Niech \(X\) będzie zbiorem. Dla \(U,V\subset X\times X\) definiujemy
\(\seteqnumber{0}{7.}{0}\)\begin{align*} U\circ V& :=\{(x,z)\in X\times X\colon \exists y\in X\colon (x,y)\in U,\ (y,z)\in V\}, \\ U^{-1}& :=\{(x,y)\in X\colon (y,x)\in U\}. \end{align*} Ponadto dla \(k\geq 3\) rekurencyjnie definiujemy
\[ U_1\circ \ldots \circ U_k:=(U_1\circ \ldots \circ U_{k-1})\circ U_k. \]
Elementarnie sprawdza się, że działanie \(\circ \) jest łączne,
\[ U\circ V\circ W:=(U\circ V)\circ W= U\circ (V\circ W). \]
Elementem neutralnym działania jest diagonala \(\Delta (X)\),
\[ \Delta (X)\circ U=U\circ \Delta (X)=U. \]
Ponadto, jeżeli \(U\subset U'\) i \(V\subset V'\) to \(U\circ V\subset U'\circ V'\).
Niech \(\mathcal U\subset 2^{X\times X}\), \(\mathcal U\neq \emptyset \). \(\mathcal U\) nazywa się strukturą jednostajną na \(X\) gdy
(I) \(\forall U\in \mathcal U\colon \Delta (X)\subset U\),
(II) \(U\in \mathcal U\ \Rightarrow \ U^{-1}\in \mathcal U\),
(III) \(U\in \mathcal U\ \Rightarrow \exists V\in \mathcal U\colon V\circ V\subset U\),
(IV) \(U,V\in \mathcal U\ \Rightarrow U\cap V\in \mathcal U\),
(V) \(U\in \mathcal U, V\supset U\ \Rightarrow V\in \mathcal U\)
(to znaczy \(\mathcal U\) jest filtrem na \(X\times X\) spełniającym (I), (II) i (III)). Para \((X,\mathcal U)\), gdzie \(\mathcal U\) jest strukturą jednostajną na \(X\), nazywa się przestrzenią jednostajną.
Niech \(\mathcal B\subset \mathcal U\). \(\mathcal B\) nazywa się bazą \(\mathcal U\) gdy
\[ \forall U\in \mathcal U\ \exists V\in \mathcal B\colon V\subset U. \]
Uwaga 7.1. Baza \(\mathcal B\) struktury jednostajnej \(\mathcal U\) ma następujące własności:
\(\seteqnumber{0}{7.}{0}\)\begin{gather} \label {eq:bj1} \forall U\in \mathcal B\colon \Delta (X)\subset U, \\ \label {eq:bj2} U\in \mathcal B \implies \exists V\in \mathcal B\colon V\subset U^{-1}, \\ \label {eq:bj3} U\in \mathcal B \implies \exists V\in \mathcal B\colon V\circ V\subset U, \\ \label {eq:bj4} U_1,U_2\in \mathcal B \implies \exists V\in \mathcal B\colon V\subset U_1\cap U_2. \end{gather} □
Twierdzenie 7.1. Niech \(\mathcal B\subset 2^{X\times X}\), \(\mathcal B\neq \emptyset \), spełnia (7.1) – (7.4).
(a) \(\mathcal U(\mathcal B):=\{U\in 2^{X\times X}\colon \exists V\in \mathcal B\colon V\subset U\} \) jest strukturą jednostajną na \(X\).
(b) (Warunek zgodności). Jeżeli \(\mathcal B\) jest bazą \(\mathcal U\) to
\[ \mathcal U(\mathcal B)=\mathcal U. \pushQED {\qed } \qedhere \popQED \]
Dowód. Niech \(U\in \mathcal U\) i niech
\[ V:=U\cap U^{-1}\in \mathcal U. \]
Wtedy \(V=V^{-1}\) i \(V\subset U\). □
Przykład 7.2. Niech \((X,\rho )\) będzie przestrzenią metryczną. Dla \(r>0\) określamy
\[ U_r:=\rho ^{-1}([0,r)),\ D_\epsilon :=\rho ^{-1}([0,r]). \]
Wtedy \(\mathcal B_\rho :=\{U_r\colon r>0\}\) oraz \(\overline {\mathcal B}_\rho :=\{D_r\colon r>0\}\) spełniają (7.1) – (7.4) i wyznaczają strukturę jednostajną
\[ \mathcal U_\rho :=\mathcal U(\mathcal B_\rho )=\mathcal U(\overline {\mathcal B}_\rho ) \]
na \(X\).
Przykład 7.3. Niech \(p\) będzie liczbą pierwszą. Dla \(n\in \mathbb N\) określamy
\[ W_n:=\{(x,y)\in \mathbb Z\times \mathbb Z\colon x\equiv y\bmod p^n\}. \]
Wtedy \(\mathcal B_p:=\{W_n\colon n\in \mathbb N\}\) spełnia (7.1) – (7.4) i wyznacza strukturę jednostajną na \(\mathbb Z\), nazywaną strukturą \(p\)-adyczną.
Niech \((X,\mathcal U)\) i \((Y,\mathcal V)\) będą przestrzeniami jednostajnymi. \(f\colon X\to Y\) nazywa się funkcją jednostajnie ciągłą gdy
\[ \forall V\in \mathcal V\ \exists U\in \mathcal U\colon (x,y)\in U\ \Rightarrow (f(x),f(y))\in V. \]
Identyczność i odwzorowania stałe są jednostajnie ciągłe; złożenie odwzorowań jednostajnie ciągłych jest jednostajnie ciągłe. Jeżeli struktury jednostajne na \(X\) i \(Y\) są wyznaczone przez metryki (Przykład 7.2) to izometria \(X\to Y\) jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym.
Niech \((X,\mathcal U)\) będzie przestrzenią jednostajną; \(U\in \mathcal U\) i \(x\in X\).
\[ U[x]:=\{y\in X\colon (x,y)\in U\} \]
Z Twierdzeń 1.2 i 7.2 wynika, że \(\{\mathcal B_x\}_{x\in X}\) jest bazą otoczeń w pewnej topologii \(\mathcal T(\mathcal U)\) na \(X\); topologia ta nie zależy od wyboru bazy \(\mathcal B\) struktury \(\mathcal U\). \(\mathcal T(\mathcal U)\) nazywa się topologią jednostajną wyznaczoną przez \(\mathcal U\).
Niech \((X,\mathcal T)\) będzie przestrzenią topologiczną. Struktura jednostajna \(\mathcal U\) i topologia \(\mathcal T\) są zgodne, gdy
\[ \mathcal T=\mathcal T(\mathcal U). \]
Niech \((X,\rho )\) będzie przestrzenią metryczną. Dla \(x\in X\) i \(r>0\),
\[ U_r[x]=U(x,r),\ D_r[x]=D(x,r) \]
(to znaczy \(U_r[x]\) i \(D_r[x]\) są kulami, odpowiednio, otwartą i domkniętą o środku \(x\) i promieniu \(r\)). Wynika stąd
Niech \((X,\mathcal U)\) i \((Y,\mathcal V)\) będą przestrzeniami jednostajnymi i niech \(f\colon X\to Y\) będzie jednostajnie ciągłe. Wtedy dla każdego \(y\in Y\) i \(V\in \mathcal V\) istnieje \(U\in \mathcal U\) takie, że
\[ f(U[x])\subset V[f(x)], \]
stąd
Uwaga 7.4. Odwzorowanie jednostajnie ciągłe jest ciągłe. □
Niech \((X,\mathcal U)\) będzie przestrzenią jednostajną i niech \(A\subset X\).
\[ \mathcal U_A:=\{U\cap (A\times A)\colon U\in \mathcal U\} \]
jest wtedy strukturą jednostajną na \(A\).
Dowód. Niech \(x\in A\) i \(U\in \mathcal U\). Wtedy
\[ (U\cap (A\times A))[x]= \{y\in A\colon (x,y)\in U\}=U[x]\cap A, \]
więc bazy otoczeń \(x\) w \(\mathcal T(\mathcal U_A)\) i topologii indukowanej pokrywają się. □
Niech \((X_t,\mathcal U_t)\), \(t\in T\), będą przestrzeniami jednostajnymi. Wtedy
\(\seteqnumber{0}{7.}{4}\)\begin{align*} \mathcal B&:= \left \{ \left \{(x,y)\in \prod X_t\times \prod X_t\colon (\pi _t(x),\pi _t(y))\in U_t\ \forall t\in T\right \} \colon \right . \\ &\qquad \qquad \left .\phantom {\prod } U_t\in \mathcal U_t,\ U_t=X\times X\‚\text {dla prawie wszystkich $t\in T$}\right \} \end{align*} jest bazą struktury jednostajnej \(\mathcal U\) na \(\prod _{t\in T} X_t\).
Dowód. Niech \(x\in \prod X_t\) i niech \(S\subset T\), \(\#S<\infty \). Wtedy
\[ \left \{y\in \prod X_t\colon (\pi _t(x),\pi _t(y))\in U_t,\ t\in S \right \}= \prod V_t[\pi _t(x)], \]
gdzie \(V_t=X_t\times X_t\) dla \(t\notin S\) i \(V_t=U_t\) dla \(t\in S\). Wynika stąd, że bazy otoczeń \(x\) w \(\mathcal T(\mathcal U)\) i topologii Tichonowa pokrywają się. □
Niech \(\mathcal U\) będzie strukturą jednostajną na \(X\).
Lemat 7.1. Niech \(x\in X\) i \(U,W \in \mathcal U\). Zakładamy, że topologią w \(X\) jest \(\mathcal T(\mathcal U)\). Jeżeli istnieje \(V\in \mathcal U\) taki, że \(U\circ V\subset W\) to
\(\seteqnumber{0}{7.}{4}\)\begin{align*} U[x]&\subset {\rm int}\,W[x], \\ \overline {U[x]}&\subset W[x]. \end{align*}
Dowód. Niech najpierw \(y\in U[x]\) i niech \(z\in V[y]\). Wtedy \((x,z)\in U\circ V\), więc \((x,z)\in W\). Wynika stąd, że \(V[y]\subset W[x]\), a więc \(U[x]\subset {\rm int}\,W[x]\). Zakładamy teraz, że \(y\in \overline {U[x]}\). Wtedy dla każdego \(Z\in \mathcal U\) istnieje \(x_Z\in U[x]\cap Z[y]\), to znaczy
\[ (x,x_Z)\in U,\ (y,x_Z)\in Z. \]
Na podstawie Uwagi 7.2 wybieramy \(Z\) tak, aby \(Z=Z^{-1}\) i \(Z\subset V\). Wtedy
\[ (x,y)\in U\circ Z\subset W, \]
co kończy dowód. □
Dowód. \(\overline {U[x]}\subset (U\circ V)[x] \subset {\rm int}((U\circ V)\circ W)[x] \subset {\rm int}\,Z[x]. \) □
Z Wniosku 7.1 wynika natychmiast, że jeżeli \(X\) jest \(T_1\) to \((X,\mathcal T(\mathcal U))\) jest przestrzenią regularną. Prawdziwy jest mocniejszy wynik:
Dowód. Implikacja (b) \(\Rightarrow \) (a) jest oczywista.
(a) \(\Rightarrow \) (c). \(\Delta (X)\subset \bigcap \mathcal U\) z definicji struktury jednostajnej. Niech \((x,y)\notin \Delta (X)\). Wtedy istnieje \(U\in \mathcal U\) taki, że \(y\notin U[x]\) lub istnieje \(V\in \mathcal U\) taki, że \(x\notin V[y]\). W pierwszym przypadku \((x,y)\notin U\), a w drugim przypadku \((x,y)\notin V^{-1}\), więc \((x,y)\notin \bigcap \mathcal U\).
(c) \(\Rightarrow \) (b). Niech \(x\in X\). Wtedy
\[ \bigcap \{U[x]\colon U\in \mathcal U\}= \left \{y\in X\colon (x,y)\in \bigcap \mathcal U\right \}=\{x\}, \]
wiec z Twierdzenia 5.2 wynika, że \(X\) jest \(T_1\).
Niech \(G\subset X\) będzie domknięty i \(x\notin G\). Wybieramy \(W_0\in \mathcal U\) takie, że
\[ (W_0\circ W_0)[x]\subset X\setminus G, \]
i dla \(m\geq 1\) określamy \(W_m\in \mathcal U\) tak, aby
\[ W_m\circ W_m\subset W_{m-1}. \]
Dla \(k,m\in \mathbb N\) takich, że \(0\leq k\leq 2^m\) definiujemy rekurencyjnie zbiory \(V_{k/2^m}\) wzorami
\[ V_0:=\Delta (X), \quad V_1:=W_0\circ W_0 \]
oraz dla \(m\geq 1\) i parzystego \(k\), \(0\leq k\leq 2^m-2\),
\[ V_{(k+1)/2^m}:=V_{k/2^m}\circ W_m\circ W_m. \]
W szczególności dla każdego \(m\geq 0\),
\(\seteqnumber{0}{7.}{4}\)\begin{equation} \label {eq:ww1} V_{1/2^m}=W_m\circ W_m. \end{equation}
Udowodnimy, że dla każdego \(m\geq 0\) i \(0\leq k\leq 2^m-1\),
\(\seteqnumber{0}{7.}{5}\)\begin{equation} \label {eq:vww} V_{k/2^m}\circ W_m\circ W_m\subset V_{(k+1)/2^m}. \end{equation}
Jest to prawda dla \(m=0\), bo \(V_0\circ W_0\circ W_0=V_1\). Zakładamy prawdziwość inkluzji dla \(m-1\). Jeżeli \(k\) jest parzyste to w (7.6) jest równość z definicji. Niech \(k\) będzie nieparzyste. Wtedy \(k-1=2\ell \) i
\(\seteqnumber{0}{7.}{6}\)\begin{align*} V_{k/2^m}\circ W_m\circ W_m&=(V_{(k-1)/2^m}\circ W_m\circ W_m)\circ W_m\circ W_m \\ &\subset V_{\ell /2^{m-1}}\circ W_{m-1}\circ W_{m-1}\subset V_{(\ell +1)/2^{m-1}} =V_{(k+1)/2^m}. \end{align*} Z (7.5) i (7.6) wynika, że \(V_{k/2^m}\in \mathcal U\) dla każdego \(k\geq 1\), bo jest nadzbiorem \(W_m\). Definiujemy
\[ U_0:=\emptyset ,\quad U_1:=X \]
i dla \(m\geq 1\) i \(1\leq k\leq 2^m-1\),
\[ U_{k/2^m}:={\rm int}\,V_{k/2^m}[x]. \]
Z (7.6) i Wniosku 7.1 wynika, że dla \(1\leq k\leq 2^m-1\),
\[ x\in U_{k/2^m}\subset \overline {U_{k/2^m}}\subset \overline {V_{k/2^m}[x]} \subset V_{(k+1)/2^m}[x]\subset V_1[x]\subset X\setminus G \]
oraz dla \(0\leq k\leq 2^m-1\),
\[ \overline {U_{k/2^m}}\subset \overline {V_{k/2^m}[x]}\subset U_{(k+1)/2^m}. \]
Teraz teza wynika z Lematu 5.1. □
Niech \(X\) będzie zbiorem. Funkcja
\[ d\colon X\times X\to [0,\infty ) \]
nazywa się pseudometryką na \(X\), gdy
\(\seteqnumber{0}{7.}{6}\)\begin{align*} \forall x\in X& \colon d(x,x)=0, \\ \forall x,y\in X& \colon d(x,y)=d(y,x), \\ \forall x,y,z\in X& \colon d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z). \end{align*} Niech \(P\) będzie zbiorem pseudometryk. Wtedy
\[ P^+:=\{\max \{d_1,\ldots ,d_k\}\colon k\geq 1,\‚d_1,\ldots ,d_k\in P\} \]
jest także zbiorem pseudometryk.
Niech \(d\in P^+\) i \(\epsilon >0\). Definiujemy
\(\seteqnumber{0}{7.}{6}\)\begin{align*} U_{d,\epsilon }& :=\{(x,y)\in X\times X\colon d(x,y)<\epsilon \}, \\ \mathcal B_P& :=\{U_{d,\epsilon }\colon d\in P^+,\ \epsilon >0\}. \end{align*} Wtedy
\(\seteqnumber{0}{7.}{6}\)\begin{align*} U_{d,\epsilon /2}\circ U_{d,\epsilon /2}&\subset U_{d,\epsilon }, \\ U_{\max \{d,d'\},\min \{\epsilon ,\epsilon '\}}& \subset U_{d,\epsilon }\cap U_{d',\epsilon '}, \end{align*} skąd wynika
Strukturę jednostajną z Uwagi 7.7 oznaczamy \(\mathcal U_P\). Niech
\[ \mathcal T_P:=\mathcal T(\mathcal U_P) \]
będzie topologią generowaną przez \(\mathcal U_P\), co oznacza, że
\[ \{U_{d,\epsilon }[x]\colon d\in P^+,\ \epsilon >0\} \]
jest bazą otoczeń \(x\in X\) w \(\mathcal T_P\).
Niech \((X,\mathcal T)\) będzie przestrzenią topologiczną.
Dowód. \(U_{d,\epsilon }[x]\) jest zbiorem otwartym dla dowolnych \(d\in P^+\), \(\epsilon >0\) i \(x\in X\). □
Dowód. Implikacja \(\Leftarrow \) wynika z Twierdzenia 7.3. Zakładamy teraz, że \((X,\mathcal T)\) jest całkowicie regularna. Dla dowolnych \(x\in X\) i \(V\in \mathcal T\) takiego, że \(x\in V\) wybieramy ciągłą funkcję
\[ f_{x,V}\colon X\to I \]
dla której
\[ f_{x,V}(x)=0,\quad X\setminus V\subset f_{x,V}^{-1}(1) \]
i definiujemy pseudometrykę
\[ d_{x,V}\colon X\times X\ni (y,z)\to |f_{x,V}(y)- f_{x,V}(z)|\in [0,\infty ). \]
Niech
\[ P:=\{d_{x,V}\colon V\in \mathcal T,\ x\in V\} \]
Na podstawie Lematu 7.2 wystarczy udowodnić inkluzję \(\mathcal T\subset \mathcal T_P. \) Niech \(x\in X\) i niech \(W\) będzie otoczeniem \(x\). Dla \(V\in \mathcal T\) takiego, że \(x\in V\subset W\),
\[ U_{d_{x,V},1/2}[x]=\left \{y\in X\colon f_{x,V}(y)<\tfrac {1}{2}\right \}\subset W, \]
co kończy dowód. □
Dla przestrzeni topologicznej \(X\) z topologią \(\mathcal T\) definiujemy rodzinę zbiorów
\[ \mathcal N_{(X,\mathcal T)}:= \{U\subset X\times X\colon \Delta (X)\subset {\rm int}\,U\}\subset 2^{X\times X}. \]
\(\mathcal N_{(X,\mathcal T)}\) spełnia warunki (I), (II), (IV) i (V) z definicji struktury jednostajnej.
Dowód.
Niech \(U\in \mathcal U\). Wystarczy udowodnić, że \(\Delta (X)\subset {\rm int}\, U\). Z Uwagi 7.2 wynika istnienie \(W\in \mathcal U\) takiego, że \(W=W^{-1}\) i \(W\circ W\subset U\). Niech \(x\in X\). Wtedy
\[ W[x]\times W[x]\subset U, \]
bo jeżeli \(y,z\in W[x]\) to \((y,x)\in W\) i \((x,z)\in W\), więc \((y,z)\in W\circ W\). Stąd \((x,x)\in {\rm int}\,U\), co kończy dowód. □
Dowód. Ponieważ \(X\) jest normalna, z Twierdzenia 7.4 wynika, że na \(X\) istnieje struktura jednostajna \(\mathcal U\) taka, że \(\mathcal T= \mathcal T(\mathcal U)\). Na podstawie Lematu 7.3 wystarczy udowodnić, że
\[ \mathcal N_{(X,\mathcal T)}\subset \mathcal U. \]
Niech \(V\) będzie zbiorem otwartym, \(\Delta (X)\subset V\). Dla \(x\in X\) istnieje \(W_x\in \mathcal U\) taki, że
\[ W_x[x]\times W_x[x]\subset V. \]
Niech \(U_x\in \mathcal U\),
\[ U_x\circ U_x \subset W_x. \]
\(X\) jest zwarta, więc istnieją \(x_1,\ldots ,x_k\in X\) takie, że
\[ X=\bigcup _{i=1}^k U_{x_i}[x_i]. \]
Definiujemy
\[ U:=\bigcap _{i=1}^k U_{x_i}\in \mathcal U. \]
Niech \((x,y)\in U\). Istnieje \(j=1,\ldots ,k\) taki, że
\[ x\in U_{x_j}[x_j]\subset W_{x_j}[x_j]. \]
Wtedy \((x_j,x)\in U_{x_j}\), więc
\[ (x_j,y)\in U_{x_j}\circ U\subset W_{x_j} \]
więc \(y\in W_{x_j}[x_j]\) i
\[ (x,y)\in W_{x_j}[x_j]\times W_{x_j}[x_j]\subset V.\qedhere \]
□
Dowód. Niech \(V\in \mathcal V\). Na podstawie Lematu 7.3 istnieje \(W\) otwarty w \(Y\times Y\) taki, że
\[ \Delta (Y)\subset W\subset V. \]
\(f\times f\colon X\times X\to Y\times Y\) jest ciągła, więc
\[ U:=(f\times f)^{-1}(W) \]
jest otwarty w \(X\) i \(\Delta (X)\subset U\). Z Twierdzenia 7.5 wynika, że \(U\in \mathcal N\). □
Dla przeliczalnej rodziny pseudometryk \(P:=\{d_n\colon n\in \mathbb N\}\) na zbiorze \(X\) definiujemy
\[ \rho \colon X\times X\ni (x,y)\to \sum _{n=0}^\infty \min \left \{ d_n(x,y),\tfrac {1}{2^n}\right \} \in [0,\infty ). \]
Dowód. Sprawdzenie (a) jest elementarne; (b) jest oczywiste.
Ad (c). Niech \(U\in \mathcal U_\rho \); można założyć, że
\[ U=\rho ^{-1}([0,\epsilon )) \]
dla pewnego \(\epsilon >0\). Niech \(k\in \mathbb N\) będzie takie, że
\[ \sum _{n=k}^\infty \tfrac {1}{2^n}<\tfrac {1}{2}\epsilon . \]
Definiujemy
\[ V:=\left \{(x,y)\colon \max \{d_0,\ldots ,d_{k-1}\}(x,y)<\tfrac {1}{2k}\epsilon \right \}; \]
Wtedy \(V\in \mathcal U_P\) i jeżeli \((x,y)\in V\) to
\[ \rho (x,y)\leq \sum _{n=0}^{k-1} d_n(x,y)+\tfrac {1}{2}\epsilon < \epsilon , \]
więc \(V\subset U\). Na odwrót, niech
\[ V:=\{(x,y)\colon \max \{d_{j_1},\ldots ,d_{j_k}\}(x,y)<\epsilon \}\in \mathcal U_P \]
dla pewnych \(0\leq j_1<\ldots <j_k\). Definiujemy
\[ U:=\left \{(x,y)\colon \rho (x,y)<\min \left \{\epsilon , \tfrac {1}{2^{j_k}}\right \}\right \}\in \mathcal U_\rho . \]
Niech \((x,y)\in U\) i niech \(i=1,\ldots , k\). Wtedy
\[ \min \{d_{j_i}(x,y),\tfrac {1}{2^{j_i}}\}\leq \rho (x,y)< \min \{\epsilon ,\tfrac {1}{2^{j_k}}\}. \]
Ponieważ \(\tfrac {1}{2^{j_i}}>\tfrac {1}{2^{j_k}}\),
\[ d_{j_i}(x,y)<\epsilon , \]
a to oznacza, że \((x,y)\in V\), więc \(U\subset V\). □
Dowód. Z Twierdzenia 1.6 i Wniosku 6.8 wynika, że \(X\) jest normalna. Niech \(\mathcal V\) będzie przeliczalną bazą topologii. Wykorzystując Lemat Urysohna, dla \(V,W\in \mathcal V\), \(\overline {V} \subset W\) konstruujemy ciągłą pseudometrykę
\[ d_{V,W}\colon X\times X\ni (x,y)\to |f_{V,W}(x)-f_{V,W}(y)|\in [0,\infty ) \]
gdzie \(f_{V,W}|_{\overline {V}}=0\) i \(f_{V,W}|_{X \setminus W}=1\). Niech
\[ P:=\{d_{V,W}\colon V,W\in \mathcal V,\ \overline {V}\subset U\}. \]
Z Lematu 7.2 wynika, że topologia \(X\) jest mocniejsza niż \(\mathcal T_P\). Jeżeli \(N\) jest otoczeniem \(x\in X\) to istnieją \(V,W\in \mathcal V\) takie, że
\[ x\in V\subset \overline {V}\subset W\subset N \]
(bo z regularności \(X\) wynika istnienie otwartego \(Z\) takiego, że \(x\in Z\) i \(\overline {Z}\subset W\); wtedy \(x\in V\subset Z\) dla pewnego \(V\in \mathcal V\)) skąd wynika, że \(U_{d_{V,W},\frac {1}{2}}[x]\subset N\), a więc topologia \(\mathcal T_P\) jest równa topologii \(X\). Jeżeli \(y\neq x\) to dla \(N=X\setminus \{y\}\),
\[ 0=f_{V,W}(x)\neq f_{V,W}(y)=1. \]
Teza wynika z Twierdzenia 7.6. □
Konsekwencją Uwagi 6.9 i Twierdzenia 7.7 jest
Z Wniosku 7.4 wynika, że przestrzeń metryzowalna zwarta jest ośrodkowa; jest to także bezpośrednia konsekwencja Twierdzenia 1.7.