SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU macierz odwzorowania liniowego macierze podobne ślad iloczynu ślad macierzy podobnych Reprezentacja odwzorowania liniowego. |
Niech będzie odwzorowaniem liniowym. Istnieje taka macierz , że
Ponadto,
Definiujemy wektory
oraz macierz . Niech będzie dowolnym wektorem w . Wtedy
∎
Macierz standardowa odwzorowania liniowego
Niech będzie odwzorowaniem liniowym. Macierz
nazywamy macierzą odwzorowania liniowego w bazach standardowych lub macierzą standardową .
Niech będzie odwzorowaniem liniowym danym przez
Wtedy
czyli macierz standardowa odwzorowania jest równa
Załóżmy, że , . Niech będzie standardową reprezentacją macierzową dla , a dla . Wtedy jest reprezentacją macierzową dla . Rzeczywiście niech będzie macierzową reprezentacją odwzorowania . Z definicji, , gdzie dla . Zauważmy, że
czyli jest -tą kolumną macierzy .
Uogólnimy powyższą konstrukcję macierzy skojarzonej z odwzorowaniem liniowym. Niech będzie przestrzenią wektorową wymiaru i niech będzie przestrzenią wektorową wymiaru . Ustalmy bazę
dla przestrzeni oraz bazę
dla przestrzeni . Dla wektora
wektor
zadaje współrzędne wektora w bazie . Pokażemy, że istnieje (jedyna) taka macierz , że
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego , czyli jest wektorem współrzędnych w bazie .
Istnieją wyznaczone jednoznacznie takie skalary , że
Wektor
zadaje współrzędne wektora w bazie dla .
Macierz odwzorowania liniowego
Macierz nazywamy macierzą odwzorowania liniowego w bazach dla oraz dla , jeśli
gdzie
Niech , . Następujące warunki są równoważne:
i ,
.
Wystarczy zauważyć, że
∎
Załóżmy, że jest bazą i jest odwzorowaniem liniowym. Niech będzie macierzą odwzorowania w bazie . Następujące warunki są równoważne
i ,
.
Oznacza to, że macierz przekształca współrzędne wektora w bazie na współrzędne wektora w tej bazie.
Zauważmy, że jeżeli oraz są bazami przestrzeni , to macierz przejścia od bazy do bazy jest macierzą odwzorowania identycznościowego na w tych bazach.
Popatrzmy na konstrukcję macierzy odwzorowania liniowego jeszcze trochę inaczej. Niech będzie bazą dla oraz bazą dla . Rozważmy izomorfizmy
czyli przykładowo jest wektorem współrzędnych w bazie .
Dla odwzorowania liniowego możemy rozważyć odwzorowanie liniowe
Zobaczmy jak wygląda jego macierz w bazach standardowych. Mamy
czyli -ta kolumna tej macierzy to współrzędne wektora w bazie .
Niech będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej . Rozważmy odwzorowanie liniowe
Znajdziemy jego macierz w bazie . Ponieważ
więc
Niech będzie odwzorowaniem liniowym. Jeśli
jest macierzą w bazach dla i dla , to
gdzie .
Z definicji
∎
Niech będzie odwzorowaniem liniowym. Jeśli
jest macierzą w bazach dla i dla oraz , to macierze i są wierszowo równoważne.
Macierze
są wierszowo równoważne. Teza zachodzi, bo
∎
Rozważmy odwzorowanie liniowe dane wzorem
Znajdziemy jego reprezentację macierzową w bazach , oraz
Ponieważ i , więc rozważamy macierz
Sprowadzamy ją łatwo (poprzez dozwolone operacje na wierszach) do postaci
czyli
Rozważmy odwzorowanie liniowe Reprezentacja macierzowa dla w bazie standardowej (w dziedzinie i przeciwdziedzinie) ma postać
Rozważmy teraz inną bazę w . Znajdziemy reprezentację odwzorowania w tej bazie. W tym celu musimy znaleźć współrzędne wektorów i w bazie , , bo z definicji są zadane przez równości
Współrzędne wektora w bazie standardowej są równe
Jak już wiemy jego współrzędne w bazie są dane przez
Analogicznie współrzędne wektora w bazie są równe . Z definicji reprezentacji macierzowej mamy
Z kolei z definicji mnożenia macierzy, więc
Załóżmy, że jest przestrzenią wektorową wymiaru oraz i są bazami . Niech
będzie odwzorowaniem liniowym,
będzie macierzą przejścia od bazy do bazy ,
będzie reprezentacją w bazie ,
będzie reprezentacją w bazie .
Wtedy
Dla wektora rozważmy wektor
Z definicji macierzy przejścia dla wektora mamy
Ponadto, zadaje współrzędne w bazie oraz zadaje współrzędne w bazie . Stąd
czyli dla każdego , więc .
∎
Macierze podobne
Niech . Mówimy, że jest podobna do , jeśli istnieje taka macierz nieosobliwa , że
Podobieństwo macierzy jest relacją równoważności w .
Dla dowolnych macierzy i mamy
W szczególności,
dla dowolnej macierzy nieosobliwej i .
Ślad macierzy kwadratowej jest sumą wyrazów na głównej przekątnej. Z definicji iloczynu macierzy mamy
Jeśli , to
∎
Pozwala to nam zdefiniować ślad odwzorowania liniowego przestrzeni skończenie wymiarowej jako ślad macierzy odwzorowania w dowolnej bazie dla .
Przypuśćmy, że jest takim odwzorowaniem liniowym, że
Pokażemy, że istnieje taka , że
Niech () będzie bazą standardową , czyli na przecięciu -tego wiersza oraz -tej kolumny jest , a pozostałe wyrazy są równe . Zauważmy, że
Stąd dla mamy
oraz
Dla mamy więc
Ponieważ dla mamy , więc
Dowód poniższego twierdzenia jest bardzo podobny do dowodu Twierdzenia 8.1.
Załóżmy, że
i są bazami przestrzeni wektorowej ,
i są bazami przestrzeni wektorowej ,
jest odwzorowaniem liniowym,
jest macierzą w bazach i ,
jest macierzą w bazach i ,
jest macierzą przejścia od bazy do bazy ,
jest macierzą przejścia od bazy do bazy .
Wtedy
Oceń prawdziwość zdań:
Jeśli i są reprezentacjami odwzorowań liniowych w bazie standardowej, to istnieje taka macierz nieosobliwa , że .
Reprezentacją macierzową odwzorowania identycznościowego jest w dowolnej bazie macierz identycznościowa.
Odwzorowanie , to ma w pewnej bazie reprezentację
Jeśli jest izomorfizmem i jest jego reprezentacją w pewnej bazie, to jest nieosobliwa.
Zobrazujemy wprowadzone pojęcia na przykładzie przestrzeni i pewnej jej podprzestrzeni. Przypomnijmy, że
jest przestrzenią wektorową wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych z działaniami
Dla liczby naturalnej definiujemy
Są to podprzestrzenie wektorowe przestrzeni oraz
Odwzorowanie liniowe
jest izomorfizmem. W szczególności, , czyli przestrzeń zawiera podprzestrzeń wymiaru dla dowolnej liczby naturalnej.
Zbiór
jest również podprzestrzenią wektorową przestrzeni . Składa się ona z wszystkich ciągów, które mają tylko skończenie wiele niezerowych wyrazów. Naturalnie zdefiniowany nieskończony zbiór wektorów
składa się z wektorów liniowo niezależnych. Jest on bazą dla , ale nie jest bazą dla . Przestrzeń nie ma przeliczalnej bazy.
Dla niezerowej liczby rzeczywistej definiujemy ciąg przez
Uzasadnimy, że każdy skończony podzbiór zbioru (równolicznego z )
jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych.
Rozważmy odwzorowanie liniowe (przesunięcie) zdefiniowane wzorem
Zauważmy, że
Niech będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Pokażemy, że wektory są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że maksymalna liczba wektorów liniowo niezależnych spośród nich jest równa . Możemy założyć, że są liniowo niezależne. Z określenia wynika, że są liniowo zależne, czyli
dla pewnych . Stąd
więc
Ponieważ są liniowo niezależne oraz , więc . Prowadzi to do sprzeczności, bo .
Przyglądnijmy się jeszcze odwzorowaniu .
Rozważmy odwzorowanie liniowe zdefiniowane wzorem
Zauważmy, że
czyli
W szczególności, jest epimorfizmem i jest monomorfizmem. Żadne z nich nie jest izomorfizmem. Jądro jest -wymiarowe, bo
Z drugiej strony, nie jest epimorfizmem, bo
Zbadamy teraz jeszcze jedną podprzestrzeń wektorową przestrzeni . Powiemy, że ciąg
jest typu Fibonacciego, gdy
Przypomnijmy, że klasyczny ciąg Fibonacciego
otrzymujemy przyjmując i .
Niech będzie zbiorem wszystkich ciągów typu Fibonacciego. Jest to podprzestrzeń wektorowa przestrzeni . Pokażemy, że jest ona izomorficzna z . Szukanym izomorfizmem jest odwzorowanie dane przez
Odwzorowanie odwrotne przypisuje wektorowi ciąg Fibonacciego o dwóch pierwszych wyrazach .
Bazie standardowej , odpowiada przez izomorfizm baza złożona z ciągów
Ponadto, dla ciągu mamy
Zauważmy, że
czyli
dla dowolnego ciągu . Rozważmy ciąg dla . Z definicji odwzorowania przesunięcia wynika, że -ty wyraz ciągu jest równy
Ponieważ
więc
czyli otrzymujemy równość
Zastanówmy się teraz, czy w przestrzeni leży jakiś ciąg geometryczny ? Sprawdzamy, że musi zachodzić warunek , czyli jest tak dla
Ponieważ wektory , są liniowo niezależne, więc ciągi
tworzą bazę dla . Zapiszmy ciąg Fibonacciego w tej bazie. Szukamy takich liczb rzeczywistych , że
Liczby spełniają układ równań
Jego jedynym rozwiązaniem są
Ostatecznie