I Algebra liniowa z geometrią 1 8 Reprezentacja macierzowa 10 Wyznacznik

Rozdział 9 Suma prosta

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU suma algebraiczna podprzestrzeni

\Diamond

suma prosta

\Diamond

macierze blokowe

\Diamond

podprzestrzenie niezmiennicze

\mathbb{R}^{3}=U\oplus V

Definicja 9.1.

Suma algebraiczna i suma prosta

Załóżmy, że $V$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . Niech $U_{1},U_{2}\subset V$ będą podprzestrzeniami wektorowymi $V$ . Definiujemy sumę algebraiczną $U_{1},U_{2}$ jako

$U_{1}+U_{2}=\Big{\{}u_{1}+u_{2}:u_{i}\in U_{i},\;i=1,2\Big{\}}$

Wtedy $U_{1}+U_{2}$ jest podprzestrzenią wektorową $V$ . Mówimy, że $V$ jest sumą prostą $U_{1}$ oraz $U_{2}$ , jeśli zachodzą warunki

$V=U_{1}+U_{2},\quad U_{1}\cap U_{2}=\{0\}.$

Piszemy wtedy, że $V=U_{1}\oplus U_{2}$ .

Wniosek 9.1.

Dla podprzestrzeni $U_{1},U_{2}\subset V$ przestrzeni wektorowej $V$ następujące warunki są równoważne

(i)

$V=U_{1}\oplus U_{2}$ ,
(ii)

Dowolny wektor $v\in V$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

$v=v_{1}+v_{2},$

gdzie $v_{i}\in U_{i}$ dla $i=1,2$ .

Dowód.

Załóżmy, że $V=U_{1}\oplus U_{2}$ i niech $v\in V$ . Ponieważ $V=U_{1}+U_{2}$ , więc istnieją takie wektory $v_{i}\in U_{i}$ ( $i=1,2$ ), że $v=v_{1}+v_{2}$ . Pokażemy, że takie przedstawienie jest jednoznaczne. Przypuśćmy, że

v=v_{1}+v_{2}=u_{1}+u_{2},

dla pewnych $u_{i}\in U_{i}$ . Wtedy

\underbrace{v_{1}-u_{1}}_{\in U_{1}}=\underbrace{u_{2}-v_{2}}_{\in U_{2}}\in U% _{1}\cap U_{2}=\{0\},

czyli $v_{1}=u_{1}$ oraz $v_{2}=u_{2}$ .

Załóżmy teraz, że zachodzi warunek (ii). Wtedy oczywiście $V=U_{1}+U_{2}$ . Pokażemy, że $U_{1}\cap U_{2}=\{0\}$ . Niech $v\in U_{1}\cap U_{2}$ . Wtedy

v=\underbrace{0}_{\in U_{1}}+\underbrace{v}_{\in U_{2}}=\underbrace{v}_{\in U_% {1}}+\underbrace{0}_{\in U_{2}},

czyli z jednoznaczności w warunku (ii) wynika, że $v=0$ . ∎

Przykład 9.1.

Rozważmy przestrzeń wektorową $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ i jej dwie podprzestrzenie wektorowe

{\rm Sym}_{2}(\mathbb{R})=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}):A=A^{T}\big{% \}},\quad{\rm Asym}_{2}(\mathbb{R})=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}):A=-% A^{T}\big{\}}.

Wtedy

{\rm Sym}_{2}(\mathbb{R})\cap{\rm Asym}_{2}(\mathbb{R})=\{0\},\quad{\rm Sym}_{% 2}(\mathbb{R})+{\rm Asym}_{2}(\mathbb{R})=M_{2\times 2}(\mathbb{R}),

czyli

M_{2\times 2}(\mathbb{R})={\rm Sym}_{2}(\mathbb{R})\oplus{\rm Asym}_{2}(% \mathbb{R})

Przykład 9.2.

Niech $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ będzie przestrzenią wektorową funkcji $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ . Rozważmy podprzestrzeń $F_{o}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ funkcji nieparzystych i podprzestrzeń $F_{e}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ funkcji parzystych. Sprawdzimy, że

F(\mathbb{R},\mathbb{R})=F_{e}(\mathbb{R},\mathbb{R})\oplus F_{o}(\mathbb{R},% \mathbb{R}).

Jeśli $f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ , to

f(x)=\underbrace{\frac{1}{2}\big{(}f(x)+f(-x)\big{)}}_{\in F_{e}(\mathbb{R},% \mathbb{R})}+\underbrace{\frac{1}{2}\big{(}f(x)-f(-x)\big{)}}_{\in F_{o}(% \mathbb{R},\mathbb{R})},

czyli

F(\mathbb{R},\mathbb{R})=F_{e}(\mathbb{R},\mathbb{R})+F_{o}(\mathbb{R},\mathbb% {R}).

Jeśli $f\in F_{e}(\mathbb{R},\mathbb{R})\cap F_{o}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ , to dla $x\in\mathbb{R}$ mamy

f(x)=f(-x)=-f(x),

więc $f(x)=0$ . W konsekwencji,

F_{e}(\mathbb{R},\mathbb{R})\cap F_{o}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{0\}.

Możemy to pojęcie uogólnić na większą liczbę podprzestrzeni $U_{1},\ldots,U_{k}$ .

Definicja 9.2.

Niech $U_{1},\ldots,U_{k}\subset V$ będą podprzestrzeniami wektorowymi $V$ . Mówimy, że $V$ jest sumą prostą podprzestrzeni $U_{1},\ldots,U_{n}$ tzn.

$V=U_{1}\oplus\ldots\oplus V_{k}$

jeśli każdy wektor $v\in V$ można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy

v=u_{1}+\ldots+u_{k},

gdzie $u_{i}\in U_{i}$ dla $i=1,\ldots,k$ .

Wniosek 9.2.

Niech $U_{1},U_{2}\subset V$ będą podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej $V$ . Załóżmy, że $v_{1},\ldots,v_{k}$ jest bazą $U_{1}$ oraz $v_{k+1},\ldots,v_{n}$ jest bazą $U_{2}$ . Następujące warunki są równoważne

(1)

$V=U_{1}\oplus U_{2}$ ,
(2)

$v_{1},\ldots,v_{n}$ jest bazą $V$ .

W szczególności, jeśli ${\rm dim}\,V<\infty$ , to $V=U_{1}\oplus U_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\rm dim}\,V={\rm dim}\,U_{1}+{\rm dim}\,U_{2},\quad U_{1}\cap U_{2}=\{0\}.$

Dowód.

Załóżmy, że $V=U_{1}\oplus U_{2}$ . Wtedy ${\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}=V$ , bo $V=U_{1}+U_{2}$ . Wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ są liniowo niezależne, bo jeśli

x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{k}\cdot v_{k}+x_{k+1}\cdot v_{k+1}+\ldots x_{n}% \cdot v_{n}=0,

\underbrace{x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{k}\cdot v_{k}}_{\in U_{1}}=\underbrace{% -(x_{k+1}\cdot v_{k+1}+\ldots x_{n}\cdot v_{n})}_{\in U_{2}}\in U_{1}\cap U_{2% }=\{0\},

czyli z założenia o bazach dla $U_{1}$ i $U_{2}$ mamy, że $x_{1}=\ldots=x_{k}=0$ oraz $x_{k+1}=\ldots=x_{n}=0$ .

Jeśli $v_{1},\ldots,v_{n}$ jest bazą dla $V$ , to każdy wektor $v\in V$ da się jednoznacznie zapisać w postaci $v=u_{1}+u_{2}$ , gdzie $u_{1}\in U_{1}$ i $u_{2}\in U_{2}$ , czyli $V=U_{1}\oplus U_{2}$ . ∎

MACIERZE BLOKOWE

Niech $\mathbb{F}^{n}=U_{1}\oplus U_{2}$ i niech $v_{1},\ldots,v_{n}$ będzie taką bazą $V$ , że $v_{1},\ldots,v_{k}\in U_{1}$ tworzą bazę $U_{1}$ oraz $v_{k+1},\ldots,v_{n}\in U_{2}$ tworzą bazę $U_{2}$ . Odwzorowanie liniowe $L:\mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F}^{n}$ ma w tej bazie macierz postać blokową

$A=\left[\begin{array}[]{c|c}A_{11}&A_{12}\\ \hline A_{21}&A_{22}\end{array}\right].$

Przykładowo, jeśli $U_{1}={\rm span}\,\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ oraz $U_{2}={\rm span}\,\{e_{4},e_{5}\}$ oraz $A$ jest macierzą odwzorowania liniowego $L:\mathbb{F}^{5}\longrightarrow\mathbb{F}^{5}$ w bazie $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}$ , to

$A=\left[\begin{array}[]{c|c}A_{11}&A_{12}\\ \hline A_{21}&A_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{ccc|cc}a_{11}&a_{% 12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\ \hline a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\ a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}\\ \end{array}\right].$

Zauważmy, że $A_{12}=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A(U_{2})\subset U_{2}$ , czyli $U_{2}$ jest niezmiennicza dla $A$ . Analogicznie, $A_{21}=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A(U_{1})\subset U_{1}$ . Jeśli $U_{1}$ i $U_{2}$ są niezmiennicze dla $A$ , to $A$ ma postać

$A=\left[\begin{array}[]{c|c}A_{11}&0\\ \hline 0&A_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{ccc|cc}a_{11}&a_{12}&a% _{13}&0&0\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&0&0\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&0\\ \hline 0&0&0&a_{44}&a_{45}\\ 0&0&0&a_{54}&a_{55}\\ \end{array}\right].$

Rozważmy macierz $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ . Jak wiemy

$n={\rm dim}\,{\rm ker}\,A+{\rm rank}\,A={\rm dim}\,{\rm ker}\,A+{\rm dim}\,{% \rm im}\,A.$

Zazwyczaj jednak nie jest prawdą, że $\mathbb{F}^{n}$ jest sumą prostą podprzestrzeni ${\rm ker}\,A$ oraz ${\rm im}\,A$ . Może się nawet zdarzyć, że ${\rm ker}\,A={\rm im}\,A$ . Przykładowo, rozważmy niezerowy wektor $a\in\mathbb{R}^{2}$ i macierz $A=\left[\begin{array}[]{c|c}a&a\\ \end{array}\right]$ . Wtedy ${\rm ker}\,A={\rm span}\,\{[1,-1]^{T}\}$ niezależenie do wyboru wektora $a$ . Przyjmując, że $a=[1,-1]^{T}$ otrzymujemy, że

${\rm ker}\,A={\rm im}\,A.$

Z drugiej strony, jeśli $a$ jest liniowo niezależny z $[1,-1]^{T}$ , to

$\mathbb{R}^{2}={\rm ker}\,A\oplus{\rm im}\,A.$

Ponadto, gdy $a=[-1,1]^{T}$ , to proste ${\rm ker}\,A$ i ${\rm im}\,A$ są prostopadłe.