I Algebra liniowa z geometrią 1 5 Baza i wymiar 7 Działania na macierzach

Rozdział 6 Odwzorowania liniowe

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU odwzorowanie liniowe

\Diamond

macierz jako odwzorowanie liniowe

\Diamond

rzut prostopadły na prostą

\Diamond

symetria względem prostej

\Diamond

obrót

\Diamond

przestrzeń wektorowa odwzorowań liniowych

\Diamond

jądro i obraz

\Diamond

mono-epi-izo

\Diamond

formuła wymiaru

Dwie podstawowe podprzestrzenie: jądro i obraz.

Definicja 6.1.

Odwzorowanie liniowe

Niech $V$ , $W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem $\mathbb{F}$ . Odwzorowanie $L:V\longrightarrow W$ nazywamy odwzorowaniem liniowym, jeśli zachodzą warunki

(L1)

(addytywność)

$L(v_{1}+v_{2})=L(v_{1})+L(v_{2}),\quad v_{1},v_{2}\in V,$
(L2)

(jednorodność)

$L(t\cdot v)=t\cdot L(v),\quad t\in\mathbb{F},\;v\in V.$

Wniosek 6.1.

Jeśli $L:V\longrightarrow W$ jest odwzorowaniem liniowym, to $L(0)=0$ .

Dowód.

Teza zachodzi, bo $L(0)=L(0+0)=L(0)+L(0)$ , więc $L(0)=0$ . ∎

Przykład 6.1.

Odwzorowanie $L:\mathbb{R}\ni x\longmapsto x+1\in\mathbb{R}$ nie jest odwzorowaniem liniowym, bo $L(0)=1\neq 0$ .

Przykład 6.2.

Odwzorowanie $L:\mathbb{R}\ni x\longmapsto x^{2}\in\mathbb{R}$ nie jest odwzorowaniem liniowym pomimo, że $L(0)=0$ . Nie spełnia ono żadnego z warunków (L1)-(L2). Rzeczywiście, $L(x+y)=(x+y)^{2}$ oraz $L(x)+L(y)=x^{2}+y^{2}$ i równość $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}$ nie zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych. Podobnie, $L(tx)=t^{2}x^{2}$ , a $tL(x)=tx^{2}$ .

Przykład 6.3.

Pokażemy, że jeśli $L:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ jest liniowe, to istnieje taka liczba rzeczywista $a\in\mathbb{R}$ , że $L(x)=ax$ . Rzeczywiście,

L(x)=L(x\cdot 1)=xL(1),

więc wystarczy przyjąć, że $a=L(1)$ .

ODWZOROWANIE LINIOWE ZADANE MACIERZĄ Rozważmy macierz

A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a_{1}&\ldots&a_{n}\\ \end{array}\right]\in M_{k\times n}(\mathbb{F})

i wektor

x=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}\in\mathbb{F}^{n}

. Definiujemy

\displaystyle Ax

\displaystyle=\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}&\ldots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{k1}&\ldots&a_{kn}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{array}\right]

\displaystyle:=\left[\begin{array}[]{c}x_{1}a_{11}+\ldots+x_{n}a_{1n}\\ \vdots\\ x_{1}a_{k1}+\ldots+x_{n}a_{kn}\\ \end{array}\right]

\displaystyle=x_{1}\cdot a_{1}+\ldots+x_{n}\cdot a_{n}\in\mathbb{F}^{k}.

Możemy określić odwzorowanie

L_{A}:\mathbb{F}^{n}\longrightarrow\mathbb{F}^{k}

przez

L_{A}(x):=Ax.

Jest to odwzorowanie liniowe, bo jak łatwo sprawdzamy

A(x+y)=Ax+Ay,\quad A(t\cdot x)=t\cdot Ax.

Przykład 6.4.

Odwzorowanie

L:\mathbb{R}^{2}\ni[x_{1},x_{2}]^{T}\longrightarrow[3x_{1}-2x_{2},x_{1}+4x_{2}% ,x_{1}+x_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{3}

jest liniowe, bo $L=L_{A}$ (jest ono zadane macierzą $A$ ) dla

A=\left[\begin{array}[]{cc}3&-2\\ 1&4\\ 1&1\\ \end{array}\right].

Zauważmy, że $A=\left[\begin{array}[]{c|c}L(e_{1})&L(e_{2})\\ \end{array}\right]$ .

Przykład 6.5 (Rzut prostopadły na prostą w $\mathbb{R}^{2}$ ).

Niech $u=[u_{1},u_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{2}$ będzie niezerowym wektorem. Rozważmy odwzorowanie $P:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ dane wzorem

P(v)=\frac{(v|u)}{(u|u)}u.

Jest to rzut prostopadły na prostą generowaną przez wektor $u$ . Zauważmy, że

P(e_{1})=\frac{1}{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}\left[\begin{array}[]{c}u_{1}^{2}\\ u_{1}u_{2}\\ \end{array}\right],\quad P(e_{2})=\frac{1}{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}\left[\begin{% array}[]{c}u_{1}u_{2}\\ u_{2}^{2}\\ \end{array}\right].

Rozważmy macierz

A=\frac{1}{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}\left[\begin{array}[]{cc}u_{1}^{2}&u_{1}u_{2}\\ u_{1}u_{2}&u_{2}^{2}\\ \end{array}\right].

Wtedy $P(v)=L_{A}v$ . Zauważmy, że dla wektora jednostkowego $u=[\cos\theta,\sin\theta]^{T}$ mamy

A=\left[\begin{array}[]{cc}\cos^{2}\theta&\sin\theta\cos\theta\\ \sin\theta\cos\theta&\sin^{2}\theta\\ \end{array}\right]=\underbrace{\left[\begin{array}[]{c}\cos\theta\\ \sin\theta\\ \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}[]{cc}\cos\theta&\sin\theta\\ \end{array}\right]}_{\textmd{iloczyn macierzy}}.

Przykład 6.6 (Symetria względem prostej na płaszczyźnie).

Rysunek 6.1: Symetria

S

względem prostej

l

. Jeśli

P

jest rzutem prostopadłym na prostą

l

, to

S(v)+v=2P(v)

Załóżmy, że prosta $l$ tworzy z osią $x$ kąt $\theta$ . Znajdziemy macierz $M_{S}$ symetrii $S$ względem prostej $l$ . Wektor $u=[\cos\theta,\sin\theta]^{T}$ jest wektorem jednostkowym na prostej $l$ . Niech $M_{P}$ będzie macierzą rzutu prostopadłego $P$ na prostą $l$ . Sprawdzamy łatwo, że

S+I=2P,

czyli $S=2P-I$ . Stąd

	$\displaystyle M_{S}$	$\displaystyle=2M_{P}-I$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{cc}2\cos^{2}\theta-1&2\sin\theta\cos\theta% \\ 2\sin\theta\cos\theta&2\sin^{2}\theta-1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle={\color[rgb]{.5,.5,.5}\definecolor{pgfstrokecolor}{rgb}{.5,.5,.5% }\pgfsys@color@gray@stroke{.5}\pgfsys@color@gray@fill{.5}{\left[\begin{array}[% ]{cc}\cos 2\theta&\sin 2\theta\\ \sin 2\theta&-\cos 2\theta\\ \end{array}\right]}}.$

Rysunek 6.2: Obrazy kwadratu jednostkowego pod wpływem macierzy

A

Rysunek 6.2 przedstawia obrazy kwadratu jednostkowego rozpiętego na wektorach bazowych $e_{1},e_{2}$ pod wpływem działania macierzy $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ . Dopasować poniższe macierze z odpowiednim obrazkiem:
- –
  
  $A=\left[\begin{array}[]{cc}1&a\\ 0&1\\ \end{array}\right]$ z $0<a<1$ ,
- –
  
  $A=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ a&1\\ \end{array}\right]$ z $0<a<1$ ,
- –
  
  jednokładność: $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&0\\ 0&a\\ \end{array}\right]$ z $0<a<1$ ,
- –
  
  jednokładność: $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&0\\ 0&a\\ \end{array}\right]$ z $1<a$ ,
- –
  
  symetria względem osi $x$ : $A=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&-1\\ \end{array}\right]$ ,
- –
  
  obrót: $A=\left[\begin{array}[]{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{array}\right]$
- –
  
  symetria względem punktu $0$ : $A=\left[\begin{array}[]{cc}-1&0\\ 0&-1\\ \end{array}\right]$ ,
- –
  
  symetria względem prostej nachylonej do osi $x$ pod kątem $\theta$ : $A=\left[\begin{array}[]{cc}\cos 2\theta&\sin 2\theta\\ \sin 2\theta&-\cos 2\theta\\ \end{array}\right]$ ,
- –
  
  $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&-b\\ b&a\\ \end{array}\right]$ z $a,b>0$ ,
- –
  
  rzutowanie na oś $x$ : $A=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\\ \end{array}\right]$ ,
- –
  
  rzutowanie na oś $x$ : $A=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&1\\ \end{array}\right]$ ,
Przeanalizować jak zmienia się pole obrazu kwadratu jednostkowego przez $A$ w zależności od wyznacznika macierzy $A$ .

$\longleftarrow$

6.1 Przestrzeń wektorowa odwzorowań liniowych

Definicja 6.2.

Przestrzeń wektorowa odwzorowań liniowych

Niech $V,W\in{\rm Vekt}_{\mathbb{F}}$ . Definiujemy zbiór

\mathcal{L}(V,W)=\Big{\{}L:V\longrightarrow W:\;L\;\mathsf{jest\;liniowe}\Big{% \}}.

Wprowadzimy w zbiorze $\mathcal{L}(V,W)$ strukturę przestrzeni wektorowej nad cialem $\mathbb{F}$ . Dla $L,G\in\mathcal{L}(V,W)$ oraz $t\in\mathbb{F}$ definiujemy:

(L+G)(v):=L(v)+G(v),\quad(t\cdot L)(v):=t\cdot L(v),\quad v\in V

Tak określona trójka $(\mathcal{L}(V,W),+,\cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ .

Załóżmy, że $v_{1},\ldots,v_{n}$ jest bazą przestrzeni wektorowej $V$ i $L:V\longrightarrow W$ jest odwzorowaniem liniowym. Dla dowolnego $v\in V$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $x_{1},\ldots,x_{n}$ , że $v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}$ . Wtedy z liniowości $L$ otrzymujemy, że

$\displaystyle L(v)$ $\displaystyle=L(x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n})$

$\displaystyle=L(x_{1}\cdot v_{1})+\ldots+L(x_{n}\cdot v_{n})$

$\displaystyle=x_{1}\cdot L(v_{1})+\ldots+x_{n}\cdot L(v_{n}),$

czyli

$L(v)=x_{1}\cdot L(v_{1})+\ldots+x_{n}\cdot L(v_{n}).$ (6.1)

Równość (6.1) oznacza, że odwzorowanie $L$ jest jednoznacznie wyznaczone przez swoje wartości $L(v1),\ldots,L(v_{n})$ na dowolnej bazie przestrzeni $V$ . Jest to bardzo przyjemna własność odwzorowań liniowych: wystarczy znać skończoną liczbę wartości, aby znać całe odwzorowanie.

Wniosek 6.2.

Niech $v_{1},\ldots,v_{n}$ będzie bazą przestrzeni wektorowej $V$ . Dla dowolnych wektorów $w_{1},\ldots,w_{n}\in W$ istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie liniowe $L:V\longrightarrow W$ , że

L(v_{1})=w_{1},\;\ldots,\;L(v_{n})=w_{n}.

W szczególności, jeśli $L,G\in\mathcal{L}(V,W)$ są takie, że

L(v_{1})=G(v_{1}),\;\ldots,\;L(v_{n})=G(v_{n}),

to $L=G$ .

Dowód.

Pokażemy najpierw, że takie odwzorowanie liniowe $L$ istnieje. Wektor $v\in V$ zapisujemy jednoznacznie w bazie $v_{1},\ldots,v_{n}$ jako kombinację liniową $v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}$ . Definiujemy odwzorowanie $L:V\to W$ przez

L(v)=x_{1}\cdot L(v_{1})+\ldots+x_{n}\cdot L(v_{n}):=x_{1}\cdot w_{1}+\ldots+x% _{n}\cdot w_{n}.

Tak zdefiniowane $L$ jest oczywiście liniowe. Jeśli, $L^{\prime}:V\to W$ jest innym odwzorowaniem liniowym spełniającym tezę, to

	$\displaystyle L^{\prime}(v)$	$\displaystyle=L^{\prime}(x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n})$
		$\displaystyle=L^{\prime}(x_{1}\cdot v_{1})+\ldots+L^{\prime}(x_{n}\cdot v_{n})$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot L^{\prime}(v_{1})+\ldots+x_{n}\cdot L^{\prime}(v_{n})$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot w_{1}+\ldots+x_{n}\cdot w_{n}=L(v).$

∎

Lemat 6.1.

Jeśli $L:V\longrightarrow W$ i $G:W\longrightarrow Z$ są odwzorowaniami liniowymi, to $G\circ L:V\longrightarrow Z$ jest również liniowe.

Dowód.

Warunek (L1) zachodzi, bo dla $v_{1},v_{2}\in V$ mamy

	$\displaystyle(G\circ L)(v_{1}+v_{2})$	$\displaystyle=G(L(v_{1}+v_{2}))$
		$\displaystyle=G(L(v_{1})+L(v_{2}))$
		$\displaystyle=G(L(v_{1}))+G(L(v_{2}))$
		$\displaystyle=(G\circ L)(v_{1})+(G\circ L)(v_{2}).$
Podobnie,
	$\displaystyle(G\circ L)(t\cdot v)$	$\displaystyle=G(L(t\cdot v))$
		$\displaystyle=G(t\cdot L(v))$
		$\displaystyle=t\cdot G(L(v))$
		$\displaystyle=t\cdot(G\circ L)(v).$

∎

6.2 Jądro i obraz odwzorowania liniowego

Definicja 6.3.

Jądro odwzorowania liniowego

Jądro odwzorowania liniowego $L:V\longrightarrow W$ definiujemy jako

{\rm ker}\,L:=\big{\{}v\in V:L(v)=0\big{\}}=L^{-1}(\{0\}).

Wniosek 6.3.

Jeśli $L:V\longrightarrow W$ jest odwzorowaniem liniowym, to ${\rm ker}\,L$ jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej $V$ .

Dowód.

Ponieważ $L(0)=0$ , więc $0\in{\rm ker}\,L$ , czyli zachodzi warunek (P1). Jeśli $v,w\in{\rm ker}\,L$ , to

	$\displaystyle L(v+w)$	$\displaystyle=L(v)+L(w)$
		$\displaystyle=0+0=0,$

więc $v+w\in{\rm ker}\,L$ , czyli spełniony jest warunek (P2). Dla $t\in\mathbb{F}$ i $v\in{\rm ker}\,L$ , to

	$\displaystyle L(t\cdot v)$	$\displaystyle=t\cdot L(v)$
		$\displaystyle=t\cdot 0=0,$

czyli zachodzi warunek (P3). ∎

Przykład 6.7.

Rozważmy płaszczyznę $P$ o równaniu $3x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0$ w $\mathbb{R}^{3}$ . Ponieważ odwzorowanie

L:\mathbb{R}^{3}\ni[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}\longmapsto 3x_{1}-x_{2}+2x_{3}\in% \mathbb{R}

jest liniowe oraz $P={\rm ker}\,L$ , więc $P$ jest podprzestrzenią wektorową w $\mathbb{R}^{3}$ .

Definicja 6.4.

Obraz odwzorowania liniowego

Obraz odwzorowania liniowego $L:V\longrightarrow W$ to zbiór

{\rm im}\,L:=L(V)=\big{\{}L(v):v\in V\big{\}}\subset W.

Wniosek 6.4.

Jeśli $L:V\longrightarrow W$ jest odwzorowaniem liniowym, to jego obraz $L(V)$ jest podprzestrzenią wektorową w $W$ .

Dowód.

Ponieważ $L(0)=0$ , więc $0\in L(V)$ . Niech $w_{1},w_{2}\in L(W)$ . Wtedy istnieją takie $v_{1},v_{2}\in V$ , że

L(v_{1})=w_{2},\quad L(v_{2})=w_{2}.

Stąd

	$\displaystyle w_{1}+w_{2}$	$\displaystyle=L(v_{1})+L(v_{2})$
		$\displaystyle=L(v_{1}+v_{2}),$

czyli $w_{1}+w_{2}\in L(V)$ . Jeśli $t\in\mathbb{F}$ i $w\in L(V)$ , to istnieje taki wektor $v\in V$ , że $L(v)=w$ . Stąd

	$\displaystyle t\cdot w$	$\displaystyle=t\cdot L(v)$
		$\displaystyle=L(t\cdot v),$

czyli $t\cdot w\in L(V)$ . ∎

Przykład 6.8.

Zbiór

S=\Big{\{}[x_{1}+x_{2},2x_{1}-3x_{2},-x_{1}+4x_{2},x_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{4}% :x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\Big{\}}

jest podprzestrzenią wektorową w $\mathbb{R}^{4}$ , bo jest on obrazem odwzorowania liniowego

L:\mathbb{R}^{2}\ni[x_{1},x_{2}]^{T}\longmapsto[x_{1}+x_{2},2x_{1}-3x_{2},-x_{% 1}+4x_{2},x_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{4}.

6.3 Mono-Epi-Izo. Formuła wymiaru

Definicja 6.5.

Monomorfizm-epimorfizm-izomorfizm

Niech $L:V\longrightarrow W$ będzie odwzorowaniem liniowy. Mówimy, że

(i)

$L$ jest monomorfizmem, gdy $L$ jest różnowartościowe (injekcją),
(ii)

$L$ jest epimorfizmem, gdy $W=L(V)$ , czyli $L$ jest surjekcją,
(iii)

$L$ jest izomorfizmem, gdy $L$ jest bijekcją, czyli jest zarówno monomorfizmem jak i epimorfizmem.

Możecie zapytać dlaczego wprowadzamy nowe nazwy monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm na znane nam z teorii mnogości pojęcia injekcja, surjekcja, bijekcja. Odpowiedź jest prosta. Robimy to dla wygody. Przykładowo, stwierdzenie $L:V\longrightarrow W$ jest monomorfizmem niesie w sobie więcej treści niże samo stwierdzenie, że $L$ jest odwzorowaniem różnowartościowym. Zamiast krótkiego $L:V\longrightarrow W$ jest monomorfizmem powinniśmy powiedzieć: $L:V\longrightarrow W$ jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni wektorowych i jest różnowartościowe. Monomorfizm oznacza więc różnowartościowość, ale jednocześnie liniowość odwzorowania.

Wiele problemów matematycznych da się sprowadzić do zagadnienia istnienia i jednoznaczności rozwiązań równania

$L(x)=y,$

gdzie $L:V\longrightarrow W$ jest odwzorowaniem i $y\in W$ . Różnowartościowość $L$ oznacza, że przy ustalonym $y$ istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie $x$ . Z drugiej strony, surjektywność gwarantuje, że dla dowolnego $y\in W$ istnieje pewne rozwiązanie $x\in V$ . Połączenie tych warunków, czyli bijektywność $L$ oznacza, że dla dowolnego $y\in W$ istnieje dokładnie jeden taki $x\in V$ , że $L(x)=y$ .

Lemat 6.2.

$L:V\longrightarrow W$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ${\rm ker}\,L=\{0\}$ .

Dowód.

Niech $L$ będzie monomorfizmem. Jeśli $v\in{\rm ker}\,L$ , to $L(0)=0=L(v)$ , czyli $v=0$ . Oznacza to, że ${\rm ker}\,L=\{0\}$ . Załóżmy teraz, że ${\rm ker}\,L=\{0\}$ . Jeśli $v,w\in V$ oraz $L(v)=L(w)$ , to z liniowości $L$ mamy

0=L(v)-L(w)=L(v-w),

czyli $v-w\in{\rm ker}\,L$ , więc $v-w=0$ . ∎

Lemat 6.3.

Jeśli $L:V\longrightarrow W$ jest monomorfizmem i $v_{1},\ldots,v_{n}\in V$ są liniowo niezależne, to wektory

L(v_{1}),\ldots,L(v_{n})

są liniowo niezależne.

Dowód.

Załóżmy, że $x_{1}\cdot L(v_{1})+\ldots+x_{n}\cdot L(v_{n})=0$ dla pewnych skalarów $x_{i}\in\mathbb{F}$ . Wtedy

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=L(x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}),$
czyli
		$\displaystyle x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}\in{\rm ker}\,L=\{0\},$
więc
		$\displaystyle x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}=0.$

Ponieważ $v_{1},\ldots,v_{n}\in V$ są liniowo niezależne, więc $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ . ∎

Lemat 6.4.

Jeśli $L:V\longrightarrow W$ jest epimorfizmem i $V={\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ , to $W={\rm span}\,\big{\{}L(v_{1}),\ldots,L(v_{n})\big{\}}$ .

Dowód.

Niech $w\in W$ . Ponieważ $L$ jest epimorfizmem, więc istnieje taki wektor $v\in V$ , że $L(v)=w$ . Z założenia $V={\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ , więc $v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}$ dla pewnych $x_{i}\in\mathbb{F}$ . Wtedy

	$\displaystyle w$	$\displaystyle=L(v)$
		$\displaystyle=L(x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n})$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot L(v_{1})+\ldots+x_{n}\cdot L(v_{n}),$

czyli $w\in{\rm span}\,\{L(v_{1}),\ldots,L(v_{n})\}$ . ∎

Wniosek 6.5.

Jeśli $L:V\longrightarrow W$ jest izomorfizmem liniowym i $v_{1},\ldots,v_{n}\in V$ jest bazą $V$ , to $L(v_{1}),\ldots,L(v_{n})$ jest bazą $W$ .

Wniosek 6.6.

Niech $L:V\longrightarrow W$ będzie odwzorowaniem liniowym i ${\rm dim}\,V=n$ . Następujące warunki są równoważne:

(i)

$L:V\longrightarrow W$ jest izomorfizmem,
(ii)

dla każdej bazy $v_{1},\ldots,v_{n}$ w $V$ , wektory $L(v_{1}),\ldots,L(v_{n})$ tworzą bazę w $W$ ,
(iii)

istnieje taka baza $v_{1},\ldots,v_{n}$ w $V$ , że wektory $L(v_{1}),\ldots,L(v_{n})$ tworzą bazę w $W$ .

Wniosek 6.7.

Jeśli odwzorowanie $L:V\longrightarrow W$ jest liniowe i ${\rm dim}\,V<\infty$ , to ${\rm dim}\,L(V)\leq{\rm dim}\,V<\infty$ .

Dowód.

Zauważmy, że odwzorowanie liniowe

L:V\longrightarrow L(V)

jest epimorfizmem, więc jeśli $v_{1},\ldots,v_{n}$ jest bazą dla $V$ , to

L(V)={\rm span}\,\big{\{}L(v_{1}),\ldots,L(v_{n})\big{\}}.

∎

Jeśli $L:V\longrightarrow W$ jest izomorfizmem liniowym, to odwzorowanie odwrotne $L^{-1}:W\to V$ jest również liniowe. Rzeczywiście, niech $w_{1},w_{2}\in W$ . Musimy uzasadnić, że $L^{-1}(w_{1}+w_{2})=L^{-1}(w_{1})+L^{-1}(w_{2})$ . Niech $v_{1}=L^{-1}(w_{1})$ i $v_{2}=L^{-1}(w_{2})$ . Z liniowości $L$ mamy

$w_{1}+w_{2}=L(v_{1})+L(v_{2})=L(v_{1}+v_{2}),$

czyli $v_{1}+v_{2}=L^{-1}(w_{1}+w_{2})$ .

Analogicznie uzasadniamy, że $L^{-1}(t\cdot w)=t\cdot L^{-1}(w)$ . Niech $v=L^{-1}(w)$ . Wtedy

$L(t\cdot v)=t\cdot L(v)=t\cdot w,$

czyli $t\cdot L^{-1}(w)=t\cdot v=L^{-1}(t\cdot w)$ .

Wniosek 6.8.

Niech $L:V\longrightarrow V$ będzie odwzorowaniem liniowym i ${\rm dim}\,V<\infty$ . Wtedy następujące warunki są równoważne

(1)

$L$ jest monomorfizmem,
(2)

$L$ jest epimorfizmem,
(3)

$L$ jest izomorfizmem.

Rysunek 6.3: Wybór bazy $v_{1},\ldots,v_{n}$ w $V$ zadaje izomorfizm z $\mathbb{F}^{n}$ . Wektorowi $v=c_{1}\cdot v_{1}+\ldots+c_{n}\cdot v_{n}$ przypisujemy wektor $[c_{1},\ldots,c_{n}]^{T}$ jego współrzędnych.

Twierdzenie 6.1.

Niech $V\in{\rm Vekt}_{\mathbb{F}}$ . Jeśli ${\rm dim}_{\mathbb{F}}\,V=n<\infty$ , to $V$ jest izomorficzna z $\mathbb{F}^{n}$ .

Dowód.

Niech $v_{1},\ldots,v_{n}$ będzie bazą dla $V$ , a $e_{1},\ldots,e_{n}$ bazą standardową w $\mathbb{F}^{n}$ . Definiujemy odwzorowanie liniowe $L:V\longrightarrow\mathbb{F}^{n}$ zadając jego wartości na bazie:

L(v_{1})=e_{1},\ldots,L(v_{n})=e_{n}.

∎

Wniosek 6.9.

Jeśli $V,W\in{\rm Vekt}_{\mathbb{F}}$ są skończenie wymiarowe, to $V$ jest izomorficzna z $W$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\rm dim}\,V={\rm dim}\,W$ .

Dowód.

Jeśli ${\rm dim}\,V={\rm dim}\,W=n$ , to $V$ i $W$ są izomorficzne, gdyż obydwie są izomorficzne z $\mathbb{F}^{n}$ . Z drugiej strony, jeśli $V$ i $W$ są izomorficzne, to mają taki sam wymiar, bo izomorfizm przekształca bijektywnie bazę na bazę. ∎

Twierdzenie 6.2 (Formuła wymiaru).

Załóżmy, że odwzorowanie $L:V\longrightarrow W$ jest liniowe i ${\rm dim}\,V<\infty$ . Wtedy

${\rm dim}\,V={\rm dim}\,{\rm ker}\,L+{\rm dim}\,{\rm Im}\,L.$

Dowód.

Wybieramy bazę $v_{1},\ldots,v_{p}$ dla ${\rm ker}\,L\subset V$ i rozszerzamy ją do bazy

v_{1},\ldots,v_{p},\;u_{1},\ldots,u_{q}

dla $V$ . Wtedy

p={\rm dim}\,{\rm ker}\,L,\quad p+q={\rm dim}\,V.

Mamy udowodnić, że $q={\rm dim}\,L(V)$ . Wystarczy pokazać, że wektory $L(u_{1}),\ldots,L(u_{q})$ tworzą bazę $L(V)$ . Pokażemy najpierw, że wektory $L(u_{1}),\ldots,L(u_{q})$ generują $L(V)$ . Niech $w\in L(V)$ . Istnieje więc taki wektor

	$\displaystyle v$	$\displaystyle=c_{1}\cdot v_{1}+\ldots+c_{p}\cdot v_{p}+x_{1}\cdot u_{1}+\ldots% +x_{q}\cdot u_{q},$
że $L(v)=w$ . Stąd
	$\displaystyle w$	$\displaystyle=L(c_{1}\cdot v_{1}+\ldots+c_{p}\cdot v_{p}+x_{1}\cdot u_{1}+% \ldots+x_{q}\cdot u_{q})$
		$\displaystyle=c_{1}\cdot L(v_{1})+\ldots+c_{p}\cdot L(v_{p})+x_{1}\cdot L(u_{1% })+\ldots+x_{q}\cdot L(u_{q})$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot L(u_{1})+\ldots+x_{q}\cdot L(u_{q}),$

czyli $w\in{\rm span}\,\{L(u_{1}),\ldots,L(u_{q})\}$ .

Pokażemy teraz, że wektory $L(u_{1}),\ldots,L(u_{q})$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=x_{1}\cdot L(u_{1})+\ldots+x_{q}\cdot L(u_{q})$
dla pewnych skalarów $x_{i}\in\mathbb{R}$ . Musimy pokazać, że
		$\displaystyle x_{1}=\ldots=x_{q}=0.$
Z liniowości $L$ otrzymujemy, że
	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=L(x_{1}\cdot u_{1}+\ldots+x_{q}\cdot u_{q}),$
czyli $x_{1}\cdot u_{1}+\ldots+x_{q}\cdot u_{q}\in{\rm ker}\,L.$ Stąd
		$\displaystyle x_{1}\cdot u_{1}+\ldots+x_{q}\cdot u_{q}$
jest kombinacją liniową wektorów $v_{1},\ldots,v_{p}$ , czyli
		$\displaystyle x_{1}\cdot u_{1}+\ldots+x_{q}\cdot u_{q}=c_{1}\cdot v_{1}+\ldots% +c_{p}\cdot v_{p}$
dla pewnych skalarów $c_{i}$ . Wtedy
		$\displaystyle x_{1}\cdot u_{1}+\ldots+x_{q}\cdot u_{q}-c_{1}\cdot v_{1}-\ldots% -c_{p}\cdot v_{p}=0,$

więc $x_{1}=\ldots=x_{q}=c_{1}=\ldots=c_{p}=0$ , bo $v_{1},\ldots,v_{p},u_{1},\ldots,u_{q}$ tworzą bazę $V$ .

∎

Przykład 6.9.

Rozważmy odwzorowanie liniowe $L:\mathbb{Z}_{2}^{3}\to\mathbb{Z}_{2}^{3}$ dane przez

L([x_{1},x_{2},x_{3}]^{T})=[x_{1}+x_{2},x_{3}+x_{1},x_{2}+x_{3}]^{T}.

Przestrzeń $\mathbb{Z}_{2}^{3}$ składa się tylko z $8$ wektorów, więc możemy wypisać wszystkie wartości $L$ :

L([0,0,0]^{T})=L([1,1,1]^{T})=[0,0,0]^{T},

L([1,1,0]^{T})=L([0,0,1]^{T})=[0,1,1]^{T},

L([1,0,1]^{T}=L([0,1,0]^{T})=[1,0,1]^{T},

L([0,1,1]^{T})=L([1,0,0]^{T})=[1,1,0]^{T}.

Stąd,

{\rm ker}\,L={\rm span}\,\Big{\{}[1,1,1]^{T}\Big{\}}=\Big{\{}[0,0,0]^{T},[1,1,% 1]^{T}\Big{\}},

{\rm im}\,L={\rm span}\,\Big{\{}[1,1,0]^{T},[1,0,1]^{T}\Big{\}}=\Big{\{}[1,1,0% ]^{T},[1,0,1]^{T},[1,1,0]^{T}\Big{\}}.

	$\displaystyle L(v)$	$\displaystyle=L(x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n})$
		$\displaystyle=L(x_{1}\cdot v_{1})+\ldots+L(x_{n}\cdot v_{n})$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot L(v_{1})+\ldots+x_{n}\cdot L(v_{n}),$

Rozdział 6 Odwzorowania liniowe

Definicja 6.1.

Wniosek 6.1.

Dowód.

Przykład 6.1.

Przykład 6.2.

Przykład 6.3.

Przykład 6.4.

Przykład 6.5 (Rzut prostopadły na prostą w R2).

Przykład 6.6 (Symetria względem prostej na płaszczyźnie).

6.1 Przestrzeń wektorowa odwzorowań liniowych

Definicja 6.2.

Wniosek 6.2.

Dowód.

Lemat 6.1.

Dowód.

6.2 Jądro i obraz odwzorowania liniowego

Definicja 6.3.

Wniosek 6.3.

Dowód.

Przykład 6.7.

Definicja 6.4.

Wniosek 6.4.

Dowód.

Przykład 6.8.

6.3 Mono-Epi-Izo. Formuła wymiaru

Definicja 6.5.

Lemat 6.2.

Dowód.

Lemat 6.3.

Dowód.

Lemat 6.4.

Dowód.

Wniosek 6.5.

Wniosek 6.6.

Wniosek 6.7.

Dowód.

Wniosek 6.8.

Twierdzenie 6.1.

Dowód.

Wniosek 6.9.

Dowód.

Twierdzenie 6.2 (Formuła wymiaru).

Dowód.

Przykład 6.9.

Przykład 6.5 (Rzut prostopadły na prostą w $\mathbb{R}^{2}$ ).