SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU
wyznacznik jako funkcja kolumn permutacje wyznacznik iloczynu
wyznacznik macierzy odwrotnej wyznacznik macierzy transponowanej wyznacznik
a liniowa niezależność dopełnienie algebraiczne rozwinięcie Laplace’a
macierz odwrotna wzory Cramera rozkład Schura orientacja
iloczyn wektorowy iloczyn mieszany objętość równoległościanu
Permutacja
Rozważmy zbiór skończony dla . Permutacją zbioru nazywamy dowolną bijekcję
Przez oznaczamy zbiór wszystkich permutacji zbioru tzn.
Ponieważ złożenie bijekcji jest bijekcją, więc składanie odwzorowań określa strukturę grupy w zbiorze . Jej elementem neutralnym jest odwzorowanie identycznościowe na zbiorze . Elementem odwrotnym do permutacji jest odwzorowanie odwrotne do (istnieje ono, bo jest bijekcją).
Permutację zapisujemy często w postaci tabeli
Przykładowo,
są pewnymi permutacjami zbioru -elementowego . Ich iloczyn jest równy
Istnieje bardziej zwarty sposób zapisu permutacji . Pochodzi on od Cauchy’ego. Niech będą różnymi elementami zbioru . W szczególności, . Przez oznaczamy taką permutację z , że
oraz
Permutację nazywamy -cyklem. Jeśli , to -cykl nazywamy transpozycją. Dwa cykle z nazywamy rozłącznymi, jeśli nie mają wspólnych wyrazów.
Dla permutacji
mamy (opuszczamy w zapisie -cykle):
Niech . Wtedy , bo
Ponadto, oraz jest najmniejszą taką liczbą naturalną , że .
Jeśli , to grupa nie jest abelowa. Przykładowo,
oraz
Dla definiujemy zbiór
Zauważmy, że jeśli , to . Jeśli jest cyklem, to . Cykle i są rozłączne, gdy .
Jeśli i , to .
Niech będzie ustalone. Sprawdzimy, że . Ponieważ cykle i są rozłączne, więc mamy trzy możliwości:
,
oraz ,
oraz .
Przypadek (1) jest oczywisty, a (2) i (3) są symetryczne, więc można założyć, że zachodzi (2). Ponieważ cykle są rozłączne, więc również , czyli teza zachodzi. ∎
Każda permutacja jest iloczynem rozłącznych cykli. Taki rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.
Jeśli , to , więc teza zachodzi. Niech i . Rozważmy zbiór
Ponieważ jest on skończony, więc dla pewnych liczb naturalnych . Wtedy . Istnieje więc najmniejsza liczba naturalna taka, że . Wtedy liczby są różne z definicji oraz jest -cyklem. Dla mamy oraz nie rusza punktów . Stosujemy teraz powyższą procedurę do . Zauważmy, że jest istotnym podzbiorem , więc procedura skończy się po skończonej liczbie kroków, bo jest zbiorem skończonym. Dowodzi to rozkładu na rozłączne cykle.
Przypuśćmy, że
są dwoma rozkładami na rozłączne cykle. Przypuśćmy, że . Wtedy również dla pewnego . Z rozłączności cykli mamy . Rozważmy teraz . Z tych samych względów mamy . Kontynuując dostajemy, że i teza wynika poprzez indukcję. ∎
Dowolną permutację można przedstawić jako złożenie skończonej liczby transpozycji. Ponadto, jeśli jest złożeniem parzystej liczby pewnych transpozycji, to każde jej przedstawienie jako złożenie transpozycji (nie jest ono jednoznacznie wyznaczone) składa się z parzystej liczby transpozycji. Takie permutacje nazywamy parzystymi. Jeśli jest złożeniem nieparzystej liczby transpozycji, to nazywamy ją nieparzystą.
Wiemy, że możemy rozłożyć na iloczyn rozłącznych cykli. Każdy cykl jest iloczynem transpozycji, bo
Przypuśćmy, że mamy dwa rozkłady na iloczyny transpozycji:
Pokażemy, że . Ponieważ
więc wystarczy pokazać, że może być iloczynem tylko parzystej liczby transpozycji. Przypuśćmy, że
(10.1) |
gdzie oraz dla . Pokażemy, że jest parzyste. Zauważmy, że nie może być , bo . Dla teza zachodzi. Załóżmy, że i teza zachodzi dla wszystkich iloczynów mniejszej liczby transpozycji. Jedna z transpozycji dla musi ruszać , bo inaczej (10.1) nie może zachodzić. Stąd musi być jednym z dla pewnego (zmieniając ewentualnie rolami z ). Zauważmy, że jeśli różne litery oznaczają różne liczby to zachodzą równości
więc możemy założyć, że .
Jeśli , to iloczyn jest identycznością i możemy go pominąć otrzymując jako iloczyn transpozycji. Z założenia indukcyjnego jest parzyste, więc jest parzyste.
Jeśli , to iloczyn jest równy , czyli (10.1) przyjmuje postać
(10.2) |
Zauważmy, że w formule (10.2) jest mniej transpozycji które ruszają niż w (10.1). Rozumujemy teraz analogicznie. Pewna transpozycja w iloczynie (10.2) inna niż musi ruszać . Mamy znowu dwie możliwości albo możemy zredukować liczbę transpozycji o i zastosować indukcję albo możemy zmniejszyć o liczbę transpozycji ruszających w formule (10.2). Ponieważ nie może być iloczynem transpozycji w którym tylko jedna rusza , więc w skończonej liczbie kroków musi zajść sytuacja, że iloczyn pierwszych dwóch transpozycji będzie identycznością, więc teza wynika poprzez indukcję. ∎
Rozważmy permutację
Powyższy napis oznacza, że
Sprawdzamy łatwo, że
Widzimy, że przedstawienie permutacji jako złożenie transpozycji nie jest jednoznaczne, ale parzystość liczby transpozycji w przedstawieniu nie zmienia się. Permutacja jest nieparzysta.
Znak permutacji
Znak permutacji definiujemy jako liczbę:
Sprawdzamy łatwo, że
Pojęcie wyznacznika pojawiło się pod koniec wieku w pracach Gottfrieda Wilhelma Leibnitza oraz japońskiego matematyka Seki Kova znanego również jako Takakazu (1642–1708). Systematyczna teoria wyznacznika pochodzi od Cauchy’ego (1789–1857) oraz Jacobiego (1804–1851).
Dla macierzy kwadratowej zdefiniowaliśmy wyznacznik wzorem
Dla dowolnych wektorów i liczb rzeczywistych zachodzą warunki:
dwuliniowość wyznacznika jako funkcji kolumn macierzy
.
Wystarczy przeprowadzić bezpośredni rachunek. Uzasadnimy dla przykładu warunek (1). Niech , oraz . Wtedy
więc
∎
Pokażemy, że każde odwzorowanie spełniające warunki (1)-(3) musi być dane wzorem:
Oznacza to, że wyznacznik jest jednoznacznie wyznaczony przez warunki (1)-(3) i musi być zadany powyższym wzorem.
Jeśli spełnia warunki (1)-(2), to dla dowolnych macierzy zachodzi wzór
(10.3) |
Niech
Wtedy
Z warunku (1) zastosowanego dwukrotnie mamy
Z warunku (2) wynika, że dla dowolnego wektora oraz
Stąd
∎
Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie spełniające warunki (1)-(3). Ponadto,
Przyjmując w Lemacie 10.4 i korzystając z warunku (3) otrzymujemy, że dla dowolnej macierzy mamy
co kończy dowód. ∎
Uogólnimy ten rezultat na dowolny wymiar i zdefiniujemy wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej . Będziemy w tym celu potrzebowali pewnych faktów dotyczących permutacji zbiorów skończonych.
Będziemy potrzebowali jeszcze jednego pojęcia. Odwzorowanie
będziemy traktowali jako funkcję zależną od kolumn macierzy , czyli jest funkcją zależną od wektorów.
Odwzorowanie -liniowe
Odwzorowanie nazywamy -liniowym, jeśli jest ono liniowe ze względu na każdą zmienną. Oznacza to, że dla dowolnie ustalonego oraz wektorów i skalarów zachodzi równość
Iloczyn skalarny
jest odwzorowaniem dwuliniowym.
Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie
spełniające warunki
jest -liniowe (jako funkcja kolumn macierzy ,
jeśli ma dwie identyczne kolumny tzn., dla pewnych , to ,
.
Ponadto, dla dowolnej macierzy zachodzi
(10.4) |
Nazywamy ją wyznacznikiem i oznaczamy przez . Czasami będziemy również stosować oznaczenie .
Z warunków (1) i (2) wynika, że jeśli oraz , to
Jeśli spełnia warunki (1)-(2), to (2’) jest antysymetryczne tzn. jeśli , to
Niech . Wtedy z warunków (1)-(2) mamy
∎
Jeśli spełnia (2’), to
więc jeśli jest takim ciałem, że , to warunek (2’) implikuje (2).
Jeśli spełnia (1) oraz dla macierzy które mają takie same dwie sąsiadujące kolumny, to spełnia (2). Rzeczywiście, z dowodu Wniosku 10.2 wynika wtedy, że zmienia znak, gdy zmienimy miejscami dwie sąsiadujące kolumny.
Załóżmy, że . Wtedy składa się z dwóch permutacji: (parzysta) oraz transpozycji (nieparzysta). Wynika stąd, że dla mamy
Zobaczmy jakie są konsekwencje warunków (1)-(2) dla . Rozważmy macierz oraz
Wtedy
Z warunku (1) tzn. -liniowości i warunku (2) otrzymujemy, że
W efekcie
Z warunku (2) tzn. antysymetryczności otrzymujemy, że
Wzór na możemy zapisać w bardziej zwartej formie korzystając z grupy permutacji . Składa się ona z permutacji:
Transpozycje są nieparzyste, a permutacje , i są parzyste. Stąd
Z warunku (3) dla mamy
Załóżmy, że spełnia warunki (1)-(2). Dla dowolnych mamy
Niech i . Dla , z definicji iloczynu macierzy wynika, że
Z warunku (1) wynika, że
Użyjemy teraz warunku (2). Wynika z niego, że jeśli dla pewnych , to . Stąd zamiast sumy
możemy rozważać sumę
Teraz wystarczy tylko zauważyć, że warunek (2) gwarantuje, że
∎
Dowód Twierdzenia 10.2: Stosujemy Lemat 10.5 dla i warunek (3) otrzymując, że dla dowolnej macierzy zachodzi
co dowodzi jednoznaczności funkcji spełniającej (1)-(3). Dla dowodu istnienia, definiujemy odwzorowanie wzorem (10.4). Sprawdzamy łatwo, że tak określone odwzorowanie spełnia warunki (1) i (3). Uzasadnimy, że zachodzi również warunek (2). Załóżmy, że dwie kolumny macierzy są równe tzn. dla pewnych . Wtedy
więc wystarczy pokazać, że dla mamy
Jeśli , to , więc . Ponadto, ponieważ , więc
oraz
co kończy dowód. ∎
Dla dowolnych macierzy zachodzi wzór Cauchy’ego
W szczególności, jeśli jest nieosobliwa, to
Niech . Kolumny macierzy są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy .
Jeśli kolumny są liniowo zależne, to z warunków (1) i (2) wynika, że jest równy wyznacznikowi macierzy z pewną kolumną zerową, więc . Załóżmy, że i przypuśćmy, że kolumny macierzy są liniowo niezależne. Wtedy , czyli jest nieosobliwa. Istnieje więc taka macierz , że . Wtedy
co prowadzi do sprzeczności. ∎
Uzasadnimy, że
Ponieważ
więc trzecia kolumna jest kombinacją liniową dwóch pierwszych kolumn.
Niech . Kolumny macierzy są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy . W szczególności, jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy .
Dla dowolnej macierzy mamy
Z definicji wyznacznika i macierzy transponowanej wystarczy zaobserwować, że
Niech będzie permutacją odwrotną do . Wtedy oraz
co kończy dowód. ∎
Kolumny (wiersze) macierzy kwadratowej są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy .
Dopełnienie algebraiczne wyrazu macierzy
Dla macierzy oraz definiujemy macierz
otrzymaną z macierzy przez wykreślenie -tego wiersza oraz -tej kolumny. Dopełnieniem algebraicznym wyrazu nazywamy liczbę
Rozważmy macierz
Przykładowo, dla oraz w macierzy
wykreślamy drugi wiersz i trzecią kolumnę otrzymując macierz
Znaki w zależności od pozycji wyrazu mają następujący rozkład
Załóżmy, że . Wtedy
Wystarczy sprawdzić, że odwzorowanie zdefiniowane dla macierzy wzorem
spełnia warunki (1)-(3) z Twierdzenia 10.2. Są one łatwe do weryfikacji bezpośrednim rachunkiem. W warunku (1) sprawdzimy przykładowo liniowość względem pierwszej zmiennej. Dla mamy
Dla mamy
Dla sprawdzenia warunku (2) zobaczmy przykładowo co się stanie, gdy z pierwsza i trzecia kolumna są identyczne. Mamy
Warunek (3) zachodzi, bo
∎
Analogiczny jak w Twierdzeniu 10.4 wzór na wyznacznik zachodzi dla rozwinięcia względem dowolnego wiersza i dowolnej kolumny. Dowód jest ideologicznie taki sam jak dowód Twierdzenia 10.4. Przykładowo, dla rozwinięcia względem drugiej kolumny przyjmuje on postać
Analogiczne rozumowanie prowadzi nas do wzoru na wyznacznik dla macierzy dla dowolnego . Pozwala on zredukowć wyznaczenie wyznacznika macierzy do obliczenia wyznaczników macierzy o rozmiarze .
Niech z . Dla dowolnych i zachodzą równości
(10.5) |
Ponieważ , więc wystarczy udowodnić, że
czyli zachodzi wzór na rozwinięcie Laplace’a względem -tego wiersza. Wystarczy sprawdzić, że funkcja spełnia warunki (1)-(3). Warunki (1) i (3) są łatwe do sprawdzenia. Dla dowodu (2) wystarczy zauważyć, że , gdy ma dwie sąsiadujące kolumny identyczne. ∎
Stosując wzór Laplace’a mamy swobodę wyboru wiersza lub kolumny względem której zastosujemy rozwinięcie. Oczywiście korzystnie jest wybrać kolumnę (wiersz) z największą liczbą zer. Zanim zastosujemy wzór Lapalce’a możemy najpierw użyć operacji na kolumnach (wierszach) nie zmieniających wyznacznika, aby wprowadzić możliwie dużo wyrazów zerowych w danej kolumnie (wierszu). Możemy więc, do ustalonej kolumny (wiersza) dodać kombinację liniową innych kolumn (wierszy).
Odejmując pierwszy wiersz od pozostałych wierszy i stosując rozwinięcie względem pierwszej kolumny mamy:
Jeśli ma dwa identyczne wiersze (kolumny), to .
Jeśli ma zerowy wiersz (kolumnę), to .
jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny (wiersze) są liniowo niezależne.
Jeśli jest górnie (dolnie) trójkątna, to
Jeśli , to
Jeśli jest nieosobliwa, to
Rozważmy macierz Vandermonde’a
Uzasadnimy formułę rekurencyjną
łączącą wyznacznik macierzy Vandermonde’a rozmiaru z wyznacznikiem macierzy Vandermonde’a rozmiaru . W tym celu stosujemy najpierw operacje nie zmieniające wyznacznika, aby wprowadzić zerowe wyrazy w pierwszym wierszu macierzy :
Z rozwinięcia Lapalce’a względem pierwszego wiersza mamy
Niech
będzie wyznacznikiem powyższej macierzy rozmiaru . Przykładowo,
Stosując rozwinięcie względem pierwszej kolumny i dokonując dalszej redukcji otrzymujemy, że
Indukcyjnie dostajemy, że .
Odejmując ostatni wiersz od pozostałych wierszy otrzymujemy, że
Pokażemy, że
Dla od -tej kolumny odejmujemy pierwszą kolumnę pomnożoną przez otrzymując macierz dolnie trójkątną:
Dla dowolnej macierzy zachodzi równość
(10.6) |
Dla macierzy definiujemy macierz dołączoną jako macierz
Jeśli macierz jest nieosobliwa, to
(10.7) |
Zobaczmy jak wzór na macierz odwrotną wygląda w niskich wymiarach. Dla i mamy
czyli otrzymujemy znany nam wzór
Niech teraz i Wtedy
gdzie
Przykładowo, dla otrzymujemy, że
Załóżmy, że macierz jest nieosobliwa. Niech oznacza macierz otrzymaną z przez zastąpienie -tej kolumny w przez wektor . Jedyne rozwiązanie równania jest dane przez
Ponieważ , więc
∎
Rozwiążemy układ równań
Macierz układu jest nieosobliwa (), więc
Przy obliczaniu wyznacznika często stosuje się metodę rozkładu pochodzącą od Schura. Rozważmy macierz blokową
gdzie i są macierzami kwadratowymi. Spróbujmy znaleźć takie macierze i , że
Jeśli nam się to uda, to . Taki rozkład jest zawsze możliwy, gdy macierz jest nieosobliwa. Możemy wtedy przyjąć, że
Zauważmy, że
więc możemy również użyć rozkładu
Jeśli macierz jest nieosobliwa, to mamy analogiczny rozkład
Ponieważ
więc powyższe rozkłady pozwalają łatwo wyznaczyć .
Oceń prawdziwość zdań
Dla dowolnych macierzy zachodzi równość .
Dla dowolnych macierzy zachodzi równość .
Dla dowolnych macierzy równość implikuje, że .
Niech . Jeśli ma niezerowe rozwiązanie, to .
Jeśli jest macierzą kwadratową i dla pewnego , to .
Jeśli jest skośnie symetryczna (tzn. ), to .
Jeśli jest skośnie symetryczna i jest nieparzyste, to .
Dla dowolnej macierzy kwadratowej .
Jeśli jest nieosobliwa i górnie trójkątna, to
Jeśli , i , to .
Dla macierzy kwadratowej mamy .
Wyznacznik odwzorowania liniowego
Niech będzie przestrzenią wektorową wymiaru . Wyznacznik odwzorowania liniowego definiujemy jako , gdzie jest macierzową reprezentacją w pewnej bazie dla .
Definicja wyznacznika nie zależy od wyboru reprezentacji macierzowej dla . Rzeczywiście, jeśli jest inną reprezentacją macierzową , to jest podobna do , więc .
Niech będzie odwzorowaniem liniowym i . Wyznacznik wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorfizmem liniowym.
Jeśli są odwzorowaniami liniowymi, to .
Iloczyn wektorowy w
Iloczynem wektorowym wektorów nazywamy wektor
Przez analogię do wzoru Laplace’a będziemy stosować następujące niezbyt formalne oznaczenie:
Iloczyn wektorowy
ma dla dowolnych i następujące własności:
(dwuliniowość)
(antysymetryczność)
(reguła śruby prawoskrętnej)
W szczególności, dla dowolnego wektora .
Wektor jest prostopadły do wektorów i .
Sprawdzamy łatwo, że
∎
Iloczyn wektorowy możemy zapisać w konwencji macierzowej. Niech , . Bezpośredni rachunek pokazuje, że
Stąd
Z drugiej strony, sprawdzamy łatwo, że
Jeśli jest wektorem jednostkowym, to otrzymujemy, że
Odwzorowanie jest rzutem ortogonalnym na płaszczyznę ortogonalną do wektora jednostkowego .
Dla dowolnych wektorów zachodzi równość
Bezpośredni rachunek pokazuje, że zachodzi tożsamość Lagrange’a:
Rzeczywiście, dla i mamy
Stąd
∎
Niech . Wtedy jest polem równoległoboku rozpiętego na wektorach i . W szczególności, jeśli i są liniowo niezależne, to .
Niech . Wtedy
jest polem równoległoboku rozpiętego na wektorach i .
Rozważmy wektory . Zauważmy, że
więc
∎
Iloczyn mieszany w
Dla wektorów definiujemy ich iloczyn mieszany jako liczbę
Zauważmy, że
Objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach jest równa
Objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach jest równa iloczynowi pola równoległoboku rozpiętego na wektorach , (jest ono równe ) i odległości punktu od płaszczyzny rozpiętej na wektorach , . Wysokość jest długościom rzutu prostopadłego wektora na wektor prostopadły do . Wtedy , czyli
∎
Niech . Objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach jest równa
Niech . Zachodzą równości
.
.
Zachodzi tożsamość Jacobiego
Zachodzi toṡamość Lagrange’a
.
jest objętością równoległościanu rozpiętego na wektorach .
Iloczyn wektorowy nie jest przemienny ani łączny.
Jeśli i , to
W szczególności, jeśli , to
Jeśli tzn. i , to
Dla dowolnego zachodzą równości
oraz
Stąd
∎
Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem o wymiarze skończonym . Dla dwóch uporządkowanych baz oraz przez oznaczamy macierz przejścia od bazy do , czyli
Niech oznacza zbiór wszystkich baz . W zbiorze definiujemy relację równoważności przez: wtedy i tylko wtedy, gdy
Orientacja
Powiemy, że bazy i zadają taką samą orientację jeśli . Przez wybór orientacji w rozumiemy wybór dowolnej uporządkowanej bazy (jej klasy abstrakcji w relacji ) .
Dla standardowa orientacja jest zadana przez bazę standardową .
Przypomnijmy, że macierz przejścia od bazy do bazy standardowej jest równa . W szczególności, zadaje standardową orientację , gdy .
Baza , dla zadaje standardową orientację wtedy i tylko wtedy, gdy najkrótszy kąt od do jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Rzeczywiście, możemy założyć, że . Niech będzie takim obrotem, że . Zauważmy, że
Ponieważ , więc zadaje standardową orientację wtedy i tylko wtedy, gdy zadaje standardową orientację . Możemy więc założyć, że . Niech . Wtedy wtedy i tylko wtedy, gdy najkrótszy kąt między i jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Jeśli są liniowo niezależne, to zadaje standardową orientację . Rzeczywiście,
Niech będzie izomorfizmem liniowym. Następujące warunki są równoważne
baza zadaje standardową orientację ,
,
jeśli zadaje standardową orientację , to zadaje standardową orientację .