SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU odwzorowanie liniowe macierz jako odwzorowanie liniowe rzut prostopadły na prostą symetria względem prostej obrót przestrzeń wektorowa odwzorowań liniowych jądro i obraz mono-epi-izo formuła wymiaru Dwie podstawowe podprzestrzenie: jądro i obraz. |
Odwzorowanie liniowe
Niech , będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem . Odwzorowanie nazywamy odwzorowaniem liniowym, jeśli zachodzą warunki
(addytywność)
(jednorodność)
Jeśli jest odwzorowaniem liniowym, to .
Teza zachodzi, bo , więc . ∎
Odwzorowanie nie jest odwzorowaniem liniowym, bo .
Odwzorowanie nie jest odwzorowaniem liniowym pomimo, że . Nie spełnia ono żadnego z warunków (L1)-(L2). Rzeczywiście, oraz i równość nie zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych. Podobnie, , a .
Pokażemy, że jeśli jest liniowe, to istnieje taka liczba rzeczywista , że . Rzeczywiście,
więc wystarczy przyjąć, że .
ODWZOROWANIE LINIOWE ZADANE MACIERZĄ Rozważmy macierz i wektor . Definiujemy Możemy określić odwzorowanie przez Jest to odwzorowanie liniowe, bo jak łatwo sprawdzamy |
Odwzorowanie
jest liniowe, bo (jest ono zadane macierzą ) dla
Zauważmy, że .
Niech będzie niezerowym wektorem. Rozważmy odwzorowanie dane wzorem
Jest to rzut prostopadły na prostą generowaną przez wektor . Zauważmy, że
Rozważmy macierz
Wtedy . Zauważmy, że dla wektora jednostkowego mamy
Załóżmy, że prosta tworzy z osią kąt . Znajdziemy macierz symetrii względem prostej . Wektor jest wektorem jednostkowym na prostej . Niech będzie macierzą rzutu prostopadłego na prostą . Sprawdzamy łatwo, że
czyli . Stąd
Rysunek 6.2 przedstawia obrazy kwadratu jednostkowego rozpiętego na wektorach bazowych pod wpływem działania macierzy . Dopasować poniższe macierze z odpowiednim obrazkiem:
z ,
z ,
jednokładność: z ,
jednokładność: z ,
symetria względem osi : ,
obrót:
symetria względem punktu : ,
symetria względem prostej nachylonej do osi pod kątem : ,
z ,
rzutowanie na oś : ,
rzutowanie na oś : ,
Przeanalizować jak zmienia się pole obrazu kwadratu jednostkowego przez w zależności od wyznacznika macierzy .
Przestrzeń wektorowa odwzorowań liniowych
Niech . Definiujemy zbiór
Wprowadzimy w zbiorze strukturę przestrzeni wektorowej nad cialem . Dla oraz definiujemy:
Tak określona trójka jest przestrzenią wektorową nad ciałem .
Załóżmy, że jest bazą przestrzeni wektorowej i jest odwzorowaniem liniowym. Dla dowolnego istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary , że . Wtedy z liniowości otrzymujemy, że
czyli
(6.1) |
Równość (6.1) oznacza, że odwzorowanie jest jednoznacznie wyznaczone przez swoje wartości na dowolnej bazie przestrzeni . Jest to bardzo przyjemna własność odwzorowań liniowych: wystarczy znać skończoną liczbę wartości, aby znać całe odwzorowanie.
Niech będzie bazą przestrzeni wektorowej . Dla dowolnych wektorów istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie liniowe , że
W szczególności, jeśli są takie, że
to .
Pokażemy najpierw, że takie odwzorowanie liniowe istnieje. Wektor zapisujemy jednoznacznie w bazie jako kombinację liniową . Definiujemy odwzorowanie przez
Tak zdefiniowane jest oczywiście liniowe. Jeśli, jest innym odwzorowaniem liniowym spełniającym tezę, to
∎
Jeśli i są odwzorowaniami liniowymi, to jest również liniowe.
Warunek (L1) zachodzi, bo dla mamy
Podobnie, | ||||
∎
Jądro odwzorowania liniowego
Jądro odwzorowania liniowego definiujemy jako
Jeśli jest odwzorowaniem liniowym, to jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej .
Ponieważ , więc , czyli zachodzi warunek (P1). Jeśli , to
więc , czyli spełniony jest warunek (P2). Dla i , to
czyli zachodzi warunek (P3). ∎
Rozważmy płaszczyznę o równaniu w . Ponieważ odwzorowanie
jest liniowe oraz , więc jest podprzestrzenią wektorową w .
Obraz odwzorowania liniowego
Obraz odwzorowania liniowego to zbiór
Jeśli jest odwzorowaniem liniowym, to jego obraz jest podprzestrzenią wektorową w .
Ponieważ , więc . Niech . Wtedy istnieją takie , że
Stąd
czyli . Jeśli i , to istnieje taki wektor , że . Stąd
czyli . ∎
Zbiór
jest podprzestrzenią wektorową w , bo jest on obrazem odwzorowania liniowego
Monomorfizm-epimorfizm-izomorfizm
Niech będzie odwzorowaniem liniowy. Mówimy, że
jest monomorfizmem, gdy jest różnowartościowe (injekcją),
jest epimorfizmem, gdy , czyli jest surjekcją,
jest izomorfizmem, gdy jest bijekcją, czyli jest zarówno monomorfizmem jak i epimorfizmem.
Możecie zapytać dlaczego wprowadzamy nowe nazwy monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm na znane nam z teorii mnogości pojęcia injekcja, surjekcja, bijekcja. Odpowiedź jest prosta. Robimy to dla wygody. Przykładowo, stwierdzenie jest monomorfizmem niesie w sobie więcej treści niże samo stwierdzenie, że jest odwzorowaniem różnowartościowym. Zamiast krótkiego jest monomorfizmem powinniśmy powiedzieć: jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni wektorowych i jest różnowartościowe. Monomorfizm oznacza więc różnowartościowość, ale jednocześnie liniowość odwzorowania.
Wiele problemów matematycznych da się sprowadzić do zagadnienia istnienia i jednoznaczności rozwiązań równania
gdzie jest odwzorowaniem i . Różnowartościowość oznacza, że przy ustalonym istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie . Z drugiej strony, surjektywność gwarantuje, że dla dowolnego istnieje pewne rozwiązanie . Połączenie tych warunków, czyli bijektywność oznacza, że dla dowolnego istnieje dokładnie jeden taki , że .
jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy .
Niech będzie monomorfizmem. Jeśli , to , czyli . Oznacza to, że . Załóżmy teraz, że . Jeśli oraz , to z liniowości mamy
czyli , więc . ∎
Jeśli jest monomorfizmem i są liniowo niezależne, to wektory
są liniowo niezależne.
Załóżmy, że dla pewnych skalarów . Wtedy
czyli | ||||
więc | ||||
Ponieważ są liniowo niezależne, więc . ∎
Jeśli jest epimorfizmem i , to .
Niech . Ponieważ jest epimorfizmem, więc istnieje taki wektor , że . Z założenia , więc dla pewnych . Wtedy
czyli . ∎
Jeśli jest izomorfizmem liniowym i jest bazą , to jest bazą .
Niech będzie odwzorowaniem liniowym i . Następujące warunki są równoważne:
jest izomorfizmem,
dla każdej bazy w , wektory tworzą bazę w ,
istnieje taka baza w , że wektory tworzą bazę w .
Jeśli odwzorowanie jest liniowe i , to .
Zauważmy, że odwzorowanie liniowe
jest epimorfizmem, więc jeśli jest bazą dla , to
∎
Jeśli jest izomorfizmem liniowym, to odwzorowanie odwrotne jest również liniowe. Rzeczywiście, niech . Musimy uzasadnić, że . Niech i . Z liniowości mamy
czyli .
Analogicznie uzasadniamy, że . Niech . Wtedy
czyli .
Niech będzie odwzorowaniem liniowym i . Wtedy następujące warunki są równoważne
jest monomorfizmem,
jest epimorfizmem,
jest izomorfizmem.
Niech . Jeśli , to jest izomorficzna z .
Niech będzie bazą dla , a bazą standardową w . Definiujemy odwzorowanie liniowe zadając jego wartości na bazie:
∎
Jeśli są skończenie wymiarowe, to jest izomorficzna z wtedy i tylko wtedy, gdy .
Jeśli , to i są izomorficzne, gdyż obydwie są izomorficzne z . Z drugiej strony, jeśli i są izomorficzne, to mają taki sam wymiar, bo izomorfizm przekształca bijektywnie bazę na bazę. ∎
Załóżmy, że odwzorowanie jest liniowe i . Wtedy
Wybieramy bazę dla i rozszerzamy ją do bazy
dla . Wtedy
Mamy udowodnić, że . Wystarczy pokazać, że wektory tworzą bazę . Pokażemy najpierw, że wektory generują . Niech . Istnieje więc taki wektor
że . Stąd | ||||
czyli .
Pokażemy teraz, że wektory są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że
dla pewnych skalarów . Musimy pokazać, że | ||||
Z liniowości otrzymujemy, że | ||||
czyli Stąd | ||||
jest kombinacją liniową wektorów , czyli | ||||
dla pewnych skalarów . Wtedy | ||||
więc , bo tworzą bazę .
∎
Rozważmy odwzorowanie liniowe dane przez
Przestrzeń składa się tylko z wektorów, więc możemy wypisać wszystkie wartości :
Stąd,