Wykłady z topologii

Rozdział 1 Topologia, zbiory otwarte i domknięte, otoczenia, pokrycia

1.1 Topologia, zbiory otwarte

Niech $X$ będzie zbiorem i niech $\mathcal T\subset 2^X$. $\mathcal T$ nazywa się topologią na $X$ gdy

(I) $X\in \mathcal T$,
(II) jeżeli $\mathcal U\subset \mathcal T$ to $\bigcup \mathcal U\in \mathcal T$,
(III) jeżeli $U, V\in \mathcal T$ to $U\cap V\in \mathcal T$.

Elementy topologii nazywają się zbiorami otwartymi.

W szczególności, $\emptyset \in \mathcal T$ i $\bigcap \mathcal U\in \mathcal T$ dla każdej skończonej rodziny $\mathcal U\subset \mathcal T$. Ponadto $2^X$ oraz $\{\emptyset , X\}$ są topologiami na $X$; nazywają się, odpowiednio, topologią dyskretną i topologią antydyskretną na $X$. Niech $\mathcal T_1$ i $\mathcal T_2$ będą topologiami na $X$. $\mathcal T_1$ jest mocniejsza niż $\mathcal T_2$ gdy $\mathcal T_1\supset \mathcal T_2$. Stąd $2^X$ jest najmocniejszą, a $\{\emptyset ,X\}$ jest najsłabszą topologią na $X$.

Para $(X,\mathcal T)$, gdzie $\mathcal T$ jest topologią na $X$, nazywa się przestrzenią topologiczną. Przestrzenią topologiczną nazywa się także sam zbiór $X$, o ile z kontekstu wynika jednoznacznie wybór wyróżnionej topologii.

1.2 Zbiory domknięte, domknięcie, wnętrze, brzeg, punkty skupienia

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną i $F\subset X$. $F$ nazywa się zbiorem domkniętym gdy $X\setminus F$ jest otwarty. Zbiór, który jest jednocześnie domkniętym i otwartym nazywa się domknięto-otwarty.

Uwaga 1.1.
- (a) $X$ i $\emptyset $ są domknięte,
- (b) Jeżeli $\mathcal F\subset 2^X$ składa się ze zbiorów domkniętych to $\bigcap \mathcal F$ jest domknięty,
- (c) Jeżeli $F_1,\ldots ,F_k$ są domknięte to $\bigcup _{i=1}^k F_i$ jest domknięty. □

Niech $A\subset X$.

\begin{align*} \overline {A}&:=\bigcap \{F\subset X\colon \text { $F$ domkniÄŹty},\ F\supset A\}, \\ {\rm int}\,A&:=\bigcup \{U\subset X\colon \text { $U$ otwarty},\ U\subset A\}, \\ \partial A&:=\overline {A}\setminus {\rm int}\,A \end{align*} nazywają się, odpowiednio, domknięciem, wnętrzem i brzegiem zbioru $A$.

Uwaga 1.2. $x\in {\rm int}\,A$ wtedy i tyko wtedy gdy istnieje zbiór otwarty $U$ taki, że

\[ x\in U\subset A. \tag *{\qed } \]

Uwaga 1.3 (Własności domknięcia i wnętrza).
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} &\overline {\emptyset }=\emptyset ,\ \overline {X}=X, && {\rm int}\,\emptyset =\emptyset ,\ {\rm int}\,X=X. \end{align*} Jeżeli $A\subset X$ to
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} &\overline {A}\ \text {jest domkniÄŹty,}&& {\rm int}\,A\‚\text {jest otwarty,} \\ &A\subset \overline {A}, & &{\rm int}\,A\subset A, \\ &A\ \text {domkniÄŹty}\ \Longleftrightarrow A=\overline {A},& & A\ \text {otwarty}\ \Longleftrightarrow A={\rm int}\,A, \\ &\overline {\overline {A}}=\overline {A}, && {\rm int}({\rm int}\,A)={\rm int}\,A, \\ & \setminus \overline {A}={\rm int}(\setminus A),&& \setminus {\rm int}\,A=\overline {\setminus A}. \end{align*} Jeżeli $A\subset B\subset X$ to
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} &\overline {A}\subset \overline {B}, && {\rm int}\,A\subset {\rm int}\,B. \end{align*} Jeżeli $A,B\subset X$ to
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} &\overline {A\cap B}\subset \overline {A}\cap \overline {B}, && {\rm int}(A\cup B)\supset {\rm int}\,A\cup {\rm int}\,B, \\ &\overline {A\cup B}=\overline {A}\cup \overline {B}, && {\rm int}(A\cap B)={\rm int}\,A\cap {\rm int}\,B. \tag *{\qed } \end{align*}

$x\in X$ nazywa się punktem skupienia $A$ gdy $x\in \overline {A\setminus \{x\}}$. Zbiór punktów skupienia $A$ oznacza się $A'$. Elementy zbioru $A\setminus A'$ nazywa się punktami izolowanymi w $A$.

1.3 Baza topologii

Niech $(X,\mathcal T)$ będzie przestrzenią topologiczną i $\mathcal U\subset \mathcal T$. $\mathcal U$ nazywa się bazą topologii $\mathcal T$ (lub bazą zbiorów otwartych $\mathcal T$) gdy

\[ \forall V\in \mathcal T\ \exists \mathcal V\subset \mathcal U\colon V=\bigcup \mathcal V, \]

co jest równoważne warunkowi

\[ \forall V\in \mathcal T\ \forall x\in V\ \exists U\in \mathcal U\colon x\in U\subset V. \]

W szczególności, $\{\{x\}\colon x\in X\}$ jest bazą topologii dyskretnej $2^X$.

Niech $\mathcal P\subset \mathcal T$. $\mathcal P$ nazywa się podbazą topologii $\mathcal T$ gdy

\[ \mathcal U(\mathcal P):=\left \{\bigcap \mathcal W\colon \mathcal W\subset \mathcal P,\‚\#\mathcal W< \infty \right \} \]

jest bazą $\mathcal T$. $\mathcal P$ jest więc podbazą $\mathcal T$ jeżeli

\[ \forall V\in \mathcal T\ \forall x\in V\ \exists W_1,\ldots , W_k\in \mathcal P\colon x\in \bigcap _{i=1}^k W_i\subset V. \]

Uwaga 1.4 (Własności bazy topologii).
- (a) Jeżeli $\mathcal U$ jest podbazą topologii to
  $\seteqnumber{0}{1.}{0}$
  \begin{equation} \label {eq:podbaza} \forall x\in X\ \exists U\in \mathcal U\colon x\in U. \end{equation}
- (b) Baza topologii $\mathcal U$ spełnia (1.1) i
  $\seteqnumber{0}{1.}{1}$
  \begin{equation} \label {eq:baza} \forall U_1,U_2\in \mathcal U\ \forall x\in U_1\cap U_2\ \exists U\in \mathcal U\colon x\in U\subset U_1\cap U_2. \end{equation}
  
  □

Uwaga 1.5. Jeżeli $\mathcal U_i$ jest bazą topologii $\mathcal T_i$, $i=1,2$, i

\[ \forall U\in \mathcal U_1\ \forall x\in U\ \exists V\in \mathcal U_2\colon x\in V\subset U \]

to $\mathcal T_1\subset \mathcal T_2$. □

1.4 Wprowadzanie topologii przez bazę zbiorów otwartych

Niech $X$ będzie zbiorem i $\mathcal U\subset 2^X$.

Twierdzenie 1.1. Jeżeli $\mathcal U$ spełnia (1.1),(1.2) to

\[ \mathcal T(\mathcal U):=\left \{ \bigcup \mathcal V\colon \mathcal V\subset \mathcal U\right \}. \]

jest topologią na $X$ i $\mathcal U$ jest bazą $\mathcal T(\mathcal U)$.

Dowód. (1.1) implikuje (I), a warunek (II) wynika bezpośrednio z definicji. Niech $V_1,V_2\in \mathcal T(\mathcal U)$. Można założyć, że $V_1\cap V_2\neq \emptyset $. Niech $x\in V_1\cap V_2$. Istnieją $U_{xi}\in \mathcal U$, $i=1,2$ takie, że

\[ x\in U_{xi}\subset V_i \]

Z (1.2) wynika istnienie $U_x\in \mathcal U$ takiego, że

\[ x\in U_x\subset U_{x1}\cap U_{x2}\subset V_1\cap V_2. \]

Stąd

\[ V_1\cap V_2=\bigcup _{x\in V_1\cap V_2} U_x\in \mathcal T(\mathcal U), \]

co kończy dowód (III). □

Wniosek 1.1. Jeżeli $\mathcal P$ spełnia (1.1) to $\mathcal T(\mathcal U(\mathcal P))$ jest topologią na $X$ i $\mathcal P$ jest podbazą $\mathcal T(\mathcal U(\mathcal P))$. □

Uwaga 1.6 (Warunek zgodności). Jeżeli $\mathcal T$ jest topologią i $\mathcal U$ jest bazą $\mathcal T$ to

\[ \mathcal T=\mathcal T(\mathcal U). \pushQED {\qed } \qedhere \popQED \]

1.5 Topologia porządkowa; topologia R

Jeżeli $\geq $ jest liniowym porządkiem na zbiorze $X$ to przedziały otwarte oraz, o ile $X$ ma element najmniejszy $m$ lub największy $M$, przedziały postaci $[m,a)$ i $(a,M]$ tworzą bazę zbiorów otwartych topologii porządkowej na $X$.

$\mathbb R$ jest przestrzenią topologiczną z topologią porządkową. W szczególności, rodzina wszystkich przedziałów otwartych jest bazą topologii $\mathbb R$. Rodziny przedziałów $\{(a,b)\colon a,b\in \mathbb Q,\ a<b\}$ i $\{(\tfrac {k}{2^m}-\tfrac {1}{n}, \tfrac {k}{2^m}+\tfrac {1}{n}\colon k,m\in \mathbb Z,\ n=1,2,\ldots \}$ są przeliczalnymi bazami topologii $\mathbb R$.

1.6 Otoczenia punktu

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną i niech $x\in X$. Podzbiór $U\subset X$ nazywa się otoczeniem $x$ gdy istnieje zbiór otwarty $V$ w $X$ taki, że $x\in V\subset U$.

Niech $A\subset X$.

Uwaga 1.7.
- (a) $x\in {\rm int}\,A$ wtedy i tylko wtedy gdy istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ takie, że
  
  \[ U\subset A. \]
- (b) $x\in \overline {A}$ wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego otoczenia $U$ punktu $x$,
  $\seteqnumber{0}{1.}{2}$
  \begin{equation} \label {eq:uca} U\cap A\neq \emptyset . \end{equation}

Dowód. (a) wynika z Uwagi 1.2. (b) jest konsekwencją równoważności poniższych zdań:
$\seteqnumber{0}{1.}{3}$
\begin{align*} &\forall U\ \text {otwartego}\colon x\in U \Rightarrow U\cap A\neq \emptyset , \\ &\forall F\ \text {domkniÄŹtego}\colon x\in X \setminus F\Rightarrow (X \setminus F)\cap A\neq \emptyset , \\ &\forall F\ \text {domkniÄŹtego}\colon A\subset F \Rightarrow x\in F.\qedhere \end{align*}

1.7 Baza otoczeń

Niech $(X,\mathcal T)$ będzie przestrzenią topologiczną i niech $x\in X$. Rodzina wszystkich otoczeń $x$ w $\mathcal T$ nazywa się filtrem otoczeń $x$ i jest oznaczana $\mathcal T(x)$.

Niech $\mathcal B_x\subset \mathcal T(x)$. $\mathcal B_x$ nazywa się bazą otoczeń $x$ gdy $\mathcal B_x\succ \mathcal T(x)$ (relacja $\succ $ jest zdefiniowana w Podrozdziale 0.1). W szczególności, baza topologii $\mathcal U$ wyznacza bazę otoczeń $\{U\in \mathcal U\colon x\in U\}$ punktu $x$.

Natychmiastową konsekwencją Uwagi 1.7 (b) jest

Uwaga 1.8. Jeżeli $A\subset X$ to następujące warunki są równoważne:
- (a) $x\in \overline {A}$,
- (b) istnieje baza otoczeń $\mathcal B_x$ punktu $x$ taka, że (1.3) dla każdego $U\in B_x$,
- (c) dla dowolnej bazy otoczeń $\mathcal B_x$ punktu $x$ i dla każdego $U\in B_x$ spełniony jest warunek (1.3). □

Rodzina $\{\mathcal B_x\}_{x\in X}$, gdzie $\mathcal B_x$ jest bazą otoczeń $x\in X$, nazywa się bazą otoczeń w $\mathcal T$.

Twierdzenie 1.2 (Własności bazy otoczeń). Niech $\{\mathcal B_x\}_{x\in X}$ będzie bazą otoczeń w $\mathcal T$. Wtedy dla każdego $x\in X$
$\seteqnumber{0}{1.}{3}$
\begin{gather} \label {eq:b1} \mathcal B_x\neq \emptyset , \\ \label {eq:b2} \forall U\in \mathcal B_x\colon x\in U, \\ \label {eq:b3} \forall U_1,U_2\in \mathcal B_x\ \exists U\in \mathcal B_x\colon U\subset U_1\cap U_2, \\ \label {eq:b4} \forall U\in \mathcal B_x\ \exists V\in \mathcal B_x\ \forall y\in V\‚\exists W\in \mathcal B_y\colon W\subset U. \end{gather}

Dowód. (1.4) i (1.5) wynikają bezpośrednio z definicji. Niech $U_1,U_2\in \mathcal B_x$. Wtedy istnieją $V_1,V_2\in \mathcal T$ takie, że $x\in V_i\subset U_i$ dla $i=1,2$. Ponieważ $x\in V_1\cap V_2\in \mathcal T$, istnieje $U\in \mathcal B_x$ taki, że

\[ x\in U\subset V_1\cap V_2\subset U_1\cap U_2, \]

więc (1.6). Niech teraz $U\in \mathcal B_x$. Istnieje $U'\in \mathcal T$ taki, że $x\in U'\subset U$ i istnieje $V\in \mathcal B_x$ taki, że $V\subset U'$. Niech $y\in V$. Wtedy istnieje $W\in \mathcal B_y$ taki, że $W\subset U'\subset U$, skąd (1.7). □

1.8 Wprowadzanie topologii przez bazę otoczeń

Niech $X\neq \emptyset $, $\mathcal B_x\subset 2^X$ dla $x\in X$ i niech

\begin{align*} \mathcal B&:= \{\mathcal B_x\}_{x\in X}, \\ \mathcal T(\mathcal B)&:= \{U\subset X\colon \forall x\in U\ \exists V\in \mathcal B_x\colon V\subset U\}. \end{align*}

Twierdzenie 1.3. Jeżeli $\mathcal B$ spełnia (1.4)–(1.7) to
- (a) $\mathcal T(\mathcal B)$ jest topologią na $X$,
- (b) $\mathcal B_x$ jest bazą otoczeń $x$ w $\mathcal T(\mathcal B)$ dla każdego $x\in X$.

Dowód.

Ad (a). (I) i (II) wynikają z (1.4) i (1.5). Niech $V_1,V_2\in \mathcal T(\mathcal B)$. Można założyć, że $x\in V_1\cap V_2$. Istnieją $U_i\in \mathcal B_x$ takie, że $U_i\subset V_i$, $i=1,2$. Z (1.6) istnieje $U\in \mathcal B_x$ taki, że

\[ U\subset U_1\cap U_2\subset V_1\cap V_2, \]

więc (III).

Ad (b). Niech $x\in X$. Jeżeli $U\in \mathcal T(\mathcal B)(x)$ to istnieje $V\in \mathcal B_x$ taki, że $V\subset U$ więc $\mathcal B_x\succ \mathcal T(\mathcal B)(x)$. Trzeba więc udowodnić, że $\mathcal B_x\subset \mathcal T(\mathcal B)(x)$. Niech $U\in \mathcal B_x$.

\[ V:=\{y\in U\colon \exists W\in \mathcal B_y\colon W\subset U\}. \]

Oczywiście $x\in V\subset U$. Wystarczy wykazać, że $V\in \mathcal T(\mathcal B)$; to znaczy

\[ \forall y\in V\ \exists Y\in \mathcal B_y\colon Y\subset V. \]

Niech $y\in V$. Z definicji $V$ wynika, że istnieje $W\in \mathcal B_y$ taki, że $W\subset U$. Z (1.7)

\[ \exists Y\in B_y\ \forall z\in Y\ \exists Z\in \mathcal B_z\colon Z\subset W\subset U. \]

Ponieważ $W\subset U$, dla każdego $z\in Y$ istnieje $Z\in \mathcal B_z$ taki, że $Z\subset U$, co oznacza, że $Y\subset V$. □

Twierdzenie 1.4 (Warunek zgodności). Jeżeli $\mathcal T$ jest topologią na $X$, $\mathcal B$ jest bazą otoczeń w $\mathcal T$ to $\mathcal T=\mathcal T(\mathcal B)$.

Dowód. Jeżeli $U\in \mathcal T$ to $U$ jest otoczeniem każdego swojego punktu, więc $U\in \mathcal T(\mathcal B)$. Na odwrót, jeżeli $U\in \mathcal T(\mathcal B)$ to dla wszystkich $x\in U$ istnieją $V_x\in \mathcal B_x$ takie, że $V_x\subset U$. Ponieważ $V_x$ są otoczeniami, istnieją zbiory otwarte $W_x$ takie, że $x\in W_x\subset V_x$. Stąd

\[ U=\bigcup _{x\in U} W_x \]

jest otwarty. □

Twierdzenie 1.5. Niech dla $i=1,2$, $\mathcal T_i$ będą topologiami na $X$ mającymi bazy otoczeń $\mathcal B_i$. Jeżeli

\[ \forall x\in X: \mathcal B_{1x}\succ \mathcal B_{2x} \]

to $\mathcal T_1\supset \mathcal T_2$.

Dowód. Z Twierdzenia 1.4 wynika, że jeżeli $U\in \mathcal T_2$ to dla $x\in U$ istnieje $V_{2x}\in \mathcal B_{2x}$ taki, że $V_{2x}\subset U$. Z założenia istnieje $V_{1x}\in \mathcal B_{1x}$ taki, że

\[ V_{1x}\subset V_{2x}\subset U, \]

więc $U\in \mathcal T(\mathcal B_1)=\mathcal T_1$. □

1.9 Pokrycia, aksjomaty przeliczalności, gęstość

Niech $X$ będzie zbiorem. $\mathcal A\subset 2^X$ nazywa się pokryciem $X$ gdy $X=\bigcup \mathcal A$. Pokrycie $\mathcal A$ przestrzeni topologicznej jest otwarte (względnie domknięte) gdy wszystkie zbiory w $\mathcal A$ są otwarte (odpowiednio, domknięte). Przestrzeń topologiczna nazywa się przestrzenią Lindelöfa gdy z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać pokrycie przeliczalne. Przestrzeń topologiczna spełnia I aksjomat przeliczalności gdy każdy jej punkt ma przeliczalną bazę otoczeń, a spełnia II aksjomat przeliczalności gdy posiada przeliczalną bazę topologii. Oczywiście spełnianie II aksjomatu przeliczalności implikuje spełnianie I aksjomatu.

Uwaga 1.9. Jeżeli $X$ spełnia I aksjomat przeliczalności to dla każdego $x\in X$ istnieje $\{U_n\colon n\in \mathbb N\}$, baza otoczeń $x$ taka, że

\[ U_{n+1}\subset U_n \]

dla każdego $n$. □

$\{U_n\}$ z tezy Uwagi 1.9 nazywa się zstępującą bazą otoczeń $x$.

Twierdzenie 1.6 (Lindelöfa). Przestrzeń spełniająca II aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Lindelöfa.

Dowód. Niech $\{U_i\colon i\in \mathbb N\}$ będzie bazą topologii przestrzeni $X$ i niech $\mathcal G$ będzie pokryciem otwartym $X$. Niech $\{U_{i_j}\}$ będzie podciągiem złożonym z takich zbiorów, że dla każdego $j\in \mathbb N$ istnieje $G_j\in \mathcal G$ taki, że

\[ U_{i_j}\subset G_j. \]

Wtedy $\{G_j\}_{j\in \mathbb N}$ jest pokryciem $X$, bo jeżeli $x\in X$ to $x\in G$ dla pewnego $G\in \mathcal G$, więc istnieje $k\in \mathbb N$ taki, że

\[ x\in U_k\subset G, \]

a stąd wynika, że $k=i_j$ dla pewnego $j\in \mathbb N$, więc $x\in G_j$. □

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną i niech $A\subset X$. $A$ jest gęsty w $X$ gdy $\overline {A}=X$.

Uwaga 1.10. $A\subset X$ jest gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy $A\cap U\neq \emptyset $ dla każdego otwartego $U$ w $X$. □

$X$ nazywa się przestrzenią ośrodkową jeżeli zawiera podzbiór przeliczalny gęsty.

Uwaga 1.11. Przestrzeń spełniająca II aksjomat przeliczalności jest ośrodkowa.

Dowód. Niech $\{U_i\colon i\in \mathbb N\}$ będzie bazą topologii; można założyć, że składa się ze zbiorów niepustych. Niech $x_i\in U_i$. Wtedy zbiór $\{x_i\colon i\in \mathbb N\}$ jest gęsty na podstawie Uwagi 1.10. □

Przykład 1.1. $\mathbb R$ spełnia II aksjomat przeliczalności.

1.10 Topologia metryczna i przestrzenie metryzowalne

Dla przestrzeni metrycznej $(X,\rho )$ rodziny kul

\[ \{U(x,r)\colon r>0\}_{x\in X},\quad \{D(x,r)\colon r> 0\}_{x\in X} \]

(kula otwarta $U(x,r)$ i kula domknięta $D(x,r)$ są zdefiniowane w Podrozdziale 0.6) spełniają warunki (1.4) – (1.7) i wyznaczają tę samą topologię $\mathcal T_\rho $ na $X$. Nazywa się topologią metryczną. W tej topologii $U(x,r)$ jest zbiorem otwartym, a $D(x,r)$ zbiorem domkniętym.

Przykład 1.2. Topologia $\mathbb R$ wyznaczona przez metrykę $(x,y)\to |x-y|$ jest oczywiście równa topologii wyznaczonej przez porządek (Podrozdział 1.5).

Przestrzeń topologiczna $(X,\mathcal T)$ nazywa się przestrzenią metryzowalną gdy istnieje metryka $\rho $ zgodna z $\mathcal T$, to znaczy

\[ \mathcal T=\mathcal T_\rho . \]

Przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności.

Twierdzenie 1.7. Jeżeli $X$ jest przestrzenią metryzowalną to następujące warunki są równoważne:
- (a) $X$ jest ośrodkowa,
- (b) $X$ spełnia II aksjomat przeliczalności,
- (c) $X$ jest przestrzenią Lindelöfa.

Dowód. Ustalamy metrykę zgodną z topologią w $X$; $U(x,r)$ oznacza kulę otwartą o środku $x$ i promieniu $r$ w tej metryce.

(a) $\Rightarrow $ (b). Niech $\{x_i\colon i=1,2,\ldots \}$ będzie przeliczalnym gęstym podzbiorem $X$. Wystarczy udowodnić, że $\{U(x_i,q)\colon i=1,2,\ldots ,\ 0<q\in \mathbb Q\} $ jest bazą topologii. Niech $G$ będzie otwartym podzbiorem $X$ i niech $x\in G$. Istnieje $r\in \mathbb Q$ takie, że $U(x,r)\subset G$. Niech $i$ będzie takie, że $x_i\in U(x,r/2)$. Wtedy

\[ x\in U(x_i,r/2)\subset U(x,r)\subset G. \]

(b) $\Rightarrow $ (c) wynika z Twierdzenia 1.6.

(c) $\Rightarrow $ (a). Niech $n=1,2,\ldots $. Z pokrycia otwartego $\{U(x,1/n)\colon x\in X\}$ można wybrać pokrycie przeliczalne $\{U(x^n_i,1/n)\colon i=1,2,\ldots \}$. Wtedy zbiór

\[ \{x^n_i\colon i,n=1,2,\ldots \} \]

jest przeliczalny i gęsty w $X$ bo jeżeli $G$ jest otwarty i $x\in G$ jest takim punktem, że $U(x,1/n)\subset G$ to istnieje $i=1,2,\ldots $ taki, że $x\in U(x^n_i,1/n)$, więc

\[ x^n_i\in U(x,\tfrac {1}{n})\subset G.\qedhere \]

□