmy, że $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_k$ jest bazą $U_{\mathrm{1}}$ oraz $v_{k\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{v}_n$ jest bazą $U_{\mathrm{2}}$. Następujące warunki są równoważne

• $V=U_1\oplus U_2$,

• $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ jest bazą $V$.

W szczególności, jeśli , to $V\mathrm{=}{U}_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus }{U}_{\mathrm{2}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\dim V=\dim U_1+\dim U_2,U_1\cap U_2=\{0\}.$

Dowód.

Załóżmy, że $V=U_1\oplus U_2$. Wtedy $\mathrm{span}\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}=V$, bo $V=U_1+U_2$. Wektory $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ są liniowo niezależne, bo jeśli

$$x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_k\cdot v_k+x_{k+1}\cdot v_{k+1}+\mathrm{\dots }{x}_n\cdot v_n=0,$$

to

$$\underset{\in U_1}{\underbrace{x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_k\cdot v_k}}=\underset{\in U_2}{\underbrace{-(x_{k+1}\cdot v_{k+1}+\mathrm{\dots }{x}_n\cdot v_n)}}\in U_1\cap U_2=\{0\},$$

czyli z założenia o bazach dla $U_1$ i $U_2$ mamy, że $x_1=\mathrm{\dots }=x_k=0$ oraz $x_{k+1}=\mathrm{\dots }=x_n=0$.

Jeśli $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ jest bazą dla $V$, to każdy wektor $v\in V$ da się jednoznacznie zapisać w postaci $v=u_1+u_2$, gdzie $u_1\in U_1$ i $u_2\in U_2$, czyli $V=U_1\oplus U_2$. ∎

• MACIERZE BLOKOWE

  Niech ${𝔽}^n=U_1\oplus U_2$ i niech $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ będzie taką bazą $V$, że $v_1,\mathrm{\dots },v_k\in U_1$ tworzą bazę $U_1$ oraz $v_{k+1},\mathrm{\dots },v_n\in U_2$ tworzą bazę $U_2$. Odwzorowanie liniowe $L:{𝔽}^n\to {𝔽}^n$ ma w tej bazie macierz postać blokową

  Przykładowo, jeśli $U_1=\mathrm{span}\{e_1,e_2,e_3\}$ oraz $U_2=\mathrm{span}\{e_4,e_5\}$ oraz $A$ jest macierzą odwzorowania liniowego $L:{𝔽}^5⟶{𝔽}^5$ w bazie $e_1,e_2,e_3,e_4,e_5$, to

  Zauważmy, że $A_{12}=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\left(U_2\right)\subset U_2$, czyli $U_2$ jest niezmiennicza dla $A$. Analogicznie, $A_{21}=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\left(U_1\right)\subset U_1$. Jeśli $U_1$ i $U_2$ są niezmiennicze dla $A$, to $A$ ma postać

• Rozważmy macierz $A\in M_{n\times n}\left(𝔽\right)$. Jak wiemy

  $$n=\dim \ker A+\mathrm{rank}A=\dim \ker A+\dim \mathrm{im}A.$$

  Zazwyczaj jednak nie jest prawdą, że ${𝔽}^n$ jest sumą prostą podprzestrzeni $\ker A$ oraz $\mathrm{im}A$. Może się nawet zdarzyć, że $\ker A=\mathrm{im}A$. Przykładowo, rozważmy niezerowy wektor $a\in {ℝ}^2$ i macierz . Wtedy $\ker A=\mathrm{span}\left\{{[1,-1]}^T\right\}$ niezależenie do wyboru wektora $a$. Przyjmując, że $a={[1,-1]}^T$ otrzymujemy, że

  $$\ker A=\mathrm{im}A.$$

  Z drugiej strony, jeśli $a$ jest liniowo niezależny z ${[1,-1]}^T$, to

  $${ℝ}^2=\ker A\oplus \mathrm{im}A.$$

  Ponadto, gdy $a={[-1,1]}^T$, to proste $\ker A$ i $\mathrm{im}A$ są prostopadłe.

Rozdział 10 Wyznacznik

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU
wyznacznik jako funkcja kolumn $\mathrm{◇}$ permutacje $\mathrm{◇}$ wyznacznik iloczynu $\mathrm{◇}$ wyznacznik macierzy odwrotnej $\mathrm{◇}$ wyznacznik macierzy transponowanej $\mathrm{◇}$ wyznacznik a liniowa niezależność $\mathrm{◇}$ dopełnienie algebraiczne $\mathrm{◇}$ rozwinięcie Laplace’a $\mathrm{◇}$ macierz odwrotna $\mathrm{◇}$ wzory Cramera $\mathrm{◇}$ rozkład Schura $\mathrm{◇}$ orientacja $\mathrm{◇}$ iloczyn wektorowy $\mathrm{◇}$ iloczyn mieszany $\mathrm{◇}$ objętość równoległościanu

10.1 Grupa permutacji

Definicja 10.1.

Permutacja

Rozważmy zbiór skończony $\{1,\mathrm{\dots },n\}$ dla $n\in \mathbb{N}$. Permutacją zbioru $\{1,\mathrm{\dots },n\}$ nazywamy dowolną bijekcję

$$\sigma :\{1,\mathrm{\dots },n\}⟶\{1,\mathrm{\dots },n\}.$$

Przez $S_n$ oznaczamy zbiór wszystkich permutacji zbioru $\{1,\mathrm{\dots },n\}$ tzn.

$S_n=\{\sigma |\sigma :\{1,\mathrm{\dots },n\}⟶\{1,\mathrm{\dots },n\}\mathit{\hspace{1em}}\text{jest bijekcją}\}$

Ponieważ złożenie bijekcji jest bijekcją, więc składanie odwzorowań $\circ$ określa strukturę grupy w zbiorze $S_n$. Jej elementem neutralnym jest odwzorowanie identycznościowe $\mathrm{id}$ na zbiorze $\{1,\mathrm{\dots },n\}$. Elementem odwrotnym do permutacji $\sigma$ jest odwzorowanie odwrotne do $\sigma$ (istnieje ono, bo $\sigma$ jest bijekcją).

Przykład 10.1.

Permutację $\sigma :\{1,\mathrm{\dots },n\}⟶\{1,\mathrm{\dots },n\}$ zapisujemy często w postaci tabeli

Przykładowo,

są pewnymi permutacjami zbioru $5$-elementowego $\{1,2,3,4,5\}$. Ich iloczyn jest równy

Istnieje bardziej zwarty sposób zapisu permutacji $\sigma \in S_n$. Pochodzi on od Cauchy’ego. Niech $x_1,\mathrm{\dots },x_r$ będą różnymi elementami zbioru $\{1,\mathrm{\dots },n\}$. W szczególności, $2\le r\le n$. Przez $(x_1,\mathrm{\dots },x_r)$ oznaczamy taką permutację z $S_n$, że

$$x_1\to x_2\to x_3\to \mathrm{\dots }\to x_r\to x_1$$

oraz

$$x\to x,\text{dla}\mathit{\hspace{1em}}x\in \{1,\mathrm{\dots },n\}\setminus \{x_1,\mathrm{\dots },x_r\}.$$

Permutację $(x_1,\mathrm{\dots },x_r)\in S_n$ nazywamy $r$-cyklem. Jeśli $r=2$, to $2$-cykl nazywamy transpozycją. Dwa cykle z $S_n$ nazywamy rozłącznymi, jeśli nie mają wspólnych wyrazów.

Przykład 10.2.

Dla permutacji

mamy (opuszczamy w zapisie $1$-cykle):

$$\sigma =(1,2)(3)(4,5)=(1,2)(4,5),\tau =(1,5,3)(2,4).$$

Przykład 10.3.

Niech $\sigma =(1,2,3)\in S_n$. Wtedy ${\sigma }^{-1}=(3,2,1)$, bo

$$(1,2,3)(3,2,1)=\mathrm{id}.$$

Ponadto, ${(1,2,3)}^3=(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)=\mathrm{id}$ oraz $3$ jest najmniejszą taką liczbą naturalną $n$, że ${(1,2,3)}^n=\mathrm{id}$.

• Jeśli $n>2$, to grupa $(S_n,\circ )$ nie jest abelowa. Przykładowo,

  oraz

Dla $\sigma \in S_n$ definiujemy zbiór

$${\sigma }^{*}=\{i\in \{1,\mathrm{\dots },n\}:\sigma (i)\ne i\}.$$

Zauważmy, że jeśli $i\in {\sigma }^{*}$, to $\sigma (i)\in {\sigma }^{*}$. Jeśli $\sigma =(x_1,\mathrm{\dots },x_r)\in S_n$ jest cyklem, to ${\sigma }^{*}=\{x_1,\mathrm{\dots },x_r\}$. Cykle $\sigma$ i $\tau$ są rozłączne, gdy ${\sigma }^{*}\cap {\tau }^{*}=\mathrm{\varnothing }$.

Lemat 10.1.

Jeśli $\sigma \mathrm{,}\tau \mathrm{\in }{S}_n$ i ${\sigma }^{\mathrm{*}}\mathrm{\cap }{\tau }^{\mathrm{*}}\mathrm{=}\mathrm{\varnothing }$, to $\sigma \mathit{}\tau \mathrm{=}\tau \mathit{}\sigma$.

Dowód.

Niech $i\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$ będzie ustalone. Sprawdzimy, że $\sigma \tau (i)=\tau \sigma (i)$. Ponieważ cykle $\tau$ i $\sigma$ są rozłączne, więc mamy trzy możliwości:

• $\tau (i)=i=\sigma (i)$,

• $\tau (i)\ne i$ oraz $\sigma (i)=i$,

• $\sigma (i)\ne i$ oraz $\tau (i)=i$.

Przypadek (1) jest oczywisty, a (2) i (3) są symetryczne, więc można założyć, że zachodzi (2). Ponieważ cykle są rozłączne, więc również $\sigma (\tau (i))=\tau (i)$, czyli teza zachodzi. ∎

Lemat 10.2.

Każda permutacja $\sigma \mathrm{\in }{S}_n\mathrm{\setminus }\mathrm{\{}\mathrm{id}\mathrm{\}}$ jest iloczynem rozłącznych cykli. Taki rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.

Dowód.

Jeśli ${\sigma }^{*}=\mathrm{\varnothing }$, to $\sigma =\mathrm{id}=(1)(2)\mathrm{\dots }(n)$, więc teza zachodzi. Niech ${\sigma }^{*}\ne \mathrm{\varnothing }$ i $s\in {\sigma }^{*}$. Rozważmy zbiór

$$\{{\sigma }^k(s):k\in \mathbb{N}\}.$$

Ponieważ jest on skończony, więc ${\sigma }^i(s)={\sigma }^j(s)$ dla pewnych liczb naturalnych . Wtedy ${\sigma }^{j-i}(s)=s$. Istnieje więc najmniejsza liczba naturalna $l\ge 2$ taka, że ${\sigma }^l(s)=s$. Wtedy liczby $s,\mathrm{\dots },{\sigma }^{l-1}(s)$ są różne z definicji $l$ oraz $\tau =(s,\sigma (s),\mathrm{\dots },{\sigma }^{l-1}(s))$ jest $l$-cyklem. Dla $\rho =\sigma {\tau }^{-1}$ mamy $\sigma =\rho \tau$ oraz $\rho$ nie rusza punktów $s,\sigma (s),\mathrm{\dots },{\sigma }^{l-1}(s)$. Stosujemy teraz powyższą procedurę do $\rho$. Zauważmy, że ${\rho }^{*}$ jest istotnym podzbiorem ${\sigma }^{*}$, więc procedura skończy się po skończonej liczbie kroków, bo ${\sigma }^{*}$ jest zbiorem skończonym. Dowodzi to rozkładu $\sigma$ na rozłączne cykle.

Przypuśćmy, że

$$\sigma ={\sigma }_1\mathrm{\dots }{\sigma }_k={\tau }_1\mathrm{\dots }{\tau }_l$$

są dwoma rozkładami $\sigma$ na rozłączne cykle. Przypuśćmy, że ${\sigma }_1(i)=j\ne i$. Wtedy również ${\tau }_p(i)\ne i$ dla pewnego $p$. Z rozłączności cykli mamy ${\tau }_p(i)=j={\sigma }_1(i)$. Rozważmy teraz ${\sigma }_1(j)$. Z tych samych względów mamy ${\tau }_p(j)={\sigma }_1(j)$. Kontynuując dostajemy, że ${\sigma }_1={\tau }_p$ i teza wynika poprzez indukcję. ∎

Lemat 10.3.

Dowolną permutację $\sigma \mathrm{\in }{S}_n$ można przedstawić jako złożenie skończonej liczby transpozycji. Ponadto, jeśli $\sigma$ jest złożeniem parzystej liczby pewnych transpozycji, to każde jej przedstawienie jako złożenie transpozycji (nie jest ono jednoznacznie wyznaczone) składa się z parzystej liczby transpozycji. Takie permutacje $\sigma$ nazywamy parzystymi. Jeśli $\sigma$ jest złożeniem nieparzystej liczby transpozycji, to nazywamy ją nieparzystą.

Dowód.

Wiemy, że $\sigma$ możemy rozłożyć na iloczyn rozłącznych cykli. Każdy cykl $(a_1,\mathrm{\dots },a_k)$ jest iloczynem transpozycji, bo

$$(a_1,\mathrm{\dots },a_k)=(a_1,a_k)\mathrm{\dots }(a_1,a_2).$$

Przypuśćmy, że mamy dwa rozkłady $\sigma$ na iloczyny transpozycji:

$$\sigma ={\tau }_1\mathrm{\dots }{\tau }_r={\rho }_1\mathrm{\dots }{\rho }_p.$$

Pokażemy, że $r\equiv p(mod2)$. Ponieważ

$$\mathrm{id}={\tau }_1\mathrm{\dots }{\tau }_r{\rho }_p^{-1}\mathrm{\dots }{\rho }_1^{-1},$$

więc wystarczy pokazać, że $\mathrm{id}$ może być iloczynem tylko parzystej liczby transpozycji. Przypuśćmy, że

$$\mathrm{id}=(a_1{b}_1)(a_2{b}_2)\mathrm{\dots }(a_k{b}_k)$$ (10.1)

gdzie $k\ge 1$ oraz $a_i\ne b_i$ dla $i=1,\mathrm{\dots },k$. Pokażemy, że $k$ jest parzyste. Zauważmy, że nie może być $k=1$, bo $\mathrm{id}\ne (a_1,b_1)$. Dla $k=2$ teza zachodzi. Załóżmy, że $k\ge 3$ i teza zachodzi dla wszystkich iloczynów mniejszej liczby transpozycji. Jedna z transpozycji $(a_i{b}_i)$ dla $i\in \{2,\mathrm{\dots },k\}$ musi ruszać $a_1$, bo inaczej (10.1) nie może zachodzić. Stąd $a_1$ musi być jednym z $a_i$ dla pewnego $i\ge 2$ (zmieniając ewentualnie rolami $a_i$ z $b_i$). Zauważmy, że jeśli różne litery oznaczają różne liczby to zachodzą równości

$$(cd)(ab)=(ab)(cd),(bc)(ab)=(ab)(bc),$$

więc możemy założyć, że $a_2=a_1$.

Jeśli $b_2=b_1$, to iloczyn $(a_1{b}_1)(a_1{b}_2)$ jest identycznością i możemy go pominąć otrzymując $\mathrm{id}$ jako iloczyn $k-2$ transpozycji. Z założenia indukcyjnego $k-2$ jest parzyste, więc $k$ jest parzyste.

Jeśli $b_2\ne b_1$, to iloczyn $(a_1{b}_1)(a_1{b}_2)$ jest równy $(a_1{b}_2)(b_1{b}_2)$, czyli (10.1) przyjmuje postać

$$\mathrm{id}=(a_1{b}_2)(b_1{b}_2)\mathrm{\dots }(a_k{b}_k).$$ (10.2)

Zauważmy, że w formule (10.2) jest mniej transpozycji które ruszają $a_1$ niż w (10.1). Rozumujemy teraz analogicznie. Pewna transpozycja w iloczynie (10.2) inna niż $(a_1{b}_1)$ musi ruszać $a_1$. Mamy znowu dwie możliwości albo możemy zredukować liczbę transpozycji o $2$ i zastosować indukcję albo możemy zmniejszyć o $1$ liczbę transpozycji ruszających $a_1$ w formule (10.2). Ponieważ $\mathrm{id}$ nie może być iloczynem transpozycji w którym tylko jedna rusza $a_1$, więc w skończonej liczbie kroków musi zajść sytuacja, że iloczyn pierwszych dwóch transpozycji będzie identycznością, więc teza wynika poprzez indukcję. ∎

Przykład 10.4.

Rozważmy permutację

Powyższy napis oznacza, że

$$\sigma (1)=1,\sigma (2)=5,\sigma (3)=6,\sigma (4)=4,\sigma (5)=3,\sigma (6)=2.$$

Sprawdzamy łatwo, że

$\sigma$ $=(2,6)\circ (2,3)\circ (2,5)$

$=(5,2)\circ (3,5)\circ (6,3)$

$=(1,3)\circ (3,1)\circ (2,6)\circ (2,3)\circ (2,5).$

Widzimy, że przedstawienie permutacji $\sigma$ jako złożenie transpozycji nie jest jednoznaczne, ale parzystość liczby transpozycji w przedstawieniu nie zmienia się. Permutacja $\sigma$ jest nieparzysta.

Definicja 10.2.

Znak permutacji

Znak permutacji $\sigma \in S_n$ definiujemy jako liczbę:

Sprawdzamy łatwo, że

$$\mathrm{sgn}(\sigma \tau )=\mathrm{sgn}(\sigma )\mathrm{sgn}(\tau ),\mathrm{sgn}({\sigma }^{-1})=\mathrm{sgn}(\sigma ).$$

10.2 Definicja wyznacznika i jego własności

Pojęcie wyznacznika pojawiło się pod koniec $XVII$ wieku w pracach Gottfrieda Wilhelma Leibnitza oraz japońskiego matematyka Seki Kova znanego również jako Takakazu (1642–1708). Systematyczna teoria wyznacznika pochodzi od Cauchy’ego (1789–1857) oraz Jacobiego (1804–1851).

Dla macierzy kwadratowej $A\in M_{2\times 2}(𝔽)$ zdefiniowaliśmy wyznacznik wzorem

$$\det (A)=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}.$$

Wniosek 10.1.

Dla dowolnych wektorów $u\mathrm{,}v\mathrm{,}w\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$ i liczb rzeczywistych $a\mathrm{,}b\mathrm{\in }\mathrm{F}$ zachodzą warunki:

• dwuliniowość wyznacznika jako funkcji kolumn macierzy

• $\det I_2=1$.

Dowód.

Wystarczy przeprowadzić bezpośredni rachunek. Uzasadnimy dla przykładu warunek (1). Niech $u={[u_1,u_2]}^T$, $v={[v_1,v_2]}^t$ oraz $w={[w_1,w_2]}^T$. Wtedy

więc

$=(a{u}_1+b{v}_1)w_2-(a{u}_2+b{v}_2)w_1$

$=a(u_1{w}_2-u_2{w}_1)+b(v_1{w}_2-v_2{w}_1)$

∎

• Pokażemy, że każde odwzorowanie $F:M_{2\times 2}\left(𝔽\right)⟶𝔽$ spełniające warunki (1)-(3) musi być dane wzorem:

  $$F\left(A\right)=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}.$$

  Oznacza to, że wyznacznik jest jednoznacznie wyznaczony przez warunki (1)-(3) i musi być zadany powyższym wzorem.

  Lemat 10.4.

  Jeśli $F\mathrm{:}{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}\mathrm{⟶}\mathrm{F}$ spełnia warunki (1)-(2), to dla dowolnych macierzy $A\mathrm{,}B\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ zachodzi wzór

  $$F\left(AB\right)=F\left(A\right)\left(b_{11}{b}_{22}-b_{12}{b}_{21}\right).$$ (10.3)

  Dowód.

  Niech

  Wtedy

  $AB$

  Z warunku (1) zastosowanego dwukrotnie mamy

  $F\left(AB\right)$ $=F(b_{11}\cdot a_1+b_{21}\cdot a_2,b_{12}\cdot a_1+b_{22}\cdot a_2)$

  $=b_{11}F(a_1,b_{12}\cdot a_1+b_{22}\cdot a_2)+b_{21}F(a_2,b_{12}\cdot a_1+b_{22}\cdot a_2)$

  $=b_{11}{b}_{12}F(a_1,a_1)+b_{11}{b}_{22}F(a_1,a_2)$

  $+b_{21}{b}_{12}F(a_2,a_1)+b_{21}{b}_{22}F(a_2,a_2).$

  Z warunku (2) wynika, że $F(v,v)=0$ dla dowolnego wektora $v\in {𝔽}^2$ oraz

  $$F(a_2,a_1)=-F(a_1,a_2).$$

  Stąd

  $F\left(AB\right)$ $=F(a_1,a_2)\left(b_{11}{b}_{22}-b_{12}{b}_{21}\right)$

  $=F\left(A\right)\left(b_{11}{b}_{22}-b_{12}{b}_{21}\right).$

  ∎

  Twierdzenie 10.1.

  Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie $F\mathrm{:}{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}\mathrm{⟶}\mathrm{F}$ spełniające warunki (1)-(3). Ponadto,

  $$F\left(B\right)=b_{11}{b}_{22}-b_{12}{b}_{21},B\in M_{2\times 2}\left(𝔽\right).$$

  Dowód.

  Przyjmując $A=I$ w Lemacie 10.4 i korzystając z warunku (3) otrzymujemy, że dla dowolnej macierzy $B\in M_{2\times 2}\left(𝔽\right)$ mamy

  $F\left(B\right)$ $=F\left(IB\right)$

  $=F\left(I\right)\left(b_{11}{b}_{22}-b_{12}{b}_{21}\right)$

  $=b_{11}{b}_{22}-b_{12}{b}_{21},$

  co kończy dowód. ∎

  Uogólnimy ten rezultat na dowolny wymiar i zdefiniujemy wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej $A\in M_{n\times n}\left(𝔽\right)$. Będziemy w tym celu potrzebowali pewnych faktów dotyczących permutacji zbiorów skończonych.

Będziemy potrzebowali jeszcze jednego pojęcia. Odwzorowanie

$$F:M_{n\times n}(𝔽)⟶𝔽$$

będziemy traktowali jako funkcję zależną od $n$ kolumn macierzy , czyli $F=F(a_1,\mathrm{\dots },a_n)$ jest funkcją zależną od $n$ wektorów.

Definicja 10.3.

Odwzorowanie $n$-liniowe

Odwzorowanie $F:M_{n\times n}(𝔽)⟶𝔽$ nazywamy $n$-liniowym, jeśli jest ono liniowe ze względu na każdą zmienną. Oznacza to, że dla dowolnie ustalonego $i\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$ oraz wektorów $a_i,b_i\in {𝔽}^n$ i skalarów $\alpha ,\beta \in 𝔽$ zachodzi równość

$$F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{\alpha \cdot a_i+\beta \cdot b_i}},\mathrm{\dots }{a}_n)=\alpha \cdot F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{a_i}},\mathrm{\dots }{a}_n)+\beta \cdot F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{b_i}},\mathrm{\dots }{a}_n).$$

Przykład 10.5.

Iloczyn skalarny

$${ℝ}^n\times {ℝ}^n\ni (x,y)\mapsto (x|y)\in 𝔽$$

jest odwzorowaniem dwuliniowym.

Twierdzenie 10.2 (Definicja wyznacznika).

Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie

$$F:M_{n\times n}(𝔽)⟶𝔽$$

spełniające warunki

• $F$ jest $n$-liniowe (jako funkcja kolumn macierzy $A\in M_{n\times n}(𝔽))$,

• jeśli $A$ ma dwie identyczne kolumny tzn., $a_i=a_j$ dla pewnych $i\ne j$, to $F(A)=0$,

• $F(I)=1$.

Ponadto, dla dowolnej macierzy $B\mathrm{=}\mathrm{[}{b}_{i\mathit{}j}\mathrm{]}\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ zachodzi

$$F(B)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )b_{\sigma (1)1}\mathrm{\dots }{b}_{\sigma (n)n}.$$ (10.4)

Nazywamy ją wyznacznikiem i oznaczamy przez $\det$. Czasami będziemy również stosować oznaczenie $\mathrm{|}B\mathrm{|}\mathrm{:=}\det \mathit{}B$.

• Z warunków (1) i (2) wynika, że jeśli $c\in 𝔽$ oraz $i\ne j$, to

  $$F(a_1,\mathrm{\dots },a_i+c\cdot a_j,\mathrm{\dots },a_n)=F(a_1,\mathrm{\dots },a_i,\mathrm{\dots },a_n).$$

Wniosek 10.2.

Jeśli $F$ spełnia warunki (1)-(2), to (2’) $F$ jest antysymetryczne tzn. jeśli $i\mathrm{\ne }j$, to $$F\mathit{}\mathrm{(}{a}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}\underset{i}{\underbrace{a_i}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}\underset{j}{\underbrace{a_j}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathit{}{a}_n\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{-}F\mathit{}\mathrm{(}{a}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}\underset{i}{\underbrace{a_j}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}\underset{j}{\underbrace{a_i}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathit{}{a}_n\mathrm{)}\mathrm{.}$$

Dowód.

Niech $i\ne j$. Wtedy z warunków (1)-(2) mamy

$0$ $=F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{a_i+a_j}},\mathrm{\dots },\underset{j}{\underbrace{a_i+a_j}},\mathrm{\dots }{a}_n)$

$=F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{a_i}},\mathrm{\dots },\underset{j}{\underbrace{a_i}},\mathrm{\dots }{a}_n)+F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{a_i}},\mathrm{\dots },\underset{j}{\underbrace{a_j}},\mathrm{\dots }{a}_n)$

$+F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{a_j}},\mathrm{\dots },\underset{j}{\underbrace{a_i}},\mathrm{\dots }{a}_n)+F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{a_j}},\mathrm{\dots },\underset{j}{\underbrace{a_j}},\mathrm{\dots }{a}_n)$

$=F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{a_i}},\mathrm{\dots },\underset{j}{\underbrace{a_j}},\mathrm{\dots }{a}_n)+F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{a_j}},\mathrm{\dots },\underset{j}{\underbrace{a_i}},\mathrm{\dots }{a}_n).$

∎

• Jeśli $F$ spełnia (2’), to

  $$F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{a_i}},\mathrm{\dots },\underset{j}{\underbrace{a_i}},a_n)=-F(a_1,\mathrm{\dots },\underset{i}{\underbrace{a_i}},\mathrm{\dots },\underset{j}{\underbrace{a_i}},a_n),$$

  więc jeśli $𝔽$ jest takim ciałem, że $1+1\ne 0$, to warunek (2’) implikuje (2).

• Jeśli $F$ spełnia (1) oraz $F\left(A\right)=0$ dla macierzy które mają takie same dwie sąsiadujące kolumny, to $F$ spełnia (2). Rzeczywiście, z dowodu Wniosku 10.2 wynika wtedy, że $F$ zmienia znak, gdy zmienimy miejscami dwie sąsiadujące kolumny.

Przykład 10.6.

Załóżmy, że $n=2$. Wtedy $S_2$ składa się z dwóch permutacji: $\mathrm{id}$ (parzysta) oraz transpozycji $(12)$ (nieparzysta). Wynika stąd, że dla $B\in M_{2\times 2}(𝔽)$ mamy

$$\det (B)=F(B)=b_{11}{b}_{22}-b_{12}{b}_{21}.$$

Przykład 10.7.

Zobaczmy jakie są konsekwencje warunków (1)-(2) dla $n=3$. Rozważmy macierz oraz

Wtedy

Z warunku (1) tzn. $3$-liniowości $F$ i warunku (2) otrzymujemy, że

$F(AB)$ $=b_{11}{b}_{12}{b}_{13}\underset{=0}{\underbrace{F(a_1,a_1,a_1)}}+b_{11}{b}_{12}{b}_{23}\underset{=0}{\underbrace{F(a_1,a_1,a_2)}}+b_{11}{b}_{12}{b}_{33}\underset{=0}{\underbrace{F(a_1,a_1,a_3)}}$

$+b_{11}{b}_{22}{b}_{13}\underset{=0}{\underbrace{F(a_1,a_2,a_1)}}+b_{11}{b}_{22}{b}_{23}\underset{=0}{\underbrace{F(a_1,a_2,a_2)}}+b_{11}{b}_{22}{b}_{33}F(a_1,a_2,a_3)$

$+b_{11}{b}_{32}{b}_{13}\underset{=0}{\underbrace{F(a_1,a_3,a_1)}}+b_{11}{b}_{32}{b}_{23}F(a_1,a_3,a_2)+b_{11}{b}_{32}{b}_{33}\underset{=0}{\underbrace{F(a_1,a_3,a_3)}}$

$+b_{21}{b}_{12}{b}_{13}\underset{=0}{\underbrace{F(a_2,a_1,a_1)}}+b_{21}{b}_{12}{b}_{23}\underset{=0}{\underbrace{F(a_2,a_1,a_2)}}+b_{21}{b}_{12}{b}_{33}F(a_2,a_1,a_3)$

$+b_{21}{b}_{22}{b}_{13}\underset{=0}{\underbrace{F(a_2,a_2,a_1)}}+b_{21}{b}_{22}{b}_{23}\underset{=0}{\underbrace{F(a_2,a_2,a_2)}}+b_{21}{b}_{22}{b}_{33}\underset{=0}{\underbrace{F(a_2,a_2,a_3)}}$

$+b_{21}{b}_{32}{b}_{13}F(a_2,a_3,a_1)+b_{21}{b}_{32}{b}_{23}\underset{=0}{\underbrace{F(a_2,a_3,a_2)}}+b_{21}{b}_{32}{b}_{33}\underset{=0}{\underbrace{F(a_2,a_3,a_3)}}$

$+b_{31}{b}_{12}{b}_{13}\underset{=0}{\underbrace{F(a_3,a_1,a_1)}}+b_{31}{b}_{12}{b}_{23}F(a_3,a_1,a_2)+b_{31}{b}_{12}{b}_{33}\underset{=0}{\underbrace{F(a_3,a_1,a_3)}}$

$+b_{31}{b}_{22}{b}_{13}F(a_3,a_2,a_1)+b_{31}{b}_{22}{b}_{23}\underset{=0}{\underbrace{F(a_3,a_2,a_2)}}+b_{31}{b}_{22}{b}_{33}\underset{=0}{\underbrace{F(a_3,a_2,a_3)}}$

$+b_{31}{b}_{32}{b}_{13}\underset{=0}{\underbrace{F(a_3,a_3,a_1)}}+b_{31}{b}_{32}{b}_{23}\underset{=0}{\underbrace{F(a_3,a_3,a_2)}}+b_{31}{b}_{32}{b}_{33}\underset{=0}{\underbrace{F(a_3,a_3,a_3)}}$

W efekcie

$F(AB)$ $=b_{11}{b}_{22}{b}_{33}F(a_1,a_2,a_3)+b_{11}{b}_{32}{b}_{23}F(a_1,a_3,a_2)$

$+b_{21}{b}_{12}{b}_{33}F(a_2,a_1,a_3)+b_{21}{b}_{32}{b}_{13}F(a_2,a_3,a_1)$

$+b_{31}{b}_{12}{b}_{23}F(a_3,a_1,a_2)+b_{31}{b}_{22}{b}_{13}F(a_3,a_2,a_1).$

Z warunku (2) tzn. antysymetryczności $F$ otrzymujemy, że

$F(AB)$ $=b_{11}{b}_{22}{b}_{33}F(a_1,a_2,a_3)-b_{11}{b}_{32}{b}_{23}F(a_1,a_2,a_3)$

$-b_{21}{b}_{12}{b}_{33}F(a_1,a_2,a_3)+b_{21}{b}_{32}{b}_{13}F(a_1,a_2,a_3)$

$+b_{31}{b}_{12}{b}_{23}F(a_1,a_2,a_3)-b_{31}{b}_{22}{b}_{13}F(a_1,a_2,a_3).$

Wzór na $F(AB)$ możemy zapisać w bardziej zwartej formie korzystając z grupy permutacji $S_3$. Składa się ona z $3!=6$ permutacji:

$$S_3=\{\mathrm{id},(12),(13),(23),(123),(132)\}.$$

Transpozycje są nieparzyste, a permutacje $\mathrm{id}=(12)(21)$, $(123)=(13)(12)$ i $(132)=(12)(13)$ są parzyste. Stąd

$F(AB)$ $=\mathrm{sgn}\mathrm{id}{b}_{11}{b}_{22}{b}_{33}F(a_1,a_2,a_3)+\mathrm{sgn}(23)b_{11}{b}_{32}{b}_{23}F(a_1,a_2,a_3)$

$+\mathrm{sgn}(12)b_{21}{b}_{12}{b}_{33}F(a_1,a_2,a_3)+\mathrm{sgn}(123)b_{21}{b}_{32}{b}_{13}F(a_1,a_2,a_3)$

$+\mathrm{sgn}(132)b_{31}{b}_{12}{b}_{23}F(a_1,a_2,a_3)+\mathrm{sgn}(13)b_{31}{b}_{22}{b}_{13}F(a_1,a_2,a_3)$

$=\left({\displaystyle \sum _{\sigma \in S_3}}\mathrm{sgn}(\sigma )b_{\sigma (1)1}{b}_{\sigma (2)2}{b}_{\sigma (3)3}\right)F(A).$

Z warunku (3) dla $A=I$ mamy

$$F(B)=\sum _{\sigma \in S_3}\mathrm{sgn}(\sigma )b_{\sigma (1)1}{b}_{\sigma (2)2}{b}_{\sigma (3)3}.$$

Lemat 10.5.

Załóżmy, że $F\mathrm{:}{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}\mathrm{⟶}\mathrm{F}$ spełnia warunki (1)-(2). Dla dowolnych $A\mathrm{,}B\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ mamy

$$F(AB)=F(A)\left(\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )b_{\sigma (1)1}\mathrm{\dots }{b}_{\sigma (n)n}\right).$$

Dowód.

Niech i $B=[b_{ij}]$. Dla , z definicji iloczynu macierzy wynika, że

$$c_k=\sum _{i=1}^n{b}_{ik}{a}_i=b_{1k}{a}_1+\mathrm{\dots }+b_{nk}{a}_n.$$

Z warunku (1) wynika, że

$F(AB)$ $={\displaystyle \sum _{i_1,\mathrm{\dots },i_n=1}^n}F(b_{i_{1}1}{a}_{i_1},\mathrm{\dots },b_{i_{n}n}{a}_{i_n})$

$={\displaystyle \sum _{i_1,\mathrm{\dots },i_n=1}^n}{b}_{i_{1}1}\mathrm{\dots }{b}_{i_{n}n}F(a_{i_1},\mathrm{\dots },a_{i_n}).$

Użyjemy teraz warunku (2). Wynika z niego, że jeśli $i_k=i_j$ dla pewnych $k\ne j$, to $F(a_{i_1},\mathrm{\dots },a_{i_n})=0$. Stąd zamiast sumy

$$\sum _{i_1,\mathrm{\dots },i_n=1}^n{b}_{i_{1}1}\mathrm{\dots }{b}_{i_{n}n}F(a_{i_1},\mathrm{\dots },a_{i_n})$$

możemy rozważać sumę

$$\sum _{\sigma \in S_n}{b}_{\sigma (1)1}\mathrm{\dots }{b}_{\sigma (n)n}F(a_{\sigma (1)},\mathrm{\dots },a_{\sigma (n)}).$$

Teraz wystarczy tylko zauważyć, że warunek (2) gwarantuje, że

$$F(a_{\sigma (1)},\mathrm{\dots },a_{\sigma (n)})=\mathrm{sgn}(\sigma )F(a_1,\mathrm{\dots },a_n).$$

∎

Dowód.

Dowód Twierdzenia 10.2: Stosujemy Lemat 10.5 dla $A=I$ i warunek (3) otrzymując, że dla dowolnej macierzy $B\in M_{n\times n}(𝔽)$ zachodzi

$$F(B)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )b_{\sigma (1)1}\mathrm{\dots }{b}_{\sigma (n)n}$$

co dowodzi jednoznaczności funkcji $F$ spełniającej (1)-(3). Dla dowodu istnienia, definiujemy odwzorowanie $F$ wzorem (10.4). Sprawdzamy łatwo, że tak określone odwzorowanie $F$ spełnia warunki (1) i (3). Uzasadnimy, że zachodzi również warunek (2). Załóżmy, że dwie kolumny macierzy $B$ są równe tzn. $b_j=b_k$ dla pewnych $j\ne k$. Wtedy

$$F(B)=\sum _{\sigma \in A_n}{b}_{\sigma (1)1}\mathrm{\dots }{b}_{\sigma (n)n}-\sum _{\sigma \in A_n}{b}_{\sigma \tau (1)1}\mathrm{\dots }{b}_{\sigma \tau (n)n},$$

więc wystarczy pokazać, że dla $\sigma \in A_n$ mamy

$$b_{\sigma (1)1}\mathrm{\dots }{b}_{\sigma (n)n}=b_{\sigma \tau (1)1}\mathrm{\dots }{b}_{\sigma \tau (n)n}.$$

Jeśli $i\notin \{j,k\}$, to $\sigma \tau (i)=\sigma (i)$, więc $b_{\sigma (i)i}=b_{\sigma \tau (i)i}$. Ponadto, ponieważ $b_j=b_k$, więc

$$b_{\sigma \tau (j)j}=b_{\sigma (k)j}=b_{\sigma (k)k},$$

oraz

$$b_{\sigma \tau (k)k}=b_{\sigma (j)k}=b_{\sigma (j)j},$$

co kończy dowód. ∎

Wniosek 10.3 (Wyznacznik iloczynu macierzy).

Dla dowolnych macierzy $A\mathrm{,}B\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ zachodzi wzór Cauchy’ego

$\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B).$

W szczególności, jeśli $A$ jest nieosobliwa, to

$$\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}.$$

Lemat 10.6.

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$. Kolumny macierzy $A$ są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy $\det \mathit{}\mathrm{(}A\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{0}$.

Dowód.

Jeśli kolumny $A$ są liniowo zależne, to z warunków (1) i (2) wynika, że $\det (A)$ jest równy wyznacznikowi macierzy z pewną kolumną zerową, więc $\det (A)=0$. Załóżmy, że $\det (A)=0$ i przypuśćmy, że kolumny macierzy $A$ są liniowo niezależne. Wtedy $\ker A=\{0\}$, czyli $A$ jest nieosobliwa. Istnieje więc taka macierz $B\in M_{n\times n}(𝔽)$, że $I=AB$. Wtedy

$$1=\det (I)=\det (A)\cdot \det (B)=0,$$

co prowadzi do sprzeczności. ∎

Przykład 10.8.

Uzasadnimy, że

Ponieważ

$$\sin (x+\delta )=\sin x\cos \delta +\cos x\sin \delta ,$$

więc trzecia kolumna jest kombinacją liniową dwóch pierwszych kolumn.

Wniosek 10.4.

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$. Kolumny macierzy $A$ są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy $\det \mathit{}\mathrm{(}A\mathrm{)}\mathrm{\ne }\mathrm{0}$. W szczególności, $A$ jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy $\det \mathit{}A\mathrm{\ne }\mathrm{0}$.

Twierdzenie 10.3 (Wyznacznik transpozycji macierzy).

Dla dowolnej macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ mamy

$\det (A^T)=\det (A)$

Dowód.

Z definicji wyznacznika i macierzy transponowanej wystarczy zaobserwować, że

$$\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}\mathrm{\dots }{a}_{\sigma (n)n}=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1\sigma (1)}\mathrm{\dots }{a}_{n\sigma (n)}.$$

Niech ${\sigma }^{-1}$ będzie permutacją odwrotną do $\sigma$. Wtedy $\mathrm{sgn}(\sigma )=\mathrm{sgn}({\sigma }^{-1})$ oraz

$a_{\sigma (1)1}\mathrm{\dots }{a}_{\sigma (n)n}$ $=a_{\sigma (1){\sigma }^{-1}(\sigma (1))}\mathrm{\dots }{a}_{\sigma (n){\sigma }^{-1}(\sigma (n))}$

$=a_{1{\sigma }^{-1}(1)}\mathrm{\dots }{a}_{n{\sigma }^{-1}(n)},$

co kończy dowód. ∎

Wniosek 10.5.

Kolumny (wiersze) macierzy kwadratowej $A$ są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy $\det \mathit{}\mathrm{(}A\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{0}$.

Definicja 10.4.

Dopełnienie algebraiczne wyrazu macierzy

Dla macierzy $A\in M_{n\times n}(𝔽)$ oraz $i,j\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$ definiujemy macierz

$$A(i,j)\in M_{(n-1)\times (n-1)}(𝔽)$$

otrzymaną z macierzy $A$ przez wykreślenie $i$-tego wiersza oraz $j$-tej kolumny. Dopełnieniem algebraicznym wyrazu $a_{ij}$ nazywamy liczbę

$A_{ij}={(-1)}^{i+j}\det A(i,j).$

Przykład 10.9.

Rozważmy macierz

Przykładowo, dla $i=2$ oraz $j=3$ w macierzy

wykreślamy drugi wiersz i trzecią kolumnę otrzymując macierz

Znaki ${(-1)}^{i+j}$ w zależności od pozycji wyrazu $a_{ij}$ mają następujący rozkład

Twierdzenie 10.4 (Rozwinięcie względem pierwszego wiersza).

Załóżmy, że $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$. Wtedy

$\det (A)$ $={\displaystyle \sum _{i=1}^3}{a}_{1i}{A}_{1i}=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}$

Dowód.

Wystarczy sprawdzić, że odwzorowanie $F:M_{3\times 3}(𝔽)⟶𝔽$ zdefiniowane dla macierzy wzorem

spełnia warunki (1)-(3) z Twierdzenia 10.2. Są one łatwe do weryfikacji bezpośrednim rachunkiem. W warunku (1) sprawdzimy przykładowo liniowość $F$ względem pierwszej zmiennej. Dla $b_1={[b_{11},b_{21},b_{31}]}^T$ mamy

$F(a_1+b_1,a_2,a_3)$

$=F(a_1,a_2,a_3)+F(b_1,a_2,a_3).$

Dla $c\in 𝔽$ mamy

$F(c\cdot a_1,a_2,a_3)$

$=cF(a_1,a_2,a_3).$

Dla sprawdzenia warunku (2) zobaczmy przykładowo co się stanie, gdy z pierwsza i trzecia kolumna są identyczne. Mamy

Warunek (3) zachodzi, bo

∎

• Analogiczny jak w Twierdzeniu 10.4 wzór na wyznacznik zachodzi dla rozwinięcia względem dowolnego wiersza i dowolnej kolumny. Dowód jest ideologicznie taki sam jak dowód Twierdzenia 10.4. Przykładowo, dla rozwinięcia względem drugiej kolumny przyjmuje on postać

  Analogiczne rozumowanie prowadzi nas do wzoru na wyznacznik dla macierzy $n\times n$ dla dowolnego $n\in \mathbb{N}$. Pozwala on zredukowć wyznaczenie wyznacznika macierzy $A\in M_{n\times n}\left(𝔽\right)$ do obliczenia $n$ wyznaczników macierzy o rozmiarze $\left(n-1\right)\times \left(n-1\right)$.

Wniosek 10.6 (Rozwinięcie Laplace’a).

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ z $n\mathrm{\ge }\mathrm{2}$. Dla dowolnych $i\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}n$ i $j\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}n$ zachodzą równości

$$\det (A)=a_{i1}{A}_{i1}+\mathrm{\dots }+a_{in}{A}_{in}=a_{1j}{A}_{1j}+\mathrm{\dots }+a_{nj}{A}_{nj}.$$ (10.5)

Dowód.

Ponieważ $\det (A)=\det (A^T)$, więc wystarczy udowodnić, że

$$\det (A)=a_{i1}{A}_{i1}+\mathrm{\dots }+a_{in}{A}_{in},$$

czyli zachodzi wzór na rozwinięcie Laplace’a względem $i$-tego wiersza. Wystarczy sprawdzić, że funkcja $F(A)=a_{i1}{A}_{i1}+\mathrm{\dots }+a_{in}{A}_{in}$ spełnia warunki (1)-(3). Warunki (1) i (3) są łatwe do sprawdzenia. Dla dowodu (2) wystarczy zauważyć, że $F(A)=0$, gdy $A$ ma dwie sąsiadujące kolumny identyczne. ∎

• Stosując wzór Laplace’a mamy swobodę wyboru wiersza lub kolumny względem której zastosujemy rozwinięcie. Oczywiście korzystnie jest wybrać kolumnę (wiersz) z największą liczbą zer. Zanim zastosujemy wzór Lapalce’a możemy najpierw użyć operacji na kolumnach (wierszach) nie zmieniających wyznacznika, aby wprowadzić możliwie dużo wyrazów zerowych w danej kolumnie (wierszu). Możemy więc, do ustalonej kolumny (wiersza) dodać kombinację liniową innych kolumn (wierszy).

Przykład 10.10.

Odejmując pierwszy wiersz od pozostałych wierszy i stosując rozwinięcie względem pierwszej kolumny mamy:

$=(b-a)(c^2-a^2)-(c-a)(b^2-a^2)$

$=(b-a)(c-a)(c-b)$

Wniosek 10.7 (Własności wyznacznika).

• Jeśli $A$ ma dwa identyczne wiersze (kolumny), to $\det (A)=0$.

• Jeśli $A$ ma zerowy wiersz (kolumnę), to $\det (A)=0$.

• $A$ jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy $\det (A)\ne 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny (wiersze) $A$ są liniowo niezależne.

• Jeśli $A$ jest górnie (dolnie) trójkątna, to

  $$\det (A)=a_{11}{a}_{22}\mathrm{\dots }{a}_{nn}.$$

• Jeśli $\sigma \in S_n$, to

  $$\det [a_{\sigma (1)}|\mathrm{\dots }|a_{\sigma (n)}]=\mathrm{sgn}(\sigma )\det [a_1|\mathrm{\dots }|a_n].$$

• Jeśli $S$ jest nieosobliwa, to

  $$\det (A)=\det (S^{-1}AS).$$

Przykład 10.11.

Rozważmy macierz Vandermonde’a

Uzasadnimy formułę rekurencyjną

łączącą wyznacznik macierzy Vandermonde’a rozmiaru $4$ z wyznacznikiem macierzy Vandermonde’a rozmiaru $3$. W tym celu stosujemy najpierw operacje nie zmieniające wyznacznika, aby wprowadzić zerowe wyrazy w pierwszym wierszu macierzy $A$:

Z rozwinięcia Lapalce’a względem pierwszego wiersza mamy

Przykład 10.12.

Niech

będzie wyznacznikiem powyższej macierzy rozmiaru $2n$. Przykładowo,

${\mathrm{\Delta }}_2$

$=a^2{\mathrm{\Delta }}_1-b^2{\mathrm{\Delta }}_1=(a^2-b^2){\mathrm{\Delta }}_1$

$={(a^2-b^2)}^2.$

Stosując rozwinięcie względem pierwszej kolumny i dokonując dalszej redukcji otrzymujemy, że

${\mathrm{\Delta }}_n$

$=a^2{\mathrm{\Delta }}_{n-1}-b^2{\mathrm{\Delta }}_{n-1}=(a^2-b^2){\mathrm{\Delta }}_{n-1}.$

Indukcyjnie dostajemy, że ${\mathrm{\Delta }}_n={(a^2-b^2)}^n$.

Przykład 10.13.

Odejmując ostatni wiersz od pozostałych wierszy otrzymujemy, że

Przykład 10.14.

Pokażemy, że

Dla $j=2,3,4,5,6$ od $j$-tej kolumny odejmujemy pierwszą kolumnę pomnożoną przez $j$ otrzymując macierz dolnie trójkątną:

Wniosek 10.8.

Dla dowolnej macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ zachodzi równość

(10.6)

Dowód.

Dla $i=j$ jest to równość (10.5). Załóżmy, że $i\ne j$. Niech $A^{*}$ będzie macierzą powstałą z macierzy $A$ poprzez wstawienie w miejsce $j$-tego wiersza $i$-tego wiersza macierzy $A$. Wtedy $\det (A^{*})=0$, bo $A^{*}$ ma dwa takie same wiersze. Ze wzoru (10.5) wynika, że

$$0=\det (A^{*})=a_{i1}{A}_{j1}+\mathrm{\dots }+a_{in}{A}_{jn}.$$

∎

Definicja 10.5.

Dla macierzy $A\in M_{n\times n}(𝔽)$ definiujemy macierz dołączoną $\mathrm{adj}A\in M_{n\times n}(𝔽)$ jako macierz

Wniosek 10.9 (Macierz odwrotna).

Jeśli macierz $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ jest nieosobliwa, to

$$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\mathrm{adj}A.$$ (10.7)

Dowód.

Ze wzoru (10.6) wynika, że

$A(\mathrm{adj}A)$

$=\det (A)I.$

∎

Przykład 10.15.

Zobaczmy jak wzór na macierz odwrotną wygląda w niskich wymiarach. Dla $n=2$ i mamy

$$A_{11}=a_{22},A_{21}=-a_{12},A_{12}=-a_{21},A_{22}=a_{22},$$

czyli otrzymujemy znany nam wzór

Niech teraz $n=3$ i Wtedy

gdzie

Przykładowo, dla otrzymujemy, że

Twierdzenie 10.5 (Wzory Cramera).

Załóżmy, że macierz $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ jest nieosobliwa. Niech $A_i$ oznacza macierz otrzymaną z $A$ przez zastąpienie $i$-tej kolumny w $A$ przez wektor $b\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^n$. Jedyne rozwiązanie $x\mathrm{=}{\mathrm{[}{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{x}_n\mathrm{]}}^T\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^n$ równania $A\mathit{}x\mathrm{=}b$ jest dane przez

$$x_i=\frac{\det (A_i)}{\det (A)},\mathrm{dla}\mathit{\hspace{1em}}i=1,\mathrm{\dots },n.$$

Dowód.

Ponieważ $x=A^{-1}b$, więc

$$x_i=\frac{b_1{A}_{1i}+\mathrm{\dots }+b_n{A}_{ni}}{\det (A)}=\frac{\det (A_i)}{\det (A)}.$$

∎

Przykład 10.16.

Rozwiążemy układ równań

Macierz układu jest nieosobliwa ($\det (A)=6$), więc

Przykład 10.17 (Rozkład Schura).

Przy obliczaniu wyznacznika często stosuje się metodę rozkładu pochodzącą od Schura. Rozważmy macierz blokową

gdzie $A$ i $D$ są macierzami kwadratowymi. Spróbujmy znaleźć takie macierze $X$ i $Y$, że

Jeśli nam się to uda, to $\det P=\det A\cdot \det X$. Taki rozkład jest zawsze możliwy, gdy macierz $A$ jest nieosobliwa. Możemy wtedy przyjąć, że

$$Y=A^{-1}B,X=D-C{A}^{-1}B.$$

Zauważmy, że

więc możemy również użyć rozkładu

$P$

Jeśli macierz $D$ jest nieosobliwa, to mamy analogiczny rozkład

Ponieważ

więc powyższe rozkłady pozwalają łatwo wyznaczyć $P^{-1}$.

• Oceń prawdziwość zdań

  • Dla dowolnych macierzy $A,B\in M_{2\times 2}(ℝ)$ zachodzi równość $\det (A+B)=\det (A)+\det (B)$.

  • Dla dowolnych macierzy $A,B\in M_{2\times 2}(ℝ)$ zachodzi równość $\det (AB)=\det (BA)$.

  • Dla dowolnych macierzy $A,B\in M_{2\times 2}(ℝ)$ równość $\det (A)=\det (B)$ implikuje, że $A=B$.

  • Niech $A\in M_{2\times 2}(ℝ)$. Jeśli $Ax=0$ ma niezerowe rozwiązanie, to $\det (A)=0$.

  • Jeśli $A$ jest macierzą kwadratową i $A^k=0$ dla pewnego $k\in \mathbb{N}$, to $\det (A)=0$.

  • Jeśli $A\in M_{n\times n}(ℝ)$ jest skośnie symetryczna (tzn. $A^T=-A$), to $\det (A)=0$.

  • Jeśli $A\in M_{n\times n}(ℝ)$ jest skośnie symetryczna i $n$ jest nieparzyste, to $\det (A)=0$.

  • Dla dowolnej macierzy kwadratowej $\det A^2={(\det A)}^2$.

  • Jeśli $A$ jest nieosobliwa i górnie trójkątna, to

    $$\det A^{-1}=\frac{1}{a_{11}}\mathrm{\dots }\frac{1}{a_{nn}}.$$

  • Jeśli $A$, $B\in M_{n\times n}(𝔽)$ i $\det A=\det B$, to $\det (A+B)=2\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A$.

  • Dla macierzy kwadratowej $A$ mamy $\det A^{T}A=\det A{A}^T$.

$⟵$

Definicja 10.6.

Wyznacznik odwzorowania liniowego

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową wymiaru $n$. Wyznacznik $\det L$ odwzorowania liniowego $L:V⟶V$ definiujemy jako $\det (A)$, gdzie $A$ jest macierzową reprezentacją $L$ w pewnej bazie $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ dla $V$.

• Definicja wyznacznika $\det L$ nie zależy od wyboru reprezentacji macierzowej $A$ dla $L$. Rzeczywiście, jeśli $B$ jest inną reprezentacją macierzową $L$, to $B$ jest podobna do $A$, więc $\det \left(A\right)=\det \left(B\right)$.

Wniosek 10.10.

Niech $L\mathrm{:}V\mathrm{⟶}V$ będzie odwzorowaniem liniowym i . Wyznacznik $\det \mathit{}L\mathrm{\ne }\mathrm{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $L$ jest izomorfizmem liniowym.

Wniosek 10.11.

Jeśli $L\mathrm{,}G\mathrm{:}V\mathrm{⟶}V$ są odwzorowaniami liniowymi, to $\det \mathit{}G\mathrm{\circ }L\mathrm{=}\det \mathit{}G\mathrm{\cdot }\det \mathit{}L$.

10.3 Geometryczna interpretacja wyznacznika

Definicja 10.7.

Iloczyn wektorowy w ${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}$

Iloczynem wektorowym wektorów $u={[u_1,u_2,u_3]}^T,v={[v_1,v_2,v_3]}^T\in {ℝ}^3$ nazywamy wektor

Przez analogię do wzoru Laplace’a będziemy stosować następujące niezbyt formalne oznaczenie:

Wniosek 10.12 (Własności iloczynu wektorowego).

Iloczyn wektorowy

$$\times :{ℝ}^3\times {ℝ}^3⟶{ℝ}^3$$

ma dla dowolnych $u\mathrm{,}v\mathrm{,}w\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}$ i $a\mathrm{,}b\mathrm{\in }\mathrm{R}$ następujące własności:

• (dwuliniowość)

  $$(a\cdot u+b\cdot v)\times w=a\cdot (u\times w)+b\cdot (v\times w)$$

  $$u\times (a\cdot v+b\cdot w)=a\cdot (u\times v)+b\cdot (u\times w)$$

• (antysymetryczność)

  $u\times v=-v\times u$

• (reguła śruby prawoskrętnej)

  $e_1\times e_2=e_3,e_2\times e_3=e_1,e_3\times e_1=e_2$

W szczególności, $u\mathrm{\times }u\mathrm{=}\mathrm{0}$ dla dowolnego wektora $u\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}$.

Wniosek 10.13.

Wektor $u\mathrm{\times }v$ jest prostopadły do wektorów $u$ i $v$.

Dowód.

Sprawdzamy łatwo, że

∎

Rysunek 10.1: Iloczyn wektorowy.

• Iloczyn wektorowy możemy zapisać w konwencji macierzowej. Niech $u={[a,b,c]}^T$, $v={[x,y,z]}^T\in {ℝ}^3$. Bezpośredni rachunek pokazuje, że

  Stąd

  $$u\times \left(u\times v\right)=A_u\left(u\times v\right)=A_u^2\left(v\right).$$

  Z drugiej strony, sprawdzamy łatwo, że

  $$u\times (u\times v)=\left(u\right|v)\cdot u-\left(u\right|u)\cdot v.$$

  Jeśli $u$ jest wektorem jednostkowym, to otrzymujemy, że

  Odwzorowanie $v\mapsto v-\left(v\right|u)\cdot u$ jest rzutem ortogonalnym na płaszczyznę ortogonalną do wektora jednostkowego $u$.

Lemat 10.7.

Dla dowolnych wektorów $\mathrm{0}\mathrm{\ne }u\mathrm{,}v\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}$ zachodzi równość

$$\parallel u\times v\parallel =\parallel u\parallel \parallel v\parallel \sin \mathrm{\angle }(u,v).$$

Dowód.

Bezpośredni rachunek pokazuje, że zachodzi tożsamość Lagrange’a:

$$\parallel u\times v{\parallel }^2=\parallel u{\parallel }^2\parallel v{\parallel }^2-{((u|v))}^2.$$

Rzeczywiście, dla $u={[u_1,u_2,u_3]}^T$ i $v={[v_1,v_2,v_3]}^T$ mamy

${\parallel u\times v\parallel }^2$

$={(u_2{v}_3-v_2{u}_3)}^2+{(u_1{v}_3-u_3{v}_1)}^2+{(u_1{v}_2-v_1{u}_2)}^2$

$=(u_1^2+u_2^2+u_3^2)(v_1^2+v_2^2+v_3^2)-{(u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3)}^2$

$=\parallel u{\parallel }^2\parallel v{\parallel }^2-{((u|v))}^2.$

Stąd

$${\parallel u\times v\parallel }^2={\parallel u\parallel }^2{\parallel v\parallel }^2(1-{\cos }^2\mathrm{\angle }(u,v))={\parallel u\parallel }^2{\parallel v\parallel }^2{\sin }^2\mathrm{\angle }(u,v)$$

∎

Wniosek 10.14 (Pole równoległoboku).

Niech $u\mathrm{,}v\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}$. Wtedy $\mathrm{\parallel }u\mathrm{\times }v\mathrm{\parallel }$ jest polem równoległoboku rozpiętego na wektorach $u$ i $v$. W szczególności, jeśli $u$ i $v$ są liniowo niezależne, to $u\mathrm{\times }v\mathrm{\ne }\mathrm{0}$.

Wniosek 10.15.

Niech $u\mathrm{=}{\mathrm{[}{u}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{u}_{\mathrm{2}}\mathrm{]}}^T\mathrm{,}v\mathrm{=}{\mathrm{[}{v}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{v}_{\mathrm{2}}\mathrm{]}}^T\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}}$. Wtedy

jest polem równoległoboku rozpiętego na wektorach $u$ i $v$.

Dowód.

Rozważmy wektory $u^{*}={[u_1,u_2,0]}^T,v^{*}={[v_1,v_2,0]}^T\in {ℝ}^3$. Zauważmy, że

więc

∎

Rysunek 10.2: Wyznacznik i pole

Definicja 10.8.

Iloczyn mieszany w ${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}$

Dla wektorów $u,v,w\in {ℝ}^3$ definiujemy ich iloczyn mieszany jako liczbę

$$(u\times v|w).$$

Zauważmy, że

$=(u\times v|w).$

Wniosek 10.16 (Objętość równoległościanu).

Objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach $u\mathrm{,}v\mathrm{,}w$ jest równa

$$\left|(u\times v|w)\right|.$$

Dowód.

Objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach $u,v,w$ jest równa iloczynowi pola równoległoboku rozpiętego na wektorach $u$, $v$ (jest ono równe $\parallel u\times v\parallel$) i odległości $h$ punktu $w$ od płaszczyzny $P$ rozpiętej na wektorach $u$, $v$. Wysokość $h$ jest długościom rzutu prostopadłego wektora $w$ na wektor $u\times v$ prostopadły do $P$. Wtedy $h=\parallel \frac{(w|u\times v)}{{\parallel u\times v\parallel }^2}(u\times v)\parallel$, czyli

$$h\parallel u\times v\parallel =\parallel \frac{(w|u\times v)}{{\parallel u\times v\parallel }^2}(u\times v)\parallel \parallel u\times v\parallel =\left|(u\times v|w)\right|.$$

∎

Wniosek 10.17.

Niech $u\mathrm{,}v\mathrm{,}w\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}$. Objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach $u\mathrm{,}v\mathrm{,}w$ jest równa

Wniosek 10.18 (Iloczyn wektorowy i mieszany – podsumowanie).

Niech $u\mathrm{,}v\mathrm{,}w\mathrm{,}q\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}$. Zachodzą równości

• $u\times v=-v\times u$.

• $(u|v\times w)=(u\times v|w)$.

• Zachodzi tożsamość Jacobiego

  $$u\times (v\times w)+v\times (w\times u)+w\times (u\times v)=0.$$

• Zachodzi toṡamość Lagrange’a

  $$\parallel u{\parallel }^2\parallel v{\parallel }^2=\parallel u\times v{\parallel }^2+{((u|v))}^2.$$

• $\det [u|v|w]=(u\times v|w)$.

• $|\det [u|v|w]|=|(u\times v|w)|$ jest objętością równoległościanu rozpiętego na wektorach $u,v,w$.

• Iloczyn wektorowy nie jest przemienny ani łączny.

Lemat 10.8.

Jeśli $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ i $u\mathrm{,}v\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}$, to

$$A^T((Au)\times (Av))=\det (A)\cdot (u\times v).$$

W szczególności, jeśli $A^T\mathit{}A\mathrm{=}I$, to

$$(Au)\times (Av)=\det (A)A(u\times v).$$

Jeśli $A\mathrm{\in }S\mathit{}O\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}$ tzn. $A\mathit{}{A}^T\mathrm{=}I$ i $\det \mathit{}\mathrm{(}A\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{1}$, to

$$(Au)\times (Av)=A(u\times v).$$

Dowód.

Dla dowolnego $w\in {ℝ}^3$ zachodzą równości

$((Au)\times (Av)|Aw)$ $=\det [Au|Av|Aw]$

$=\det (A[u|v|w])$

$=\det (A)\cdot \det ([u|v|w])$

$=(\det (A)\cdot (u\times v)|w),$

oraz

$$((Au)\times (Av)|Aw)=(A^T((Au)\times (Av))|w).$$

Stąd

$$A^T((Au)\times (Av))=\det (A)\cdot (u\times v).$$

∎

10.4 Orientacja ${ℝ}^n$

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $ℝ$ o wymiarze skończonym $n\ge 1$. Dla dwóch uporządkowanych baz $B=b_1,\mathrm{\dots },b_n$ oraz $B^{\prime }=b_1^{\prime },\mathrm{\dots },b_n^{\prime }$ przez $S_{B^{\prime },B}=[s_{ij}]$ oznaczamy macierz przejścia od bazy $B$ do $B^{\prime }$, czyli

$$b_i=\sum _{j=1}^n{s}_{ji}{b}_j^{\prime },i=1,\mathrm{\dots },n.$$

Niech $ℬ$ oznacza zbiór wszystkich baz $V$. W zbiorze $ℬ$ definiujemy relację równoważności $R$ przez: $BR{B}^{\prime }$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$$\det S_{B^{\prime },B}>0.$$

Definicja 10.9.

Orientacja

Powiemy, że bazy $B$ i $B^{\prime }$ zadają taką samą orientację $V$ jeśli $BR{B}^{\prime }$. Przez wybór orientacji w $V$ rozumiemy wybór dowolnej uporządkowanej bazy (jej klasy abstrakcji w relacji $R$) $B=b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_n$.

Przykład 10.18 (Standardowa orientacja ${\mathrm{R}}^n$).

Dla $n\ge 1$ standardowa orientacja ${ℝ}^n$ jest zadana przez bazę standardową $e_1,\mathrm{\dots },e_n$.

• Przypomnijmy, że macierz przejścia od bazy $B=b_1,\mathrm{\dots },b_n$ do bazy standardowej jest równa $S=[b_1|\mathrm{\dots }|b_n]$. W szczególności, $B$ zadaje standardową orientację ${ℝ}^n$, gdy $\det [b_1|\mathrm{\dots }|b_n]>0$.

• Baza $b_1$, $b_2$ dla ${ℝ}^2$ zadaje standardową orientację ${ℝ}^2$ wtedy i tylko wtedy, gdy najkrótszy kąt od $b_1$ do $b_2$ jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Rzeczywiście, możemy założyć, że $\parallel b_1\parallel =\parallel b_2\parallel =1$. Niech $R$ będzie takim obrotem, że $R(b_1)=e_1$. Zauważmy, że

  $$\det [R(b_1),R(b_2)]=\det R[b_1|b_2]=\det (R)\det [b_1,b_2].$$

  Ponieważ $\det (R)=1$, więc $b_1,b_2$ zadaje standardową orientację wtedy i tylko wtedy, gdy $R(b_1),R(b_2)$ zadaje standardową orientację ${ℝ}^2$. Możemy więc założyć, że $b_1=e_1$. Niech $b_2={[a,b]}^T$. Wtedy $\det [e_1|b_2]=b>0$ wtedy i tylko wtedy, gdy najkrótszy kąt między $e_1$ i ${[a,b]}^T$ jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

• Jeśli $b_1,b_2\in {ℝ}^3$ są liniowo niezależne, to $b_1,b_2,b_1\times b_2$ zadaje standardową orientację ${ℝ}^3$. Rzeczywiście,

  $$\det [b_1|b_2|b_1\times b_2]=(b_1\times b_2|b_1\times b_2)>0.$$

Wniosek 10.19.

Niech $L\mathrm{:}{\mathrm{R}}^n\mathrm{⟶}{\mathrm{R}}^n$ będzie izomorfizmem liniowym. Następujące warunki są równoważne

• baza $L(e_1),\mathrm{\dots },L(e_n)$ zadaje standardową orientację ${ℝ}^n$,

• $\det L>0$,

• jeśli $b_1,\mathrm{\dots },b_n$ zadaje standardową orientację ${ℝ}^n$, to $L(b_1),\mathrm{\dots },L(b_n)$ zadaje standardową orientację ${ℝ}^n$.

Rozdział 11 Do czego zmierzamy?

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU wektor własny $\mathrm{◇}$ wartość własna $\mathrm{◇}$ diagonalizacja $\mathrm{◇}$ baza wektorów własnych $\mathrm{◇}$ diagonalizacja ortogonalna $\mathrm{◇}$ macierz stochastyczna $\mathrm{◇}$ dominująca wartość własna $\mathrm{◇}$ wielomian charakterystyczny $\mathrm{◇}$ zespolona postać Jordana $\mathrm{◇}$ rzeczywista postać Jordana $\mathrm{◇}$ krotność geometryczna i algebraiczna $\mathrm{◇}$ twierdzenie Cayleya–Hamiltona $\mathrm{◇}$ diagonalizacja ortogonalna macierzy symetrycznej

Przedstawimy teraz motywację dla naszych dalszych rozważań. Jak już pewnie zauważyliście szczególnie łatwe do analizy są macierze diagonalne

$$D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n),{\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n\in ℝ.$$

Przykładowo,

$$D^k=\mathrm{diag}({\lambda }_1^k,\mathrm{\dots },{\lambda }_n^k),\det D={\lambda }_1\cdot \mathrm{\dots }\cdot {\lambda }_n.$$

Jeśli $D$ jest nieosobliwa, to $D^{-1}=\mathrm{diag}(1/{\lambda }_1,\mathrm{\dots },1/{\lambda }_n)$.

Załóżmy, że macierz $A\in M_{n\times n}(ℝ)$ jest podobna do macierzy diagonalnej $D$, czyli istnieje taka macierz nieosobliwa

że

$$S^{-1}AS=D.$$

Wtedy $A=SD{S}^{-1}$, więc

$$A^k=S{D}^k{S}^{-1},\det A=\det D,$$

czyli $A$ jest równie prosta do analizy jak macierz diagonalna $D$.

PROBLEM 1 Scharakteryzować macierze $A\in M_{n\times n}(ℝ)$, które są diagonalizowalne tzn. istnieje taka macierz nieosobliwa , że

Załóżmy, że $S^{-1}AS=D$. Wtedy $AS=SD$, czyli

$=AS=SD$

Stąd

$A{v}_1={\lambda }_1\cdot v_1,\mathrm{\dots },A{v}_n={\lambda }_n\cdot v_n.$

Z powyższych rozważań wynika następujące:

Twierdzenie 11.1 (Diagonalizacja).

Dla macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ poniższe warunki są równoważne

• istnieje taka macierz nieosobliwa $S\in M_{n\times n}(ℝ)$, że $S^{-1}AS$ jest diagonalna,

• istnieje baza $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ dla ${ℝ}^n$ oraz takie skalary ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n\in ℝ$, że

  $$A{v}_i={\lambda }_i\cdot v_i,i=1,\mathrm{\dots },n.$$

Warto jakoś nazwać własność jaką spełniają wektory $v_i$ w punkcie (ii). Będą one pełniły podstawową rolę w naszych dalszych rozważaniach.

Definicja 11.1.

Wektor własny i wartość własna

Powiemy, że niezerowy wektor $0\ne v\in {ℝ}^n$ jest wektorem własnym macierzy rzeczywistej $A\in M_{n\times n}(ℝ)$, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista $\lambda \in ℝ$, że

$$Av=\lambda \cdot v.$$

Liczbę $\lambda \in ℝ$ nazywamy wartością własną macierzy $A\in M_{n\times n}(ℝ)$ dla wektora własnego $v\in {ℝ}^n$.

Twierdzenie 11.1 możemy sformułować następująco:

Twierdzenie 11.2 (Diagonalizacja=baza wektorów własnych).

Dla macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ poniższe warunki są równoważne

• istnieje taka macierz nieosobliwa $S\in M_{n\times n}(ℝ)$, że $S^{-1}AS$ jest diagonalna,

• istnieje baza $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ dla ${ℝ}^n$ złożona z wektorów własnych $A$.

Podamy geometryczną interpretację wektora własnego.

Wniosek 11.1.

Dla niezerowego wektora $v\mathrm{\in }{\mathrm{R}}^n$ i macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{n\mathrm{\times }n}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ poniższe warunki są równoważne

• $v$ jest wektorem własnym $A$,

• prosta generowana przez $v$ jest niezmiennicza dla $A$ tzn.

  $$A(\mathrm{span}\{v\})\subset \mathrm{span}\{v\}.$$

• Nie każda macierz rzeczywista ma jakiś wektor własny. Wystarczy znaleźć macierz rzeczywistą $A$, która nie ma prostych niezmienniczych. Przykładowo, macierz obrotu o kąt $\frac{\pi }{2}$, czyli

  nie ma żadnej prostej niezmienniczej.

  Możemy na to spojrzeć jeszcze trochę inaczej. Wektor $0\ne v\in {ℝ}^2$ jest wektorem własnym $A$, gdy dla pewnej liczby rzeczywistej $\lambda \in ℝ$ zachodzi warunek

  $$\left(A-\lambda I\right)v=0,$$

  czyli $\ker \left(A-\lambda I\right)\ne 0$, więc $\det \left(A-\lambda I\right)=0$ dla pewnej liczby rzeczywistej $\lambda \in ℝ$. Zauważmy, że w naszym przykładzie

  $$\det \left(A-\lambda I\right)={\lambda }^2+1\ne 0,$$

  dla $\lambda \in ℝ$.

  Macierz rzeczywistą $A$ możemy traktować w naturalny sposób jako macierz zespoloną. Możemy, więc spytać o istnienie zespolonych wektorów własnych $v\in {ℂ}^2$. Zauważmy, że $\det \left(A-\lambda I\right)=0$ dla $\lambda =\pm i$. Rozważmy macierz

  i znajdźmy taki niezerowy wektor $v=[a+ib,c+id]\in {ℂ}^2$, że $\left(A-iI\right)v=0$. Mamy

  $$\left(A-iI\right)v={[-ia+b-c-id,a+ib-ic+d]}^T={[0,0]}^T,$$

  czyli

  $$a+d=0,b-c=0.$$

  Wektor $v$ ma więc postać

  $$v={[a+ib,b-ia]}^T={[a+ib,-i\left(a+ib\right)]}^T=\left(a+ib\right){[1,-i]}^T.$$

  Wynika stąd, że

  $$A{[1,-i]}^T=i{[1,-i]}^T,$$

  czyli ${[1,-i]}^T$ jest zespolonym wektorem własnym $A$ z wartością własną $i$. Analogicznie sprawdzamy, że ${[1,i]}^T$ jest zespolonym wektorem własnym $A$ dla wartości własnej $-i$. Macierz $A$ jest diagonalizowalna jako macierz zespolona. Dla

  mamy

• Pojęcie wektora własnego możemy też zdefiniować w bardziej ogólnym kontekście. Niech $L:V⟶V$ będzie odwzorowaniem liniowym. Powiemy, że niezerowy wektor $v\in V$ jest wektorem własnym $L$ jeśli

  $$L\left(v\right)=\lambda \cdot v.$$

  Przestrzeń $V$ nie musi być skończenie wymiarowa. Przykładowo, niech $C^{\mathrm{\infty }}(ℝ,ℝ)$ będzie przestrzenią wszystkich funkcji $f:ℝ⟶ℝ$ mających ciągłą pochodną dowolnego rzędu. Wtedy odwzorowanie (operator różniczkowania)

  $$L:C^{\mathrm{\infty }}(ℝ,ℝ)\ni f⟼f^{\prime }\in C^{\mathrm{\infty }}(ℝ,ℝ)$$

  jest liniowe. Ponadto, dla $f=e^{\lambda x}\in C^{\mathrm{\infty }}(ℝ,ℝ)$ mamy

  $L\left(f\right)$ $={\left(e^{\lambda x}\right)}^{\prime }$

  $=\lambda e^{\lambda x}$

  $=\lambda \cdot f,$

  czyli $f=e^{\lambda x}$ jest wektorem własnym $L$ dla wartości własnej $\lambda$.

  Uzasadnimy teraz, że jeśli $L\left(f\right)=\lambda \cdot f$, to $f=C{e}^{\lambda x}$ dla pewnego $C\in ℝ$. Rzeczywiście, równość $f^{\prime }=\lambda f$ oznacza, że $f^{\prime }-\lambda f=0$, czyli również

  $$\underset{={\left(f{e}^{-\lambda x}\right)}^{\prime }}{\underbrace{f^{\prime }{e}^{-\lambda x}-\lambda e^{-\lambda x}f}}=0,$$

  czyli $f{e}^{-\lambda x}$ jest funkcją stałą, więc $f{e}^{-\lambda x}=C$.

  Wynika stąd, że jądro $\ker \left(L-\lambda I\right)$ ma wymiar $1$ oraz

  $$\ker \left(L-\lambda I\right)=\mathrm{span}\left\{e^{\lambda x}\right\}.$$

• Niech $L:V⟶V$ będzie odwzorowaniem liniowym i niech $v_1,\mathrm{\dots },v_n\in V$ będzie bazą $V$. Rozważmy macierz $A\in M_{n\times n}\left(𝔽\right)$ odwzorowania $L$ w tej bazie. Wektor $v=x_1\cdot v_1+\mathrm{\dots }+x_n\cdot v_n$ jest wektorem własnym $L$ dla wartości własnej $\lambda \in 𝔽$ wtedy i tylko wtedy, gdy wektor współrzędnych ${[x_1,\mathrm{\dots },x_n]}^T\in {𝔽}^n$ jest wektorem własnym macierzy $A$ dla wartości własnej $\lambda$.

Możemy pójść jeszcze krok dalej. Wektory własne macierzy diagonalnej $D$ to wektory bazy standardowej $e_1,\mathrm{\dots },e_n$. Ma ona własność

$$(e_i|e_j)={\delta }_{ij}.$$

Takie bazy ${ℝ}^n$ będziemy nazywać ortonormalnymi. Wektory $e_i$ oraz $e_j$ są ortogonalne i mają normę $1$.

PROBLEM 2 Scharakteryzować macierze $A\in M_{n\times n}(ℝ)$, które są ortogonalnie diagonalizowalne tzn. istnieje taka macierz nieosobliwa , że oraz $$(v_i|v_j)={\delta }_{ij}.$$

Zaczniemy od przyglądnięcia się takim macierzom

że $(v_i|v_j)={\delta }_{ij}$. Bezpośrednio z definicji iloczynu macierzy i definicji macierzy transponowanej wynika, że wtedy

$$S^{T}S=I,\text{czyli}\mathit{\hspace{1em}}{S}^{-1}=S^T.$$

Takie macierze będziemy nazywać ortogonalnymi. W Problemie 2 pytamy więc o istnienie takiej macierzy ortogonalnej $S\in M_{n\times n}(ℝ)$, że

$$S^{-1}AS=S^{T}AS=D$$

jest diagonalna. Zauważmy, że wtedy $A=SD{S}^T$ oraz

$A^T$ $={(SD{S}^T)}^T$

$={(S^T)}^T{D}^T{S}^T$

$=SD{S}^T$

$=A,$

czyli $A$ musi być symetryczna. Jest to warunek konieczny, aby zaszła sytuacja opisana w Problemie 2. W następnych rozdziałach pokażemy, że macierze symetryczne to jedyne macierze rzeczywiste rozwiązujące Problem 2.

11.1 Rozkład Jordana w wymiarze $2$

Spróbujmy nabrać intuicji w przypadku wymiaru $2$. Zakładamy, że ciało $F$ jest równe $ℝ$ lub $ℂ$. Rozważmy macierz $A\in M_{2\times 2}(𝔽)$.

Definicja 11.2.

Wektor własny i wartość własna

Liczbę $\lambda \in 𝔽$ nazywamy wartością własną macierzy $A\in M_{2\times 2}(𝔽)$, jeśli istnieje taki niezerowy wektor $v\in {𝔽}^2$, że

$$Av=\lambda \cdot v.$$

Każdy taki wektor $v$ nazywamy wektorem własnym $A$ odpowiadającym wartości własnej $\lambda$.

• Niech $𝔽=ℝ$. Interpretacja geometryczna jest następująca. Jeśli $v\in {ℝ}^2$ jest wektorem własnym dla wartości własnej $\lambda \in ℝ$, to prosta $l=\mathrm{span}\left\{v\right\}$ jest niezmiennicza dla $A$ tzn. jeśli $w\in l$, to $Aw\in l$.

Jeśli $v\in {𝔽}^2$ jest wektorem własnym dla wartości własnej $\lambda \in 𝔽$, to $(A-\lambda I)v=0$. Oznacza to, że $\ker (A-\lambda I)\ne \{0\}$, czyli $\det (A-\lambda I)=0$. Odwrotnie, jeśli $\det (A-\lambda I)=0$ dla pewnego skalara $\lambda \in 𝔽$, to macierz $A-\lambda I$ jest osobliwa. W szczególności, $\ker (A-\lambda I)\ne \{0\}$, czyli istnieje wektor własny $v\in \ker (A-\lambda I)$.

Wniosek 11.2.

Dla $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ i $\lambda \mathrm{\in }\mathrm{F}$ następujące warunki są równoważne

• $\lambda$ jest wartością własną $A$;

• $\ker (A-\lambda I)\ne \{0\}$;

• $A-\lambda I$ jest osobliwa;

• $\det (A-\lambda I)=0$.

Warunek (4) oznacza, że wartość własna $\lambda \in 𝔽$ jest pierwiastkiem wielomianu

$p_A(x)=\det (A-xI)$

Wielomian $p_A$ nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy $A$. Bezpośredni rachunek pokazuje, że

$p_A(x)$

$=x^2-(a_{11}+a_{22})x+(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{22})$

$=x^2-\mathrm{tr}(A)x+\det (A).$

• Macierze podobne mają takie same wielomiany charakterystyczne. Rzeczywiście, jeśli $B=S^{-1}AS$, to

  $\det \left(B-xI\right)$ $=\det \left(S^{-1}AS-xI\right)$

  $=\det \left(S^{-1}\left(A-xI\right)S\right)$

  $=\det \left(A-xI\right).$

  Jeśli macierze $A$ i $B$ mają takie same wielomiany charakterystyczne, to nie muszą być podobne. Przykładowo, $A=0$ oraz mają taki sam wielomian charakterystyczny $p\left(x\right)=x^2$, ale nie są podobne, bo macierz zerowa jest podobna tylko do siebie samej.

Dla $𝔽=ℂ$ zasadnicze twierdzenie algebry gwarantuje, że wielomian $p_A$ ma dwa (niekoniecznie różne) pierwiastki zespolone ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2\in ℂ$. Są one wtedy wartościami własnymi macierzy $A\in M_{2\times 2}(ℂ)$. Macierz zespolona ma więc zawsze dwie wartości własne. Nie oznacza to, że ma ona dwa liniowo niezależne wektory własne. Przykładowo, wartościami własnymi macierzy

są ${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda$. Mamy więc dwukrotną wartość własną $\lambda$. Zobaczmy jak wyglądają wektory własne. Niezerowy wektor $v={[v_1,v_2]}^T\in {ℂ}^2$ jest wektorem własnym dla $\lambda$ jeśli $(A-\lambda I)v=0$, czyli

Stąd $v_2=0$, czyli wektor własny $v$ ma postać

$$\left[\begin{array}{c}\hfill v_1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right]=v_1\cdot \left[\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right]=v_1\cdot e_1.$$

W przypadku $𝔽=ℝ$, z algebraicznego punktu widzenia dla wielomianu charakterystycznego mamy trzy możliwości:

• $p_A$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste;

• $p_A$ ma dwukrotny pierwiastek rzeczywisty;

• $p_A$ ma dwa sprzężone (nierzeczywiste) pierwiastki zespolone.

W przypadku (iii) macierz rzeczywista $A$ nie ma rzeczywistych wartości własnych.

Wniosek 11.3.

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$. Jeśli ${\lambda }_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\lambda }_{\mathrm{2}}\mathrm{\in }\mathrm{C}$ są pierwiastkami równania charakterystycznego

$$x^2-\mathrm{tr}(A)x+\det (A)=0,$$

to zachodzą wzory Viete’a

$\mathrm{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2,\det (A)={\lambda }_1\cdot {\lambda }_2.$

Dowód.

Z założenia mamy

$$(x-{\lambda }_1)(x-{\lambda }_2)=p_A(x)=x^2-\mathrm{tr}(A)x+\det (A),$$

wystarczy więc porównać współczynniki wielomianów po obu stronach równości. ∎

• Dla dowolnych macierzy $X,Y\in M_{2\times 2}\left(ℂ\right)$ macierze $XY$ i $YX$ mają takie same wielomiany charakterystyczne. Wynika, to z faktu, że

  $$\mathrm{tr}XY=\mathrm{tr}YX,\det XY=\det YX.$$

Lemat 11.1.

Jeśli $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ ma dwie różne rzeczywiste wartości własne ${\lambda }_{\mathrm{1}}\mathrm{\ne }{\lambda }_{\mathrm{2}}$ oraz $v_i\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$ są wektorami własnymi odpowiadającymi ${\lambda }_i\mathrm{\in }\mathrm{F}$, to $v_{\mathrm{1}}$, $v_{\mathrm{2}}$ są liniowo niezależne. W szczególności, $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{v}_{\mathrm{2}}$ tworzą bazę ${\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$.

Dowód.

W przeciwnym razie $v_2=p\cdot v_1$ dla pewnego skalara $p\in 𝔽$. Wtedy

${\lambda }_2\cdot v_2$ $=A(v_2)$

$=A(p\cdot v_1)$

$=p\cdot A(v_1)$

$=p{\lambda }_1\cdot v_1$

$={\lambda }_1\cdot v_2,$

czyli ${\lambda }_1={\lambda }_2$, co prowadzi do sprzeczności. Skorzystaliśmy tu z faktu, że $v_2\ne 0$. ∎

Twierdzenie 11.3.

Jeśli $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ ma dwa liniowo niezależne wektory własne $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{v}_{\mathrm{2}}\mathrm{\in }{\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$ odpowiadające wartościom własnym ${\lambda }_{\mathrm{1}}$, ${\lambda }_{\mathrm{2}}\mathrm{\in }\mathrm{F}$ (niekoniecznie różnym), to dla macierzy mamy

Dowód.

Z definicji $B$ mamy, że $B(e_i)=v_i$ dla $i=1,2$. Oczywiście $B$ jest odwracalna oraz dla $i=1,2$ mamy

$B^{-1}AB{e}_i$ $=B^{-1}A{v}_i$

$=B^{-1}({\lambda }_i\cdot v_i)$

$={\lambda }_i\cdot e_i.$

∎

• Twierdzenie 11.3 orzeka, że jeśli ${𝔽}^2$ ma bazę złożoną z wektorów własnych, to $A\in M_{2\times 2}\left(𝔽\right)$ ma w tej bazie postać diagonalną $\mathrm{\Lambda }$. Macierz $\mathrm{\Lambda }$ nazywamy postacią Jordana macierzy $A$.

Rysunek 11.1: Działanie macierzy $A$ na wektorach własnych $v_1$, $v_2$ o wartościach własnych ${\lambda }_1=4$, ${\lambda }_2=-3$.

Przykład 11.1.

Znajdziemy postać Jordana macierzy

Szukamy najpierw wartości własnych czyli pierwiastków równania charakterystycznego

$$p_A(x)=x^2-x-12=0.$$

Są nimi liczby ${\lambda }_1=4$ oraz ${\lambda }_2=-3$. Aby znaleźć wektor własny dla ${\lambda }_1=4$ znajdujemy jądro macierzy

Rozwiązując równanie $(A-4I)x=0$ otrzymujemy, że $x={[2x_2,x_2]}^T$. Jednym z wektorów własnych jest $v_1={[2,1]}^T$. Analogicznie, $v_2={[-1,3]}^T$ jest wektorem własnym dla ${\lambda }_2$. W bazie $v_1$, $v_2$ macierz $A$ ma postać diagonalną

• Macierz zespolona $A\in M_{2\times 2}\left(ℂ\right)$ może mieć rzeczywistą wartość własną, ale może nie mieć odpowiadającego jej rzeczywistego wektora własnego w ${ℝ}^2$. Dla przykładu rozważmy macierz

  Wielomian charakterystyczny ma postać

  $$p_A\left(x\right)=x^2-1,$$

  więc $A$ ma wartości własne ${\lambda }_1=1$ oraz ${\lambda }_2=-1$. Wektor własny ${[x,y]}^T\in {ℂ}^2$ dla ${\lambda }_1=1$ jest niezerowym rozwiązaniem równania

  czyli

  $$-x-iy=0,ix-y=0.$$

  Stąd, $y=ix$ oraz każdy wektor własny jest postaci

  $$c\cdot {[1,i]}^T,c\in ℂ\setminus \left\{0\right\}.$$

  Nie może on być wektorem z ${ℝ}^2$.

Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy $\lambda \in 𝔽$ jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego $p_A$. Mogą zachodzić dwie możliwości:

• $\dim \ker (A-\lambda I)=2$. Mówimy wtedy, że krotność geometryczna wartości własnej $\lambda$ jest równa jej krotności algebraicznej. Wówczas $A$ ma dwa liniowo niezależne wektory własne odpowiadające $\lambda$ i jesteśmy w sytuacji opisanej Twierdzeniem 11.3. Wtedy postać Jordana $\mathrm{\Lambda }$ macierzy $A$ jest diagonalna:

  Z powyższej równości wynika, że wtedy $A=\lambda I$.

• $\dim \ker (A-\lambda I)=1$. Istnieje wtedy tylko jeden liniowo niezależny wektor własny $v\in {𝔽}^2$ dla $\lambda \in 𝔽$.

Wniosek 11.4.

Jeśli $\lambda \mathrm{\in }\mathrm{F}$ jest dwukrotnym pierwiastkiem charakterystycznym macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ i $A\mathrm{\ne }\lambda \mathit{}I$, to $\dim \mathit{}\ker \mathit{}\mathrm{(}A\mathrm{-}\lambda \mathit{}I\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{1}$ i $A$ ma tylko jeden liniowo niezależny wektor własny.

Lemat 11.2 (Twierdzenie Cayleya–Hamiltona).

Dla macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ zachodzi równość

Dowód.

Zastosujemy brutalną siłę, czyli bezpośredni rachunek. Niech Ponieważ $p_A(x)=(x-a)(x-d)-bc$, więc

$p_A(A)$ $=(A-aI)(A-dI)-bcI$

∎

Przykład 11.2.

Niech $A\in M_{2\times 2}(ℂ)$. Twierdzenie Cayleya–Hamiltona pozwala łatwo wyznaczyć $A^n$ dla $n\in \mathbb{N}$. Niech ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2\in ℂ$ będą wartościami własnymi $A$. Wtedy

$$A^2-({\lambda }_1+{\lambda }_2)A+{\lambda }_1{\lambda }_{2}I=0,$$

czyli

$$(A-{\lambda }_{1}I)(A-{\lambda }_{2}I)=0.$$

Jeśli ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, to rozważamy macierze

$$X=\frac{A-{\lambda }_{2}I}{{\lambda }_1-{\lambda }_2},Y=\frac{A-{\lambda }_{1}I}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}.$$

Wtedy

$$X^2=X,XY=YX=0,Y^2=Y$$

Środkowa równość wynika bezpośrednio z Twierdzenia Cayleya–Hamiltona. Sprawdzimy równość $X^2=X$. Mamy

$X^2$ $={\displaystyle \frac{{(A-{\lambda }_{2}I)}^2}{{({\lambda }_1-{\lambda }_2)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{(A-{\lambda }_{2}I)(A-{\lambda }_{1}I+({\lambda }_1-{\lambda }_2)I)}{{({\lambda }_1-{\lambda }_2)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{(A-{\lambda }_{2}I)(A-{\lambda }_{1}I)}{{({\lambda }_1-{\lambda }_2)}^2}}+{\displaystyle \frac{(A-{\lambda }_2)({\lambda }_1-{\lambda }_2)I}{{({\lambda }_1-{\lambda }_2)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{A-{\lambda }_{2}I}{({\lambda }_1-{\lambda }_2)}}$

$=X.$

Stąd dla $k\ge 2$ mamy

$$X^k=X,Y^k=Y,{\lambda }_1\ne {\lambda }_2.$$

Dla ${\lambda }_1={\lambda }_2$ rozważamy

$$Z=A-{\lambda }_{1}I.$$

Wtedy $Z^k=0$ dla $k\ge 2$. Mamy więc

Wniosek 11.5.

Jeśli $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$ jest nieosobliwa, to

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}A\cdot I-A),\mathrm{tr}{A}^{-1}=\frac{\mathrm{tr}A}{\det A}.$$

Ponadto,

$$\det A=\frac{1}{2}({(\mathrm{tr}A)}^2-\mathrm{tr}{A}^2).$$

Dowód.

Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona mamy

Mnożąc powyższą równość przez $A^{-1}$ otrzymujemy, że

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}A\cdot I-A).$$

Biorąc ślady obu stron w tej równości dostajemy, że $\mathrm{tr}{A}^{-1}=\frac{\mathrm{tr}A}{\det A}$. Wzór na $\det A$ otrzymujemy obliczając ślady macierzy po obu stronach w równości Cayleya–Hamiltona. ∎

Wniosek 11.6.

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$. Jeśli $A\mathrm{\notin }\mathrm{\{}\alpha \mathit{}I\mathrm{:}\alpha \mathrm{\in }\mathrm{C}\mathrm{\}}$ oraz $A^{\mathrm{2}}\mathrm{-}a\mathit{}A\mathrm{+}b\mathit{}I\mathrm{=}$ dla pewnych $a\mathrm{,}b\mathrm{\in }\mathrm{C}$, to

$$a=\mathrm{tr}A,b=\det A.$$

Dowód.

Z założenia i twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że

$$(a-\mathrm{tr}A)A=(b-\det A)I.$$

Zauważmy, że $a-\mathrm{tr}A=0$, bo inaczej $A=\frac{b-\det A}{a-\mathrm{tr}A}I$, co jest sprzeczne z założeniem. Stąd również $b-\det A=0$. ∎

• Macierz $A\in M_{2\times 2}\left(ℂ\right)$ jest nilpotentna, jeśli $A^n=0$ dla pewnego $n\in \mathbb{N}$. Pokażemy, że wtedy $0$ jest jedyną wartością własną $A$ oraz $A^2=0$. Zauważmy, że jeśli $\lambda \in ℂ$ jest wartością własną dla wektora własnego $v\ne 0$, to $0=A^{n}v={\lambda }^n\cdot v$, czyli $\lambda =0$. W szczególności, $\mathrm{tr}A=0$ i $\det A=0$, czyli $p_A\left(x\right)=x^2$. Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że $A^2=0$.

Lemat 11.3.

Jeśli $\lambda \mathrm{\in }\mathrm{F}$ jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego $p_A$, to

Dowód.

Ze wzorów Viete’a mamy $\mathrm{tr}(A)=2\lambda$ i $\det (A)={\lambda }^2$. Z Lematu Cayleya–Hamiltona wynika, że

Ponieważ macierze $A$ i $\lambda I$ komutują ze sobą, więc

$${(A-\lambda I)}^2=A^2-2\lambda A+{\lambda }^{2}I.$$

∎

Twierdzenie 11.4.

Jeśli $\lambda \mathrm{\in }\mathrm{F}$ jest dwukrotną wartością własną macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{F}\mathrm{)}$ i $A\mathrm{\ne }\lambda \mathit{}I$, to istnieje taka baza $v\mathrm{,}w$ dla ${\mathrm{F}}^{\mathrm{2}}$, że

$Av=\lambda \cdot v,Aw=v+\lambda \cdot w$

W szczególności, dla macierzy mamy następującą postać Jordana dla $A$:

Dowód.

Niech $0\ne v\in \ker (A-\lambda I)$ będzie dowolnym wektorem własnym dla $\lambda$. Każdy wektor własny $A$ jest postaci $p\cdot v$, gdzie $v$ jest pewnym wektorem własnym $A$ dla $\lambda$ oraz $0\ne p\in 𝔽$. Niech $0\ne u\in {𝔽}^2$ będzie dowolnym wektorem liniowo niezależnym z $v$. W szczególności, $u$ nie jest wektorem własnym odpowiadającym $\lambda$, więc $(A-\lambda I)u\ne 0$. Ponieważ,

$$0={(A-\lambda I)}^{2}u=(A-\lambda I)(A-\lambda I)u,$$

więc $(A-\lambda I)u\in \ker (A-\lambda I)$ jest wektorem własnym odpowiadającym $\lambda$. Stąd

$$(A-\lambda I)u=p\cdot v,$$

dla pewnego $0\ne p\in ℝ$. Dla wektora $w=\frac{1}{p}\cdot u$ otrzymujemy, że $(A-\lambda I)w=v$, czyli $Aw=v+\lambda \cdot w$. ∎

POSTAĆ JORDANA MACIERZY ZESPOLONEJ Macierz zespolona $A\in M_{2\times 2}(ℂ)$ ma jedną z dwóch postaci Jordana

Wniosek 11.7.

• Jeśli $0\ne A\in M_{2\times 2}(ℂ)$ jest macierzą nilpotentną, to

  dla pewnej macierzy nieosobliwej $S$.

• Jeśli $A\in M_{2\times 2}(ℂ)$ jest taka, że $A^2=A$, to $A=0$ lub $A=I$ lub

  dla pewnej macierzy nieosobliwej $S$.

• Jeśli $A\in M_{2\times 2}(ℂ)$ jest taka, że $A^2=I$, to $A=\pm I$ lub

  dla pewnej macierzy nieosobliwej $S$.

• Jeśli $A\in M_{2\times 2}(ℂ)$ jest taka, że $A^2=-I$, to $A=\pm i\cdot I$ lub

  dla pewnej macierzy nieosobliwej $S$.

Wniosek 11.8.

Dla dowolnej macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$ mamy

• $A$ jest podobna do $A^T$.

• $A$ jest podobna do macierzy symetrycznej.

• $A$ jest iloczynem macierzy symetrycznych.

Dowód.

Punkt (i). Możemy założyć, że $A$ jest w postaci Jordana. Jeśli jest ona diagonalna, to nie ma czego dowodzić. Załóżmy więc, że

Wtedy dla mamy $S^{-1}AS=A^T$.

Punkt (ii). Ponownie możemy założyć, że . Szukamy takiej macierzy nieosobliwej , że $S^{-1}AS$ jest symetryczna. Dla $\mathrm{\Delta }=\det S\ne 0$ mamy

Ponieważ szukamy macierzy symetrycznej, więc musi zachodzić warunek $c^2+d^2=0$. Wystarczy więc przyjąć takie $a,b,c,d$, że $ad-bc\ne 0$ i $c^2+d^2=0$. Zwróćmy uwagę, że $S$ nie może być rzeczywista. Przykładowo, dla $d=i=a$, $c=1$ i $b=0$ mamy

Punkt (iii). Zauważmy najpierw, że możemy założyć, że $A$ jest w postaci Jordana $\mathrm{\Lambda }$, bo jeśli $\mathrm{\Lambda }=BC$ jest iloczynem macierzy symetrycznych, to

$$A=S\mathrm{\Lambda }{S}^{-1}=(SB{S}^T)({(S^{-1})}^{T}C{S}^{-1})$$

jest również iloczynem macierzy symetrycznych. Dla wystarczy przyjąć

Jeśli , to przyjmujemy

∎

• Rozważmy macierz $A$ w postaci bloku Jordana

  Dla macierzy

  mamy $S^{-1}=S$ oraz

  $S^{-1}AS$

  $=A^T.$

Naturalne jest pytanie o postać macierzy $A\in M_{2\times 2}(ℝ)$, gdy jej wielomian charakterystyczny $p_A$ ma dwie zespolone wartości własne ${\lambda }_1=\alpha +i\beta$, ${\lambda }_2=\alpha -i\beta$ oraz $\beta \ne 0$. Macierz $A\in M_{2\times 2}(ℝ)$ możemy traktować jako element przestrzeni $M_{2\times 2}(ℂ)$. Istnieje więc wektor własny $v\in {ℂ}^2$ odpowiadający wartości własnej ${\lambda }_1=\alpha +i\beta$. Wektor $v\in {ℂ}^2$ wygodnie jest zapisać w postaci

$$v=\left[\begin{array}{c}\hfill a_1+i{a}_2\hfill \\ \hfill b_1+i{b}_2\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hfill a_1\hfill \\ \hfill b_1\hfill \end{array}\right]+i\left[\begin{array}{c}\hfill a_2\hfill \\ \hfill b_2\hfill \end{array}\right]:=v_1+i{v}_2,v_1,v_2\in {ℝ}^2.$$

Wówczas

$$Av=A{v}_1+iA{v}_2.$$

Ponadto,

$$A(v_1-i{v}_2)=(\alpha -i\beta )\cdot (v_1-i{v}_2),$$

czyli wektor $v_1-i{v}_2$ jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej ${\lambda }_2=\alpha -i\beta$.

Pokażemy, że wektory $v_1,v_2\in {ℝ}^2$ są liniowo niezależne. Rzeczywiście, przypuśćmy, że $v_1=p\cdot v_2$ dla pewnej liczby rzeczywistej $p\in ℝ$. Wtedy

$$A(v_1+i{v}_2)=(\alpha +i\beta )\cdot (v_1+i{v}_2)=(\alpha +i\beta )(p+i)\cdot v_2$$

oraz

$$A(v_1+i{v}_2)=A((p+i)v_2)=(p+i)\cdot A(v_2),$$

więc $A(v_2)=(\alpha +i\beta )\cdot v_2$, co prowadzi do sprzeczności z warunkiem $\beta \ne 0$.

Zauważmy, że

$$A(v_1)+iA(v_2)=A(v_1+i{v}_2)=(\alpha +i\beta )\cdot (v_1+i{v}_2),$$

więc

$$A(v_1)=\alpha \cdot v_1-\beta \cdot v_2,A(v_2)=\beta \cdot v_1+\alpha \cdot v_2.$$

Dla macierzy otrzymujemy równość

Dla mamy

Wniosek 11.9 (Rzeczywista postać Jordana).

Jeśli ${\lambda }_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\alpha \mathrm{+}i\mathit{}\beta$, ${\lambda }_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\alpha \mathrm{-}i\mathit{}\beta$ z $\beta \mathrm{\ne }\mathrm{0}$ są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego $p_A$ dla macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$, to istnieje taka nieosobliwa macierz $S\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$, że

Ponadto, dla dowolnego takiego niezerowego wektora $v_{\mathrm{1}}\mathrm{+}i\mathit{}{v}_{\mathrm{2}}\mathrm{\in }\mathrm{C}$, że

$$A(v_1+i{v}_2)=(\alpha +i\beta )\cdot (v_1+i{v}_2).$$

Przykład 11.3 (Ciąg Fibonacciego).

Ciąg Fibonacciego $u_n$ jest zdefiniowany rekurencyjnie wzorem

$$u_{n+1}=u_n+u_{n-1},u_1=1,u_0=0.$$

Dla macierzy

mamy więc

Wynika stąd, że

$$\left[\begin{array}{c}\hfill u_{n+1}\hfill \\ \hfill u_n\hfill \end{array}\right]=A^n\left[\begin{array}{c}\hfill u_1\hfill \\ \hfill u_0\hfill \end{array}\right]=A^n{e}_1.$$

Wielomian charakterystyczny $A$ ma postać $p_A(x)=x^2-x-1$, więc wartościami własnymi $A$ są

$${\lambda }_{+}=\frac{\sqrt{5}+1}{2},{\lambda }_{-}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.$$

Wektory własne mają postać

$$v_{+}={[(1+\sqrt{5})/2,1]}^T,v_{-}={[(1-\sqrt{5})/2,1]}^T.$$

Ponieważ

$$e_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot (v_{+}-v_{-}),$$

więc

$$\left[\begin{array}{c}\hfill u_{n+1}\hfill \\ \hfill u_n\hfill \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{5}}({\lambda }_{+}^n\cdot v_{+}-{\lambda }_{-}^n\cdot v_{-}),$$

czyli otrzymujemy formułę Bineta

$$u_n=\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n.$$

Przykład 11.4.

Rozważmy macierz

Jej wielomian charakterystyczny ma postać

$$p_A(x)=x^2-4x+4={(x-2)}^2.$$

Stąd $\lambda =2$ jest dwukrotną wartością własną macierzy $A$. Ponieważ

więc ${[x,y]}^T\in \ker (A-2I)$ jeśli $x+y=0$, czyli

$$\ker (A-2I)=\mathrm{span}\left\{{[1,-1]}^T\right\}.$$

Wektor $v={[1,-1]}^T$ jest wektorem własnym i każdy inny wektor własny jest liniowo zależny z $v$.

Szukamy teraz takiego wektora $w={[x,y]}^T\in {ℝ}^2$, że

$$(A-2I)w=v={[1,-1]}^T.$$

Musimy więc rozwiązać układ równań

$$x+y=1,-x-y=-1.$$

Rozwiązaniami są wektory postaci ${[x,1-x]}^T=x{[1,-1]}^T+{[0,1]}^T$. Możemy więc przyjąć, że

$$w={[1,0]}^T=e_1.$$

Dla macierzy

mamy

Przykład 11.5.

Macierz

ma zespolone wartości własne ${\lambda }_1=2i$ oraz ${\lambda }_2=-2i$. Znajdziemy wektor własny $v_1={[a+bi,c+di]}^T\in {ℂ}^2$ dla ${\lambda }_1=2i$. Szukamy niezerowych rozwiązań równania

$0=(A-2iI)v$

$=\left[\begin{array}{c}\hfill -2ia+2b-4c-4di\hfill \\ \hfill a+bi-2ic+2d\hfill \end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{c}\hfill -2ia+2(b-2c)-2i(a+2d)\hfill \\ \hfill a+2d+i(b-2c)\hfill \end{array}\right].$

Stąd $a+2d=0$ oraz $b-2c=0$. Możemy więc przyjąć, że

$$v_1={[2,-i]}^T={[2,0]}^T+i{[0,-1]}^T.$$

Dla wartości własnej ${\lambda }_2=-2i$ wektorem własnym jest więc $v_2={[2,i]}^T$. Dla macierzy

mamy

Aby znaleźć rzeczywistą postać Jordana rozważamy macierz

której kolumnami są część rzeczywista i urojona wektora $v_1={[2,-i]}^T={[2,0]}^T+i{[0,-1]}^T$. Wtedy

11.2 Rozkład Jordana w wymiarze $3$

Podamy dowód Twierdzenia Jordana dla macierzy zespolonej $A\in M_{3\times 3}(ℂ)$. Zastosujemy podejście, które uogólnia się na wyższe wymiary.

Twierdzenie 11.5 (Rozkład Jordana macierzy zespolonej).

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$. Istnieje taka macierz nieosobliwa $S\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$, że $S^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathit{}A\mathit{}S$ jest jednej z poniższych postaci:

Ponadto, ${\lambda }_i\mathrm{\in }\mathrm{C}$ są wartościami własnymi macierzy $A$.

Lemat 11.4.

Załóżmy, że wartości własne ${\lambda }_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\lambda }_{\mathrm{2}}\mathrm{,}{\lambda }_{\mathrm{3}}\mathrm{\in }\mathrm{C}$ macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$ są różne. Wtedy odpowiadające im wektory własne $v_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{v}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}{v}_{\mathrm{3}}$ są liniowo niezależne oraz dla mamy

$$S^{-1}AS=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3).$$

Dowód.

Zauważmy najpierw, że $v_1$ i $v_2$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że $v_2=x\cdot v_1$ dla pewnego $x\in ℂ$. Wtedy $x\ne 0$, bo $v_2\ne 0$. Mamy

${\lambda }_2\cdot v_2$ $=A{v}_2$

$=A(x\cdot v_1)$

$=x{\lambda }_1\cdot v_1$

$={\lambda }_1\cdot v_2,$

czyli ${\lambda }_1={\lambda }_2$, sprzeczność.

Przypuśćmy, że $v_3\in \mathrm{span}\{v_1,v_2\}$. Wtedy $v_3=x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2$ dla pewnych $x_1,x_2\in ℂ$. Przynajmniej jedna z liczb $x_1$, $x_2$ jest różna od zera, bo $v_3\ne 0$. Otrzymujemy, że

${\lambda }_3\cdot v_3$ $=A{v}_3$

$=A(x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2)$

$=x_1{\lambda }_1\cdot v_1+x_2{\lambda }_2\cdot v_2,$

czyli

$${\lambda }_3(x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2)=x_1{\lambda }_1\cdot v_1+x_2{\lambda }_2\cdot v_2.$$

W efekcie

$$x_1({\lambda }_3-{\lambda }_1)\cdot v_1+x_2({\lambda }_2-{\lambda }_1)\cdot v_2=0,$$

co jest sprzeczne z liniową niezależnością $v_1$ i $v_2$. ∎

Lemat 11.5.

Niech $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$. Istnieje taka macierz nieosobliwa $S\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$, że macierz $S^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathit{}A\mathit{}S$ jest górnie trójkątna.

Dowód.

Niech $\lambda \in ℂ$ będzie wartością własną $A$ i niech $v\in {ℂ}^3$ będzie odpowiadającym jej wektorem własnym. Uzupełniamy $v$ do bazy $v$, $u$, $w$ dla ${ℂ}^3$. Rozważmy macierz . Macierz $W^{-1}AW$ ma postać blokową

Z rozkładu Jordana w wymiarze $2$ istnieje taka macierz nieosobliwa $V\in M_{2\times 2}(ℂ)$, że

jest górnie trójkątna. Definiujemy macierz nieosobliwą

Wtedy

$U^{-1}{W}^{-1}AWU$

jest górnie trójkątna i teza zachodzi dla $S=WU$. ∎

Lemat 11.6.

Rozważmy macierz górnie trójkątną z $\mathrm{0}$ jako jedyną wartością własną

Wtedy zachodzi jeden z warunków

• $A=0$,

• $\dim \ker A=2$ i $A$ jest podobna do macierzy

• $\dim \ker A=1$ oraz $A$ jest podobna do macierzy

Dowód.

Sprawdzamy, że

Mamy trzy możliwości

• $A=0$,

• $A\ne 0$, $A^2=0$,

• $A^2\ne 0$, $A^3=0$.

W przypadku (ii) $a=0$ lub $c=0$, bo $A^2=0$ i macierz $A$ jest jednej z postaci

We wszystkich przypadkach $\mathrm{rank}A=\dim \mathrm{im}A=1$ oraz

$$\mathrm{im}A\subset \ker A,\dim \ker A=2.$$

Inkluzja $\mathrm{im}A\subset \ker A$ wynika stąd, że $A^2=0$. Niech $v_1\in \mathrm{im}A$ będzie niezerowym wektorem. Istnieje więc taki (niezerowy) wektor $v_2\in {ℂ}^3$, że $A{v}_2=v_1$. Wybieramy teraz wektor $v_3\in \ker A$ liniowo niezależny z $v_1$. Rozważmy macierz

Ponieważ $v_2\notin \ker A$, więc $v_1,v_2,v_3$ są liniowo niezależne, czyli $S$ jest nieosobliwa. Ponadto,

W przypadku (iii) mamy $a\ne 0$ i $c\ne 0$, więc

$$\mathrm{rank}A=\dim \mathrm{imA}=2.$$

Ponadto,

$$\mathrm{im}{A}^2\subset \ker A,\dim \ker A=1,\text{więc}\mathit{\hspace{1em}}\mathrm{im}{A}^2=\ker A.$$

Niech $v\in \ker A$ będzie wektorem własnym dla wartości własnej $0$. Ponieważ

$$\mathrm{im}{A}^2=\ker A,$$

więc istnieje taki wektor $u\in {ℂ}^3$, że $A^{2}u=v$. Wektory

$$v,Au,u$$

są liniowo niezależne. Rzeczywiście, przypuśćmy, że $x\cdot v+y\cdot Au+z\cdot u=0$ dla pewnych $x,y,z\in ℂ$. Wtedy

$$0=A^2(x\cdot v+y\cdot Au+z\cdot u)=z\cdot v,$$

czyli $z=0$, bo $v\ne 0$. W konsekwencji,

$$0=A(x\cdot v+y\cdot Au)=y\cdot v,$$

czyli $y=0$. Z równości $x\cdot v=0$ również $x=0$. Dla

mamy

∎

Wniosek 11.10.

Załóżmy, że $\lambda \mathrm{\in }\mathrm{C}$ jest $\mathrm{3}$-krotną wartością własną macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$. Wtedy

• jeśli $\dim \ker (A-\lambda I)=3$, to $A=\lambda I$,

• jeśli $\dim \ker (A-\lambda I)=2$, to $A$ jest podobna do macierzy

• jeśli $\dim \ker (A-\lambda I)=1$, to $A$ jest podobna do macierzy

Dowód.

Z Lematu 11.5 możemy założyć, że $A$ jest górnie trójkątna. Stosujemy Lemat 11.6 do macierzy $A-\lambda I$. ∎

Lemat 11.7.

Załóżmy, że $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$ jest macierzą górnie trójkątną postaci

Wtedy

• ,

• jeśli $\dim \ker A=2$, to dla pewnej macierzy nieosobliwej $S\in M_{3\times 3}(ℂ)$,

• jeśli $\dim \ker A=1$, to dla pewnej macierzy nieosobliwej $S\in M_{3\times 3}(ℂ)$.

Dowód.

Zauważmy, że

czyli

Załóżmy, że $\dim \ker A=2$. Niech $v_2,v_3\in \ker A$ będą bazą dla jądra. Jeśli $v_1$ jest wektorem własnym dla $\lambda$, to $v_1,v_2,v_3$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy bowiem, że $v_1=x_2\cdot v_2+x_3\cdot v_3$. Wtedy

$$\lambda \cdot v_1=A{v}_1=x_2\cdot A{v}_2+x_3\cdot A{v}_3=0,$$

sprzeczność. Dla macierzy nieosobliwej mamy

Niech teraz $\dim \ker A=1$, czyli $c\ne 0$. Zauważmy, że teza zajdzie, gdy znajdziemy taką bazę $v_1,v_2,v_3$, że

$$A{v}_1=\lambda \cdot v_1,A{v}_2=0,A{v}_3=v_2.$$

Z wyborem $v_1$ i $v_2$ nie mamy problemu: bierzemy wektory własne dla $\lambda$ i $0$. Musimy dobrać wektor $v_3$, aby $A{v}_3=v_2$. W tym celu wystarczy zauważyć, że

$$\ker A\subset \mathrm{im}A.$$

Rzeczywiście, $A{[x,y,z]}^T={[\lambda x+ay+bz,cz,0]}^T$, czyli ${[x,y,z]}^T\in \ker A$, gdy $z=0$ i $x=\frac{a}{\lambda }y$, czyli jądro jest generowane przez wektor ${[a/\lambda ,1,0]}^T$. Sprawdzamy łatwo, że jest on w obrazie $A$ generowanym przez wektory ${[\lambda ,0,0]}^T$ i ${[b,c,0]}^T$.

Pozostaje sprawdzić, że $v_1,v_2,v_3$ są liniowo niezależne. Wiemy, że $v_1$ i $v_2$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że $v_3=x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2$. Wtedy

$v_2$ $=A{v}_3$

$=x_1\cdot A{v}_1+x_2\cdot A{v}_2$

$=x_1\lambda \cdot v_1,$

co jest sprzeczne z liniową niezależnością $v_1$ i $v_2$. ∎

Wniosek 11.11.

Załóżmy, że $\lambda \mathrm{,}{\lambda }_{\mathrm{1}}\mathrm{\in }\mathrm{C}$ są różnymi wartościami własnymi macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$ oraz ${\lambda }_{\mathrm{1}}$ ma krotność $\mathrm{2}$. Wtedy

• ,

• jeśli $\dim \ker (A-{\lambda }_{1}I)=2$, to $A$ jest podobna do macierzy

• jeśli $\dim \ker (A-{\lambda }_{1}I)=1$, to $A$ jest podobna do macierzy

Dowód.

Z Lematu 11.5 możemy założyć, że $A$ jest górnie trójkątna. Stosujemy rozumowanie jak w dowodzie Lematu 11.7. ∎

Zajmiemy się teraz macierzami rzeczywistymi $A\in M_{3\times 3}(ℝ)$. Wtedy wielomian charakterystyczny $p_A$ jest stopnia $3$ i ma współczynniki rzeczywiste. Jeśli liczba zespolona $\lambda \in ℂ$ jest pierwiastkiem $p_A$, to jest nim również $\overline{\lambda }$. Wynika stąd, że istnieje co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty $p_A$. Jest on oczywiście wartością własną $p_A$. Jeśli $A$ ma trzy (liczone z krotnościami) rzeczywiste wartości własne, to $A$ ma taką samą postać Jordana jak w przypadku zespolonym.

Pozostaje nam rozważyć przypadek, gdy $p_A$ ma rzeczywisty pierwiastek ${\lambda }_1\in ℝ$ i parę pierwiastków ${\lambda }_2=\alpha +i\beta$ oraz $\overline{{\lambda }_2}=\alpha -i\beta$ z $\beta \ne 0$.

Wniosek 11.12 (Rzeczywista postać Jordana).

Jeśli dla $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ ma rzeczywisty pierwiastek ${\lambda }_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\lambda \mathrm{\in }\mathrm{R}$ i parę pierwiastków sprzężonych ${\lambda }_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\alpha \mathrm{+}i\mathit{}\beta$ oraz $\overline{{\lambda }_{\mathrm{2}}}\mathrm{=}\alpha \mathrm{-}i\mathit{}\beta$ z $\beta \mathrm{\ne }\mathrm{0}$, to istnieje taka nieosobliwa macierz $S\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$, że

Dowód.

Niech $v\in {ℝ}^3$ będzie wektorem własnym dla $\lambda$, a $w=w_1+i{w}_2$ zespolonym wektorem własnym dla $\alpha +i\beta$. Wtedy $\overline{w}=w_1-i{w}_2$ jest wektorem własnym dla $\alpha -i\beta$. Z naszych rozważań w wymiarze $2$ wystarczy pokazać, że $v,w_1,w_2$ są liniowo niezależne nad $ℝ$, bo wtedy teza zachodzi dla . Wiemy już, że $w_1$ i $w_2$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że

$$v=x_1\cdot w_1+x_2\cdot w_2,$$

dla pewnych $x_1,x_2\in ℝ$. Ponieważ

$$w_1=\frac{1}{2}\cdot (w+\overline{w}),w_2=\frac{1}{2i}\cdot (w-\overline{w}),$$

więc

$$v=\frac{x_1-i{x}_2}{2}\cdot w+\frac{x_1+i{x}_2}{2}\cdot \overline{w},$$

czyli $v,w,\overline{w}$ są liniowo zależne nad $ℂ$. Prowadzi to do sprzeczności, bo wektory te odpowiadają różnym wartościom własnym. ∎

Przykład 11.6.

Macierz

ma wartości własne ${\lambda }_1=-3$, ${\lambda }_2=2+i$, ${\lambda }_3=\overline{{\lambda }_2}=2-i$. Odpowiadającymi im wektorami własnymi są przykładowo

$$v_1={[1,0,0]}^T=e_1,v_2={[0,1+i,1]}^T,v_3={[0,1-i,1]}^T.$$

Dla

mamy

Aby otrzymać postać rzeczywistą rozważamy macierz

której druga i trzecia kolumna, to odpowiednio, część rzeczywista i urojona wektora własnego $v_2={[0,1,1]}^T+i{[0,1,0]}^T$. Otrzymujemy, że

Przykład 11.7.

Wartości własne macierzy

to ${\lambda }_1=1$ i ${\lambda }_2={\lambda }_3=2$. Sprawdzamy łatwo, że odpowiadające im wektory własne, to

$$v_1={[1,1,-2]}^T,v_2={[0,0,1]}^T.$$

Krotność algebraiczna wartości własnej ${\lambda }_2=2$ jest równa $2$, ale jej krotność geometryczna jest równa $1$. Macierz $A$ nie ma więc bazy wektorów własnych, czyli nie jest diagonalizowalna. Aby wyznaczyć postać Jordana $A$ szukamy takiego wektora $w$, że

$$(A-2I)w=v_2.$$

Ponieważ

więc możemy przyjąć, że $w={[0,1,0]}^T$. Dla macierzy

mamy

Przykład 11.8.

Macierz

ma tylko jedną wartość własną $\lambda =2$ o krotności algebraicznej $3$. Zauważmy, że

więc

$$\ker (A-2I)=\mathrm{span}\{e_1,e_3\}.$$

Ponadto,

$$\mathrm{im}(A-2I)=\mathrm{span}\{{[1,0,-1]}^T\}\subset \ker (A-2I).$$

Szukamy teraz takiego wektora $w$, że

$$(A-2I)w={[1,0,-1]}^T.$$

Łatwo sprawdzamy, że możemy przyjąć $w={[0,1,0]}^T=e_2$. Dla bazy

$$v_1={[1,0,-1]}^T,v_2={[0,1,0]}^T,v_3={[1,0,0]}^T$$

Dla

mamy

Przykład 11.9.

Przyglądniemy się teraz macierzom antysymetrycznym $A\in M_{3\times 3}(ℝ)$. Ponieważ $A^T=-A$, więc $A$ ma postać

Zakładamy, że $A$ jest niezerowa, czyli $a^2+b^2+c^2\ne 0$. Ponieważ $A$ jest antysymetryczna i wymiar $n=3$ jest nieparzysty, więc $\det A=0$. W szczególności, $0$ jest zawsze wartością własną. Ma ona krotność $1$, bo jak łatwo sprawdzić pozostałe wartości własne, to $\pm i\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Wektor własny dla wartości własnej $0$ jest równy

$$v_A={[-c,b,-a]}^T.$$

Ponadto, jeśli $A,B\in M_{3\times 3}(ℝ)$ są antysymetryczne, to

$$\mathrm{tr}(AB)=-2(v_A|v_B).$$

Co więcej, macierz

$$[A,B]:=AB-BA$$

jest antysymetryczna oraz

$$v_{[A,B]}=v_A\times v_B.$$

11.3 Diagonalizacja w wymiarach $2$ i $3$

Niech

będzie rzeczywistą macierzą symetryczną. Równanie charakterystyczne dla $A$ ma postać

$$p_A(x)=x^2-(a+b)x+ab-c^2=0.$$

Ponieważ

$$\mathrm{\Delta }:={(a+b)}^2-4(ab-c^2)={(a-b)}^2+4c^2\ge 0,$$

więc wartości własne ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$ macierzy $A$ są rzeczywiste oraz

$${\lambda }_1=\frac{a+b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2},{\lambda }_2=\frac{a+b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}.$$

Twierdzenie 11.6.

Dla macierzy rzeczywistej $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ następujące warunki są równoważne

• $A=A^T$,

• ${ℝ}^2$ ma bazę ortonormalną złożoną z wektorów własnych $A$,

• Istnieje taka macierz ortogonalna $Q\in M_{2\times 2}(ℝ)$, że

  $$Q^{T}AQ=D,$$

  gdzie $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2)$ jest diagonalna z wartościami własnymi $A$ na przekątnej.

Dowód.

$(i)\Rightarrow (ii)$

Załóżmy, że $A$ jest symetryczna. Jeśli $c=0$, to $e_1$, $e_2$ jest bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych macierzy $A=\mathrm{diag}(a,b)$.

Jeśli $c\ne 0$, to $\mathrm{\Delta }>0$ i $A$ ma dwie różne rzeczywiste wartości własne ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$. Niech $v_1$, $v_2$ będą odpowiadającymi im wektorami własnymi o normie $1$. Pokażemy, że wektory $v_1$, $v_2$ są ortogonalne. Mamy

${\lambda }_1(v_1|v_2)$ $=({\lambda }_1{v}_1|v_2)$

$=(A{v}_1|v_2)$

$=(v_1|A{v}_2)$

$=(v_1|{\lambda }_2{v}_2)$

$={\lambda }_2(v_1|v_2),$

więc $(v_1|v_2)=0$, bo ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$.

$(ii)\Rightarrow (iii)$ Wystarczy przyjąć dla bazy ortonormalnej $v_1$, $v_2$ złożonej z wektorów własnych.

$(iii)\Rightarrow (i)$

Wiemy, że $A=QD{Q}^T$. Wtedy

$A^T$ $={(Q^T)}^T{D}^T{Q}^T$

$=QD{Q}^T$

$=A.$

∎

Rozważmy teraz macierz symetryczną $A\in M_{3\times 3}(ℝ)$. Istnieje ${\lambda }_1\in ℝ$ rzeczywista wartość własna dla $A$. Niech $v_1$ będzie odpowiadającym jej wektorem własnym o normie $1$. Niech $V\subset {ℝ}^3$ będzie płaszczyzną prostopadłą do wektora $v_1$. Wybierzmy bazę ortonormalną $v_2$, $v_3\in V$ dla $V$. Wtedy $v_1$, $v_2$, $v_3$ jest bazą ortonormalną dla ${ℝ}^3$.

Pokażemy, że $A{v}_2$, $A{v}_3\in V$, czyli $A(V)\subset V$. Ze względu na symetrię wystarczy pokazać, że $A{v}_2\in V$. Ponieważ $A$ jest symetryczna, więc

$(v_1|A{v}_2)$ $=(A{v}_1|v_2)$

$=({\lambda }_1{v}_1|v_2)$

$={\lambda }_1(v_1|v_2)$

$=0.$

Rozważmy macierz ortogonalną . Wtedy

Ponieważ $W^{T}AW$ jest symetryczna, więc $d=c$, czyli

Wiemy już, że istnieje taka macierz ortogonalna $B\in M_{2\times 2}(ℝ)$, że

Dla macierzy ortogonalnej

mamy

$$U^T{W}^{T}AWU=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3).$$

Macierz $Q=WU$ jest ortogonalna i jej kolumny są bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych.

Wniosek 11.13.

Dla macierzy rzeczywistej $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{)}$ następujące warunki są równoważne

• $A=A^T$,

• ${ℝ}^3$ ma bazę ortonormalną złożoną z wektorów własnych $A$,

• Istnieje taka macierz ortogonalna $Q\in M_{3\times 3}(ℝ)$, że

  $$Q^{T}AQ=D,$$

  gdzie $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ jest diagonalna z wartościami własnymi $A$ na przekątnej.

11.4 Twierdzenie Cayleya–Hamiltona w wymiarze $3$

Twierdzenie 11.7 (Twierdzenie Cayleya–Hamiltona).

Niech ${\lambda }_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\lambda }_{\mathrm{2}}\mathrm{,}{\lambda }_{\mathrm{3}}\mathrm{\in }\mathrm{C}$ będą wartościami własnymi macierzy $A\mathrm{\in }{M}_{\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{)}$. Wtedy

$$(A-{\lambda }_{1}I)(A-{\lambda }_{2}I)(A-{\lambda }_{3}I)=0.$$

Dowód.

Z Lematu 11.5 istnieje taka macierz nieosobliwa $S\in M_{3\times 3}(ℂ)$, że $S^{-1}AS$ jest górnie trójkątna. Zauważmy, że

$(S^{-1}AS-{\lambda }_{1}I)$ $(S^{-1}AS-{\lambda }_{2}I)(S^{-1}AS-{\lambda }_{3}I)=$

$(S^{-1}AS-{\lambda }_1{S}^{-1}S)(S^{-1}AS-{\lambda }_2{S}^{-1}S)(S^{-1}AS-{\lambda }_3{S}^{-1}S)=$

$S^{-1}(A-{\lambda }_{1}I)S{S}^{-1}(A-{\lambda }_{2}I)S{S}^{-1}(A-{\lambda }_{3}I)S=$

$S^{-1}(A-{\lambda }_{1}I)(A-{\lambda }_{2}I)(A-{\lambda }_{3}I)S.$

Wynika stąd, że teza zachodzi dla $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi dla $S^{-1}AS$. Możemy więc założyć, że $A$ jest górnie trójkątna postaci

Niech $v={[x,y,z]}^T\in {ℂ}^3$ będzie dowolnym wektorem. Zauważmy, że

$$(A-{\lambda }_{3}I)v={[x_1,y_1,0]}^T,$$

dla pewnych $x_1,y_1\in ℝ$. Następnie,

$$(A-{\lambda }_{2}I){[x_1,y_1,0]}^T={[x_2,0,0]}^T,$$

dla pewnego $x_2\in ℂ$. Ostatecznie,

$$(A-{\lambda }_{1}I){[x_2,0,0]}^T={[0,0,0]}^T,$$

czyli

$$(A-{\lambda }_{1}I)(A-{\lambda }_{2}I)(A-{\lambda }_{3}I)v=0.$$

∎

• Z pewnością zauważyliście, że dokładnie te same argumenty pokazują, że dla macierzy górnie trójkątnej $A\in M_{n\times n}\left(ℂ\right)$ zachodzi

  $$p_A\left(A\right)=0.$$

  Dowód opiera się na obserwacji, że dla macierzy górnie trójkątnej $A$ podprzestrzenie $\mathrm{span}\{e_1,\mathrm{\dots },e_k\}$ są niezmiennicze dla $A$. Pokażemy później, że każda macierz $A\in M_{n\times n}\left(ℂ\right)$ jest podobna do macierzy górnie trójkątnej, więc Twierdzenie Cayleya–Hamiltona zachodzi dla dowolnej macierzy $A\in M_{n\times n}\left(ℂ\right)$.

• Niech . Oceń prawdziwość poniższych zdań:

  • Jeśli $a+b=c+d=1$, to ${[1,1]}^T$ jest wektorem własnym $A$.

  • Jeśli $A$ ma prostą niezmienniczą, to $A$ ma rzeczywiste wartości własne.

  • $A$ ma rzeczywisty wektor własny.

  • Jeśli $A$ jest górnie trójkątna tzn. $c=0$, to $A$ jest diagonalizowalna.

  • Jeśli , to $A$ jest diagonalizowalna.

  • Jeśli , to $A$ jest ortogonalnie diagonalizowalna.

  • Jeśli $A^3=0$, to $A^2=0$.

  • Jeśli ${ℝ}^2$ ma bazę złożoną z wektorów własnych $A$, to $A$ jest nieosobliwa.

  • $0$ jest jedyną wartością własną $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A^2=0$.

  • Jeśli $\mathrm{tr}A=0$, to $A$ jest diagonalizowalna lub $A^2=0$.

  • Jeśli $\det A=0$, to $A$ ma prostą niezmienniczą.

  • $A$ i $A^2$ mają takie same wartości własne.

  • $A$ i $A^2$ mają takie same wektory własne.

  • Jeśli $A$ jest nieosobliwa, to $A$ i $A^{-1}$ mają takie same wartości własne.

  • Jeśli $A$ jest nieosobliwa, to $A$ i $A^{-1}$ mają takie same wektory własne.

  • $A$ i $A^T$ mają takie same wartości własne.

  • $A$ i $A^T$ mają takie same wektory własne.

  • Jeśli $S\in M_{2\times 2}(ℝ)$ jest nieosobliwa, to $A$ i $S^{-1}AS$ mają takie same wartości własne.

  • Jeśli $S\in M_{2\times 2}(ℝ)$ jest nieosobliwa, to $A$ i $S^{-1}AS$ mają takie same wektory własne.

  • Jeśli $A$ jest nieosobliwa i diagonalizowalna, to $A^{-1}$ jest diagonalizowalna.

  • Jeśli macierz kwadratowa $A$ jest diagonalizowalna, to $A^T$ jest również diagonalizowalna.

  • Jeśli macierz kwadratowa ma dwa identyczne wiersze (kolumny), to $0$ jest jej wartością własną.

$⟵$