Niech \(X\) będzie zbiorem i niech \(\mathcal T\subset 2^X\). \(\mathcal T\) nazywa się topologią na \(X\) gdy
(I) \(X\in \mathcal T\),
(II) jeżeli \(\mathcal U\subset \mathcal T\) to \(\bigcup \mathcal U\in \mathcal T\),
(III) jeżeli \(U, V\in \mathcal T\) to \(U\cap V\in \mathcal T\).
Elementy topologii nazywają się zbiorami otwartymi.
W szczególności, \(\emptyset \in \mathcal T\) i \(\bigcap \mathcal U\in \mathcal T\) dla każdej skończonej rodziny \(\mathcal U\subset \mathcal T\). Ponadto \(2^X\) oraz \(\{\emptyset , X\}\) są topologiami na \(X\); nazywają się, odpowiednio, topologią dyskretną i topologią antydyskretną na \(X\). Niech \(\mathcal T_1\) i \(\mathcal T_2\) będą topologiami na \(X\). \(\mathcal T_1\) jest mocniejsza niż \(\mathcal T_2\) gdy \(\mathcal T_1\supset \mathcal T_2\). Stąd \(2^X\) jest najmocniejszą, a \(\{\emptyset ,X\}\) jest najsłabszą topologią na \(X\).
Para \((X,\mathcal T)\), gdzie \(\mathcal T\) jest topologią na \(X\), nazywa się przestrzenią topologiczną. Przestrzenią topologiczną nazywa się także sam zbiór \(X\), o ile z kontekstu wynika jednoznacznie wybór wyróżnionej topologii.
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną i \(F\subset X\). \(F\) nazywa się zbiorem domkniętym gdy \(X\setminus F\) jest otwarty. Zbiór, który jest jednocześnie domkniętym i otwartym nazywa się domknięto-otwarty.
Niech \(A\subset X\).
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)\begin{align*} \overline {A}&:=\bigcap \{F\subset X\colon \text { $F$ domkniÄŹty},\ F\supset A\}, \\ {\rm int}\,A&:=\bigcup \{U\subset X\colon \text { $U$ otwarty},\ U\subset A\}, \\ \partial A&:=\overline {A}\setminus {\rm int}\,A \end{align*} nazywają się, odpowiednio, domknięciem, wnętrzem i brzegiem zbioru \(A\).
Uwaga 1.3 (Własności domknięcia i wnętrza).
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)\begin{align*} &\overline {\emptyset }=\emptyset ,\ \overline {X}=X, && {\rm int}\,\emptyset =\emptyset ,\ {\rm int}\,X=X. \end{align*} Jeżeli \(A\subset X\) to
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)\begin{align*} &\overline {A}\ \text {jest domkniÄŹty,}&& {\rm int}\,A\‚\text {jest otwarty,} \\ &A\subset \overline {A}, & &{\rm int}\,A\subset A, \\ &A\ \text {domkniÄŹty}\ \Longleftrightarrow A=\overline {A},& & A\ \text {otwarty}\ \Longleftrightarrow A={\rm int}\,A, \\ &\overline {\overline {A}}=\overline {A}, && {\rm int}({\rm int}\,A)={\rm int}\,A, \\ & \setminus \overline {A}={\rm int}(\setminus A),&& \setminus {\rm int}\,A=\overline {\setminus A}. \end{align*} Jeżeli \(A\subset B\subset X\) to
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)\begin{align*} &\overline {A}\subset \overline {B}, && {\rm int}\,A\subset {\rm int}\,B. \end{align*} Jeżeli \(A,B\subset X\) to
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)\begin{align*} &\overline {A\cap B}\subset \overline {A}\cap \overline {B}, && {\rm int}(A\cup B)\supset {\rm int}\,A\cup {\rm int}\,B, \\ &\overline {A\cup B}=\overline {A}\cup \overline {B}, && {\rm int}(A\cap B)={\rm int}\,A\cap {\rm int}\,B. \tag *{\qed } \end{align*}
\(x\in X\) nazywa się punktem skupienia \(A\) gdy \(x\in \overline {A\setminus \{x\}}\). Zbiór punktów skupienia \(A\) oznacza się \(A'\). Elementy zbioru \(A\setminus A'\) nazywa się punktami izolowanymi w \(A\).
Niech \((X,\mathcal T)\) będzie przestrzenią topologiczną i \(\mathcal U\subset \mathcal T\). \(\mathcal U\) nazywa się bazą topologii \(\mathcal T\) (lub bazą zbiorów otwartych \(\mathcal T\)) gdy
\[ \forall V\in \mathcal T\ \exists \mathcal V\subset \mathcal U\colon V=\bigcup \mathcal V, \]
co jest równoważne warunkowi
\[ \forall V\in \mathcal T\ \forall x\in V\ \exists U\in \mathcal U\colon x\in U\subset V. \]
W szczególności, \(\{\{x\}\colon x\in X\}\) jest bazą topologii dyskretnej \(2^X\).
Niech \(\mathcal P\subset \mathcal T\). \(\mathcal P\) nazywa się podbazą topologii \(\mathcal T\) gdy
\[ \mathcal U(\mathcal P):=\left \{\bigcap \mathcal W\colon \mathcal W\subset \mathcal P,\‚\#\mathcal W< \infty \right \} \]
jest bazą \(\mathcal T\). \(\mathcal P\) jest więc podbazą \(\mathcal T\) jeżeli
\[ \forall V\in \mathcal T\ \forall x\in V\ \exists W_1,\ldots , W_k\in \mathcal P\colon x\in \bigcap _{i=1}^k W_i\subset V. \]
Uwaga 1.4 (Własności bazy topologii).
(a) Jeżeli \(\mathcal U\) jest podbazą topologii to
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:podbaza} \forall x\in X\ \exists U\in \mathcal U\colon x\in U. \end{equation}
(b) Baza topologii \(\mathcal U\) spełnia (1.1) i
\(\seteqnumber{0}{1.}{1}\)\begin{equation} \label {eq:baza} \forall U_1,U_2\in \mathcal U\ \forall x\in U_1\cap U_2\ \exists U\in \mathcal U\colon x\in U\subset U_1\cap U_2. \end{equation}
□
Niech \(X\) będzie zbiorem i \(\mathcal U\subset 2^X\).
Dowód. (1.1) implikuje (I), a warunek (II) wynika bezpośrednio z definicji. Niech \(V_1,V_2\in \mathcal T(\mathcal U)\). Można założyć, że \(V_1\cap V_2\neq \emptyset \). Niech \(x\in V_1\cap V_2\). Istnieją \(U_{xi}\in \mathcal U\), \(i=1,2\) takie, że
\[ x\in U_{xi}\subset V_i \]
Z (1.2) wynika istnienie \(U_x\in \mathcal U\) takiego, że
\[ x\in U_x\subset U_{x1}\cap U_{x2}\subset V_1\cap V_2. \]
Stąd
\[ V_1\cap V_2=\bigcup _{x\in V_1\cap V_2} U_x\in \mathcal T(\mathcal U), \]
co kończy dowód (III). □
Wniosek 1.1. Jeżeli \(\mathcal P\) spełnia (1.1) to \(\mathcal T(\mathcal U(\mathcal P))\) jest topologią na \(X\) i \(\mathcal P\) jest podbazą \(\mathcal T(\mathcal U(\mathcal P))\). □
Uwaga 1.6 (Warunek zgodności). Jeżeli \(\mathcal T\) jest topologią i \(\mathcal U\) jest bazą \(\mathcal T\) to
\[ \mathcal T=\mathcal T(\mathcal U). \pushQED {\qed } \qedhere \popQED \]
Jeżeli \(\geq \) jest liniowym porządkiem na zbiorze \(X\) to przedziały otwarte oraz, o ile \(X\) ma element najmniejszy \(m\) lub największy \(M\), przedziały postaci \([m,a)\) i \((a,M]\) tworzą bazę zbiorów otwartych topologii porządkowej na \(X\).
\(\mathbb R\) jest przestrzenią topologiczną z topologią porządkową. W szczególności, rodzina wszystkich przedziałów otwartych jest bazą topologii \(\mathbb R\). Rodziny przedziałów \(\{(a,b)\colon a,b\in \mathbb Q,\ a<b\}\) i \(\{(\tfrac {k}{2^m}-\tfrac {1}{n}, \tfrac {k}{2^m}+\tfrac {1}{n}\colon k,m\in \mathbb Z,\ n=1,2,\ldots \}\) są przeliczalnymi bazami topologii \(\mathbb R\).
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną i niech \(x\in X\). Podzbiór \(U\subset X\) nazywa się otoczeniem \(x\) gdy istnieje zbiór otwarty \(V\) w \(X\) taki, że \(x\in V\subset U\).
Niech \(A\subset X\).
(a) \(x\in {\rm int}\,A\) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje otoczenie \(U\) punktu \(x\) takie, że
\[ U\subset A. \]
(b) \(x\in \overline {A}\) wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego otoczenia \(U\) punktu \(x\),
\(\seteqnumber{0}{1.}{2}\)\begin{equation} \label {eq:uca} U\cap A\neq \emptyset . \end{equation}
Dowód. (a) wynika z Uwagi 1.2. (b) jest konsekwencją równoważności poniższych zdań:
\(\seteqnumber{0}{1.}{3}\)\begin{align*} &\forall U\ \text {otwartego}\colon x\in U \Rightarrow U\cap A\neq \emptyset , \\ &\forall F\ \text {domkniÄŹtego}\colon x\in X \setminus F\Rightarrow (X \setminus F)\cap A\neq \emptyset , \\ &\forall F\ \text {domkniÄŹtego}\colon A\subset F \Rightarrow x\in F.\qedhere \end{align*}
Niech \((X,\mathcal T)\) będzie przestrzenią topologiczną i niech \(x\in X\). Rodzina wszystkich otoczeń \(x\) w \(\mathcal T\) nazywa się filtrem otoczeń \(x\) i jest oznaczana \(\mathcal T(x)\).
Niech \(\mathcal B_x\subset \mathcal T(x)\). \(\mathcal B_x\) nazywa się bazą otoczeń \(x\) gdy \(\mathcal B_x\succ \mathcal T(x)\) (relacja \(\succ \) jest zdefiniowana w Podrozdziale 0.1). W szczególności, baza topologii \(\mathcal U\) wyznacza bazę otoczeń \(\{U\in \mathcal U\colon x\in U\}\) punktu \(x\).
Natychmiastową konsekwencją Uwagi 1.7 (b) jest
Rodzina \(\{\mathcal B_x\}_{x\in X}\), gdzie \(\mathcal B_x\) jest bazą otoczeń \(x\in X\), nazywa się bazą otoczeń w \(\mathcal T\).
Twierdzenie 1.2 (Własności bazy otoczeń). Niech \(\{\mathcal B_x\}_{x\in X}\) będzie bazą otoczeń w \(\mathcal T\). Wtedy dla każdego \(x\in X\)
\(\seteqnumber{0}{1.}{3}\)\begin{gather} \label {eq:b1} \mathcal B_x\neq \emptyset , \\ \label {eq:b2} \forall U\in \mathcal B_x\colon x\in U, \\ \label {eq:b3} \forall U_1,U_2\in \mathcal B_x\ \exists U\in \mathcal B_x\colon U\subset U_1\cap U_2, \\ \label {eq:b4} \forall U\in \mathcal B_x\ \exists V\in \mathcal B_x\ \forall y\in V\‚\exists W\in \mathcal B_y\colon W\subset U. \end{gather}
Dowód. (1.4) i (1.5) wynikają bezpośrednio z definicji. Niech \(U_1,U_2\in \mathcal B_x\). Wtedy istnieją \(V_1,V_2\in \mathcal T\) takie, że \(x\in V_i\subset U_i\) dla \(i=1,2\). Ponieważ \(x\in V_1\cap V_2\in \mathcal T\), istnieje \(U\in \mathcal B_x\) taki, że
\[ x\in U\subset V_1\cap V_2\subset U_1\cap U_2, \]
więc (1.6). Niech teraz \(U\in \mathcal B_x\). Istnieje \(U'\in \mathcal T\) taki, że \(x\in U'\subset U\) i istnieje \(V\in \mathcal B_x\) taki, że \(V\subset U'\). Niech \(y\in V\). Wtedy istnieje \(W\in \mathcal B_y\) taki, że \(W\subset U'\subset U\), skąd (1.7). □
Niech \(X\neq \emptyset \), \(\mathcal B_x\subset 2^X\) dla \(x\in X\) i niech
\(\seteqnumber{0}{1.}{7}\)\begin{align*} \mathcal B&:= \{\mathcal B_x\}_{x\in X}, \\ \mathcal T(\mathcal B)&:= \{U\subset X\colon \forall x\in U\ \exists V\in \mathcal B_x\colon V\subset U\}. \end{align*}
Dowód.
Ad (a). (I) i (II) wynikają z (1.4) i (1.5). Niech \(V_1,V_2\in \mathcal T(\mathcal B)\). Można założyć, że \(x\in V_1\cap V_2\). Istnieją \(U_i\in \mathcal B_x\) takie, że \(U_i\subset V_i\), \(i=1,2\). Z (1.6) istnieje \(U\in \mathcal B_x\) taki, że
\[ U\subset U_1\cap U_2\subset V_1\cap V_2, \]
więc (III).
Ad (b). Niech \(x\in X\). Jeżeli \(U\in \mathcal T(\mathcal B)(x)\) to istnieje \(V\in \mathcal B_x\) taki, że \(V\subset U\) więc \(\mathcal B_x\succ \mathcal T(\mathcal B)(x)\). Trzeba więc udowodnić, że \(\mathcal B_x\subset \mathcal T(\mathcal B)(x)\). Niech \(U\in \mathcal B_x\).
\[ V:=\{y\in U\colon \exists W\in \mathcal B_y\colon W\subset U\}. \]
Oczywiście \(x\in V\subset U\). Wystarczy wykazać, że \(V\in \mathcal T(\mathcal B)\); to znaczy
\[ \forall y\in V\ \exists Y\in \mathcal B_y\colon Y\subset V. \]
Niech \(y\in V\). Z definicji \(V\) wynika, że istnieje \(W\in \mathcal B_y\) taki, że \(W\subset U\). Z (1.7)
\[ \exists Y\in B_y\ \forall z\in Y\ \exists Z\in \mathcal B_z\colon Z\subset W\subset U. \]
Ponieważ \(W\subset U\), dla każdego \(z\in Y\) istnieje \(Z\in \mathcal B_z\) taki, że \(Z\subset U\), co oznacza, że \(Y\subset V\). □
Dowód. Jeżeli \(U\in \mathcal T\) to \(U\) jest otoczeniem każdego swojego punktu, więc \(U\in \mathcal T(\mathcal B)\). Na odwrót, jeżeli \(U\in \mathcal T(\mathcal B)\) to dla wszystkich \(x\in U\) istnieją \(V_x\in \mathcal B_x\) takie, że \(V_x\subset U\). Ponieważ \(V_x\) są otoczeniami, istnieją zbiory otwarte \(W_x\) takie, że \(x\in W_x\subset V_x\). Stąd
\[ U=\bigcup _{x\in U} W_x \]
jest otwarty. □
Dowód. Z Twierdzenia 1.4 wynika, że jeżeli \(U\in \mathcal T_2\) to dla \(x\in U\) istnieje \(V_{2x}\in \mathcal B_{2x}\) taki, że \(V_{2x}\subset U\). Z założenia istnieje \(V_{1x}\in \mathcal B_{1x}\) taki, że
\[ V_{1x}\subset V_{2x}\subset U, \]
więc \(U\in \mathcal T(\mathcal B_1)=\mathcal T_1\). □
Niech \(X\) będzie zbiorem. \(\mathcal A\subset 2^X\) nazywa się pokryciem \(X\) gdy \(X=\bigcup \mathcal A\). Pokrycie \(\mathcal A\) przestrzeni topologicznej jest otwarte (względnie domknięte) gdy wszystkie zbiory w \(\mathcal A\) są otwarte (odpowiednio, domknięte). Przestrzeń topologiczna nazywa się przestrzenią Lindelöfa gdy z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać pokrycie przeliczalne. Przestrzeń topologiczna spełnia I aksjomat przeliczalności gdy każdy jej punkt ma przeliczalną bazę otoczeń, a spełnia II aksjomat przeliczalności gdy posiada przeliczalną bazę topologii. Oczywiście spełnianie II aksjomatu przeliczalności implikuje spełnianie I aksjomatu.
\(\{U_n\}\) z tezy Uwagi 1.9 nazywa się zstępującą bazą otoczeń \(x\).
Dowód. Niech \(\{U_i\colon i\in \mathbb N\}\) będzie bazą topologii przestrzeni \(X\) i niech \(\mathcal G\) będzie pokryciem otwartym \(X\). Niech \(\{U_{i_j}\}\) będzie podciągiem złożonym z takich zbiorów, że dla każdego \(j\in \mathbb N\) istnieje \(G_j\in \mathcal G\) taki, że
\[ U_{i_j}\subset G_j. \]
Wtedy \(\{G_j\}_{j\in \mathbb N}\) jest pokryciem \(X\), bo jeżeli \(x\in X\) to \(x\in G\) dla pewnego \(G\in \mathcal G\), więc istnieje \(k\in \mathbb N\) taki, że
\[ x\in U_k\subset G, \]
a stąd wynika, że \(k=i_j\) dla pewnego \(j\in \mathbb N\), więc \(x\in G_j\). □
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną i niech \(A\subset X\). \(A\) jest gęsty w \(X\) gdy \(\overline {A}=X\).
\(X\) nazywa się przestrzenią ośrodkową jeżeli zawiera podzbiór przeliczalny gęsty.
Dowód. Niech \(\{U_i\colon i\in \mathbb N\}\) będzie bazą topologii; można założyć, że składa się ze zbiorów niepustych. Niech \(x_i\in U_i\). Wtedy zbiór \(\{x_i\colon i\in \mathbb N\}\) jest gęsty na podstawie Uwagi 1.10. □
Dla przestrzeni metrycznej \((X,\rho )\) rodziny kul
\[ \{U(x,r)\colon r>0\}_{x\in X},\quad \{D(x,r)\colon r> 0\}_{x\in X} \]
(kula otwarta \(U(x,r)\) i kula domknięta \(D(x,r)\) są zdefiniowane w Podrozdziale 0.6) spełniają warunki (1.4) – (1.7) i wyznaczają tę samą topologię \(\mathcal T_\rho \) na \(X\). Nazywa się topologią metryczną. W tej topologii \(U(x,r)\) jest zbiorem otwartym, a \(D(x,r)\) zbiorem domkniętym.
Przykład 1.2. Topologia \(\mathbb R\) wyznaczona przez metrykę \((x,y)\to |x-y|\) jest oczywiście równa topologii wyznaczonej przez porządek (Podrozdział 1.5).
Przestrzeń topologiczna \((X,\mathcal T)\) nazywa się przestrzenią metryzowalną gdy istnieje metryka \(\rho \) zgodna z \(\mathcal T\), to znaczy
\[ \mathcal T=\mathcal T_\rho . \]
Przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności.
Dowód. Ustalamy metrykę zgodną z topologią w \(X\); \(U(x,r)\) oznacza kulę otwartą o środku \(x\) i promieniu \(r\) w tej metryce.
(a) \(\Rightarrow \) (b). Niech \(\{x_i\colon i=1,2,\ldots \}\) będzie przeliczalnym gęstym podzbiorem \(X\). Wystarczy udowodnić, że \(\{U(x_i,q)\colon i=1,2,\ldots ,\ 0<q\in \mathbb Q\} \) jest bazą topologii. Niech \(G\) będzie otwartym podzbiorem \(X\) i niech \(x\in G\). Istnieje \(r\in \mathbb Q\) takie, że \(U(x,r)\subset G\). Niech \(i\) będzie takie, że \(x_i\in U(x,r/2)\). Wtedy
\[ x\in U(x_i,r/2)\subset U(x,r)\subset G. \]
(b) \(\Rightarrow \) (c) wynika z Twierdzenia 1.6.
(c) \(\Rightarrow \) (a). Niech \(n=1,2,\ldots \). Z pokrycia otwartego \(\{U(x,1/n)\colon x\in X\}\) można wybrać pokrycie przeliczalne \(\{U(x^n_i,1/n)\colon i=1,2,\ldots \}\). Wtedy zbiór
\[ \{x^n_i\colon i,n=1,2,\ldots \} \]
jest przeliczalny i gęsty w \(X\) bo jeżeli \(G\) jest otwarty i \(x\in G\) jest takim punktem, że \(U(x,1/n)\subset G\) to istnieje \(i=1,2,\ldots \) taki, że \(x\in U(x^n_i,1/n)\), więc
\[ x^n_i\in U(x,\tfrac {1}{n})\subset G.\qedhere \]
□