SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU układ równań liniowych dozwolone operacje macierz rozszerzona układu eliminacja Gaussa postać schodkowa podprzestrzeń układy jednorodne wyznacznik wzory Cramera |
Rozważmy układ równań
Każde z równań układu opisuje pewną płaszczyznę w . Szukamy więc punktów leżących na obydwu płaszczyznach. Obydwie płaszczyzny zawierają punkt . Pierwsza z nich jest prostopadła do wektora , a druga jest prostopadła do wektora . Nie są one równoległe, więc ich przecięciem jest pewna prosta w . Naszym najbliższym celem będzie nauczenie się wyznaczania zbioru rozwiązań układu równań liniowych.
Układ równań liniowychł Niech będzie ciałem. Układem równań liniowych nazywamy układ równań postaci:
(4.1) |
Skalary nazywamy współczynnikami układu, a wyrazami wolnymi. Jest to układ równań z niewiadomymi . Zbiór rozwiązań układu składa się ze wszystkich wektorów , których współrzędne spełniają wszystkie równania tego układu. Mówimy, że układ
jest sprzeczny, gdy zbiór rozwiązań jest pusty;
ma rozwiązanie, jeśli zbiór rozwiązań jest niepusty;
ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy zbiór rozwiązań jest nieskończony;
ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli zbiór rozwiązań jest jednoelementowy.
Dwa układy równań są równoważne, jeżeli mają takie same zbiory rozwiązań.
Istnieją pewne operacje, które możemy wykonać na układzie równań (4.1) otrzymując układ równoważny.
DOZWOLONE OPERACJE NA RÓWNANIACH UKŁADU (I) możemy dwa równania układu zamienić miejscami; (II) możemy obydwie strony któregoś z równań pomnożyć przez dowolny niezerowy skalar; (III) możemy równanie pomnożone przez dowolny skalar dodać do innego równania. |
Punkty (I) i (II) są oczywiste. Punkt (III) wynika z faktu, że spełnia
wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia
Dozwolone operacje
Operacje (I)-(III) nazywamy dozwolonymi operacjami na równaniach układu równań liniowych.
Szczególnie łatwe do rozwiązania są układu w postaci ,,schodkowej’’. Przykładowo, w układzie równań (w ciele )
ostatnie równanie oznacza, że . Wtedy z drugiego równania . W konsekwencji, z pierwszego równania otrzymujemy, że . Zbiór rozwiązań układu składa się z jednego wektora .
Opiszemy na przykładzie metodę eliminacji Gaussa pozwalającą sprowadzić dowolny układ do postaci schodkowej. Rozważmy układ równań (w ciele )
Wszystkie informacje o rozważanym układzie możemy wygodnie zakodować przy pomocy macierzy (tabeli):
W wierszach macierzy wypisujemy współczynniki i wyrazy wolne poszczególnych równań. Macierz nazywamy macierzą układu, a macierz jego macierzą rozszerzoną. Dozwolone operacje (I)-(III) mają swój odpowiednik w postaci dozwolonych operacji na wierszach macierzy:
DOZWOLONE OPERACJE NA WIERSZACH MACIERZY UKŁADU RÓWNAŃ LINIOWYCH (I) możemy dwa wiersze macierzy zamienić miejscami (permutacja); (II) możemy wiersz pomnożyć przez dowolną niezerową liczbę rzeczywistą (skalowanie); (III) możemy wiersz pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą dodać do innego wiersza. |
Zaczynamy od tego, że szukamy wiersza w którym pierwszy wyraz jest niezerowy. W naszym przypadku jest to wiersz pierwszy. Jeśli pierwszy niezerowy wyraz jest różny od , to używamy skalowania (II), aby uzyskać na pierwszej pozycji.
Jeżeli w pierwszym wierszu na pierwszej pozycji jest zero, to szukamy innego wiersza z niezerowym wyrazem na pierwszej pozycji. Jeśli taki istnieje, to używamy pierwszej operacji (I) i zamieniamy go miejscami z wierszem pierwszym. Może się zdarzyć, że wszystkie wiersze mają na pierwszej pozycji . Wtedy powtarzamy procedurę szukając wiersza z niezerowym wyrazem na drugiej pozycji i iterujemy poprzednią procedurę.
W pierwszym kroku, używamy pierwszego wiersza i operacji (III) do wprowadzenia zer w pierwszej kolumnie pod jedynką w pierwszym wierszu. Dodając pierwszy wiersz do drugiego otrzymujemy macierz:
Następnie, pomnożony przez 2 pierwszy wiersz dodajemy do wiersza trzeciego
Kończymy ten krok odejmując pierwszy wiersz od wiersza piątego
W drugim kroku używamy analogicznie drugiego wiersza do eliminacji niezerowych elementów w trzeciej kolumnie i wierszach od trzeciego do piątego. W efekcie otrzymujemy
W ostatnim kroku używamy trzeciego wiersza do eliminacji jedynek w piątej kolumnie oraz czwartym i piątym wierszu. Otrzymujemy macierz:
Ostatnie dwa wiersze nie niosą ze sobą żadnej informacji, więc możemy je pominąć otrzymując w efekcie macierz
której odpowiada układ równań
Wstawiamy teraz do trzeciego równania i wyliczamy w nim otrzymując
Cofamy się teraz do pierwszego równania i wyliczamy po wstawieniu wartości za i otrzymując
i pełnią tu rolę parametrów. Zbiór rozwiązań jest dany przez
Przykładowo, dla jednym z rozwiązań jest . Zbiór rozwiązań jest nieskończony, bo dowolnie wybranym i odpowiada jakieś rozwiązanie.
Przyglądnijmy się układom równań z niewiadomymi. Dla macierzy z niezerową pierwszą kolumną postać schodkowa musi być wtedy jednej z postaci:
W pierwszym przypadku układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. W przypadku drugim, i możemy uzależnić od , które pełni rolę parametru. Zbiór rozwiązań jest nieskończony, bo może być dowolne. W trzecim przypadku, jest jednoznacznie wyznaczone i możemy uzależnić od pełniącego rolę parametru. Ponownie zbiór rozwiązań jest nieskończony. W czwartym, piątym i szóstym przypadku układ jest sprzeczny. W ostatnim układzie zbiorem rozwiązań jest płaszczyzna.
Zredukowana postać schodkowa macierzy jest wyznaczona jednoznacznie. Uzasadnimy ten fakt stosując indukcję względem , czyli liczby kolumn macierzy . Dla jest to oczywiste. Niech . Rozważmy macierz otrzymaną z przez skreślenie ostatniej kolumny. Każdy ciąg operacji elementarnych, który sprowadza do zredukowanej postaci schodkowej, sprowadza również macierz do zredukowanej postaci schodkowej. Z założenia indukcyjnego wynika więc, że jeśli i są zredukowanymi postaciami schodkowymi macierzy , to i mogą się różnić jedynie ostatnią kolumną. Przypuśćmy, że . Z definicji zredukowanej postaci schodkowej wynika, że na przykład -ta kolumna jest niezerowa, a -ta kolumna jest zerowa. Rozważmy taki wektor , że . Równoważnie , bo dozwolone operacje nie zmieniają zbioru rozwiązań. Stąd również , czyli , bo -pierwszych kolumn macierzy jest zerowych, a -ta jest niezerowa. Prowadzi to do sprzeczności, bo -ta kolumna macierzy jest zerowa, więc w takim wektorze , że może być dowolne.
Znajdziemy wielomian stopnia przechodzący przez punkty
Szukany wielomian ma postać
Jego współczynniki muszą spełniać układ równań
o macierzy rozszerzonej
Stąd
czyli
Rozważmy system skrzyżowań dwóch zbiorów dróg jednokierunkowych pokazany na Rys. 4.1. Liczby przy strzałkach oznaczają godzinną średnią liczbę pojazdów wkraczających i opuszczających skrzyżowanie w godzinach szczytu. Ponieważ liczba pojazdów wjeżdżających na skrzyżowanie jest równa liczbie pojazdów z niego wyjeżdżających, więc otrzymujemy układ równań
Rozwiążemy następujący układ równań nad :
Jest on równoważny z układem
czyli
Stąd , więc , czyli oraz .
ELIMINACJA GAUSSA – PODSUMOWANIE Jest to proces sprowadzania macierzy do postaci schodkowej. Możemy używać trzech dozwolonych operacji na wierszach: Permutacja wierszy – Skalowanie wierszy – Dodawanie wiersza do innego wiersza |
POSTAĆ SCHODKOWA MACIERZY • jeśli wiersz jest niezerowy, to pierwszym wyrazem niezerowym (liderem) jest • jeśli wiersz -ty jest niezerowy, to liczba wiodących wyrazów zerowych w wierszu jest większa niż w wierszu -tym, • jeśli są wiersze zerowe, to są one poniżej wierszy niezerowych. |
ZREDUKOWANA POSTAĆ SCHODKOWA MACIERZY • macierz ma postać schodkową, • pierwszy niezerowy element w wierszu jest jedynym niezerowym elementem w jego kolumnie. |
Rząd macierzy: liczba niezerowych wierszy w postaci schodkowej macierzy = liczba kolumna zawierających lidera. |
ZBIÓR ROZWIĄZAŃ Dla -macierzy oraz mamy • układ ma dokładnie jedno rozwiązanie • układ jest sprzeczny • układ ma nieskończenie wiele rozwiązań |
Dla układu równań (4.1) wprowadzamy następujące oznaczenia: macierz
(4.2) |
nazywamy macierzą główną układu, natomiast macierz
macierzą rozszerzoną układu. Macierz ma wierszy i kolumn. Przez oznaczamy zbiór wszystkich macierzy postaci (4.2), gdzie wszystkie wyrazy macierzy (, ) są elementami ciała .
Kolumny macierzy oraz prawą stronę układu możemy interpretować jako wektory w :
Będziemy wtedy pisali, że
Zauważmy, że wektor jest rozwiązaniem układu (4.1) wtedy i tylko wtedy, gdy
czyli
KONWENCJE MACIERZOWE ZAPISU UKŁADU RÓWNAŃ W konwencji wierszy W konwencji kolumn |
UKŁAD RÓWNAŃ W ZAPISIE MACIERZOWYM |
Układ równań (4.1) będziemy zapisywać w skrócie jako . Będziemy mówili, że układ ma rozwiązanie, jeśli zbiór jego rozwiązań jest niepusty. Powiemy, że ma on jednoznaczne rozwiązanie, jeśli zbiór jego rozwiązań składa się z jednego wektora.
Układ równań ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest kombinacją liniową kolumn macierzy .
Dla wektorów naturalnym więc jest rozważenie zbioru
wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów .
Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy .
Jeżeli układ (4.1) jest jednorodny, to jest jednym z jego rozwiązań.
Wektor zerowy jest zawsze jednym z rozwiązań układu jednorodnego . Ciekawe jest pytanie o to kiedy układ jednorodny nie ma innych rozwiązań. Kiedy ma jednoznaczne rozwiązanie? Aby tak było musi zachodzić implikacja: jeśli dla pewnych , to . Innymi słowy, jeśli kombinacja liniowa wektorów jest wektorem zerowym, to wszystkie jej współczynniki skalarne są równe . Oznacza to liniową niezależność wektorów .
Układ jednorodny ma jednoznaczne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny macierzy są liniowo niezależne.
Układ ma co najwyżej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny macierzy są liniowo niezależne.
Zauważmy, że wektory są rozwiązaniami układu wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest rozwiązaniem układu jednorodnego . ∎
Zajmiemy się teraz dokładniej układem dwóch równań liniowych (w ciele ) z dwoma niewiadomymi
(4.3) |
Skojarzone z nim macierze: główna i rozszerzona to odpowiednio
Przyglądnijmy się możliwym przypadkom.
Przypadek 1. Zakładamy, że
jest macierzą zerową. Układ (4.3) przyjmuje postać
Jeżeli któraś z liczb lub jest różna od zera, to układ jest sprzeczny, czyli jego zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym. Jeśli , to zbiorem rozwiązań jest cała płaszczyzna .
Przypadek 2. Zakładamy, że któryś z wierszy macierzy , powiedzmy drugi jest zerowy (czyli ), a pierwszy jest niezerowy. Układ (4.3) ma wtedy postać
Jeśli , to układ jest sprzeczny. Dla redukuje się on do jednego równania
opisującego prostą na płaszczyźnie, bo założyliśmy, że . W tym przypadku zbiorem rozwiązań układu jest więc prosta na płaszczyźnie.
Przypadek 3. Zakładamy, że obydwa wiersze macierzy są niezerowe. Wtedy obydwa równania opisują proste na płaszczyźnie. Szukamy więc punktów wspólnych dwóch prostych i na płaszczyźnie. Zachodzi jedna z trzech możliwości:
Proste są równe (). Wtedy zbiorem rozwiązań jest prosta .
Proste i są równoległe, ale różne. Wtedy układ jest sprzeczny.
Proste i nie są równoległe. Wtedy przecinają się w jednym punkcie. Zbiór rozwiązań układu jest jednoelementowy, czyli układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Wyznacznik
Wyznacznik macierzy
definiujemy jako skalar
Dla niezerowego skalara przez będziemy oznaczać element odwrotny do względem mnożenia w ciele .
Układ równań (4.3) ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy . Jest ono wtedy dane wzorami Cramera
Załóżmy, że . Wtedy lub tzn. wektor nie może być zerowy. Załóżmy, że . Dowód w przypadku jest analogiczny. Z pierwszego równania . Po podstawieniu do drugiego równania otrzymujemy równoważny z (4.3) układ równań
(4.4) |
Jego rozwiązaniem jest jeden punkt
co kończy dowód tej implikacji.
Zakończymy dowód pokazując, że jeżeli , to układ (4.3) jest albo sprzeczny albo jego zbiór rozwiązań jest nieskończony. Zachodzi jedna z dwóch moźliwości
;
.
W przypadku (a) układ (4.3) przyjmuje postać
Jest on albo sprzeczny (nie istnieje rozwiązanie ) albo ma nieskończenie wiele rozwiązań (istnieje rozwiązanie i wtedy jest dowolną liczbą rzeczywistą).
Wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
Wówczas, dla dowolnego istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary , że
Liniowa niezależność wektorów i jest z definicji równoważna z faktem, że równość implikuje, że , czyli układ równań
ma dokładnie jedno rozwiązanie . Ponieważ jest pewnym rozwiązaniem tego układu, więc teza wynika z Twierdzenia 4.1.
∎
Niech . Wtedy wektory są liniowo zależne.
Przeprowadzimy dowód niewprost. Przypuśćmy, że wektory , , są liniowo niezależne. Z definicji liniowej niezależności wynika, że wtedy również wektory są liniowo niezależne. Z Twierdzenia 4.2 istnieją takie skalary , że
co prowadzi do sprzeczności z liniową niezależnością wektorów , , , bo
∎
Podamy pewną geometryczną interpretację wyznacznika na płaszczyźnie . Załóżmy, że wektory i są liniowo niezależne. Wtedy . Zauważmy, że
wtedy i tylko wtedy, gdy wtedy i tylko wtedy, gdy najkrótszy kąt obrotu od wektora do wektora jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara;
wtedy i tylko wtedy, gdy wtedy i tylko wtedy, gdy najkrótszy kąt obrotu od wektora do wektora jest skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
PO CO NAM WYZNACZNIK? Dla macierzy poniższe warunki są równoważne: • , • kolumny , są liniowo niezależne, • każdy wektor można jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej , • dla każdego wektora układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. |