Wykłady z topologii

Dowód.

Ad (a). Ciągłość dodawania wynika z Twierdzenia 9.2, wystarczy więc udowodnić ciągłość mnożenia przez skalar z \(\mathbb R\). Ponieważ ciągłym jest odwzorowanie

\[ X\times \mathbb R\ni (x,\lambda )\to \lambda x+Z\in X/Z, \]

a więc także indukowane przez nie odwzorowanie \(X\times \mathbb R/Z\times \{0\}\to X/Z\), ciągłość

\[ X/Z\times \mathbb R\ni (x+Z,\lambda )\to \lambda x+Z\in X/Z \]

jest konsekwencją Twierdzenia 9.2(d), z którego wynika, że

\[ X\times \mathbb R/Z\times \{0\}\ni (x,\lambda )+(Z\times \{0\})\to (x+Z,\lambda )\in X/Z\times \mathbb R \]

jest homeomorfizmem.

(b) wynika z Twierdzenia 9.2(f).  □

Dowód. Z Twierdzenia 9.2(b) wynika, że \(\overline {\{0\}}\) jest podgrupą \(X\). Ponieważ dla \(\lambda \neq 0\) odwzorowanie \(x\to \lambda x\) jest homeomorfizmem, \(x\in \overline {\{0\}}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\lambda x\in \overline {\{\lambda \cdot 0\}}=\overline {\{0\}}\).  □

Dowód. Wystarczy założyć \(n\geq 1\). Niech \(v_i\in X\) będą obrazami wektorów bazy kanonicznej \(\mathbb R^n\); wtedy

\[ \phi \colon \mathbb R^n\ni (t_1,\ldots ,t_n)\to \sum _{i=1}^n t_iv_i\in X \]

i z definicji przestrzeni liniowej topologicznej wynika, że \(\phi \) jest ciągłe. Trzeba więc udowodnić, że \(\phi ^{-1}\) też jest ciągłe. W tym celu wystarczy wykazać, że dla każdego otoczenia zera \(V\) w \(\mathcal R\) istnieje otoczenie zera \(W\) w \(\mathcal T\) takie, że \(\phi ^{-1}(W)\subset V\), bo wtedy dla dowolnego \(z\in \mathbb R^n\),

\[ \phi ^{-1}(\phi (z)+W)\subset z+V. \]

Zbiór \(\phi (S^{n-1})\) jest domknięty, bo jest zwarty, a \(X\) jest Hausdorffa z Uwagi 10.3. Ponieważ \(\phi \) jest izomorfizmem,

\[ 0\notin \phi (S^{n-1}). \]

Wybieramy \(U\), otwarte otoczenie \(0\) w \(X\) oraz \(\epsilon >0\) tak, aby

\[ [-\epsilon ,\epsilon ]\cdot U\subset X\setminus \phi (S^{n-1}), \]

co równoważnie zapisuje się jako

\[ [-\epsilon ,\epsilon ]\cdot \phi ^{-1}(U)\subset \mathbb R^n\setminus S^{n-1}. \]

Stąd dla każdego \(x\in U\) funkcja

\[ [0,\epsilon ]\ni t\to |t\phi ^{-1}(x)|\in \mathbb R \]

nie przyjmuje wartości \(1\), a więc z własności Darboux wynika, że

\[ |\epsilon \phi ^{-1}(x)|<1. \]

Niech \(r>0\) i niech \(W=r\epsilon U\). Wtedy

\[ \phi ^{-1}(W)=r\epsilon \phi ^{-1}(U)\subset U(0,r):=\{z\in \mathbb R^n\colon |z|<r\}, \]

a to kończy dowód.  □

Dowód. Niech \(Z\) będzie skończenie wymiarową podprzestrzenią \(X\), niech \(x\notin Z\) i niech \(W\) będzie podprzestrzenią liniową \(X\) generowaną przez \(x\) i \(Z\). Ponieważ

\[ n:=\dim W<\infty , \]

z Twierdzenia 10.1 wynika, że izomorfizm \(\phi \colon \mathbb R^n\to W\), taki że \(\phi (\mathbb R^{n-1})=Z\), jest homeomorfizmem. Istnieje więc otoczenie otwarte \(V\) punktu \(x\) w \(W\) nieprzecinające \(Z\). Ponieważ topologia \(W\) jest indukowana z \(X\), istnieje zbiór otwarty \(U\subset X\) taki, że \(U\cap W=V\). Wtedy \(Z\cap U=\emptyset \), więc \(X\setminus Z\) jest otwarty.  □

Dowód. Implikacja \(\Leftarrow \) jest bezpośrednią konsekwencją Twierdzenia 10.2.

(\(\Rightarrow \); dowód Terence’a Tao). Niech \(K\) będzie zwartym otoczeniem \(0\). Wtedy istnieje skończony zbiór \(S\subset X\) taki, że

\[ K\subset S+\tfrac {1}{2}K. \]

Niech \(W\) oznacza skończenie wymiarową podprzestrzeń \(X\) generowaną przez \(S\). Wtedy

\[ K\subset W +\tfrac {1}{2}K\subset W +\tfrac {1}{2}(W+\tfrac {1}{2}K)\subset \ldots , \]

więc,

\[ \forall k=1,2,\ldots \colon K\subset W+\tfrac {1}{2^n}K. \]

Niech \(E\) będzie dowolnym otoczeniem \(0\). Z ciągłości mnożenia przez skalar wynika, że dla każdego \(x\in X\) istnieje \(n_x\in \mathbb N\) oraz \(D_x\), otwarte otoczenie \(x\) takie, że \(\tfrac {1}{k}D_x\subset E\) dla wszystkich \(k\geq n_x\). Wynika stąd istnienie \(n\in \mathbb N\) takiego, że \(\tfrac {1}{2^n}K\subset E\), bo \(K\) jest zwarty. Udowodniliśmy więc, że

\[ \forall E,\ \text {otoczenia $0$}\colon K\subset W+E. \]

Stąd i z Wniosku 10.3 wynika, że

\begin{equation} \label {eq:kow} K\subset W, \end{equation}

bo jeżeli \(x\in K\) i \(E\) jest dowolnym otoczeniem \(0\) to istnieją \(w\in W\) i \(z\in E\) takie, że \(w=x-z\), więc

\[ (x+E)\cap W\neq \emptyset , \]

a więc \(x\in \overline {W}=W\). Niech \(x\in X\). Ponieważ \(K\) jest otoczeniem \(0\), na podstawie ciągłości mnożenia przez skalar istnieje \(\epsilon >0\) takie, że \(\epsilon x\in K\). Z (10.1) wynika więc, że \(x\in \tfrac {1}{\epsilon }W=W\) i udowodniliśmy w ten sposób, że \(X=W\).  □

Dowód.

\[ \|f_x-f_y\|=\sup \{|f_x(z)-f_y(z)|\colon z\in X\}\geq |f_x(x)-f_y(x)|=\rho (y,x). \]

Dla wykazania przeciwnej nierówności zakładamy, że \(z\) jest dowolnym elementem \(X\). Można przyjąć, że \(\rho (x,z)\geq \rho (y,z)\); wtedy

\[ |f_x(z)-f_y(z)|=|\rho (x,z)-\rho (y,z)|=\rho (x,z)-\rho (y,z)\leq \rho (x,y) \]

na podstawie nierówności trójkąta, a stąd wynika, że

\[ \|f_x-f_y\|\leq \rho (x,y).\qedhere \]

 □

Dowód Twierdzenia 10.3. Niech \(x_0\) będzie ustalonym punktem \(X\). Dla \(x\in X\) definiujemy

\[ f_x\colon X\ni z\to \rho (x,z)-\rho (x_0,z)\in \mathbb R. \]

Wtedy \(f_x\in C_b(X)\), bo z nierówności trójkąta wynika, że

\begin{gather*} f_x(z)=\rho (x,z)-\rho (x_0,z)\leq \rho (x_0,x), \\ -\rho (x_0,x)\leq -\rho (x_0,z)+\rho (x,z)=f_x(z). \end{gather*} Z Lematu 10.2 wynika, że odwzorowanie

\[ X\ni x\to f_x\in C_b(X) \]

jest izometrią.  □

Dowód. Dla dowolnej metryki \(\rho '\) zgodnej z topologią definiujemy

\[ \rho (x,y):=\min \{\rho '(x,y),1\}. \]

W celu udowodnienia, że \(\rho \) jest metryką na \(X\) wystarczy sprawdzić nierówność trójkąta

\begin{equation} \label {eq:troj} \rho (x,z)\leq \rho (x,y)+\rho (y,z). \end{equation}

Jeżeli \(\rho '(x,y)\leq 1\) i \(\rho '(y,z)\leq 1\) to nierówność (10.2) jest spełniona. Ponieważ \(\rho (x,z)\leq 1\), nierówność (10.2) jest spełniona także, gdy \(\rho '(x,y)\geq 1\) lub \(\rho '(y,z)\geq 1\).  □

Dowód. Niech \(\rho \) będzie metryką ograniczoną zgodną z topologią \(X\) (istnienie \(\rho \) wynika z Lematu 10.3). Dla \(x\in X\) funkcja

\[ f_x\colon X\ni y\to \rho (x,y)\in \mathbb R \]

należy do \(C_b(X)\). Definiujemy \(h(x):=f_x\). Z Lematu 10.2 wynika, że \(h\) jest izometrią. Niech \(f_{x_n}\to f\) i \(f\in {\rm conv}\,h(X)\). Niech \(x_0,\ldots ,x_k\in X\) i \(\alpha _0,\ldots ,\alpha _k\in I\) będą takie, że \(\sum _{i=0}^k\alpha _i=1\) i

\[ f=\sum _{i=0}^k \alpha _i f_{x_i}. \]

Można założyć, że \(i_0\in \{0,\ldots , k\}\) jest taki, że \(\alpha _{i_0}\geq \frac {1}{k+1}\). Wtedy

\begin{equation*} \|f-f_{x_n}\| \geq |f(x_n)-f_{x_n}(x_n)|=|f(x_n)| = \sum _{i=0}^k \alpha _i f_{x_i}(x_n) \geq \alpha _{i_0} f_{x_{i_0}}(x_n) \geq \tfrac {1}{k+1} \rho (x_{i_0},x_n). \end{equation*}

Z założenia \(\|f-f_{x_n}\|\to 0\), więc \(x_n\to x_0\), skąd wynika, że \(f_{x_n}\to f_{x_0}\), to znaczy \(f=f_{x_0}\in h(X)\).  □

Dowód. Niech \(x_0\in X\). Istnieje ciąg \(x_n\in D\) taki, że \(x_n\to x_0\). Wtedy \(x_n\) jest ciągiem Cauchy’ego na \(D\), skąd wynika, że \(f(x_n)\) jest ciągiem Cauchy’ego na \(Y\), więc \(f(x_n)\to y_0\) dla pewnego \(y_0\in Y\). W oparciu o Twierdzenie 2.5 udowodnimy, że

\begin{equation} \label {eq:yod} y_0=\lim _{x\to x_0,\ x\in D} f(x). \end{equation}

Jeżeli \(x_n^\ast \) jest dowolnym ciągiem na \(D\) takim, że \(x_n^\ast \to x_0\) to \(x_n\) i \(x_n^\ast \) są podciągami ciągu Cauchy’ego \(z_n\),

\[ z_{2n}:=x_n,\quad z_{2n+1}=x_n^\ast \]

i 

\[ y_0=\lim _{n\to \infty } f(x_n)=\lim _{n\to \infty } f(z_n)=\lim _{n\to \infty } f(x_n^\ast ), \]

skąd wynika (10.3). Z Twierdzenia 5.5 wynika więc, że istnieje dokładnie jedna ciągła funkcja \(F\colon X\to Y\) będąca rozszerzeniem \(f\). Jeżeli \(x,x'\in X\) to z ciągłości \(F\) oraz ciągłości metryk \(\rho _X\) na \(X\) i \(\rho _Y\) na \(Y\) wynika, że

\begin{equation*} \rho _Y(F(x),F(x'))=\rho _Y(\lim f(x_n),\lim f(x_n'))=\lim \rho _Y(f(x_n),f(x_n')) = \lim \rho _X(x_n,x_n')=\rho _X(x,x'), \end{equation*}

więc \(F\) jest izometrią.  □

Dowód Twierdzenia 10.5. Niech \(X\) będzie przestrzenią metryczną i niech \(e\colon X\to C_b(X)\) będzie izometrią z tezy Twierdzenia 10.3. Ponieważ \(C_b(X)\) jest przestrzenią zupełną (Uwaga 10.5), \(\overline {e(X)}\) jest także przestrzenią zupełną na podstawie Uwag 8.3 i 8.5, a stąd wynika, że \(\overline {e(X)}\) jest uzupełnieniem \(X\).

Niech \((Y,\phi )\) i \((Y',\phi ')\) będą uzupełnieniami \(X\). Wtedy \(\phi '\circ \phi ^{-1}\) jest izometrią \(\phi (X)\to Y\); jej rozszerzenie do izometrii \(i\colon X\to X'\) wynika z Lematu 10.4. Analogicznie \(\phi \circ \phi '^{-1}\) rozszerza się do izometrii \(i'\colon X'\to X\). Złożenia \(i'\circ i\) oraz \(i\circ i'\) są identycznościami, bo są identycznościami na zbiorach gęstych (Uwaga 5.2 (b)).  □