Na tym wykładzie wprowadzimy pojęcie rodziny zbiorów i indeksowanej rodziny zbiorów. Zdefiniujemy sumę i przecięcie rodzin zbiorów oraz przedstawimy pewne własności tych operacji. Powiemy też parę słów o iloczynie kartezjańskim dwóch zbiorów.
W zasadzie ten wykład powinien zostać przedstawiony po formalnym wprowadzeniu pojęcia funkcji. Czytelnik, który nie zna tego pojęcia, może pominąć ten wykład i wrócić do niego po Definicji 76.
Niech dany będzie zbiór \(T\) (zwany zbiorem wskaźników). Niech \(Y\) będzie dowolnym zbiorem. Przypomnijmy, że przez \(\p (Y)\) oznaczamy zbiór podzbiorów zbioru \(Y\).
Niech dana będzie funkcja \(F: T\to \p (Y)\). Zwyczajowo \(F(t)\) zapisujemy jako \(F_t\), gdzie \(t\in T\).
Definicja 31. Zbiór \(\{F_t : t\in T\}\) nazywamy indeksowaną rodziną zbiorów.
Zdefiniujmy teraz sumę i przecięcie (iloczyn) takiej rodziny.
Ta definicja mówi, że \(x\) należy do sumy zbiorów \(F_t\) jeśli należy do przynajmniej jednego z nich.
Ta definicja mówi, że \(x\) należy do przecięcia zbiorów \(F_t\), \(t\in T\), jeśli należy do każdego z nich.
W Przykładzie 32 mamy \(\bigcup _{t\in T} F_t=\bigcup _{t\in \{2,3,4,\dots \}}[1,t)=[1,+\infty )\) oraz \(\bigcap _{t\in T} F_t=\bigcap _{t\in \{2,3,4,\dots \}}[1,t)=[1,2).\)
1. Czytelnik może spotkać się też z pojęciem rodziny zbiorów – czyli zbioru, którego elementami są zbiory. Ze względów, które wyjaśnimy później, matematycy unikają określenia „zbiór zbiorów”. Warto zdawać sobie sprawę z różnicy pomiędzy rodziną zbiorów a indeksowaną rodziną zbiorów. Niech przykładowo rodzina zbiorów \(\cal R\) składa się z jednego zbioru \(A\), czyli \({\cal R}=\{A\}\). Na indeksowaną rodzinę zbiorów natomiast patrzymy jak na funkcję \(F: T\ni t\to \{A\}\) taką, że \(F_t=A\) dla wszystkich \(t\in T\), a \(T\) jest naszym zbiorem indeksów, na przykład \(T= \{2,3,4\}\) albo \(T=\N \) albo \(T=\R \).
2. Dla rodziny zbiorów również możemy zdefiniować sumę i przecięcie, które zapisujemy \(\bigcup {\cal R}\) lub \(\bigcup _{A\in {\cal R}}A\) oraz \(\bigcap {\cal R}\) lub \(\bigcap _{A\in {\cal R}}A\):
\[x\in \bigcup {\cal R}\iff \exists _{A\in {\cal R}}\ x\in A.\]
\[x\in \bigcap {\cal R}\iff \forall _{A\in {\cal R}}\ x\in A.\]
3. Jeśli zbiór indeksów \(T=\mathbb {N}\) to stosujemy zapis: \(\bigcup _{n=1}^{\infty }F_n\) oraz \(\bigcap _{n=1}^{\infty }F_n\)
Wypiszemy teraz i udowodnimy pewne własności działań uogólnionych. We wszystkich poniższych punktach stwierdzenia mamy rodzinę indeksowaną zbiorów \(F_t\), gdzie \(t\in T\).
Stwierdzenie 36.
1. Dla dowolnego \(t_0\in T\) mamy:
\[\bigcap _{t\in T}F_t\subset F_{t_0}\subset \bigcup _{t\in T}F_t.\]
2. Prawa de Morgana:
\[( \bigcup _{t\in T}F_t)^c=\bigcap _{t\in T}F_t^c,\]
\[( \bigcap _{t\in T}F_t)^c=\bigcup _{t\in T}F_t^c.\]
3. Załóżmy, że mamy rodzinę indeksowaną \(G_t\) taką, że dla każdego \(t\in T\) zachodzi \(F_t\subset G_t\). Wtedy
\[\bigcup _{t\in T}F_t\subset \bigcup _{t\in T}G_t,\]
\[\bigcap _{t\in T}F_t\subset \bigcap _{t\in T}G_t.\]
4. Jeśli dla każdego \(t\in T\) mamy \(F_t\subset A\), dla pewnego zbioru \(A\), to
\[\bigcup _{t\in T}F_t\subset A.\]
5. Jeśli dla każdego \(t\in T\) mamy \(A \subset F_t\), dla pewnego zbioru \(A\), to
\[A\subset \bigcap _{t\in T}F_t.\]
Dowód.
1. Niech \(x\in \bigcap _{t\in T}F_t\), czyli \(\forall _{t\in T} \ x\in F_t\). Z tego wynika, że \(x\in F_{t_0}\) dla wybranego \(t_0\). Stąd, z definicji sumy \(x\in \bigcup _{t\in T}F_t\).
2. Najpierw wykażemy, że \(( \bigcup _{t\in T}F_t)^c=\bigcap _{t\in T}F_t^c\), pokazując, że \(x\) jest elementem lewej strony równości wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem prawej strony.
Zaprzeczając zdaniom z kwantyfikatorami korzystamy z 17.
Zatem \(x\in ( \bigcup _{t\in T}F_t)^c\iff \neg ( x\in \bigcup _{t\in T}F_t) \iff \neg ( \exists _{t\in T} \ x\in F_t) \iff \forall _{t\in T} \ \neg (x\in F_t)\iff \forall _{t\in T} \ x\in F_t^c \iff x\in \bigcap
_{t\in T}F_t^c.\)
Teraz analogicznie wykażemy, że \((\bigcap _{t\in T}F_t)^c=\bigcup _{t\in T}F_t^c.\) Mamy \(x\in (\bigcap _{t\in T}F_t)^c\iff \neg (x\in \bigcap _{t\in T}F_t)\iff \neg (\forall _{t\in T} \ x\in
F_t)\iff \exists _{t\in T} \ \neg (x\in F_t)\iff \exists _{t\in T} \ x\in F_t^c\iff x\in \bigcup _{t\in T}F_t^c.\)
3. Mamy \(x\in \bigcup _{t\in T}F_t \iff \exists _{t\in T} \ x\in F_t\stackrel {F_t\subset G_t}{\lra } \exists _{t\in T} \ x\in G_t\iff x\in \bigcup _{t\in T}G_t.\)
Podobnie, \(x\in \bigcap _{t\in T}F_t \iff \forall _{t\in T} \ x\in F_t\stackrel {F_t\subset G_t}{\lra } \forall _{t\in T} \ x\in G_t\iff x\in \bigcap _{t\in T}G_t.\)
4. Mamy \(x\in \bigcup _{t\in T}F_t\iff \exists _{t\in T} \ x\in F_t\stackrel {F_t\subset A}{\lra }x\in A\).
5. Mamy \(x\in A\stackrel {A\subset F_t}{\lra } \forall _{t\in T} \ x\in F_t\iff x\in \bigcap _{t\in T}F_t.\) □
Zdefiniujemy teraz iloczyn kartezjański dwóch zbiorów i wykażemy niektóre jego własności. Do tego pojęcia wrócimy na następnym wykładzie.
Przypomnijmy, że zbiór złożony z jednego elementu \(a\) oznaczamy przez \(\{a\}\), zbiór mający dwa elementy \(a\) i \(b\) oznaczamy \(\{a,b\}\). Pamiętamy, że element \(a\) to nie to samo co zbiór jednoelementowy (singleton) \(\{a\}\).
W definicji pary mamy zbiór \(\{a,b\}\) (z tych elementów składa się para) oraz wskazujemy, przez zbiór jednoelementowy \(\{a\}\), który element jest pierwszy w parze. Zauważmy, że para \((a,a)\) to zbiór \(\{\{a\}\}\).
Uwaga 38. Zauważmy, że dwie pary są równe, gdy ich pierwsze i drugie elementy są odpowiednio równe, czyli \((a,b)=(c,d)\iff a=c \wedge b=d\).
Dowód. Faktycznie, jeśli \(\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\) to albo \(\{a\}=\{c\}\), i wtedy \(\{a,b\}=\{c,d\}=\{a,d\}\) czyli \(b=d\), albo \(\{a\}=\{c,d\}\) czyli \(c\in \{a\}\wedge d\in \{a\}\), skąd \(c=d=a\), skąd \(\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{a\} \} \) czyli \(b=a\), co kończy dowód. □
Weźmy teraz dwa dowolne zbiory \(X\) i \(Y\).
Uwaga 40. Oznaczenie \(:=\) czytamy jako z definicji. Stosuje się również oznaczenie \(\stackrel {def}{=}\).
Przykład 41.
\(\bullet \) Płaszczyznę możemy traktować jako iloczyn kartezjański \(\mathbb {R}\times \mathbb {R}=\mathbb {R}^2\).
\(\bullet \) Walec możemy traktować jako iloczyn kartezjański koła i odcinka.
\(\bullet \) Torus (torusem jest np. dętka rowerowa) to iloczyn kartezjański dwóch okręgów.
\(\bullet \) Prostokąt możemy traktować jako iloczyn kartezjański dwóch odcinków.
\(\bullet \) Warto zauważyć, że najczęściej zbiór \(X\times Y\) nie jest równy zbiorowi \(Y\times X\) (ćwiczenie: kiedy zachodzi równość?)
Do definicji iloczynu kartezjańskiego wrócimy na następnym wykładzie, omówimy tam szerzej jego własności.
Niech teraz dana będzie indeksowana rodzina zbiorów dana przez funkcję \(F:T\to \p (Y)\). Jeśli \(T=S\times Q\) to rodzinę \(\{F_t: t\in T\}\) możemy zapisać jako \(\{F_{s,q}: (s,q)\in S\times Q\}\). Taką rodzinę nazywamy podwójnie indeksowaną rodziną zbiorów. Analogicznie jak poprzednio (Definicja 33 i 34) możemy zdefiniować sumę i przecięcie takiej rodziny:
\[\bigcup _{(s,q)\in S\times Q}F_{s,q}=\{x: \exists _{(s,q)\in S\times Q}\ x\in F_{s,q} \}\]
\[\bigcap _{(s,q)\in S\times Q}F_{s,q}=\{x: \forall _{(s,q)\in S\times Q}\ x\in F_{s,q} \}\]
Możemy też rozważać sumy iterowane:
\[\bigcup _{q\in Q}\left (\bigcup _{s\in S}F_{s,q}\right ),\]
\[\bigcup _{s\in S}\left ( \bigcup _{q\in Q}F_{s,q}\right ) \]
i analogicznie przecięcia iterowane
\[\bigcap _{q\in Q}\left ( \bigcap _{s\in S}F_{s,q}\right ),\]
\[\bigcap _{s\in S}\left ( \bigcap _{q\in Q}F_{s,q}\right )\]
a także sumy przecięć i przecięcia sum:
\[\bigcup _{q\in Q}\left ( \bigcap _{s\in S}F_{s,q}\right ),\]
\[\bigcap _{s\in S}\left ( \bigcup _{q\in Q}F_{s,q}\right ).\]
Zachodzi następujące stwierdzenie:
Stwierdzenie 42. Dla dowolnej podwójnie indeksowanej rodziny zbiorów \(\{F_{s,q},s\in S,q\in Q \}\) zachodzą równości:
1.
\[\bigcup _{(s,q)\in S\times Q}F_{s,q}=\bigcup _{q\in Q}\left (\bigcup _{s\in S}F_{s,q}\right )=\bigcup _{s\in S}\left (\bigcup _{q\in Q}F_{s,q}\right )\]
2.
\[\bigcap _{(s,q)\in S\times Q}F_{s,q}=\bigcap _{q\in Q}\left ( \bigcap _{s\in S}F_{s,q}\right )=\bigcap _{s\in S}\left (\bigcap _{q\in Q}F_{s,q}\right ).\]
Dowód. Dla potrzeb dowodu oznaczmy \(B_s:=\bigcup _{q\in Q}F_{s,q}\) oraz \(C_s:=\bigcap _{q\in Q}F_{s,q}\)
ad 1. Mamy \(x\in \bigcup _{(s,q)\in S\times Q}F_{s,q}\iff \exists _{(s_0,q_0)\in S\times Q} \ x\in F_{s_0,q_0}\iff \exists _{s_0\in S}\,\exists _{q_0\in Q} \ x\in F_{s_0,q_0}\iff \exists _{s_0\in S} \ x\in \bigcup
_{q\in Q}F_{s_0,q}\iff \exists _{s_0\in S} \ x\in B_{s_0}\iff x\in \bigcup _{s\in S}B_s\iff x\in \bigcup _{s\in S}\left ( \bigcup _{q\in Q}F_{s,q}\right )\).
ad 2. \(x\in \bigcap _{(s,q)\in S\times Q}F_{s,q}\iff \forall _{(s,q)\in S\times Q} \ x\in F_{s,q}\iff \forall _{s\in S}\, \forall _{q\in Q} \ x\in F_{s,q}\iff \forall _{s\in S} \ x\in \bigcap _{q\in Q}F_{s,q}\iff
\forall _{s\in S} \ x\in C_s\iff x\in \bigcap _{s\in S}C_s\iff x\in \bigcap _{s\in S}\left ( \bigcap _{q\in Q}F_{s,q}\right ).\) □
Ze Stwierdzenia 42 wynika, że możemy dowolnie przestawiać sumowanie po \(q\) z sumowaniem po \(s\) jak też przecięcia po \(q\) z przecięciami po \(s\). Nie możemy jednak „bezkarnie” wymieniać sumowania i przecięcia ze sobą. Zobaczmy następujący przykład:
Przykład 43. Niech \(F_{s,q}= \{ x\in \mathbb {R}: x<s+q\}\), gdzie \(S=Q=\mathbb {R}\). Wówczas \(\bigcap _{s\in S}F_{s,q}=\emptyset \), bo dla dowolnego \(x\in \mathbb {R}\) zachodzi \(x\notin F_{x-q,q}\). Zatem \(\bigcup _{q\in Q}\bigcap _{s\in S}F_{s,q}=\emptyset \). Zarazem, dla dowolnego \(s\) mamy \(\bigcup _{q\in Q}F_{s,q}=\mathbb {R}\), bo dla danego \(s\) mamy \(x\in F_{s,x+1-s}\). A zatem \(\bigcup _{q\in Q}\bigcap _{s\in S}F_{s,q}\neq \bigcap _{s\in S}\bigcup _{q\in Q}F_{s,q}\)
Jak widać z powyższego przykładu nie musi być równości pomiędzy \(\bigcup _{q\in Q}\bigcap _{s\in S}F_{s,q}\) a \(\bigcap _{s\in S}\bigcup _{q\in Q}F_{s,q}\). Zachodzi natomiast zawieranie:
Dowód. Oznaczmy \(C_q:=\bigcap _{s\in S}F_{s,q}\). Mamy \(x\in \bigcup _{q\in Q}\bigcap _{s\in S}F_{s,q}\iff \exists _{q_0\in Q}\ x\in C_{q_0}\iff \exists _{q_0\in Q} \, \forall _{s\in S} \ x\in F_{s,q_0}\stackrel {\text {\tiny zob.\ref {stw-prawakwant}}}{\lra } \forall _{s\in S} \, \exists _{q_0\in Q}\ x\in F_{s,q_0}\iff x\in \bigcap _{s\in S}\bigcup _{q\in Q}F_{s,q}.\) □
Ćwiczenie 45. Dla \(S=Q=\{1,2\}\) niech \(F_{1,1}=\{1,2,3\},F_{1,2}=\{2\},F_{2,1}=\{1\}, F_{2,2}=\{3\}\). Sprawdzić dla tej rodziny \(F_{s,q}\) Stwierdzenie 44.