I Algebra liniowa z geometrią 1 1 Kilka uwag i wskazówek dla studentów 3 Przestrzeń wektorowa

Rozdział 2 Pojęcia wstępne

SŁOWA KLUCZOWE ROZDZIAŁU ciało liczb rzeczywistych

\Diamond

ciało liczb zespolonych

\Diamond

wzór de Moivre’a

\Diamond

zasadnicze twierdzenie algebry

\Diamond

ciało

\mathbb{Z}_{p}

\Diamond

grupa

\Diamond

grupa

\mathbb{S}^{1}

\Diamond

grupa pierwiastków zespolonych z jedynki

2.1 Zbiory i liczby rzeczywiste

Zbiór jest kolekcją pewnych obiektów. Dla przykładu, zbiór

A=\big{\{}1,2,3\big{\}}

składa się z elementów $1,2,3$ będących liczbami naturalnymi. Napis $1\in A$ oznacza, że liczba naturalna $1$ jest elementem zbioru $A$ . Natomiast napis $4\notin A$ stwierdza, że $4$ nie jest elementem zbioru $A$ . Zbiory $A$ i $B$ są równe, gdy składają się z tych samych elementów. Zbiory

\big{\{}1,2,3\big{\}}=\big{\{}3,2,1\big{\}}=\big{\{}1,2,3,1\big{\}}

są równe. Napis $A\subset B$ oznacza, że zbiór $A$ jest podzbiorem zbioru $A$ , czyli każdy element zbioru $A$ jest elementem zbioru $B$ . Dla przykładu,

\big{\{}1,2\big{\}}\subset\big{\{}-1,0,1,2\big{\}},\quad\big{\{}1,8\big{\}}% \not\subset\big{\{}-1,0,1,2\big{\}}.

Przykład 2.1.

Ważne zbiory liczbowe:

•

zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}=\big{\{}1,2,3,4,5,\ldots\big{\}}$ ;
•

zbiór liczb całkowitych $\mathbb{Z}=\big{\{}\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\big{\}}$ ;
•

zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}=\Big{\{}\frac{m}{n}:m\in\mathbb{Z},\;n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}% \Big{\}}$ ;
•

zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ .

Zachodzą zawierania

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R},

ale żadne z nich nie jest równością. Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ składa się z liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ i liczb niewymiernych $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ . Przykładowo, liczby $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $3-\sqrt{3}$ są niewymierne.

Zbiór pusty $\emptyset$ , to zbiór który nie zawiera żadnych elementów. Przykładowo,

	$\displaystyle\emptyset$	$\displaystyle=\big{\{}n\in\mathbb{N}:n^{2}=-1\big{\}}$
		$\displaystyle=\big{\{}x\in\mathbb{R}:x\cdot 0\neq 0\big{\}}$
		$\displaystyle=\big{\{}m\in\mathbb{Z}:m^{3}=2\big{\}}$
		$\displaystyle=\big{\{}m\in\mathbb{N}:3.01\leq m<3.99\big{\}}.$

Oceń czy poniższe zdania są prawdziwe:
- –
  
  Zbiory $A=\big{\{}x\in\mathbb{N}:x^{2}=16\big{\}}$ i $B=\big{\{}x\in\mathbb{Z}:x^{2}=16\big{\}}$ są równe;
- –
  
  Suma liczby wymiernej $x$ i niewymiernej $y$ jest liczbą niewymierną;
- –
  
  Suma $x+y$ i iloczyn $x\cdot y$ liczb wymiernych jest liczbą wymierną;
- –
  
  Suma $x+y$ liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną;
- –
  
  Iloczyn $x\cdot y$ liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną;
- –
  
  Iloczyn $x\cdot y$ liczb: wymiernej $x$ i niewymiernej $y$ jest liczbą niewymierną;
- –
  
  Suma $x+y$ liczb: wymiernej $x$ i niewymiernej $y$ jest liczbą niewymierną.

$\longleftarrow$

Liczby rzeczywiste możemy dodawać i mnożyć. Wynikiem tych operacji jest ponownie liczba rzeczywista. Bardziej formalnie oznacza to, że określone są dwie funkcje (operacje): dodawanie liczb rzeczywistych

+:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\ni(x,y)\longmapsto x+y\in\mathbb{R}

oraz ich mnożenie

\cdot:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\ni(x,y)\longmapsto x\cdot y\in\mathbb{R}.

Jeśli poprawnie rozwiązaliście Test to zauważycie, że dodawanie i mnożenie jest również dobrze określonym działaniem w zbiorze liczb wymiernych. Powyższe zdanie oznacza tyle, że suma $x+y$ i iloczyn $x\cdot y$ liczb wymiernych jest liczbą wymierną. Nie jest tak z liczbami niewymiernymi. Działania te wyprowadzają nas ze zbioru liczb niewymiernych. Przykładowo, liczby $\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$ są niewymierne, ale ich suma $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ i iloczyn $\sqrt{2}\cdot(-\sqrt{2})=-2$ są liczbami wymiernymi (nawet całkowitymi).

Wróćmy do działań dodawania i mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych. Zakładamy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b,c\in\mathbb{R}$ zachodzą warunki (aksjomaty):

(i)

$(a+b)+c=a+(b+c)$
(ii)

$a+b=b+a$
(iii)

$a+0=a$
(iv)

istnieje taka liczba rzeczywista $b$ , że $a+b=0$
(v)

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$
(vi)

$a\cdot b=b\cdot a$
(vii)

$a\cdot 1=a$
(viii)

jeżeli $a\neq 0$ , to istnieje taka liczba rzeczywista $a^{-1}$ , że $a\cdot a^{-1}=1$
(ix)

$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Algebraicy mówią wtedy krótko, że zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ z działaniami $+$ oraz $\cdot$ jest ciałem. Oznacza to, że trójka $(\mathbb{R},+,\cdot)$ (zbiór $\mathbb{R}$ i dwa działania w nim) spełnia warunki (i)-(ix).

Liczby rzeczywiste możemy ze sobą porównywać. Dla dowolnych $x,y\in\mathbb{R}$ zachodzi jeden z warunków

x=y\quad\text{lub}\quad x<y\quad\text{lub}\quad y<x.

Relacja $<$ jest zgodna z działaniami w tym sensie, że zachodzą warunki:

(1)

jeśli $a<c$ i $b<d$ , to $a+b<c+d$ ,
(2)

jeśli $a<b$ i $c>0$ , to $a\cdot c<b\cdot c$ .

Dla liczby rzeczywistej $x\in\mathbb{R}$ definiujemy jej wartość bezwzględną wzorem

|x|=\left\{\begin{array}[]{ll}x,&\hbox{gdy $x\geq 0$,}\\ -x,&\hbox{gdy $x\leq 0$. }\\ \end{array}\right.

Liczby rzeczywiste możemy interpretować jako punktu na prostej. Liczba nieujemna $|x|$ jest odległością punktu $x$ od punktu $0$ . Dla liczb rzeczywistych $x,y\in\mathbb{R}$ zachodzi nierówność

|x+y|\leq|x|+|y|.

2.2 Liczby zespolone

Wprowadzimy teraz ważne uogólnienie ciała liczb rzeczywistych, czyli ciało liczb zespolonych.

Zbiór liczb zespolonych $\mathbb{C}$ definiujemy jako zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych, czyli

$\mathbb{C}:=\big{\{}(x,y):x,y\in\mathbb{R}\big{\}}.$

Podobnie jak liczby rzeczywiste możemy interpretować jako punkty na prostej, tak elementy zbioru $\mathbb{C}$ są punktami na płaszczyźnie.

Na razie mamy pewien zbiór tzn. zbiór punktów na płaszczyźnie. Aby mówić o ciele liczb zespolonych musimy w zbiorze $\mathbb{C}$ wprowadzić dwa działania $+$ oraz $\cdot$ spełniające warunki (i)-(ix). Zrobimy to wykorzystując działania określone w zbiorze liczb rzeczywistych. Jest to typowy dla matematyki mechanizm tworzenia nowych struktur w oparciu o struktury już istniejące.

Definicja 2.1 (Suma i iloczyn liczb zespolonych).

Sumę i iloczyn liczb zespolonych $(x_{1},y_{1})$ , $(x_{2},y_{2})\in\mathbb{C}$ określamy wzorami

	$\displaystyle(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})$	$\displaystyle:=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),$		(2.1)
	$\displaystyle(x_{1},y_{1})\cdot(x_{2},y_{2})$	$\displaystyle:=(x_{1}\cdot x_{2}-y_{1}\cdot y_{2},x_{1}\cdot y_{2}+y_{1}\cdot x% _{2}).$		(2.2)

Wzory (2.1) i (2.2) wymagają pewnego komentarza. W formule (2.1) znak $+$ z lewej strony równości jest nowo definiowanym pojęciem dodawania liczb zespolonych przy pomocy, wcześniej zdefiniowanej, formuły z prawej strony: jest to więc znak dodawania punktów na płaszczyźnie. Po prawej stronie znak $+$ jest już wcześniej znaną operacją dodawania liczb rzeczywistych. Mamy tu więc do czynienia z pewną kolizją oznaczeń: znak $+$ z prawej i lewej strony oznacza inne operacje, zdefiniowane w innych zbiorach. Musimy się do tego przyzwyczaić i domyślać się z kontekstu o jakie działanie chodzi. Alternatywą byłoby oznaczanie dodawania liczb zespolonych jakimś innym symbolem niż $+$ np. $\heartsuit$ . Moglibyśmy wtedy formułę (2.1) zapisać jako

$(x_{1},y_{1})\heartsuit(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}).$

Tego typu mnożenie oznaczeń nie wydaje się jednak celowe. Zachęcam do analogicznego przeanalizowania znaczenia symboli $\cdot$ , $\pm$ we wzorze (2.2).

Dla liczby zespolonej $z=(x,y)\in\mathbb{C}$ wygodnie jest wprowadzić następującą terminologię. Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną liczby zespolonej $z$ . Będziemy używać oznaczeń

{\rm Re}\,z:=x,\quad{\rm Im}\,z:=y.

Definicja 2.2 (Sprzężenie i moduł liczby zespolonej).

Dwie liczby zespolone $(x_{1},y_{1})$ oraz $(x_{2},y_{2})$ są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy $x_{1}=x_{2}$ oraz $y_{1}=y_{2}$ , tzn. zarówno ich części rzeczywiste, jak i urojone są równe. Dla liczby zespolonej $z=(x,y)\in\mathbb{C}$ definiujemy liczbę przeciwną $-z:=(-x,-y)$ oraz

	$\displaystyle\overline{z}:$	$\displaystyle=(x,-y)$	sprzężenie liczby zespolonej
	$\displaystyle\|z\|:$	$\displaystyle=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$	$\displaystyle\textit{moduł liczby zespolonej}.$

Moduł liczby zespolonej $z=(x,y)$ jest odległością punktu $(x,y)$ od początku układu współrzędnych $(0,0)$ .

Zachodzą własności

\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z}_{1}+\overline{z}_{2},\quad\quad\overline{z% _{1}\cdot z_{2}}=\overline{z}_{1}\cdot\overline{z}_{2}

|z_{1}+z_{2}|\leq|z_{1}|+|z_{2}|,\quad\quad|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|

{\rm Re}\,z=\frac{z+\overline{z}}{2},\quad\quad{\rm Im}\,z=\frac{z-\overline{z% }}{2i}.

Przykład 2.2.

Uzasadnimy, że

|z+w|\leq|z|+|w|,\quad z,w\in\mathbb{C}.

Zauważmy, że

	$\displaystyle\|z+w\|^{2}$	$\displaystyle=(z+w)(\overline{z+w})$
		$\displaystyle=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})$
		$\displaystyle=\|z\|^{2}+z\cdot\overline{w}+\overline{z}\cdot w+\|w\|^{2}$
		$\displaystyle=\|z\|^{2}+\|w\|^{2}+2{\rm Re}\,(z\cdot\overline{w})$
		$\displaystyle\leq\|z\|^{2}+\|w\|^{2}+2\|z\cdot w\|$
		$\displaystyle=(\|z\|+\|w\|)^{2}.$

Wniosek 2.1.

Dla dowolnej liczby zespolonej $z=(x,y)\in\mathbb{C}$ zachodzi wzór

z\cdot\overline{z}=(|z|^{2},0).

Dowód.

Dowód polega na bezpośrednim rachunku. Mamy

	$\displaystyle z\cdot\overline{z}$	$\displaystyle=(x,y)\cdot(x,-y)$
		$\displaystyle=(x\cdot x-y\cdot(-y),x\cdot(-y)+y\cdot x)$
		$\displaystyle=(x^{2}+y^{2},0)$
		$\displaystyle=(\|z\|^{2},0).$

∎

Twierdzenie 2.1.

Dla dowolnych liczb zespolonych $z, w, q$ mamy

(i)

$(z+w)+q=z+(w+q)$
(ii)

$z+w=w+z$
(iii)

$z+(0,0)=z$
(iv)

$z+(-z)=(0,0)$
(v)

$(z\cdot w)\cdot q=z\cdot(w\cdot q)$
(vi)

$z\cdot w=w\cdot z$
(vii)

$z\cdot(1,0)=z$
(viii)

jeżeli $z\neq 0$ , to istnieje jedyna taka liczba zespolona $z^{-1}$ , że $z\cdot z^{-1}=(1,0)$
(ix)

$z\cdot(w+q)=z\cdot w+z\cdot q$

W szczególności, trójka $(\mathbb{C},+,\cdot)$ jest ciałem.

Dowód.

Udowodnimy dla przykładu punkty (viii) i (ix) pozostawiając dowody pozostałych punktów jako ćwiczenie. Zaczniemy od dowodu punktu (ix). Niech $z=(x_{1},y_{1})$ , $w=(x_{2},y_{2})$ i $q=(x_{3},y_{3})$ będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy

	$\displaystyle z\cdot(w+q)$	$\displaystyle=(x_{1},y_{1})\cdot\big{(}(x_{2},y_{2})+(x_{3},y_{3})\big{)}$
		$\displaystyle=(x_{1},y_{1})\cdot(x_{2}+x_{3},y_{2}+y_{3})$
		$\displaystyle=\big{(}x_{1}\cdot(x_{2}+x_{3})-y_{1}\cdot(y_{2}+y_{3}),x_{1}% \cdot(y_{2}+y_{3})+y_{1}\cdot(x_{2}+x_{3})\big{)}$
		$\displaystyle=(x_{1}\cdot x_{2}-y_{1}\cdot y_{2}+x_{1}\cdot x_{3}-y_{1}\cdot y% _{3},x_{1}\cdot y_{2}+y_{1}\cdot x_{2}+x_{1}\cdot y_{3}+y_{1}\cdot x_{3})$
		$\displaystyle=(x_{1}\cdot x_{2}-y_{1}\cdot y_{2},x_{1}\cdot y_{2}+y_{1}\cdot x% _{2})+(x_{1}\cdot x_{3}-y_{1}\cdot y_{3},x_{1}\cdot y_{3}+y_{1}\cdot x_{3})$
		$\displaystyle=z\cdot w+z\cdot q.$

Zajmiemy się teraz dowodem punktu (ix). Niech $z=(x,y)\neq(0,0)$ będzie dowolną, niezerową liczbą zespoloną. Zauważmy, że $|z|^{2}=x^{2}+y^{2}\neq 0$ . Szukamy takiej liczby zespolonej $z^{-1}$ , że $z\cdot z^{-1}=(1,0)$ . Ponieważ

z\cdot\overline{z}=(|z|^{2},0),

więc wystarczy przyjąć, że

z^{-1}=\left(\frac{x}{|z|^{2}},\frac{-y}{|z|^{2}}\right)=\frac{\overline{z}}{|% z|^{2}}.

∎

Liczby zespolone postaci $(x,0)$ będziemy utożsamiać z liczbami rzeczywistymi, tzn. będziemy pisać $(x,0)=x$ .

Definicja 2.3 (Jednostka urojona).

Liczbę zespoloną

i:=(0,1)

nazywamy jednostką urojoną.

Zauważmy, że

i^{2}=(0,1)\cdot(0,1)=(-1,0)=-1.

Stąd

i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,

czyli

i^{4k}=1,\quad i^{4k+1}=i,\quad i^{4k+2}=-1,\quad i^{4k+3}=-i,\quad k\in% \mathbb{N}.

Każdą liczbę zespoloną $z=(x,y)$ możemy zapisać w postaci algebraicznej:

z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)\cdot(y,0)=x+iy.

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ oraz $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ w postaci algebraicznej przyjmuje postać

z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}),

z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).

W tej konwencji zapisu liczby zespolone mnożymy tak samo jak liczby rzeczywiste pamiętając, że $i^{2}=-1$ . Dla przykładu,

	$\displaystyle(1+i\sqrt{2})(4+3i)$	$\displaystyle=4+4i\sqrt{2}+3i+3\sqrt{2}i^{2}$
		$\displaystyle=4-3\sqrt{2}+i(4\sqrt{2}+3).$

Rysunek 2.1: Mnożenie przez $i$ jest obrotem o $\pi/2$ .

Przykład 2.3.

Zapiszemy liczbę $\frac{1}{1+3i}$ w postaci $a+bi$ . Mamy

	$\displaystyle\frac{1}{1+3i}$	$\displaystyle=\frac{1}{1+3i}\cdot\frac{1-3i}{1-3i}$
		$\displaystyle=\frac{1-3i}{1+3^{2}}$
		$\displaystyle=\frac{1-3i}{10}.$

Każdą liczbę zespoloną $z=x+iy\neq 0$ można zapisać w postaci

z=x+iy=|z|\left(\frac{x}{|z|}+i\frac{y}{|z|}\right).

Ponadto,

\frac{x}{|z|}=\cos\varphi,\quad\frac{y}{|z|}=\sin\varphi,

(2.3)

gdzie $\varphi$ jest kątem między między osią rzeczywistą a półprostą o początku w punkcie $(0,0)$ przechodzącą przez punkt $(x,y)$ . Otrzymujemy stąd postać trygonometryczną liczby zespolonej:

z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi).

(2.4)

Każdą liczbę $\varphi$ spełniającą równania (2.3) nazywamy argumentem liczby zespolonej $z\neq 0$ i oznaczamy $\arg(z)$ .

Argument $\arg(z)$ nie jest wyznaczony jednoznacznie. Jeżeli $\varphi$ jest pewnym argumentem $z$ , to każdy inny argument $z$ jest postaci

\varphi+2k\pi,

dla pewnego $k\in\mathbb{Z}$ . Jeśli $z=0$ , to równość (2.4) zachodzi dla dowolnej liczby rzeczywistej $\varphi$ . Argumentem głównym liczby zespolonej $z\neq 0$ nazywamy liczbę rzeczywistą $\varphi\in(-\pi,\pi]$ określoną równaniami (2.3). Oznaczamy go przez ${\rm Arg}\,(z)$ .

Z powyższy rozważań wynika, że liczba zespolona $z\neq 0$ jest jednoznacznie wyznaczona przez swój moduł i argument. Wynika stąd, że dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe moduły i ich argumenty różnią się o całkowitą wielokrotność $2\pi$ .

Przykład 2.4.

Zapiszemy liczbę $z=1+i\sqrt{3}$ w postaci trygonometrycznej. Mamy $|z|=\sqrt{4}=2$ oraz

\cos\theta=\frac{1}{2},\quad\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Stąd $\theta=\frac{\pi}{3}$ , czyli

1+i\sqrt{3}=2\bigg{(}\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\bigg{)}.

Lemat 2.1.

Dla danych w postaci trygonometrycznej liczb zespolonych

z_{1}=|z_{1}|(\cos\phi+i\sin\phi),\quad z_{2}=|z_{2}|(\cos\psi+i\sin\psi)

zachodzi wzór

z_{1}\cdot z_{2}=|z_{1}||z_{2}|(\cos(\phi+\psi)+i\sin(\phi+\psi)).

Dowód.

Bezpośredni rachunek pokazuje, że

	$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$	$\displaystyle=\|z_{1}\|(\cos\phi+i\sin\phi)\cdot\|z_{2}\|(\cos\psi+i\sin\psi)$
		$\displaystyle=\|z_{1}\|\|z_{2}\|(\cos\phi\cos\psi-\sin\phi\sin\psi+i(\sin\phi\cos% \psi+\cos\phi\sin\psi))$
		$\displaystyle=\|z_{1}\|\|z_{2}\|(\cos(\phi+\psi)+i\sin(\phi+\psi)).$

∎

Twierdzenie 2.2 (Wzór de Moivre’a).

Dla liczby zespolonej $z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)$ oraz dla $n\in\mathbb{N}$ zachodzi wzór

z^{n}=|z|^{n}(\cos n\phi+i\sin n\phi).

W szczególności, jeśli $|z|=1$ , to

(\cos\phi+i\sin\phi)^{n}=\cos n\phi+i\sin n\phi.

Dowód.

Zastosujemy indukcję względem $n$ . Wzór zachodzi dla $n=1$ . Zakładamy teraz, że jest on prawdziwy dla pewnej liczby naturalnej $n$ . Udowodnimy, że zachodzi on również dla $n+1$ . Mamy

	$\displaystyle z^{n+1}$	$\displaystyle=z\cdot z^{n}$
		$\displaystyle=\|z\|(\cos\phi+i\sin\phi)\cdot\|z\|^{n}(\cos n\phi+i\sin n\phi)$
		$\displaystyle=\|z\|^{n+1}(\cos(n+1)\phi+i\sin(n+1)\phi).$

∎

Przykład 2.5.

Obliczymy $(1+i\sqrt{3})^{5}$ . Ponieważ $1+i\sqrt{3}=2\bigg{(}\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\bigg{)}$ , więc

	$\displaystyle(1+i\sqrt{3})^{5}$	$\displaystyle=2^{5}\bigg{(}\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\bigg{)}$
		$\displaystyle=32\bigg{(}\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg{)}.$

Definicja 2.4 (Pierwiastek z liczby zespolonej).

Niech $n\in\mathbb{N}$ . Liczbę zespoloną $w$ nazywamy pierwiastkiem stopnia $n$ z liczby zespolonej $z$ , jeśli $w^{n}=z$ .

Niech $w=|w|(\cos\psi+i\sin\psi)$ będzie pierwiastkiem stopnia $n$ z liczby $z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)\neq 0$ . Ze wzoru de Moivre’a wynika, że wtedy

|w|^{n}(\cos n\psi+i\sin n\psi)=|z|(\cos\phi+i\sin\phi).

Stąd $|w|^{n}=|z|$ oraz

n\psi=\phi+2k\pi,

dla pewnego $k\in\mathbb{Z}$ . Wynika stąd, że dla pewnego $k\in\mathbb{Z}$ mamy

w=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{% \phi+2k\pi}{n}\right)\right).

(2.5)

Łatwo sprawdzamy, że istnieje dokładnie $n$ różnych pierwiastków stopnia $n$ z liczby $z\neq 0$ danych wzorami

w_{k}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(% \frac{\phi+2k\pi}{n}\right)\right),\quad k=0,1,\ldots,n-1.

Na pierwiastki $w_{k}$ stopnia $n$ z niezerowej liczby zespolonej $z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)$ możemy popatrzeć następująco. Niech

$u=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\phi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\phi}{n}% \right)\right)$

będzie oczywistym pierwiastkiem. Dla pierwiastka stopnia $n$ z jedynki:

$\omega=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}$

mamy

$w_{k}=u\omega^{k},\quad k=0,\ldots,n-1,$

czyli pierwiastkami stopnia $n$ z liczby $z\in\mathbb{C}$ są

$u,\;u\omega,\;u\omega^{2},\;\ldots,\;u\omega^{n-1}.$

Przykład 2.6.

Wyznaczymy pierwiastki zespolone stopnia trzeciego z liczby

1+i\sqrt{3}=2\bigg{(}\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\bigg{)}.

Dla $k=0$ mamy

w_{0}=\sqrt[3]{2}\bigg{(}\cos\frac{\pi}{9}+i\sin\frac{\pi}{9}\bigg{)}.

Dla $k=1$ otrzymujemy

	$\displaystyle w_{1}$	$\displaystyle=\sqrt[3]{2}\bigg{(}\cos\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi}{3}+i\sin\frac{% \frac{\pi}{3}+2\pi}{3}\bigg{)}$
		$\displaystyle=\sqrt[3]{2}\bigg{(}\cos\frac{7\pi}{9}+i\sin\frac{7\pi}{9}\bigg{)},$

a dla $k=2$ mamy

	$\displaystyle w_{2}$	$\displaystyle=\sqrt[3]{2}\bigg{(}\cos\frac{\frac{\pi}{3}+4\pi}{3}+i\sin\frac{% \frac{\pi}{3}+4\pi}{3}\bigg{)}$
		$\displaystyle=\sqrt[3]{2}\bigg{(}\cos\frac{13\pi}{9}+i\sin\frac{13\pi}{9}\bigg% {)}.$

Przykład 2.7.

Pierwiastkami zespolonymi stopnia $4$ z jedynki są liczby

1,\quad i,\quad-1,\quad-i.

Ponieważ pierwiastki $w_{k}$ dla $k=0,1,\ldots,n-1$ mają moduły równe $\sqrt[n]{|z|}$ i kolejne argumenty różnią się o $\frac{2\pi}{n}$ , więc $w_{k}$ są wierzchołkami $n$ -kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $\sqrt[n]{|z|}$ .

Przykład 2.8 (Pierwiastki zespolone wielomianu rzeczywistego).

Rozważmy równanie wielomianowe o współczynnikach rzeczywistych $a_{0},\ldots,a_{n}\in\mathbb{R}$ :

a_{n}z^{n}+\ldots+a_{1}z+a_{0}=0,\quad a_{n}\neq 0.

Uzasadnimy, że jeżeli liczba zespolona $z$ jest pierwiastkiem tego równania, to jest nim również $\overline{z}$ . Nie jest to prawda, gdy współczynniki $a_{0},\ldots,a_{n}$ są zespolone, ale nie są rzeczywiste. Jeśli

a_{n}z^{n}+\ldots+a_{1}z+a_{0}=0,

	$\displaystyle 0=\overline{0}$	$\displaystyle=\overline{a_{n}z^{n}+\ldots+a_{1}z+a_{0}}$
		$\displaystyle=\overline{a_{n}}\cdot\overline{z}^{n}+\ldots+\overline{a_{1}}% \cdot\overline{z}+\overline{a_{0}}$
		$\displaystyle=a_{n}\overline{z}^{n}+\ldots+a_{1}\overline{z}+a_{0}.$

Twierdzenie 2.3 (Zasadnicze twierdzenie algebry).

Każdy wielomian

w(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_{1}z+a_{0},\quad a_{i}\in\mathbb{C}

o współczynnikach zespolonych ma $n$ pierwiastków zespolonych (liczonych z krotnościami) $z_{1},\ldots,z_{n}$ . Ponadto,

w(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots(z-z_{n}).

Pierwszy dowód Twierdzenia 2.3 podał Gauss w 1799 roku.

Rozkład wielomianu rzeczywistego nad $\mathbb{R}$

Z Zasadniczego twierdzenia algebry wynika, że wielomian o współczynnikach zespolonych $p(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_{1}z+a_{0}$ ma rozkład na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego

$p(z)=(z-z_{1})\ldots(z-z_{n}),$

gdzie $z_{1},\ldots,z_{n}\in\mathbb{C}$ są pierwiastkami $p$ . Zastanówmy się co możemy powiedzieć o rozkładzie wielomianu $p(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_{1}z+a_{0}$ o współczynnikach rzeczywistych. Jak wiemy, jeśli liczba zespolona $z_{1}=a+ib$ z $b\neq 0$ jest jego pierwiastkiem, to jest nim również liczba sprzężona $z_{2}=a-ib$ . Zauważmy, że

$\displaystyle(z-z_{1})(z-z_{2})$ $\displaystyle=(z-(a+ib))(z-(a-ib))$

$\displaystyle=z^{2}-2az+a^{2}+b^{2},$

jest wielomianem stopnia $2$ o współczynnikach rzeczywistych nie posiadającym pierwiastków rzeczywistych. Wynika stąd, że $p$ możemy rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia jeden i wielomianów nierozkładalnych stopnia dwa o współczynnikach rzeczywistych.

Przykład 2.9.

Można sprawdzić, że wielomian $w(z)=z^{4}-5z^{2}-10z-6$ ma pierwiastki zespolone $-1,3,-1+i,-1-i$ . Jako wielomian o współczynnikach zespolonych rozkłada się on na czynniki stopnia pierwszego:

w(z)=(z+1)(z-3)(z+1+i)(z+1-i).

Jeśli chcemy, go rozłożyć na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, to otrzymujemy

w(z)=(z+1)(z-3)\underbrace{(z^{2}+2z+2)}_{=(z+1+i)(z+1-i)}.

Przykład 2.10 (Pierwiastki zespolone równania kwadratowego).

Rozważmy równanie kwadratowe

az^{2}+bz+c=0,\quad a\neq 0

o współczynnikach rzeczywistych. Jeśli $\Delta=b^{2}-4ac<0$ , to ma ono dwa sprzężone rozwiązania zespolone dane wzorami

z_{1}=\frac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a},\quad z_{2}=\frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}.

Przykładowo, dla

z^{2}+z+1=0

mamy $\Delta=-3$ oraz

z_{1}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2},\quad z_{2}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}.

Pierwiastki równania kwadratowego Rozważmy równanie kwadratowe

$az^{2}+bz+c=0,\quad a\neq 0$

o współczynnikach zespolonych $a,b,c\in\mathbb{C}$ . Dla $\Delta=b^{2}-4ac$ możemy je zapisać w postaci

$a\bigg{[}\bigg{(}z+\frac{b}{2a}\bigg{)}^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}\bigg{]}=0,$

co jest równoważne z równością

$\bigg{(}z+\frac{b}{2a}\bigg{)}^{2}=\frac{\Delta}{4a^{2}},$

czyli

$(2az+b)^{2}=\Delta.$

Wystarczy więc znaleźć pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej $\Delta$ .

Zauważmy, że jeśli $z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}$ są pierwiastkami równania $az^{2}+bz+c=0$ , to

$az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$

oraz zachodzą wzory Viete’a

$z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a},\quad z_{1}\cdot z_{2}=\frac{c}{a}.$

Przykład 2.11.

Rozwiążemy równanie

4z^{2}+4iz+(-13-16i)=0,\quad z\in\mathbb{C}.

Jest ono równoważne z równaniem $z^{2}+iz+\frac{-13-16i}{4}=0$ , czyli

\bigg{(}z+\frac{i}{2}\bigg{)}^{2}+\frac{1}{4}-\frac{13}{4}-4i=0.

Stąd

\bigg{(}z+\frac{i}{2}\bigg{)}^{2}=3+4i.

Znajdziemy pierwiastki stopnia $2$ z liczby $3+4i$ . Jeśli $(a+ib)^{2}=3+4i$ , to

a^{2}-b^{2}=3,\quad 2ab=4.

Z drugiego równania $a$ i $b$ są różne od zera i $b=\frac{2}{a}$ . Z pierwszego równania mamy

a^{2}-\frac{4}{a^{2}}=3,

czyli

a^{4}-3a^{2}-4=0.

Stąd

(a^{2}+1)(a^{2}-4)=0,

czyli $a=\pm 2$ . W konsekwencji, $b=\pm 1$ . Mamy więc, że

z+\frac{i}{2}=2+i\quad\textmd{lub}\quad z+\frac{i}{2}=-2-i,

czyli

z=2+\frac{i}{2}\quad\textmd{lub}\quad z=-2-\frac{3i}{2}.

2.3 Grupy i ciała

Wprowadzimy teraz pewne podstawowe struktury algebraiczne. Ten fragment będzie nieco bardziej abstrakcyjny i wymaga od Was szczególnej uwagi. Ten trud opłaci się w Waszym dalszym matematycznym życiu. Podejmijcie go! Robimy to nie tylko z miłości do abstrakcji, ale przede wszystkim dlatego, że wprowadzenie i używanie tego języka jest po prostu wygodne. Niech $X$ będzie niepustym zbiorem.

Definicja 2.5 (Działanie wewnętrzne w zbiorze).

Działaniem wewnętrznym w zbiorze $X$ nazywamy dowolne odwzorowanie

\circ:X\times X\ni(x,y)\longmapsto x\circ y:=\circ(x,y)\in X

przyporządkowujące uporządkowanej parze elementów zbioru $X$ element zbioru $X$ .

Przykład 2.12.

Dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych (zespolonych) są działaniami wewnętrznymi w zbiorze $\mathbb{R}$ ( $\mathbb{C}$ ). Ponieważ $2-3=-1$ , więc odejmowanie nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze liczb naturalnych $\mathbb{N}$ . Dzielenie $x\circ y=\frac{x}{y}$ nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ , bo nie jest zdefiniowane dla pary $(2,0)$ – nie wolno dzielić przez $0$ .

Definicja 2.6 (Grupa i grupa abelowa).

Niech $\circ:X\times X\longrightarrow X$ będzie działaniem w zbiorze $X$ . Para $(X,\circ)$ jest grupą, jeśli zachodzą warunki

(G1)

Dla dowolnych $x,y,z\in X$ zachodzi

$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)\quad\text{łączność działania}$
(G2)

Istnieje taki $e\in X$ , że dla dowolnego $x\in X$ zachodzi

$e\circ x=x=x\circ e\quad\text{istnieje element neutralny}.$
(G3)

Dla dowolnego $x\in X$ istnieje taki $x^{\prime}\in X$ , że

$x\circ x^{\prime}=x^{\prime}\circ x=e\quad\text{istnieje element odwrotny}.$

Jeżeli ponadto,

(G4)

Dla dowolnych $x,y\in X$ mamy

$x\circ y=y\circ x,\quad\text{przemienność działania}$

to $(G,\circ)$ nazywamy grupą przemienną lub abelową.

Element neutralny $e$ w grupie $G$ jest wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywiście, jeśli $e,e^{*}\in G$ są elementami neutralnymi, to

$e=e\circ e^{*}=e^{*}.$

Podobnie, element odwrotny $x^{\prime}$ do $x$ jest wyznaczony jednoznacznie. Jeśli $x^{\prime},x^{{}^{\prime\prime}}$ są odwrotne do $x$ , to

$\displaystyle x^{\prime}$ $\displaystyle=x^{\prime}\circ e$

$\displaystyle=x^{\prime}\circ(x\circ x^{{}^{\prime\prime}})$

$\displaystyle=(x^{\prime}\circ x)\circ x^{{}^{\prime\prime}}$

$\displaystyle=e\circ x^{{}^{\prime\prime}}$

$\displaystyle=x^{{}^{\prime\prime}}.$

Oceń które ze zdań jest prawdziwe
- –
  
  $(\mathbb{N},+)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{Z},+)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{Q},+)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{R},+)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{C},+)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $((0,+\infty),+)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{N},\cdot)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{Z},\cdot)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{Q},\cdot)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{R},\cdot)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{C},\cdot)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{Z}\setminus\{0\},\cdot)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{Q}\setminus\{0\},\cdot)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)$ jest grupą abelową;
- –
  
  $(\mathbb{C}\setminus\{0\},\cdot)$ jest grupą abelową.

$\longleftarrow$

Przykład 2.13.

Niech

G=\{x+y\sqrt{5}:x,y\in\mathbb{Q},\;x^{2}-5y^{2}=1\}.

Pokażemy, że $G$ z mnożeniem liczb rzeczywistych jest grupą abelową. Musimy przede wszystkim pokazać, że jest to działanie wewnętrzne w $G$ . Niech $x+y\sqrt{5},u+w\sqrt{5}\in G$ . Oznacza to, że $x,y,u,w\in\mathbb{Q}$ oraz

x^{2}-5y^{2}=1=u^{2}-5w^{2}.

Mamy

(x+y\sqrt{5})(u+w\sqrt{5})=\underbrace{xu+5yw}_{\in\mathbb{Q}}+\underbrace{(xw% +yu)}_{\in\mathbb{Q}}\sqrt{5}.

Musimy pokazać, że $(xu+5yw)^{2}-5(xw+yu)^{2}=1$ . Sprawdzamy, że

	$\displaystyle(xu+5yw)^{2}-5(xw+yu)^{2}$	$\displaystyle=x^{2}u^{2}+10xuyw+25y^{2}w^{2}-5x^{2}w^{2}-10xwyu-5y^{2}u^{2}$
		$\displaystyle=x^{2}u^{2}+25y^{2}w^{2}-5x^{2}w^{2}-5y^{2}u^{2}$
		$\displaystyle=\underbrace{(x^{2}-5y^{2})}_{=1}\underbrace{(u^{2}-5w^{2})}_{=1}$
		$\displaystyle=1.$

Mnożenie liczb rzeczywistych jest łączne i przemienne, więc warunki (G1) i (G4) są spełnione. Ponadto, $1\in G$ , więc zachodzi warunek (G2). Zauważmy, że jeśli $x+y\sqrt{5}\in G$ , to z warunku $x^{2}-5y^{2}=1$ wynika, że $x\neq 0$ . Ponadto, $x+y\sqrt{5}\neq 0$ , bo wtedy $\sqrt{5}$ byłby liczbą wymierną, gdy $y\neq 0$ . Łatwo sprawdzamy, że $x-y\sqrt{5}\in G$ oraz

(x+y\sqrt{5})(x-y\sqrt{5})=x^{2}-5y^{2}=1,

czyli warunek (G3) zachodzi.

Przykład 2.14 (Grupa $\mathbb{S}^{1}$ ).

Poprawne rozwiązanie Testu 1 prowadzi nas do wniosku, że $(\mathbb{C}\setminus\{0\},\cdot)$ jest grupą abelową. Oznacza to, że działanie mnożenia

\cdot:\mathbb{C}\setminus\{0\}\times\mathbb{C}\setminus\{0\}\ni(z,w)% \longmapsto z\cdot w\in\mathbb{C}\setminus\{0\}

spełnia warunki (G1)-(G4) z definicji grupy. Zbiór $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ jest płaszczyzną z usuniętym początkiem układu współrzędnych. Rozważmy okrąg jednostkowy o środku w początku układu

\mathbb{S}^{1}:=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}.

Oczywiście $\mathbb{S}^{1}\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$ . Zauważmy, że jeżeli $z_{1}$ , $z_{2}\in\mathbb{S}^{1}$ , to $z_{1}\cdot z_{2}\in\mathbb{S}^{1}$ , gdyż

|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=1.

Oznacza to, że iloczyn liczb zespolonych ze zbioru $\mathbb{S}^{1}$ jest ponownie liczbą należącą do $\mathbb{S}^{1}$ . Wynika stąd, że mnożenie liczb zespolonych jest działaniem wewnętrznym w zbiorze $\mathbb{S}^{1}$ i możemy je traktować jako odwzorowanie

\cdot:\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{S}^{1}\longrightarrow\mathbb{S}^{1}.

W takim razie może $(\mathbb{S}^{1},\cdot)$ jest również grupą?

Podgrupa

Przypuśćmy, że $(G,\circ)$ jest grupą i $H\subset G$ jest takim jej niepustym podzbiorem, że $x\circ y\in H$ dla $x,y\in H$ . Oznacza to, że $\circ$ jest również działaniem wewnętrznym w $H$ . To jeszcze za mało, aby $(H,\circ)$ było grupą. Rozważmy prosty przykład grupy liczb całkowitych $G=\mathbb{Z}$ z działaniem dodawania liczb całkowitych $\circ=+$ . Wtedy jest to również działanie wewnętrzne w zbiorze liczb naturalnych $H=\mathbb{N}\subset G=\mathbb{Z}$ . Zauważmy, że $(\mathbb{N},+)$ nie jest grupą. Przede wszystkim dodawanie nie ma elementu neutralnego w $\mathbb{N}$ , bo $0\notin\mathbb{N}$ . W takim razie rozważmy podzbiór $\mathbb{N}_{0}=\{0\}\cup\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ . Oczywiście, dodawanie liczb całkowitych jest również działaniem wewnętrznym w $\mathbb{N}_{0}$ i nie mamy już problemu z elementem neutralnym. Pojawia się jednak nowy problem, gdyż przykładowo, element $1\in\mathbb{N}_{0}$ nie ma elementu odwrotnego (przeciwnego) w zbiorze $\mathbb{N}_{0}$ , bo $-1\notin\mathbb{N}_{0}$ .
Z naszych rozważań wynika, że podzbiór $H\subset G$ dziedziczy strukturę grupy z $(G,\circ)$ , jeśli spełnione są warunki:
- –
  
  $x\circ y\in H$ dla wszystkich $x,y\in H$ ,
- –
  
  $e\in H$ , gdzie $e\in G$ jest elementem neutralnym dla $\circ$ ,
- –
  
  $x^{\prime}\in H$ , gdzie $x^{\prime}\in G$ jest elementem odwrotnym do $x\in H$ .
Wtedy rzeczywiście $(H,\circ)$ jest grupą. Algebraicy mówią wtedy, że $(H,\circ)$ jest podgrupą grupy $(G,\circ)$ .

Wróćmy do okręgu $\mathbb{S}^{1}$ . Zauważmy, że element neutralny $1$ , dla mnożenia liczb zespolonych, należy do zbioru $\mathbb{S}^{1}$ . Ponadto, dla $z\in\mathbb{S}^{1}$ mamy $z^{-1}=\overline{z}\in\mathbb{S}^{1}$ , bo $|\overline{z}|=|z|$ . Ponieważ warunki (G1)-(G4) zachodzą w zbiorze $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ , więc tym bardziej są spełnione w mniejszym zbiorze $\mathbb{S}^{1}$ . Wynika stąd, że para $(\mathbb{S}^{1},\cdot)$ jest również grupą abelową. Jest ona podgrupą grupy $(\mathbb{C}\setminus\{0\},\cdot)$ .

Przykład 2.15 (Grupa zespolonych pierwiastków z jedynki).

Zdefiniujemy teraz jeszcze pewne ważne podgrupy grupy $(\mathbb{S}^{1},\cdot)$ . Będą one składały się ze skończonej liczby elementów. Ustalmy dowolną liczbę naturalną $n\geq 1$ . Rozważmy zbiór $G_{n}$ wszystkich pierwiastków stopnia $n$ z liczby $1$ , czyli

G_{n}=\{\epsilon_{k}:k=0,1,\ldots,n-1\},

gdzie

\epsilon_{k}=\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right).

Zauważmy, że dla $z,w\in G_{n}$ mamy

(z\cdot w)^{n}=z^{n}\cdot w^{n}=1\cdot 1=1.

Wynika stąd, że mnożenie liczb zespolonych jest działaniem wewnętrznym w zbiorze $G_{n}$ . Ponadto, $1\in G_{n}$ oraz $z^{-1}=\overline{z}$ , więc $z^{-1}\in G_{n}$ , czyli $(G_{n},\cdot)$ jest grupą abelową.

Rysunek 2.3: Pierwiastki zespolone szóstego stopnia z jedynki. Stanowią one grupę abelową z działaniem mnożenia liczb zespolonych.

Podamy teraz abstrakcyjną definicję algebraicznej struktury ciała z którą zetknęliśmy się już w przypadku liczb rzeczywistych i zespolonych. Rozważmy zbiór $\mathbb{F}$ w którym określone są dwa działania wewnętrzne

+:\mathbb{F}\times\mathbb{F}\longrightarrow\mathbb{F},\quad\cdot:\mathbb{F}% \times\mathbb{F}\longrightarrow\mathbb{F}.

Zgodnie z przyjętym (całkowicie umownie) oznaczeniem będziemy je nazywali dodawaniem i mnożeniem, chociaż nie muszą one mieć nic wspólnego ze znanymi nam działaniami arytmetycznymi w zbiorach liczbowych.

Definicja 2.7 (Ciało).

Trójka $(\mathbb{F},+,\cdot)$ jest ciałem, jeśli zachodzą warunki

(F1)

para $(\mathbb{F},+)$ jest grupą abelową z elementem neutralnym $0\in\mathbb{F}$ dla działania $+$ ;
(F2)

para $(\mathbb{F}\setminus\{0\},\cdot)$ jest grupą abelową z działaniem $\cdot$ ;
(F3)

$x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ dla dowolnych $x,y,z\in\mathbb{F}$ .

W punkcie (F2) w sposób niejawny zakładamy, że iloczyn elementów różnych od $0$ jest różny od $0$ , bo mnożenie $\cdot$ jest z założenia działaniem wewnętrznym w zbiorze $\mathbb{F}\setminus\{0\}$ (definicja grupy).

Z drugiej strony dla dowolnego $x\in\mathbb{F}$ zachodzi równość

$0\cdot x=0,$

bo

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x.$

Przykład 2.16 (Rozszerzenie ciała $\mathbb{Q}$ o $\sqrt{2}$ ).

Rozważmy zbiór

\mathbb{Q}(\sqrt{2}):=\Big{\{}a+b\sqrt{2}:a,b\in\mathbb{Q}\Big{\}}.

Elementy zbioru $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ są liczbami rzeczywistymi, czyli $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset\mathbb{R}$ . Pokażemy, że struktura ciała $(\mathbb{R},+,\cdot)$ ,,dziedziczy się’’ na zbiór $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ z działaniami dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych zawężonymi do zbioru $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ . Zauważmy najpierw, że

0=0+0\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}),1=1+0\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}),

czyli elementy neutralne działań należą do zbioru $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ . Ponadto, działania są wewnętrzne w $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ , bo

(a+b\sqrt{2})+(a_{1}+b_{1}\sqrt{2})=\underbrace{a+a_{1}}_{\in\mathbb{Q}}+% \underbrace{(b+b_{1})}_{\in\mathbb{Q}}\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}),

oraz

(a+b\sqrt{2})\cdot(a_{1}+b_{1}\sqrt{2})=\underbrace{aa_{1}+2bb_{1}}_{\in% \mathbb{Q}}+\underbrace{(ab_{1}+ba_{1})}_{\in\mathbb{Q}}\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(% \sqrt{2}).

Zauważmy, że

(a+b\sqrt{2})+(-a-b\sqrt{2})=0,

więc element odwrotny do $a+b\sqrt{2}$ względem działania $+$ , czyli $-a-b\sqrt{2}$ jest elementem zbioru $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ .

Załóżmy, że $a+b\sqrt{2}\neq 0$ . Wtedy $a-b\sqrt{2}\neq 0$ . Stąd

a^{2}-2b^{2}=(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})\neq 0,

czyli

(a+b\sqrt{2})\cdot\left(\frac{a-b\sqrt{2}}{a^{2}-2b^{2}}\right)=1,

więc

\frac{a-b\sqrt{2}}{a^{2}-2b^{2}}=\frac{a}{a^{2}-2b^{2}}-\frac{b}{a^{2}-2b^{2}}% \sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})

jest elementem odwrotnym do $a+b\sqrt{2}$ . Z powyższych rozważań wynika, że $(\mathbb{Q}(\sqrt{2}),+,\cdot)$ jest ciałem.

Przykład 2.17.

Rozważmy zbiór

X=\big{\{}a+b\sqrt[3]{5}:a,b\in\mathbb{Q}\big{\}}.

Uzasadnimy, że nie jest on ciałem z dodawaniem i mnożeniem liczb rzeczywistych. Problem mamy z mnożeniem, bo nie jest ono działaniem wewnętrznym w zbiorze $X$ . Pokażemy bowiem, że $(\sqrt[3]{5})^{2}\notin X$ . Przypuśćmy, że $(\sqrt[3]{5})^{2}=a+b\sqrt[3]{5}$ dla pewnych $a,b\in\mathbb{Q}$ . Mnożąc przez $\sqrt[3]{5}$ dostajemy, że

	$\displaystyle 5=$	$\displaystyle a\sqrt[3]{5}+b(\sqrt[3]{5})^{2}$
		$\displaystyle=a\sqrt[3]{5}+ab+b^{2}\sqrt[3]{5}$
		$\displaystyle=ab+\sqrt[3]{5}(a+b^{2}).$

Ponieważ $\sqrt[3]{5}$ jest liczbą niewymierną, więc $a+b^{2}=0$ i $ab=5$ , czyli $-b^{3}=5$ , więc $\sqrt[3]{5}=-b\in\mathbb{Q}$ . Otrzymana sprzeczność pokazuje, że $(\sqrt[3]{5})^{2}\notin X$ .

Przykład 2.18 (Ciało $\mathbb{Z}_{2}$ ).

Niech $\mathbb{Z}_{2}=\{0,1\}$ . Definiujemy dodawanie $+$ w zbiorze $\mathbb{Z}_{2}=\{0,1\}$ przez tabelę wyników tego działania

+	0	1
0	0	1
1	1	0

Analogicznie definiujemy mnożenie $\cdot$ w zbiorze $\mathbb{Z}_{2}=\{0,1\}$ poprzez tabelę

$\cdot$	0	1
0	0	0
1	0	1

Sprawdzamy łatwo, że tak zdefiniowana trójka $(\mathbb{Z}_{2},+,\cdot)$ jest ciałem.

Ciało $\mathbb{Z}_{p}$

Niech $\mathbb{Z}_{3}=\{0,1,2\}$ . Definiujemy działania $+$ oraz $\cdot$ w zbiorze $\mathbb{Z}_{3}$ przez

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

$\cdot$ 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

Sprawdzamy łatwo, że $(\mathbb{Z}_{3},+,\cdot)$ jest ciałem.

Dla liczby całkowitej $x\in\mathbb{Z}$ i liczby naturalnej $n\geq 1$ przez $[x]_{n}$ oznaczamy resztę z dzielenia liczby $x$ przez $n$ . Zauważcie, że działania w $\mathbb{Z}_{3}$ możemy zapisać następująco:

$x+y=[x+y]_{3},\quad x\cdot y=[x\cdot y]_{3},\quad x,y\in\mathbb{Z}_{3}.$

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby podobnie zdefiniować działania w zbiorze

$\mathbb{Z}_{n}=\{0,1,\ldots,n-1\}$

dla liczby naturalnej $n\geq 1$ . Przyjmujemy, że

$x+y=[x+y]_{n},\quad x\cdot y=[x\cdot y]_{n},\quad x,y\in\mathbb{Z}_{n}.$

Trójka $(\mathbb{Z}_{n},+,\cdot)$ nie zawsze jest ciałem. Elementem neutralnym dodawania jest $0$ . Zauważmy, że przykładowo w $\mathbb{Z}_{6}$ mamy

$2\cdot 3=[6]_{6}=0.$

Oznacza to, że $\mathbb{Z}_{6}$ nie jest ciałem. Analogiczny argument pokazuje, że $\mathbb{Z}_{n}$ nie jest ciałem, gdy $n$ nie jest liczbą pierwszą. Można sprawdzić, że (ćwiczenie) $(\mathbb{Z}_{n},+,\cdot)$ jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą pierwszą.

Ciało skończone nie musi być równe $\mathbb{Z}_{p}$ dla liczby pierwszej $p$ . Poniższe tabelki definiują ciało $4$ -elementowe:

$+$ 0 1 a b

0 0 1 a b

1 1 0 b a

a a b 0 1

b b a 1 0

$\cdot$ 0 1 a b

0 0 0 0 0

1 0 1 a b

a 0 a b 1

b 0 b 1 a

$(\mathbb{Z}_{4},+,\cdot)$ nie jest ciałem, bo $2\cdot 2=0$ .

2.4 Macierze $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$

Niech $\mathbb{F}$ będzie ciałem. Przez macierz $A=[a_{ij}]$ wymiaru $2$ rozumiemy tablicę

A=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{array}\right],\quad a_{ij}\in\mathbb{F}

mającą dwa wiersze i dwie kolumny. Zbiór wszystkich takich macierzy będziemy oznaczać przez $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ . Powiemy, że $A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ są równe ( $A=B$ ), jeśli $a_{ij}=b_{ij}$ dla $i,j=1,2$ .

W zbiorze $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ definiujemy działanie dodawania

+:M_{2\times 2}(\mathbb{F})\times M_{2\times 2}(\mathbb{F})\longrightarrow M_{% 2\times 2}(\mathbb{F})

wzorem

A+B=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{cc}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\ \end{array}\right].

Sprawdzamy łatwo, że $(M_{2\times 2}(\mathbb{F}),+)$ jest grupą abelową. Elementem neutralnym dodawania jest macierz zerowa

0=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&0\\ \end{array}\right],

a elementem przeciwnym do $A$ jest macierz

-A:=\left[\begin{array}[]{cc}-a_{11}&-a_{12}\\ -a_{21}&-a_{22}\\ \end{array}\right].

W zbiorze $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ definiujemy działanie mnożenia

\cdot:M_{2\times 2}(\mathbb{F})\times M_{2\times 2}(\mathbb{F})\longrightarrow M% _{2\times 2}(\mathbb{F}).

Formuła na $A\cdot B$ jest nieco bardziej skomplikowana i w dalszym ciągu wyjaśni się dlaczego taka właśnie. Definiujemy

A\cdot B=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}[]{cc}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_% {12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\ \end{array}\right].

Sprawdzamy łatwo, że dla macierzy

I=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&1\\ \end{array}\right]

oraz dowolnej macierzy $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ mamy

IA=AI=A.

Oznacza to, że $I$ jest elementem neutralnym mnożenia macierzy. Naturalne jest pytanie czy trójka $(M_{2\times 2}(\mathbb{F}),+,\cdot)$ jest ciałem. Bezpośredni rachunek pokazuje, że spełnione są następujące warunki:

•

$(A+B)+C=A+(B+C)$
•

$A+0=0+A=A$ ,
•

$A+(-A)=0$ ,
•

$A+B=B+A$ ,
•

$(AB)C=A(BC)$ ,
•

$AI=IA=A$ ,
•

$A(B+C)=AB+BC$ .

Z definicją ciała mamy jednak kilka problemów. Po pierwsze dla niezerowej macierzy $A=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right]$ mamy

\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&0\\ \end{array}\right],

czyli mnożenie macierzy nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze macierzy niezerowych. Nie mamy więc do czynienia z ciałem. Ponadto, niezerowa macierz $A=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right]$ nie posiada elementu odwrotnego względem mnożenia macierzy. Rzeczywiście, dla dowolnej macierzy $B=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]$ mamy

AB=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ a&b\\ \end{array}\right]\neq I.

Mnożenie macierzy nie jest też przemienne, bo przykładowo

\underbrace{\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right]}_{A}\underbrace{\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&0\\ \end{array}\right]}_{B}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&1\\ \end{array}\right],

\underbrace{\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&0\\ \end{array}\right]}_{B}\underbrace{\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right]}_{A}=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\\ \end{array}\right].

Przykład 2.19.

Dla macierzy $A=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\\ \end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&0\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ mamy

AB=B,\quad BA=0.

Możecie, a nawet powinniście zapytać, dlaczego mnożenie macierzy definiujemy tak dziwną formułą. Moglibyśmy przecież, przez analogię do definicji dodawania macierzy, przyjąć że

$A\cdot B=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}[]{cc}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}a_{11}b_{11}&a_{12}b_{12}\\ a_{21}b_{21}&a_{22}b_{22}\\ \end{array}\right].$

Przecież nie jest to takie złe mnożenie. Ma element neutralny, czyli macierz $\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 1&1\\ \end{array}\right]$ . Jest ono oczywiście łączne i przemienne. Oczywiście mamy problem z istnieniem elementu odwrotnego do macierzy niezerowej, bo jeśli tylko w macierzy $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]$ któryś z wyrazów $a, b, c, d$ jest równy zero, to $A$ nie posiada macierzy odwrotnej. Ale przecież podobne problemy mieliśmy z wcześniej zdefiniowanym mnożeniem. Powód takiego zdefiniowania mnożenia macierzy jest nieco głębszy i poznamy go nieco później.

Naturalne jest pytanie dla jakich macierzy $A$ istnieje taka macierz $B\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ , że

AB=BA=I.

Okazuje się, że takie macierze $A$ można łatwo scharakteryzować. W tym celu dla macierzy $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]$ definiujemy element ciała $\mathbb{F}$ wzorem

{\rm det}\,A=ad-bc

i nazywamy wyznacznikiem macierzy $A$ .

Wniosek 2.2.

Dla $A,B\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ mamy

{\rm det}\,(AB)={\rm det}\,A\cdot{\rm det}\,B

oraz ${\rm det}\,I=1$ .

Dowód.

Sprawdzamy to bezpośrednim rachunkiem. Oczywiście zachodzi równość ${\rm det}\,I=1$ . Dla macierzy $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]$ oraz $B=\left[\begin{array}[]{cc}e&f\\ g&h\\ \end{array}\right]$ mamy

	$\displaystyle{\rm det}\,(AB)$	$\displaystyle={\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}ae+bg&af+bh\\ ce+dg&cf+dh\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=(ae+bg)(cf+dh)-(ce+dg)(af+bh)$
		$\displaystyle=aedh+bgcf-cebh-dgaf$
		$\displaystyle=(ad-bc)(eh-fg)$
		$\displaystyle={\rm det}\,A\cdot{\rm det}\,B.$

∎

Wniosek 2.3.

Zachodzą warunki:

•

${\rm det}\,(A_{1}\ldots A_{n})={\rm det}\,A_{1}\cdot\ldots\cdot{\rm det}\,A_{n}$
•

${\rm det}\,(A^{n})=({\rm det}\,A)^{n}$
•

${\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}za&zb\\ zc&zd\\ \end{array}\right]=z^{2}\cdot{\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right],\quad z\in\mathbb{F}$
•

${\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]=-{\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}b&a\\ d&c\\ \end{array}\right]$
•

${\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}za&b\\ zc&d\\ \end{array}\right]=z\cdot{\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]$
•

${\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}a+e&b\\ c+f&d\\ \end{array}\right]={\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]+{\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}e&b\\ f&d\\ \end{array}\right]$

Jeśli $A={\rm det}\,\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ jest macierzą zespoloną, to definiujemy

\overline{A}=\left[\begin{array}[]{cc}\overline{a}&\overline{b}\\ \overline{c}&\overline{d}\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}).

Wtedy

•

${\rm det}\,\overline{A}=\overline{{\rm det}\,A}$ ,
•

$\overline{(\overline{A})}=A,\quad\overline{AB}=\overline{A}\,\overline{B}$ ,
•

$\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B},\quad\overline{zA}=\overline{z}% \overline{A}$ ,
•

jeśli ${\rm det}\;A\neq 0$ , to $(\overline{A})^{-1}=\overline{A^{-1}}$

Twierdzenie 2.4.

Dla macierzy $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ następujące warunki są równoważne

(1)

${\rm det}\,A\neq 0$ ,
(2)

istnieje taka macierz $B\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ , że

$AB=BA=I.$

Piszemy wtedy, że $B=A^{-1}$ .

Dowód.

(1) wynika z (2), bo wtedy

{\rm det}\,A\cdot{\rm det}\,B={\rm det}\,(AB)={\rm det}\,I=1,

czyli ${\rm det}\,A\neq 0$ .

Jeśli zachodzi warunek (1), to definiujemy $B$ wzorem

B=\frac{1}{{\rm det}\,A}\left[\begin{array}[]{cc}d&-b\\ -c&a\\ \end{array}\right].

Sprawdzamy łatwo, że $AB=BA=I$ . ∎

Wniosek 2.4.

Niech $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ . Jeśli ${\rm det}\,A\neq 0$ , to

A^{-1}=\frac{1}{{\rm det}\,A}\left[\begin{array}[]{cc}d&-b\\ -c&a\\ \end{array}\right].

Dla macierzy $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ definiujemy jej macierz transponowaną

A^{T}=\left[\begin{array}[]{cc}a&c\\ b&d\\ \end{array}\right]

oraz dla $z\in\mathbb{F}$ określamy

z\cdot\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}za&zb\\ zc&zd\\ \end{array}\right].

Bezpośredni rachunek pokazuje, że

(i)

$(A^{T})^{T}=A$ ,
(ii)

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$ ,
(iii)

$(z\cdot A)^{T}=z\cdot A^{T}$ ,
(iv)

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ ,
(v)

${\rm det}\,A^{T}={\rm det}\,A$ .

Ponadto, jeśli $A$ jest odwracalna, to $A^{-1}A=I$ , czyli $A^{T}(A^{-1})^{T}=I$ , więc $A^{T}$ jest też odwracalna oraz $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ .

Przykład 2.20 (Macierzowa interpretacja ciała $\mathbb{C}$ ).

Wskażemy teraz podzbiór zbioru $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ , który pod względem algebraicznym bardzo przypomina ciało liczb zespolonych. Definiujemy

M_{\mathbb{C}}:=\Big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}):A=\left[\begin{array}[]% {ccc}x&-y\\ y&x\\ \end{array}\right],\quad x,y\in\mathbb{R}\Big{\}}.

Łatwo sprawdzamy, że jeśli $A=\left[\begin{array}[]{ccc}x&-y\\ y&x\\ \end{array}\right],B=\left[\begin{array}[]{ccc}u&-w\\ w&u\\ \end{array}\right]\in M_{\mathbb{C}}$ , to

A+B=\left[\begin{array}[]{ccc}x+u&-(y+w)\\ y+w&x+u\\ \end{array}\right]\in M_{\mathbb{C}}

oraz

AB=\left[\begin{array}[]{ccc}{\rm Re}\,(x+iy)(u+iw)&-{\rm Im}\,(x+iy)(u+iw)\\ {\rm Im}\,(x+iy)(u+iw)&{\rm Re}\,(x+iy)(u+iw)\\ \end{array}\right]\in M_{\mathbb{C}},

więc dodawanie i mnożenie macierzy jest działaniem wewnętrznym w $M_{\mathbb{C}}$ .

Można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że trójka $(M_{\mathbb{C}},+,\cdot)$ jest ciałem. My, aby to zauważyć, zastosujemy nieco inne podejście. W tym celu definiujemy

f:\mathbb{C}\ni x+iy\longmapsto\left[\begin{array}[]{ccc}x&-y\\ y&x\\ \end{array}\right]\in M_{\mathbb{C}}.

Jest to bijekcja oraz $f(0)=0$ , $f(1)=I$ . Ponadto,

f(z_{1}+z_{2})=f(z_{1})+f(z_{2}),

oraz

f(z_{1}z_{2})=f(z_{1})f(z_{2}),

dla dowolnych $z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}$ .

Bijekcja $f$ o powyższych własnościach pozwala na identyfikację struktur algebraicznych $(\mathbb{C},+,\cdot)$ oraz $(M_{\mathbb{C}},+,\cdot)$ . Algebraicy mówią wtedy, że te ciała są izomorficzne. Z algebraicznego punktu widzenia ciała izomorficzne są nierozróżnialne.

Sprawdzamy poprzez bezpośredni rachunek, że $f$ ma dodatkowe własności:

•

dla macierzy $J=\left[\begin{array}[]{ccc}0&-1\\ 1&0\\ \end{array}\right]$ mamy

$J^{2}=-I\quad\text{oraz}\quad J^{4}=I,$
•

$f(i)=J$ ,
•

$f(z^{n})=(f(z))^{n}$ ,
•

$f(\overline{z})=(f(z))^{T}$ , gdzie

$\left[\begin{array}[]{ccc}x&-y\\ y&x\\ \end{array}\right]^{T}:=\left[\begin{array}[]{ccc}x&y\\ -y&x\\ \end{array}\right],$
•

${\rm det}\,f(z)=|z|^{2}$ ,
•

$f(1/z)=(f(z))^{-1}=\frac{1}{|z|^{2}}(f(z))^{T}$ .

MACIERZOWA INTERPRETACJA CIAŁA

\mathbb{C}

z=x+iy\longmapsto A=\left[\begin{array}[]{ccc}x&-y\\ y&x\\ \end{array}\right]=x\cdot I+y\cdot J\quad\quad\overline{z}=x-iy\longmapsto A^{% T}=\left[\begin{array}[]{ccc}x&y\\ -y&x\\ \end{array}\right]

(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}\longmapsto\left[\begin{array}[]{ccc}x&-y\\ y&x\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{ccc}x&y\\ -y&x\\ \end{array}\right]=(x^{2}+y^{2})\left[\begin{array}[]{ccc}1&0\\ 0&1\\ \end{array}\right]

\displaystyle(x+iy)(a+ib)

\displaystyle=xa-yb+i(xb+ya)

\displaystyle\longmapsto\left[\begin{array}[]{ccc}x&-y\\ y&x\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{ccc}a&-b\\ b&a\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{ccc}xa-yb&-(xb+ya)\\ xb+ya&xa-yb\\ \end{array}\right]

Dla

x^{2}+y^{2}\neq 0

z^{-1}=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}\longmapsto\left[\begin{array}[]% {ccc}x&-y\\ y&x\\ \end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\left[\begin{array}[]{ccc}x&y\\ -y&x\\ \end{array}\right]

i^{n}=\cos\frac{n\pi}{2}+i\sin\frac{n\pi}{2}\longmapsto\left[\begin{array}[]{% ccc}0&-1\\ 1&0\\ \end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}[]{ccc}\cos\frac{n\pi}{2}&-\sin\frac% {n\pi}{2}\\ \sin\frac{n\pi}{2}&\cos\frac{n\pi}{2}\\ \end{array}\right]

(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta\longmapsto\left[\begin% {array}[]{ccc}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}[]{ccc}\cos n\theta&-\sin n\theta\\ \sin n\theta&\cos n\theta\\ \end{array}\right]

Dla

z=x+iy=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)

z^{n}=|z|^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\longmapsto\left[\begin{array}[]{ccc}% x&-y\\ y&x\\ \end{array}\right]^{n}=|z|^{n}\left[\begin{array}[]{ccc}\cos n\theta&-\sin n% \theta\\ \sin n\theta&\cos n\theta\\ \end{array}\right]

Przykład 2.21 (Grupy izomorficzne).

Zobrazujemy pojęcie izomorfizmu grup. Rozważmy grupę abelową

G_{4}=\big{\{}1,\,i,\,-1,\,-i\big{\}}=\big{\{}1,\,i,\,i^{2},\,i^{3}\big{\}}

pierwiastków zespolonych $4$ stopnia z jedynki. Działaniem grupowym jest mnożenie liczb zespolonych. Zbiór

G^{\prime}_{4}=\big{\{}I,\,J,\,-I,\,-J\big{\}}=\big{\{}I,\,J,\,J^{2},\,J^{3}% \big{\}}

jest grupą abelową z działaniem mnożenia macierzy. Zbiór reszt z dzielenia liczby całkowitej przez $4$

\mathbb{Z}_{4}=\big{\{}0,\,1,\,2,\,3\big{\}}

jest grupą z działaniem ,,dodawania reszt‘‘. Działania w tych grupach są opisane tabelkami:

$\cdot$	1	i	-1	-i
1	1	i	-1	-i
i	i	-1	-i	1
-1	-1	-i	1	i
-i	-i	1	i	-1

$\cdot$	I	J	-I	-J
I	I	J	-I	-J
J	J	-I	-J	I
-I	-I	-J	I	J
-J	-J	I	J	-I

$+$	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

Powyższe tabelki pokazują, że struktura algebraiczna wszystkich trzech grup jest identyczna. Jest ona taka sama jak dla grupy $4$ -elementowej $G=\{e,a,b,c\}$ z działaniem $\circ$ opisanym tabelką

$\circ$	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	b	c	e
b	b	c	e	a
c	c	e	a	b

Przykład 2.22 ( $M_{2\times 2}(\mathbb{Z}_{2})$ ).

Zbiór $M_{2\times 2}(\mathbb{Z}_{2})$ składa się z $2^{4}$ elementów. Macierz $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{Z}_{2})$ jest odwracalna, gdy ${\rm det}\,A\neq 0$ . W ciele $\mathbb{Z}_{2}$ oznacza to, że ${\rm det}\,A=1$ . Mamy $6$ macierzy spełniających ten warunek:

\left[\begin{array}[]{ccc}1&0\\ 0&1\\ \end{array}\right],\quad\left[\begin{array}[]{ccc}1&1\\ 0&1\\ \end{array}\right],\quad\left[\begin{array}[]{ccc}1&0\\ 1&1\\ \end{array}\right],\quad\left[\begin{array}[]{ccc}1&1\\ 1&0\\ \end{array}\right],\quad\left[\begin{array}[]{ccc}0&1\\ 1&0\\ \end{array}\right],\quad\left[\begin{array}[]{ccc}0&1\\ 1&1\\ \end{array}\right].

Podzbiory $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ dostarczają wielu przykładów grup.

Przykład 2.23 (Grupa ${\rm GL}_{2}(\mathbb{F})$ ).

Rozważmy zbiór macierzy odwracalnych

{\rm GL}_{2}(\mathbb{F})=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{F}):{\rm det}\,A% \neq 0\big{\}}.

Jeśli $A,B\in{\rm GL}_{2}(\mathbb{F})$ , to

{\rm det}\,(AB)={\rm det}\,A\cdot{\rm det}\,B\neq 0,

czyli $AB\in{\rm GL}_{2}(\mathbb{F})$ . Ponadto, $I\in{\rm GL}_{2}(\mathbb{F})$ oraz $A^{-1}\in{\rm GL}_{2}(\mathbb{F})$ dla $A\in{\rm GL}_{2}(\mathbb{F})$ , bo

	$\displaystyle 1$	$\displaystyle={\rm det}\,I$
		$\displaystyle={\rm det}\,(AA^{-1})$
		$\displaystyle={\rm det}\,A\cdot{\rm det}\,A^{-1},$

czyli ${\rm det}\,A^{-1}\neq 0$ . Oznacza to, że ${\rm GL}_{2}(\mathbb{F})$ z działaniem mnożenia macierzy jest grupą. Nie jest to grupa abelowa, bo przykładowo

\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 0&1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 1&1\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}2&1\\ 1&1\\ \end{array}\right],

\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 1&1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 0&1\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 1&2\\ \end{array}\right].

Definiujemy ponadto zbiór

{\rm SL}_{2}(\mathbb{F})=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{F}):{\rm det}\;A=1% \big{\}}\subset{\rm GL}_{2}(\mathbb{F}).

Jest on również grupą (nieabelową) z mnożeniem macierzy.

Przykład 2.24 (Macierze symplektyczne).

Definiujemy zbiór macierzy symplektycznych jako

{\rm Symp}\,(2):=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}):A^{T}JA=J\big{\}},% \quad J=\left[\begin{array}[]{cc}0&-1\\ 1&0\\ \end{array}\right].

Sprawdzimy, że jest to grupa z mnożeniem macierzy. Można to zrobić sprawdzając warunki definiujące grupę. W tym celu należy sprawdzić, że

•

jeśli $A,B\in{\rm Symp}\,(2)$ , to $AB\in{\rm Symp}\,(2)$ ,
•

$I\in{\rm Symp}\,(2)$ ,
•

jeśli $A\in{\rm Symp}\,(2)$ , to $A$ jest odwracalna oraz $A^{-1}\in{\rm Symp}\,(2)$ .

My zrobimy to nieco inaczej. Bezpośredni rachunek pokazuje, że

A^{T}JA=\left[\begin{array}[]{cc}0&-{\rm det}\,A\\ {\rm det}\,A&0\\ \end{array}\right].

Wynika stąd, że $A\in{\rm Symp}\,(2)$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\rm det}\,(A)=1$ . Oznacza to, że

{\rm Symp}\,(2)=SL_{2}(\mathbb{R})

Przykład 2.25 (Macierze górnie trójkątne).

Macierz $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ 0&d\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ nazywamy górnie trójkątną. Zauważmy, że

\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ 0&d\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}x&y\\ 0&z\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}ax&ay+bz\\ 0&dz\\ \end{array}\right],

czyli iloczyn macierzy górnie trójkątnych jest macierzą górnie trójkątną. Macierz $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ 0&d\\ \end{array}\right]$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\rm det}\,A=ad\neq 0$ . Macierz odwrotna jest wtedy równa

A^{-1}=\left[\begin{array}[]{cc}\frac{1}{a}&-\frac{b}{ad}\\ 0&\frac{1}{d}\\ \end{array}\right],

czyli jest górnie trójkątna. Wynika stąd, że macierze górnie trójkątne o niezerowym wyznaczniku tworzą grupę z mnożeniem macierzy. Jest ona podgrupą grupy ${\rm GL}_{2}(\mathbb{F})$ . Podobnie, macierze górnie trójkątne o wyznaczniku równym $1$ (tzn. $d=1/a$ ) tworzą podgrupę grupy ${\rm SL}_{2}(\mathbb{F})$ . Ponadto, macierze górnie trójkątne spełniające warunek $a=d=1$ są również podgrupą ${\rm SL}_{2}(\mathbb{F})$ .

Przykład 2.26 (Macierze ortogonalne).

Definiujemy zbiór macierzy ortogonalnych przez

O(2)=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}):A^{T}A=I\big{\}}.

Zauważmy, że

	$\displaystyle 1$	$\displaystyle={\rm det}\,I$
		$\displaystyle={\rm det}\,(A^{T}A)$
		$\displaystyle={\rm det}\,(A^{T})\cdot{\rm det}\,A$
		$\displaystyle=({\rm det}\,A)^{2},$

więc ${\rm det}\,A=\pm 1$ . Oznacza to, że $A$ jest odwracalna, czyli istnieje taka macierz $A^{-1}$ , że $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ . Mnożąc równość $A^{T}A=I$ z prawej strony przez $A^{-1}$ , otrzymujemy, że $A^{T}=A^{-1}$ .

Jeśli $A,B\in O(2)$ , to

	$\displaystyle(AB)^{T}(AB)$	$\displaystyle=(B^{T}A^{T})(AB)$
		$\displaystyle=B^{T}\underbrace{(A^{T}A)}_{=I}B$
		$\displaystyle=B^{T}B$
		$\displaystyle=I,$

czyli $AB\in O(2)$ . Oczywiście $I\in O(2)$ . Ponieważ $A^{-1}=A^{T}$ dla $A\in O(2)$ oraz

(A^{T})^{T}A^{T}=AA^{T}=I,

czyli $A^{-1}\in O(2)$ . Wynika stąd, że $O(2)$ jest grupą i podgrupą grupy ${\rm GL}_{2}(\mathbb{R})$ . Nie jest ona abelowa. Przyglądniemy się jej bliżej. Niech

A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]\in O(2).

Jeśli ${\rm det}\,A=1$ , to

A^{-1}=\left[\begin{array}[]{cc}d&-b\\ -c&a\\ \end{array}\right],

czyli z równości $A^{T}=A^{-1}$ mamy

a=d,\quad b=-c.

Macierz $A$ ma więc postać

A=\left[\begin{array}[]{cc}a&-c\\ c&a\\ \end{array}\right]

dla pewnych takich liczb $a,c\in\mathbb{R}$ , że $a^{2}+c^{2}={\rm det}\,A=1$ . Wynika stąd, że

A=\left[\begin{array}[]{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{array}\right]

dla pewnego $\theta\in\mathbb{R}$ .

Jeśli ${\rm det}\,A=-1$ , to

A^{-1}=-\left[\begin{array}[]{cc}d&-b\\ -c&a\\ \end{array}\right],

więc równość $A^{T}=A^{-1}$ oznacza, że

a=-d,\quad b=c.

Macierz $A$ ma więc postać

A=\left[\begin{array}[]{cc}a&c\\ c&-a\\ \end{array}\right]

dla pewnych takich liczb $a,c\in\mathbb{R}$ , że $a^{2}+c^{2}=-{\rm det}\,A=1$ . Wynika stąd, że

A=\left[\begin{array}[]{cc}\cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta\\ \end{array}\right]

dla pewnego $\theta\in\mathbb{R}$ .

Zbiór

SO(2)=\{A\in O(2):{\rm det}\,A=1\}

jest grupą z mnożeniem macierzy. Składa się ona z wszystkich macierzy postaci

\left[\begin{array}[]{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{array}\right],\quad\theta\in\mathbb{R}.

Sprawdzamy łatwo, że jest to grupa abelowa. Jest ona izomorficzna z grupą $(\mathbb{S}^{1},\cdot)$ poprzez

f:\mathbb{S}^{1}\ni\cos\theta+i\sin\theta\longmapsto\left[\begin{array}[]{cc}% \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{array}\right]\in SO(2).

Macierze ortogonalne i symplektyczne możemy traktować jako szczególny przypadek ogólniejszej konstrukcji. Mianowicie, dla ustalonej macierzy $S\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ rozważmy

$G_{S}=\big{\{}A\in GL_{2}(\mathbb{R}):A^{T}SA=S\big{\}}.$

Jest to grupa z mnożeniem macierzy. Dla $S=I$ otrzymujemy $O(2)$ , a dla $S=J$ grupę ${\rm Sp}\,(2)$ .

Przykład 2.27 (Macierze symetryczne).

Zbiór rzeczywistych macierzy symetrycznych

{\rm Sym}_{2}(\mathbb{R})=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}):A=A^{T}\big{\}}

jest grupą z działaniem dodawania macierzy.

Dla macierzy $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ definiujemy jej ślad wzorem

{\rm tr}\,A=a+d.

Sprawdzamy łatwo, że

(i)

${\rm tr}\,(A+B)={\rm tr}\,A+{\rm tr}\,B$ ,
(ii)

${\rm tr}\,(z\cdot A)=z\,{\rm tr}\,A$ ,
(iii)

${\rm tr}\,(AB)={\rm tr}\,(BA)$ ,
(iv)

${\rm tr}\,(A^{T})={\rm tr}\,A$ .

Niech $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ . Mówimy, że macierz $B\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ jest podobna do $A$ , jeśli istnieje taka macierz odwracalna $S\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ , że $B=S^{-1}AS$ . Wtedy

$\displaystyle{\rm det}\,B$ $\displaystyle={\rm det}\,(S^{-1}AS)$

$\displaystyle=\underbrace{{\rm det}\,S^{-1}}_{=\frac{1}{{\rm det}\,S}}\cdot{% \rm det}\,A\cdot{\rm det}\,S$

$\displaystyle={\rm det}\,A$

oraz

$\displaystyle{\rm tr}\,B$ $\displaystyle={\rm tr}\,(S^{-1}AS)$

$\displaystyle={\rm tr}\,((S^{-1}A)S)$

$\displaystyle={\rm tr}\,(S(S^{-1}A))$

$\displaystyle={\rm tr}\,((SS^{-1})A)$

$\displaystyle={\rm tr}\,A.$

Przykład 2.28 (Macierze o śladzie równym $0$ ).

Definiujemy zbiór

T_{0}(\mathbb{F})=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{F}):{\rm tr}\,A=0\big{\}}.

Jest to grupa abelowa z działaniem dodawania macierzy.

Przykład 2.29 (Macierze hamiltonowskie).

Rozważmy zbiór

H_{2}=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}):(JA)^{T}=JA\big{\}}.

Ponieważ $J^{T}=-J$ więc $(JA)^{T}=JA$ wtedy i tylko wtedy, gdy

JA+A^{T}J=0.

Takie macierze są nazywane macierzami hamiltonowskimi. Pełnią one ważną rolę w teorii równań różniczkowych i mechanice klasycznej. Uzasadnimy, że $H_{2}$ jest grupą z dodawaniem macierzy. Zamiast sprawdzać warunki z definicji grupy zauważmy, że

JA+A^{T}J=\left[\begin{array}[]{cc}0&-{\rm tr}\,A\\ {\rm tr}\,A&0\\ \end{array}\right].

Oznacza to, że $H_{2}=T_{0}(\mathbb{R})$ , czyli jest grupą.

Przykład 2.30 (Macierze unitarne).

Dla macierzy zespolonej $A=\left[\begin{array}[]{cc}z_{1}&w_{1}\\ z_{2}&w_{2}\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ definiujemy

A^{*}=\left[\begin{array}[]{cc}\overline{z}_{1}&\overline{z}_{2}\\ \overline{w}_{1}&\overline{w}_{2}\\ \end{array}\right]

Sprawdzamy łatwo, że

•

$A^{*}=(\overline{A})^{T}$ ,
•

${\rm det}\,A^{*}=\overline{{\rm det}\,A}$ ,
•

$(A^{*})^{*}=A,\quad(zA+B)^{*}=\overline{z}A^{*}+B^{*}$ ,
•

$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ ,
•

${\rm det}\,A^{*}=\overline{\text{\rm det}\,A}$ .

Rozważmy zbiór macierzy unitarnych

U(2):=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):A^{*}A=I\big{\}}.

Warunek $A^{*}A=I$ oznacza, że $A^{*}=A^{-1}$ oraz $|{\rm det}\,A|=1$ . $U(2)$ stanowi grupę z mnożeniem macierzy.

Jeśli ${\rm det}\,A=1$ , to

A^{-1}=\left[\begin{array}[]{cc}w_{2}&-w_{1}\\ -z_{2}&z_{1}\\ \end{array}\right].

Z równości $A^{*}=A^{-1}$ otrzymujemy, że

z_{1}=\overline{w}_{2},\quad z_{2}=-\overline{w}_{1}.

Macierz $A$ ma więc w tym przypadku postać

A=\left[\begin{array}[]{cc}z&w\\ -\overline{w}&\overline{z}\\ \end{array}\right]

dla pewnych takich liczb zespolonych $z,w\in\mathbb{C}$ , że

|z|^{2}+|w|^{2}={\rm det}\,A=1.

Grupa

SU(2)=\big{\{}A\in U(2):{\rm det}\,A=1\big{\}}

składa się więc z macierzy postaci

\left[\begin{array}[]{cc}z&w\\ -\overline{w}&\overline{z}\\ \end{array}\right],\quad\text{gdzie}\quad|z|^{2}+|w|^{2}=1.

Przykład 2.31 (Macierze hermitowskie).

Zbiór zespolonych macierzy hermitowskich

{\rm Herm}_{2}(\mathbb{C})=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):A=A^{*}\big{\}}

jest grupą z działaniem dodawania macierzy. Przyglądniemy się jej bliżej. Niech $A=\left[\begin{array}[]{cc}z_{1}&w_{1}\\ z_{2}&w_{2}\\ \end{array}\right]\in{\rm Herm}_{2}(\mathbb{C})$ . Ponieważ

A^{*}=\left[\begin{array}[]{cc}\overline{z}_{1}&\overline{z}_{2}\\ \overline{w}_{1}&\overline{w}_{2}\\ \end{array}\right],

więc

z_{1}=\overline{z}_{1},\quad w_{2}=\overline{w}_{2},\quad w_{1}=\overline{z}_{% 2}.

Wynika stąd, że $A\in{\rm Herm}_{2}(\mathbb{C})$ jeśli $A$ ma postać

A=\left[\begin{array}[]{cc}a&\overline{c}\\ c&d\\ \end{array}\right],\quad\text{gdzie}\quad a,d\in\mathbb{R},\quad c\in\mathbb{C}.

Przykład 2.32 (Macierze hermitowskie).

Zbiór zespolonych macierzy hermitowskich

{\rm Herm}_{2}(\mathbb{C})=\big{\{}A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}):A=A^{*}\big{\}}

A^{*}=\left[\begin{array}[]{cc}\overline{z}_{1}&\overline{z}_{2}\\ \overline{w}_{1}&\overline{w}_{2}\\ \end{array}\right],

więc

z_{1}=\overline{z}_{1},\quad w_{2}=\overline{w}_{2},\quad w_{1}=\overline{z}_{% 2}.

Wynika stąd, że $A\in{\rm Herm}_{2}(\mathbb{C})$ jeśli $A$ ma postać

A=\left[\begin{array}[]{cc}a&\overline{c}\\ c&d\\ \end{array}\right],\quad\text{gdzie}\quad a,d\in\mathbb{R},\quad c\in\mathbb{C}.

2.5 Pewne ważne macierze

Rozważymy pewne specjalne macierze, które będą pojawiały się w dalszym ciągu wykładu. Zaczniemy od pewnego ogólnego rezultatu zwanego Twierdzeniem Cayleya–Hamiltona.

Lemat 2.2 (Twierdzenie Cayleya–Hamiltona).

Dla macierzy $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{F})$ zachodzi równość

A^{2}-{\rm tr}\,(A)\cdot A+{\rm det}\,(A)\cdot I=\left[\begin{array}[]{cc}0&0% \\ 0&0\\ \end{array}\right].

Dowód.

Zastosujemy brutalną siłę, czyli bezpośredni rachunek. Niech $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right].$ Mamy

	$\displaystyle A^{2}-(a+d)\cdot A+(ad-bc)\cdot I$	$\displaystyle=(A-a\cdot I)(A-d\cdot I)-(bc)\cdot I$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{cc}0&b\\ c&d-a\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}a-d&b\\ c&0\\ \end{array}\right]-\left[\begin{array}[]{cc}bc&0\\ 0&bc\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{cc}bc&0\\ c(a-d)+(d-a)c&bc\\ \end{array}\right]-\left[\begin{array}[]{cc}bc&0\\ 0&bc\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&0\\ \end{array}\right].$

∎

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona pozwala wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy nieosobliwej $A$ . Mnożąc równość $A^{2}-{\rm tr}\,(A)A+{\rm det}\,(A)I=0$ przez $A^{-1}$ otrzymujemy, że

$A^{-1}=\frac{1}{{\rm det}\,(A)}\big{(}{\rm tr}\,(A)\cdot I-A\big{)}$

Ponadto, ${\rm tr}\,(A^{2})=({\rm tr}\,(A))^{2}-2{\rm det}\,(A)$ .

Wzory Viete’a

Dla macierzy $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ rozważmy równanie kwadratowe

$p_{A}(z)=z^{2}-{\rm tr}\,(A)\,z+{\rm det}\,(A)=0.$

Ma ono dwa pierwiastki zespolone $\lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbb{C}$ , czyli

$\displaystyle z^{2}-{\rm tr}\,(A)\,z+{\rm det}\,(A)$ $\displaystyle=(z-\lambda_{1})(z-\lambda_{2})$

$\displaystyle=z^{2}-(\lambda_{1}+\lambda_{2})z+\lambda_{1}\lambda_{2}.$

Wynika stąd, że

${\rm tr}\,(A)=\lambda_{1}+\lambda_{2},\quad{\rm det}\,(A)=\lambda_{1}\lambda_{% 2}.$

Liczby $\lambda_{1},\lambda_{2}$ będziemy nazywać wartościami własnymi macierzy $A$ .

Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona mamy

$A^{2}-(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot A+(\lambda_{1}\lambda_{2})\cdot I=\left[% \begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&0\\ \end{array}\right],$

czyli

$\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&0\\ \end{array}\right]=(A-\lambda_{1}\cdot I)(A-\lambda_{2}\cdot I)=(A-\lambda_{2}% \cdot I)(A-\lambda_{1}\cdot I).$

Przykład 2.33.

Niech $A=\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 0&1\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ . Korzystając z Twierdzenia Cayleya–Hamiltona obliczymy $A^{5}+A^{3}$ . Rozważmy wielomian $w(z)=z^{5}+z^{3}$ . Dzieląc go przez wielomian charakterystyczny $p_{A}(z)=z^{2}-2z+1=(z-1)^{2}$ macierzy $A$ otrzymujemy, że

w(z)=(z^{3}+2z^{2}+4z+6)p_{A}(z)+(8z-6).

Z Twierdzenia Cayleya–Hamiltona mamy

A^{5}+A^{3}=(A^{3}+2A^{2}+4A+6I)\underbrace{(A-I)^{2}}_{=0}+(8A-6I)=8A-6I,

czyli

A^{5}-A^{3}=8\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 0&1\\ \end{array}\right]-6\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&1\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}2&8\\ 0&2\\ \end{array}\right].

Przykład 2.34.

Korzystając z Twierdzenia Cayleya–Hamiltona obliczymy $A^{1000}$ , gdzie $A=\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 0&2\\ \end{array}\right]$ . Wielomian charakterystyczny $p_{A}(z)=z^{2}-3z+2$ ma dwa pierwiastki $\lambda_{1}=1$ i $\lambda_{2}=2$ . Dzieląc wielomian $w(z)=z^{1000}$ przez $p_{A}$ otrzymujemy, że

w(z)=q(z)p_{A}(z)+r(z),

gdzie $r(z)=r_{1}z+r_{0}$ jest resztą z dzielenia. Współczynniki $r_{1}$ i $r_{0}$ możemy wyznaczyć podstawiając $\lambda_{1}$ i $\lambda_{2}$ za $z$ . Otrzymujemy, że

r_{1}+r_{0}=\lambda_{1}^{1000}=1,\quad 2r_{1}+r_{0}=\lambda_{2}^{1000}=2^{1000}.

Rozwiązaniem układu są

r_{1}=2^{1000}-1,\quad r_{0}=2-2^{1000}.

Z Twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że

	$\displaystyle A^{1000}$	$\displaystyle=r(A)$
		$\displaystyle=(2^{1000}-1)\left[\begin{array}[]{cc}1&1\\ 0&2\\ \end{array}\right]+(2-2^{1000})\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&1\\ \end{array}\right]$
		$\displaystyle=\left[\begin{array}[]{cc}1&2^{1000}-1\\ 0&2^{1000}\\ \end{array}\right].$

Przykład 2.35 (Wartości własne macierzy symetrycznych i hermitowskich).

Jeśli $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ b&d\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ jest macierzą symetryczną, to $A$ ma rzeczywiste wartości własne. Rzeczywiście, dla równania

z^{2}-(a+d)z+ad-b^{2}=0

mamy

	$\displaystyle(a+d)^{2}-4(ad-b^{2})$	$\displaystyle=a^{2}+2ad+d^{2}-4ad+4b^{2}$
		$\displaystyle=(a-d)^{2}+4b^{2}$
		$\displaystyle\geq 0.$

Również, jeśli

A=\left[\begin{array}[]{cc}a&\overline{c}\\ c&d\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}),\quad a,d\in\mathbb{R},\quad c% \in\mathbb{C}

jest macierzą hermitowską, to $A$ ma rzeczywiste wartości własne. Dla równania

0=z^{2}-(a+d)z+ad-c\overline{c}=z^{2}-(a+d)z+ad-|c|^{2}

mamy

	$\displaystyle(a+d)^{2}-4(ad-\|c\|^{2})$	$\displaystyle=a^{2}+2ad+d^{2}-4ad+4\|c\|^{2}$
		$\displaystyle=(a-d)^{2}+4\|c\|^{2}$
		$\displaystyle\geq 0.$

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona pozwala łatwo obliczać potęgi macierzy $A$ . Rozważmy macierz $A=\left[\begin{array}[]{cc}1&2\\ 3&4\\ \end{array}\right]$ . Wtedy $A^{2}-5A-2I=0$ . Powiedzmy, że chcemy znaleźć $A^{4}$ . Mamy

$\displaystyle A^{3}$ $\displaystyle=A\underbrace{(5A+2I)}_{=A^{2}}$

$\displaystyle=5A^{2}+2A$

$\displaystyle=5(5A+2I)+2A$

$\displaystyle=27A+10I$

oraz

$\displaystyle A^{4}$ $\displaystyle=A^{3}A$

$\displaystyle=(27A+10I)A$

$\displaystyle=27A^{2}+10A$

$\displaystyle=27(5A+2I)+10A$

$\displaystyle=145A+54I.$

Analogicznie pokazuje się, że $A^{n}=a\cdot A+b\cdot I$ dla pewnych $a,b\in\mathbb{F}$

Przykład 2.36 (Macierz nilpotentna).

Powiemy, że macierz $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ jest nilpotentna, jeśli $A^{n}=0$ dla pewnego $n\in\mathbb{N}$ . Pokażemy najpierw, że $A^{2}=0$ . Możemy założyć, że $n\geq 2$ , bo $A=0$ dla $n=1$ . Zauważmy, że

0={\rm det}\,A^{n}=({\rm det}\,A)^{n},

czyli ${\rm det}\,A=0$ . Niech $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]$ . Wtedy

A^{2}=\left[\begin{array}[]{cc}a^{2}+bc&ab+bd\\ ac+cd&bc+d^{2}\\ \end{array}\right].

Ponieważ, ${\rm det}\,A=ad-bc$ , więc

A^{2}=\left[\begin{array}[]{cc}(a+d)a&(a+d)b\\ (a+d)c&(a+d)d\\ \end{array}\right]={\rm tr}\,(A)A.

Stąd

0=A^{n}=({\rm tr}\,(A))^{n-1}A,

czyli ${\rm tr}\,A=a+d=0$ . Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że

A^{2}=0.

Warunek ten oznacza, że

a^{2}+bc=b(a+d)=c(a+d)=bc+d^{2}=0.

Wiemy, że $a+d=0$ , czyli $a=-d$ . Przyglądnijmy się równaniu $a^{2}+bc=0$ . Mamy dwa przypadki ze względu na $c$ :

•

jeśli $c=0$ , to $a=0$ i $A=\left[\begin{array}[]{cc}0&b\\ 0&0\\ \end{array}\right]$ dla $b\in\mathbb{C}$ .
•

jeśli $c\neq 0$ , to $b=-\frac{a^{2}}{c}$ oraz

$A=\left[\begin{array}[]{cc}a&-\frac{a^{2}}{c}\\ c&-a\\ \end{array}\right]=\frac{1}{c}\left[\begin{array}[]{cc}ac&-a^{2}\\ c^{2}&-ac\\ \end{array}\right],\quad a,c\in\mathbb{C},\;c\neq 0.$

Przykład 2.37 (Inwolucja).

Powiemy, że $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ jest inwolucją, jeśli $A^{2}=I$ . Wynika stąd, że $({\rm det}\,A)^{2}=1$ , czyli ${\rm det}\,A=\pm 1$ . Ponadto, $A^{-1}=A$ . Ze wzoru na $A^{-1}$ mamy, że

\left[\begin{array}[]{cc}d&-b\\ -c&a\\ \end{array}\right]={\rm det}\,(A)\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right].

Jeśli ${\rm det}\,A=1$ , to $a=d$ oraz $b=c=0$ . Ponadto, $1=ad-bc=a^{2}$ czyli $a=\pm 1$ . Stąd, $A=I$ lub $A=-I$ .

Jeśli ${\rm det}\,A=-1$ , to $a=-d$ i $-1=ad-bc=-a^{2}-bc$ , czyli $a^{2}+bc=1$ . Mamy dwa przypadki względem $b$ :

•

jeśli $b=0$ , to $a=\pm 1$ i $c$ jest dowolne; wtedy

$A=\left[\begin{array}[]{cc}-1&0\\ c&1\\ \end{array}\right]\quad\textmd{lub}\quad A=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ c&-1\\ \end{array}\right].$
•

jeśli $b\neq 0$ , to $c=\frac{1-a^{2}}{b}$ oraz

$A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ \frac{1-a^{2}}{b}&-a\\ \end{array}\right],\quad a\in\mathbb{C},\quad b\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.$

Przykład 2.38 (Macierz idempotentna).

Macierz $A\in M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ nazywamy idempotentną, jeśli $A^{2}=A$ . Ponieważ $({\rm det}\,A)^{2}={\rm det}\,A$ , więc ${\rm det}\,A=1$ lub ${\rm det}\,A=0$ . Jeśli $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]$ , to $A^{2}=A$ oznacza, że

a^{2}+bc=a,\quad b(a+d-1)=c(a+d-1)=(a-d)(a+d-1)=0.

Jeśli $a+d-1\neq 0$ , to $b=c=0$ , $a=d$ i $a^{2}=a$ . Wtedy $A=0$ lub $A=I$ .

Jeśli $a+d-1=0$ , to warunki redukują się do $a^{2}+bc=a$ .

Mamy dwa przypadki względem $b$ :

•

jeśli $b\neq 0$ , to $c=\frac{a^{2}-a}{b}$ oraz

$A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ \frac{a-a^{2}}{b}&1-a\\ \end{array}\right],\quad a\in\mathbb{C},\;b\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.$
•

jeśli $b=0$ , to albo $a=0$ albo $a=1$ i wtedy

$A=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ c&1\\ \end{array}\right]\quad\textmd{lub}\quad\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ c&0\\ \end{array}\right],\quad c\in\mathbb{C}.$

Przykład 2.39 (Macierz Grama).

Dla macierzy rzeczywistej $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ jej macierz Grama jest zdefiniowana jako $A^{T}A$ . Stąd

A^{T}A=\left[\begin{array}[]{cc}a&c\\ b&d\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}a^{2}+c^{2}&ab+cd\\ ab+cd&b^{2}+d^{2}\\ \end{array}\right].

Zauważmy, że

•

$A^{T}A$ jest symetryczna,
•

$A^{T}A$ ma rzeczywiste wartości własne,
•

${\rm tr}\,A^{T}A=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ ,
•

${\rm tr}\,A^{T}A=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A=0$ .

Przyglądnijmy się wyznacznikowi macierzy $A^{T}A$ . Mamy

	$\displaystyle{\rm det}\,A^{T}A$	$\displaystyle={\rm det}\,A^{T}\cdot{\rm det}\,A$
		$\displaystyle=({\rm det}\,A)^{2}\geq 0.$

Przykład 2.40 (Rzeczywista macierz normalna).

Rozważmy taką macierz rzeczywistą $A=\left[\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ , że

A^{T}A=AA^{T}.

Nazywamy ją macierzą normalną. Oznacza to, że

\left[\begin{array}[]{cc}a^{2}+c^{2}&ab+cd\\ ab+cd&b^{2}+d^{2}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}a^{2}+b^{2}&ac+bd\\ ac+bd&c^{2}+d^{2}\\ \end{array}\right],

czyli

c^{2}=b^{2},\quad ab+cd=ac+bd.

Mamy dwie możliwości:

•

jeśli $c=b$ , to $A$ jest symetryczna,
•

jeśli $b=-c$ , to $c(d-a)=c(a-d)$ ; wtedy albo $c=0$ i $A$ jest symetryczna albo $c\neq 0$ i wtedy $a=d$ oraz $A$ ma postać

$A=\left[\begin{array}[]{cc}a&-c\\ c&a\\ \end{array}\right].$

	$\displaystyle\|z+w\|^{2}$	$\displaystyle=(z+w)(\overline{z+w})$
		$\displaystyle=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})$
		$\displaystyle=\|z\|^{2}+z\cdot\overline{w}+\overline{z}\cdot w+\|w\|^{2}$
		$\displaystyle=\|z\|^{2}+\|w\|^{2}+2{\rm Re}\,(z\cdot\overline{w})$
		$\displaystyle\leq\|z\|^{2}+\|w\|^{2}+2\|z\cdot w\|$
		$\displaystyle=(\|z\|+\|w\|)^{2}.$

	$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$	$\displaystyle=\|z_{1}\|(\cos\phi+i\sin\phi)\cdot\|z_{2}\|(\cos\psi+i\sin\psi)$
		$\displaystyle=\|z_{1}\|\|z_{2}\|(\cos\phi\cos\psi-\sin\phi\sin\psi+i(\sin\phi\cos% \psi+\cos\phi\sin\psi))$
		$\displaystyle=\|z_{1}\|\|z_{2}\|(\cos(\phi+\psi)+i\sin(\phi+\psi)).$

	$\displaystyle(a+d)^{2}-4(ad-\|c\|^{2})$	$\displaystyle=a^{2}+2ad+d^{2}-4ad+4\|c\|^{2}$
		$\displaystyle=(a-d)^{2}+4\|c\|^{2}$
		$\displaystyle\geq 0.$

	$\displaystyle(z-z_{1})(z-z_{2})$	$\displaystyle=(z-(a+ib))(z-(a-ib))$
		$\displaystyle=z^{2}-2az+a^{2}+b^{2},$

	$\displaystyle x^{\prime}$	$\displaystyle=x^{\prime}\circ e$
		$\displaystyle=x^{\prime}\circ(x\circ x^{{}^{\prime\prime}})$
		$\displaystyle=(x^{\prime}\circ x)\circ x^{{}^{\prime\prime}}$
		$\displaystyle=e\circ x^{{}^{\prime\prime}}$
		$\displaystyle=x^{{}^{\prime\prime}}.$

	$\displaystyle{\rm det}\,B$	$\displaystyle={\rm det}\,(S^{-1}AS)$
		$\displaystyle=\underbrace{{\rm det}\,S^{-1}}_{=\frac{1}{{\rm det}\,S}}\cdot{% \rm det}\,A\cdot{\rm det}\,S$
		$\displaystyle={\rm det}\,A$

	$\displaystyle{\rm tr}\,B$	$\displaystyle={\rm tr}\,(S^{-1}AS)$
		$\displaystyle={\rm tr}\,((S^{-1}A)S)$
		$\displaystyle={\rm tr}\,(S(S^{-1}A))$
		$\displaystyle={\rm tr}\,((SS^{-1})A)$
		$\displaystyle={\rm tr}\,A.$

	$\displaystyle z^{2}-{\rm tr}\,(A)\,z+{\rm det}\,(A)$	$\displaystyle=(z-\lambda_{1})(z-\lambda_{2})$
		$\displaystyle=z^{2}-(\lambda_{1}+\lambda_{2})z+\lambda_{1}\lambda_{2}.$

	$\displaystyle A^{3}$	$\displaystyle=A\underbrace{(5A+2I)}_{=A^{2}}$
		$\displaystyle=5A^{2}+2A$
		$\displaystyle=5(5A+2I)+2A$
		$\displaystyle=27A+10I$

	$\displaystyle A^{4}$	$\displaystyle=A^{3}A$
		$\displaystyle=(27A+10I)A$
		$\displaystyle=27A^{2}+10A$
		$\displaystyle=27(5A+2I)+10A$
		$\displaystyle=145A+54I.$

Rozdział 2 Pojęcia wstępne

2.1 Zbiory i liczby rzeczywiste

Przykład 2.1.

2.2 Liczby zespolone

Definicja 2.1 (Suma i iloczyn liczb zespolonych).

Definicja 2.2 (Sprzężenie i moduł liczby zespolonej).

Przykład 2.2.

Wniosek 2.1.

Dowód.

Twierdzenie 2.1.

Dowód.

Definicja 2.3 (Jednostka urojona).

Przykład 2.3.

Przykład 2.4.

Lemat 2.1.

Dowód.

Twierdzenie 2.2 (Wzór de Moivre’a).

Dowód.

Przykład 2.5.

Definicja 2.4 (Pierwiastek z liczby zespolonej).

Przykład 2.6.

Przykład 2.7.

Przykład 2.8 (Pierwiastki zespolone wielomianu rzeczywistego).

Twierdzenie 2.3 (Zasadnicze twierdzenie algebry).

Przykład 2.9.

Przykład 2.10 (Pierwiastki zespolone równania kwadratowego).

Przykład 2.11.

2.3 Grupy i ciała

Definicja 2.5 (Działanie wewnętrzne w zbiorze).

Przykład 2.12.

Definicja 2.6 (Grupa i grupa abelowa).

Przykład 2.13.

Przykład 2.14 (Grupa S1).

Przykład 2.15 (Grupa zespolonych pierwiastków z jedynki).

Definicja 2.7 (Ciało).

Przykład 2.16 (Rozszerzenie ciała Q o 2).

Przykład 2.17.

Przykład 2.18 (Ciało Z2).

2.4 Macierze M2×2⁢(𝔽)

Przykład 2.19.

Wniosek 2.2.

Dowód.

Wniosek 2.3.

Twierdzenie 2.4.

Dowód.

Wniosek 2.4.

Przykład 2.20 (Macierzowa interpretacja ciała C).

Przykład 2.21 (Grupy izomorficzne).

Przykład 2.22 (M2×2⁢(Z2)).

Przykład 2.23 (Grupa GL2⁢(F)).

Przykład 2.24 (Macierze symplektyczne).

Przykład 2.25 (Macierze górnie trójkątne).

Przykład 2.26 (Macierze ortogonalne).

Przykład 2.27 (Macierze symetryczne).

Przykład 2.28 (Macierze o śladzie równym 0).

Przykład 2.29 (Macierze hamiltonowskie).

Przykład 2.30 (Macierze unitarne).

Przykład 2.31 (Macierze hermitowskie).

Przykład 2.32 (Macierze hermitowskie).

2.5 Pewne ważne macierze

Lemat 2.2 (Twierdzenie Cayleya–Hamiltona).

Dowód.

Przykład 2.33.

Przykład 2.34.

Przykład 2.35 (Wartości własne macierzy symetrycznych i hermitowskich).

Przykład 2.36 (Macierz nilpotentna).

Przykład 2.37 (Inwolucja).

Przykład 2.38 (Macierz idempotentna).

Przykład 2.39 (Macierz Grama).

Przykład 2.40 (Rzeczywista macierz normalna).

Przykład 2.14 (Grupa $\mathbb{S}^{1}$ ).

Przykład 2.16 (Rozszerzenie ciała $\mathbb{Q}$ o $\sqrt{2}$ ).

Przykład 2.18 (Ciało $\mathbb{Z}_{2}$ ).

2.4 Macierze $M_{2\times 2}(\mathbb{F})$

Przykład 2.20 (Macierzowa interpretacja ciała $\mathbb{C}$ ).

Przykład 2.22 ( $M_{2\times 2}(\mathbb{Z}_{2})$ ).

Przykład 2.23 (Grupa ${\rm GL}_{2}(\mathbb{F})$ ).

Przykład 2.28 (Macierze o śladzie równym $0$ ).