Na tym wykładzie pokażemy, że z Lematu Kuratowskiego–Zorna wynika Pewnik Wyboru i przedstawimy zastosowania tego Lematu – do dowodu, że każda przestrzeń wektorowa ma bazę i do wykazania twierdzenia o porównywaniu liczb kardynalnych.
Dowód.
Zakładamy, że z tego, że każdy łańcuch w \(X\) ma majorantę w \(X\) wynika, że w \(X\) istnieje element maksymalny.
Zdefiniujmy zbiór \(P\) jako zbiór funkcji prowadzących z pewnego podzbioru zbioru wskaźników w \(\bigcup _{i\in I} A_i\), dokładniej:
\[P:=\{(J_f,f)| J_f\subset I \wedge f: J_f\to \bigcup _{i\in I} A_i \wedge i\in J_f\Longrightarrow f(i)\in A_i \}.\]
Zauważmy, że \(P\) jest zbiorem niepustym, bo biorąc \(i_0\in I\) i \(J=\{i_0 \}\) i dla dowolnego elementu \(a\in A_{i_0}\) możemy zdefiniować \(f(i_0)=a\).
Na zbiorze \(P\) zdefiniujmy porządek \(\leq \) następująco. Dla \(f,g\in P\)
\[f\leq g \iff J_f\subset J_g \wedge g|_{J_f}=f.\]
Sprawdzimy, że każdy łańcuch w zbiorze \(P\) ma majorantę. Weźmy łańcuch \(L\) i zdefiniujmy
\[J_0=\bigcup _{(J_f,f)}J_f\subset I\]
jako dziedzinę funkcji
\[f_0=\bigcup _{(J_f,f)}f.\]
Zauważmy, że \(f_0\) jest funkcją, co wynika z faktu, że sumujemy funkcje z łańcucha i z definicji porządku na \(P\). Zauważmy też, że \((J_0, f_0)\) jest majorantą łańcucha \(L\) bo jeśli \(i\in J_0\) to \(i\in J_f\) dla pewnego \(J_f\) a zatem \(f_0(i)=f(i)\in A_i\), czyli \(f_0(i)\in A_i\) dla każdego \(i\in J_0\). W takim razie z Lematu Kuratowskiego–Zorna wynika, że mamy w \(P\) element maksymalny, niech to będzie funkcja \(g\) z dziedziną \(J_g\). Wystarczy wykazać, że \(J_g=I\). Gdyby \(I\neq J_g\) to istniałoby \(j\notin J_g, j\in I\). Zdefiniujmy \(J:=J_g\cup \{ j \}\) i funkcję \(h: J\to \bigcup _{i}A_i\) taką, że \(h(i)=g(i) \) jeśli \(i\in J_g\) oraz \(h(j)=a\in A_j\). Wtedy \((J_g,g)\) jest elementem \(P\) istotnie mniejszym niż \((J,h)\), co jest sprzeczne z faktem, że \((J_g,g)\) jest elementem maksymalnym. Zatem \(J_g=I\). □
Kolejnym twierdzeniem, które wykażemy, jest twierdzenie o porównywaniu mocy zbiorów. W dowodzie tego twierdzenia wykorzystamy Lemat Kuratowskiego–Zorna.
Dowód. Rozważmy zbiór \(X\) składający się z funkcji \(f\) takich, że
\(\bullet \) \(\Dom _f\subset A\)
\(\bullet \) \(\Dom ^*_f\subset B\)
\(\bullet \) \(f\) jest injekcją.
Elementy zbioru \(X\) traktujmy jako podzbiory \(A\times B\) (funkcje są podzbiorami iloczynu kartezjańskiego). Zauważmy, że zbiór \(X\) jest niepusty, bo należy do niego przynajmniej funkcja pusta (czyli pusty podzbiór \(A\times B\)). Wprowadźmy w \(X\) porządek za pomocą relacji zawierania, określonej na podzbiorach \(A\times B\).
Wykażemy teraz, że w zbiorze \(X\) istnieje element maksymalny. Niech \(L\) będzie łańcuchem w \(X\), zatem jeśli \(f_1, f_2\in L\) to \(f_1\subset f_2\) lub \(f_2\subset f_1\).
Zdefiniujmy podzbiór
\[s=\bigcup _{f\in L}f.\]
Oczywiście \(s\subset A\times B\). Chcemy sprawdzić, że \(s\) jest majorantą \(L\) w \(X\). Musimy zatem sprawdzić, że \(s\) jest funkcją, większą lub równą od wszystkich funkcji \(L\), oraz, że \(s\) jest injekcją.
Sprawdźmy, czy \(s\) jest funkcją. Niech \((x, y_1)\in s\) i \((x,y_2)\in s\) dla pewnych \(x\in A\), \(y_1,y_2\in B\). Wówczas, z definicji sumy, istnieją \(f_1, f_2\in L\) takie, że \((x,y_1)\in f_1\) i \((x,y_2)\in f_2\). Ponieważ \(L\) jest łańcuchem, możemy, bez zmniejszenia ogólności, przyjąć, że \(f_1\subset f_2\). Zatem \((x,y_1)\in f_2\) i \((x,y_2)\in f_2\), a skoro \(f_2\) jest funkcją, to \(y_1=y_2\).
Wprost z definicji \(s\) jako sumy funkcji łańcucha wynika, że funkcja \(s\) zawiera wszystkie funkcje \(f\) z łańcucha \(L\).
Sprawdźmy teraz, że \(s\) jest injekcją. Niech \((x_1, y)\in s\) i \((x_2,y)\in s\), dla pewnych \(x_1,x_2\in A\), \(y\in B\). Podobnie jak wyżej, z definicji sumy, istnieją \(f_1, f_2\in L\) takie, że \((x_1,y)\in f_1\) i \((x_2,y)\in f_2\). Możemy znów, bez zmniejszenia ogólności, przyjąć, że \(f_1\subset f_2\). Zatem \((x_1,y)\in f_2\) i \((x_2,y)\in f_2\), a skoro \(f_2\) jest injekcją, to \(x_1=x_2\), a więc \(s\) jest injekcją.
Wykazaliśmy więc, że każdy łańcuch w \(X\) ma majorantę w \(X\). Z Lematu Kuratowskiego–Zorna wynika zatem, że w \(X\) istnieje element maksymalny. Nazwijmy ten element maksymalny \(h\).
Zauważmy, że jeśli \(h\) jest elementem maksymalnym w \(X\), to \(\Dom _h=A\) lub \(\Dom ^*_h=B\). Faktycznie, gdyby \(\Dom _h\neq A\) i \(\Dom ^*_h\neq B\) to istniałyby dwa elementy \(a,b\), takie, że \(a\in A\setminus \Dom _f\) i \(b\in B\setminus \Dom ^*_f\). Mielibyśmy wtedy element \(g:=h\cup \{(a,b)\}\), istotnie większy od \(h\) i będący oczywiście funkcją injektywną (czyli \(g\in X\) i \(h\subsetneq g\)). To daje sprzeczność z maksymalnością \(h\).
W takim razie \(h\) jest elementem \(X\) spełniającym warunek
\[\Dom _h=A \text { lub } \Dom ^*_h=B.\]
Jeśli \(\Dom _h=A\) to funkcja \(h\) jest, jako element \(X\), injekcją z \(A\) w \(B\), a zatem \(\# A\leq \# B\).
Jeśli \(\Dom ^*_h=B\) to funkcja \(h^{-1}\) (która prowadzi z \(B\) do \(\Dom _h\), i jest dobrze zdefiniowana, bo funkcja \(h\) jest injekcją, a zatem jest bijekcją na \(Im(h)=B\)) jest injekcją z \(B\) w \(A\). Zatem, skoro mamy injekcję z \(b\) w \(A\) to \(\# B\leq \# A\).
To kończy dowód twierdzenia. □
Kolejne twierdzenie wykracza nieco poza materiał Wstępu do Teorii Mnogości. Mówi ono, że każda przestrzeń wektorowa ma bazę. Czytelnik, który jeszcze nie miał wykładu z Algebry Liniowej, może to twierdzenie pominąć.
Dowód. Przypomnijmy, że bazą przestrzeni wektorowej \(V\) nazywamy maksymalny (w sensie inkluzji) podzbiór wektorów liniowo niezależnych w tej przestrzeni. Niech \(v_1\) będzie niezerowym wektorem. Łatwo zauważyć, że zbiór złożony tylko z wektora \(v_1\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych w \(V\). Zdefiniujmy zbiór \(X\) następująco:
\[X=\{ A\subset X: v_1\in A \text { i~$A$ jest zbiorem wektorÃşw liniowo niezaleÅijnych} \}.\]
Na zbiorze \(X\) wprowadzamy porządek częściowy za pomocą relacji inkluzji.
Jeśli uda nam się pokazać (wykorzystując Lemat Kuratowskiego–Zorna), że w \(X\) istnieje element maksymalny, powiedzmy \(A_0\) – to ten element będzie bazą \(V\).
Weźmy zatem łańcuch \(L\subset X\). Weźmy \(S=\bigcup _{A\in L} A\). Oczywiście, dla dowolnego \(A\in L\) mamy \(A\subset S\), zatem \(S\) jest majorantą \(L\). Aby sprawdzić, czy \(S\) należy do \(X\), trzeba sprawdzić, czy \(v_1\in S\) i czy \(S\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych. Skoro \(v_1\in A\) dla każdego \(A\in L\), to oczywiście \(v_1\in S=\bigcup _{A\in L} A\). Pozostaje sprawdzić, że \(S\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych. Z definicji liniowej niezależności zbioru wektorów, oznacza to, że mamy sprawdzić, że dowolny skończony podzbiór \(W=\{w_1,\dots w_k\}\subset S\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych. Skoro \(w_1,\dots w_k\in S\) to istnieją \(A_1,\dots ,A_k\in L\) takie, że \(w_i\in A_i\), \(i=1,\dots ,k\). Skoro \(L\) jest łańcuchem, to wszystkie te zbiory są porównywalne ze sobą, możemy więc, dokonując ewentualnie ich przenumerowania, założyć, że \(A_1\subset A_2\subset \dots A_k\). Wtedy \(w_1,\dots ,w_k\in A_k\), ale \(A_k\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych. Zatem \(w_1,\dots ,w_k\) są liniowo niezależne. W takim razie \(S\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych, czyli majorantą łańcucha w \(X\).
Wykazaliśmy zatem, że każdy łańcuch w \(X\) ma majorantę w \(X\), w takim razie, z Lematu Kuratowskiego–Zorna, wynika, że w \(X\) istnieje element maksymalny \(A_0\). Ten element jest bazą \(V\) (jako maksymalny w sensie zawierania podzbiór wektorów liniowo niezależnych). □
Uwaga 218. Warto zastanowić się nad sytuacją, gdy rozważamy \(\R \) jako przestrzeń wektorową nad \(\Q \).