I Algebra liniowa z geometrią 1 7 Działania na macierzach 9 Suma prosta

Rozdział 8 Reprezentacja macierzowa

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU macierz odwzorowania liniowego

\Diamond

macierze podobne

\Diamond

ślad iloczynu

\Diamond

ślad macierzy podobnych

Reprezentacja odwzorowania liniowego.

8.1 Macierz odwzorowania liniowego

Lemat 8.1.

Niech $L:\mathbb{F}^{n}\longrightarrow\mathbb{F}^{m}$ będzie odwzorowaniem liniowym. Istnieje taka macierz $A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})$ , że

L(v)=Av,\quad v\in\mathbb{F}^{n}.

Ponadto,

A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}L(e_{1})&\ldots&L(e_{n})\\ \end{array}\right].

Dowód.

Definiujemy wektory

a_{i}=L(e_{i}),\quad i=1,\ldots,n

oraz macierz $A:=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a_{1}&\ldots&a_{n}\\ \end{array}\right]$ . Niech $v=x_{1}\cdot e_{1}+\ldots+x_{n}\cdot e_{n}$ będzie dowolnym wektorem w $\mathbb{F}^{n}$ . Wtedy

	$\displaystyle L(v)$	$\displaystyle=x_{1}\cdot L(e_{1})+\ldots+x_{n}\cdot L(e_{n})$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot a_{1}+\ldots+x_{n}\cdot a_{n}$
		$\displaystyle=Av.$

∎

Definicja 8.1.

Macierz standardowa odwzorowania liniowego

Niech $L:\mathbb{F}^{n}\longrightarrow\mathbb{F}^{m}$ będzie odwzorowaniem liniowym. Macierz

A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}L(e_{1})&\ldots&L(e_{n})\\ \end{array}\right]

nazywamy macierzą odwzorowania liniowego $L$ w bazach standardowych lub macierzą standardową $L$ .

Przykład 8.1.

Niech $L:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$ będzie odwzorowaniem liniowym danym przez

L([x_{1},x_{2},x_{3}]^{T})=[x_{1}-x_{2}+x_{3},2x_{2}+3x_{3}]^{T}.

Wtedy

L([1,0,0]^{T})=[1,0]^{T},\quad L([0,1,0]^{T})=[-1,2]^{T},\quad L([0,0,1]^{T})=% [1,3]^{T},

czyli macierz standardowa odwzorowania $L$ jest równa

A=\left[\begin{array}[]{ccc}1&-1&1\\ 0&2&3\\ \end{array}\right].

Załóżmy, że $L:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{m}$ , $G:\mathbb{R}^{m}\longrightarrow\mathbb{R}^{k}$ . Niech $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ będzie standardową reprezentacją macierzową dla $L$ , a $B\in M_{k\times m}(\mathbb{R})$ dla $G$ . Wtedy $BA\in M_{k\times n}(\mathbb{R})$ jest reprezentacją macierzową dla $G\circ L:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{k}$ . Rzeczywiście niech $C\in M_{k\times n}(\mathbb{R})$ będzie macierzową reprezentacją odwzorowania $G\circ L:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{k}$ . Z definicji, $C=\left[\begin{array}[]{c|c|c}c_{1}&\ldots&c_{n}\\ \end{array}\right]$ , gdzie $c_{i}=(G\circ L)(e_{i})$ dla $i=1,\ldots,n$ . Zauważmy, że

$\displaystyle c_{i}$ $\displaystyle=(G\circ L)(e_{i})$

$\displaystyle=G(L(e_{i}))=G(a_{i})$

$\displaystyle=G(a_{1i}\cdot e_{1}+\ldots+a_{mi}\cdot e_{m})$

$\displaystyle=a_{1i}\cdot G(e_{1})+\ldots+a_{mi}\cdot G(e_{m})$

$\displaystyle=a_{1i}\cdot b_{1}+\ldots+a_{mi}\cdot b_{m}=Ba_{i},$

czyli $c_{i}$ jest $i$ -tą kolumną macierzy $B A$ .

Uogólnimy powyższą konstrukcję macierzy skojarzonej z odwzorowaniem liniowym. Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową wymiaru $n$ i niech $W$ będzie przestrzenią wektorową wymiaru $m$ . Ustalmy bazę

v_{1},\ldots,v_{n}

dla przestrzeni $V$ oraz bazę

w_{1},\ldots,w_{m}

dla przestrzeni $W$ . Dla wektora

v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}

wektor

x=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}\in\mathbb{F}^{n}

zadaje współrzędne wektora $v$ w bazie $v_{1},\ldots,v_{n}$ . Pokażemy, że istnieje (jedyna) taka macierz $A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})$ , że

Ax=y

wtedy i tylko wtedy, gdy

L(v)=y_{1}\cdot w_{1}+y_{2}\cdot w_{2}+\ldots+y_{n}\cdot w_{m}

dla każdego $v\in V$ , czyli $y$ jest wektorem współrzędnych $L(v)$ w bazie $w_{1},\ldots,w_{m}$ .

Istnieją wyznaczone jednoznacznie takie skalary $a_{ij}$ , że

L(v_{j})={\color[rgb]{.5,.5,.5}\definecolor{pgfstrokecolor}{rgb}{.5,.5,.5}% \pgfsys@color@gray@stroke{.5}\pgfsys@color@gray@fill{.5}{a_{1j}}}\cdot w_{1}+{% \color[rgb]{.5,.5,.5}\definecolor{pgfstrokecolor}{rgb}{.5,.5,.5}% \pgfsys@color@gray@stroke{.5}\pgfsys@color@gray@fill{.5}{a_{2j}}}\cdot w_{2}+% \ldots+{\color[rgb]{.5,.5,.5}\definecolor{pgfstrokecolor}{rgb}{.5,.5,.5}% \pgfsys@color@gray@stroke{.5}\pgfsys@color@gray@fill{.5}{a_{mj}}}\cdot w_{m},% \quad 1\leq j\leq n.

Wektor

a_{j}=[a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{mj}]^{T}\in\mathbb{F}^{m},\quad j=1,\ldots,n

zadaje współrzędne wektora $L(v_{j})$ w bazie $w_{1},\ldots,w_{m}$ dla $W$ .

Definicja 8.2.

Macierz odwzorowania liniowego

Macierz $A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a_{1}&\ldots&a_{n}\\ \end{array}\right]\in M_{m\times n}(\mathbb{F})$ nazywamy macierzą odwzorowania liniowego $L:V\longrightarrow W$ w bazach $v_{1},\ldots,v_{n}$ dla $V$ oraz $w_{1},\ldots,w_{m}$ dla $W$ , jeśli

a_{j}=[a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{mj}]^{T}\in\mathbb{F}^{m},

gdzie

L(v_{j})=a_{1j}\cdot w_{1}+a_{2j}\cdot w_{2}+\ldots+a_{mj}\cdot w_{m},\quad 1% \leq j\leq n.

Wniosek 8.1.

Niech $x=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}\in\mathbb{F}^{n}$ , $y=[y_{1},\ldots,y_{m}]^{T}\in\mathbb{F}^{m}$ . Następujące warunki są równoważne:

(1)

$v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}$ i $L(v)=y_{1}\cdot w_{1}+\ldots+y_{m}\cdot w_{m}$ ,
(2)

$Ax=y$ .

Dowód.

Wystarczy zauważyć, że

	$\displaystyle L(v)$	$\displaystyle=L(x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n})$
		$\displaystyle=\sum_{j=1}^{n}x_{j}L(v_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{j=1}^{n}x_{j}\left(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\right)$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)w_{i}.$

∎

Wniosek 8.2.

Załóżmy, że $v_{1},\ldots,v_{n}$ jest bazą $V$ i $L:V\to V$ jest odwzorowaniem liniowym. Niech $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ będzie macierzą odwzorowania $L$ w bazie $v_{1},\ldots,v_{n}$ . Następujące warunki są równoważne

(1)

$v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}$ i $L(v)=y_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}$ ,
(2)

$Ax=y$ .

Oznacza to, że macierz $A$ przekształca współrzędne wektora $v$ w bazie $v_{1},\ldots,v_{n}$ na współrzędne wektora $L(v)$ w tej bazie.

Zauważmy, że jeżeli $v_{1},\ldots,v_{n}$ oraz $w_{1},\ldots w_{n}$ są bazami przestrzeni $V$ , to macierz przejścia $S$ od bazy $v_{1},\ldots,v_{n}$ do bazy $w_{1},\ldots w_{n}$ jest macierzą odwzorowania identycznościowego na $V$ w tych bazach.

Popatrzmy na konstrukcję macierzy odwzorowania liniowego jeszcze trochę inaczej. Niech $v_{1},\ldots,v_{n}$ będzie bazą dla $V$ oraz $w_{1},\ldots,w_{m}$ bazą dla $W$ . Rozważmy izomorfizmy

$R:V\ni x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}\longmapsto[x_{1},\ldots,x_{n}]% ^{T}\in\mathbb{R}^{n},$

$S:W\ni y_{1}\cdot v_{1}+\ldots+y_{m}\cdot v_{m}\longmapsto[y_{1},\ldots,y_{m}]% ^{T}\in\mathbb{R}^{m},$

czyli przykładowo $R(v)$ jest wektorem współrzędnych $v$ w bazie $v_{1},\ldots,v_{n}$ .

Dla odwzorowania liniowego $L:V\to W$ możemy rozważyć odwzorowanie liniowe

$S\circ L\circ R^{-1}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}.$

Zobaczmy jak wygląda jego macierz w bazach standardowych. Mamy

$\displaystyle(S\circ L\circ R^{-1})(e_{i})$ $\displaystyle=(S\circ L)(v_{i})$

$\displaystyle=S(L(v_{i})),$

czyli $i$ -ta kolumna tej macierzy to współrzędne wektora $L(v_{i})$ w bazie $w_{1},\ldots,w_{n}$ .

Przykład 8.2.

Niech $P_{1}$ będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej $1$ . Rozważmy odwzorowanie liniowe

L:P_{1}\ni a+bx\longmapsto(a+b)x\in P_{1}.

Znajdziemy jego macierz $A$ w bazie $1-x,1+x$ . Ponieważ

L(1-x)=0=0\cdot(1-x)+0\cdot(1+x),

L(1+x)=2x=(-1)\cdot(1-x)+1\cdot(1+x),

więc

A=\left[\begin{array}[]{cc}0&-1\\ 0&1\\ \end{array}\right].

Lemat 8.2.

Niech $L:\mathbb{F}^{n}\longrightarrow\mathbb{F}^{m}$ będzie odwzorowaniem liniowym. Jeśli

A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a_{1}&\ldots&a_{n}\\ \end{array}\right]

jest macierzą $L$ w bazach $u_{1},\ldots,u_{n}$ dla $\mathbb{F}^{n}$ i $b_{1},\ldots,b_{m}$ dla $\mathbb{F}^{m}$ , to

a_{j}=B^{-1}L(u_{j}),\quad j=1,\ldots,n

gdzie $B=\left[\begin{array}[]{c|c|c}b_{1}&\ldots&b_{m}\\ \end{array}\right]$ .

Dowód.

Z definicji

L(u_{j})=a_{1j}\cdot b_{1}+\ldots+a_{mj}\cdot b_{m}=Ba_{j}.

∎

Wniosek 8.3.

Niech $L:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{m}$ będzie odwzorowaniem liniowym. Jeśli

A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a_{1}&\ldots&a_{n}\\ \end{array}\right]

jest macierzą $L$ w bazach $u_{1},\ldots,u_{n}$ dla $\mathbb{R}^{n}$ i $b_{1},\ldots,b_{m}$ dla $\mathbb{R}^{m}$ oraz $B=\left[\begin{array}[]{c|c|c}b_{1}&\ldots&b_{m}\\ \end{array}\right]$ , to macierze $\left[\begin{array}[]{c|c|c|c}B&L(u_{1})&\ldots&L(u_{n})\\ \end{array}\right]$ i $\left[\begin{array}[]{c|c}I&A\\ \end{array}\right]$ są wierszowo równoważne.

Dowód.

Macierze

\left[\begin{array}[]{c|c|c|c}B&L(u_{1})&\ldots&L(u_{n})\\ \end{array}\right],\quad B^{-1}\left[\begin{array}[]{c|c|c|c}B&L(u_{1})&\ldots% &L(u_{n})\\ \end{array}\right]

są wierszowo równoważne. Teza zachodzi, bo

	$\displaystyle B^{-1}\left[\begin{array}[]{c\|c\|c\|c}B&L(u_{1})&\ldots&L(u_{n})\\ \end{array}\right]$	$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{c\|c\|c\|c}I&B^{-1}L(u_{1})&\ldots&B^{-1}L(u_% {n})\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{c\|c}I&A\\ \end{array}\right].$

∎

Przykład 8.3.

Rozważmy odwzorowanie liniowe $L:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$ dane wzorem

L[x_{1},x_{2}]^{T}=[x_{2},x_{1}+x_{2},x_{1}-x_{2}]^{T}.

Znajdziemy jego reprezentację macierzową $A$ w bazach $u_{1}=[1,2]^{T}$ , $u_{2}=[3,1]^{T}$ oraz

b_{1}=[1,0,0]^{T},\quad b_{2}=[1,1,0]^{T},\quad b_{3}=[1,1,1]^{T}.

Ponieważ $L(u_{1})=[2,3,-1]^{T}$ i $L(u_{2})=[1,4,2]^{T}$ , więc rozważamy macierz

\left[\begin{array}[]{ccc|cc}1&1&1&2&1\\ 0&1&1&3&4\\ 0&0&1&-1&2\\ \end{array}\right].

Sprowadzamy ją łatwo (poprzez dozwolone operacje na wierszach) do postaci

\left[\begin{array}[]{ccc|cc}1&0&0&-1&-3\\ 0&1&0&4&2\\ 0&0&1&-1&2\\ \end{array}\right].

czyli

A=\left[\begin{array}[]{cc}-1&-3\\ 4&2\\ -1&2\\ \end{array}\right].

8.2 Macierze podobne

Rozważmy odwzorowanie liniowe $L:\mathbb{F}^{2}\longrightarrow\mathbb{F}^{2}.$ Reprezentacja macierzowa $A$ dla $L$ w bazie standardowej $e_{1},e_{2}$ (w dziedzinie i przeciwdziedzinie) ma postać

A=\left[\begin{array}[]{c|c}a_{1}&a_{2}\\ \end{array}\right],\quad a_{1}=L(e_{1}),\quad a_{2}=L(e_{2}).

Rozważmy teraz inną bazę $u_{1},u_{2}$ w $\mathbb{R}^{2}$ . Znajdziemy reprezentację $B$ odwzorowania $L$ w tej bazie. W tym celu musimy znaleźć współrzędne wektorów $L(u_{1})$ i $L(u_{2})$ w bazie $u_{1}$ , $u_{2}$ , bo z definicji $b_{ij}$ są zadane przez równości

L(u_{1})=b_{11}\cdot u_{1}+b_{21}\cdot u_{2},\quad L(u_{2})=b_{12}\cdot u_{1}+% b_{22}\cdot u_{2}.

Współrzędne wektora $L(u_{1})$ w bazie standardowej $e_{1},e_{2}$ są równe

L(u_{1})=Au_{1}.

Jak już wiemy jego współrzędne w bazie $u_{1},u_{2}$ są dane przez

U^{-1}Au_{1},\quad U=\left[\begin{array}[]{c|c}u_{1}&u_{2}\\ \end{array}\right].

Analogicznie współrzędne wektora $L(u_{2})=Au_{2}$ w bazie $u_{1},u_{2}$ są równe $U^{-1}Au_{2}$ . Z definicji reprezentacji macierzowej mamy

B=\left[\begin{array}[]{c|c}U^{-1}Au_{1}&U^{-1}Au_{2}\\ \end{array}\right].

Z kolei $\left[\begin{array}[]{c|c}U^{-1}Au_{1}&U^{-1}Au_{2}\\ \end{array}\right]=U^{-1}AU$ z definicji mnożenia macierzy, więc

B=U^{-1}AU.

Twierdzenie 8.1 (Reprezentacja macierzowa w różnych bazach).

Załóżmy, że $V$ jest przestrzenią wektorową wymiaru $n$ oraz $v_{1},\ldots,v_{n}$ i $w_{1},\ldots,w_{n}$ są bazami $V$ . Niech

•

$L:V\longrightarrow V$ będzie odwzorowaniem liniowym,
•

$S$ będzie macierzą przejścia od bazy $w_{1},\ldots,w_{n}$ do bazy $v_{1},\ldots,v_{n}$ ,
•

$A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ będzie reprezentacją $L$ w bazie $v_{1},\ldots,v_{n}$ ,
•

$B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ będzie reprezentacją $L$ w bazie $w_{1},\ldots,w_{n}$ .

Wtedy

$B=S^{-1}AS.$

Dowód.

Dla wektora $x=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}\in\mathbb{F}^{n}$ rozważmy wektor

v=x_{1}\cdot w_{1}+\ldots+x_{n}\cdot w_{n}\in V.

Z definicji macierzy przejścia $S$ dla wektora $y=Sx\in\mathbb{R}^{n}$ mamy

v=y_{1}\cdot v_{1}+\ldots+y_{n}\cdot v_{n}.

Ponadto, $A y$ zadaje współrzędne $L(v)$ w bazie $v_{1},\ldots,v_{n}$ oraz $B x$ zadaje współrzędne $L(v)$ w bazie $w_{1},\ldots,w_{n}$ . Stąd

S^{-1}Ay=Bx,

czyli $S^{-1}ASx=Bx$ dla każdego $x\in\mathbb{F}^{n}$ , więc $S^{-1}AS=B$ .

∎

Definicja 8.3.

Macierze podobne

Niech $A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ . Mówimy, że $B$ jest podobna do $A$ , jeśli istnieje taka macierz nieosobliwa $S\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ , że

B=S^{-1}AS.

Podobieństwo macierzy jest relacją równoważności w $M_{n\times n}(\mathbb{F})$ .

Wniosek 8.4 (Ślad iloczynu macierzy).

Dla dowolnych macierzy $A\in M_{n\times k}(\mathbb{F})$ i $B\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ mamy

${\rm tr}\,(AB)={\rm tr}\,(BA).$

W szczególności,

{\rm tr}\,(A)={\rm tr}\,(S^{-1}AS)

dla dowolnej macierzy nieosobliwej $S\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ i $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ .

Dowód.

Ślad macierzy kwadratowej jest sumą wyrazów na głównej przekątnej. Z definicji iloczynu macierzy mamy

	$\displaystyle{\rm tr}\,(AB)$	$\displaystyle=\sum_{j=1}^{n}(AB)_{jj}=\sum_{j=1}^{n}(a(j)^{T}\|b_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}a_{ji}b_{ij}\right)$
		$\displaystyle=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{k}a_{ji}b_{ij}=\sum_{i=1}^{k}\left(% \sum_{j=1}^{n}b_{ij}a_{ji}\right)$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}(b(i)^{T}\|a_{i})=\sum_{i=1}^{k}(BA)_{ii}$
		$\displaystyle={\rm tr}\,(BA).$

Jeśli $B=S^{-1}AS$ , to

	$\displaystyle{\rm tr}\,B$	$\displaystyle={\rm tr}\,(S^{-1}A)S$
		$\displaystyle={\rm tr}\,S(S^{-1}A)$
		$\displaystyle={\rm tr}\,A.$

∎

Pozwala to nam zdefiniować ślad odwzorowania liniowego $L:V\longrightarrow V$ przestrzeni skończenie wymiarowej $V$ jako ślad macierzy $A$ odwzorowania $L$ w dowolnej bazie dla $V$ .

Przypuśćmy, że $L:M_{n\times n}(\mathbb{F})\longrightarrow\mathbb{F}$ jest takim odwzorowaniem liniowym, że

$L(AB)=L(BA),\quad A,B\in\mathbb{F}.$

Pokażemy, że istnieje taka $\lambda\in\mathbb{F}$ , że

$L(A)=\lambda{\rm tr}\,A,\quad A\in M_{n\times n}(\mathbb{F}).$

Niech $E_{ji}$ ( $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ ) będzie bazą standardową $M_{n\times n}(\mathbb{F})$ , czyli na przecięciu $j$ -tego wiersza oraz $i$ -tej kolumny jest $1$ , a pozostałe wyrazy są równe $0$ . Zauważmy, że

$E_{lk}E_{ji}=\delta_{kj}E_{li},\quad i,j,k,l\in\{1,\ldots,n\}.$

Stąd dla $i\neq j$ mamy

$\displaystyle L(E_{ji})$ $\displaystyle=L(E_{jj}E_{ji})$

$\displaystyle=L(E_{ji}E_{jj})$

$\displaystyle=L(0)$

$\displaystyle=0$

oraz

$\displaystyle L(E_{ii})$ $\displaystyle=L(E_{i1}E_{1i})$

$\displaystyle=L(E_{1i}E_{i1})$

$\displaystyle=L(E_{11}).$

Dla $\lambda=L(E_{11})$ mamy więc

$L(E_{ji})=\delta_{ji}\lambda,\quad i,j\in\{1,\ldots,n\}.$

Ponieważ dla $A=[a_{ji}]$ mamy $A=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ji}E_{ji}$ , więc

$\displaystyle L(A)$ $\displaystyle=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ji}L(E_{ji})$

$\displaystyle=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ji}\delta_{ji}\lambda$

$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\lambda$

$\displaystyle=\lambda{\rm tr}\,A.$

Dowód poniższego twierdzenia jest bardzo podobny do dowodu Twierdzenia 8.1.

Twierdzenie 8.2.

Załóżmy, że

•

$u_{1},\ldots,u_{p}$ i $u^{\prime}_{1},\ldots,u^{\prime}_{p}$ są bazami przestrzeni wektorowej $U$ ,
•

$v_{1},\ldots,v_{q}$ i $v^{\prime}_{1},\ldots,v^{\prime}_{q}$ są bazami przestrzeni wektorowej $V$ ,
•

$L:U\longrightarrow V$ jest odwzorowaniem liniowym,
•

$A$ jest macierzą $L$ w bazach $u_{1},\ldots,u_{p}$ i $v_{1},\ldots,v_{q}$ ,
•

$A^{\prime}$ jest macierzą $L$ w bazach $u^{\prime}_{1},\ldots,u^{\prime}_{p}$ i $v^{\prime}_{1},\ldots,v^{\prime}_{q}$ ,
•

$P$ jest macierzą przejścia od bazy $u_{1},\ldots,u_{p}$ do bazy $u^{\prime}_{1},\ldots,u^{\prime}_{p}$ ,
•

$Q$ jest macierzą przejścia od bazy $v_{1},\ldots,v_{q}$ do bazy $v^{\prime}_{1},\ldots,v^{\prime}_{q}$ .

Wtedy

A=Q^{-1}A^{\prime}P.

Oceń prawdziwość zdań:
- –
  
  Jeśli $A$ i $B$ są reprezentacjami odwzorowań liniowych $L,G:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ w bazie standardowej, to istnieje taka macierz nieosobliwa $S$ , że $S^{-1}AS=B$ .
- –
  
  Reprezentacją macierzową odwzorowania identycznościowego jest w dowolnej bazie macierz identycznościowa.
- –
  
  Odwzorowanie $L:\mathbb{R}^{2}\ni[x,y]^{T}\mapsto[y,x+y]^{T}\in\mathbb{R}^{2}$ , to $L$ ma w pewnej bazie reprezentację
  
  $\left[\begin{array}[]{cc}1&2\\ 1&2\\ \end{array}\right].$
- –
  
  Jeśli $L:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ jest izomorfizmem i $A$ jest jego reprezentacją w pewnej bazie, to $A$ jest nieosobliwa.

$\longleftarrow$

8.3 Pouczający przykład

Zobrazujemy wprowadzone pojęcia na przykładzie przestrzeni $\mathbb{R}^{\infty}$ i pewnej jej podprzestrzeni. Przypomnijmy, że

\mathbb{R}^{\infty}=\Big{\{}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots):x_{i}\in\mathbb{R}\Big{% \}},

jest przestrzenią wektorową wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych z działaniami

(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)+(y_{1},y_{2},y_{3},\ldots)=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}% ,x_{3}+y_{3},\ldots),

t\cdot(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)=(tx_{1},tx_{2},tx_{3},\ldots).

Dla liczby naturalnej $n\geq 1$ definiujemy

\mathbb{R}_{n}^{\infty}=\Big{\{}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)\in\mathbb{R}^{% \infty}:\forall i>n\;x_{i}=0\Big{\}}.

Są to podprzestrzenie wektorowe przestrzeni $\mathbb{R}^{\infty}$ oraz

\mathbb{R}_{1}^{\infty}\subset\mathbb{R}_{2}^{\infty}\subset\mathbb{R}_{3}^{% \infty}\subset\ldots

Odwzorowanie liniowe

L_{n}:\mathbb{R}_{n}^{\infty}\ni(x_{1},\ldots,x_{n},0,0,\ldots)\longmapsto[x_{% 1},\ldots,x_{n}]^{T}\in\mathbb{R}^{n}

jest izomorfizmem. W szczególności, ${\rm dim}\,\mathbb{R}_{n}^{\infty}=n$ , czyli przestrzeń $\mathbb{R}^{\infty}$ zawiera podprzestrzeń wymiaru $n$ dla dowolnej liczby naturalnej.

Zbiór

\mathbb{R}_{0}^{\infty}:=\bigcup_{n=1}^{\infty}\mathbb{R}_{n}^{\infty}

jest również podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\mathbb{R}^{\infty}$ . Składa się ona z wszystkich ciągów, które mają tylko skończenie wiele niezerowych wyrazów. Naturalnie zdefiniowany nieskończony zbiór wektorów

e_{1},e_{2},e_{3},\ldots,e_{n},\ldots\in\mathbb{R}_{0}^{\infty}

składa się z wektorów liniowo niezależnych. Jest on bazą dla $\mathbb{R}_{0}^{\infty}$ , ale nie jest bazą dla $\mathbb{R}^{\infty}$ . Przestrzeń $\mathbb{R}^{\infty}$ nie ma przeliczalnej bazy.

Dla niezerowej liczby rzeczywistej $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definiujemy ciąg $x^{a}\in\mathbb{R}^{\infty}$ przez

x^{a}=(a,a^{2},a^{3},\ldots).

Uzasadnimy, że każdy skończony podzbiór zbioru (równolicznego z $\mathbb{R}$ )

\Big{\{}x^{a}:a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\Big{\}}

jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych.

Rozważmy odwzorowanie liniowe (przesunięcie) $\sigma:\mathbb{R}^{\infty}\to\mathbb{R}^{\infty}$ zdefiniowane wzorem

\sigma((x_{1},x_{2},x_{3},\ldots))=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots).

Zauważmy, że

\sigma(x^{a})=a\cdot x^{a}.

Niech $a_{1},\ldots,a_{n}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Pokażemy, że wektory $x^{a_{1}},\ldots,x^{a_{n}}\in\mathbb{R}^{\infty}$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że maksymalna liczba wektorów liniowo niezależnych spośród nich jest równa $1\leq r<n$ . Możemy założyć, że $x^{a_{1}},\ldots,x^{a_{r}}$ są liniowo niezależne. Z określenia $r$ wynika, że $x^{a_{1}},\ldots,x^{a_{r}},x^{a_{r+1}}$ są liniowo zależne, czyli

x^{a_{r+1}}=t_{1}\cdot x^{a_{1}}+\ldots+t_{r}\cdot x^{a_{r}}

dla pewnych $t_{1},\ldots,t_{r}\in\mathbb{R}$ . Stąd

a_{r+1}\cdot x^{a_{r+1}}=\sigma(x^{a_{r+1}})=t_{1}a_{1}\cdot x^{a_{1}}+\ldots+% t_{r}a_{r}\cdot x^{a_{r}},

więc

0=t_{1}(a_{1}-a_{r+1})\cdot x^{a_{1}}+\ldots+t_{r}(a_{r}-a_{r+1})x^{a_{r}}.

Ponieważ $x^{a_{1}},\ldots,x^{a_{r}}$ są liniowo niezależne oraz $a_{i}\neq a_{r+1}$ , więc $t_{1}=\ldots=t_{r}=0$ . Prowadzi to do sprzeczności, bo $x^{a_{r+1}}\neq 0$ .

Przyglądnijmy się jeszcze odwzorowaniu $\sigma$ .

Rozważmy odwzorowanie liniowe $\sigma_{0}:\mathbb{R}^{\infty}\longrightarrow\mathbb{R}^{\infty}$ zdefiniowane wzorem

\sigma_{0}((x_{1},x_{2},x_{3},\ldots))=(0,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots).

Zauważmy, że

\sigma\circ\sigma_{0}((x_{1},x_{2},x_{3},\ldots))=((x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)),

czyli

\sigma\circ\sigma_{0}={\rm id}_{\mathbb{R}^{\infty}}.

W szczególności, $\sigma$ jest epimorfizmem i $\sigma_{0}$ jest monomorfizmem. Żadne z nich nie jest izomorfizmem. Jądro ${\rm ker}\,\sigma$ jest $1$ -wymiarowe, bo

{\rm ker}\,\sigma=\mathbb{R}_{1}^{\infty}.

Z drugiej strony, $\sigma_{0}$ nie jest epimorfizmem, bo

\mathbb{R}_{1}^{\infty}\not\subset{\rm im}\,\sigma_{0}.

Zbadamy teraz jeszcze jedną podprzestrzeń wektorową przestrzeni $\mathbb{R}^{\infty}$ . Powiemy, że ciąg

x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)\in\mathbb{R}^{\infty}

jest typu Fibonacciego, gdy

x_{n+1}=x_{n-1}+x_{n},\quad n\geq 2.

Przypomnijmy, że klasyczny ciąg Fibonacciego

F=(F_{1},F_{2},F_{3},\ldots)=(0,1,1,2,3,5,8,13,\ldots)

otrzymujemy przyjmując $x_{1}=0$ i $x_{2}=1$ .

Niech $\mathcal{F}\subset\mathbb{R}^{\infty}$ będzie zbiorem wszystkich ciągów typu Fibonacciego. Jest to podprzestrzeń wektorowa przestrzeni $\mathbb{R}^{\infty}$ . Pokażemy, że jest ona izomorficzna z $\mathbb{R}^{2}$ . Szukanym izomorfizmem jest odwzorowanie $L:\mathcal{F}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$ dane przez

L((x_{1},x_{2},x_{3},\ldots))=[x_{1},x_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{2}.

Odwzorowanie odwrotne przypisuje wektorowi $[x_{1},x_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{2}$ ciąg Fibonacciego o dwóch pierwszych wyrazach $x_{1},x_{2}$ .

Bazie standardowej $e_{1}=[1,0]^{T}$ , $e_{2}=[0,1]^{T}\in\mathbb{R}^{2}$ odpowiada przez izomorfizm $L$ baza $\mathcal{F}$ złożona z ciągów

F^{\prime}=(1,0,1,1,2,3,\ldots),\quad F=(0,1,1,2,3,\ldots).

Ponadto, dla ciągu $(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)\in\mathcal{F}$ mamy

(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)=x_{1}\cdot F^{\prime}+x_{2}\cdot F.

Zauważmy, że

\sigma(F^{\prime})=F,\quad F^{\prime}=\sigma(F)-F,

czyli

(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)=x_{1}\cdot(\sigma(F)-F)+x_{2}\cdot F

dla dowolnego ciągu $x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)\in\mathcal{F}$ . Rozważmy ciąg $x^{k}=\sigma^{k}(F)$ dla $k\geq 1$ . Z definicji odwzorowania przesunięcia wynika, że $n$ -ty wyraz ciągu $x^{k}$ jest równy

x_{n}^{k}=(\sigma^{k}(F))_{n}=F_{n+k}.

Ponieważ

x_{1}^{k}=F_{k+1},\quad x_{2}^{k}=F_{k+2},

więc

\sigma^{k}(F)=F_{k+1}\cdot(\sigma(F)-F)+F_{k+2}\cdot F,

czyli otrzymujemy równość

F_{n+k}=F_{k+1}(F_{n+1}-F_{n})+F_{k+2}F_{n}.

Zastanówmy się teraz, czy w przestrzeni $\mathcal{F}$ leży jakiś ciąg geometryczny $(1,q,q^{2},q^{3},\ldots)$ ? Sprawdzamy, że musi zachodzić warunek $q^{2}=q+1$ , czyli jest tak dla

q_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad q_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

Ponieważ wektory $[1,q_{1}]^{T}$ , $[1,q_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{2}$ są liniowo niezależne, więc ciągi

x=(1,q_{1},q_{1}^{2},\ldots),\quad y=(1,q_{2},q_{2}^{2},\ldots)

tworzą bazę dla $\mathcal{F}$ . Zapiszmy ciąg Fibonacciego w tej bazie. Szukamy takich liczb rzeczywistych $a,b\in\mathbb{R}$ , że

F=a\cdot x+b\cdot y.

Liczby $a, b$ spełniają układ równań

a+b=1,\quad aq_{1}+bq_{2}=1.

Jego jedynym rozwiązaniem są

a=\frac{1}{\sqrt{5}},\quad b=-\frac{1}{\sqrt{5}}.

Ostatecznie

F_{n}=\frac{q_{1}^{n}-q_{2}^{n}}{\sqrt{5}}.

	$\displaystyle c_{i}$	$\displaystyle=(G\circ L)(e_{i})$
		$\displaystyle=G(L(e_{i}))=G(a_{i})$
		$\displaystyle=G(a_{1i}\cdot e_{1}+\ldots+a_{mi}\cdot e_{m})$
		$\displaystyle=a_{1i}\cdot G(e_{1})+\ldots+a_{mi}\cdot G(e_{m})$
		$\displaystyle=a_{1i}\cdot b_{1}+\ldots+a_{mi}\cdot b_{m}=Ba_{i},$

	$\displaystyle(S\circ L\circ R^{-1})(e_{i})$	$\displaystyle=(S\circ L)(v_{i})$
		$\displaystyle=S(L(v_{i})),$

	$\displaystyle L(E_{ji})$	$\displaystyle=L(E_{jj}E_{ji})$
		$\displaystyle=L(E_{ji}E_{jj})$
		$\displaystyle=L(0)$
		$\displaystyle=0$

	$\displaystyle L(E_{ii})$	$\displaystyle=L(E_{i1}E_{1i})$
		$\displaystyle=L(E_{1i}E_{i1})$
		$\displaystyle=L(E_{11}).$

	$\displaystyle L(A)$	$\displaystyle=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ji}L(E_{ji})$
		$\displaystyle=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ji}\delta_{ji}\lambda$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\lambda$
		$\displaystyle=\lambda{\rm tr}\,A.$