I Algebra liniowa z geometrią 1 6 Odwzorowania liniowe 8 Reprezentacja macierzowa

Rozdział 7 Działania na macierzach

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU transponowanie

\Diamond

macierz symetryczna i antysymetryczna

\Diamond

macierz identycznościowa

\Diamond

macierz nieosobliwa

\Diamond

odwrotność iloczynu

\Diamond

transpozycja iloczynu

\Diamond

jądro i obraz

\Diamond

rząd macierzy

\Diamond

formuła wymiaru

\Diamond

rząd macierzy transponowanej

\Diamond

macierz diagonalna

\Diamond

macierz trójkątna

\Diamond

ślad macierzy

\Diamond

grafy

\Diamond

rekurencje liniowe

\Diamond

macierze elementarne

\Diamond

macierze wierszowo równoważne

\Diamond

rozkład

L U

\Diamond

zmiana bazy

\Diamond

macierz przejścia

7.1 Transponowanie

W zbiorze macierzy $M_{k\times n}(\mathbb{F})$ zdefiniowaliśmy dodawanie

+:M_{k\times n}(\mathbb{F})\times M_{k\times n}(\mathbb{F})\longrightarrow M_{% k\times n}(\mathbb{F})

oraz mnożenie macierzy przez skalar

\cdot:\mathbb{F}\times M_{k\times n}(\mathbb{F})\longrightarrow M_{k\times n}(% \mathbb{F}).

Otrzymaliśmy w ten sposób przestrzeń wektorową $(M_{k\times n}(\mathbb{F}),+,\cdot)$ . Przypomnijmy, że przyjęliśmy konwencję

[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}=\left[\begin{array}[]{c}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{array}\right].

Wektor $[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}\in\mathbb{F}^{n}$ możemy interpretować jako macierz o $n$ -wierszach i jednej kolumnie, czyli element $M_{n\times 1}(\mathbb{F})$ . Z drugiej strony $[x_{1},\ldots,x_{n}]$ jest w naturalny sposób macierzą o jednym wierszu i $n$ -kolumnach, czyli elementem $M_{1\times n}(\mathbb{F})$ .

Definicja 7.1.

Macierz transponowana

Niech $A\in M_{n\times k}(\mathbb{F})$ będzie macierzą o wierszach $a(1),\ldots,a(n)\in M_{1\times k}(\mathbb{F})$ . Macierz transponowana $A^{T}\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ jest zdefiniowana jako

$A^{T}=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a(1)^{T}&\ldots&a(n)^{T}\\ \end{array}\right].$

Oznacza to, że wiersze macierzy $A$ stają się kolumnami macierzy transponowanej $A^{T}$ . Wynika stąd, że jeśli $A=[a_{ij}]$ oraz $A^{T}=[a^{T}_{ij}]$ , to

a^{T}_{ij}=a_{ji}.

Przykładowo,

\left[\begin{array}[]{cc}3&-2\\ 2&4\\ 1&-3\\ \end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}[]{ccc}3&2&1\\ -2&4&-3\\ \end{array}\right].

MACIERZ TRANSPONOWANA

A=\left[\begin{array}[]{ccc}-&a(1)&-\\ -&a(2)&-\\ &\vdots&\\ -&a(k)&-\\ \end{array}\right]\in M_{k\times n}(\mathbb{F}),\quad\quad A^{T}=\left[\begin{% array}[]{c|c|c}a(1)^{T}&\ldots&a(k)^{T}\\ \end{array}\right]\in M_{n\times k}(\mathbb{F})

gdzie

a(i)=[a_{i1},\ldots,a_{in}]\in M_{1\times n}(\mathbb{F}),\quad\quad a(i)^{T}=% \left[\begin{array}[]{c}a_{i1}\\ \vdots\\ a_{in}\\ \end{array}\right]\in M_{n\times 1}(\mathbb{F})

Wniosek 7.1.

Dla macierzy $A,B\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ i $t\in\mathbb{F}$ zachodzą warunki

(i)

$(A^{T})^{T}=A$ ,
(ii)

$(tA)^{T}=tA^{T}$ ,
(iii)

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$ .

Warunki (ii) i (iii) oznaczają, że transponowanie macierzy

$L:M_{k\times n}(\mathbb{F})\in A\longmapsto A^{T}\in M_{n\times k}(\mathbb{F})$

jest odwzorowaniem liniowym i jest to izomorfizm. Warunek (i) gwarantuje dla $k=n$ , że $L\circ L={\rm id}$ .

Definicja 7.2.

Macierz symetryczna i antysymetryczna

Macierz kwadratową $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ nazywamy symetryczną, gdy

A^{T}=A.

Powiemy, że $A$ jest skośnie symetryczna (antysymetryczna), gdy

A^{T}=-A.

Wniosek 7.2.

Niech $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ . Dla dowolnej macierzy $A\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$ macierz $A+A^{T}$ jest symetryczna, a macierz $A-A^{T}$ jest skośnie symetryczna. W szczególności, każda macierz $A\in M_{n\times n}$ jest sumą macierzy symetrycznej i skośnie symetrycznej:

A=\frac{1}{2}(A+A^{T})+\frac{1}{2}(A-A^{T}).

Podamy teraz geometryczną interpretację rzeczywistej macierzy transponowanej.

Lemat 7.1.

Niech $A\in M_{n\times k}(\mathbb{R})$ oraz $B\in M_{k\times n}(\mathbb{R})$ . Następujące warunki są równoważne

(i)

$(Ax|y)=(x|By)$ dla wszystkich $x\in\mathbb{R}^{k}$ , $y\in\mathbb{R}^{n}$ ,
(ii)

$B=A^{T}$ .

Dowód.

Dla $x=[x_{1},\ldots,x_{k}]^{T}\in\mathbb{R}^{k}$ , $y=[y_{1},\ldots,y_{n}]^{T}\in\mathbb{R}^{n}$ mamy

	$\displaystyle(Ax\|y)$	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}(Ae_{i}\|e_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}(a_{i}\|e_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}a_{ji}$
oraz
	$\displaystyle(x\|By)$	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}(e_{i}\|Be_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}(e_{i}\|b_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}b_{ij}.$

Wynika stąd, że $(Ax|y)=(x|By)$ dla wszystkich $x\in\mathbb{R}^{k}$ i $y\in\mathbb{R}^{n}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b_{ij}=a_{ji}$ dla wszystkich $i=1,\ldots,k$ oraz $j=1,\ldots n$ , czyli gdy $B=A^{T}$ . ∎

Wniosek 7.3.

Dla dowolnej macierzy $A=[a_{ij}]\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ mamy

$(Ax|y)=(x|A^{T}y),\quad x,y\in\mathbb{R}^{n}.$

Ponadto, $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

$(Ax|y)=(x|Ay),\quad x,y\in\mathbb{R}^{n}.$

7.2 Iloczyn macierzy

Rozważmy macierze

a=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}&\ldots&a_{1k}\\ \end{array}\right]\in M_{1\times k}(\mathbb{F}),\quad b=\left[\begin{array}[]{% c}b_{11}\\ \vdots\\ b_{k1}\\ \end{array}\right]\in M_{k\times 1}(\mathbb{F}).

Definiujemy iloczyn

(a^{T}|b)=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}&\ldots&a_{1k}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}b_{11}\\ \vdots\\ b_{k1}\\ \end{array}\right]=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\ldots+a_{1k}b_{k1}.

Dla macierzy $A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a_{1}&\ldots&a_{k}\\ \end{array}\right]\in M_{n\times k}(\mathbb{F})$ o wierszach $a(1),\ldots,a(n)\in M_{1\times k}(F)$ oraz macierzy (wektora) $b=[b_{1},\ldots,b_{k}]^{T}\in M_{k\times 1}(\mathbb{R})$ przyjmujemy, że

Ab=\left[\begin{array}[]{c}(a(1)^{T}|b)\\ \vdots\\ (a(n)^{T}|b)\\ \end{array}\right]=b_{1}\cdot a_{1}+\ldots+b_{k}\cdot a_{k}\in\mathbb{R}^{n}.

Rysunek 7.1: Macierz mnoży wektor – wersja kolumnowa.

Definicja 7.3.

Iloczyn macierzy

Niech $A\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ i $B=\left[\begin{array}[]{c|c|c}b_{1}&\ldots&b_{m}\\ \end{array}\right]\in M_{n\times m}(\mathbb{F})$ . Definiujemy iloczyn macierzy $AB\in M_{k\times m}(\mathbb{F})$ wzorem

$AB:=\left[\begin{array}[]{c|c|c}Ab_{1}&\ldots&Ab_{m}\\ \end{array}\right]\in M_{k\times m}(\mathbb{F}).$

Z definicji wynika, że jeśli $A=[a_{ij}]\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ , $B=[b_{jl}]\in M_{n\times m}(\mathbb{F})$ i $AB=[c_{il}]\in M_{k\times m}(\mathbb{F})$ , to

	$\displaystyle c_{il}$	$\displaystyle=\big{(}a(i)^{T}\|b_{l}\big{)}$
		$\displaystyle=a_{i1}b_{1l}+\ldots+a_{in}b_{nl}$

	$\displaystyle AB$	$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{ccc}-&w_{1}&-\\ -&w_{2}&-\\ &\vdots&\\ -&w_{k}&-\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{ccc}\|&&\|\\ a_{1}&\ldots&a_{n}\\ \|&&\|\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{cccc}(w_{1}^{T}\|a_{1})&(w_{1}^{T}\|a_{2})&% \ldots&(w_{1}^{T}\|a_{n})\\ (w_{2}^{T}\|a_{1})&(w_{2}^{T}\|a_{2})&\ldots&(w_{2}^{T}\|a_{n})\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ (w_{k}^{T}\|a_{1})&(w_{k}^{T}\|a_{2})&\ldots&(w_{k}^{T}\|a_{n})\\ \end{array}\right]$

Wyraz o numerze $i j$ macierzy $A B$ jest iloczynem skalarnym $i$ -tego wiersza $A$ oraz $j$ -tej kolumny macierzy $B$ .

Rysunek 7.2: Macierz mnoży macierz w wersji kolumnowej.

Przykład 7.1.

Dla macierzy

A=\left[\begin{array}[]{cc}3&-2\\ 2&4\\ 1&-3\\ \end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}[]{ccc}-2&1&3\\ 4&1&6\\ \end{array}\right]

mamy

	$\displaystyle AB$	$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{cc}3&-2\\ 2&4\\ 1&-3\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{ccc}-2&1&3\\ 4&1&6\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{ccc}3\cdot(-2)-2\cdot 4&3\cdot 1-2\cdot 1&% 3\cdot 3-2\cdot 6\\ 2\cdot(-2)+4\cdot 4&2\cdot 1+4\cdot 1&2\cdot 3+4\cdot 6\\ 1\cdot(-2)-3\cdot 4&1\cdot 1-3\cdot 1&1\cdot 3-3\cdot 6\\ \end{array}\right].$

Czasami stosuje się poniższą konwencję:

		$\displaystyle\overbrace{\left[\begin{array}[]{ccc}-2&1&3\\ 4&1&6\\ \end{array}\right]}^{B}$
	$\displaystyle\underbrace{\left[\begin{array}[]{cc}3&-2\\ 2&4\\ 1&-3\\ \end{array}\right]}_{A}$	$\displaystyle\underbrace{\left[\begin{array}[]{ccc}-16&1&-3\\ 12&6&30\\ -14&-2&-15\\ \end{array}\right]}_{AB}$

Przykład 7.2.

Uzupełnić pozostałe miejsca $\boxed{?}$ .

\left[\begin{array}[]{ccc}1&2&4\\ {\bf 2}&{\bf 6}&{\bf 0}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cccc}4&1&{\bf 4}&3\\ 0&-1&{\bf 3}&1\\ 2&7&{\bf 5}&2\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cccc}\boxed{?}&\boxed{?}&\boxed{?}&% \boxed{?}\\ \boxed{?}&\boxed{?}&\boxed{{\rm 26}}&\boxed{?}\\ \end{array}\right]

Dla macierzy kwadratowych $A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ zdefiniowane są obydwa iloczyny $A B$ i $B A$ , ale nie muszą one być równe. Mnożenie macierzy w zbiorze $M_{n\times n}(\mathbb{R})$ nie jest przemienne dla $n\geq 2$ . Przykładowo, dla

$A=\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 0&0\\ \end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 2&2\\ \end{array}\right],$

mamy

$AB=\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 0&0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 2&2\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}3&3\\ 0&0\\ \end{array}\right],$

$BA=\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 2&2\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 0&0\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 2&2\\ \end{array}\right].$

Lemat 7.2 (Mnożenie macierzy jest łączne).

Załóżmy, że $A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})$ , $B\in M_{n\times r}(\mathbb{F})$ i $C\in M_{r\times s}(\mathbb{F})$ . Wtedy

$(AB)C=A(BC)$

Dowód.

Z definicji iloczynu macierzy mamy

	$\displaystyle(AB)C$	$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{c\|c\|c}ABc_{1}&\ldots&ABc_{s}\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=A\left[\begin{array}[]{c\|c\|c}Bc_{1}&\ldots&Bc_{s}\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=A(BC).$

∎

Lemat 7.3.

Niech $A\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ i $B\in M_{n\times m}(\mathbb{F})$ . Wtedy

$L_{AB}=L_{A}\circ L_{B}$

Dowód.

Wystarczy pokazać, że odwzorowania liniowe $L_{AB}$ oraz $L_{A}\circ L_{B}:\mathbb{F}^{m}\to\mathbb{F}^{k}$ przyjmują takie same wartości na bazie $e_{1},\ldots,e_{m}$ . Mamy

	$\displaystyle L_{AB}(e_{i})$	$\displaystyle=ABe_{i}=Ab_{i}$
		$\displaystyle=L_{A}(b_{i})=L_{A}(L_{B}(e_{i}))$
		$\displaystyle=(L_{A}\circ L_{B})e_{i}.$

∎

Definicja 7.4.

Macierz identycznościowa

Macierz identycznościowa $I=I_{n}=[\delta_{ij}]\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ to macierz o współczynnikach zdefiniowanych symbolem Kroneckera:

\delta_{ij}:=\left\{\begin{array}[]{ll}1,&\hbox{gdy $i=j$,}\\ 0,&\hbox{gdy $i\neq j$. }\\ \end{array}\right.

Innymi słowy, $I_{n}=\left[\begin{array}[]{c|c|c}e_{1}&\ldots&e_{n}\\ \end{array}\right]$ . Przykładowo,

I_{2}=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&1\\ \end{array}\right],\quad I_{3}=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right].

Wniosek 7.4.

Dla dowolnej macierzy $A\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ mamy

I_{k}A=A=AI_{n}.

Definicja 7.5.

Macierz nieosobliwa

Macierz $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ jest nieosobliwa (odwracalna) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka macierz $B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ , że

$BA=AB=I_{n}$

Macierz $B$ nazywamy wtedy macierzą odwrotną do macierzy $A$ i oznaczamy przez $A^{-1}$ .

Jeżeli $A$ jest nieosobliwa, to macierz odwrotna do $A$ jest wyznaczona jednoznacznie. Rzeczywiście, jeśli $B$ i $C$ są odwrotne do $A$ , to

$B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C.$

Wniosek 7.5 (Odwrotność iloczynu).

Jeśli $A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ są nieosobliwe, to macierz $A B$ jest nieosobliwa oraz

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$

Dowód.

Sprawdzamy, że

	$\displaystyle(B^{-1}A^{-1})(AB)$	$\displaystyle=B^{-1}(A^{-1}A)B$
		$\displaystyle=B^{-1}IB$
		$\displaystyle=B^{-1}B$
		$\displaystyle=I.$

Analogicznie pokazujemy, że $(AB)(B^{-1}A^{-1})=I$ . ∎

Lemat 7.4.

Dla macierzy kwadratowej $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ następujące warunki są równoważne:

(i)

$A$ jest nieosobliwa,
(ii)

$L_{A}:\mathbb{R}^{n}\ni x\longmapsto Ax\in\mathbb{R}^{n}$ jest izomorfizmem.

Dowód.

Jeśli $A$ jest nieosobliwa, to $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ , więc

I=L_{I}=L_{AA^{-1}}=L_{A}\circ L_{A^{-1}},\quad I=L_{I}=L_{A^{-1}A}=L_{A^{-1}}% \circ L_{A},

czyli $L_{A}$ jest izomorfizmem liniowym o odwrotnym $L_{A^{-1}}$ .

Załóżmy, że $L_{A}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ jest izomorfizmem liniowym. Istnieje więc odwzorowanie odwrotne $L^{-1}$ . Definiujemy macierz

B=\left[\begin{array}[]{c|c|c}L^{-1}e_{1}&\ldots&L^{-1}e_{n}\\ \end{array}\right].

Wtedy $L^{-1}=L_{B}$ , bo $L^{-1}e_{i}=Be_{i}=L_{B}(e_{i})$ . Ponadto,

I=L^{-1}\circ L=L_{B}\circ L_{A}=L_{BA},\quad I=L\circ L^{-1}=L_{A}\circ L_{B}% =L_{AB},

więc $BA=I=AB$ , czyli $A$ jest nieosobliwa i $B=A^{-1}$ . ∎

Lemat 7.5 (Transpozycja iloczynu).

Dla macierzy $A,B\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ i $B\in M_{n\times k}(\mathbb{F})$ mamy

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}.$

Dowód.

Porównamy elementy na pozycji $i l$ po obu stronach równości. Dla macierzy $(AB)^{T}$ na pozycji $i l$ stoi element $\sum_{j=1}^{n}a_{lj}b_{ji}$ . Dla macierz $B^{T}A^{T}$ jest to element $\sum_{j=1}^{n}b_{ji}a_{lj}$ . ∎

Wprowadzimy jeszcze kilka pojęć związanych z macierzami kwadratowymi.

Definicja 7.6.

Macierz diagonalna

Macierz $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ nazywamy diagonalną, jeśli $a_{ij}=0$ dla $i\neq j$ . Będziemy wtedy czasem pisać $A={\rm diag}\,(a_{11},\ldots,a_{nn})$ .

Definicja 7.7.

Macierz górnie/dolnie trójkątna

Macierz $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ nazywamy górnie trójkątną, gdy $a_{ij}=0$ dla $i>j$ . Analogicznie, $A$ jest dolnie trójkątna, jeśli $a_{ij}=0$ dla $i<j$ .

Przykład 7.3.

Macierz diagonalna, górnie trójkątna i dolnie trójkątna:

\left[\begin{array}[]{ccc}{\bf a_{11}}&0&0\\ 0&{\bf a_{22}}&0\\ 0&0&{\bf a_{33}}\\ \end{array}\right]\quad\quad\left[\begin{array}[]{ccc}{\bf a_{11}}&{\bf a_{12}% }&{\bf a_{13}}\\ 0&{\bf a_{22}}&{\bf a_{23}}\\ 0&0&{\bf a_{33}}\\ \end{array}\right]\quad\quad\left[\begin{array}[]{ccc}{\bf a_{11}}&0&0\\ {\bf a_{21}}&{\bf a_{22}}&0\\ {\bf a_{31}}&{\bf a_{32}}&{\bf a_{33}}\\ \end{array}\right].

Macierze górnie trójkątne mają użyteczną charakteryzację geometryczną. Niech $e_{1},\ldots,e_{n}$ będzie bazą standardową $\mathbb{F}^{n}$ . Dla $i=1,\ldots,n$ rozważamy podprzestrzeń

$V_{i}={\rm span}\,\{e_{1},\ldots,e_{i}\}$

generowaną przez pierwszych $i$ wektorów bazowych. Bezpośrednio z definicji, wynika, że macierz $A$ jest górnie trójkątna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $i=1,\ldots,n$ podprzestrzeń $V_{i}$ jest niezmiennicza dla $A$ tzn. jeśli $v\in V_{i}$ , to $Av\in V_{i}$ . Wynika, to z faktu, że $Ae_{1},\ldots,Ae_{i}\in V_{i}$ dla każdego $i$ dokładnie wtedy, gdy $A$ jest górnie trójkątna.

Wniosek 7.6.

Macierz $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest dolnie i górnie trójkątna.

Definicja 7.8.

Ślad macierzy

Ślad ${\rm tr}\,(A)$ macierzy $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ definiujemy jako liczbę

${\rm tr}\,(A)=a_{11}+\ldots+a_{nn}$

7.3 Rząd i jądro macierzy

Rozważmy macierz $A\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ i skojarzone odwzorowanie liniowe $L_{A}(v)=Av$ dla $v\in\mathbb{F}^{n}$ . Przypomnijmy, że jeśli $v=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}=x_{1}\cdot e_{1}+\ldots+x_{n}\cdot e_{n}$ , to

	$\displaystyle L_{A}(v)$	$\displaystyle=Av$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ \vdots&&&\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\ldots&a_{kn}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{c}x_{1}a_{11}+\ldots+x_{n}a_{1n}\\ \vdots\\ x_{1}a_{k1}+\ldots+x_{n}a_{kn}\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot a_{1}+\ldots+x_{n}\cdot a_{n}.$

Wynika stąd, że obraz $L_{A}(\mathbb{F}^{n})$ jest generowany przez kolumny macierzy $A$ , czyli

L_{A}(\mathbb{F}^{n})={\rm span}\,\big{\{}a_{1},\ldots,a_{n}\big{\}}.

Definicja 7.9.

Rząd macierzy

Rząd ${\rm rank}\,A$ macierzy $A$ definiujemy jako wymiar obrazu

L_{A}(\mathbb{F}^{n})={\rm span}\,\big{\{}a_{1},\ldots,a_{n}\big{\}},

czyli ${\rm rank}\,A$ jest (maksymalną) liczbą liniowo niezależnych kolumn macierzy $A$ .

Rząd macierzy został wprowadzony w 1878 przez Georga Frobeniusa (1849–1917).

Definicja 7.10.

Jądro macierzy

Jądro ${\rm ker}\,A$ macierzy $A$ definiujemy jako jądro odwzorowania $L_{A}$ . Jest to więc zbiór takich wektorów $v\in\mathbb{F}^{n}$ , że $Av=0$ .

Jądro macierzy został wprowadzony w 1884 przez Jamesa Josepha Sylvestera (1814–1887).

Wniosek 7.7 (Formuła wymiaru dla macierzy).

Dla $A\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ mamy

$n={\rm dim}\,{\rm ker}\,A+{\rm rank}\,A.$

Wniosek 7.8.

Dla macierzy kwadratowej $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ następujące warunki są równoważne

(1)

$A$ jest nieosobliwa,
(2)

${\rm ker}\,A=\{0\}$ ,
(3)

${\rm rank}\,A=n$ .

W szczególności, macierz $A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej kolumny są liniowo niezależne.

Lemat 7.6.

Dla dowolnej macierzy $A\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy $A$ jest większa bądź równa od maksymalnej liczby liniowo niezależnych wierszy macierzy $A$ . W szczególności,

{\rm rank}\,A\geq{\rm rank}\,A^{T}.

Dowód.

Niech $1\leq r\leq k$ będzie maksymalną liczbą liniowo niezależnych wierszy macierzy $A$ . Niech $v_{1},\ldots,v_{r}$ będą takimi wierszami $A$ , że wektory $v_{1}^{T},\ldots,v_{r}^{T}$ są liniowo niezależne. Pokażemy, że $Av_{1}^{T},\ldots,Av_{r}^{T}$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że

x_{1}\cdot Av_{1}^{T}+\ldots+x_{r}\cdot Av_{r}^{T}=0,

dla pewnych skalarów $x_{i}\in\mathbb{F}$ . Wtedy dla $v=x_{1}\cdot v_{1}^{T}+\ldots+x_{r}v_{r}^{T}$ mamy

	$\displaystyle Av$	$\displaystyle=A(x_{1}\cdot v_{1}^{T}+\ldots+x_{r}\cdot v_{r}^{T})$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot Av_{1}^{T}+\ldots+x_{r}\cdot Av_{r}^{T}$
		$\displaystyle=0.$

Z definicji iloczynu $A v$ oznacza to, że $(v_{i}^{T}|v)=0$ dla $i=1,\ldots,r$ . Ponieważ $v\in{\rm span}\,\{v_{1}^{T},\ldots,v_{r}^{T}\}$ , więc $(v|v)=0$ . Stąd $v=0$ , czyli $x_{1}=\ldots=x_{r}=0$ . Oznacza to, że $Av_{1}^{T},\ldots,Av_{r}^{T}$ są liniowo niezależne. Ponieważ należą one do $L_{A}(\mathbb{F}^{n})$ , więc z definicji rzędu wynika teza. ∎

Twierdzenie 7.1 (Rząd macierzy transponowanej).

Dla dowolnej macierzy $A\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ zachodzi równość

${\rm rank}\,A={\rm rank}\,A^{T}.$

Dowód.

Stosujemy Lemat 7.6 do macierzy $A$ i $A^{T}$ . ∎

Wniosek 7.9.

Dla dowolnej macierzy $A\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy.

Przykład 7.4 (Macierze elementarne).

Wprowadzimy teraz pojęcie macierzy elementarnych. Będą to macierze nieosobliwe $M$ , które zastosowane do układu (7.1) skutkują operacjami elementarnymi na wierszach macierzy $A$ . Zrobimy to przykładowo dla $k=n=3$ .

Startujemy z macierzy identycznościowej

I=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right].

Macierze elementarne powstają z macierzy $I$ przez zastosowanie do $I$ operacji elementarnych na wierszach macierzy. Będziemy więc mieć do czynienia z trzema typami macierzy elementarnych.

Typ I. Macierze elementarne odpowiadające zamianie miejscami wierszy w macierzy $I$ . Rozważmy przykładowo macierz

E_{1}=\left[\begin{array}[]{ccc}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right]

powstałą z $I$ przez zamianę pierwszego i drugiego wiersza. Zauważmy, że dla $A\in M_{3\times 3}(\mathbb{R})$ mamy

E_{1}A=\left[\begin{array}[]{ccc}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{ccc}a_{{\bf 1}1}&a_{{\bf 1}2}&a_{{\bf 1% }3}\\ a_{{\bf 2}1}&a_{{\bf 2}2}&a_{{\bf 2}3}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{{\bf 2}1}&a_{{\bf 2}2}&a_{{\bf 2% }3}\\ a_{{\bf 1}1}&a_{{\bf 1}2}&a_{{\bf 1}3}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right].

AE_{1}=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{{\bf 1}1}&a_{{\bf 1}2}&a_{{\bf 1}3}\\ a_{{\bf 2}1}&a_{{\bf 2}2}&a_{{\bf 2}3}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{ccc}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{1{\bf 2}}&a_{1{\bf 1}}&a_{13}% \\ a_{2{\bf 2}}&a_{2{\bf 1}}&a_{23}\\ a_{3{\bf 2}}&a_{3{\bf 1}}&a_{33}\\ \end{array}\right],

czyli iloczyn $E_{1}A$ odpowiada wykonanej operacji na wierszach macierzy $I$ . Iloczyn $AE_{1}$ permutuje pierwszą i drugą kolumnę.

Typ II. Są to macierze elementarne otrzymane z $I$ przez przemnożenie jej wiersza przez niezerową liczbę rzeczywistą. Przykładowo,

E_{2}=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&3\\ \end{array}\right].

Wtedy

E_{2}A=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&{\bf 3}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ {\bf 3}a_{31}&{\bf 3}a_{32}&{\bf 3}a_{33}\\ \end{array}\right].

AE_{2}=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&{\bf 3}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{12}&a_{11}&{\bf 3}a_{13}\\ a_{22}&a_{21}&{\bf 3}a_{23}\\ a_{32}&a_{31}&{\bf 3}a_{33}\\ \end{array}\right].

Typ III. Macierze elementarne powstałe z $I$ przez dodanie do pewnego jej wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę rzeczywistą. Dla przykładu,

E_{3}=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&3\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right].

Mamy

E_{3}A=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&{\bf 3}\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}+{\bf 3}a_{31}&a_{12}+{\bf 3% }a_{32}&a_{13}+{\bf 3}a_{33}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right].

AE_{3}=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&{\bf 3}\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{12}&a_{11}&{\bf 3}a_{11}+a_{13% }\\ a_{22}&a_{21}&{\bf 3}a_{21}+a_{23}\\ a_{32}&a_{31}&{\bf 3}a_{31}+a_{33}\\ \end{array}\right].

Wniosek 7.10.

Jeśli $E$ jest macierzą elementarną, to $E$ jest nieosobliwa i $E^{-1}$ jest macierzą elementarną tego samego typu.

Definicja 7.11.

Macierze wierszowo równoważne

Niech $A$ , $B\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ . Powiemy, że $A$ jest wierszowo równoważna z $B$ , jeśli istnieje taki ciąg macierzy elementarnych $E_{1},E_{2},\ldots,E_{k}$ , że

$B=E_{k}\ldots E_{1}A$

Jest to relacja równoważności w zbiorze $M_{k\times n}(\mathbb{F})$ .

Wniosek 7.11.

Jeśli $A$ , $B\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ są wierszowo równoważne, to ${\rm rank}\,A={\rm rank}\,B$ .

Wniosek 7.12.

Macierz $A\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ jest wierszowo równoważna ze swoją postacią schodkową i zredukowaną postacią schodkową otrzymanymi metodą eliminacji Gaussa.

Wniosek 7.13.

Niech $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ będzie macierzą kwadratową. Następujące warunki są równoważne:

(1)

$A$ jest nieosobliwa,
(2)

$A$ jest wierszowo równoważna z macierzą identycznościową.

Dowód.

Załóżmy, że zachodzi warunek (1). Wtedy układ $Ax=0$ ma tylko zerowe rozwiązanie. Stosując metodę eliminacji Gaussa możemy sprowadzić macierz $A$ do postaci schodkowej $U$ . Oczywiście, $U$ jest wierszowo równoważna z $A$ . Jeśli któryś z elementów diagonalnych $U$ jest zerem, to ostatni wiersz macierzy $U$ jest zerowy. Wtedy ${\rm ker}\,U\neq\{0\}$ , więc $Ux=0$ ma niezerowe rozwiązania. Otrzymujemy sprzeczność, bo $Ax=0$ i $Ux=0$ mają takie same zbiory rozwiązań. Macierz $U$ jest więc macierzą górnie trójkątną ze wszystkimi elementami na przekątnej równymi $1$ . Taka macierz jest oczywiście wierszowo równoważna z macierzą $I$ , bo $I$ jest jej zredukowaną postacią schodkową.

Jeśli zachodzi warunek (2), to istnieje taki ciąg macierzy elementarnych $E_{1},E_{2},\ldots,E_{k}$ , że

I=E_{k}\ldots E_{1}A.

Stąd $A^{-1}=E_{k}\ldots E_{1}$ . ∎

W dowodzie powyższym skorzystaliśmy z następującego faktu: jeśli $A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ są macierzami kwadratowymi i $BA=I$ , to $A$ jest nieosobliwa i $A^{-1}=B$ . Musimy tu być trochę ostrożni. Jak wiemy mnożenie macierzy nie jest przemienne. Potencjalnie mogłoby się więc zdarzyć, że $AB\neq I$ . Pokażemy, że jednak $AB=I$ . Uzasadnimy najpierw, że $A$ jest nieosobliwa. Wystarczy pokazać, że ${\rm ker}\,A=\{0\}$ . Jeśli $v\in{\rm ker}\,A$ , to

$v=Iv=BAv=B0=0,$

więc $v=0$ . Istnieje więc macierz odwrotna $A^{-1}$ . Wtedy

$BA=I\Rightarrow(BA)A^{-1}=A^{-1}\Rightarrow B=B(AA^{-1})=A^{-1}.$

Jak wiemy, macierz $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest wierszowo równoważna z $I$ . Ponadto, $A^{-1}=E_{k}\ldots E_{1}$ dla pewnych macierzy elementarnych. Wynika stąd, że macierz $\left[\begin{array}[]{c|c}A&I\\ \end{array}\right]$ możemy z pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci $\left[\begin{array}[]{c|c}I&A^{-1}\\ \end{array}\right]$ . Pozwala to na wyznaczenie macierzy odwrotnej $A^{-1}$ .

Przykład 7.5.

Znajdziemy macierz odwrotną do macierzy

\left[\begin{array}[]{ccc}1&4&3\\ -1&-2&0\\ 2&2&3\\ \end{array}\right]

wykorzystując elementarne operacje na jej wierszach. Tworzymy macierz $\left[\begin{array}[]{c|c}A&I\\ \end{array}\right]$ . Jeżeli przekształcimy ją w macierz $\left[\begin{array}[]{c|c}I&B\\ \end{array}\right]$ , to wtedy $B=A^{-1}$ . W naszym przypadku

	$\displaystyle\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&4&3&1&0&0\\ -1&-2&0&0&1&0\\ 2&2&3&0&0&1\\ \end{array}\right]$	$\displaystyle\dashrightarrow\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&4&3&1&0&0\\ 0&2&3&1&1&0\\ 0&-6&-3&-2&0&1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle\dashrightarrow\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&4&3&1&0&0\\ 0&2&3&1&1&0\\ 0&0&6&1&3&1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle\dashrightarrow\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&4&0&\frac{1}{2}&-% \frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\ 0&2&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 0&0&6&1&3&1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle\dashrightarrow\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&0&0&-\frac{1}{2}&-% \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&2&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 0&0&6&1&3&1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle\dashrightarrow\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&0&0&-\frac{1}{2}&-% \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&1&0&\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\ 0&0&1&\frac{1}{6}&\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\ \end{array}\right]$

więc

A^{-1}=\left[\begin{array}[]{ccc}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\ \end{array}\right].

Rysunek 7.3: Przykładowy graf o pięciu wierzchołkach.

Przykład 7.6 (Macierze i grafy).

Teoria grafów pełni bardzo ważną rolę dla zastosowań matematyki. Graf $G$ jest zdefiniowany jako skończony zbiór wierzchołków, czyli pewien $n$ -elementowy zbiór skończony $\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ oraz zbiór krawędzi, czyli pewien zbiór par wierzchołków. Przykładowo, na Rys. (7.3) przedstawiono graf o pięciu wierzchołkach $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}$ oraz krawędziach

\{v_{1},v_{2}\},\quad\{v_{2},v_{5}\},\quad\{v_{3},v_{4}\},\quad\{v_{3},v_{5}\}% ,\quad\{v_{4},v_{5}\}.

Z grafem $G$ o $n$ wierzchołkach możemy skojarzyć pewną macierz $A=[a_{ij}]\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ , zwaną macierzą połączeń w grafie $G$ . Jest ona zdefiniowana regułą:

a_{ij}=\left\{\begin{array}[]{ll}1,&\hbox{gdy $\{v_{i},v_{j}\}$ jest krawędzią% ,}\\ 0,&\hbox{w przeciwnym razie.}\\ \end{array}\right.

Dla grafu z Rys. (7.3) mamy

A=\left[\begin{array}[]{ccccc}0&1&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 0&0&0&1&1\\ 0&0&1&0&1\\ 0&1&1&1&0\\ \end{array}\right].

Możemy myśleć o ścieżce w grafie $G$ jako o skończonym ciągu krawędzi od jednego wierzchołka do drugiego. Przykładowo, krawędzie $\{v_{1},v_{2}\}$ , $\{v_{2},v_{5}\}$ są pewną ścieżką od wierzchołka $v_{1}$ do $v_{5}$ . Prostym sposobem określenia ścieżki jest jest opisanie ruchu używając wierzchołków. Powyższa ścieżka ma opis

v_{1}\rightarrow v_{2}\rightarrow v_{5}

i ma długość $2$ . Podobnie,

v_{5}\rightarrow v_{3}\rightarrow v_{5}\rightarrow v_{3}

jest ścieżką długości $3$ z $v_{5}$ do $v_{3}$ .

Niech $A^{k}=[a^{(k)}_{ij}]\in M_{n\times n}$ . Uzasadnimy, że $a^{(k)}_{ij}$ jest liczbą ścieżek długości $k$ z wierzchołka $v_{i}$ do wierzchołka $v_{j}$ . Zastosujemy indukcję względem $k$ . Dla $k=1$ teza zachodzi z definicji macierzy $A$ . Załóżmy, że teza zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $m$ , czyli $a^{(m)}_{il}$ jest liczbą ścieżek długości $m$ z wierzchołka $v_{i}$ do wierzchołka $v_{l}$ . Jeśli istnieje krawędź $\{v_{l},v_{j}\}$ , to $a_{il}^{(m)}a_{lj}=a_{il}^{(m)}$ jest liczbą ścieżek długości $m+1$ z $v_{i}$ do $v_{j}$ postaci

v_{1}\rightarrow\ldots\rightarrow v_{l}\rightarrow v_{j}.

Ogólna liczba ścieżek długości $m+1$ z $v_{i}$ do $v_{j}$ jest równa,

a_{i1}^{(m)}a_{1j}+\ldots+a_{in}^{(m)}a_{nj},

ale ta liczba to $a_{ij}^{(m+1)}$ z definicji iloczynu macierzy.

W przypadku grafu z Rys. 7.3 mamy

A^{3}=\left[\begin{array}[]{ccccc}0&2&1&1&0\\ 2&0&1&1&4\\ 1&1&2&3&4\\ 1&1&3&2&4\\ 0&4&4&4&2\\ \end{array}\right].

Przykładowo, liczba ścieżek długości $3$ z $v_{3}$ do $v_{5}$ jest więc równa $a^{(3)}_{35}=4$ . Zauważmy, że macierz $A^{3}$ (podobnie jak $A^{k}$ ) jest symetryczna. Odzwierciedla to fakt, że liczba ścieżek długości $3$ z $v_{i}$ do $v_{j}$ jest równa liczbie ścieżek długości $3$ z $v_{j}$ do $v_{i}$ .

Powyższe rozważania pozostają prawdziwe dla grafów skierowanych w których krawędzie mają kierunek. Oznacza to, że może istnieć krawędź z wierzchołka $v_{i}$ do $v_{j}$ , ale nie koniecznie również z $v_{j}$ do $v_{i}$ . Macierz $A$ nie musi być wtedy symetryczna.

Rysunek 7.4: Graf skierowany opisujący zwycięstwa drużyn w turnieju.

Przykład 7.7.

Pięć reprezentacji siatkarskich: Polska, Brazylia, Stany Zjednoczone, Rosja i Włochy rozgrywają turniej grając mecze każdy z każdym. Chcemy ustalić ranking drużyn w którym liczą się tylko zwycięstwa – nieważne jakim stosunkiem setów. Tworzymy macierz $A$ w której wierszach kodujemy wyniki kolejnych reprezentacji: piszemy $1$ jeśli reprezentacja wygrała mecz i $0$ jeśli nie wygrała (na przekątnej są zera, bo reprezentacje nie grają ze sobą). Załóżmy, że $A$ ma postać

A=\left[\begin{array}[]{ccccc}0&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ \end{array}\right]

Jest to macierz skojarzona z grafem skierowanym, którego wierzchołkami jest pięć reprezentacji, a krawędzie są zadane zwycięstwami. Przykładowo, z wierzchołka Polska wychodzą krawędzie do wierzchołków Brazylia, Rosja i Włochy. Z kolei, Polska jest końcem krawędzi o początku w wierzchołku Stany Zjednoczone. Przykładowo, pierwszy wiersz oznacza, że Polska wygrała z Brazylią, Rosją i Włochami, a przegrała ze Stanami Zjednoczonymi. Rosja (czwarty wiersz) wygrała tylko z Włochami. Liczbę zwycięstw poszczególnych drużyn otrzymujemy obliczając

\left[\begin{array}[]{ccccc}0&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}3\\ 3\\ 2\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right].

Oznacza to, że najlepsze w takim rankingu są Polska i Brazylia z trzema zwycięstwami. Następne są Stany Zjednoczone, a ostanie są Rosja i Włochy z jednym zwycięstwem.

Zauważmy, że Polska może argumentować, że jest najlepszą drużyną bo wygrała z Brazylią. Rosja wygrała z Włochami, ale Włochy mogą powiedzieć, że pokonali Stany Zjednoczone, które wygrały z Polską i Rosją. Włochy mają dwa ,,niebezpośrednie’’ zwycięstwa. Spróbujmy więc policzyć zwycięstwa reprezentacji łącznie z ich ,,niebezpośrednimi’’ zwycięstwami. Odpowiada to sumie

\left[\begin{array}[]{ccccc}0&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{ccccc}0&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ \end{array}\right]^{2}\left[\begin{array}[]{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right]=

\left[\begin{array}[]{ccccc}0&1&2&2&3\\ 1&0&2&2&2\\ 1&1&0&2&2\\ 0&0&1&0&1\\ 1&0&1&1&0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}8\\ 7\\ 6\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right].

Rysunek 7.5: Łańcuch Markowa.

Przykład 7.8 (Łańcuchy Markowa).

W badaniach preferencji rynkowych dotyczących dwóch marek pasty do zębów $A$ i $B$ bierze udział $200$ osób. Z badań wynika, że każdego miesiąca $70$ procent użytkowników marki $A$ używa jej w następnym miesiącu, a $30$ procent dokonuje zmiany na markę $B$ . Wśród użytkowników marki $B$ te proporcje są odpowiednio równe $80$ i $20$ procent. Załóżmy, że na początku było $120$ użytkowników marki $A$ i $80$ marki $B$ . Zbadamy jak wiele osób będzie używać poszczególnych marek w kolejnych miesiącach. Po miesiącu marki $A$ będzie używać

0.7\cdot 120+0.2\cdot 80=100

osób, a marki $B$

0.3\cdot 120+0.8\cdot 80=100

osób. Rozważmy macierz

A=\left[\begin{array}[]{cc}0.7&0.2\\ 0.3&0.8\\ \end{array}\right].

Wtedy

\left[\begin{array}[]{cc}0.7&0.2\\ 0.3&0.8\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}120\\ 80\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}100\\ 100\\ \end{array}\right].

Po $n$ miesiącach liczbę osób otrzymujemy jako wektor

\left[\begin{array}[]{cc}0.7&0.2\\ 0.3&0.8\\ \end{array}\right]^{n}\left[\begin{array}[]{c}120\\ 80\\ \end{array}\right].

Czasami wygodniej zamiast posługiwania się liczbą użytkowników marek $120$ i $80$ wygodniej jest użyć ich procentowego udziału, czyli zamiast wektora $[120,80]^{T}$ używamy wtedy wektora $[0.6,0.4]^{T}$ . Wtedy

\left[\begin{array}[]{cc}0.7&0.2\\ 0.3&0.8\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}0.6\\ 0.4\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}0.5\\ 0.5\\ \end{array}\right],

\left[\begin{array}[]{cc}0.7&0.2\\ 0.3&0.8\\ \end{array}\right]^{2}\left[\begin{array}[]{c}0.6\\ 0.4\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}0.7&0.2\\ 0.3&0.8\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}0.5\\ 0.5\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}0.45\\ 0.55\\ \end{array}\right].

Przykład 7.9 (Macierze Leslie’go).

Pewien gatunek żuka żyje co najwyżej $3$ lata. Podzielimy populację jego samic na trzy grupy:

•

młode: wiek $0-1$ ,
•

dojrzałe: wiek $1-2$ ,
•

dorosłe: wiek $2-3$ .

Młode z prawdopodobieństwem $1/2$ staną się dojrzałe, dojrzałe z prawdopodobieństwem $1/4$ staną się dorosłymi. Młode nie znoszą jajek, dojrzałe produkują średnio $4$ samice, a dorosłe średnio $3$ samice. Przypuśćmy, że wśród populacji $100$ samic jest $40$ młodych, $40$ dojrzałych, $20$ dorosłych. Spróbujemy przewidzieć populację po $3$ latach. Zobaczmy jak populacja będzie wyglądała po roku. Młodych będzie

40\cdot 4+20\cdot 3=220.

Dojrzałych będzie tyle ile młodych, które przetrwały, czyli

40\cdot 0.5=20,

a dorosłych tyle ile dojrzałych które przetrwały, czyli

40\cdot 0.25=10.

Rozważmy macierz

L=\left[\begin{array}[]{ccc}0&4&3\\ 0.5&0&0\\ 0&0.25&0\\ \end{array}\right]

Zauważmy, że

\left[\begin{array}[]{ccc}0&4&3\\ 0.5&0&0\\ 0&0.25&0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}40\\ 40\\ 20\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}220\\ 20\\ 10\\ \end{array}\right]

Możemy ten proces iterować otrzymując po dwóch latach

\left[\begin{array}[]{ccc}0&4&3\\ 0.5&0&0\\ 0&0.25&0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}220\\ 20\\ 10\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}110\\ 110\\ 5\\ \end{array}\right],

po trzech latach

\left[\begin{array}[]{ccc}0&4&3\\ 0.5&0&0\\ 0&0.25&0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}110\\ 110\\ 5\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}455\\ 55\\ 27.5\\ \end{array}\right].

Oceń prawdziwość zadań
- –
  
  Jeśli macierze $A,B\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ są nieosobliwe, to macierz $A+B$ jest nieosobliwa i $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ .
- –
  
  Dla dowolnych $A,B\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ zachodzi równość $(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$ .
- –
  
  Jeśli $D_{1},D_{2}\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ są macierzami diagonalnymi, to $D_{1}D_{2}=D_{2}D_{1}$ .
- –
  
  Jeśli $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ i $B=3A^{4}-5A^{3}+A^{2}+7A+I$ , to $AB=BA$ .
- –
  
  Jeśli $A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ są symetryczne, to $AB=BA$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A B$ jest symetryczna.
- –
  
  Jeśli $A=[a_{ij}]\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ jest skośnie symetryczna, to $a_{11}=\ldots=a_{nn}=0$ .
- –
  
  Iloczyn macierzy górnie trójkątnych jest macierzą górnie trójkątną.
- –
  
  Macierz górnie trójkątna jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wyrazy diagonalne $a_{ii}$ są niezerowe.
- –
  
  Jeśli $A, B, C$ są takimi $2\times 2$ -macierzami, że $AB=AC$ , to $B=C$ .

$\longleftarrow$

7.4 Układy równań liniowych raz jeszcze

Wniosek 7.14.

Niech $A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a_{1}&\ldots&a_{n}\\ \end{array}\right]\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ i $b\in\mathbb{F}^{k}$ . Następujące warunki są równoważne:

(i)

zbiór rozwiązań układu $Ax=b$ jest niepusty,
(ii)

$b\in{\rm span}\,\{a_{1},\ldots,a_{n}\}$ ,
(iii)

${\rm rank}\,A={\rm rank}\,\left[\begin{array}[]{c|c}A&b\\ \end{array}\right]$ .

Wniosek 7.15.

Niech $A\in M_{k\times n}(\mathbb{R})$ . Wektor zerowy $0\in\mathbb{F}^{n}$ jest jedynym rozwiązaniem układu jednorodnego $Ax=0\in\mathbb{F}^{k}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wektory $a_{1},\ldots,a_{n}$ są liniowo niezależne. Wtedy ${\rm rank}\,(A)=n$ oraz $k\geq n$ .

Twierdzenie 7.2.

Niech $A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a_{1}&\ldots&a_{n}\\ \end{array}\right]\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ . Następujące warunki są równoważne:

(i)

Dla każdego wektora $b\in\mathbb{F}^{k}$ układ $Ax=b$ ma dokładnie jedno rozwiązanie $x\in\mathbb{F}^{n}$ ,
(ii)

$k=n$ i macierz $A$ jest nieosobliwa.

Dowód.

Załóżmy najpierw, że zachodzi warunek (ii). Ustalmy wektor $b\in\mathbb{F}^{k}=\mathbb{F}^{n}$ . Mamy pokazać, że istnieje dokładnie jeden taki wektor $x\in\mathbb{F}^{n}$ , że $Ax=b$ . Z warunku (ii) istnieje $A^{-1}\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ . Wtedy dla $x=A^{-1}b$ mamy

Ax=AA^{-1}b=Ib=b,

czyli wektor $x=A^{-1}b$ jest rozwiązaniem układu $Ax=b$ . Takie rozwiązanie jest jedyne, bo jeśli $Av=b$ , to

A^{-1}Av=A^{-1}b\Rightarrow v=A^{-1}b.

Niech teraz zachodzi warunek (i). Wystarczy pokazać, że wektory $a_{1},\ldots,a_{n}$ są bazą $\mathbb{F}^{k}$ . Zauważmy, że warunek (i) implkuje, że

{\rm span}\,\big{\{}a_{1},\ldots,a_{n}\big{\}}=\mathbb{F}^{k}.

Z drugiej strony, stosując (i) do wektora $b=0\in\mathbb{F}^{k}$ otrzymujemy, że wektory $a_{1},\ldots,a_{n}$ są liniowo niezależne. Stąd $a_{1},\ldots,a_{n}$ tworzą bazę $\mathbb{F}^{k}$ , czyli $k=n$ . ∎

Dla $A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a_{1}&\ldots&a_{n}\\ \end{array}\right]\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ i $b\in\mathbb{F}^{k}$ rozważmy ponownie układ

$Ax=b.$ (7.1)

Dla macierzy nieosobliwej $M\in M_{k\times k}(\mathbb{F})$ rozważmy układ

$MAx=Mb.$ (7.2)

Sprawdzamy łatwo, że układy (7.1) i (7.2) są równoważne tzn. mają równe zbiory rozwiązań. Zamiast więc rozwiązywać układ (7.1) możemy rozwiązać układ (7.2), który przy odpowiednim wyborze macierzy nieosobliwej $M$ może okazać się układem prostszym do analizy.

7.5 Zmiana bazy

Rysunek 7.6: Zmiana bazy. Baza

w_{1}=[2,1]^{T}

w_{2}=[1,4]^{T}

zadaje nowy układ współrzędnych na płaszczyźnie. Wektor

x=[7,7]^{T}

ma w bazie standardowej współrzędne

x_{1}=7

x_{2}=7

, bo

w=7\cdot e_{1}+7\cdot e_{2}

. W bazie

w_{1}

w_{2}

wektor

w

ma współrzędne

c_{1}=3

c_{2}=1

, bo

w=3\cdot w_{1}+1\cdot w_{2}

7.5.1 Zmiana bazy w $\mathbb{F}^{2}$

Dla dowolnego wektora $x=[x_{1},x_{2}]^{T}\in\mathbb{F}^{2}$ zachodzi równość

x=x_{1}\cdot e_{1}+x_{2}\cdot e_{2},

gdzie $e_{1},e_{2}$ jest bazą standardową. Skalary $x_{1}$ i $x_{2}$ nazywamy współrzędnymi wektora $x$ w bazie standardowej. Możemy to pojęcie uogólnić. Załóżmy, że $w_{1}$ , $w_{2}$ jest ustaloną bazą $\mathbb{F}^{2}$ . Dla dowolnego wektora $w\in\mathbb{F}^{2}$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $c_{1},c_{2}\in\mathbb{F}$ , że

w=c_{1}\cdot w_{1}+c_{2}\cdot w_{2}.

Wektor $c=[c_{1},c_{2}]^{T}\in\mathbb{F}^{2}$ będziemy nazywali współrzędnymi wektora $w$ w bazie $w_{1}$ , $w_{2}$ .

Zwróćcie uwagę, że mówiąc o bazie $w_{1}$ , $w_{2}$ mamy tu na myśli bazę uporządkowaną tzn. ciąg wektorów $(w_{1},w_{2})$ . Podając wektor współrzędnych w bazie $c=[c_{1},c_{2}]^{T}$ istotne jest który wektor bazowy jest pierwszy, a który drugi.

Przykład 7.10.

Rozważmy bazę $w_{1}=[2,1]^{T}$ , $w_{2}=[1,4]^{T}$ w $\mathbb{R}^{2}$ . Łatwo sprawdzamy, że dla wektora $w=[7,7]^{T}$ mamy

w=3\cdot w_{1}+1\cdot w_{2}.

Współrzędne wektora $w=[7,7]^{T}$ w bazie $w_{1},w_{2}$ są dane wektorem $c=[3,1]^{T}$ .

Niech $w_{1}$ , $w_{2}$ będzie dowolną bazą $\mathbb{F}^{2}$ . Zajmiemy się teraz następującymi problemami:

(I) Dla danego wektora

x=[x_{1},x_{2}]^{T}=x_{1}\cdot e_{1}+x_{2}\cdot e_{2}

(znamy jego współrzędne w bazie standardowej

e_{1}

e_{2}

) znajdziemy jego współrzędne

c=[c_{1},c_{2}]^{T}

w bazie

w_{1}

w_{2}

. (II) Dla danego wektora

c_{1}\cdot w_{1}+c_{2}\cdot w_{2}

(znamy jego współrzędne w bazie

w_{1}

w_{2}

) znajdziemy jego współrzędne

x=[x_{1},x_{2}]^{T}

w bazie

e_{1}

e_{2}

Zaczniemy od problemu (II) bo jest on łatwiejszy. Załóżmy, że

w_{1}=[a_{11},a_{21}]^{T}=a_{11}\cdot e_{1}+a_{21}\cdot e_{2},\quad w_{2}=[a_{% 12},a_{22}]^{T}=a_{12}\cdot e_{1}+a_{22}\cdot e_{2}.

Znamy więc współrzędne wektorów bazowych $w_{1}$ , $w_{2}$ w bazie $e_{1}$ , $e_{2}$ . Zauważmy, że

	$\displaystyle c_{1}\cdot w_{1}+c_{2}\cdot w_{2}$	$\displaystyle=(a_{11}c_{1}\cdot e_{1}+a_{21}c_{1}\cdot e_{2})+(a_{12}c_{2}% \cdot e_{1}+a_{22}c_{2}\cdot e_{2})$
		$\displaystyle=(a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2})\cdot e_{1}+(a_{21}c_{1}+a_{22}c_{2})% \cdot e_{2}.$
Wynika stąd, że współrzędne wektora $c_{1}\cdot w_{1}+c_{2}\cdot w_{2}$ w bazie standardowej $e_{1}$ , $e_{2}$ są dane wektorem
	$\displaystyle x$	$\displaystyle=[a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2},a_{21}c_{1}+a_{22}c_{2}]^{T}$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{c}a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2}\\ a_{21}c_{1}+a_{22}c_{2}\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}c_{1}\\ c_{2}\\ \end{array}\right].$

Prowadzi nas to do następującej konkluzji. Jeśli $c=[c_{1},c_{2}]^{T}$ są współrzędnymi wektora $w$ w bazie $w_{1}$ , $w_{2}$ oraz $x=[x_{1},x_{2}]^{T}$ są współrzędnymi wektora $w$ w bazie $e_{1}$ , $e_{2}$ , to

x=Wc,\quad{\rm gdzie}\quad W=\left[\begin{array}[]{c|c}w_{1}&w_{2}\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{F}).

Definicja 7.12.

Macierz przejścia do bazy standardowej

Macierz $W=\left[\begin{array}[]{c|c}w_{1}&w_{2}\\ \end{array}\right]$ nazywamy macierzą przejścia od bazy $w_{1},w_{2}$ do bazy standardowej $e_{1},e_{2}$ .

Możemy teraz łatwo rozwiązać problem (I). Ponieważ macierz $W=\left[\begin{array}[]{c|c}w_{1}&w_{2}\\ \end{array}\right]$ jest nieosobliwa, więc

c=W^{-1}x.

Przypuśćmy teraz, że mamy dwie dowolne bazy $w_{1},w_{2}$ oraz $u_{1},u_{2}$ w $\mathbb{F}^{2}$ . Rozważmy wektor

w=c_{1}\cdot w_{1}+c_{2}\cdot w_{2}=c_{1}^{*}\cdot u_{1}+c_{2}^{*}\cdot u_{2}.

Znajdziemy związek pomiędzy współrzędnymi $c=[c_{1},c_{2}]^{T}$ wektora $w$ w bazie $w_{1},w_{2}$ , a jego współrzędnymi $c^{*}=[c_{1}^{*},c_{2}^{*}]^{T}$ w bazie $u_{1},u_{2}$ . Niech $[x_{1},x_{2}]^{T}$ będą współrzędnymi wektora $w$ w bazie standardowej, czyli $w=x_{1}\cdot e_{1}+x_{2}\cdot e_{2}$ . Jak wiemy dla macierzy $W=\left[\begin{array}[]{c|c}w_{1}&w_{2}\\ \end{array}\right]$ oraz $U=\left[\begin{array}[]{c|c}u_{1}&u_{2}\\ \end{array}\right]$ mamy

Wc=[x_{1},x_{2}]^{T}=Uc^{*}.

Stąd

c=W^{-1}Uc^{*},\quad c^{*}=U^{-1}Wc.

Macierz $S:=U^{-1}W$ możemy zinterpretować jeszcze inaczej. Niech $S=\left[\begin{array}[]{c|c}s_{1}&s_{2}\\ \end{array}\right]$ . Zobaczymy jak wyglądają kolumny $s_{1}$ i $s_{2}$ macierzy $S$ . Oczywiście

s_{1}=Se_{1},\quad s_{2}=Se_{2}.

Dla wektora $w=w_{1}$ mamy $c=e_{1}$ , bo $w_{1}=1\cdot w_{1}+0\cdot w_{2}$ , czyli $s_{1}=c^{*}$ są współrzędnymi wektora $w_{1}$ w bazie $u_{1},u_{2}$ , więc

w_{1}=s_{11}\cdot u_{1}+s_{21}\cdot u_{2}.

Analogicznie, $w_{2}=s_{12}\cdot u_{1}+s_{22}\cdot u_{2}$ , czyli

S=U^{-1}W=\left[\begin{array}[]{cc}s_{11}&s_{12}\\ s_{21}&s_{22}\\ \end{array}\right].

Nazywamy ją macierzą przejścia od bazy $w_{1},w_{2}$ do bazy $u_{1},u_{2}$ .

7.5.2 Zmiana bazy w $\mathbb{F}^{n}$

Definicja 7.13.

Współrzędne wektora w bazie

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową wymiaru $n$ (nad ciałem $\mathbb{F}$ ) i $w_{1},\ldots,w_{n}$ pewną bazą w $V$ . Dowolny wektor $w\in V$ możemy jednoznacznie zapisać jako kombinację liniową

w=c_{1}\cdot w_{1}+\ldots+c_{n}\cdot w_{n}.

Wektor $c=[c_{1},\ldots,c_{n}]^{T}\in\mathbb{F}^{n}$ nazywamy współrzędnymi wektora $w$ w bazie (uporządkowanej) $w_{1},\ldots,w_{n}$ .

Definicja 7.14.

Macierz przejścia - zmiana bazy

Niech $w_{1},\ldots,w_{n}$ oraz $u_{1},\ldots,u_{n}$ będą bazami $V$ . Istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $s_{ij}$ , że

	$\displaystyle w_{1}$	$\displaystyle=s_{11}\cdot u_{1}+s_{21}\cdot u_{2}+\ldots+s_{n1}\cdot u_{n},$
		$\displaystyle\vdots$
	$\displaystyle w_{n}$	$\displaystyle=s_{1n}\cdot u_{1}+s_{2n}\cdot u_{2}+\ldots+s_{nn}\cdot u_{n}.$

Macierz $S\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ daną przez

S=\left[\begin{array}[]{c|c|c}s_{1}&\ldots&s_{n}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cccc}s_{11}&s_{12}&\ldots&s_{1n}\\ s_{21}&s_{22}&\ldots&s_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ s_{n1}&s_{n2}&\ldots&s_{nn}\\ \end{array}\right]

nazywamy macierzą przejścia od bazy $w_{1},\ldots,w_{n}$ do bazy $u_{1},\ldots,u_{n}$ . Oznacza to, że $i$ -ta kolumna $s_{i}$ macierzy $S$ jest wektorem współrzędnych wektora $w_{i}$ w bazie $u_{1},\ldots,u_{n}$ .

Lemat 7.7.

Niech $c=[c_{1},\ldots,c_{n}]^{T},c^{*}=[c_{1}^{*},\ldots,c_{n}^{*}]^{T}\in\mathbb{F}% ^{n}$ . Równość

c_{1}\cdot w_{1}+\ldots+c_{n}\cdot w_{n}=c_{1}^{*}\cdot u_{1}+\ldots+c_{n}^{*}% \cdot u_{n}

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $c^{*}=Sc$ .

Dowód.

Zauważmy, że

c_{1}\cdot w_{1}+\ldots+c_{n}\cdot w_{n}=\left(\sum_{j=1}^{n}s_{1j}c_{j}\right% )\cdot u_{1}+\ldots+\left(\sum_{j=1}^{n}s_{nj}c_{j}\right)\cdot u_{n},

więc teza zachodzi. ∎

Wniosek 7.16.

Macierz przejścia $S\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ jest nieosobliwa.

Dowód.

Wystarczy pokazać, że jedynym rozwiązaniem $Sc=0$ jest $c=0$ . Jeśli $Sc=0$ , to $c^{*}=0$ , czyli

c_{1}\cdot w_{1}+\ldots+c_{n}\cdot w_{n}=0\cdot u_{1}+\ldots+0\cdot u_{n}=0,

więc $c_{1}=\ldots=c_{n}=0$ , bo $w_{1},\ldots,w_{n}$ są liniowo niezależne. ∎

Przykład 7.11.

Znajdziemy macierz przejścia od bazy $1$ , $x$ , $x^{2}$ dla $P_{2}$ do bazy $1$ , $2x$ , $4x^{2}-2$ . Wygodnie jest znaleźć najpierw macierz przejścia $S$ od bazy $1$ , $2x$ , $4x^{2}-2$ do bazy $1$ , $x$ , $x^{2}$ . Ponieważ

	$\displaystyle 1$	$\displaystyle=1\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^{2}$
	$\displaystyle 2\cdot x$	$\displaystyle=0\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^{2}$
	$\displaystyle 4\cdot x^{2}$	$\displaystyle=-2\cdot 1+0\cdot x+4\cdot x^{2}$

więc

S=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&-2\\ 0&2&0\\ 0&0&4\\ \end{array}\right].

Macierz przejścia od bazy $1$ , $x$ , $x^{2}$ dla $P_{2}$ do bazy $1$ , $2\cdot x$ , $4\cdot x^{2}-2$ jest równa

S^{-1}=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&1/2\\ 0&1/2&0\\ 0&0&1/4\\ \end{array}\right].

ZMIANA BAZY: OD DOWOLNEJ DO STANDARDOWEJ Niech

v_{1},\ldots,v_{n}

będzie bazą

\mathbb{F}^{n}

S=\left[\begin{array}[]{c|c|c}v_{1}&\ldots&v_{n}\\ \end{array}\right]

jest nieosobliwa. Jeśli

v=x_{1}\cdot e_{1}+\ldots+x_{n}\cdot e_{n}=c_{1}\cdot v_{1}+\ldots+c_{n}\cdot v% _{n},

S[c_{1},\ldots,c_{n}]^{T}=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T},\quad[c_{1},\ldots,c_{n}]^{% T}=S^{-1}[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}.

ZMIANA BAZY. PODSUMOWANIE Niech

v_{1},\ldots,v_{n}

oraz

w_{1},\ldots,w_{n}

będą bazami

\mathbb{F}^{n}

v_{i}=s_{1i}\cdot w_{1}+\ldots+s_{ni}\cdot w_{n},\quad i=1,\ldots,n.

Macierz

S=\left[\begin{array}[]{c|c|c}s_{1}&\ldots&s_{n}\\ \end{array}\right],\quad s_{i}=[s_{1i},\ldots,s_{ni}]^{T}

jest nieosobliwa. Jeśli

v=x_{1}\cdot w_{1}+\ldots+x_{n}\cdot w_{n}=c_{1}\cdot v_{1}+\ldots+c_{n}\cdot v% _{n},

S[c_{1},\ldots,c_{n}]^{T}=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}.

Oceń które ze zdań jest prawdziwe:
- –
  
  Transpozycja macierzy górnie trójkątnej jest macierzą górnie trójkątną.
- –
  
  Odwrotność nieosobliwej macierzy górnie trójkątnej jest macierzą dolnie trójkątną.
- –
  
  Macierz górnie trójkątna i symetryczna jest diagonalna.
- –
  
  Jeśli $A+B$ jest górnie trójkątna, to $A$ i $B$ są górnie trójkątne.
- –
  
  Jeśli $A^{2}$ jest symetryczna, to $A$ jest symetryczna.
- –
  
  Jeśli $A$ jest nieosobliwa, to $A^{T}A$ i $AA^{T}$ są nieosobliwe.
- –
  
  Jeśli $A$ , $B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ są nieosobliwe, to $A B$ jest nieosobliwa.
- –
  
  Jeśli $A$ , $B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ są nieosobliwe, to $A+B$ jest nieosobliwa.
- –
  
  Dla dowolnych $n\times n$ macierzy kwadratowych zachodzi $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ .
- –
  
  Dla dowolnej macierzy kwadratowej $I-A^{2}=(I-A)(I+A)$ .
- –
  
  Istnieją takie macierze nieosobliwe, że $(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$ .
- –
  
  Istnieje taka macierz $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ , że ${\rm ker}\,A={\rm im}\,A$ .
- –
  
  Istnieje taka macierz $A\in M_{3\times 3}(\mathbb{R})$ , że ${\rm ker}\,A={\rm im}\,A$ .

$\longleftarrow$

	$\displaystyle(Ax\|y)$	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}(Ae_{i}\|e_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}(a_{i}\|e_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}a_{ji}$
oraz
	$\displaystyle(x\|By)$	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}(e_{i}\|Be_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}(e_{i}\|b_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}b_{ij}.$

	$\displaystyle\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&4&3&1&0&0\\ -1&-2&0&0&1&0\\ 2&2&3&0&0&1\\ \end{array}\right]$	$\displaystyle\dashrightarrow\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&4&3&1&0&0\\ 0&2&3&1&1&0\\ 0&-6&-3&-2&0&1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle\dashrightarrow\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&4&3&1&0&0\\ 0&2&3&1&1&0\\ 0&0&6&1&3&1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle\dashrightarrow\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&4&0&\frac{1}{2}&-% \frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\ 0&2&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 0&0&6&1&3&1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle\dashrightarrow\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&0&0&-\frac{1}{2}&-% \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&2&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 0&0&6&1&3&1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle\dashrightarrow\left[\begin{array}[]{ccc\|ccc}1&0&0&-\frac{1}{2}&-% \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&1&0&\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\ 0&0&1&\frac{1}{6}&\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\ \end{array}\right]$

Rozdział 7 Działania na macierzach

7.1 Transponowanie

Definicja 7.1.

Wniosek 7.1.

Definicja 7.2.

Wniosek 7.2.

Lemat 7.1.

Dowód.

Wniosek 7.3.

7.2 Iloczyn macierzy

Definicja 7.3.

Przykład 7.1.

Przykład 7.2.

Lemat 7.2 (Mnożenie macierzy jest łączne).

Dowód.

Lemat 7.3.

Dowód.

Definicja 7.4.

Wniosek 7.4.

Definicja 7.5.

Wniosek 7.5 (Odwrotność iloczynu).

Dowód.

Lemat 7.4.

Dowód.

Lemat 7.5 (Transpozycja iloczynu).

Dowód.

Definicja 7.6.

Definicja 7.7.

Przykład 7.3.

Wniosek 7.6.

Definicja 7.8.

7.3 Rząd i jądro macierzy

Definicja 7.9.

Definicja 7.10.

Wniosek 7.7 (Formuła wymiaru dla macierzy).

Wniosek 7.8.

Lemat 7.6.

Dowód.

Twierdzenie 7.1 (Rząd macierzy transponowanej).

Dowód.

Wniosek 7.9.

Przykład 7.4 (Macierze elementarne).

Wniosek 7.10.

Definicja 7.11.

Wniosek 7.11.

Wniosek 7.12.

Wniosek 7.13.

Dowód.

Przykład 7.5.

Przykład 7.6 (Macierze i grafy).

Przykład 7.7.

Przykład 7.8 (Łańcuchy Markowa).

Przykład 7.9 (Macierze Leslie’go).

7.4 Układy równań liniowych raz jeszcze

Wniosek 7.14.

Wniosek 7.15.

Twierdzenie 7.2.

Dowód.

7.5 Zmiana bazy

7.5.1 Zmiana bazy w 𝔽2

Przykład 7.10.

Definicja 7.12.

7.5.2 Zmiana bazy w 𝔽n

Definicja 7.13.

Definicja 7.14.

Lemat 7.7.

Dowód.

Wniosek 7.16.

Dowód.

Przykład 7.11.

7.5.1 Zmiana bazy w $\mathbb{F}^{2}$

7.5.2 Zmiana bazy w $\mathbb{F}^{n}$