Korzeni teorii grup należy się doszukiwać bardzo głęboko w rozwoju relacji między pojęciami klasycznej algebry, arytmetyki i geometrii - do powstania podstaw pojęcia grupy doprowadziły w dużej mierze próby znalezienia wspólnego opisu własności teorioliczbowych i geometrycznych. Te dwa elementy, wspierane bodźcem poszukiwania rozwiązań równań wyższych stopni zostały w końcu sprowadzone do wspólnej płaszczyzny tworząc zręby m.in. języka teorii grup. Postęp czyniony w badaniach geometrii nieeuklidesowych, dalej prace Gaussa, Eulera, Lagrange’a (1) i wielu innych nad rozwiązalnością równań stopnia co najmniej 5 legły u podstaw badań Galois (2) i Abela. (3) Od czasu tych dwóch matematyków całe pokolenia następców podejmowały idee przez nich zapoczątkowane rozwijając teorię grup i ciał - by wspomnieć Dedekinda, (4) Kroneckera,(5) czy Jordana, (6). To oni wzbogacili wprowadzane wcześniej pojęcia i stosowali już teorię grup w mniej lub bardziej znanej nam dziś formie. Konkretny wkład większości z nich poznamy w dalszym ciągu wykładu. W przeciągu wieków pojęcie grupy przeszło długą ewolucję zanim nabrało współczesnego kształtu, a i dziś możliwe są dwa różne podejścia do charakteryzacji struktury grupowej. My oprzemy się na aksjomatycznym pojęciu grupy. (7)
1 Joseph Louis Lagrange - matematyk i astronom włoskiego pochodzenia, pracujący głównie we Francji, (1736-1813)
2 Evariste Galois: matematyk francuski, ”Mozart matematyki”, zginął mając zaledwie 21 lat, (1811-1832) pozostawiając po sobie ogromny wkład w rozwój teorii grup i nowoczesnej teorii równań algebraicznych
3 Niels Henrik Abel - matematyk norweski (1802-1829)
4 Julius Wilhelm Richard Dedekind - matematyk niemiecki, (1831-1916)
5 Leopold Kronecker - matematyk niemiecki (1823-1891)
6 Marie Eddemond Camille Jordan - matematyk francuski, (1838-1922)
7 Pojęcie grupy, jeszcze nienazwane, wystąpiło po raz pierwszy u Lagrange’a (grupa permutacji \(n\) elementów). W swoim "Disquisitiones"Gauss wykorzystuje grupę addytywną i multiplikatywną reszt modulo \(m\), bada też grupy klas form kwadratowych. Dość często autorstwo terminu "grupa"przypisuje się Galois który użył w jednym ze swoich rękopisów określenia "groupe", ale tę samą nazwę zastosował do tego, co dziś określamy jako warstwy grupy względem podgrupy, miał więc chyba bardziej na myśli po prostu źbiórńiż to co my rozumiemy jako grupę, czyli zbiór z działaniem o konkretnych własnościach. Z pewnością formalnym twórcą pojęcia grupy abstrakcyjnej jest Arthur Cayley, który zdefiniował je w 1854 roku w swoim pierwszym artykule o teorii grup opublikowanym w Philosophical Magazine. Do tego czasu zajmowano się jedynie grupami permutacji \(n\) elementów. Dalej należy obecną formę pojęcia grupy wiązać z pracami Kroneckera, Burnside’a, von Dycka i H.M. Webera.
Zanim wprowadzimy pojęcie grupy zacznijmy od prostej obserwacji.
Uwaga 4.1.1. Rozważmy działanie \(\star \) na zbiorze \(X\), które jest działaniem łącznym i posiada element neutralny. Wtedy:
\((1)\) element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie,
\((2)\) jeśli dla elementu \(x\in X\) istnieje element symetryczny, to jest on jedyny.
Dowód. (1) Wystarczy zauważyć, że jeśli \(e\in X\) oraz \(e’\in X\) są elementami neutralnymi dla działania \(\star \), to \(\tilde {e}=\tilde {e}\star e=e\).
(2) Jeśli \(\bar {x}\in X\) oraz \(\tilde {x}\in X\) są elementami symetrycznymi dla elementu \(x\in G\), to
\[\tilde {x}=\tilde {x}\star e=\tilde {x}(x\bar {x})=(\tilde {x}\star x)\star \bar {x}=e\star \bar {x}=\bar {x}.\]
□
Definicja 4.1.2 ( grupa). Niech \(G\) będzie zbiorem niepustym, zaś
\[\star : G\times G\ni (x,y)\str x\star y\in G\]
działaniem (3.0.1) na \(G\), dla którego zachodzą następujące własności:
\((1)\) jest ono łączne,
\((2)\) posiada element neutralny \(e\in G,\)
\((3)\) każdy element \(x\in G\) posiada element symetryczny \(\overline {x}\in G\).
Wtedy parę \((G,\star )\) nazywamy grupą z działaniem \(\star \). Jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumień będziemy często pisali po prostu grupa \(G\) zamiast grupa \((G, \star )\). W domyśle jednak grupa jest zawsze zbiorem wraz z działaniem.
Jeśli dodatkowo działanie \(\star \) jest przemienne grupę nazywamy przemienną lub abelową.
Definicja 4.1.4 ( rząd grupy). O grupie \(G\) mówimy, że jest skończona, gdy zbiór \(G\) jest skończony. Wówczas liczbę elementów \(G\), czyli \(\# G\) nazywamy rzędem grupy \(G\) i oznaczamy \(|G|\).
Jeśli zbiór \(G\) jest nieskończony, to mówimy, że \(G\) jest grupą o rzędzie nieskończonym i piszemy: \(|G|=\infty \).
\((1)\) Dla grup: \((\Z ,+)\), \((\Q ,+)\), \((\R ,+)\), \((\C ,+)\) mamy: element neutralny \(e=0\), element symetryczny = liczba przeciwna - są to grupy abelowe.
\((2)\) Dla grup: \((\Q ^\star ,\cdot )\), \((\R ^\star ,\cdot )\), \((\C ^\star ,\cdot )\) mamy: element neutralny \(e=1\), element symetryczny = odwrotność liczby - są to grupy abelowe.
\((3)\) Grupy reszt modulo:
\((\Z _n,+_n)\), gdzie \([k]_n+_n[l]_n:=[k+l]_n\) - jest to grupa abelowa.
\((\Z _n^\star ,\cdot _n)\), gdzie \([k]_n\cdot _n[l]_n:=[k\cdot l]_n\) - jest to grupa abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy \(n\in \mathbb {P}\), (ćw.)
\((4)\) \((U(\Z _n),\cdot _n)\), gdzie \(U(\Z _n):=\{k\in \Z _n: \ \textrm {NWD}(k,n)=1\}\) - grupa reszt modulo \(n\) liczb względnie pierwszych z \(n\). Jest to grupa abelowa.
W dalszej części wykładu, jeśli będziemy mieć do czynienia z elementami zbioru \(\Z _n\) to ich dodawanie i mnożenie oznaczać będziemy zwykłymi znakami: ”\(+\)” i ”\(\cdot \)” pamiętając o tym, że oznacza to wykonywanie tych działań modulo \(n\). (trzeba zmienić w zależności od konwencji w części Teoria liczb)
\((5)\) Grupy macierzy z działaniem dodawania macierzy: \((\text {M}_n(G), +)\) - grupa macierzy kwadratowych wymiaru \(n\) o współczynnikach z \(G\), gdzie \(G\) oznacza zazwyczaj grupy addytywne \(\Z \), \(\Q \), \(\R \) lub \(\C \).
Jeśli \(F=\Q , \R , \C \) lub \(\Z _p\) dla \(p\in \mathbb {P}\), to \((\text {GL}_n(F),\cdot )\) - grupa nieosobliwych macierzy kwadratowych wymiaru \(n\) o współczynnikach z \(F\), z działaniem mnożenia macierzy o współczynnikach z \(F\).
\((6)\) Grupy symetryczne (ogólne grupy permutacji).
Działanie składania wprowadza na zbiorze \(S(X)\), (gdzie \(X\) - zbiór niepusty) strukturę grupy. Grupa \((S(X),\circ )\) bywa nazywana grupą symetryczną.
Dla \(X:=\{1,\dots ,n\}\) grupę \((S_n,\circ )\) nazywamy grupą permutacji \(n\)-elementowych. Rząd tej grupy to \(n!\) oraz grupa ta jest grupą nieprzemienną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba elementów w zbiorze \(X\) jest większa niż \(2\) (ćw.)
\((7)\) Grupa diedralna (dihedral(8)) - grupa symetrii wielokąta foremnego z działaniem składania. Można spotkać się z dwoma notacjami dla tej grupy: \(D_n\) oraz \(D_{2n}\) gdzie ta ostatnia związana jest z liczbą elementów grupy symetrii \(n\)-kąta foremnego, (grupa taka złożona jest z \(n\) odbić i \(n\)-obrotów, (w tym obrotu o 360 stopni - identyczność).
W teorii grup używa się klasycznie dwóch notacji: multiplikatywnej i addytywnej.
| Działanie | Element neutralny | Element symetryczny | |
| Nazwa | mnożenie | jedynka grupy | element odwrotny |
| Oznaczenie | \(x\cdot y\) lub \(xy\) | \(1_G\) lub \(1\) | \(x^{-1}\) |
Tablica 4.1: Notacja multiplikatywna.
| Działanie | Element neutralny | Element symetryczny | |
| Nazwa | dodawanie | zero grupy | element przeciwny |
| Oznaczenie | \(x+y\) | \(0_G\) lub \(0\) | \(-x\) |
Tablica 4.2: Notacja addytywna.
Często notacja addytywna stosowana jest w przypadku, gdy grupa jest abelowa. W skrypcie w dalszym ciągu teorii grup będziemy standardowo stosować notację multiplikatywną oraz skrótowo operować wyrażeniem "grupa \(G\)źamiast ”grupa \((G,\star )\)” a także znakiem mnożenia \(\cdot \), (często w ogóle pomijanym) zamiast \(\star \) . Nie należy jednak zapominać o tym, że grupa to zawsze zbiór z działaniem, a na jednym zbiorze można wprowadzać różne rodzaje działań, które zadają istotnie różne z punktu widzenia teorii grup struktury (por. tu będzie odwołanie).
Definicja 4.1.6 ( iloczyn standardowy). Niech \(G\) będzie grupą, \(a_1,\dots , a_n\in G\). Wtedy określamy iloczyn elementów \(\prod \limits _{i=1}^n a_i=a_1\cdot \ldots \cdot a_n\) następująco:
\[\prod \limits _{i=1}^na_i=a_1\cdot \ldots \cdot a_n:=\begin {cases} a_1, & \ \text {dla} \ n=1\\ \left (\prod \limits _{i=1}^{n-1}a_i\right )a_n, & \ \text {dla} \ n>1.\end {cases}\]
Zauważmy, że wprowadzając pojęcie grupy zażądaliśmy, by działanie było działaniem łącznym, co oznaczało możliwość "przestawiania nawiasów"w sytuacji \(a\star (b\star c)\). Teraz, gdy umiemy już mnożyć więcej niż dwa elementy naturalnym jest pytanie o możliwość stawiania nawiasów w dowolnym miejscu. Między innymi o takiej możliwości mówi kolejna własność.
Własność 4.1.7 ( podstawowe własności działania w grupie). Niech \(G\) będzie grupą oraz niech \(a_1,\ldots ,a_n\in G\).
\((1)\) Zachodzi uogólnione prawo łączności, tzn. \((a_1\cdot \ldots \cdot a_k)(a_{k+1}\cdot \ldots \cdot a_n)=a_1\cdot \ldots \cdot a_n\) dla dowolnego \(0<k<n\).
\((2)\) Zachodzi wzór \((a_1\cdot \ldots \cdot a_n)^{-1}=a_n^{-1}\cdot \ldots \cdot a_1^{-1}\).
\((3)\) Jeśli dodatkowo grupa \(G\) jest przemienna, to zachodzi uogólnione prawo przemienności, tzn. \(a_{\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot a_{\sigma (n)}= a_1\cdot \ldots \cdot a_n\) dla dowolnej permutacji \(\sigma \in S_n\).
Dowód. Dowody wszystkich podpunktów przeprowadzamy indukcyjnie względem \(n\).
\((1)\) Gdy \(n=1\) lub \(n=2\), to teza jest oczywista, zaś jeśli \(n>2\), to w oparciu o łączność działania w grupie zauważmy, że
\( \seteqsection {4} \)\begin{align*} (a_1\cdot \ldots \cdot a_k)(a_{k+1}\cdot \ldots \cdot a_n) & =(a_1\cdot \ldots \cdot a_k)\big ((a_{k+1}\cdot \ldots \cdot a_{n-1})a_n\big )\\ & =\big ((a_1\cdot \ldots \cdot a_k)(a_{k+1}\cdot \ldots \cdot a_{n-1})\big )a_n\\ & =(a_1\cdot \ldots \cdot a_{n-1})a_n\\ & =a_1\cdot \ldots \cdot a_n. \end{align*}
\((2)\) W oczywisty sposób zaczynamy od \(n=2\) Wówczas zauważamy, że \((a_1a_2)(a_2^{-1}a_1^{-1})=1\), czyli z jedyności elementu odwrotnego mamy tezę.
Jeśli \(n>2\) oraz teza jest prawdziwa dla \((n-1)\) elementów, to
\[(a_1\cdot \ldots \cdot a_n)^{-1}=a_n^{-1}(a_1\cdot \ldots \cdot a_{n-1})^{-1}=a_n^{-1}\cdot \ldots \cdot a_1^{-1}.\]
\((3)\) Dla \(n=2\) teza to nic innego jak przemienność działania w grupie.
Niech więc \(n>2\) oraz niech \(1\le j\le n\) będzie takie, że \(\sigma (j)=n\). Możemy założyć, że \(1<j<n\) (z sytuacją \(j=1\) lub \(j=n\) radzimy sobie prosto, stosując założenie indukcyjne bezpośrednio do pozostałych elementów i ewentualnie wykorzystując dodatkowo przemienność grupy). Mamy teraz
\( \seteqsection {4} \)\begin{align*} a_{\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot a_{\sigma (n)} & =(a_{\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot a_{\sigma (j-1)})a_n(a_{\sigma (j+1)}\cdot \ldots \cdot a_{\sigma (n)})\\ & =(a_{\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot a_{\sigma (j-1)}a_{\sigma (j+1)}\cdot \ldots \cdot a_{\sigma (n)})a_n\\ & =(a_{\varrho (1)}\cdot \ldots \cdot a_{\varrho (n-1)})a_n\\ & =(a_1\cdot \ldots \cdot a_{n-1})a_n\\ & =a_1\cdot \ldots \cdot a_n, \end{align*} gdzie permutacja \(\varrho \in S_{n-1}\) dana jest wzorem
\( \seteqsection {4} \)
\begin{equation*} \varrho (k)=\begin {cases}\sigma (k), & \text {gdy }1\le k\le j-1,\\ \sigma (k+1), & \text {gdy }j\le k\le n-1.\end {cases} \qedhere \end{equation*}
’Opisowo’ możemy streścić powyższe rozumowanie następująco: szukamy miejsca, w którym jest \(a_n\) a następnie korzystając z łączności i przemienności grupy (bierzemy jako jeden element \(a_n\) a jako drugi iloczyn tych które stoją ’za nim’) przesuwamy go na koniec. Do pierwszej części, która jest permutacją \((n-1)\)-elementową stosujemy założenie indukcyjne.
Zauważmy dodatkowo prostą, a jednocześnie bardzo użyteczną własność, która wynika wprost z łączności i istnienia elementu odwrotnego do dowolnego elementu grupy.
Własność 4.1.8 ( prawo skracania). Jeśli \(a\), \(b\), \(c\) są elementami grupy \(G\), to z faktu, że \(ab=ac\) lub \(ba=ca\) wynika, że \(b=c\).
Warto tu przypomnieć fakt, o którym pisaliśmy już w notce historycznej przy okazji definicji wprowadzonej przez Webera. Mianowicie prawo skracania jest równoważne istnieniu elementu odwrotnego w przypadku gdy zbiór \(G\) jest skończony, (ćw.) Warto jednocześnie poszukać przykładu takiego monoidu nieskończonego 4.1.3 nie będącego grupą, w którym zachodzi prawo skracania.
Inaczej ostatnią równość możemy zapisać \(a^{-k}=(a^{-1})^k\) dla \(k>0\). Zauważmy, że w półgrupie możliwe jest potęgowanie z wykładnikiem \(>0\), natomiast w monoidzie określone są potęgi o wykładniku \(\ge 0\).
Własność 4.1.10 ( własności potęg). Jeśli \(G\) jest grupą, \(a\in G\) oraz \(k,l\in \Z \), to \(a^ka^l=a^{k+l}\) oraz \((a^k)^l=a^{kl}\).
Dowód. Są to bezpośrednie wnioski z własności 4.1.7 i definicji potęgi. □
8 Dihedral group - określenie to oznacza dokładnie "grupę dwuścianu"
Definicja 4.1.11 ( podgrupa). Jeśli \((G,\star )\) jest grupą, to podzbiór \(H\subset G\) nazywamy podgrupą grupy \(G\), gdy:
\((1)\) \(H\ne \vn \),
\((2)\) zawężenie \(\star |_{H\times H}\) przyjmuje wartości w \(H\), (czyli jest to działanie na \(H\))
\((3)\) \((H,\star |_{H\times H})\) ma strukturę grupy.
Działanie \(\star \) po zawężeniu do \(H\times H\) nazywamy działaniem indukowanym. Inaczej mówiąc \(H\) jest podgrupą \(G\), jeśli jest grupą z działaniem indukowanym z \(G\). Piszemy wtedy \(H< G\).
Własność 4.1.12 ( warunki równoważne na podgrupę). Gdy \(G\) jest grupą oraz \(H\s G\), to następujące warunki są równoważne:
\((1)\) \(H\) jest podgrupą \(G\),
\((2)\) \(H\ne \vn \) oraz spełnione są dwa warunki:
\((i)\) dla dowolnych \(x\), \(y\in H\) zachodzi \(xy\in H\),
\((ii)\) dla dowolnego \(x\in H\) zachodzi \(x^{-1}\in H\).
\((3)\) \(H\ne \vn \) oraz spełniony jest warunek:
\((i)\) dla dowolnych \(x\), \(y\in H\) zachodzi \(xy^{-1}\in H\).
Dowód. Zauważmy, że oczywiście jeśli \(H\) jest podgrupą to spełnione są warunki z (2), zaś jeśli spełnione są warunki z (2) to zachodzi także warunek z (3), gdyż jeśli \(x\), \(y\in H\) to na podstawie(2)(ii) mamy \(y^{-1}\in H\) a z (2)(i) mamy \(xy^{-1}\in H\).
Niech teraz spełniony będzie warunek (3). Zauważmy najpierw, że skoro \(H\ne \emptyset \) to istnieje \(x\in H\) więc zgodnie z warunkiem (3) mamy \(1_G\in x\cdot x^{-1}\in H\). Jeśli teraz \(z\in H\) jest dowolnym elementem to biorąc \(x:=1_G\in H\), \(y:=z\in H\) dostaniemy, że \(z^{-1}=1_Gz^{-1}\in H\).
Ostatecznie niech \(a\), \(b\in H\). Wiemy już, że wtedy też \(b^{-1}\in H\), biorąc więc \(x:=a\), \(y=b^{-1}\) i stosując warunek (3) mamy \(ab=xy^{-1}\in H\). Ponieważ łączność działania zachodzi dla każdych elementów w \(G\), więc i dla każdych elementów podzbioru \(G\) jakim jest \(H\) wykazaliśmy, że \(H\) jest podgrupą \(G\). □
Poniższa uwaga, której dowód pozostawiamy jako ćwiczenie mówi, że sytuacja jeszcze bardziej się upraszcza, gdy mamy do czynienia z podzbiorem skończonym.
Uwaga ta oczywiście nie jest prawdziwa w przypadku nieskończonego podzbioru, co można łatwo zauważyć rozważając np. \(H=\N \) w grupie \((\Z ,+)\).
\((1)\) \((\Z ,+)<(\Q ,+)<(\R ,+)<(\C ,+)\).
\((2)\) \((\Q ^*,\cdotp )<(\R ^*,\cdotp )<(\C ^*,\cdotp )\).
\((3)\) Dla \(n>0\) określamy \(U_n(\C )=\{z\in \C :z^n=1\}\). Wtedy \((U_n(\C ),\cdotp )<(\C ^*,\cdotp )\).
\((4)\) Jeśli \(G\) jest grupą, to podzbiór
\[C(G):=\{x\in G:xa=ax\text { dla wszystkich }a\in G\}\fn {zdarza siÄŹ, Åije w podrÄŹcznikach \textbf {centrum grupy} jest oznaczane przez $Z(G)$ - pochodzi to od notacji z wersji niemieckiej}\]
nazywamy centrum grupy \(G\). Łatwo sprawdzić, że centrum \(C(G)\) jest podgrupą w \(G\) i jest to podgrupa abelowa.
Własność 4.1.15 ( charakteryzacja podgrup w \(\Z \)). Niepusty podzbiór \(H\) zbioru liczb całkowitych \(\Z \) jest podgrupą grupy \((\Z ,+)\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(H=n\Z \) dla pewnego \(n\in \N _0\).
Dowód. Sprawdzenie, że każdy podzbiór postaci \(n\Z \) jest podgrupą pozostawiamy jako proste ćwiczenie. Udowodnimy teraz, że każda podgrupa ma taką postać. Jeśli \(H=\{0\}\), to wystarczy przyjąć \(n=0\). Załóżmy więc, że \(H\ne \{0\}\) i przyjmijmy (korzystając z zasady minimum)
\[n=\min \{k\in \N : \ k\in H\}.\]
Ponieważ \(n\in H\), więc \(n\Z \s H\). Jeśli zaś \(k\in H\), to możemy podzielić \(k\) przez \(n\) z resztą (por. Odwołanie do algorytmu dzielenia !) otrzymując takie \((q,r)\in \Z \times \Z \), że \(k=qn+r\) oraz \(0\le r<n\). Oczywiście \(r=k-qn\in H\), co wobec minimalności \(n\) daje \(r=0\). W takich razie \(k=qn\in n\Z \) oraz \(H\s n\Z \). □
\((1)\) Każda grupa \(G\) posiada zawsze dwie (czasem równe) podgrupy: całą grupę \(G\) oraz podgrupę trywialną \(\{1_G\}\) złożoną tylko z elementu neutralnego. Podgrupę \(G\) nazywamy podgrupą niewłaściwą grupy \(G\). Każdą podgrupę \(H< G\) różną od \(G\) nazywamy podgrupą właściwą.
\((2)\) Jeśli \(G\) jest grupą, \(K< H\) oraz \(H< G\), to wtedy \(K<G\).
\((3)\) Jeśli \(G\) jest grupą, \(\{H_i\}_{i\in I}\) jest niepustą rodziną podgrup \(G\), to przecięcie
\[\bigcap \limits _{i\in I}H_i:=\{x\in G: \ x\in H_i, \forall \ i\in I\}\]
również jest podgrupą \(G\).
\((4)\) Suma mnogościowa podgrup nie musi być podgrupą. Przykładowo \(H_1=2\Z \) oraz \(H_2=3\Z \) są podgrupami \(\Z \), jednak \(H_1\cup H_2\) nie jest podgrupą \(\Z \), bo \(5=2+3\notin H_1\cup H_2\).
Jako proste ćwiczenie proponujemy wykazanie faktu, że dla dwóch podgrup \(H\) i \(K\) grupy \(G\) zachodzi równoważność: \(H\cup K\) jest podgrupą \(G\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(H\subset K\) lub \(K\subset H\).