Zanim zaczniemy omawiać podstawowe struktury algebraiczne wprowadzimy pojęcie działania oraz uporządkujemy własności działań, jakie możemy określić na wzór znanych działań liczbowych.
Definicja 3.0.1 ( działanie). Niech \(X\) będzie zbiorem niepustym, zaś \(X\times X:=\{(x,y): \ x\in X, y\in X\}\) iloczynem kartezjańskim tego zbioru przez siebie. Każde odwzorowanie przypisujące parze elementów z \(X\), (czyli elementowi z \(X\times X\)) element z \(X\):
\[\star : X\times X\ni (x,y)\str x\star y\in X\]
nazywamy działaniem na zbiorze \(X\). (1)
\((1)\) \(\Q \times \Q \ni (x,y)\str x\cdot y\in \Q \) jest działaniem na zbiorze liczb wymiernych, (iloczyn liczb wymiernych jest liczbą wymierną)
\((2)\) \(\N \times \N \ni (x,y)\str x-y\in \Z \) NIE jest działaniem na zbiorze \(\N \) gdyż może parze liczb naturalnych przypisać liczbę ujemną.
Definicja 3.0.3 ( rodzaje działań). Niech \(\star : X\times X\ni (x,y)\str x\star y\in X\) będzie działaniem na zbiorze \(X\).
\((1)\) Działanie \(\star \) nazywamy łącznym, gdy \(\forall \ x, y, z\in X: \ (x\star y)\star z=x\star (y\star z).\)
\((2)\) Działanie \(\star \) nazywamy przemiennym, gdy \(\forall \ x, y\in X: \ x\star y=y\star x.\)
\((3)\) Element \(e\in X\) nazywamy elementem neutralnym działania \(\star \) , gdy \(\forall \ x\in X: \‚x\star e=e\star x=x.\) (2)
\((4)\) Jeśli dla działania \(\star \) istnieje element neutralny \(e\), to dla dowolnego \(x\in X\) element \(\overline {x}\) nazywamy elementem symetrycznym do elementu \(x\) względem działania \(\star \), jeśli \(x\star \overline {x}=\overline {x}\star x=e\). (3)
\((5)\) Jeśli na zbiorze \(X\) zadane są dwa działania: \(\star \) oraz \(\bullet \) to działanie \(\bullet \) nazywamy rozdzielnym względem działania \(\star ,\) gdy:
\[\forall \ x, y, z\in X: \ (x\star y)\bullet z=(x\bullet z)\star (y\bullet z) \ i \ z\bullet (x\star y)=(z\bullet x)\star (z\bullet y).\]
1 czasem fakt, że para punktów z \(X\) przechodzi na punkt z \(X\) nazywa się wewnętrznością działania
2 uwaga: element neutralny nie zawsze musi istnieć, np. w \(\N \) nie istnieje element neutralny dodawania
3 uwaga: element symetryczny może dla pewnych elementów istnieć, dla innych nie np. w zbiorze \(\Z \) z działaniem mnożenia dla \(1\) element symetryczny istnieje, ale nie istnieje np. dla \(2\)
\((1)\) Działania dodawania wprowadzone na zbiorach \(\N \), \(\Z \), \(\Q \), \(\R \), \(\C \).
\((2)\) Działania mnożenia wprowadzone na zbiorach \(\Q ^\star \), \(\R ^\star \), \(\C ^\star \).4
4 Wskazane działania można oczywiście wprowadzać także na innych zbiorach liczbowych (np. mnożenie możemy określić na zbiorze liczb całkowitych) - prezentujemy tu jednak umownie "kanonicznieżozumiane działania, które posiadają we wskazanych zbiorach szereg podstawowych własności
Bardzo ważnym typem działania jest działanie mnożenia na odpowiednio dobranych zbiorach macierzy. Najczęściej pracować będziemy z macierzami o wartościach liczbowych, (tzn. całkowitych, wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych) ale rozważać będziemy też macierze o współczynnikach pochodzących np. z pierścieni reszt modulo.
Zbiór wszystkim macierzy kwadratowych wymiaru \(n\) nad pewnym zbiorem liczbowym \(A\) będziemy oznaczać przez \(M_n(A)\). Na zbiorze tym rozważać będziemy domyślnie działanie dodawania macierzy.
Zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych 5 wymiaru \(n\) nad pewnym zbiorem liczbowym \(A\) oznaczać będziemy \(GL_n(A)\). W zbiorze tym rozważać będziemy domyślnie działanie mnożenia macierzy.
Szczególnym przypadkiem permutacji są permutacje zbioru skończonego.
Definicja 3.1.2 ( permutacje). Rozważmy zbiór \(n\)-elementowy: \(\{1, 2, \ldots , n\}\). Każde odwzorowanie tego zbioru przypisujące jego elementowi dokładnie jeden element tego zbioru nazywać będziemy permutacją zbioru \(\{1, \ldots , n\}\) i zwyczajowo oznaczać będziemy takie odwzorowania przez litery greckie np. \(\sigma \). (6)
Każde z takich odwozorowań oznaczać będziemy dalej następująco:
\[\sigma =\left (\begin {array}{ccccc} 1 & 2 & \ldots & n \\ \sigma (1) & \sigma (2) & \ldots & \sigma (n) \end {array}\right )\]
gdzie oznaczenie to mówi, że nasze odwzorowanie \(\sigma \) przeprowadza \(1\) na \(\sigma (1)\), \(2\) na \(\sigma (2)\) itd. aż do \(n\) na \(\sigma (n)\).
Zbiór permutacji zbioru \(X\) będziemy rozważać domyślnie z działaniem składania tzn. \(g\star f:= g\circ f\). Często, dla uproszczenia zamiast mówić śkładanie permutacji"będziemy stosować nazewnictwo "mnożenie permutacji"i zamiast pisać \(\sigma \circ \tau \) napiszemy \(\sigma \cdot \tau \) lub po prostu \(\sigma \tau \).
Zbiór wszystkich permutacji zbioru \(\{1,\ldots , n\}\) będziemy dalej oznaczać przez \(S_n\).
6 Taka notacja przyjęła się za klasycznym podręcznikiem H.Wielandta,Finite Permutation Groups, Academic Press, New York, 1964
Częstym sposobem zapisu działania na zbiorze skończonym jest tabela tego działania - tzw. tabliczka Cayleya. 7
Ułóżmy dla przykładu tabelę działania w zbiorze permutacji trzyelementowych.
Tabela działania składania/mnożenia permutacji \(3\) elementowych \(S_3=\{\sigma _1, \sigma _2, \ldots , \sigma _6\}\) gdzie \(\sigma _1=\left (\begin {array}{ccccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end {array}\right
)\), \(\sigma _2=\left (\begin {array}{ccccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end {array}\right )\),
\(\sigma _3=\left (\begin {array}{ccccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end {array}\right )\), \(\sigma _4=\left (\begin {array}{ccccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end {array}\right )\), \(\sigma _5=\left (\begin
{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end {array}\right )\),
\(\sigma _6=\left (\begin {array}{ccccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end {array}\right ).\)
| \(\circ \) | \(\sigma _1\) | \(\sigma _2\) | \(\sigma _3\) | \(\sigma _4\) | \(\sigma _5\) | \(\sigma _6\) |
| \(\sigma _1\) | \(\sigma _1\) | \(\sigma _2\) | \(\sigma _3\) | \(\sigma _4\) | \(\sigma _5\) | \(\sigma _6\) |
| \(\sigma _2\) | \(\sigma _2\) | \(\sigma _1\) | \(\sigma _5\) | \(\sigma _6\) | \(\sigma _3\) | \(\sigma _4\) |
| \(\sigma _3\) | \(\sigma _3\) | \(\sigma _6\) | \(\sigma _1\) | \(\sigma _5\) | \(\sigma _4\) | \(\sigma _2\) |
| \(\sigma _4\) | \(\sigma _4\) | \(\sigma _5\) | \(\sigma _6\) | \(\sigma _1\) | \(\sigma _2\) | \(\sigma _3\) |
| \(\sigma _5\) | \(\sigma _5\) | \(\sigma _4\) | \(\sigma _2\) | \(\sigma _3\) | \(\sigma _6\) | \(\sigma _1\) |
| \(\sigma _6\) | \(\sigma _6\) | \(\sigma _3\) | \(\sigma _4\) | \(\sigma _2\) | \(\sigma _1\) | \(\sigma _5\) |
7 Arthur Cayley - matematyk i prawnik angielski (1821-1895) znany m.in. z prac na temat teorii grup. Pochodzi od niego m.in. dowód faktu, że każda grupa (zbiór z działaniem łącznym, dla którego istnieje element neutralny i każdy z elementów posiada symetryczny, 4.1.2) może być traktowana jako ćzęść"(formalnie: podgrupa 4.1.11) pewnej grupy permutacji.
Tę część trzeba przerobić odwołując się do części Teoria Liczb
Definicja 3.1.3 ( zbiór reszt modulo). Niech \(m\in \N \), \(k\in \Z \). Zbiór takich liczb całkowitych \(l\) które dają tę samą resztę z dzielenia przez \(m\) jak liczba \(k\), (inaczej: \(l\equiv k \pmod m\)) nazywamy klasą równoważności liczby \(k\) modulo \(m\) i oznaczać ją będziemy dalej \([l]_m\). Zbiór wszystkich takich klas oznaczamy \(\Z _m\).
Uwaga 3.1.4 ( uwagi notacyjne).
\((i)\) Każdy ze zbiorów \(\Z _m\) jest \(m\)-elementowy jako, że mamy \(m\) różnych reszt z dzielenia przez \(m\).
\((ii)\) Często piszemy \(\Z _m=\{0, 1, 2, \ldots , m-1\}\) zamiast \(\Z _m=\{[0]_m, [1]_m, \ldots , [m-1]_m\}\) - pamiętać jednak należy, że wtedy oznaczenie \(’0’\) mówi, że mamy na myśli wszystkie liczby podzielne przez \(m\) itd.
Na zbiorze \(\Z _m\) będziemy wprowadzać dwa działania: dodawania i mnożenia.
Uwaga 3.1.6. Zauważmy, że działania wykonujemy więc w ten sposób, że dodajemy/mnożymy zadane liczby i potem bierzemy resztę z dzielenia wyniku przez \(m\). Powyższa definicja działań w \(\Z _m\) ma sens, tzn. jeśli weźmiemy liczby reprezentujące te same klasy z \(\Z _m\) to wynik działania będzie taki sam - jak wiemy to z części poświęconej teorii liczb.
Zobaczmy to na przykładzie:
\([3]_5=[8]_5\), \([2]_5=[12]_5\) - gdy wymnożymy mamy: \([3]_5\cdot [2]_5=[6]_5=[1]_5\) i analogicznie \([8]_5\cdot [12]_5=[96]_5=[1]_5\).
(\(\star \)) Tabela działania mnożenia modulo 5 w \(\Z _5^\star =\{1, 2, 3, 4\}\)
| \(\star \) | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 4 | 3 | 2 | 1 |