SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU suma algebraiczna podprzestrzeni suma prosta macierze blokowe podprzestrzenie niezmiennicze . |
Suma algebraiczna i suma prosta
Załóżmy, że jest przestrzenią wektorową nad ciałem . Niech będą podprzestrzeniami wektorowymi . Definiujemy sumę algebraiczną jako
Wtedy jest podprzestrzenią wektorową . Mówimy, że jest sumą prostą oraz , jeśli zachodzą warunki
Piszemy wtedy, że .
Dla podprzestrzeni przestrzeni wektorowej następujące warunki są równoważne
,
Dowolny wektor można jednoznacznie przedstawić w postaci
gdzie dla .
Załóżmy, że i niech . Ponieważ , więc istnieją takie wektory (), że . Pokażemy, że takie przedstawienie jest jednoznaczne. Przypuśćmy, że
dla pewnych . Wtedy
czyli oraz .
Załóżmy teraz, że zachodzi warunek (ii). Wtedy oczywiście . Pokażemy, że . Niech . Wtedy
czyli z jednoznaczności w warunku (ii) wynika, że . ∎
Rozważmy przestrzeń wektorową i jej dwie podprzestrzenie wektorowe
Wtedy
czyli
Niech będzie przestrzenią wektorową funkcji . Rozważmy podprzestrzeń funkcji nieparzystych i podprzestrzeń funkcji parzystych. Sprawdzimy, że
Jeśli , to
czyli
Jeśli , to dla mamy
więc . W konsekwencji,
Możemy to pojęcie uogólnić na większą liczbę podprzestrzeni .
Niech będą podprzestrzeniami wektorowymi . Mówimy, że jest sumą prostą podprzestrzeni tzn.
jeśli każdy wektor można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy
gdzie dla .
Niech będą podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej . Załóżmy, że jest bazą oraz jest bazą . Następujące warunki są równoważne
,
jest bazą .
W szczególności, jeśli , to wtedy i tylko wtedy, gdy
Załóżmy, że . Wtedy , bo . Wektory są liniowo niezależne, bo jeśli
to
czyli z założenia o bazach dla i mamy, że oraz .
Jeśli jest bazą dla , to każdy wektor da się jednoznacznie zapisać w postaci , gdzie i , czyli . ∎
MACIERZE BLOKOWE
Niech i niech będzie taką bazą , że tworzą bazę oraz tworzą bazę . Odwzorowanie liniowe ma w tej bazie macierz postać blokową
Przykładowo, jeśli oraz oraz jest macierzą odwzorowania liniowego w bazie , to
Zauważmy, że wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli jest niezmiennicza dla . Analogicznie, wtedy i tylko wtedy, gdy . Jeśli i są niezmiennicze dla , to ma postać
Rozważmy macierz . Jak wiemy
Zazwyczaj jednak nie jest prawdą, że jest sumą prostą podprzestrzeni oraz . Może się nawet zdarzyć, że . Przykładowo, rozważmy niezerowy wektor i macierz . Wtedy niezależenie do wyboru wektora . Przyjmując, że otrzymujemy, że
Z drugiej strony, jeśli jest liniowo niezależny z , to
Ponadto, gdy , to proste i są prostopadłe.