I Algebra liniowa z geometrią 1 2 Pojęcia wstępne 4 Układy równań liniowych

Rozdział 3 Przestrzeń wektorowa

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU przestrzenie wektorowe

\mathbb{R}^{n}

\mathbb{C}^{n}

\Diamond

przestrzeń wektorowa

\mathbb{F}^{n}

\Diamond

kombinacja liniowa

\Diamond

liniowa niezależność

\Diamond

baza

\Diamond

baza standardowa

\mathbb{F}^{n}

\Diamond

iloczyn skalarny w

\mathbb{R}^{n}

\Diamond

norma w

\mathbb{R}^{n}

\Diamond

nierówność Cauchy’ego–Schwarza

\Diamond

wektory ortogonalne

\Diamond

proste i płaszczyzny w

\mathbb{R}^{3}

\Diamond

iloczyn hermitowski

3.1 Płaszczyzna $\mathbb{R}^{2}$ jako przestrzeń wektorowa

Punkt na płaszczyźnie $\mathbb{R}^{2}$ utożsamiamy z jego współrzędnymi kartezjańskimi $(x_{1},x_{2})$ , czyli liczbą zespoloną $z=x_{1}+ix_{2}$ . Wprowadzimy teraz w zbiorze $\mathbb{R}^{2}$ pewną nową strukturę algebraiczną, strukturę przestrzeni wektorowej. Geometrycznie punkt $P=(x_{1},x_{2})$ na płaszczyźnie będziemy interpretowali jako wektor będący strzałką o początku w punkcie $0=(0,0)$ i o końcu w punkcie $P$ . W tej interpretacji będzie dla nas wygodne zastosowanie nieco innej konwencji zapisu współrzędnych punktu. Zamiast pisać $(x_{1},x_{2})$ będziemy stosować zapis kolumnowy $\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix}$ , czyli pierwsza współrzędna nad drugą. Dla oszczędności papieru wprowadzamy oznaczenie

[x_{1},x_{2}]^{T}:=\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix}.

Napis $(x_{1},x_{2})$ oznacza, że mamy na myśli liczbę zespoloną, a napis sugeruje $[x_{1},x_{2}]^{T}$ , że myślimy o wektorze na płaszczyźnie.

Definicja 3.1.

Płaszczyzna $\mathbb{R}^{2}$

Płaszczyzną rzeczywistą nazywamy zbiór

\mathbb{R}^{2}:=\Big{\{}[x_{1},x_{2}]^{T}:x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\Big{\}}.

Jego elementy będziemy nazywać wektorami.

Zbiór $\mathbb{R}^{2}$ możemy łatwo wyposażyć w dodatkową strukturę algebraiczną. Wektory będziemy dodawać i mnożyć je przez liczbę rzeczywistą.

Definicja 3.2.

Dodawanie wektorów i mnożenie ich przez skalar

Niech $x=[x_{1},x_{2}]^{T},y=[y_{1},y_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{2}$ . Definiujemy ich sumę przez

x+y=[x_{1},x_{2}]^{T}+[y_{1},y_{2}]^{T}=[x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}]^{T}.

W zapisie kolumnowym mamy

\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_{1}+y_{1}\\ x_{2}+y_{2}\end{bmatrix}

Powyższy wzór określa dodawanie $+:\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$ punktów (wektorów) na płaszczyźnie. Przypisuje ono dwóm punktom płaszczyzny pewien punkt na płaszczyźnie.

Niech $a\in\mathbb{R}$ i $x=[x_{1},x_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{2}$ . Definiujemy mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą $a$ wzorem

a\cdot[x_{1},x_{2}]^{T}=[a\cdot x_{1},a\cdot x_{2}]^{T}.

Równoważnie,

a\cdot\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\cdot x_{1}\\ a\cdot x_{2}\end{bmatrix}

Zdefiniowane powyżej mnożenie definiuje odwzorowanie $\cdot:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ . Przypisuje ono liczbie rzeczywistej i punktowi na płaszczyźnie pewien punkt na płaszczyźnie.

Rysunek 3.1: Dodawanie wektorów i mnożenie ich przez liczbę rzeczywistą. Suma wektorów $u+v$ jest przekątną równoległoboku $R$ rozpiętego na wektorach $u$ i $v$ . Różnicę wektorów $u-v$ otrzymujemy dodając do wektora $u$ wektor $v$ pomnożony przez liczbę $-1$ tzn. $u-v=u+(-1)v$ . Długość wektora $u-v$ jest równa długości drugiej przekątnej równoległoboku $R$ . Mnożąc niezerowy wektor $v$ przez wszystkie liczby rzeczywiste otrzymujemy prostą na płaszczyźnie. Dokładniej, zbiór $\{t\cdot v:t\in\mathbb{R}\}$ jest prostą przechodzącą przez $0$ i równoległą do wektora $v$ .

3.2 Definicja przestrzeni wektorowej

Naturalne jest pytanie: dlaczego mielibyśmy się ograniczać wyłącznie do płaszczyzny $\mathbb{R}^{2}$ ? Przecież podobną konstrukcję możemy powtórzyć w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ , gdzie położenie punktu jest opisane trzema współrzędnymi w miejsce dwóch. A może rozważyć pięć współrzędnych? Lepiej zróbmy to od razu ogólnie dla dowolnej liczby naturalnej $n$ .

Definicja 3.3.

Przestrzeń wektorowa $\mathbb{R}^{n}$ Niech $n\in\mathbb{N}$ . Definiujemy zbiór

\mathbb{R}^{n}:=\Big{\{}[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}:x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{% R}\Big{\}},

gdzie

[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}=\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{bmatrix}.

Analogicznie do płaszczyzny $\mathbb{R}^{2}$ definiujemy działanie dodawania wektorów $+:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ oraz ich mnożenie przez liczbę rzeczywistą $\cdot:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ wzorami

$x+y=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}+[y_{1},\ldots,y_{n}]^{T}=[x_{1}+y_{1},\ldots,x_{n% }+y_{n}]^{T}$

$t\cdot[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}=[t\cdot x_{1},\ldots,t\cdot x_{n}]^{T},\quad t% \in\mathbb{R}$

Początek układu współrzędnych, czyli wektor zerowy $[0,\ldots,0]^{T}$ będziemy oznaczać przez $0$ . Zazwyczaj nie prowadzi to do nieporozumień – z kontekstu wynika czy $0$ oznacza zero jako liczbę rzeczywistą czy raczej wektor zerowy w $\mathbb{R}^{n}$ .

\mathbb{R}^{n}

- AKSJOMATY PRZESTRZENI WEKTOROWEJ

Lemat 3.1.

Dla dowolnych wektorów

x,y,z\in\mathbb{R}^{n}

i liczb rzeczywistych

a,b\in\mathbb{R}

mamy (1)

(x+y)+z=x+(y+z)

(łączność dodawania wektorów) (2)

x+y=y+x

(przemienność dodawania wektorów) (3)

x+0=x

(4) istnieje (jedyny) taki wektor

x^{\prime}

, że

x+x^{\prime}=0

(

x^{\prime}=(-1)\cdot x

) (5)

a\cdot(x+y)=a\cdot x+a\cdot y

(rozdzielność) (6)

(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x

(rozdzielność) (7)

(a\cdot b)\cdot x=a\cdot(b\cdot x)

(łączność) (8)

1\cdot x=x

Dowód.

Dowód jest bardzo prosty. Jak się dobrze przyglądniemy to zauważymy, że wszystkie własności (1)-(8) wynikają bezpośrednio z własności działań w zbiorze liczb rzeczywistych. Wystarczy je zastosować do każdej współrzędnej z osobna. ∎

Początki teorii przestrzeni wektorowych związane są z Williamem Rowanem Hamiltonem (1805–1865) oraz Hermannem Guntherem Grassmannem (1809–1877)

Mamy więc do czynienia z pewnym zbiorem $V(=\mathbb{R}^{n})$ i dwoma działaniami

+:V\times V\longrightarrow V,\quad\cdot:\mathbb{R}\times V\longrightarrow V

spełniającymi warunki (1)-(8).

Definicja 3.4.

Przestrzeń wektorowa nad ciałem $\mathbb{R}$

Rozważmy trójkę $(V,+,\cdot)$ z opisanymi powyżej działaniami

+:V\times V\longrightarrow V,\quad\cdot:\mathbb{R}\times V\longrightarrow V.

Powiemy, że $(V,+,\cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{R}$ , (bo mnożymy elementy zbiory $V$ przez liczby rzeczywiste) jeśli zachodzą powyższe warunki (1)-(8).

Z powyższych rozważań wynika, że $(\mathbb{R}^{n},+,\cdot)$ jest przykładem przestrzeni wektorowej nad ciałem $\mathbb{R}$ . Możecie zapytać po co nam jakieś przestrzenie wektorowe. Przecież mamy już wektory w $\mathbb{R}^{n}$ , które dodajemy i mnożymy przez liczbę rzeczywistą. Czy to nie wystarczy? Otóż nie. Popatrzcie na funkcję $x^{2}+\sin(x)$ (przepraszam ortodoksyjnych matematyków za ten zapis funkcji bez podania dziedziny i przeciwdziedziny). Przecież to też jest suma pewnych obiektów (w tym wypadku funkcji), tylko teraz dodajemy funkcje zamiast liczb lub wektorów z $\mathbb{R}^{n}$ . Funkcje, podobnie jak wektory możemy mnożyć przez liczby. Pewnie zetknęliście się z funkcjami typu $3x^{4}$ lub $-2\cos(x)$ .

Przykład 3.1 (Przestrzeń $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ).

Niech $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ będzie zbiorem wszystkich funkcji $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ . W zbiorze $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ mamy naturalne dodawanie $+:F(\mathbb{R},\mathbb{R})\times F(\mathbb{R},\mathbb{R})\longrightarrow F(% \mathbb{R},\mathbb{R})$ dane wzorem

(f+g)(x)=f(x)+g(x),

oraz mnożenie przez skalar $\cdot:\mathbb{R}\times F(\mathbb{R},\mathbb{R})\longrightarrow F(\mathbb{R},% \mathbb{R})$ zdefiniowane formułą

(a\cdot f)(x)=a\cdot f(x).

Trójka $(F(\mathbb{R},\mathbb{R}),+,\cdot)$ spełnia warunki (1)-(8), więc jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.

Przykład 3.2 (Przestrzeń wielomianów).

Niech $P$ będzie zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Z naturalnymi działaniami dodawania $+$ i mnożenia przez liczbą $\cdot$ , trójka $(P,+,\cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.

Jak pewnie zauważyliście, przez cały czas podkreślam, że rozważane dotąd przestrzenie wektorowe $V$ są przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\mathbb{R}$ . Może moglibyśmy rozważać przestrzenie wektorowe nad innymi ciałami? Poniższy przykład pokazuje, że możemy to robić. Co więcej jest to bardzo naturalne, a naturalne konstrukcje bardzo w matematyce lubimy.

Przykład 3.3 (Przestrzeń wektorowa $\mathbb{C}^{n}$ ).

Przez analogię do zbioru $\mathbb{R}^{n}$ możemy zdefiniować zbiór $\mathbb{C}^{n}$ jako

\mathbb{C}^{n}:=\Big{\{}[z_{1},\ldots,z_{n}]^{T}:z_{1},\ldots,z_{n}\in\mathbb{% C}\Big{\}},

gdzie

[z_{1},\ldots,z_{n}]^{T}=\begin{bmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ \vdots\\ z_{n}\end{bmatrix}.

W zbiorze $\mathbb{C}^{n}$ mamy naturalnie zdefiniowane działanie dodawania

+:\mathbb{C}^{n}\times\mathbb{C}^{n}\longrightarrow\mathbb{C}^{n}

oraz ich mnożenie przez liczbę zespoloną

\cdot:\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{n}\longrightarrow\mathbb{C}^{n}.

Są one dane wzorami

$z+w=[z_{1},\ldots,z_{n}]^{T}+[w_{1},\ldots,w_{n}]^{T}=[z_{1}+w_{1},\ldots,z_{n% }+w_{n}]^{T},$

$t\cdot[z_{1},\ldots,z_{n}]^{T}=[t\cdot z_{1},\ldots,t\cdot z_{n}]^{T},\quad t% \in\mathbb{C}.$

Łatwo sprawdzamy, że tak określona trójka $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot)$ spełnia warunki (1)-(8). Jedyna różnica polega na tym, że wektory (elementy zbioru $\mathbb{C}^{n}$ ) mnożymy teraz przez liczby zespolone, a nie liczby rzeczywiste. Możemy, więc stwierdzić, że $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb zespolonych. Możecie powiedzieć, że przecież to nie koniec. Taką samą konstrukcje możemy przeprowadzić rozważając zbiór $\mathbb{Q}^{n}$ i jego elementy mnożyć przez liczby wymierne. Otrzymamy przestrzeń wektorową nad ciałem liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ . Prowadzi nas to do ogólnej definicji przestrzeni wektorowej nad dowolnym ciałem $\mathbb{F}$ .

Definicja 3.5 (Przestrzeń wektorowa nad ciałem $\mathbb{F}$ ).

Niech $V$ będzie zbiorem i niech $\mathbb{F}$ będzie ciałem. Załóżmy, że określone są działania: $+:V\times V\longrightarrow V$ (dodawanie wektorów) oraz $\cdot:\mathbb{F}\times V\longrightarrow V$ (mnożenie przez skalar). Powiemy, że trójka $(V,+,\cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ , jeśli dla dowolnych wektorów $x,y,z\in V$ oraz skalarów $a,b\in\mathbb{F}$ zachodzą warunki:

(1)

$(x+y)+z=x+(y+z)$
(2)

$x+y=y+x$
(3)

istnieje taki wektor $0\in V$ , że $x+0=x$
(4)

istnieje taki wektor $x^{\prime}$ , że $x+x^{\prime}=0$
(5)

$a\cdot(x+y)=a\cdot x+a\cdot y$
(6)

$(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x$
(7)

$(a\cdot b)\cdot x=a\cdot(b\cdot x)$
(8)

$1\cdot x=x$ .

Zauważmy, że pierwsze cztery warunki dotyczą wyłącznie dodawania wektorów i oznaczają, że $(V,+)$ jest grupą abelową W dalszym ciągu napis $V\in Vekt_{\mathbb{F}}$ będzie oznaczał, że $V$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ .

Wektor zerowy $0\in V$ jest wyznaczony jednoznacznie. Jeśli $0_{1},0_{2}\in V$ spełniają warunek (3), to $0_{1}=0_{1}+0_{2}=0_{2}$ .

Rozważmy przestrzeń wektorową $V\in Vekt_{\mathbb{F}}$ nad ciałem $\mathbb{F}$ . Uzasadnimy, że dla $v\in V$ oraz $0\in\mathbb{F}$ (elementu neutralnego dodawania w ciele $\mathbb{F}$ ) zachodzi równość

$0\cdot v=0\in V.$

Możecie powiedzieć, że to przesada aby uzasadnić takie rzeczy. Przecież $0\in\mathbb{F}$ pomnożone przez ,,cokolwiek’’ daje $0$ . Tak jest, gdy ,,cokolwiek’’ jest elementem ciała $\mathbb{F}$ . W naszym przypadku $0\cdot v$ oznacza, że mnożymy $0\in\mathbb{F}$ przez wektor $v\in V$ , natomiast $0$ po prawej stronie jest wektorem, a nie elementem ciała $\mathbb{F}$ .

Z własności (6) i definicji $0$ jako elementu neutralnego dla dodawania w ciele $\mathbb{F}$ wynika, że

$\displaystyle 0\cdot v$ $\displaystyle=(0+0)\cdot v$

$\displaystyle=0\cdot v+0\cdot v,$

więc $0\cdot v=0$ .

Niech $x\in V$ . Wektor $x^{\prime}$ spełniający warunek $x+x^{\prime}=0$ jest wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywiście, jeśli $x+x^{\prime}=0=x+x^{\prime\prime}$ , to

$\displaystyle x^{\prime}$ $\displaystyle=x^{\prime}+0$

$\displaystyle=x^{\prime}+(x+x^{\prime\prime})$

$\displaystyle=(x^{\prime}+x)+x^{\prime\prime}$

$\displaystyle=0+x^{\prime\prime}$

$\displaystyle=x^{\prime\prime}$

Wektor $x^{\prime}$ nazywamy wektorem przeciwnym do $x$ i oznaczamy przez $-x$ . Uzasadnimy, że $-x=(-1)\cdot x$ .

$\displaystyle x+(-1)\cdot x$ $\displaystyle=(1+(-1))\cdot x$

$\displaystyle=0\cdot x$

$\displaystyle=0,$

czyli $x^{\prime}=-x=(-1)\cdot x$ .

Analogicznie pokazujemy, że
$a\cdot 0=0$ oraz $-a\cdot v=(-a)\cdot v$

Przykład 3.4 (Przestrzeń wektorowa $(\mathbb{F}^{n},+,\cdot)$ ).

Jeśli $\mathbb{F}$ jest dowolnym ciałem, to naturalnie określona trójka $(\mathbb{F}^{n},+,\cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . W szczególności, $(\mathbb{F},+,\cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ .

Przykład 3.5 (O co chodzi z tymi ciałami?).

Rozważmy ponownie przestrzeń wektorową $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot)$ . Mnożenie $\cdot$ jest mnożeniem wektora przez liczbę zespoloną. Oznaczmy je chwilowo przez $\cdot_{\mathbb{C}}$ . Zauważmy, że w zbiorze $\mathbb{C}^{n}$ mamy też dobrze określone mnożenie $\cdot_{\mathbb{R}}$ przez liczbę rzeczywistą. Trójki $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{C}})$ oraz $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ są różnymi obiektami matematycznymi. $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{C}})$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{C}$ , a $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{R}$ . Co za różnica? Otóż zasadnicza. Pierwsze dwa elementy trójek są identyczne tzn. zbiór $\mathbb{C}^{n}$ i określone w nim działanie dodawania wektorów $+$ . Aby dostrzec różnicę rozważmy wektor $v=[1+2i,1+2i]^{T}\in\mathbb{C}^{2}$ . Zauważmy, że w przestrzeni $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{C}})$ nad ciałem $\mathbb{C}$ zachodzi równość

\begin{bmatrix}1+2i\\ 1+2i\\ \end{bmatrix}=(1+2i)\cdot\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \end{bmatrix}.

W przestrzeni $(\mathbb{C}^{n},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ nad ciałem $\mathbb{R}$ taka równość nie zachodzi. Co więcej, napis

(1+2i)\cdot\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \end{bmatrix}

nie ma sensu w tej przestrzeni, bo dopuszczamy tylko mnożenie wektorów z $\mathbb{C}^{2}$ przez liczby rzeczywiste.

Przykład 3.6.

Rozważmy przestrzeń wektorową

\mathbb{Z}_{3}^{5}=\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}% \times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}

oraz wektory

u=[2,2,0,1,2]^{T},\quad v=[1,2,2,2,1]^{T}.

Wtedy

u+v=[0,1,2,0,0]^{T},\quad 2\cdot u=[1,1,0,2,1]^{T}.

Uważny czytelnik zauważył z pewnością, że działania w przestrzeni funkcyjnej $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ są zdefiniowane dzięki temu, że potrafimy dodawać wartości dwóch funkcji z $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ oraz mnożyć wartości funkcji z $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ . Jest to możliwe, bo przeciwdziedzina funkcji z $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ , czyli $\mathbb{R}$ jest ciałem. Nie jest natomiast ważne, że ich dziedzina $\mathbb{R}$ ma strukturę ciała. Możemy więc rozważać bardziej ogólne funkcyjne przestrzenie wektorowe. Dokładniej, jeśli $X$ jest dowolnym niepustym zbiorem i $\mathbb{F}$ jest ciałem, to zbiór

$F(X,\mathbb{F})$

wszystkich funkcji $f:X\longrightarrow\mathbb{F}$ jest przestrzenią wektorową z działaniami

$(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad(a\cdot f)(x)=a\cdot f(x),\quad a\in\mathbb{F}.$

Przykładowo, $F([-1,1],\mathbb{R})$ jest rzeczywistą przestrzenią wektorową. Zwróćcie uwagę, że powyżej zdefiniowane działania, nie są działaniami wewnętrznymi w zbiorze $F(\mathbb{R},[-1,1])$ , bo $\sin,\cos\in F(\mathbb{R},[-1,1])$ , ale $\sin+\cos\notin F(\mathbb{R},[-1,1])$ oraz $2\sin\notin F(\mathbb{R},[-1,1])$ .

Niech $\mathbb{F}$ będzie ciałem. W przestrzeni wektorowej $(\mathbb{F}^{n},+,\cdot)$ wyróżniamy $n$ wektorów danych przez

$e_{1}=[1,0,\ldots,0]^{T},\;e_{2}=[0,1,\ldots,0]^{T},\;\ldots,\;e_{n}=[0,\ldots% ,0,1]^{T}$

Zauważmy, że każdy wektor $v=[v_{1},\ldots,v_{n}]^{T}\in\mathbb{F}^{n}$ możemy zapisać jako

	$\displaystyle[v_{1},\ldots,v_{n}]^{T}$	$\displaystyle=[v_{1},\ldots,0]^{T}+\ldots+[0,\ldots,v_{n}]^{T}$
		$\displaystyle=v_{1}\cdot[1,\ldots,0]^{T}+\ldots+v_{n}\cdot[0,\ldots,1]^{T}$
		$\displaystyle=v_{1}\cdot e_{1}+\ldots+v_{n}\cdot e_{n}.$

Oznacza to, że zachodzi równość

v=v_{1}\cdot e_{1}+\ldots+v_{n}\cdot e_{n},\quad v_{i}\in\mathbb{F}.

Mówimy wtedy, że wektor $v$ jest kombinacją liniową wektorów $e_{1},\ldots,e_{n}$ . Zdefiniujemy to pojęcie bardziej ogólnie, co przyda nam się w przyszłości.

Definicja 3.6.

Kombinacja liniowa wektorów

Niech $(V,+.\cdot)$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . Dla wektorów $v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ oraz skalarów $a_{1},\ldots,a_{k}\in\mathbb{F}$ , wektor

$a_{1}\cdot v_{1}+\ldots+a_{k}\cdot v_{k}\in V$

nazywamy kombinacją liniową wektorów $v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ .

Przykład 3.7.

Niech $(V,+,\cdot)$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . Ustalmy wektory $v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ i rozważmy zbiór

{\rm span}\,\big{\{}v_{1},\ldots,v_{k}\big{\}}=\big{\{}a_{1}\cdot v_{1}+\ldots% +a_{k}\cdot v_{k}:a_{1},\ldots,a_{k}\in\mathbb{F}\big{\}}

wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów $v_{1},\ldots,v_{k}$ . Działania $+$ oraz $\cdot$ są działaniami wewnętrznymi w zbiorze ${\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{k}\}$ oraz $({\rm span}\,\{v_{1},\ldots,v_{k}\},+,\cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ .

Załóżmy, że $V=\mathbb{R}^{2}$ . Mamy

(a)

${\rm span}\,\{0\}=\{0\}$ ,
(b)

jeśli $0\neq v\in\mathbb{R}^{2}$ , to ${\rm span}\,\{v\}=\{a\cdot v:a\in\mathbb{R}\}$ jest prostą przechodzącą przez $0$ i równoległą do wektora $v$ .

Lemat 3.2.

Rozważmy przestrzeń wektorową $(\mathbb{F}^{n},+,\cdot)$ . Wtedy każdy wektor $v\in\mathbb{F}^{n}$ można jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej

v=v_{1}\cdot e_{1}+\ldots+v_{n}\cdot e_{n},\quad v_{i}\in\mathbb{F}.

Dowód.

Wiemy już, że dla dowolnego wektora $v\in\mathbb{F}^{n}$ istnieją takie skalary $v_{1},\ldots,v_{n}\in\mathbb{F}$ , że $v=v_{1}\cdot e_{1}+\ldots+v_{n}\cdot e_{n}$ . Pokażemy, że takie przedstawienie wektora $v$ w postaci kombinacji liniowej wektorów $e_{1},\ldots,e_{n}$ jest wyznaczone jednoznacznie. Przypuśćmy, że

v=v_{1}\cdot e_{1}+\ldots+v_{n}\cdot e_{n}=x_{1}\cdot e_{1}+\ldots+x_{n}\cdot e% _{n}.

Wtedy

	$\displaystyle 0=[0,\ldots,0]^{T}$	$\displaystyle=v+(-1)\cdot v$
		$\displaystyle=(v_{1}-x_{1})\cdot e_{1}+\ldots+(v_{n}-x_{n})\cdot e_{n}$
		$\displaystyle=[v_{1}-x_{1},\ldots,v_{n}-x_{n}]^{T},$

czyli $v_{1}=x_{1},\ldots,v_{n}=x_{n}$ . ∎

Rysunek 3.2: Przykładowa kombinacja liniowa wektorów

[2,1]^{T}

[-1,1]^{T}

Definicja 3.7.

Baza standardowa $\mathbb{F}^{n}$

Wektory $e_{1},\ldots,e_{n}$ nazywamy bazą standardową przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$ .

Zauważmy, że jednoznaczność przedstawienia wektora $v$ jako kombinacji liniowej wektorów $e_{1},\ldots,e_{n}$ wynika z prawdziwości następującej implikacji:

$x_{1}\cdot e_{1}+\ldots+x_{n}\cdot e_{n}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\ldots=x% _{n}=0.$

Jest to więc ważna własność wektorów $e_{1},\ldots,e_{n}$ . Warto więc ją jakoś nazwać i zbadać.

Definicja 3.8.

Liniowa niezależność

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . Wektory $v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli dla $x_{1},\ldots,x_{k}\in\mathbb{F}$ zachodzi implikacja

x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{k}\cdot v_{k}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\ldots=x% _{k}=0.

Przykład 3.8.

Niech $v,w\in\mathbb{R}^{2}$ . Przypuśćmy, że wektory $v, w$ są liniowo zależne. Wtedy istnieją takie liczby rzeczywiste $a,b\in\mathbb{R}$ , że $a\neq 0$ lub $b\neq 0$ oraz $a\cdot v+b\cdot w=0$ . Jeśli $a\neq 0$ , to $v=-\frac{b}{a}\cdot w$ , czyli wektor $v$ leży na prostej $\{tw:t\in\mathbb{R}\}$ .

Przykład 3.9.

Wektory

v_{1}=[1,1,0]^{T},\quad v_{2}=[1,0,1]^{T}

są liniowo niezależne w $\mathbb{F}$ . Przypuśćmy bowiem, że $x_{1}\cdot v_{1}+x_{2}\cdot v_{2}=0$ dla pewnych $x_{1},x_{2}\in\mathbb{F}$ . Ponieważ $x_{1}\cdot v_{1}+x_{2}\cdot v_{2}=[x_{1}+x_{2},x_{1},x_{2}]^{T}$ , więc

x_{1}+x_{2}=0,\quad x_{1}=0,\quad x_{2}=0,

czyli $v_{1}$ i $v_{2}$ są liniowo niezależne.

Definicja 3.9.

Baza przestrzeni wektorowej

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . Wektory $v_{1},\ldots,v_{k}\in v$ nazywamy bazą przestrzeni wektorowej $V$ , jeśli dla dowolnego wektora $v\in V$ istnieją jednoznacznie wyznaczone takie skalary $x_{1},\ldots,x_{k}\in\mathbb{F}$ , że

v=x_{1}\cdot v_{1}+\ldots+x_{k}\cdot v_{k}.

Przykład 3.10.

Podmieńmy wektor $e_{3}=[0,0,1]^{T}$ w bazie dla $\mathbb{F}^{3}$ przez wektor $u=[0,1,1]^{T}$ . Pokażemy, że wektory $e_{1}$ , $e_{2}$ , $u$ tworzą bazę $\mathbb{F}^{3}$ . Rozważmy dowolny wektor $[a,b,c]^{T}\in\mathbb{F}^{3}$ . Musimy uzasadnić, że istnieją jedyne takie skalary $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}\in\mathbb{F}^{3}$ , że $x_{1}\cdot e_{1}+x_{2}\cdot e_{2}+x_{3}\cdot u=[a,b,c]^{T}$ . Zwróćmy uwagę, że

x_{1}\cdot e_{1}+x_{2}\cdot e_{2}+x_{3}\cdot u=[x_{1},x_{2}+x_{3},x_{3}]^{T}.

Równość $[x_{1},x_{2}+x_{3},x_{3}]^{T}=x_{1}\cdot e_{1}+x_{2}\cdot e_{2}+x_{3}\cdot u=[% a,b,c]^{T}$ jest więc równoważna z układem równań

x_{1}=a,\quad x_{2}+x_{3}=b,\quad x_{3}=c.

Ma on jednoznaczne rozwiązanie

x_{1}=a,\quad x_{2}=b-c,\quad x_{3}=c,

czyli $e_{1}$ , $e_{2}$ , $u$ są bazą $\mathbb{F}^{3}$ .

Przykład 3.11.

Wektory $v_{1}=[1,0,0]^{T}$ , $v_{2}=[0,1,1]^{T}$ są liniowo niezależne, bo równość

	$\displaystyle[0,0,0]^{T}$	$\displaystyle=x_{1}\cdot v_{1}+x_{2}\cdot v_{2}$
		$\displaystyle=x_{1}\cdot[1,0,0]^{T}+x_{2}\cdot[0,1,1]^{T}$
		$\displaystyle=[x_{1},x_{2},x_{2}]^{T},$

oznacza, że $x_{1}=x_{2}=0$ . Nie tworzą one jednak bazy $\mathbb{F}^{3}$ , bo ich kombinacje liniowe $x_{1}\cdot v_{1}+x_{2}\cdot v_{2}$ mają postać $[x_{1},x_{2},x_{2}]^{T}$ , więc przykładowo, wektor $[1,2,3]^{T}$ nie jest kombinacją liniową $v_{1}$ i $v_{2}$ .

Każdy wektor $[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}\in\mathbb{F}^{3}$ jest kombinacją liniową wektorów $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ , $[0,1,1]^{T}$ , bo

[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}=x_{1}\cdot e_{1}+x_{2}\cdot e_{2}+x_{3}\cdot e_{3}+0% \cdot[0,1,1]^{T}.

Wektory $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ , $[0,1,1]^{T}$ nie tworzą jednak bazy $\mathbb{F}^{3}$ , bo przykładowo

	$\displaystyle[0,1,1]^{T}$	$\displaystyle=0\cdot e_{1}+1\cdot e_{2}+1\cdot e_{3}+0\cdot[0,1,1]^{T}$
		$\displaystyle=0\cdot e_{1}+0\cdot e_{2}+0\cdot e_{3}+1\cdot[0,1,1]^{T},$

czyli przedstawienie nie jest jednoznaczne. Wynika to z faktu, że wektory $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ , $[0,1,1]^{T}$ są liniowo zależne, bo

0\cdot e_{1}+1\cdot e_{2}+1\cdot e_{3}-1\cdot u=0.

Rysunek 3.3: Baza standardowa $e_{1}$ , $e_{2}$ na płaszczyźnie. Każdy wektor na płaszczyźnie można jednoznacznie zapisać jako kombinację liniową wektorów $e_{1}$ , $e_{2}$ .

Przykład 3.12 (Przestrzeń wektorowa macierzy $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ ).

Rozważmy zbiór macierzy $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ . Jest w nim określone działanie dodawania macierzy

+:M_{2\times 2}(\mathbb{F})\times M_{2\times 2}(\mathbb{F})\longrightarrow M_{% 2\times 2}(\mathbb{F})

dane wzorem

\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}e&f\\ g&h\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+e&b+f\\ c+g&d+h\\ \end{bmatrix}

oraz mnożenie macierzy przez skalar

\cdot:\mathbb{F}\times M_{2\times 2}(\mathbb{F})\longrightarrow M_{2\times 2}(% \mathbb{F})

zdefiniowane wzorem

t\cdot\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ta&tb\\ tc&td\\ \end{bmatrix},\quad t\in\mathbb{F}.

Trójka $(M_{2\times 2}(\mathbb{F}),+,\cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ . Ponadto, dla $A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix}\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ mamy

\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix}=a\cdot\begin{bmatrix}1&0\\ 0&0\\ \end{bmatrix}+b\cdot\begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\\ \end{bmatrix}+c\cdot\begin{bmatrix}0&0\\ 1&0\\ \end{bmatrix}+d\cdot\begin{bmatrix}0&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix}.

Powyższym przedstawienie jest jednoznacznie wyznaczone przez macierz $A$ , czyli macierze

\begin{bmatrix}1&0\\ 0&0\\ \end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\\ \end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}0&0\\ 1&0\\ \end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}0&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix}

tworzą bazę przestrzeni $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ .

3.3 Iloczyn skalarny i norma w $\mathbb{R}^{n}$

Wprowadzimy teraz w przestrzeni wektorowej $(\mathbb{R}^{n},+,\cdot)$ pewną dodatkową geometryczną strukturę, zadaną przez euklidesowy iloczyn skalarny.

Definicja 3.10.

Euklidesowy iloczyn skalarny w $\mathbb{R}^{n}$

Iloczynem skalarnym wektorów $v=[v_{1},v_{2}]^{T},u=[u_{1},u_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{2}$ nazywamy liczbę rzeczywistą

(v|u):=v_{1}\cdot u_{1}+v_{2}\cdot u_{2}.

Analogicznie, iloczyn skalarny wektorów

v=[v_{1},\ldots,v_{n}]^{T},\;\;u=[u_{1},\ldots,u_{n}]^{T}\in\mathbb{R}^{n}

definiujemy jako liczbę rzeczywistą

$(v|u):=v_{1}\cdot u_{1}+\ldots+v_{n}\cdot u_{n}$

Iloczyn skalarny jest też często oznaczany symbolem $<v,u>$ . My będziemy używali oznaczenia $(v|u)$ , bo w tej konwencji nierówność $(v|u)>0$ jest czytelniejsza niż napis $<v,u>>0$ .

Iloczyn skalarny jest więc odwzorowaniem

(\cdot|\cdot):\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\ni(v,u)\longmapsto(v|u)\in% \mathbb{R}.

Przypisuje ono parze wektorów $(v,u)$ liczbę rzeczywistą $(v|u)$ .

Lemat 3.3.

Dla dowolnych wektorów $u,v,w\in\mathbb{R}^{n}$ i skalarów $a,b\in\mathbb{R}$ zachodzą następujące własności

(1)

(dwuliniowość)

$(a\cdot u+b\cdot v|w)=a(u|w)+b(v|w),$

$(u|a\cdot v+b\cdot w)=a(u|v)+b(u|w).$
(2)

(symetryczność)

$(u|v)=(v|u)$
(3)

(dodatnia określoność)

$(u|u)\geq 0$

przy czym $(u|u)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $u=0$ .

Definicja 3.11.

Norma euklidesowa w $\mathbb{R}^{n}$

Normą (długością) wektora $u=[u_{1},\ldots,u_{n}]^{T}\in\mathbb{R}^{n}$ nazywamy liczbę

$\|u\|:=\sqrt{(u|u)}=\sqrt{u_{1}^{2}+\ldots+u_{n}^{2}}\geq 0$

Zauważmy, że wektor $[\cos\theta,\sin\theta]^{T}$ ma normę jeden i każdy wektor o normie jeden można zapisać w tej postaci dla pewnego $\theta$ . W szczególności, dowolny wektor $v\in\mathbb{R}^{2}$ można zapisać w postaci

$v=\|v\|[\cos\theta,\sin\theta]^{T}.$

Lemat 3.4 (Tożsamość równoległoboku).

Dla dowolnych wektorów $u,v\in\mathbb{R}^{n}$ zachodzi równość

$\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})$

Dowód.

Bezpośredni rachunek pokazuje, że

	$\displaystyle\\|u+v\\|^{2}+\\|u-v\\|^{2}$	$\displaystyle=(u+v\|u+v)+(u-v\|u-v)$
		$\displaystyle=(u\|u)+(u\|v)+(v\|u)+(v\|v)$
		$\displaystyle+(u\|u)-(u\|v)-(v\|u)+(v\|v)$
		$\displaystyle=2(u\|u)+2(v\|v)=2(\\|u\\|^{2}+\\|v\\|^{2}).$

∎

Lemat 3.5 (Wzór polaryzacyjny).

Zachodzi wzór polaryzacyjny

$(u|v)=\frac{1}{4}(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2})$ .

Dowód.

Mamy

	$\displaystyle\\|u+v\\|^{2}-\\|u-v\\|^{2}$	$\displaystyle=(u+v\|u+v)-(u-v\|u-v)$
		$\displaystyle=(u\|u)+(u\|v)+(v\|u)+(v\|v)$
		$\displaystyle-((u\|u)-(u\|v)-(v\|u)+(v\|v))$
		$\displaystyle=4(u\|v).$

∎

Lemat 3.6.

Niech $u,v\in\mathbb{R}^{n}$ będą wektorami. Wówczas,

(u,v)=0\Leftrightarrow\|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}.

Dowód.

Zauważmy, że

	$\displaystyle\\|u-v\\|^{2}$	$\displaystyle=(u-v\|u-v)$
		$\displaystyle=\\|u\\|^{2}-2(u\|v)+\\|v\\|^{2},$

czyli teza zachodzi. ∎

Twierdzenie 3.1 (Nierówność Cauchy’ego–Schwarza).

Dla dowolnych wektorów $u$ i $v\in\mathbb{R}^{n}$ zachodzi nierówność

$|(u|v)|\leq\|u\|\|v\|.$

Dowód.

Możemy założyć że wektory $u$ i $v$ są niezerowe. Dla dowolnego $t\in\mathbb{R}$ mamy

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle\leq\\|u+t\cdot v\\|^{2}$
		$\displaystyle=(u+t\cdot v\|u+t\cdot v)$
		$\displaystyle=\\|u\\|^{2}+2t(u\|v)+t^{2}\\|v\\|^{2},$
czyli z własności funkcji kwadratowych wynika, że
		$\displaystyle 4((u\|v))^{2}-4\\|u\\|^{2}\\|v\\|^{2}\leq 0,$

co kończy dowód. ∎

Wniosek 3.1 (Własności normy).

Dla dowolnych $u,v\in\mathbb{R}^{n}$ i $a\in\mathbb{R}$ mamy

(1)

$\|u\|\geq 0$ oraz $\|u\|=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $u=0$ ;
(2)

$\|a\cdot u\|=|a|\cdot\|u\|$ ;
(3)

(nierówność trójkąta)

$\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|$

Dowód.

Pierwsza własność wynika bezpośrednio z definicji normy. Dla dowodu drugiej zauważamy, że

	$\displaystyle\\|a\cdot u\\|^{2}$	$\displaystyle=(a\cdot u\|a\cdot u)$
		$\displaystyle=a^{2}(u\|u)$
		$\displaystyle=a^{2}\\|u\\|^{2}.$

Uzasadnimy nierówność trójkąta. Stosując nierówność Cauchy’ego–Schwarza mamy

	$\displaystyle\\|u+v\\|^{2}$	$\displaystyle=\\|u\\|^{2}+2(u\|v)+\\|v\\|^{2}$
		$\displaystyle\leq\\|u\\|^{2}+2\\|u\\|\\|v\\|+\\|v\\|^{2}$
		$\displaystyle=(\\|u\\|+\\|v\\|)^{2},$

co kończy dowód. ∎

Definicja 3.12.

Wektory ortogonalne

Wektory $u,v\in\mathbb{R}^{n}$ są ortogonalne (prostopadłe) wtedy i tylko wtedy, gdy

(u|v)=0.

W szczególności, wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora, więc również do samego siebie.

Pokażemy, że dla dowolnych wektorów $u,v\in\mathbb{R}^{2}$ zachodzi równość

$(u|v)=\|u\|\|v\|\cos\angle(u,v),$

gdzie $\angle(u,v)$ jest kątem między wektorami $u$ i $v$ . W szczególności,

$|(u|v)|\leq\|u\|\|v\|.$

Jeśli któryś z wektorów $u$ lub $v$ jest zerowy to powyższa równość jest prawdziwa. Załóżmy więc, że wektory $u$ i $v$ są niezerowe. Niech wektor $q$ będzie rzutem prostopadłym wektora $u$ na prostą rozpiętą przez wektor $v$ . Wtedy $q=c\cdot v$ dla pewnego $c\in\mathbb{R}$ . Stąd wektor $w=u-c\cdot v$ jest prostopadły do wektora $v$ . Gdy kąt $\angle(u,v)$ jest ostry, to $c\geq 0$ oraz

$\cos\angle(u,v)=\frac{\|c\cdot v\|}{\|u\|}=|c|\frac{\|v\|}{\|u\|}.$

Jeśli kąt $\angle(u,v)$ jest rozwarty, to $c<0$ oraz

$\cos\angle(u,v)=\cos(\pi-\angle(u,-v))=-\cos\angle(u,-v)=-|c|\frac{\|v\|}{\|u% \|}.$

W obydwu przypadkach

$\cos\angle(u,v)=c\frac{\|v\|}{\|u\|}.$

Ponieważ wektor $w=u-c\cdot v$ jest prostopadły do $v$ , więc

$0=(u-c\cdot v,v)=(u|v)-c\|v\|^{2},$

czyli

$c=\frac{(u|v)}{\|v\|^{2}}.$

Stąd

$\cos\angle(u,v)=\frac{(u|v)}{\|v\|^{2}}\frac{\|v\|}{\|u\|}=\frac{(u|v)}{\|v\|% \|u\|},$

co kończy dowód.

Możemy na to spojrzeć jeszcze inaczej. Wektory $u$ i $v$ możemy zapisać w postaci trygonometrycznej:

$u=|u|(\cos\theta,\sin\theta)^{T},\quad v=|v|(\cos\psi,\sin\psi)^{T}.$

Wtedy

$(u|v)=|u||v|(\cos\theta\cos\psi+\sin\theta\sin\psi)=|u||v|\cos(\theta-\psi).$

Z nierówności Cauchy’ego–Schwarza wynika, że dla niezerowych wektorów $u,v\in\mathbb{R}^{n}$ mamy

-1\leq\frac{(u|v)}{\|u\|\|v\|}\leq 1,\quad u,v\neq 0.

Istnieje więc jednoznacznie wyznaczony taki kąt $0\leq\angle(u,v)\leq\pi$ , że

\cos\angle(u,v)=\frac{(u|v)}{\|u\|\|v\|}.

Definicja 3.13.

Kąt między wektorami

Kątem $\angle(u,v)$ pomiędzy niezerowymi wektorami $u,v\in\mathbb{R}^{n}$ nazywamy jedyny taki kąt $0\leq\angle(u,v)\leq\pi$ , że

\cos\angle(u,v)=\frac{(u|v)}{\|u\|\|v\|}.

Definicja 3.14.

Wektor jednostkowy

Wektor $u\in\mathbb{R}^{n}$ nazywamy jednostkowym, gdy $\|u\|=1$ .

Rysunek 3.4: Normalizacja niezerowego wektora

v

. Wektor

u=\frac{v}{\|v\|}

leży na okręgu jednostkowym.

Przykład 3.13.

Jeśli wektor $v\in\mathbb{R}^{n}$ jest niezerowy, to wektor $u=\frac{v}{\|v\|}$ jest wektorem jednostkowym.

Przykład 3.14.

Niech $A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix}\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ . Niech $a_{1}=[a,c]^{T}$ i $a_{2}=[b,d]^{T}\in\mathbb{R}^{2}$ będą wektorami utworzonymi z kolumn macierzy $A$ . Macierz Grama ma postać

A^{T}A=\begin{bmatrix}a&c\\ b&d\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(a_{1}|a_{1})&(a_{1}|a_{2})\\ (a_{1}|a_{2})&(a_{2}|a_{2})\\ \end{bmatrix}.

W szczególności, $A\in O(2)$ jest ortogonalna tzn. $A^{T}A=I$ wtedy i tylko wtedy, gdy

\|a_{1}\|=\|a_{2}\|=1,\quad(a_{1}|a_{2})=0,

czyli kolumny $A$ są wektorami jednostkowymi i są ortogonalne do siebie.

METRYKA EUKLIDESOWA
Korzystając z normy możemy zdefiniować funkcję

$d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R},$

wzorem

$d(v,w)=\|v-w\|=\sqrt{(v_{1}-w_{1})^{2}+\ldots+(v_{n}-w_{n})^{2}}.$

Z własności normy, dla dowolnych $v,w,u\in\mathbb{R}^{n}$ mamy
- (i)
  
  $d(v,w)\geq 0$ oraz $d(v,w)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $v=w$ ,
- (ii)
  
  $d(v,w)=d(w,v)$ ,
- (iii)
  
  $d(v,w)\leq d(v,u)+d(u,w)$ .
Przykładowo,

$\displaystyle d(v,w)$ $\displaystyle=\|v-w\|$

$\displaystyle=\|(v-u)+(u-w)\|$

$\displaystyle\leq\|v-u\|+\|u-w\|$

$\displaystyle=d(v,u)+d(u,w)$

Funkcję $d$ nazywamy metryką euklidesową w $\mathbb{R}^{n}$ . Liczbę $d(v,w)$ nazywamy odległością między $v$ i $w$ .

3.4 Proste i płaszczyzny

Rozważmy niezerowy wektor $v=[v_{1},v_{2}]^{T}\in\mathbb{R}^{2}$ . Jak wiemy zbiór wszystkich wektorów postaci $t\cdot v$ dla $t\in\mathbb{R}$ jest prostą równoległą do wektora $v$ i przechodzącą przez punkt $0$ . Prostą równoległą do $v$ i przechodzącą przez punkt $[a_{1},a_{2}]^{T}$ możemy opisać jako zbiór punktów postaci $[a_{1},a_{2}]^{T}+t\cdot v$ ( $t\in\mathbb{R}$ ).

Definicja 3.15.

Równanie parametryczne prostej

Równanie parametryczne prostej $l$ przechodzącej przez $[a_{1},a_{2}]^{T}$ i równoległej do niezerowego wektora $v=[v_{1},v_{2}]^{T}$ ma postać

[x_{1},x_{2}]^{T}=[a_{1},a_{2}]^{T}+t\cdot[v_{1},v_{2}]^{T},\quad t\in\mathbb{% R}^{2}

W skrócie, $x=a+tv$ .

Rysunek 3.5: Mnożąc niezerowy wektor

v

przez wszystkie liczby rzeczywiste

t

otrzymujemy prostą.

Definicja oznacza, że współrzędne punktu $[x_{1},x_{2}]^{T}$ leżącego na prostej $l$ spełniają, dla pewnego skalara $t$ , układ równań

$\left\{\begin{array}[]{ll}x_{1}=a_{1}+tv_{1}&\hbox{}\\ x_{2}=a_{2}+tv_{2}&\hbox{}\\ \end{array}\right.$

Ponieważ wektor $v$ jest niezerowy, więc któraś z jego współrzędnych $v_{1}$ lub $v_{2}$ jest różna od zera. Załóżmy przykładowo, że $v_{1}\neq 0$ . Możemy wtedy z pierwszego równania wyliczyć $t$ otrzymując, że $t=\frac{x_{1}-a_{1}}{v_{1}}$ . Wstawiając do drugiego równania otrzymujemy, że

$x_{2}-a_{2}-\frac{x_{1}-a_{1}}{v_{1}}v_{2}=0,$

czyli

$-v_{2}(x_{1}-a_{1})+v_{1}(x_{2}-a_{2})=0.$

Jest to równanie ogólne prostej $l$ przechodzącej przez punkt $[a_{1},a_{2}]^{T}$ i równoległej do wektora $v$ .

Definicja 3.16.

Równanie ogólne prostej

Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie ma postać

Ax_{1}+Bx_{2}+C=0,\quad A^{2}+B^{2}>0.

Zauważmy, że prosta o równaniu ogólnym

$Ax_{1}+Bx_{2}+C=0$

przechodzi przez początek układu współrzędnych $0=[0,0]^{T}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $C=0$ . Ma ona wtedy równanie $Ax_{1}+Bx_{2}=0$ , które możemy zapisać przy pomocy iloczynu skalarnego następująco:

$\big{(}[A,B]^{T}|[x_{1},x_{2}]^{T}\big{)}=0.$

Oznacza to, że składa się ona ze wszystkich wektorów $[x_{1},x_{2}]^{T}$ prostopadłych do wektora $[A,B]^{T}$ .

Wniosek 3.2.

Prosta o równaniu ogólnym

$A(x_{1}-a_{1})+B(x_{2}-a_{2})=0,\quad A^{2}+B^{2}>0$

przechodzi przez punkt $[a_{1},a_{2}]^{T}$ i jest prostopadła do wektora $[A,B]^{T}$ .

Analogicznie, dla niezerowego wektora $v=[v_{1},\ldots,v_{n}]^{T}\in\mathbb{R}^{n}$ i punktu $a=[a_{1},\ldots,a_{n}]^{T}$ równanie parametryczne prostej równoległej do $v$ i przechodzącej przez $a$ ma postać

x=a+t\cdot v,\quad t\in\mathbb{R}.

Przyglądnijmy się przypadkowi $n=3$ , czyli prostym w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ . W postaci parametrycznej jest ona zadana układem równań

\left\{\begin{array}[]{ll}x_{1}=a_{1}+tv_{1}&\hbox{}\\ x_{2}=a_{2}+tv_{2}&\hbox{}\\ x_{3}=a_{3}+tv_{3}&\hbox{}\\ \end{array}\right.

Rysunek 3.6: Prosta

2x+y=0

jest prostopadła do wektora

[2,1]^{T}

Jeżeli wszystkie liczby $v_{1}\neq 0$ dla $i=1,2,3$ , to eliminując $t$ z powyższego układu otrzymujemy dwa równania

\frac{x-a_{1}}{v_{1}}=\frac{x-a_{2}}{v_{2}}=\frac{x-a_{3}}{v_{3}},

nazywane równaniami kanonicznymi prostej w przestrzeni. Jeżeli np. $v_{3}=0$ a $v_{1}$ , $V_{2}\neq 0$ , to równania przyjmują postać

\frac{x-a_{1}}{v_{1}}=\frac{x-a_{2}}{v_{2}},\quad x_{3}=a_{3}.

Gdy np. $v_{2}=v_{3}=0$ i $v_{1}\neq 0$ , to równanie ma postać

x_{2}=a_{2},\quad x_{3}=a_{3}.

Przykład 3.15.

Zastanówmy się jaki podzbiór $P$ przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ jest opisany przez równanie

2x_{1}-x_{2}+3x_{3}=0.

Możemy je zapisać równoważnie wykorzystując iloczyn skalarny jako

([2,-1,3]^{T}|[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T})=0,

czyli zbiór $P$ składa się z wszystkich wektorów $[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}$ w $\mathbb{R}^{3}$ prostopadłych do wektora $[2,-1,3]^{T}$ . Oznacza to, że $P$ jest płaszczyzną prostopadłą do wektora $[2,-1,3]^{T}$ i zawierającą początek układu $0=[0,0,0]^{T}$ .

Definicja 3.17.

Równanie ogólne płaszczyzny w $\mathbb{R}^{3}$

Równanie ogólne płaszczyzny w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ ma postać

Ax_{1}+Bx_{2}+Cx_{3}+D=0,\quad A^{2}+B^{2}+C^{2}>0.

W szczególności, równanie

A(x_{1}-a_{1})+B(x_{2}-a_{2})+C(x_{3}-a_{3})=0

opisuje płaszczyznę przechodzącą przez punkt $[a_{1},a_{2},a_{3}]^{T}$ i prostopadłą do wektora $[A,B,C]^{T}$ .

Przykład 3.16.

Rozważmy układ równań liniowych

\left\{\begin{array}[]{ll}x-2y+3z=1&\hbox{}\\ x+y+z=1&\hbox{}\\ \end{array}\right.

Równania układu opisują dwie nierównoległe płaszczyzny. Zbiorem rozwiązań układu jest prosta $L$ będąca ich częścią wspólną.

Wyznaczymy dokładniej prostą $L$ . Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy układ równoważny

\left\{\begin{array}[]{ll}x-2y+3z=1&\hbox{}\\ 3y-2z=0&\hbox{}\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}[]{ll}x-2y+3z=1&% \hbox{}\\ y=\frac{2}{3}z&\hbox{}\\ \end{array}\right.

Stąd

\left\{\begin{array}[]{ll}x=1-\frac{5}{3}z&\hbox{}\\ y=\frac{2}{3}z&\hbox{}\\ \end{array}\right.

Zbiór rozwiązań układu jest dany jako zbiór

\Big{\{}[1-5/3z,2/3z,z]^{T}:z\in\mathbb{R}\Big{\}}.

Zauważmy, że

[1-5/3z,2/3z,z]^{T}=[-5/3,2/3,1]^{T}z+[1,0,0]^{T}.

Rozwiązaniem układu jest prosta $L$ o równaniu parametrycznym

[-5/3,2/3,1]^{T}z+[1,0,0]^{T},\quad z\in\mathbb{R}.

	$\displaystyle\\|u+v\\|^{2}+\\|u-v\\|^{2}$	$\displaystyle=(u+v\|u+v)+(u-v\|u-v)$
		$\displaystyle=(u\|u)+(u\|v)+(v\|u)+(v\|v)$
		$\displaystyle+(u\|u)-(u\|v)-(v\|u)+(v\|v)$
		$\displaystyle=2(u\|u)+2(v\|v)=2(\\|u\\|^{2}+\\|v\\|^{2}).$

	$\displaystyle\\|u+v\\|^{2}-\\|u-v\\|^{2}$	$\displaystyle=(u+v\|u+v)-(u-v\|u-v)$
		$\displaystyle=(u\|u)+(u\|v)+(v\|u)+(v\|v)$
		$\displaystyle-((u\|u)-(u\|v)-(v\|u)+(v\|v))$
		$\displaystyle=4(u\|v).$

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle\leq\\|u+t\cdot v\\|^{2}$
		$\displaystyle=(u+t\cdot v\|u+t\cdot v)$
		$\displaystyle=\\|u\\|^{2}+2t(u\|v)+t^{2}\\|v\\|^{2},$
czyli z własności funkcji kwadratowych wynika, że
		$\displaystyle 4((u\|v))^{2}-4\\|u\\|^{2}\\|v\\|^{2}\leq 0,$

	$\displaystyle\\|a\cdot u\\|^{2}$	$\displaystyle=(a\cdot u\|a\cdot u)$
		$\displaystyle=a^{2}(u\|u)$
		$\displaystyle=a^{2}\\|u\\|^{2}.$

	$\displaystyle\\|u+v\\|^{2}$	$\displaystyle=\\|u\\|^{2}+2(u\|v)+\\|v\\|^{2}$
		$\displaystyle\leq\\|u\\|^{2}+2\\|u\\|\\|v\\|+\\|v\\|^{2}$
		$\displaystyle=(\\|u\\|+\\|v\\|)^{2},$

	$\displaystyle 0\cdot v$	$\displaystyle=(0+0)\cdot v$
		$\displaystyle=0\cdot v+0\cdot v,$

	$\displaystyle x^{\prime}$	$\displaystyle=x^{\prime}+0$
		$\displaystyle=x^{\prime}+(x+x^{\prime\prime})$
		$\displaystyle=(x^{\prime}+x)+x^{\prime\prime}$
		$\displaystyle=0+x^{\prime\prime}$
		$\displaystyle=x^{\prime\prime}$

	$\displaystyle x+(-1)\cdot x$	$\displaystyle=(1+(-1))\cdot x$
		$\displaystyle=0\cdot x$
		$\displaystyle=0,$

	$\displaystyle d(v,w)$	$\displaystyle=\\|v-w\\|$
		$\displaystyle=\\|(v-u)+(u-w)\\|$
		$\displaystyle\leq\\|v-u\\|+\\|u-w\\|$
		$\displaystyle=d(v,u)+d(u,w)$

Rozdział 3 Przestrzeń wektorowa

3.1 Płaszczyzna ℝ2 jako przestrzeń wektorowa

Definicja 3.1.

Definicja 3.2.

3.2 Definicja przestrzeni wektorowej

Definicja 3.3.

Lemat 3.1.

Dowód.

Definicja 3.4.

Przykład 3.1 (Przestrzeń F⁢(R,R) funkcji f:R→R).

Przykład 3.2 (Przestrzeń wielomianów).

Przykład 3.3 (Przestrzeń wektorowa Cn).

Definicja 3.5 (Przestrzeń wektorowa nad ciałem F).

Przykład 3.4 (Przestrzeń wektorowa (Fn,+,⋅)).

Przykład 3.5 (O co chodzi z tymi ciałami?).

Przykład 3.6.

Definicja 3.6.

Przykład 3.7.

Lemat 3.2.

Dowód.

Definicja 3.7.

Definicja 3.8.

Przykład 3.8.

Przykład 3.9.

Definicja 3.9.

Przykład 3.10.

Przykład 3.11.

Przykład 3.12 (Przestrzeń wektorowa macierzy M2×2⁢(F)).

3.3 Iloczyn skalarny i norma w ℝn

Definicja 3.10.

Lemat 3.3.

Definicja 3.11.

Lemat 3.4 (Tożsamość równoległoboku).

Dowód.

Lemat 3.5 (Wzór polaryzacyjny).

Dowód.

Lemat 3.6.

Dowód.

Twierdzenie 3.1 (Nierówność Cauchy’ego–Schwarza).

Dowód.

Wniosek 3.1 (Własności normy).

Dowód.

Definicja 3.12.

Definicja 3.13.

Definicja 3.14.

Przykład 3.13.

Przykład 3.14.

3.4 Proste i płaszczyzny

Definicja 3.15.

Definicja 3.16.

Wniosek 3.2.

Przykład 3.15.

Definicja 3.17.

Przykład 3.16.

3.1 Płaszczyzna $\mathbb{R}^{2}$ jako przestrzeń wektorowa

Przykład 3.1 (Przestrzeń $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ).

Przykład 3.3 (Przestrzeń wektorowa $\mathbb{C}^{n}$ ).

Definicja 3.5 (Przestrzeń wektorowa nad ciałem $\mathbb{F}$ ).

Przykład 3.4 (Przestrzeń wektorowa $(\mathbb{F}^{n},+,\cdot)$ ).

Przykład 3.12 (Przestrzeń wektorowa macierzy $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ ).

3.3 Iloczyn skalarny i norma w $\mathbb{R}^{n}$