SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU wektor własny wartość własna diagonalizacja baza wektorów własnych diagonalizacja ortogonalna macierz stochastyczna dominująca wartość własna wielomian charakterystyczny zespolona postać Jordana rzeczywista postać Jordana krotność geometryczna i algebraiczna twierdzenie Cayleya–Hamiltona diagonalizacja ortogonalna macierzy symetrycznej |
Przedstawimy teraz motywację dla naszych dalszych rozważań. Jak już pewnie zauważyliście szczególnie łatwe do analizy są macierze diagonalne
Przykładowo,
Jeśli jest nieosobliwa, to .
Załóżmy, że macierz jest podobna do macierzy diagonalnej , czyli istnieje taka macierz nieosobliwa
że
Wtedy , więc
czyli jest równie prosta do analizy jak macierz diagonalna .
PROBLEM 1 Scharakteryzować macierze , które są diagonalizowalne tzn. istnieje taka macierz nieosobliwa , że |
Załóżmy, że . Wtedy , czyli
Stąd | ||||
Z powyższych rozważań wynika następujące:
Dla macierzy poniższe warunki są równoważne
istnieje taka macierz nieosobliwa , że jest diagonalna,
istnieje baza dla oraz takie skalary , że
Warto jakoś nazwać własność jaką spełniają wektory w punkcie (ii). Będą one pełniły podstawową rolę w naszych dalszych rozważaniach.
Wektor własny i wartość własna
Powiemy, że niezerowy wektor jest wektorem własnym macierzy rzeczywistej , jeśli istnieje taka liczba rzeczywista , że
Liczbę nazywamy wartością własną macierzy dla wektora własnego .
Twierdzenie 11.1 możemy sformułować następująco:
Dla macierzy poniższe warunki są równoważne
istnieje taka macierz nieosobliwa , że jest diagonalna,
istnieje baza dla złożona z wektorów własnych .
Podamy geometryczną interpretację wektora własnego.
Dla niezerowego wektora i macierzy poniższe warunki są równoważne
jest wektorem własnym ,
prosta generowana przez jest niezmiennicza dla tzn.
Nie każda macierz rzeczywista ma jakiś wektor własny. Wystarczy znaleźć macierz rzeczywistą , która nie ma prostych niezmienniczych. Przykładowo, macierz obrotu o kąt , czyli
nie ma żadnej prostej niezmienniczej.
Możemy na to spojrzeć jeszcze trochę inaczej. Wektor jest wektorem własnym , gdy dla pewnej liczby rzeczywistej zachodzi warunek
czyli , więc dla pewnej liczby rzeczywistej . Zauważmy, że w naszym przykładzie
dla .
Macierz rzeczywistą możemy traktować w naturalny sposób jako macierz zespoloną. Możemy, więc spytać o istnienie zespolonych wektorów własnych . Zauważmy, że dla . Rozważmy macierz
i znajdźmy taki niezerowy wektor , że . Mamy
czyli
Wektor ma więc postać
Wynika stąd, że
czyli jest zespolonym wektorem własnym z wartością własną . Analogicznie sprawdzamy, że jest zespolonym wektorem własnym dla wartości własnej . Macierz jest diagonalizowalna jako macierz zespolona. Dla
mamy
Pojęcie wektora własnego możemy też zdefiniować w bardziej ogólnym kontekście. Niech będzie odwzorowaniem liniowym. Powiemy, że niezerowy wektor jest wektorem własnym jeśli
Przestrzeń nie musi być skończenie wymiarowa. Przykładowo, niech będzie przestrzenią wszystkich funkcji mających ciągłą pochodną dowolnego rzędu. Wtedy odwzorowanie (operator różniczkowania)
jest liniowe. Ponadto, dla mamy
czyli jest wektorem własnym dla wartości własnej .
Uzasadnimy teraz, że jeśli , to dla pewnego . Rzeczywiście, równość oznacza, że , czyli również
czyli jest funkcją stałą, więc .
Wynika stąd, że jądro ma wymiar oraz
Niech będzie odwzorowaniem liniowym i niech będzie bazą . Rozważmy macierz odwzorowania w tej bazie. Wektor jest wektorem własnym dla wartości własnej wtedy i tylko wtedy, gdy wektor współrzędnych jest wektorem własnym macierzy dla wartości własnej .
Możemy pójść jeszcze krok dalej. Wektory własne macierzy diagonalnej to wektory bazy standardowej . Ma ona własność
Takie bazy będziemy nazywać ortonormalnymi. Wektory oraz są ortogonalne i mają normę .
PROBLEM 2 Scharakteryzować macierze , które są ortogonalnie diagonalizowalne tzn. istnieje taka macierz nieosobliwa , że oraz |
Zaczniemy od przyglądnięcia się takim macierzom
że . Bezpośrednio z definicji iloczynu macierzy i definicji macierzy transponowanej wynika, że wtedy
Takie macierze będziemy nazywać ortogonalnymi. W Problemie 2 pytamy więc o istnienie takiej macierzy ortogonalnej , że
jest diagonalna. Zauważmy, że wtedy oraz
czyli musi być symetryczna. Jest to warunek konieczny, aby zaszła sytuacja opisana w Problemie 2. W następnych rozdziałach pokażemy, że macierze symetryczne to jedyne macierze rzeczywiste rozwiązujące Problem 2.
Spróbujmy nabrać intuicji w przypadku wymiaru . Zakładamy, że ciało jest równe lub . Rozważmy macierz .
Wektor własny i wartość własna
Liczbę nazywamy wartością własną macierzy , jeśli istnieje taki niezerowy wektor , że
Każdy taki wektor nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej .
Niech . Interpretacja geometryczna jest następująca. Jeśli jest wektorem własnym dla wartości własnej , to prosta jest niezmiennicza dla tzn. jeśli , to .
Jeśli jest wektorem własnym dla wartości własnej , to . Oznacza to, że , czyli . Odwrotnie, jeśli dla pewnego skalara , to macierz jest osobliwa. W szczególności, , czyli istnieje wektor własny .
Dla i następujące warunki są równoważne
jest wartością własną ;
;
jest osobliwa;
.
Warunek (4) oznacza, że wartość własna jest pierwiastkiem wielomianu
Wielomian nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy . Bezpośredni rachunek pokazuje, że
Macierze podobne mają takie same wielomiany charakterystyczne. Rzeczywiście, jeśli , to
Jeśli macierze i mają takie same wielomiany charakterystyczne, to nie muszą być podobne. Przykładowo, oraz mają taki sam wielomian charakterystyczny , ale nie są podobne, bo macierz zerowa jest podobna tylko do siebie samej.
Dla zasadnicze twierdzenie algebry gwarantuje, że wielomian ma dwa (niekoniecznie różne) pierwiastki zespolone , . Są one wtedy wartościami własnymi macierzy . Macierz zespolona ma więc zawsze dwie wartości własne. Nie oznacza to, że ma ona dwa liniowo niezależne wektory własne. Przykładowo, wartościami własnymi macierzy
są . Mamy więc dwukrotną wartość własną . Zobaczmy jak wyglądają wektory własne. Niezerowy wektor jest wektorem własnym dla jeśli , czyli
Stąd , czyli wektor własny ma postać
W przypadku , z algebraicznego punktu widzenia dla wielomianu charakterystycznego mamy trzy możliwości:
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste;
ma dwukrotny pierwiastek rzeczywisty;
ma dwa sprzężone (nierzeczywiste) pierwiastki zespolone.
W przypadku (iii) macierz rzeczywista nie ma rzeczywistych wartości własnych.
Niech . Jeśli są pierwiastkami równania charakterystycznego
to zachodzą wzory Viete’a
Z założenia mamy
wystarczy więc porównać współczynniki wielomianów po obu stronach równości. ∎
Dla dowolnych macierzy macierze i mają takie same wielomiany charakterystyczne. Wynika, to z faktu, że
Jeśli ma dwie różne rzeczywiste wartości własne oraz są wektorami własnymi odpowiadającymi , to , są liniowo niezależne. W szczególności, tworzą bazę .
W przeciwnym razie dla pewnego skalara . Wtedy
czyli , co prowadzi do sprzeczności. Skorzystaliśmy tu z faktu, że . ∎
Jeśli ma dwa liniowo niezależne wektory własne odpowiadające wartościom własnym , (niekoniecznie różnym), to dla macierzy mamy
Z definicji mamy, że dla . Oczywiście jest odwracalna oraz dla mamy
∎
Twierdzenie 11.3 orzeka, że jeśli ma bazę złożoną z wektorów własnych, to ma w tej bazie postać diagonalną . Macierz nazywamy postacią Jordana macierzy .
Znajdziemy postać Jordana macierzy
Szukamy najpierw wartości własnych czyli pierwiastków równania charakterystycznego
Są nimi liczby oraz . Aby znaleźć wektor własny dla znajdujemy jądro macierzy
Rozwiązując równanie otrzymujemy, że . Jednym z wektorów własnych jest . Analogicznie, jest wektorem własnym dla . W bazie , macierz ma postać diagonalną
Macierz zespolona może mieć rzeczywistą wartość własną, ale może nie mieć odpowiadającego jej rzeczywistego wektora własnego w . Dla przykładu rozważmy macierz
Wielomian charakterystyczny ma postać
więc ma wartości własne oraz . Wektor własny dla jest niezerowym rozwiązaniem równania
czyli
Stąd, oraz każdy wektor własny jest postaci
Nie może on być wektorem z .
Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego . Mogą zachodzić dwie możliwości:
. Mówimy wtedy, że krotność geometryczna wartości własnej jest równa jej krotności algebraicznej. Wówczas ma dwa liniowo niezależne wektory własne odpowiadające i jesteśmy w sytuacji opisanej Twierdzeniem 11.3. Wtedy postać Jordana macierzy jest diagonalna:
Z powyższej równości wynika, że wtedy .
. Istnieje wtedy tylko jeden liniowo niezależny wektor własny dla .
Jeśli jest dwukrotnym pierwiastkiem charakterystycznym macierzy i , to i ma tylko jeden liniowo niezależny wektor własny.
Dla macierzy zachodzi równość
Zastosujemy brutalną siłę, czyli bezpośredni rachunek. Niech Ponieważ , więc
∎
Niech . Twierdzenie Cayleya–Hamiltona pozwala łatwo wyznaczyć dla . Niech , będą wartościami własnymi . Wtedy
czyli
Jeśli , to rozważamy macierze
Wtedy
Środkowa równość wynika bezpośrednio z Twierdzenia Cayleya–Hamiltona. Sprawdzimy równość . Mamy
Stąd dla mamy
Dla rozważamy
Wtedy dla . Mamy więc
Jeśli jest nieosobliwa, to
Ponadto,
Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona mamy
Mnożąc powyższą równość przez otrzymujemy, że
Biorąc ślady obu stron w tej równości dostajemy, że . Wzór na otrzymujemy obliczając ślady macierzy po obu stronach w równości Cayleya–Hamiltona. ∎
Niech . Jeśli oraz dla pewnych , to
Z założenia i twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że
Zauważmy, że , bo inaczej , co jest sprzeczne z założeniem. Stąd również . ∎
Macierz jest nilpotentna, jeśli dla pewnego . Pokażemy, że wtedy jest jedyną wartością własną oraz . Zauważmy, że jeśli jest wartością własną dla wektora własnego , to , czyli . W szczególności, i , czyli . Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że .
Jeśli jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego , to
Ze wzorów Viete’a mamy i . Z Lematu Cayleya–Hamiltona wynika, że
Ponieważ macierze i komutują ze sobą, więc
∎
Jeśli jest dwukrotną wartością własną macierzy i , to istnieje taka baza dla , że
W szczególności, dla macierzy mamy następującą postać Jordana dla :
Niech będzie dowolnym wektorem własnym dla . Każdy wektor własny jest postaci , gdzie jest pewnym wektorem własnym dla oraz . Niech będzie dowolnym wektorem liniowo niezależnym z . W szczególności, nie jest wektorem własnym odpowiadającym , więc . Ponieważ,
więc jest wektorem własnym odpowiadającym . Stąd
dla pewnego . Dla wektora otrzymujemy, że , czyli . ∎
POSTAĆ JORDANA MACIERZY ZESPOLONEJ Macierz zespolona ma jedną z dwóch postaci Jordana |
Jeśli jest macierzą nilpotentną, to
dla pewnej macierzy nieosobliwej .
Jeśli jest taka, że , to lub lub
dla pewnej macierzy nieosobliwej .
Jeśli jest taka, że , to lub
dla pewnej macierzy nieosobliwej .
Jeśli jest taka, że , to lub
dla pewnej macierzy nieosobliwej .
Dla dowolnej macierzy mamy
jest podobna do .
jest podobna do macierzy symetrycznej.
jest iloczynem macierzy symetrycznych.
Punkt (i). Możemy założyć, że jest w postaci Jordana. Jeśli jest ona diagonalna, to nie ma czego dowodzić. Załóżmy więc, że
Wtedy dla mamy .
Punkt (ii). Ponownie możemy założyć, że . Szukamy takiej macierzy nieosobliwej , że jest symetryczna. Dla mamy
Ponieważ szukamy macierzy symetrycznej, więc musi zachodzić warunek . Wystarczy więc przyjąć takie , że i . Zwróćmy uwagę, że nie może być rzeczywista. Przykładowo, dla , i mamy
Punkt (iii). Zauważmy najpierw, że możemy założyć, że jest w postaci Jordana , bo jeśli jest iloczynem macierzy symetrycznych, to
jest również iloczynem macierzy symetrycznych. Dla wystarczy przyjąć
Jeśli , to przyjmujemy
∎
Rozważmy macierz w postaci bloku Jordana
Dla macierzy
mamy oraz
Naturalne jest pytanie o postać macierzy , gdy jej wielomian charakterystyczny ma dwie zespolone wartości własne , oraz . Macierz możemy traktować jako element przestrzeni . Istnieje więc wektor własny odpowiadający wartości własnej . Wektor wygodnie jest zapisać w postaci
Wówczas
Ponadto,
czyli wektor jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej .
Pokażemy, że wektory są liniowo niezależne. Rzeczywiście, przypuśćmy, że dla pewnej liczby rzeczywistej . Wtedy
oraz
więc , co prowadzi do sprzeczności z warunkiem .
Zauważmy, że
więc
Dla macierzy otrzymujemy równość
Dla mamy
Jeśli , z są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego dla macierzy , to istnieje taka nieosobliwa macierz , że
Ponadto, dla dowolnego takiego niezerowego wektora , że
Ciąg Fibonacciego jest zdefiniowany rekurencyjnie wzorem
Dla macierzy
mamy więc
Wynika stąd, że
Wielomian charakterystyczny ma postać , więc wartościami własnymi są
Wektory własne mają postać
Ponieważ
więc
czyli otrzymujemy formułę Bineta
Rozważmy macierz
Jej wielomian charakterystyczny ma postać
Stąd jest dwukrotną wartością własną macierzy . Ponieważ
więc jeśli , czyli
Wektor jest wektorem własnym i każdy inny wektor własny jest liniowo zależny z .
Szukamy teraz takiego wektora , że
Musimy więc rozwiązać układ równań
Rozwiązaniami są wektory postaci . Możemy więc przyjąć, że
Dla macierzy
mamy
Macierz
ma zespolone wartości własne oraz . Znajdziemy wektor własny dla . Szukamy niezerowych rozwiązań równania
Stąd oraz . Możemy więc przyjąć, że
Dla wartości własnej wektorem własnym jest więc . Dla macierzy
mamy
Aby znaleźć rzeczywistą postać Jordana rozważamy macierz
której kolumnami są część rzeczywista i urojona wektora . Wtedy
Podamy dowód Twierdzenia Jordana dla macierzy zespolonej . Zastosujemy podejście, które uogólnia się na wyższe wymiary.
Niech . Istnieje taka macierz nieosobliwa , że jest jednej z poniższych postaci:
Ponadto, są wartościami własnymi macierzy .
Załóżmy, że wartości własne macierzy są różne. Wtedy odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne oraz dla mamy
Zauważmy najpierw, że i są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że dla pewnego . Wtedy , bo . Mamy
czyli , sprzeczność.
Przypuśćmy, że . Wtedy dla pewnych . Przynajmniej jedna z liczb , jest różna od zera, bo . Otrzymujemy, że
czyli
W efekcie
co jest sprzeczne z liniową niezależnością i . ∎
Niech . Istnieje taka macierz nieosobliwa , że macierz jest górnie trójkątna.
Niech będzie wartością własną i niech będzie odpowiadającym jej wektorem własnym. Uzupełniamy do bazy , , dla . Rozważmy macierz . Macierz ma postać blokową
Z rozkładu Jordana w wymiarze istnieje taka macierz nieosobliwa , że
jest górnie trójkątna. Definiujemy macierz nieosobliwą
Wtedy
jest górnie trójkątna i teza zachodzi dla . ∎
Rozważmy macierz górnie trójkątną z jako jedyną wartością własną
Wtedy zachodzi jeden z warunków
,
i jest podobna do macierzy
oraz jest podobna do macierzy
Sprawdzamy, że
Mamy trzy możliwości
,
, ,
, .
W przypadku (ii) lub , bo i macierz jest jednej z postaci
We wszystkich przypadkach oraz
Inkluzja wynika stąd, że . Niech będzie niezerowym wektorem. Istnieje więc taki (niezerowy) wektor , że . Wybieramy teraz wektor liniowo niezależny z . Rozważmy macierz
Ponieważ , więc są liniowo niezależne, czyli jest nieosobliwa. Ponadto,
W przypadku (iii) mamy i , więc
Ponadto,
Niech będzie wektorem własnym dla wartości własnej . Ponieważ
więc istnieje taki wektor , że . Wektory
są liniowo niezależne. Rzeczywiście, przypuśćmy, że dla pewnych . Wtedy
czyli , bo . W konsekwencji,
czyli . Z równości również . Dla
mamy
∎
Załóżmy, że jest -krotną wartością własną macierzy . Wtedy
jeśli , to ,
jeśli , to jest podobna do macierzy
jeśli , to jest podobna do macierzy
Załóżmy, że jest macierzą górnie trójkątną postaci
Wtedy
,
jeśli , to dla pewnej macierzy nieosobliwej ,
jeśli , to dla pewnej macierzy nieosobliwej .
Zauważmy, że
czyli
Załóżmy, że . Niech będą bazą dla jądra. Jeśli jest wektorem własnym dla , to są liniowo niezależne. Przypuśćmy bowiem, że . Wtedy
sprzeczność. Dla macierzy nieosobliwej mamy
Niech teraz , czyli . Zauważmy, że teza zajdzie, gdy znajdziemy taką bazę , że
Z wyborem i nie mamy problemu: bierzemy wektory własne dla i . Musimy dobrać wektor , aby . W tym celu wystarczy zauważyć, że
Rzeczywiście, , czyli , gdy i , czyli jądro jest generowane przez wektor . Sprawdzamy łatwo, że jest on w obrazie generowanym przez wektory i .
Pozostaje sprawdzić, że są liniowo niezależne. Wiemy, że i są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że . Wtedy
co jest sprzeczne z liniową niezależnością i . ∎
Załóżmy, że są różnymi wartościami własnymi macierzy oraz ma krotność . Wtedy
,
jeśli , to jest podobna do macierzy
jeśli , to jest podobna do macierzy
Zajmiemy się teraz macierzami rzeczywistymi . Wtedy wielomian charakterystyczny jest stopnia i ma współczynniki rzeczywiste. Jeśli liczba zespolona jest pierwiastkiem , to jest nim również . Wynika stąd, że istnieje co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty . Jest on oczywiście wartością własną . Jeśli ma trzy (liczone z krotnościami) rzeczywiste wartości własne, to ma taką samą postać Jordana jak w przypadku zespolonym.
Pozostaje nam rozważyć przypadek, gdy ma rzeczywisty pierwiastek i parę pierwiastków oraz z .
Jeśli dla ma rzeczywisty pierwiastek i parę pierwiastków sprzężonych oraz z , to istnieje taka nieosobliwa macierz , że
Niech będzie wektorem własnym dla , a zespolonym wektorem własnym dla . Wtedy jest wektorem własnym dla . Z naszych rozważań w wymiarze wystarczy pokazać, że są liniowo niezależne nad , bo wtedy teza zachodzi dla . Wiemy już, że i są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że
dla pewnych . Ponieważ
więc
czyli są liniowo zależne nad . Prowadzi to do sprzeczności, bo wektory te odpowiadają różnym wartościom własnym. ∎
Macierz
ma wartości własne , , . Odpowiadającymi im wektorami własnymi są przykładowo
Dla
mamy
Aby otrzymać postać rzeczywistą rozważamy macierz
której druga i trzecia kolumna, to odpowiednio, część rzeczywista i urojona wektora własnego . Otrzymujemy, że
Wartości własne macierzy
to i . Sprawdzamy łatwo, że odpowiadające im wektory własne, to
Krotność algebraiczna wartości własnej jest równa , ale jej krotność geometryczna jest równa . Macierz nie ma więc bazy wektorów własnych, czyli nie jest diagonalizowalna. Aby wyznaczyć postać Jordana szukamy takiego wektora , że
Ponieważ
więc możemy przyjąć, że . Dla macierzy
mamy
Macierz
ma tylko jedną wartość własną o krotności algebraicznej . Zauważmy, że
więc
Ponadto,
Szukamy teraz takiego wektora , że
Łatwo sprawdzamy, że możemy przyjąć . Dla bazy
Dla
mamy
Przyglądniemy się teraz macierzom antysymetrycznym . Ponieważ , więc ma postać
Zakładamy, że jest niezerowa, czyli . Ponieważ jest antysymetryczna i wymiar jest nieparzysty, więc . W szczególności, jest zawsze wartością własną. Ma ona krotność , bo jak łatwo sprawdzić pozostałe wartości własne, to . Wektor własny dla wartości własnej jest równy
Ponadto, jeśli są antysymetryczne, to
Co więcej, macierz
jest antysymetryczna oraz
Niech
będzie rzeczywistą macierzą symetryczną. Równanie charakterystyczne dla ma postać
Ponieważ
więc wartości własne , macierzy są rzeczywiste oraz
Dla macierzy rzeczywistej następujące warunki są równoważne
,
ma bazę ortonormalną złożoną z wektorów własnych ,
Istnieje taka macierz ortogonalna , że
gdzie jest diagonalna z wartościami własnymi na przekątnej.
Załóżmy, że jest symetryczna. Jeśli , to , jest bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych macierzy .
Jeśli , to i ma dwie różne rzeczywiste wartości własne , . Niech , będą odpowiadającymi im wektorami własnymi o normie . Pokażemy, że wektory , są ortogonalne. Mamy
więc , bo .
Wystarczy przyjąć dla bazy ortonormalnej , złożonej z wektorów własnych.
Wiemy, że . Wtedy
∎
Rozważmy teraz macierz symetryczną . Istnieje rzeczywista wartość własna dla . Niech będzie odpowiadającym jej wektorem własnym o normie . Niech będzie płaszczyzną prostopadłą do wektora . Wybierzmy bazę ortonormalną , dla . Wtedy , , jest bazą ortonormalną dla .
Pokażemy, że , , czyli . Ze względu na symetrię wystarczy pokazać, że . Ponieważ jest symetryczna, więc
Rozważmy macierz ortogonalną . Wtedy
Ponieważ jest symetryczna, więc , czyli
Wiemy już, że istnieje taka macierz ortogonalna , że
Dla macierzy ortogonalnej
mamy
Macierz jest ortogonalna i jej kolumny są bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych.
Dla macierzy rzeczywistej następujące warunki są równoważne
,
ma bazę ortonormalną złożoną z wektorów własnych ,
Istnieje taka macierz ortogonalna , że
gdzie jest diagonalna z wartościami własnymi na przekątnej.
Niech będą wartościami własnymi macierzy . Wtedy
Z Lematu 11.5 istnieje taka macierz nieosobliwa , że jest górnie trójkątna. Zauważmy, że
Wynika stąd, że teza zachodzi dla wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi dla . Możemy więc założyć, że jest górnie trójkątna postaci
Niech będzie dowolnym wektorem. Zauważmy, że
dla pewnych . Następnie,
dla pewnego . Ostatecznie,
czyli
∎
Z pewnością zauważyliście, że dokładnie te same argumenty pokazują, że dla macierzy górnie trójkątnej zachodzi
Dowód opiera się na obserwacji, że dla macierzy górnie trójkątnej podprzestrzenie są niezmiennicze dla . Pokażemy później, że każda macierz jest podobna do macierzy górnie trójkątnej, więc Twierdzenie Cayleya–Hamiltona zachodzi dla dowolnej macierzy .
Niech . Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Jeśli , to jest wektorem własnym .
Jeśli ma prostą niezmienniczą, to ma rzeczywiste wartości własne.
ma rzeczywisty wektor własny.
Jeśli jest górnie trójkątna tzn. , to jest diagonalizowalna.
Jeśli , to jest diagonalizowalna.
Jeśli , to jest ortogonalnie diagonalizowalna.
Jeśli , to .
Jeśli ma bazę złożoną z wektorów własnych , to jest nieosobliwa.
jest jedyną wartością własną wtedy i tylko wtedy, gdy .
Jeśli , to jest diagonalizowalna lub .
Jeśli , to ma prostą niezmienniczą.
i mają takie same wartości własne.
i mają takie same wektory własne.
Jeśli jest nieosobliwa, to i mają takie same wartości własne.
Jeśli jest nieosobliwa, to i mają takie same wektory własne.
i mają takie same wartości własne.
i mają takie same wektory własne.
Jeśli jest nieosobliwa, to i mają takie same wartości własne.
Jeśli jest nieosobliwa, to i mają takie same wektory własne.
Jeśli jest nieosobliwa i diagonalizowalna, to jest diagonalizowalna.
Jeśli macierz kwadratowa jest diagonalizowalna, to jest również diagonalizowalna.
Jeśli macierz kwadratowa ma dwa identyczne wiersze (kolumny), to jest jej wartością własną.