Niech \(X\) i \(Y\) będą przestrzeniami topologicznymi, \(A\subset X\), a \(f_0,f_1\colon X\to Y\) odwzorowaniami ciągłymi takimi, że \(f_0|_A=f_1|_A\). Ciągłe odwzorowanie \(F\colon X\times I\to Y\) nazywa się homotopią łączącą \(f_0\) z \(f_1\) względem \(A\) (zapis: \(f_0\underset {F}{\simeq } f_1\, {\rm rel}\, A\)) jeżeli \(F(\cdot ,0)=f_0\), \(F(\cdot ,1)=f_1\) i \(F(a,t)=f_0(a)\) dla wszystkich \(a\in A\) i \(t\in I\). Gdy \(A=\emptyset \), używamy zapisu \(f_0\underset {F}{\simeq } f_1\). Zapis \(f_0\simeq f_1\,{\rm rel}\,A\) oznacza \(f_0\underset {F}{\simeq }f_1\,{\rm rel}\,A\) dla pewnej homotopii \(F\).
Ciągłe odwzorowanie \(f\colon X\to Y\) nazywa się homotopijną równoważnością gdy istnieje ciągłe \(g\colon Y\to X\) takie, że
\[ g\circ f\simeq {\rm id}_X,\quad f\circ g\simeq {\rm id}_Y. \]
\(X\) i \(Y\) mają ten sam typ homotopii (zapis \(X\simeq Y\)) gdy istnieje homotopijna równoważność \(X\to Y\). Relacja \(\simeq \) jest równoważnością w klasie przestrzeni topologicznych. W szczególności, \(X\simeq X\times I\). Homeomorficzne przestrzenie mają ten sam typ homotopii. \(X\) nazywa się przestrzenią ściągalną gdy ma typ homotopii przestrzeni jednopunktowej.
Twierdzenie 16.1. Następujące warunki są równoważne:
(a) \(X\) jest ściągalna,
(b) istnieje \(x_0\in X\) taki, że \({\rm id}_X\simeq {\rm const}_{x_0}\),
(c) \(X\neq \emptyset \) i \({\rm id}_X\simeq {\rm const}_x\) dla każdego \(x\in X\),
(d) \(X\neq \emptyset \) i \(f_0\simeq f_1\) każdych dwóch odwzorowań ciągłych \(f_0,f_1\colon Z\to X\) i dla każdej przestrzeni topologicznej \(Z\).
Dowód. Implikacje \((d)\Rightarrow (c)\Rightarrow (b)\) są oczywiste.
\((a)\Rightarrow (d)\). Niech \(P\) będzie przestrzenią jednopunktową, \(f\colon X\to P\) i \(g\colon P\to X\) wzajemnie odwrotnymi homotopijnymi równoważnościami. Wtedy \({\rm id}_X\simeq {\rm const}_{g(P)}\), więc dla \(i=0,1\),
\[ f_i={\rm id}_X\circ f_i\simeq {\rm const}_{g(P)}\circ f_i={\rm const}_{g(P)}. \]
\((b)\Rightarrow (a)\). Inkluzja \(\{x_0\}\hookrightarrow X\) i \({\rm const}_{x_0}\) są wzajemnie odwrotnymi homotopijnymi równoważnościami. □
Przykładami przestrzeni ściągalnych są (niepuste) zbiory wypukłe w przestrzeniach liniowych topologicznych. Niech \(A\subset X\) i niech \(i\colon A\hookrightarrow X\) będzie inkluzją. Odwzorowanie \(r\colon X\to A\) nazywa się retrakcją deformacyjną gdy jest retrakcją (to znaczy \(r|_{A}={\rm id}_A\); definicja w Podrozdziale 3.9) i \(i\circ r\simeq {\rm id}_X\). Wtedy \(A\) nazywa się retraktem deformacyjnym. Gdy ponadto \(i\circ r\simeq {\rm id_X}\,{\rm rel}\,A\), \(r\) nazywa się retrakcją deformacyjną mocną, a \(A\) retraktem deformacyjnym mocnym. W szczególności \(I\) jest retraktem deformacyjnym mocnym \(\mathbb R\), a \(S^n\) jest retraktem deformacyjnym mocnym \(\mathbb R^{n+1}\setminus \{0\}\).
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną i niech
\[ \alpha _1,\ldots ,\alpha _n\colon I\to X \]
będą drogami, \(\alpha _i(1)=\alpha _{i+1}(0)\). Definiujemy łączenie dróg
\[ \alpha _1\ast \ldots \ast \alpha _n\colon I\to X \]
wzorem
\[ \alpha _1\ast \ldots \ast \alpha _n(t):=\alpha _i(nt-i+1),\‚\text {gdy $t\in \left [\frac {i-1}{n},\frac {i}{n}\right ]$}. \]
Dla \(n=2\) definicja pochodzi z Podrozdziału 4.2.
Uwaga 16.4. Jeżeli \(\alpha _i,\beta _i\) są drogami na \(X\), \(\alpha _i(1)=\alpha _{i+1}(0)\), \(\beta _{i}(1)=\beta _{i+1}(0)\) i \(\alpha _i\simeq \beta _i\,{\rm rel}\,\{0,1\}\) dla każdego \(i=1,\ldots ,n\) to
\[ \alpha _1\ast \ldots \ast \alpha _n \simeq \beta _1\ast \ldots \ast \beta _n\,{\rm rel}\,\{0,1\}. \pushQED {\qed } \qedhere \popQED \]
\begin{align*} 0&=s_0<s_1<\ldots <s_n=1, \\ 0&=t_0<t_1<\ldots <t_n=1. \end{align*} Wtedy \(\beta \simeq \gamma \,{\rm rel}\,\{0,1\}\), gdzie \(\beta ,\gamma \colon I\to X\) są określone wzorami
\(\seteqnumber{0}{16.}{0}\)\begin{align*} \beta (t)&:=\alpha _i\left (\frac {t-s_{i-1}}{s_i-s_{i-1}}\right ),\ \text {gdy $t\in [s_{i-1},s_i]$}, \\ \gamma (t)&:=\alpha _i\left (\frac {t-t_{i-1}}{t_i-t_{i-1}}\right ),\ \text {gdy $t\in [t_{i-1},t_i]$} \end{align*}
(W szczególności, \(\beta \simeq \alpha _1\ast \ldots \ast \alpha _n\simeq \gamma \,{\rm rel}\,\{0,1\}\).)
Dowód. \(\beta \underset {A}\simeq \gamma \,{\rm rel}\,\{0,1\}\), gdzie \(A\colon I\times I\to X\) jest zdefiniowane jako
\[ A(t,s):=\alpha _i\left (\frac {t-((1-s)s_{i-1}+st_{i-1})}{((1-s)s_i+st_i)-(1-s)s_{i-1}+st_{i-1})}\right ). \qedhere \]
□
Dowód. Wystarczy przyjąć \(s_1=\frac {1}{4}\), \(s_2=\frac {1}{2}\), \(t_1=\frac {1}{2}\), \(t_2=\frac {3}{4}\). □
Zakładamy, że \(\alpha \colon I\to X\) jest drogą łączącą \(x_0\) z \(x_1\), to znaczy \(\alpha (0)=x_0\) i \(\alpha (1)=x_1\). Niech \(\epsilon _{x}\colon I\to X\) oznacza drogę stałą w \(x\in X\).
Dowód. W pierwszym przypadku homotopią jest
\[ (t,s)\to \begin {cases} \alpha \left (\frac {2t}{s+1}\right ),&\ \text {gdy $t\in \left [0,\frac {s+1}{2}\right ]$}, \\ x_1,&\ \text {gdy $t\in \left [\frac {s+1}{2},1\right ]$}. \end {cases} \]
Drugą homotopię konstruuje się analogicznie. □
Droga \(\alpha ^{-1}\) jest zdefiniowana wzorem \(\alpha ^{-1}(t):=\alpha (1-t)\).
Dowód. Homotopią łączącą \(\epsilon _{x_0}\) z \(\alpha \ast \alpha ^{-1}\) jest
\[ (t,s)\to \begin {cases} \alpha (2ts),& \text {gdy $t\in \left [0,\frac {1}{2}\right ]$}, \\ \alpha (2s-2ts),& \text {gdy $t\in \left [\frac {1}{2},1\right ]$}; \end {cases} \]
druga homotopia jest analogiczna. □
Dla \(x_0\in X\) parę \((X,x_0)\) nazywa się przestrzenią z punktem bazowym. Droga \(\alpha \colon I\to X\) taka, że \(\alpha (0)=\alpha (1)=x_0\) nazywa się pętlą w \(x_0\). Przez \([\alpha ]\) oznaczamy klasę równoważności drogi \(\alpha \) w relacji \(\simeq \,{\rm rel}\,\{0,1\}\). Definiujemy
\[ \pi (X,x_0):=\{[\alpha ]\colon \alpha \text { jest pÄŹtlÄĚ w $x_0$}\} \]
i wprowadzamy działanie
\[ \pi (X,x_0)\times \pi (X,x_0)\ni ([\alpha ],[\beta ])\to [\alpha ]\cdot [\beta ]:= [\alpha \ast \beta ]\in \pi (X,x_0). \]
Poprawność jego określenia wynika z Uwagi 16.4. Z Wniosku 16.1 oraz z Lematów 16.2 i 16.3 wynika, że \(\pi (X,x_0)\) wraz z działaniem \(\cdot \) jest grupą. Nazywa się ją grupą podstawową lub pierwszą grupą homotopii. Elementem neutralnym jest \(e=[\epsilon _{x_0}]\), a elementem odwrotnym do \([\alpha ]\) jest \([\alpha ^{-1}]\).
Niech \(f\colon (X,x_0)\to (Y,y_0)\), to znaczy \(f\) jest ciągłym odwzorowaniem \(X\to Y\) takim, że \(f(x_0)=y_0\). Wtedy \(f\) indukuje homomorfizm
\[ \pi (f):=f_\ast \colon \pi (X,x_0)\ni [\alpha ]\to [f\circ \alpha ]\in \pi (X,x_0). \]
(a) \(g_\ast \circ f_\ast =(g\circ f)_\ast \).
(b) \(({\rm id}_X)_\ast ={\rm id}_{\pi (X,x_0)}\).
(c) Jeżeli \(f\) jest homeomorfizmem to \(f_\ast \) jest izomorfizmem.
(d) Jeżeli \(f_0\simeq f_1\,{\rm rel}\,\{x_0\}\) to \((f_0)_\ast =(f_1)_\ast \).
(e) Jeżeli \(i\colon A\hookrightarrow X\) jest inkluzją i \(r\colon X\to A\) jest retrakcją to \(i_\ast \) jest monomorfizmem, a \(r_\ast \) jest epimorfizmem.
(f ) Jeżeli ponadto \(r\colon X\to A\) jest retrakcją deformacyjną mocną to \(r_\ast \) i \(i_\ast \) są wzajemnie odwrotnymi izomorfizmami. □
Z (a) i (b) wynika, że \(\pi \) jest funktorem kowariantnym z kategorii przestrzeni topologicznych z punktem bazowym w kategorię grup.
Niech \(x_0,x_1\in X\) i niech \(\rho \colon I\to X\) łączy \(x_0\) z \(x_1\).
Na podstawie Wniosku 16.2 przyjmiemy następującą konwencję: gdy \(X\) jest przestrzenią łukowo spójną, jako \(\pi (X)\) będziemy zapisywać \(\pi (X,x_0)\) dla pewnego \(x_0\in X\). \(\pi (X)\) jest więc określone z dokładnością do izomorfizmu.
Dowód. Niech \(f_0\underset {F}{\simeq }f_1\), więc \(\rho =F(x_0,\cdot )\). Dla \(s\in I\) definiujemy \(f_s:=F(\cdot ,s)\) i \(\rho _s\colon I\to X\) wzorem
\[ \rho _s(t):=F(x_0,s+(1-s)t). \]
Wtedy dla \(s\in I\), \(\rho _s(0)=f_s(x_0)\), \(\rho _s(1)=f_1(x_0)\) i
\(\seteqnumber{0}{16.}{0}\)\begin{align*} \rho _\#\circ (f_0)_\ast ([\alpha ])&=[\rho ^{-1}\ast (f_0\circ \alpha )\ast \rho ]= [(\rho _s)^{-1}\ast (f_s\circ \alpha )\ast \rho _s] \\ &=[\epsilon _{f_1(x_0)}\ast (f_1\circ \alpha )\ast \epsilon _{f_1(x_0)}]=(f_1)_\ast ([\alpha ]). \qedhere \end{align*}
Dowód. Niech \(y_0,y_1\in Y\), niech \(\operatorname {id}_Y\underset {F}\simeq f\circ g\) dla pewnych funkcji ciągłych \(f\colon X\to Y\) i \(g\colon Y\to X\) i niech \(\alpha \colon I\to X\) będzie drogą łączącą \(g(y_0)\) z \(g(y_1)\). Definiujemy
\(\seteqnumber{0}{16.}{0}\)\begin{align*} \beta (t)&:=F(y_0,t), \\ \gamma (t)&:=F(y_1,1-t). \end{align*} Wtedy \(\beta \ast (f\circ \alpha )\ast \gamma \) jest drogą łączącą \(y_0\) z \(y_1\), więc \(Y\) jest łukowo spójna. Z Lematu 16.4 wynika, że diagram
jest przemienny, a stąd wynika, że \(g_\ast \) jest zarówno monomorfizmem jak i epimorfizmem. □
Niepusta przestrzeń topologiczna \(X\) nazywa się przestrzenią jednospójną gdy jest łukowo spójną i \(\pi (X)\) jest grupą trywialną. Z Twierdzenia 16.2 wynika, że przestrzeń ściągalna jest jednospójna.
Dowód.
\((\Leftarrow )\). Jeżeli \(\alpha \colon I\to X\) jest pętlą w \(x_0\) to \(\alpha \simeq \epsilon _{x_0}\operatorname {rel}\{0,1\}\).
\((\Rightarrow )\). Niech \(x_0:=\alpha (0)\) i \(x_1:=\alpha (1)\). Ponieważ \(\alpha *\beta ^{-1}\) jest pętlą w \(x_0\), \(\alpha *\beta ^{-1}\simeq \epsilon _{x_0}\,{\rm rel}\,\{0,1\}\), więc istnieje ciągła funkcja \(G\colon I\times I\to X\),
\[ G(0,s)=G(t,0)=G(t,1)=x_0,\quad G(1,s)=\begin {cases} \alpha (2s),& 0\leq s\leq \frac {1}{2}, \\ \beta (1-(2s-1)),& \frac {1}{2}\leq s\leq 1. \end {cases} \]
Wystarczy wykazać, że \(\epsilon _{x_0}\ast \alpha \simeq \epsilon _{x_0}\ast \beta \,{\rm rel}\,\{0,1\}\). Poszukiwaną homotopią jest
\[ H(t,s):=\begin {cases} G(2t,s),& 0\leq t\leq \frac {1}{2},\ 0\leq s\leq 1, \\ x_1,& \frac {1}{2}\leq t\leq 1,\ 1-t\leq s\leq t, \\ \alpha (2(t+s)-1),& \frac {1}{2}\leq t\leq 1,\ 0\leq s\leq 1-t, \\ \beta (2(1+t-s)-1),& \frac {1}{2}\leq t\leq 1,\ t\leq s\leq 1. \end {cases} \]
□
Dowód. Dla każdego \(x\in X\) istnieje \(\epsilon _x>0\) i \(U_x\in \mathcal U\) taki, że
\[ D(x,2\epsilon _x)\subset U_x. \]
Niech \(\{D(x_i,\epsilon _{x_i})\colon i=1,\ldots ,k\}\) będzie skończonym pokryciem \(X\) i niech \(\epsilon =\min _i\{\epsilon _{x_i}\}\). Jeżeli \(x\in X\) to \(x\in D(x_i,\epsilon _{x_i})\) dla pewnego \(i\), więc
\[ D(x,\epsilon )\subset D(x_i,\epsilon _{x_i}+\epsilon )\subset U_{x_i}.\qedhere \]
□
Dowód. Z Twierdzenia 4.2(a) wynika, że \(X\) jest łukowo spójna. Niech \(x_0\in \bigcap \mathcal U\) i niech \(\alpha \colon I\to X\) będzie pętlą w \(x_0\). Ponieważ \(\{\alpha ^{-1}(U)\colon U\in \mathcal U\}\) jest otwartym pokryciem \(I\), z Lematu 16.5 wynika istnienie \(n\in \mathbb N\) takiego, że jeżeli \(j=1,\ldots ,n\) to istnieje \(U_j\in \mathcal U\) dla którego
\[ \alpha \left (\left [\tfrac {j-1}{n},\tfrac {j}{n}\right ]\right )\subset U_j. \]
Niech
\[ \alpha _j\colon I\ni t\to \alpha (\tfrac {1}{n}t+\tfrac {j-1}{n})\in X, \]
a więc \(\alpha =\alpha _1\ast \ldots \ast \alpha _n\). Z założenia (c) dla \(j=1,\dots ,n-1\) istnieje droga \(\rho _j\colon I\to X\) taka, że
\[ \rho _j(0)=x_0,\quad \rho _j(1)=\alpha _j(1)=\alpha _{j+1}(0),\quad \rho _j(I)\subset U_j\cap U_{j+1}. \]
Z Lematów 16.1, 16.2 i 16.3 oraz z założenia (b) wynika, że
\(\seteqnumber{0}{16.}{0}\)\begin{align*} [\alpha ]&=[\alpha _1\ast \rho _1^{-1}\ast \rho _1\ast \alpha _2\ast \rho _2^{-1}\ast \ldots \ast \rho _{n-1}\ast \alpha _n] \\ &= [\alpha _1\ast \rho _1^{-1}]\cdot [\rho _1\ast \alpha _2\ast \rho _2^{-1}]\cdot \ldots \cdot [\rho _{n-1}\ast \alpha _n]=e.\qedhere \end{align*}
Wniosek 16.3. Sfera \(S^n\) jest jednospójna dla \(n\geq 2\). □
Niech \(X\) i \(E\) będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie \(p\colon E\to X\) nazywa się nakryciem gdy dla każdego \(x\in X\) istnieje otoczenie otwarte \(U\) (zwane otoczeniem prawidłowym) oraz \(\mathcal V\), rodzina otwartych i rozłącznych podzbiorów \(E\) taka, że
\[ p^{-1}(U)=\bigcup _{V\in \mathcal V}V \]
i dla wszystkich \(V\in \mathcal V\), \(p(V)=U\) oraz \(p|_V\colon V\to U\) jest homeomorfizmem. Każdy ze zbiorów \(V\in \mathcal V\) nazywa się wtedy płatem nad \(U\), \(X\) nazywa się przestrzenią bazową, a \(E\) przestrzenią nakrywającą. Oczywiście każde nakrycie jest surjekcją.
Przykład 16.2. Nakryciem jest odwzorowanie ilorazowe \(S^n\to P^n\), gdzie \(P^n:=S^n/\sim \) i \(x\sim y\) gdy \(x=y\) lub \(x=-y\). \(P^n\) nazywa się \(n\)-wymiarową przestrzenią rzutową. Z Twierdzenia 3.7 dla \(f\colon S^1\ni z\to z^2\in S^1\) wynika, że \(P^1\) jest homeomorficzna z \(S^1\).
Niech \(p\colon E\to X\) będzie nakryciem, \(Z\) będzie przestrzenią topologiczną, a \(f\colon Z\to X\) odwzorowaniem ciągłym. Ciągłe odwzorowanie \(F\colon Z\to E\) nazywa się podniesieniem \(f\) gdy \(p\circ F=f\).
Dowód. \(A:=\{z\in Z\colon F(z)=G(z)\}\). Ponieważ \(A\neq \emptyset \), wystarczy udowodnić, że \(A\) jest domknięto-otwarty. Otwartość \(A\): niech \(z_0\in A\), niech \(U\) będzie prawidłowym otoczeniem \(p\circ F(z_0)\) i niech \(V\) będzie płatem nad \(U\) takim, że \(F(z_0)\in V\). Wtedy \(W:=F^{-1}(V)\cap G^{-1}(V)\) jest otwartym otoczeniem \(z_0\). Jeżeli \(z\in W\) to \(F(z),G(z)\in V\). Ponieważ \(p(F(z))=p(G(z))\in U\) i \(p|_V\colon V\to U\) jest homeomorfizmem, \(F(z)=G(z)\), to znaczy \(W\subset A\). Otwartość \(\setminus A\): niech \(z_0\notin A\) i niech \(U\) będzie prawidłowym otoczeniem \(p\circ F(z_0)\) i niech \(V_1\) i \(V_2\) będą różnymi płatami nad \(U\) takimi, że \(F(z_0)\in V_1\) i \(G(z_0)\in V_2\). Podobnie jak w poprzednim przypadku dowodzi się, że \(F^{-1}(V_1)\cap G^{-1}(V_2)\subset \setminus A\). □
Niech \(x_0\in X\), \(e_0\in E\) i \(p(e_0)=x_0\).
Dowód. Jedyność podniesienia wynika z Twierdzenia 16.5. Niech \(\mathcal U\) będzie pokryciem \(X\) prawidłowymi otoczeniami. Z Lematu Lebesgue’a 16.5 wynika istnienie ciągu
\[ 0=t_0<t_1<\ldots <t_n=1 \]
takiego, że \(\alpha ([t_{i-1},t_i])\subset U_i\) dla pewnego \(U_i\in \mathcal U\). Niech \(V_1\) będzie płatem nad \(U_1\) takim, że \(e_0\in V_1\). Wtedy
\[ \widetilde {\alpha }|_{[0,t_1]}:=p|_{V_0}^{-1}\circ \alpha |_{[0,t_1]}. \]
Jeżeli \(\widetilde {\alpha }\) jest określone na \([0,t_k]\) i \(V_{k+1}\) jest płatem nad \(U_{k+1}\) takim, że \(\widetilde {\alpha }(t_k)\in V_{k+1}\) to definiujemy
\[ \widetilde {\alpha }|_{[t_k,t_{k+1}]}:=p|_{V_{k+1}}^{-1}\circ \alpha |_{[t_k,t_{k+1}]}. \qedhere \]
□
Dowód. Z Lematu 16.6 wynika, że \(\widetilde {A}\) jest jednoznacznie określone na zbiorze \(I\times \{0\}\cup \{0\}\times I\). Niech \(\mathcal U\) będzie pokryciem \(X\) prawidłowymi otoczeniami. Z Lematu Lebesgue’a wynika istnienie
\[ 0=t_0<t_1<\ldots <t_n=1,\quad 0=s_0<s_1<\ldots <s_m=1 \]
takich, że dla \((i,k)\in \{1,\ldots , n\}\times \{1,\ldots ,m\}\),
\[ A([t_{i-1},t_i]\times [s_{k-1},s_k])\subset U_{i,k} \]
dla pewnego \(U_{i,k}\in \mathcal U\). Niech \([0,0]:=\{0\}\). Prowadzimy indukcję względem porządku leksykograficznego: zakładamy, że \(\widetilde A\) jest zdefiniowane na
\[ J:=I\times \{0\}\cup [0,t_{i-1}]\times I\cup [t_{i-1},t_i]\times [0,s_{k-1}]. \]
Niech \(K:=J\cap [t_{i-1},t_i]\times [s_{k-1},s_k]\). Ponieważ \(K\) jest spójny, istnieje \(V\), płat nad \(U_{i,k}\) taki, że \(\widetilde {A}(K)\subset V\) i wtedy
\[ \widetilde A|_K=p|_V^{-1}\circ A|_K. \]
Definiujemy \(\widetilde A|_{[t_{i-1},t_i]\times [s_{k-1},s_k]}:=p|_V^{-1}\circ A|_{[t_{i-1},t_i]\times [s_{k-1},s_k]}\). □
Niech
\(\seteqnumber{0}{16.}{0}\)\begin{align*} &\alpha ,\beta \colon I\to X,&& \alpha (0)=\beta (0)=x_0, \\ &\widetilde {\alpha },\widetilde {\beta }\colon I\to E,&& \widetilde {\alpha }(0)= \widetilde {\beta }(0)=e_0, \\ &p\circ \widetilde {\alpha }=\alpha ,&& p\circ \widetilde {\beta }=\beta . \end{align*}
Dowód. Wystarczy udowodnić \((\Rightarrow )\). Niech \(\alpha \underset {A}\simeq \beta \operatorname {rel} \{0,1\}\); w szczególności \(A(0,0)=x_0\). Z Lematu 16.7 wynika istnienie \(\widetilde A\) takiego, że \(\widetilde A(0,0)=e_0\) i \(p\circ \widetilde A=A\). Z Twierdzenia o jednoznaczności podniesienia 16.5,
\(\seteqnumber{0}{16.}{0}\)\begin{align*} &\widetilde A(t,0)=\widetilde \alpha (t),&& \widetilde A(t,1)=\widetilde \beta (t), \\ & \widetilde A(0,s)=e_0,&& \widetilde A(1,s)=\widetilde \alpha (1).\qedhere \end{align*}
Dowód. Niech \([\alpha ]\in \pi (E,e_0)\) i \(p_\ast ([\alpha ])=e\). Wtedy \(p\circ \alpha \simeq \epsilon _{x_0}\operatorname {rel}\{0,1\}\), więc \(\alpha \simeq \epsilon _{e_0}\operatorname {rel}\{0,1\}\). □
Dowód. Niech \(z\in Z\). Istnieje droga \(\alpha \colon I\to Z\) taka, że \(\alpha (0)=z_0\) i \(\alpha (1)=z\) (bo przestrzeń jednospójna jest łukowo spójna). Na podstawie Lematu 16.6 definiujemy
\[ \widetilde f(z):=\widetilde {f\circ \alpha }(1),\‚\text {gdzie $p\circ \widetilde {f\circ \alpha }=f\circ \alpha $, $\widetilde {f\circ \alpha }(0)=e_0$}; \]
wtedy \(p\circ \widetilde f=f\), o ile wykażemy niezależność określenia \(\widetilde f(z)\) od wyboru \(\alpha \). Niech \(\beta \colon I\to Z\) będzie inną drogą taką, że \(\beta (0)=z_0\) i \(\beta (1)=z\). Z Twierdzenia 16.3 wynika, że \(\alpha \simeq \beta \operatorname {rel}\{0,1\}\), więc \(\widetilde {f\circ \alpha }(1)=\widetilde {f\circ \beta }(1)\) na podstawie Twierdzenia o monodromii (Wniosek 16.4).
Pozostaje do wykazania ciągłość \(\widetilde f\). Niech \(z\in Z\) i niech \(V\) będzie otoczeniem \(\widetilde f(z)\). Po ewentualnym zmniejszeniu \(V\) można założyć, że \(V\) jest płatem nad prawidłowym otoczeniem \(U\) punktu \(f(z)\). Wtedy \(f^{-1}(U)\) jest otwartym otoczeniem \(z\). Niech \(W\subset f^{-1}(U)\) będzie łukowo spójnym otoczeniem \(z\); wystarczy wykazać, że \(\widetilde f(W)\subset V\). Niech \(w\in W\) i niech droga \(\beta \) łączy \(z\) z \(w\), \(\beta (I)\subset W\). Wtedy \(\alpha \ast \beta \) łączy \(z_0\) z \(w\), więc
\(\seteqnumber{0}{16.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:www} \widetilde f(w)=\widetilde {f\circ (\alpha \ast \beta )}(1). \end{equation}
Ponieważ \(p|_V^{-1}\circ f\circ \beta (0)=\widetilde f(z)=\widetilde {f\circ \alpha }(1)\), można połączyć drogę \(\widetilde {f\circ \alpha }\) z drogą \(p|_V^{-1}\circ f\circ \beta \). Wtedy
\(\seteqnumber{0}{16.}{1}\)\begin{align*} p\circ (\widetilde {f\circ \alpha }\ast (p|_V^{-1}\circ f\circ \beta )) &=(f\circ \alpha )\ast (f\circ \beta )= f\circ (\alpha \ast \beta )= p\circ \widetilde {f\circ (\alpha \ast \beta )}, \\ \widetilde {f\circ \alpha }\ast (p|_V^{-1}\circ f\circ \beta )(0) &=e_0=\widetilde {f\circ (\alpha \ast \beta )}(0), \end{align*} więc z (16.1) i Twierdzenia o jednoznaczności podniesienia 16.5 wynika, że
\[ \widetilde f(w)=p|_V^{-1}\circ f\circ \beta (1)\in V.\qedhere \]
□
Nakrycie z jednospójną i lokalnie łukowo spójną przestrzenią nakrywającą nazywa się nakryciem uniwersalnym. Jako wniosek z surjektywności nakrycia oraz łukowej spójności przestrzeni jednospójnej otrzymujemy
Dowód. Niech \(x_0\in X\). Wybieramy \(e_0\in p^{-1}(x_0)\) oraz \(e'_0\in p'^{-1}(x_0)\) Na podstawie Twierdzenia 16.7 istnieją \(f\colon (E,e_0)\to (E',e'_0)\) oraz \(f'\colon (E',e'_0)\to (E,e_0)\) takie, że \(p'\circ f=p\) i \(p\circ f'=p'\). Ponieważ \(f'\circ f\) oraz \(\operatorname {id}_E\) są podniesieniami \(p\), z Twierdzenia 16.5 wynika wynika, że \(f'\circ f=\operatorname {id}_E\). Analogicznie dowodzimy, że \(f\circ f'=\operatorname {id}_{E'}\) □
Niech \(p\colon E\to X\) będzie nakryciem. Homeomorfizm \(\phi \colon E\to E\) nazywa się automorfizmem nakrywającym gdy \(p\circ \phi =p\).
Zbiór automorfizmów nakrywających z działaniem składania tworzy grupę \(\operatorname {Aut}(p)\).
Dowód. \(X\) jest łukowo spójna z Uwagi 16.7. Niech \(x_0\in X\), \(e_0\in E\) i \(p(e_0)=x_0\). Definiujemy
\[ \Omega \colon \operatorname {Aut}(p)\to \pi (X,x_0) \]
wzorem \(\Omega (\phi ):=[p\circ \alpha ]\), gdzie \(\alpha \colon I\to E\) jest drogą, \(\alpha (0)=e_0\), \(\alpha (1)=\phi (e_0)\). Definicja jest poprawna, bo jeżeli \(\beta \) jest inną drogą łączącą \(e_0\) z \(\phi (e_0)\) to z Twierdzenia 16.3 wynika, że \(\alpha \simeq \beta \operatorname {rel}\{0,1\}\), więc \([p\circ \alpha ]=[p\circ \beta ]\).
\(\Omega \) jest homomorfizmem. Niech \(\phi ,\psi \in \operatorname {Aut}(p)\),
\(\seteqnumber{0}{16.}{1}\)\begin{align*} &\alpha \colon I\to E,\quad \alpha (0)=e_0,\ \alpha (1)=\phi (e_0), \\ &\beta \colon I\to E,\quad \beta (0)=e_0,\ \beta (1)=\psi (e_0). \end{align*} Wtedy \(\psi \circ \alpha \) łączy \(\psi (e_0)\) z \(\psi (\phi (e_0))\), więc
\[ \Omega (\psi \circ \phi )=[p\circ (\beta \ast (\psi \circ \alpha ))]= [(p\circ \beta )\ast (p\circ \alpha )]=\Omega (\psi )\cdot \Omega (\phi ). \]
\(\Omega \) jest monomorfizmem. Niech \(\Omega (\phi )=[\epsilon _{x_0}]\) i niech \(\alpha \) łączy \(e_0\) z \(\phi (e_0)\); wtedy
\[ p\circ \alpha \simeq \epsilon _{x_0}\operatorname {rel}\{0,1\}. \]
Ponieważ \(\epsilon _{e_0}\) jest podniesieniem \(\epsilon _{x_0}\), z Twierdzenia o monodromii 16.6 wynika, że
\[ \phi (e_0)=\alpha (1)=\epsilon _{e_0}(1)=e_0, \]
a Twierdzenie o jednoznaczności podniesienia 16.5 implikuje \(\phi =\operatorname {id}_E\).
\(\Omega \) jest epimorfizmem. Niech \([\alpha ]\in \pi (X,x_0)\). Z Lematu o podniesieniu drogi 16.6 istnieje droga \(\widetilde \alpha \colon I\to E\) taka, że \(\widetilde \alpha (0)=e_0\) i \(p\circ \widetilde \alpha =\alpha \). Z Twierdzenia o podniesieniu odwzorowania 16.7 wynika, że istnieje dokładnie jedno odwzorowanie \(\phi \) takie, że diagram
jest przemienny. Analogicznie istnieje dokładnie jedno \(\psi \) takie, że diagram
jest przemienny. Z Twierdzenia o jednoznaczności podniesienia wynika, że \(\psi \circ \phi =\operatorname {id}\) i \(\phi \circ \psi =\operatorname {id}\), więc \(\phi \in \operatorname {Aut}(p)\) i \([\alpha ]=\Omega (\phi )\). □
Dowód. Niech \(p\colon \mathbb R\ni t \to e^{2\pi it}\in S^1\) (Przykład 16.1). Dla \(k\in \mathbb Z\) translacja
\[ \tau _k\colon \mathbb R\ni t\to t+k\in \mathbb R \]
jest automorfizmem nakrywającym. Ponieważ \(p^{-1}(1)=\mathbb Z\), z Twierdzenia o jednoznaczności podniesienia wynika, że
\[ \operatorname {Aut}(p)=\{\tau _k\colon k\in \mathbb Z\}. \]
Ponieważ \(\tau _k\circ \tau _l=\tau _{k+l}\),
\[ \{\tau _k\colon k\in \mathbb Z\}\cong \mathbb Z, \]
skąd
\[ \pi (S^1,1)\cong \mathbb Z. \]
na podstawie Twierdzenia 16.8. □
Jako zastosowanie otrzymujemy natychmiastowy dowód twierdzenia o braku retrakcji \(D^2\to S^1\).
Dowód. Korzystamy z własności przestrzeni rzutowych wskazanych w Przykładzie 16.2. (a) wynika z homeomorficzności \(P^1\) z \(S^1\). Niech \(n\geq 2\) i niech \(q\colon S^n\to P^n\) będzie odwzorowaniem ilorazowym. Automorfizmami nakrywającymi są \(\operatorname {id}_{S^n}\) i \(-\operatorname {id}_{S^n}\); z Twierdzenia o jednoznaczności podniesienia wynika, ze są to wszystkie automorfizmy nakrywające. Z Twierdzenia 16.8 wynika więc
\[ \pi (P^n)\cong \{\operatorname {id},-\operatorname {id}\}\cong \mathbb Z_2.\qedhere \]
□
Dowód Twierdzenia 13.5 dla \(m=1\). Przyjmijmy niewprost, że \(f\colon S^n\to S^1\) dla \(n\geq 2\) jest odwzorowaniem ciągłym i \(f(-x)=-f(x)\). Definiujemy \(F\colon P^n\to P^1\) wzorem \(F[x]:=[f(x)]\); wtedy diagram
w którym \(q_n\) i \(q_1\) są odwzorowaniami ilorazowymi, jest przemienny. Niech \(s_0\in S_n\), \(p_0=q_n(s_0)\) i niech \(\alpha \colon I\to S^n\) będzie drogą taką, że \(\alpha (0)=s_0\) i \(\alpha (1)=-s_0\). Wtedy \(q_n\circ \alpha \) jest pętlą w \(p_0\). Z Twierdzenia 16.10 wynika, że
\[ \pi (F)\colon \pi (P^n,p_0)\to \pi (P^1,F(p_0)) \]
jest homomorfizmem trywialnym, więc
\[ q_1\circ f\circ \alpha =F\circ q_n\circ \alpha \simeq \epsilon _{F(p_0)}\operatorname {rel}\{0,1\}. \]
Ponieważ \(q_1(f(s_0))=F(p_0)\) i \(f\circ \alpha \) łączy \(f(s_0)\) z \(-f(s_0)\), Twierdzenie o monodromii prowadzi do sprzeczności
\[ -f(s_0)= f\circ \alpha (1)=\epsilon _{f(s_0)}(1)=f(s_0).\qedhere \]
□
