I Algebra liniowa z geometrią 1 4 Układy równań liniowych 6 Odwzorowania liniowe

Rozdział 5 Baza i wymiar

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU generowanie

\Diamond

liniowa niezależność

\Diamond

baza

\Diamond

wymiar

\Diamond

postać schodkowa

\Diamond

podprzestrzeń

{\rm span}\,\{a_{1},\ldots,a_{k}\}

\Diamond

przestrzeń wektorowa

M_{m\times n}(\mathbb{F})

\Diamond

podprzestrzeń wektorowa

5.1 Generowanie i liniowa niezależność

Definicja 5.1.

Podprzestrzeń generowana przez wektory

Niech $(V,+,\cdot)$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . Kombinacją liniową wektorów $v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ nazywamy dowolny wektor $v$ postaci

v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{k}\cdot v_{k},\quad x_{1},\ldots,x_{k}\in\mathbb{% F}.

Zbiór ${\rm span}\,\big{\{}v_{1},\ldots,v_{k}\big{\}}$ oznacza zbiór wszystkich wektorów będących kombinacjami liniowymi wektorów $v_{1},\ldots,v_{k}$ , czyli

{\rm span}\,\big{\{}v_{1},\ldots,v_{k}\big{\}}=\big{\{}x_{1}\cdot v_{1}+\ldots% +x_{k}\cdot v_{k}:x_{1},\ldots,x_{k}\in\mathbb{F}\big{\}}.

Nazywamy go podprzestrzenią generowaną przez wektory $v_{1},\ldots,v_{k}$ . Powiemy, że wektory $v_{1},\ldots,v_{k}$ generują przestrzeń wektorową $V$ , jeśli

{\rm span}\,\big{\{}v_{1},\ldots,v_{k}\big{\}}=V.

Przykład 5.1.

Niech $v=[0,1,1]^{T},u=[1,1,1]^{T}\in\mathbb{Z}_{2}^{3}$ . Wyznaczymy ${\rm span}\,\big{\{}v,u\big{\}}\subset\mathbb{Z}_{2}^{3}$ . Mamy $4$ możliwe kombinacje liniowe:

•

$0\cdot u+0\cdot v=0$ ,
•

$1\cdot u+0\cdot v=u$ ,
•

$0\cdot u+1\cdot v=v$ ,
•

$1\cdot u+1\cdot v=[0,1,1]^{T}+[1,1,1]^{T}=[1,0,0]^{T}$ .

Stąd

{\rm span}\,\big{\{}v,u\big{\}}=\big{\{}0,v,u,[1,0,0]^{T}\big{\}}.

Definicja 5.2.

Liniowa niezależność wektorów

Wektory $v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ są liniowo niezależne, jeśli dla skalarów $x_{1},\ldots,x_{k}\in\mathbb{F}$ zachodzi implikacja

x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{k}\cdot v_{k}=0\Longrightarrow x_{1}=\ldots=x_{k}=0.

Oznacza to, że jeśli kombinacja liniowa wektorów $v_{1},\ldots,v_{k}$ jest wektorem zerowym, to wszystkie jej skalarne współczynniki są równe zero.

Przykład 5.2.

Rozważmy przestrzeń wektorową $V$ wszystkich funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Pokażemy, że funkcje $f=\sin(x)$ i $g=\cos(x)$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że $x_{1}\cdot f+x_{2}\cdot g=0$ dla pewnych $x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}$ . Oznacza to, że dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$ mamy

x_{1}\cdot\sin(x)+x_{2}\cdot\cos x=0.

Podstawiając w tej równości $x=0$ otrzymujemy, że $x_{2}=0$ . Wstawiając $x=\pi/2$ dostajemy, że $x_{1}=0$ .

Przykład 5.3.

Pokażemy, że wektory

v=[1,1,3]^{T},\quad u=[2,0,2]^{T},\quad w=[4,3,0]^{T}\in\mathbb{Z}_{5}^{3}

są liniowo zależne w $\mathbb{Z}_{5}^{3}$ . Zauważmy, że

v+u=[3,1,0]^{T}

oraz

3\cdot(v+u)=[4,3,0]^{T}=w,

czyli $w$ jest kombinacją liniową wektorów $v, u$ .

Z drugiej strony, wektory $v,u,w\in\mathbb{R}^{3}$ są liniowo niezależne nad $\mathbb{R}$ . Rzeczywiście, równość

x\cdot v+y\cdot u+z\cdot w=0,\quad x,y,z\in\mathbb{R}

oznacza, że

x+2y+4z=x+3z=3x+2y=0,

więc $x=y=z=0$ .

Definicja 5.3.

Baza przestrzeni wektorowej

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . Wektory $v_{1},\ldots,v_{n}\in V$ stanowią bazę przestrzeni wektorowej $V$ , jeśli spełnione są warunki:

(B1)

wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ generują przestrzeń $V$ , czyli

${\rm span}\,\big{\{}v_{1},\ldots,v_{n}\big{\}}=V,$
(B2)

wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ są liniowo niezależne.

Warunek (B1) oznacza, że każdy wektor $v\in V$ można przedstawić jako kombinację liniową wektorów $v_{1},\ldots,v_{n}$ , a warunek (B2) gwarantuje, że takie przedstawienie jest jednoznaczne.

Przykład 5.4.

Wektory

e_{1}=[1,0,\ldots,0]^{T},\;e_{2}=[0,1,0,\ldots,0]^{T},\ldots,\;e_{n}=[0,\ldots% ,0,1]^{T}

stanowią bazę przestrzeni wektorowej $\mathbb{F}^{n}$ . Rzeczywiście, są one liniowo niezależne, bo jeśli

	$\displaystyle[0,\ldots,0]^{T}$	$\displaystyle=x_{1}\cdot e_{1}+\ldots+x_{n}\cdot e_{n}$
		$\displaystyle=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T},$

to $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ . Sprawdzimy warunek (B2). Niech $v=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}\in\mathbb{F}^{n}$ będzie dowolnym wektorem. Wtedy

	$\displaystyle v$	$\displaystyle=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}$
		$\displaystyle=[x_{1},0,\ldots,0]^{T}+\ldots+[0,\ldots,0,x_{n}]^{T}$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot e_{1}+\ldots+x_{n}\cdot e_{n},$

czyli $v\in{\rm span}\,\big{\{}e_{1},\ldots,e_{n}\big{\}}$ .

Wniosek 5.1.

Wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ stanowią bazę dla $V$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wektora $v\in V$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $x_{1},\ldots,x_{k}\in\mathbb{F}$ , że

v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}.

Dowód.

Załóżmy najpierw, że $v_{1},\ldots,v_{n}$ tworzą bazę $V$ . Niech $v\in V$ będzie dowolnym wektorem. Z warunku (B2) wynika, że istnieją takie skalary $x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{F}$ , że $v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}$ . Musimy pokazać, że są one wyznaczone jednoznacznie. Przypuśćmy więc, że

v=y_{1}\cdot v_{1}+\ldots+y_{n}\cdot v_{n},

gdzie $y_{i}\in\mathbb{F}$ . Wtedy

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=v-v$
		$\displaystyle=(x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n})-(y_{1}\cdot v_{1}+% \ldots+y_{n}\cdot v_{n})$
		$\displaystyle=(x_{1}-y_{1})\cdot v_{1}+\ldots+(x_{n}-y_{n})\cdot v_{n}.$
Ponieważ wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ są liniowo niezależne, więc
		$\displaystyle x_{1}-y_{1}=\ldots=x_{n}-y_{n}=0,$

co kończy dowód pierwszej implikacji.

Załóżmy teraz, że dla każdego wektora $v\in V$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $x_{1},\ldots,x_{k}\in\mathbb{F}$ , że

v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}.

Wtedy oczywiście zachodzi warunek (B2). Pokażemy liniową niezależność wektorów $v_{1},\ldots,v_{n}$ . Przypuśćmy, że $x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}=0$ dla pewnych skalarów $x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{F}$ . Ponieważ

0\cdot x_{1}+\ldots+0\cdot x_{n}=0=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n},

więc z założonej jednoznaczności skalarów wynika, że $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ .

∎

Lemat 5.1.

Niech $v_{1},\ldots,v_{n}\in V$ . Jeśli $v\in{\rm span}\,\big{\{}v_{1},\ldots,v_{n}\big{\}}$ , to

{\rm span}\,\big{\{}v_{1},\ldots,v_{n}\big{\}}={\rm span}\,\big{\{}v_{1},% \ldots,v_{n},v\big{\}}.

Dowód.

Oczywiście ${\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}\subset{\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n},v\}$ . Niech $w\in{\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n},v\}$ . Wtedy

w=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}+x\cdot v,

dla pewnych skalarów $x_{1},\ldots,x_{n},x\in\mathbb{F}$ . Ponieważ $v\in{\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ , więc $v=y_{1}\cdot v_{1}+\ldots+y_{n}\cdot v_{n}$ dla pewnych skalarów $y_{1},\ldots,y_{n}\in\mathbb{F}$ . Stąd

w=(x_{1}+xy_{1})\cdot v_{1}+\ldots+(x_{n}+xy_{n})\cdot v_{n}\in{\rm span}\,\{v% _{1},\ldots,v_{n}\}.

∎

Lemat 5.2.

Załóżmy, że wektory $v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ są liniowo niezależne. Jeśli $v_{k+1}\notin{\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{k}\}$ , to

v_{1},\ldots,v_{k},\;v_{k+1}

są liniowo niezależne.

Dowód.

Załóżmy, że

x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{k}\cdot v_{k}+x_{k+1}\cdot v_{k+1}=0

dla pewnych skalarów $x_{i}\in\mathbb{F}$ . Zauważmy, że $x_{k+1}=0$ , bo w przeciwnym razie

v_{k+1}=-\frac{1}{x_{k+1}}(x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{k}\cdot v_{k})\in{\rm span% }\,(v_{1},\ldots,v_{k}).

W konsekwencji, również $x_{1}=\ldots=x_{k}=0$ , bo $v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ są liniowo niezależne. ∎

Twierdzenie 5.1.

Załóżmy, że ${\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{k}\}=V\neq 0$ . Wtedy istnieje

B\subset\{v_{1},\ldots,v_{k}\}

baza dla $V$ .

Dowód.

Bez straty ogólności, na podstawie Lematu 5.1, możemy założyć, że wektory $v_{i}$ są niezerowe. Jeżeli ${\rm span}\,\{v_{1}\}=V$ , to dowód jest zakończony. Jeśli ${\rm span}\,\{v_{1}\}\neq V$ , to któryś z wektorów $v_{2},\ldots,v_{k}$ nie należy do ${\rm span}\,\{v_{1}\}$ . Powiedzmy, że jest to $v_{2}$ . Wtedy $v_{1},v_{2}$ są liniowo niezależne z Lematu 5.2. Możemy ten proces kontynuować rozważając teraz ${\rm span}\,\{v_{1},v_{2}\}$ . W skończonej liczbie kroków wybierzemy bazę $B$ ze zbioru $\{v_{1},\ldots,v_{k}\}$ . ∎

Twierdzenie 5.2 (Steinitz).

Załóżmy, że $V={\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ dla pewnych wektorów $v_{1},\ldots,v_{n}\in V$ ( $n\geq 1$ ). Jeśli wektory $w_{1},\ldots,w_{m}\in V$ są liniowo niezależne, to

•

$m\leq n$
•

po ewentualnym przenumerowaniu wektorów $v_{1},\ldots,v_{n}$ mamy

${\rm span}\,\{w_{1},\ldots,w_{m},v_{m+1},\ldots,v_{n}\}=V.$

Dowód.

Zastosujemy indukcję względem $k\in\{1,\ldots,m\}$ . Niech $k=1$ . Oczywiście $n\geq 1$ . Rozważmy wektor $w_{1}$ . Ponieważ ${\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}=V$ , więc

w_{1}=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}

dla pewnych skalarów $x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{F}$ . Ponieważ z założenia $w_{1}\neq 0$ , więc któryś ze skalarów $x_{i}$ jest różny od zera. Przenumerowując wektory $v_{i}$ i skalary $x_{i}$ możemy założyć, że $x_{1}\neq 0$ . Uzasadnimy, że ${\rm span}\,\{w_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\}=V$ . Ponieważ $w_{1}\in V={\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ , więc z Lematu 5.1 wynika, że

{\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}={\rm span}\,\{w_{1},v_{1},\ldots,v_{n}\}.

Z drugiej strony $x_{1}\neq 0$ , więc $v_{1}=\frac{1}{x_{1}}(w_{1}-x_{2}\cdot v_{2}-\ldots-x_{n}\cdot v_{n})\in{\rm span% }\,\{w_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\}$ , czyli

{\rm span}\,\{w_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\}={\rm span}\,\{w_{1},v_{1},v_{2},% \ldots,v_{n}\}={\rm span}\{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\}=V.

Zakładamy teraz, że teza zachodzi dla pewnego $1\leq k<m$ . Pokażemy, że zachodzi dla $k+1$ . Z założenia indukcyjnego $k\leq n$ oraz

{\rm span}\,\{w_{1},\ldots,w_{k},v_{k+1},\ldots,v_{n}\}=V.

Istnieją więc takie skalary $c_{1},\ldots,c_{n}\in\mathbb{F}$ , że

w_{k+1}=c_{1}\cdot w_{1}+\ldots+c_{k}\cdot w_{k}+c_{k+1}\cdot v_{k+1}+\ldots+c% _{n}\cdot v_{n}.

Zauważmy, że istnieje takie $k<i_{0}\leq n$ , że $c_{i_{0}}\neq 0$ , bo w przeciwnym razie $w_{k+1}=c_{1}\cdot w_{1}+\ldots+c_{k}\cdot w_{k}$ co jest sprzeczne z ich liniową zależnością. Po ewentualnym przenumerowaniu możemy założyć, że $i_{0}=k+1$ . W szczególności, $k+1\leq n$ . Mamy

v_{k+1}=\frac{1}{c_{k+1}}\big{(}w_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}c_{i}\cdot w_{i}-\sum_{i% =k+2}c_{i}\cdot v_{i}\big{)}.

Ponieważ $v_{k+1}\in{\rm span}\,\{w_{1},\ldots,w_{k+1},v_{k+2},\ldots,v_{n}\}$ , więc

{\rm span}\,\{w_{1},\ldots,w_{k+1},v_{k+2},\ldots,v_{n}\}={\rm span}\,\{w_{1},% \ldots,w_{k+1},v_{k+1}v_{k+2},\ldots,v_{n}\}=

{\rm span}\,\{w_{1},\ldots,w_{k},v_{k+1}v_{k+2},\ldots,v_{n}\}=V.

∎

Twierdzenie 5.3.

Załóżmy, że wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ stanowią bazę przestrzeni wektorowej $V$ . Jeśli wektory $w_{1},\ldots,w_{m}\in V$ są liniowo niezależne, to $m\leq n$ .

Dowód.

Przypuśćmy, że $m>n$ . Pokażemy, że wektory $w_{1},\ldots,w_{n}$ są bazą $V$ . Prowadzi to do sprzeczności, bo wtedy $w_{n+1}$ jest kombinacją liniową wektorów $w_{1},\ldots,w_{n}$ , a z założenia wektory $w_{1},\ldots,w_{n},w_{n+1}$ są liniowo niezależne.

Rozważmy wektor $w_{1}$ . Ponieważ $v_{1},\ldots,v_{n}$ są bazą $V$ , więc

w_{1}=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}

dla jednoznacznie wyznaczonych skalarów $x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{F}$ . Ponieważ z założenia $w_{1}\neq 0$ , więc któryś ze skalarów $x_{i}$ jest różny od zera. Przenumerowując wektory $v_{i}$ i skalary $x_{i}$ możemy założyć, że $x_{1}\neq 0$ . Uzasadnimy, że $w_{1},v_{2},\ldots,v_{n}$ są bazą dla $V$ . Przypuśćmy, że

\lambda_{1}\cdot w_{1}+\lambda_{2}\cdot v_{2}+\ldots+\lambda_{n}\cdot v_{n}=0,

dla pewnych skalarów $\lambda_{i}$ . Jeśli $\lambda_{1}=0$ , to również $\lambda_{2}=\ldots=\lambda_{n}=0$ bo wektory $v_{2},\ldots,v_{n}$ są liniowo niezależne. Jeśli $\lambda_{1}\neq 0$ , to

w_{1}=-\frac{1}{\lambda_{1}}(\lambda_{2}\cdot v_{2}+\ldots+\lambda_{n}\cdot v_% {n}),

co jest sprzeczne z jednoznacznością zapisu $w_{1}$ w bazie $v_{1},\ldots,v_{n}$ , bo $x_{1}\neq 0$ .

Pokażemy teraz, że $w_{1},v_{2},\ldots,v_{n}$ generują $V$ . Ponieważ $w_{1}\in V={\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ , więc z Lematu 5.1 wynika, że

{\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}={\rm span}\,\{w_{1},v_{1},\ldots,v_{n}\}.

Z drugiej strony $v_{1}\in{\rm span}\,\{w_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\}$ , więc

{\rm span}\,\{w_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\}={\rm span}\,\{w_{1},v_{1},v_{2},% \ldots,v_{n}\}.

Uzasadnimy, że możemy ten proces iterować. Przypuśćmy, że dla pewnego $1\leq k<n$ wektory

w_{1},\ldots,w_{k},\;v_{k+1},\ldots,v_{n}

tworzą bazę $V$ . Istnieją więc jedyne takie skalary $c_{1},\ldots,c_{n}\in\mathbb{F}$ , że

w_{k+1}=c_{1}\cdot w_{1}+\ldots+c_{k}\cdot w_{k}+c_{k+1}\cdot v_{k+1}+\ldots+c% _{n}\cdot v_{n}.

Zauważmy, że istnieje takie $k<i_{0}\leq n$ , że $c_{i_{0}}\neq 0$ , bo w przeciwnym razie $w_{k+1}=c_{1}\cdot w_{1}+\ldots+c_{k}\cdot w_{k}$ co jest sprzeczne z liniową zależnością. Z dokładnością do permutacji możemy założyć, że $c_{k+1}\neq 0$ i możemy podmienić wektor $v_{k+1}$ na $w_{k+1}$ otrzymując bazę

w_{1},\ldots,w_{k},w_{k+1},\;v_{k+2},\ldots,v_{n}.

∎

Wniosek 5.2.

Załóżmy, że $v_{1},\ldots,v_{n}$ jest bazą $V$ . Wtedy każda baza w $V$ ma $n$ elementów.

Definicja 5.4.

Przestrzeń skończenie wymiarowa

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . Powiemy, że przestrzeń $V$ jest skończenie wymiarowa, jeśli posiada bazę skończoną. Wymiarem przestrzeni skończenie wymiarowej $V$ nazywamy liczbę elementów jej dowolnej bazy i oznaczamy przez ${\rm dim}_{\mathbb{F}}\,V$ lub ${\rm dim}\,V$ . Przyjmujemy z definicji, że ${\rm dim}\,V=0$ , gdy $V=\{0\}$ . Jeśli przestrzeń $V$ nie jest skończenie wymiarowa, to mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa.

Istnienie bazy skończonej $v_{1},\ldots,v_{n}$ w przestrzeni wektorowej $V$ bardzo ułatwia analizę jej własności, bo pozwala ograniczyć się do rozważania kombinacji liniowych $x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}$ skończonej liczby wektorów. Z drugiej strony musimy być świadomi w jaki sposób, jeśli w ogóle, rozważane przez nas pojęcia lub przeprowadzane rozumowania zależą od wyboru bazy w przestrzeni $V$ . Przykładowo definiując wymiar przestrzeni wektorowej musieliśmy uzasadnić, że wszystkie bazy mają tyle samo elementów.

Wniosek 5.3.

${\rm dim}_{\mathbb{F}}\,\mathbb{F}^{n}=n$ dla $n\in\mathbb{N}$ .

Dowód.

Wektory $e_{1},\ldots,e_{n}$ stanowią bazę dla $\mathbb{F}^{n}$ złożoną z $n$ -wektorów. ∎

Przykład 5.5.

W przestrzeni wektorowej $V=\mathbb{Z}_{2}$ nad $\mathbb{Z}_{2}$ istnieje tylko jedna baza, bo w $\mathbb{Z}_{2}=\{0,1\}$ mamy tylko jeden niezerowy wektor.

Przykład 5.6 (Przestrzeń $\mathbb{C}^{n}$ nad ciałami $\mathbb{C}$ i $\mathbb{R}$ ).

Rozważmy przestrzenie wektorowe $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{C}})$ oraz $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ . Pierwsza jest przestrzenią zespoloną oraz

{\rm dim}\,(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{C}})=n.

Bazą dla $(\mathbb{C}^{2},+,\cdot_{\mathbb{C}})$ są przykładowo wektory $e_{1}=[1,0]^{T},e_{2}=[0,1]^{T}\in\mathbb{C}^{2}$ . Druga przestrzeń, $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ jest przestrzenią rzeczywistą oraz

{\rm dim}\,(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{R}})=2n.

Bazą dla $(\mathbb{C}^{2},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ są na przykład wektory:

e_{1},\quad e_{2},\quad[i,0]^{T},\quad[0,i]^{T}.

Rzeczywiście, dla $[a+ib,c+id]^{T}$ i $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ mamy

[a+ib,c+id]^{T}=a\cdot[1,0]^{T}+c\cdot[0,1]^{T}+b\cdot[i,0]^{T}+d\cdot[0,i]^{T},

i to przedstawienie jest jednoznaczne.

Przykład 5.7 (Przestrzeń wektorowa macierzy $M_{k\times n}(\mathbb{F})$ ).

Wprowadzimy strukturę przestrzeni wektorowej w zbiorze $M_{k\times n}(\mathbb{F})$ . W tym celu określimy działania

+:M_{k\times n}(\mathbb{F})\times M_{k\times n}(\mathbb{F})\longrightarrow M_{% k\times n}(\mathbb{F})

oraz

\cdot:\mathbb{F}\times M_{k\times n}(\mathbb{F})\longrightarrow M_{k\times n}(% \mathbb{F}).

Dla $A,B\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ i $t\in\mathbb{F}$ definiujemy

\underbrace{\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}&\ldots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{k1}&\ldots&a_{kn}\\ \end{array}\right]}_{A}+\underbrace{\left[\begin{array}[]{ccc}b_{11}&\ldots&b_% {1n}\\ \vdots&&\vdots\\ b_{k1}&\ldots&b_{kn}\\ \end{array}\right]}_{B}=\underbrace{\left[\begin{array}[]{ccc}a_{11}+b_{11}&% \ldots&a_{1n}+b_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{k1}+b_{k1}&\ldots&a_{kn}+b_{kn}\\ \end{array}\right]}_{A+B},

t\cdot\left[\begin{array}[]{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ \vdots&&&\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\ldots&a_{kn}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cccc}t\cdot a_{11}&t\cdot a_{12}&% \ldots&t\cdot a_{1n}\\ \vdots&&&\vdots\\ t\cdot a_{k1}&t\cdot a_{k2}&\ldots&t\cdot a_{kn}\\ \end{array}\right].

Sprawdzamy łatwo, że trójka $(M_{k\times n}(\mathbb{F}),+,\cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . Znajdziemy bazę dla przestrzeni $(M_{2\times 2}(\mathbb{F}),+,\cdot)$ . Zauważmy, że dla dowolnej macierzy $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ mamy

	$\displaystyle\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}&0\\ 0&0\\ \end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{cc}0&a_{12}\\ 0&0\\ \end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ a_{21}&0\\ \end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&a_{22}\\ \end{array}\right]$
	$\displaystyle=a_{11}\cdot\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\\ \end{array}\right]+a_{12}\cdot\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&0\\ \end{array}\right]+a_{21}\cdot\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right]+a_{22}\cdot\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&1\\ \end{array}\right].$

Ponieważ współczynniki $a_{ij}$ są w tym przedstawieniu wyznaczone jednoznacznie przez macierz $A$ , więc macierze

\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\\ \end{array}\right],\quad\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&0\\ \end{array}\right],\quad\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right],\quad\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&1\\ \end{array}\right]

są bazą $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ , więc ${\rm dim}_{\mathbb{F}}\,M_{2\times 2}(\mathbb{F})=4$ .

Z powyższego wynika, że ${\rm dim}_{\mathbb{C}}\,M_{2\times 2}(\mathbb{C})=4$ . Przestrzeń $M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ możemy również traktować jako przestrzeń wektorową nad $\mathbb{R}$ . Zastanówmy się jaki jest wymiar ${\rm dim}_{\mathbb{R}}\,M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ . Każdy ze współczynników macierzy $A$ jest liczbą zespoloną. Macierz $A$ możemy teraz mnożyć tylko przez liczby rzeczywiste. Mamy

	$\displaystyle A$	$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}+ib_{11}&a_{12}+ib_{12}\\ a_{21}+ib_{21}&a_{22}+ib_{22}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}+ib_{11}&0\\ 0&0\\ \end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{cc}0&a_{12}+ib_{12}\\ 0&0\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle+\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ a_{21}+ib_{21}&0\\ \end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&a_{22}+ib_{22}\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=a_{11}\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\\ \end{array}\right]+a_{12}\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&0\\ \end{array}\right]+a_{21}\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right]+a_{22}\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle+b_{11}\left[\begin{array}[]{cc}i&0\\ 0&0\\ \end{array}\right]+b_{12}\left[\begin{array}[]{cc}0&i\\ 0&0\\ \end{array}\right]+b_{21}\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ i&0\\ \end{array}\right]+b_{22}\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&i\\ \end{array}\right].$

Wynika stąd, że ${\rm dim}_{\mathbb{R}}\,M_{2\times 2}(\mathbb{C})=8$ .

Przykład 5.8.

Pokażemy, że rozważanie przestrzeni wektorowych nad $\mathbb{Z}_{2}$ może być użyteczne w rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

W pewnym mieście mieszka $n$ osób i działa $m$ klubów dyskusyjnych. Każda z nich ma nieparzystą liczbę członków oraz każde dwa kluby mają parzystą liczbę wspólnych członków. Pokażemy, że $m\leq n$ .

Dla $i=1,\ldots,m$ , przez $v^{i}=[v^{i}_{1},\ldots,v^{i}_{n}]^{T}\in\mathbb{Z}_{2}^{n}$ oznaczamy wektor przynależności mieszkańców do klubu $i$ . Oznacza to, że $v^{i}_{j}=1$ , gdy $j$ -ty mieszkaniec należy do klubu $i$ . W przeciwnym razie $v^{i}_{j}=0$ . Wtedy $(v^{i}|v^{i})=\sum_{j=1}(v^{i}_{j})^{2}$ jest liczbą członków klubu $i$ . Wiemy, że jest to liczba nieparzysta. W $\mathbb{Z}_{2}$ mamy więc, że $(v^{i}|v^{i})=1$ . Analogicznie dla $i\neq j$ , $(v^{i}|v^{j})$ jest liczbą osób będących w klubach $i$ oraz $j$ . Z założenia wynika, że $(v^{i}|v^{j})=0$ dla $i\neq j$ . Wystarczy pokazać, że $v_{1},\ldots,v_{m}$ są liniowo niezależne w $\mathbb{Z}_{2}^{n}$ . Przypuśćmy, że dla pewnych $c_{1},\ldots,c_{m}\in\mathbb{Z}_{2}$ mamy

c_{1}\cdot v_{1}+\ldots+c_{m}\cdot v_{m}=0.

Ponieważ $(v_{i}|v_{j})=\delta_{ij}$ , więc $c_{1}=\ldots=c_{m}=0$ .

Lemat 5.3.

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową. Następujące warunki są równoważne

(i)

$V$ jest nieskończenie wymiarowa,
(ii)

istnieje taki nieskończony ciąg wektorów $v_{1},v_{2},\ldots$ , że dla każdego $n\in\mathbb{N}$ wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ są liniowo niezależne.

Dowód.

Załóżmy, że $V$ jest nieskończenie wymiarowa. Niech $v_{1}\in V$ będzie niezerowym wektorem. Ponieważ ${\rm span}\,\{v_{1}\}\neq V$ , więc istnieje wektor $v_{2}\in V\setminus{\rm span}\,\{v_{1}\}$ . Wtedy $v_{1},v_{2}$ są liniowo niezależne. Analogicznie, ${\rm span}\,\{v_{1},v_{2}\}\neq V$ , więc istnieje wektor $v_{3}\in V\setminus{\rm span}\,\{v_{1},v_{2}\}$ . Wtedy $v_{1},v_{2},v_{3}$ są liniowo niezależne. Możemy ten proces kontynuować dla każdego $n\in\mathbb{N}$ , co kończy dowód punktu (ii).

Załóżmy, że zachodzi warunek (ii). Gdyby $V$ miała wymiar skończony $n\geq 1$ , to wektory $v_{1},\ldots,v_{n+1}$ byłyby liniowo zależne. ∎

Pojęcie bazy w przestrzeni nieskończenie wymiarowej $V$ możemy zdefiniować następująco. Powiemy, że podzbiór $A\subset V$ jest liniowo niezależny, jeżeli dla dla każdego $n\in\mathbb{N}$ dowolne różne wektory $v_{1},\ldots,v_{n}\in A$ są liniowo niezależne. Podzbiór $A$ generuje $V$ , gdy dla każdego wektora $v\in V$ istnieją takie wektory $w_{1},\ldots,w_{n}\in A$ oraz skalary $x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{F}$ , że $v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{n}\cdot v_{n}$ . Podzbiór $B\subset V$ jest bazą, jeśli $B$ jest liniowo niezależny i generuje $V$ . W oparciu o Lemat Kuratowskiego-Zorna można udowodnić, że w każdej przestrzeni wektorowej istnieje baza. Dokładniej, jeśli $A\subset V$ jest liniowo niezależny, $C\subset V$ generuje $V$ oraz $A\subset C$ , to istnieje taka baza $B$ , że $A\subset B\subset C$ .

Przykład 5.9 (Przestrzeń wektorowa ciągów rzeczywistych).

Rozważmy przestrzeń wektorową

\mathbb{R}^{\infty}=\Big{\{}[x_{1},x_{2},\ldots]^{T}:x_{i}\in\mathbb{R}\Big{\}}

wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach rzeczywistych z naturalnie określonymi działaniami. Sprawdzamy łatwo, że ciąg wektorów

e_{1}=[1,0,0\ldots]^{T},\quad e_{2}=[0,1,0,\ldots]^{T},\ldots

tworzy zbiór liniowo niezależny $A$ , więc $\mathbb{R}^{\infty}$ jest nieskończenie wymiarowa. $A$ nie generuje przestrzeni $\mathbb{R}^{\infty}$ , bo na przykład ciąg

1^{\infty}=[1,1,1,\ldots]^{T}

nie jest skończoną kombinacją liniową wektorów $e_{1},e_{2},\ldots$ .

Przykład 5.10 (Przestrzeń wektorowa wielomianów).

Niech $(P,+,\cdot)$ będzie przestrzenią wektorową wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Nie jest to przestrzeń skończonego wymiaru, bo wielomiany

1,x,x^{2},x^{3},\ldots

są liniowo niezależne.

Niech $P_{n}\subset P$ będzie zbiorem wielomianów stopnia co najwyżej $n$ . Wtedy, $P_{n}$ jest podprzestrzenią wektorową oraz

{\rm dim}\,P_{n}=n+1.

Bazą dla $P_{n}$ są wielomiany $1,x,x^{2},\ldots,x^{n}$ .

Jeśli $P(n)\subset P$ jest zbiorem wielomianów stopnia $n\geq 1$ , to $P$ nie jest podprzestrzenią wektorową, bo wielomian zerowy nie należy do $P_{n}$ .

Twierdzenie 5.4.

Niech $V\in{\rm Vekt}_{\mathbb{F}}$ i ${\rm dim}_{\mathbb{F}}\,V=n\in\mathbb{N}$ . Dla wektorów $v_{1},\ldots,v_{n}\in V$ następujące warunki są równoważne:

(1)

$v_{1},\ldots,v_{n}$ są liniowo niezależne;
(2)

${\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}=V$ ;
(3)

$v_{1},\ldots,v_{n}$ stanowią bazę $V$ .

Dowód.

(1) $\Rightarrow$ (2). Zakładamy, że $v_{1},\ldots v_{n}$ są liniowo niezależne. Przypuśćmy, że

{\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}\neq V.

Istnieje wtedy wektor $v\notin V\setminus{\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ . Z Lematu 5.2 wynika, że wektory $v_{1},\ldots v_{n},v$ są liniowo niezależne. Jest to sprzeczne z Twierdzeniem 5.3.

(2) $\Rightarrow$ (3) Wynika z Lematu 5.1 i Wniosku 5.2.

(3) $\Rightarrow$ (1) Jest konsekwencją definicji bazy. ∎

Wniosek 5.4.

Wektory $a_{1},a_{2}\in\mathbb{F}^{2}$ tworzą bazę $\mathbb{F}^{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

{\rm det}\,\left[\begin{array}[]{c|c}a_{1}&a_{2}\\ \end{array}\right]\neq 0.

Wniosek 5.5.

Niech $A=\left[\begin{array}[]{c|c|c}a_{1}&\ldots&a_{n}\\ \end{array}\right]\in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ . Następujące warunki są równoważne

(1)

układ $Ax=0$ ma jednoznaczne rozwiązanie zerowe,
(2)

układ $Ax=b$ ma rozwiązanie dla każdego $b\in\mathbb{F}^{n}$ ,
(3)

kolumny $a_{1},\ldots,a_{n}$ tworzą bazę $\mathbb{F}^{n}$ .

Dowód.

Punkt (1) oznacza, że wektory $a_{1},\ldots,a_{n}$ są liniowo niezależne, a punkt (2) mówi, że ${\rm span}\,\{a_{1},\ldots,a_{n}\}=\mathbb{F}^{n}$ . ∎

Wniosek 5.6.

Załóżmy, że ${\rm dim}\,V=n$ , $1\leq k<n$ i wektory $v_{1},\ldots,v_{k}$ są liniowo niezależne. Wtedy istnieją takie wektory $v_{k+1},\ldots,v_{n}$ , że wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ tworzą bazę $V$ .

Dowód.

Ponieważ $k<n$ , więc $v_{1},\ldots,v_{k}$ nie jest bazą. Istnieje więc wektor

v_{k+1}\notin{\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{k}\}.

Z Lematu 5.2 wektory $v_{1},\ldots,v_{k},v_{k+1}$ są liniowo niezależne. Iterujemy tę procedurę i zakończy się ona po skończonej liczbie kroków. ∎

5.2 Podprzestrzenie wektorowe

Definicja 5.5.

Podprzestrzeń wektorowa

Niech $(V,+,\cdot)$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ i niech $S\subset V$ . Powiemy, że $S$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$ , jeśli zachodzą warunki

(P1)

$0\in S$ tzn. wektor zerowy należy do $S$ ;
(P2)

$v+w\in S$ dla dowolnych $v,w\in S$ tzn. dodawanie wektorów nie wyprowadza nas ze zbioru $S$ ;
(P3)

$t\cdot v\in S$ dla dowolnych $t\in\mathbb{F}$ i $v\in V$ tzn. mnożenie przez skalar nie wyprowadza nas ze zbioru $S$ .

Czasami (P1) zastępuje się warunkiem, że $S\neq\emptyset$ . Te dwie definicje są równoważne. Rzeczywiście, załóżmy, że $S\neq\emptyset$ i zachodzą warunki (P2) i (P3). Niech $v\in S$ . Wtedy $-v\in S$ z warunku (P3) i $0=v+(-v)\in S$ z warunku (P2).

Wniosek 5.7.

Jeśli $v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ , to ${\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{k}\}$ jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej $V$ .

Wniosek 5.8.

Zbiór rozwiązań równania jednorodnego $Ax=0$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$ dla $A\in M_{k\times n}(\mathbb{F})$ .

Przykład 5.11.

Rozważmy płaszczyznę $S=\Big{\{}[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}\in\mathbb{R}^{3}:2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0\Big{\}}$ . Zauważmy, że wtedy $x_{3}=3x_{2}-2x_{1}$ , więc

	$\displaystyle[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}$	$\displaystyle=[x_{1},x_{2},3x_{2}-2x_{1}]^{T}$
		$\displaystyle=[x_{1},0,-2x_{1}]^{T}+[0,x_{2},3x_{2}]^{T}$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot[1,0,-2]^{T}+x_{2}\cdot[0,1,3]^{T}.$

Stąd $S={\rm span}\,\Big{\{}[1,0,-2]^{T},[0,1,3]^{T}\Big{\}}$ , czyli jest to podprzestrzeń wektorowa w $\mathbb{R}^{3}$ .

Przykład 5.12.

Pokażemy, że zbiór $S=\Big{\{}[a+b,a-b+2c,b,c]^{T}:a,b,c\in\mathbb{R}\Big{\}}\subset\mathbb{R}^{4}$ jest podprzestrzenią wektorową w $\mathbb{R}^{4}$ . Zauważmy, że

	$\displaystyle[a+b,a-b+2c,b,c]^{T}$	$\displaystyle=[a,a,0,0]^{T}+[b,-b,b,0]^{T}+[0,2c,0,c]^{T}$
		$\displaystyle=a\cdot[1,1,0,0]^{T}+b\cdot[1,-1,1,0]^{T}+c\cdot[0,2,0,1]^{T}.$

Oznacza to, że $S={\rm span}\,\Big{\{}[1,1,0,0]^{T},[1,-1,1,0]^{T},[0,2,0,1]^{T}\Big{\}}$ , więc jest to podprzestrzeń wektorowa.

Przykład 5.13.

Okrąg $\mathbb{S}^{1}\subset\mathbb{R}^{2}$ nie spełnia ani jednego z warunków (P1)-(P3). Nie jest więc podprzestrzenią wektorową.

Przykład 5.14.

Zbiór $S=\Big{\{}[x_{1},x_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{2}:x_{1}x_{2}=0\Big{\}}$ spełnia warunki (P1) i (P3), ale nie spełnia (P2). Nie jest więc podprzestrzenią wektorową.

Przykład 5.15.

Zbiór $S=\Big{\{}[x_{1},x_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{2}:x_{2}\geq 0\Big{\}}$ spełnia warunki (P1) i (P2), ale nie spełnia (P3). Nie jest więc podprzestrzenią wektorową.

Przykład 5.16.

Zbiór pusty $\emptyset\subset\mathbb{R}^{2}$ spełnia warunki (P2) i (P3), ale nie spełnia (P1). Nie jest więc podprzestrzenią wektorową.

Przykład 5.17.

Rozważmy podprzestrzeń $V\subset\mathbb{Z}_{2}^{3}$ daną przez

V=\Big{\{}[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}\in\mathbb{Z}_{2}^{3}:x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\Big% {\}}.

W ciele $\mathbb{Z}_{2}$ równość $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ oznacza, że $x_{1}=x_{2}+x_{3}$ , czyli wektory z $V$ mają postać

[x_{2}+x_{3},x_{2},x_{3}]^{T}=x_{2}\cdot[1,1,0]^{T}+x_{3}\cdot[1,0,1],\quad x_% {2},x_{3}\in\mathbb{Z}_{2}.

Wektory $[1,1,0]^{T},[1,0,1]^{T}\in\mathbb{Z}_{2}^{3}$ są liniowo niezależne, więc ${\rm dim}\,V=2$ . Sprawdzamy łatwo rozważając wszystkie możliwości wyboru $x_{2}$ i $x_{3}$ , że

V=\Big{\{}[0,0,0]^{T},[1,0,1]^{T},[1,1,0]^{T},[0,1,1]^{T}\Big{\}}.

Przykład 5.18.

Zastanówmy się ile $2$ -wymiarowych podprzestrzeni ma przestrzeń wektorowa $\mathbb{Z}_{2}^{4}$ ? Niech $v\in\mathbb{Z}_{2}^{4}$ będzie niezerowym wektorem. Wtedy

{\rm span}\,\{v\}=\{0,v\},

więc jeśli $v, u$ są różnymi niezerowymi wektorami, to są one liniowo niezależne w $\mathbb{Z}_{2}^{4}$ . Ponadto,

{\rm span}\,\{u,v\}=\{0,u,v,u+v\}

składa się z $4$ różnych wektorów. W przestrzeni $\mathbb{Z}_{2}^{4}$ mamy $2^{4}$ wektorów i $2^{4}-1$ wektorów niezerowych. Par liniowo niezależnych wektorów $u, v$ mamy więc $\frac{(2^{4}-1)(2^{4}-2)}{2}$ . Ponieważ

{\rm span}\,\{u,v\}={\rm span}\,\{u,u+v\}={\rm span}\,\{v,u+v\},

więc różnych podprzestrzeni $2$ wymiarowych jest $\frac{(2^{4}-1)(2^{4}-2)}{6}$ .

Oceń prawdziwość zdań:
- –
  
  Jeśli $v_{1},v_{2},v_{3}$ tworzą bazę $\mathbb{R}^{3}$ i $b\in\mathbb{R}^{3}$ jest niezerowym wektorem, to $b+v_{1},v_{2},v_{3}$ również tworzy bazę $\mathbb{R}^{3}$ .
- –
  
  Istnieją takie $2$ -wymiarowe podprzestrzenie wektorowe $U$ i $W$ w $\mathbb{R}^{3}$ , że $U\cap W=\{0\}$ .
- –
  
  Istnieją takie $2$ -wymiarowe podprzestrzenie wektorowe $U$ i $W$ w $\mathbb{R}^{4}$ , że $U\cap W=\{0\}$ .
- –
  
  Jeśli $U, W$ są podprzestrzeniami wektorowymi $\mathbb{R}^{2}$ , to $U\cup W$ jest również podprzestrzenią wektorową.
- –
  
  Jeśli wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ generują $\mathbb{R}^{n}$ , to są liniowo niezależne.
- –
  
  Jeśli wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ generują przestrzeń wektorową $V$ , to są liniowo niezależne.
- –
  
  Jeśli wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ są liniowo zależne, to któryś z nich jest wektorem zerowym.
- –
  
  Jeśli wektory $v_{1},\ldots,v_{k}$ są liniowo zależne w $\mathbb{R}^{n}$ , to $k>n$ .
- –
  
  Jeśli ${\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{k}\}=\mathbb{R}^{n}$ , to $k=n$ .
- –
  
  Jeśli ${\rm span}\,\{u,v\}=\mathbb{R}^{2}$ , to ${\rm span}\,\{u,v+w\}=\mathbb{R}^{2}$ dla dowolnego $w\in\mathbb{R}^{2}$ .
- –
  
  Przestrzenie $M_{n\times n}(\mathbb{C})$ i $M_{n\times n}(\mathbb{R})$ mają ten sam wymiar nad ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ .
- –
  
  Jeśli ${\rm span}\,\{u,v,w\}=\mathbb{R}^{2}$ , to któreś dwa wektory spośród $u, v, w$ są liniowo niezależne.
- –
  
  Dla dowolnej macierzy $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ macierze $I,A,A^{2},A^{3},A^{4}$ są liniowo zależne w przestrzeni wektorowej $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ .
- –
  
  Dla dowolnej macierzy niezerowej $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ macierze
  
  $I,A,A^{2},A^{3},A^{4}$
  
  generują przestrzeń wektorową $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ .
- –
  
  Zbiór wszystkich takich funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , że $f(0)=3f(1)$ jest przestrzenią wektorową z naturalnymi działaniami.
- –
  
  Funkcje $x^{2}$ i $\sin x$ są liniowo niezależne w przestrzeni funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .
- –
  
  Funkcje $x^{2}$ i $\sin x$ generują przestrzeń funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .
- –
  
  Jeśli $v\in\mathbb{R}^{3}$ jest dowolnym wektorem, to
  
  $v^{\perp}=\{w\in\mathbb{R}^{3}:(v|w)=0\}$
  
  jest podprzestrzenią wektorową $\mathbb{R}^{3}$ .
- –
  
  Jeśli $u,v\in\mathbb{R}^{n}$ są takie, że $(u|v)=0$ , to $u, v$ są liniowo niezależne.

$\longleftarrow$

Oceń które z poniższych podzbiorów przestrzeni wektorowej $M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ są jej podprzestrzeniami wektorowymi:
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):{\rm det}\,(A)=0\big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):{\rm tr}\,(A)=0\big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):{\rm det}\,(A)\neq 0\big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):{\rm tr}\,(A)\neq 0\big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):A=A^{*}\big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):A=\overline{A}\big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):A=A^{T}\big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):A^{2}=0\big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):a_{11}=0\big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):a_{12}=a_{21}=0\big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):{\rm tr}\,(A)={\rm tr}\,(\overline{A})% \big{\}}$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):AJ=JA\big{\}}$ , gdzie $J=\left[\begin{array}[]{cc}0&-1\\ 1&0\\ \end{array}\right]$ ,
- –
  
  $\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):AB=0\big{\}}$ , gdzie $B\in M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ jest ustaloną macierzą.

$\longleftarrow$

Oceń które z poniższych podzbiorów przestrzeni wektorowej $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ funkcji $F:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ są jej podprzestrzeniami wektorowymi:
- –
  
  $C(\mathbb{R},\mathbb{R})=\big{\{}f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{jest% ciągła}\big{\}}$ ,
- –
  
  $B(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{jest % ograniczona}\}$ ,
- –
  
  $\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):|f(x)|<1\;\textmd{dla każdego}\;x\in\mathbb{R}\}$ ,
- –
  
  $CB(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{jest ciąg% ła i ograniczona}\}$ ,
- –
  
  $\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{jest injekcją}\}$ ,
- –
  
  $\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{jest surjekcją}\}$ ,
- –
  
  $\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{jest bijekcją}\}$ ,
- –
  
  $\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{jest różniczkowalna}\}$ ,
- –
  
  $C^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{ma cią% głą pochodną}\}$ ,
- –
  
  $C^{2}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{ma cią% głą pochodną rzędu 2}\}$ ,
- –
  
  $C^{k}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{ma cią% głą pochodną rzędu}\;k\in\mathbb{N}\}$ ,
- –
  
  $C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{% ma ciągłą pochodną dowolnego rzędu}\;k\in\mathbb{N}\}$ ,
- –
  
  $\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f(0)=0\}$ ,
- –
  
  $\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f(0)=1\}$ ,
- –
  
  $F_{o}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{jest % nieparzysta}\}$ ,
- –
  
  $F_{e}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}):f\;\textmd{jest % parzysta}\}$ .

$\longleftarrow$

NIE ZA DUŻO NIE ZA MAŁO TYLKO W SAM RAZ Niech

n={\rm dim}\,V

. • jeśli

w_{1},\ldots,w_{k}

są liniowo niezależne, to

k\leq n

; wtedy

w_{1},\ldots,w_{k}

da się uzupełnić do bazy, • jeśli

{\rm span}\,\{w_{1},\ldots,w_{k}\}=V

, to

k\geq n

; wtedy ze zbioru

\{w_{1},\ldots,w_{k}\}

da się wybrać bazę. Poniższe warunki są równoważne •

v_{1},\ldots,v_{n}

są bazą

V

, •

v_{1},\ldots,v_{n}

są liniowo niezależne, •

{\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{n}\}=V

Rozdział 5 Baza i wymiar

5.1 Generowanie i liniowa niezależność

Definicja 5.1.

Przykład 5.1.

Definicja 5.2.

Przykład 5.2.

Przykład 5.3.

Definicja 5.3.

Przykład 5.4.

Wniosek 5.1.

Dowód.

Lemat 5.1.

Dowód.

Lemat 5.2.

Dowód.

Twierdzenie 5.1.

Dowód.

Twierdzenie 5.2 (Steinitz).

Dowód.

Twierdzenie 5.3.

Dowód.

Wniosek 5.2.

Definicja 5.4.

Wniosek 5.3.

Dowód.

Przykład 5.5.

Przykład 5.6 (Przestrzeń Cn nad ciałami C i R).

Przykład 5.7 (Przestrzeń wektorowa macierzy Mk×n⁢(F)).

Przykład 5.8.

Lemat 5.3.

Dowód.

Przykład 5.9 (Przestrzeń wektorowa ciągów rzeczywistych).

Przykład 5.10 (Przestrzeń wektorowa wielomianów).

Twierdzenie 5.4.

Dowód.

Wniosek 5.4.

Wniosek 5.5.

Dowód.

Wniosek 5.6.

Dowód.

5.2 Podprzestrzenie wektorowe

Definicja 5.5.

Wniosek 5.7.

Wniosek 5.8.

Przykład 5.11.

Przykład 5.12.

Przykład 5.13.

Przykład 5.14.

Przykład 5.15.

Przykład 5.16.

Przykład 5.17.

Przykład 5.18.

Przykład 5.6 (Przestrzeń $\mathbb{C}^{n}$ nad ciałami $\mathbb{C}$ i $\mathbb{R}$ ).

Przykład 5.7 (Przestrzeń wektorowa macierzy $M_{k\times n}(\mathbb{F})$ ).