Na tym wykładzie omówimy definicje i własności obrazu i przeciwobrazu zbioru przez funkcję oraz operacje restrykcji, sklejenia, zestawienia i iloczynu kartezjańskiego funkcji.
Definicja 96. Niech \(X, X_1, Y\) będą zbiorami, takimi, że \(X\subset X_1\). Weźmy funkcje \(f_1 : X_1\to Y\) oraz \(f: X\to Y\). Jeśli dla każdego \(x\in X\) zachodzi \(f(x)=f_1(x)\) to
1. \(f_1\) nazywamy przedłużeniem funkcji \(f\) (do zbioru \(X_1\)),
2. natomiast \(f\) nazywamy restrykcją (albo zacieśnieniem) \(f_1\) do zbioru \(X\). Zapisujemy wtedy \(f=f_1|_X\)
Przykład 97. Często rozważa się zacieśnienie funkcji okresowej do jednego okresu, np. \((\sin x)|_{[0,2\pi ]}\).
Definicja 98. Niech \(X_1,X_2,Y\) będą zbiorami a \(f_1:X_1\to Y\), \(f_2:X_2\to Y\) funkcjami. Zdefiniujmy relację zwaną sklejeniem funkcji \(f_1\) i \(f_2\) określoną na \((X_1\cup X_2)\times Y\) jako \(f_1\cup f_2\).
Stwierdzenie 99. Przy oznaczeniach jak w powyższej definicji, relacja \(f=f_1\cup f_2\) jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(x\in X_1\cap X_2\) zachodzi \(f_1(x)=f_2(x)\).
Dowód. Warunek pierwszy z Definicji 76 jest oczywiście spełniony. Sprawdźmy warunek drugi. Niech \((x,y_1)\in f\) i \((x,y_2)\in f\). Jeśli \(x\in X_1\setminus X_2\) to \((x,y_1)\in f_1\) i \((x,y_2)\in f_1\), a stąd (skoro \(f_1\) jest funkcją) \(y_1=y_2\). Analogicznie rozumujemy w przypadku, gdy \(x\in X_2\setminus X_1\). Pozostaje do sprawdzenia przypadek gdy \(x\in X_1\cap X_2\). Wtedy \(y_1=f(x)=f_1(x)\) (bo \(x\in X_1\)) i \(y_2=f(x)=f_2(x)\) (bo \(x\in X_2\)) ale dla \(x\in X_1\cap X_2\) mamy \(f_1(x)=f_2(x)\) to \(y_1=y_2\). □
Przykład 100. Funkcja
\[ f(x)=\begin {cases} -x^2, \ x\leq 0\\ x^2, \ x \geq 0 \end {cases} \]
jest zadana na \(\R \) jako sklejenie funkcji \(f_1(x)=-x^2, x\in (-\infty , 0]\) i \(f_2(x)=x^2, x\in [0,\infty )\). Obie te funkcje są równe na części wspólnej swoich dziedzin, czyli na zbiorze \(\{0\}\).
Uwaga 102. Zestawienie funkcji jest funkcją. Faktycznie, warunek pierwszy Definicji 76 jest spełniony. Niech zatem \((x,z)\in f\) oraz \((x,w)\in f\) dla pewnych \(z,w\in Y\), zatem \(z=(z_1,z_2)\), \(w=(w_1,w_2)\). Z definicji \(f\) mamy \((x,z_1)\in f_1\ni (x,w_1)\) oraz \((x,z_2)\in f_2\ni (x,w_2)\), skąd \(z_1=w_1\) i \(z_2=w_2\), czyli \(z=w\), czyli f jest funkcją.
Przykład 103. Jeśli \(f_1(x)=\cos x\), \(f_2(x)=\sin x\), \(x\in [0,2\pi ]\), to zestawienie tych funkcji \((\cos x, \sin x)\) jest przykładem parametryzacji okręgu jednostkowego.
Definicja 104. Niech \(X_1, X_2, Y_1, Y_2\) będą zbiorami. Weźmy funkcje \(f_1 : X_1\to Y_1\) oraz \(f_2: X_2\to Y_2\). Iloczyn kartezjański funkcji \(f_1\) i \(f_2\) jest funkcją (to sprawdzimy poniżej), zdefiniowaną jako
\[f_1\times f_2 : X_1\times X_2\to Y_1\times Y_2,\]
\[(f_1\times f_2)(x_1,x_2)=(f_1(x_1),f_2(x_2)), \ \ (x_1,x_2)\in X_1\times X_2.\]
Uwaga 105. Iloczyn kartezjański funkcji jest funkcją.
Dowód. Faktycznie, \(f_1\times f_2 \) jest określony na całym iloczynie \(X_1\times X_2\). Niech zatem \(((x_1,x_2),(z_1,z_2))\in f_1\times f_2 \ni ((x_,x_2),(w_1,w_2))\). Z określenia \(f_1\times f_2 \) mamy \(z_1=f_1(x_1)=w_1\) i \(z_2=f_2(x_2)=w_2\), czyli \((z_1,z_2)=(w_1,w_2)\), zatem \(f_1\times f_2 \) jest funkcją. □
Przejdziemy teraz do zdefiniowania pojęć obrazu i przeciwobrazu zbioru przez funkcję oraz wykażemy pewne własności operacji brania obrazu i przeciwobrazu.
Niech \(X,Y,A,B\) będą zbiorami, niech ponadto \(A\subset X\), \(B\subset Y\) i niech \(f\) będzie funkcją \(f: X\to Y\).
Definicja 106. Obrazem zbioru \(A\subset X\) przez funkcję \(f\) nazywamy zbiór
\[f(A)=\{y\in Y\ |\ \exists x\in A : y=f(x)\}.\]
Przykład 107.
\(\bullet \) Niech \(f: \mathbb {R}\to \mathbb {R}\), \(f(x)=x^2\). Niech \(A=[-1,1]\). Wówczas \(f(A)=[0,1]\).
\(\bullet \) Niech \(f: X\to {\cal P}(X)\), \(f(x)=\{x\}\). Niech \(A=X\). Wtedy \(f(A)=\{\{x\}: x\in X\}\).
\(\bullet \) Niech \(f: \mathbb {R}\to \mathbb {R}\), \(f(x)=5\). Niech \(A=\mathbb {R}\). Wówczas \(f(A)=\{5\}\).
Definicja 108. Przeciwobrazem zbioru \(B\subset Y\) nazywamy zbiór
\[f^{-1}(B)=\{x\in X: f(x)\in B\}.\]
Uwaga 109. Symbol \(f^{-1}\) nie jest jednoznaczny, może oznaczać przeciwobraz (jak powyżej), funkcję odwrotną (Definicja 90) albo też \(\frac {1}{f}\).
Przykład 110.
\(\bullet \) Niech \(f: \mathbb {R}\to \mathbb {R}\), \(f(x)=x^2\). Niech \(B=[0,1]\). Wówczas \(f^{-1}(B)=[-1,1]\). Jeśli \(B={4}\) to \(f^{-1}(B)=\{-2,2\}.\)
\(\bullet \) Niech \(f: \mathbb {R}\to \mathbb {R}\), \(f(x)=5\). Niech \(B\subset \mathbb {R}\). Wówczas \(f^{-1}(B)=\begin {cases} \mathbb {R}, \text { jeÅŻli } 5\in B\\ \emptyset , \text { jeÅŻli } 5\notin B. \end {cases}\).
Poniższe stwierdzenie zbiera własności operacji brania obrazów i przeciwobrazów.
Stwierdzenie 111. Niech \(X,Y,A_1,A_2,B_1,B_2, T\) będą zbiorami (\(T\) jest zbiorem wskaźników), niech \(A_1, A_2\subset X\), \(B_1,B_2\subset Y\), niech \(\{A_t\}_{t\in T} \) i \(\{B_t\}_{t\in T} \) będą rodzinami zbiorów indeksowanymi przez \(T\), przy czym \(A_t\subset X\), \(B_t\subset Y\) dla każdego \(t\in T\). Niech \(f: X\to Y\) będzie funkcją. Wówczas
1. \(f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2).\)
2. \(f(\bigcup _{t\in T}A_t)=\bigcup _{t\in T}f(A_t)\).
3. \(f(A_1)\setminus f(A_2)\subset f(A_1\setminus A_2)\).
4. \(f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2).\)
5. \(f(\bigcap _{t\in T}A_t)\subset \bigcap _{t\in T}f(A_t)\).
6. \(f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2).\)
7. \(f^{-1}(\bigcup _{t\in T}B_t)=\bigcup _{t\in T}f^{-1}(B_t)\).
8. \(f^{-1}(B_1\cap B_2)= f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2).\)
9. \(f^{-1}(\bigcap _{t\in T}B_t)=\bigcap _{t\in T}f^{-1}(B_t)\).
10. \(f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)= f^{-1}(B_1\setminus B_2)\).
Dowód. Dowód wymaga tylko konsekwentnego użycia definicji obrazu (bądź przeciwobrazu), będziemy korzystać też z własności formuł logicznych i kwantyfikatorów. Warto zwrócić uwagę na przykłady pokazujące, że w punktach \(3,4,5\) zawieranie w drugą stronę nie musi zachodzić.
ad. 1. \(y\in f(A_1\cup A_2) \iff \exists x\in A_1\cup A_2 : y=f(x) \iff \exists x\in A_1\vee \exists x\in A_2 : y=f(x) \iff \exists x\in A_1 : y=f(x) \vee \exists x\in A_2 : y=f(x) \iff y\in f(A_1)\vee y\in f(A_2) \iff y\in f(A_1)\cup f(A_2).\)
ad. 2. \(y\in f(\bigcup _{t\in T}A_t) \iff \exists x\in \bigcup _{t\in T}A_t : y=f(x) \iff \exists t_0\in T \, \exists x : x\in A_{t_0} \wedge y=f(x) \iff \exists t_0\in T y\in f(A_{t_0}) \iff y\in \bigcup _{t\in T}f(A_t)\).
ad. 3. \(y\in f(A_1)\setminus f(A_2) \iff y\in f(A_1) \wedge \neg (y\in f(A_2)) \iff (\exists x\in X: x\in A_1 \wedge y=f(x) )\wedge \neg (\exists x\in X : x\in A_2\wedge y=f(x) )\iff (\exists x\in X: x\in A_1 \wedge y=f(x) )\wedge (\forall x\in X \ y\neq f(x) \vee x\notin A_2) \Longrightarrow (\exists x\in X: x\in A_1 \wedge y=f(x) ) \wedge (y\neq f(x) \vee x\in A_2)\iff (\exists x\in X: x\in A_1 \wedge y=f(x) \wedge y\neq f(x) ) \vee (\exists x\in X: x\in A_1 \wedge y=f(x) \wedge x\notin A_2)\).
Pierwsze z dwóch ostatnich zdań jest zawsze fałszywe, zatem alternatywa jest równoważna drugiemu z nich:
\(\exists x\in X: x\in A_1 \wedge y=f(x) \wedge x\notin A_2,\) a to zdanie mówi, że \(y\in f(A_1\setminus A_2)\).
Zauważmy, że występującej w powyższym rozumowaniu implikacji nie można zastąpić przez równoważność (jeśli jakiś warunek nie jest spełniony dla pewnego \(x\), to nie znaczy, że nie jest spełniony dla każdego \(x\)).
Aby zobaczyć przykład funkcji, dla której \(f(A_1)\setminus f(A_2) \not \supset f(A_1\setminus A_2)\) wystarczy wziąć funkcję stałą, np. \(f: \mathbb {R}\to \mathbb {R}\), \(f(x)= 7\) oraz \(A_1=[1,2], A_2=[3,4]\). Wtedy \(f(A_1\setminus A_2)=f(A_1)=\{7\}\) podczas gdy \(f(A_1)\setminus f(A_2)=\{7\}\setminus \{7\}=\emptyset \).
ad. 4. \(y\in f(A_1\cap A_2)\iff \exists x\in X : x\in A_1\cap A_2\wedge y=f(x)\iff \exists x\in X : x\in A_1\ \wedge \ x\in A_2\ \wedge \ y=f(x) \Longrightarrow (\exists x\in X : x\in A_1\ \wedge \ y=f(x))\wedge (\exists x\in X : \ x\in A_2\ \wedge \ y=f(x))\iff y\in f(A_1)\wedge y\in f(A_2)\iff y\in f(A_1)\cap f(A_2). \)
Zauważmy znowu, że wynikania w powyższym dowodzie nie można zastąpić przez równoważność (dla kwantyfikatora istnieje zachodzi wynikanie \(\exists x: p(x)\wedge q(x)\Longrightarrow \exists x : p(x) \wedge \exists x : q(x)\), ale nie musi zachodzić wynikanie w drugą stronę, porównaj 19.
Aby zobaczyć przykład funkcji, dla której \(f(A_1\cap A_2) \not \supset f(A_1)\cap f(A_2)\) znowu wystarczy wziąć funkcję stałą, np. \(f: \mathbb {R}\to \mathbb {R}\), \(f(x)= 7\) oraz \(A_1=[1,2]\), \(A_2=[3,4]\). Wtedy \(f(A_1\cap A_2)=f(\emptyset )=\emptyset \) podczas gdy \(f(A_1)\cap f(A_2)=\{7\}\cap \{7\}=\{7\}\).
ad. 5. \(y\in f(\bigcap _{t\in T}A_t) \iff \exists x\in X : x\in \bigcap _{t\in T}A_t \wedge y=f(x) \iff \exists x\in X : \forall t\in T x\in A_t \wedge y=f(x) \Longrightarrow \forall t\in T \ \exists x\in X : x\in A_t \wedge y=f(x) \iff \forall t\in T y\in f(A_t) \iff y\in \bigcap _{t\in T}f(A_t) \).
Zauważmy, że implikacji w tym dowodzie też nie możemy odwrócić, por. Uwaga 16.
Przykład funkcji, dla której \(f(\bigcap _{t\in T}A_t) \not \supset \bigcap _{t\in T}f(A_t)\) może być dokładnie taki sam jak powyżej, czyli \(f: \mathbb {R}\to \mathbb {R}\), \(f(x)= 7\), zbiór \(T=\{1,2\}\) oraz \(A_1=[1,2]\), \(A_2=[3,4]\).
Można też wziąć nieskończoną rodzinę zbiorów, niech \(T=\mathbb {N}\), \(A_1=(1,2)\), \(A_2=(2,3)\), \(A_3=(3,4)\ldots \). Łatwo zobaczyć, że \(\bigcap _{t\in T}f(A_t)=\{7\}\) a \(f(\bigcap _{t\in T}(A_t))=f(\emptyset )=\emptyset .\)
ad. 6. \(x\in f^{-1}(B_1\cup B_2) \iff f(x)\in B_1\cup B_2 \iff f(x) \in B_1 \vee \ f(x) \in B_2 \iff x\in f^{-1}(B_1)\vee x\in f^{-1}(B_2) \iff x\in f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)\).
ad. 7. \(x\in f^{-1}(\bigcup _{t\in T}B_t) \iff f(x) \in \bigcup _{t\in T}B_t \iff \exists t_0\in T : f(x)\in B_{t_0} \iff \exists t_0\in T : x\in f^{-1}(B_{t_0})\iff x\in \bigcup _{t\in T}f^{-1}(B_t).\)
ad. 8. \(x\in f^{-1}(B_1\cap B_2) \iff f(x)\in B_1\cap B_2 \iff f(x) \in B_1 \wedge \ f(x) \in B_2 \iff x\in f^{-1}(B_1)\wedge x\in f^{-1}(B_2) \iff x\in f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)\).
ad. 9. \(x\in f^{-1}(\bigcap _{t\in T}B_t) \iff f(x) \in \bigcap _{t\in T}B_t \iff \forall t\in T : f(x)\in B_{t} \iff \forall t\in T : x\in f^{-1}(B_{t})\iff x\in \bigcap _{t\in T}f^{-1}(B_t).\)
ad. 10. \(x\in f^{-1}(B_1\setminus B_2) \iff f(x)\in B_1\setminus B_2 \iff f(x) \in B_1 \wedge \neg (f(x) \in B_2) \iff x\in f^{-1}(B_1)\wedge \neg (x\in f^{-1}(B_2)) \iff x\in f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)\). □
Uwaga 112. Warto zauważyć, że jeśli funkcja \(f: X\to Y\) jest bijekcją, to obraz przez \(f^{-1}\) zbioru \(B\subset Y\) jest równy przeciwobrazowi tego zbioru przez funkcję \(f\). Dowód pozostawiamy czytelnikowi jako proste (ale ważne) ćwiczenie.