Niech \(X\) będzie przestrzenią liniowa. \(X\) nazywa się przestrzenią liniową topologiczną jeżeli \((X,+)\) jest przemienną grupą topologiczną i działanie zewnętrzne
\[ X\times \mathbb R\ni (x,\lambda )\to \lambda x\in X \]
jest ciągłe. Ważną klasę przestrzeni liniowych topologicznych stanowią przestrzenie lokalnie wypukłe, to znaczy takie, dla których \(0\) ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów wypukłych.
Uwaga 10.2. Niech \(X\) będzie nietrywialną przestrzenią liniową.
(a) Jeżeli w \(X\) jest topologia antydyskretna to \(X\) jest przestrzenią liniową topologiczną, ale nie jest przestrzenią \(T_0\).
(b) Jeżeli w \(X\) jest topologia dyskretna, to \((X,+)\) jest lokalnie zwartą grupą topologiczną, ale \(X\) nie jest przestrzenią liniową topologiczną. □
Niech \(X\) będzie przestrzenią liniową topologiczną. Bezpośrednim przeformułowaniem Twierdzenia 9.1 jest
Dowód.
Ad (a). Ciągłość dodawania wynika z Twierdzenia 9.2, wystarczy więc udowodnić ciągłość mnożenia przez skalar z \(\mathbb R\). Ponieważ ciągłym jest odwzorowanie
\[ X\times \mathbb R\ni (x,\lambda )\to \lambda x+Z\in X/Z, \]
a więc także indukowane przez nie odwzorowanie \(X\times \mathbb R/Z\times \{0\}\to X/Z\), ciągłość
\[ X/Z\times \mathbb R\ni (x+Z,\lambda )\to \lambda x+Z\in X/Z \]
jest konsekwencją Twierdzenia 9.2(d), z którego wynika, że
\[ X\times \mathbb R/Z\times \{0\}\ni (x,\lambda )+(Z\times \{0\})\to (x+Z,\lambda )\in X/Z\times \mathbb R \]
jest homeomorfizmem.
(b) wynika z Twierdzenia 9.2(f). □
Dowód. Z Twierdzenia 9.2(b) wynika, że \(\overline {\{0\}}\) jest podgrupą \(X\). Ponieważ dla \(\lambda \neq 0\) odwzorowanie \(x\to \lambda x\) jest homeomorfizmem, \(x\in \overline {\{0\}}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\lambda x\in \overline {\{\lambda \cdot 0\}}=\overline {\{0\}}\). □
Zakładamy, że topologią w \(\mathbb R^n\) jest topologia wyznaczona przez normę euklidesową \(|\cdot |\).
Dowód. Wystarczy założyć \(n\geq 1\). Niech \(v_i\in X\) będą obrazami wektorów bazy kanonicznej \(\mathbb R^n\); wtedy
\[ \phi \colon \mathbb R^n\ni (t_1,\ldots ,t_n)\to \sum _{i=1}^n t_iv_i\in X \]
i z definicji przestrzeni liniowej topologicznej wynika, że \(\phi \) jest ciągłe. Trzeba więc udowodnić, że \(\phi ^{-1}\) też jest ciągłe. W tym celu wystarczy wykazać, że dla każdego otoczenia zera \(V\) w \(\mathcal R\) istnieje otoczenie zera \(W\) w \(\mathcal T\) takie, że \(\phi ^{-1}(W)\subset V\), bo wtedy dla dowolnego \(z\in \mathbb R^n\),
\[ \phi ^{-1}(\phi (z)+W)\subset z+V. \]
Zbiór \(\phi (S^{n-1})\) jest domknięty, bo jest zwarty, a \(X\) jest Hausdorffa z Uwagi 10.3. Ponieważ \(\phi \) jest izomorfizmem,
\[ 0\notin \phi (S^{n-1}). \]
Wybieramy \(U\), otwarte otoczenie \(0\) w \(X\) oraz \(\epsilon >0\) tak, aby
\[ [-\epsilon ,\epsilon ]\cdot U\subset X\setminus \phi (S^{n-1}), \]
co równoważnie zapisuje się jako
\[ [-\epsilon ,\epsilon ]\cdot \phi ^{-1}(U)\subset \mathbb R^n\setminus S^{n-1}. \]
Stąd dla każdego \(x\in U\) funkcja
\[ [0,\epsilon ]\ni t\to |t\phi ^{-1}(x)|\in \mathbb R \]
nie przyjmuje wartości \(1\), a więc z własności Darboux wynika, że
\[ |\epsilon \phi ^{-1}(x)|<1. \]
Niech \(r>0\) i niech \(W=r\epsilon U\). Wtedy
\[ \phi ^{-1}(W)=r\epsilon \phi ^{-1}(U)\subset U(0,r):=\{z\in \mathbb R^n\colon |z|<r\}, \]
a to kończy dowód. □
Dowód. Niech \(Z\) będzie skończenie wymiarową podprzestrzenią \(X\), niech \(x\notin Z\) i niech \(W\) będzie podprzestrzenią liniową \(X\) generowaną przez \(x\) i \(Z\). Ponieważ
\[ n:=\dim W<\infty , \]
z Twierdzenia 10.1 wynika, że izomorfizm \(\phi \colon \mathbb R^n\to W\), taki że \(\phi (\mathbb R^{n-1})=Z\), jest homeomorfizmem. Istnieje więc otoczenie otwarte \(V\) punktu \(x\) w \(W\) nieprzecinające \(Z\). Ponieważ topologia \(W\) jest indukowana z \(X\), istnieje zbiór otwarty \(U\subset X\) taki, że \(U\cap W=V\). Wtedy \(Z\cap U=\emptyset \), więc \(X\setminus Z\) jest otwarty. □
Dowód. Implikacja \(\Leftarrow \) jest bezpośrednią konsekwencją Twierdzenia 10.2.
(\(\Rightarrow \); dowód Terence’a Tao). Niech \(K\) będzie zwartym otoczeniem \(0\). Wtedy istnieje skończony zbiór \(S\subset X\) taki, że
\[ K\subset S+\tfrac {1}{2}K. \]
Niech \(W\) oznacza skończenie wymiarową podprzestrzeń \(X\) generowaną przez \(S\). Wtedy
\[ K\subset W +\tfrac {1}{2}K\subset W +\tfrac {1}{2}(W+\tfrac {1}{2}K)\subset \ldots , \]
więc,
\[ \forall k=1,2,\ldots \colon K\subset W+\tfrac {1}{2^n}K. \]
Niech \(E\) będzie dowolnym otoczeniem \(0\). Z ciągłości mnożenia przez skalar wynika, że dla każdego \(x\in X\) istnieje \(n_x\in \mathbb N\) oraz \(D_x\), otwarte otoczenie \(x\) takie, że \(\tfrac {1}{k}D_x\subset E\) dla wszystkich \(k\geq n_x\). Wynika stąd istnienie \(n\in \mathbb N\) takiego, że \(\tfrac {1}{2^n}K\subset E\), bo \(K\) jest zwarty. Udowodniliśmy więc, że
\[ \forall E,\ \text {otoczenia $0$}\colon K\subset W+E. \]
Stąd i z Wniosku 10.3 wynika, że
\(\seteqnumber{0}{10.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:kow} K\subset W, \end{equation}
bo jeżeli \(x\in K\) i \(E\) jest dowolnym otoczeniem \(0\) to istnieją \(w\in W\) i \(z\in E\) takie, że \(w=x-z\), więc
\[ (x+E)\cap W\neq \emptyset , \]
a więc \(x\in \overline {W}=W\). Niech \(x\in X\). Ponieważ \(K\) jest otoczeniem \(0\), na podstawie ciągłości mnożenia przez skalar istnieje \(\epsilon >0\) takie, że \(\epsilon x\in K\). Z (10.1) wynika więc, że \(x\in \tfrac {1}{\epsilon }W=W\) i udowodniliśmy w ten sposób, że \(X=W\). □
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną. Przestrzeń wszystkich ciągłych i ograniczonych funkcji \(X\to \mathbb R\) oznaczamy \(C_b(X)\). Norma na \(C_b(X)\) jest zdefiniowana wzorem
\[ \|f\|:=\sup _{x\in X}|f(x)|. \]
Zakładamy teraz, że \(\rho \) jest metryką w \(X\).
Dowód.
\[ \|f_x-f_y\|=\sup \{|f_x(z)-f_y(z)|\colon z\in X\}\geq |f_x(x)-f_y(x)|=\rho (y,x). \]
Dla wykazania przeciwnej nierówności zakładamy, że \(z\) jest dowolnym elementem \(X\). Można przyjąć, że \(\rho (x,z)\geq \rho (y,z)\); wtedy
\[ |f_x(z)-f_y(z)|=|\rho (x,z)-\rho (y,z)|=\rho (x,z)-\rho (y,z)\leq \rho (x,y) \]
na podstawie nierówności trójkąta, a stąd wynika, że
\[ \|f_x-f_y\|\leq \rho (x,y).\qedhere \]
□
Dowód Twierdzenia 10.3. Niech \(x_0\) będzie ustalonym punktem \(X\). Dla \(x\in X\) definiujemy
\[ f_x\colon X\ni z\to \rho (x,z)-\rho (x_0,z)\in \mathbb R. \]
Wtedy \(f_x\in C_b(X)\), bo z nierówności trójkąta wynika, że
\(\seteqnumber{0}{10.}{1}\)\begin{gather*} f_x(z)=\rho (x,z)-\rho (x_0,z)\leq \rho (x_0,x), \\ -\rho (x_0,x)\leq -\rho (x_0,z)+\rho (x,z)=f_x(z). \end{gather*} Z Lematu 10.2 wynika, że odwzorowanie
\[ X\ni x\to f_x\in C_b(X) \]
jest izometrią. □
Dowód. Dla dowolnej metryki \(\rho '\) zgodnej z topologią definiujemy
\[ \rho (x,y):=\min \{\rho '(x,y),1\}. \]
W celu udowodnienia, że \(\rho \) jest metryką na \(X\) wystarczy sprawdzić nierówność trójkąta
\(\seteqnumber{0}{10.}{1}\)\begin{equation} \label {eq:troj} \rho (x,z)\leq \rho (x,y)+\rho (y,z). \end{equation}
Jeżeli \(\rho '(x,y)\leq 1\) i \(\rho '(y,z)\leq 1\) to nierówność (10.2) jest spełniona. Ponieważ \(\rho (x,z)\leq 1\), nierówność (10.2) jest spełniona także, gdy \(\rho '(x,y)\geq 1\) lub \(\rho '(y,z)\geq 1\). □
Twierdzenie 10.4 (Kuratowskiego–Wojdysławskiego). Jeżeli \(X\) jest metryzowalna to istnieje homeomorfizm na obraz \(h\colon X\to C_b(X)\) taki, że \(h(X)\) jest domkniętym podzbiorem \({\rm conv}\,h(X)\). Ponadto, jeżeli \(\rho \) jest metryką ograniczoną na \(X\) to można przyjąć, że \(h\) jest izometrią.
Dowód. Niech \(\rho \) będzie metryką ograniczoną zgodną z topologią \(X\) (istnienie \(\rho \) wynika z Lematu 10.3). Dla \(x\in X\) funkcja
\[ f_x\colon X\ni y\to \rho (x,y)\in \mathbb R \]
należy do \(C_b(X)\). Definiujemy \(h(x):=f_x\). Z Lematu 10.2 wynika, że \(h\) jest izometrią. Niech \(f_{x_n}\to f\) i \(f\in {\rm conv}\,h(X)\). Niech \(x_0,\ldots ,x_k\in X\) i \(\alpha _0,\ldots ,\alpha _k\in I\) będą takie, że \(\sum _{i=0}^k\alpha _i=1\) i
\[ f=\sum _{i=0}^k \alpha _i f_{x_i}. \]
Można założyć, że \(i_0\in \{0,\ldots , k\}\) jest taki, że \(\alpha _{i_0}\geq \frac {1}{k+1}\). Wtedy
\(\seteqnumber{0}{10.}{2}\)\begin{equation*} \|f-f_{x_n}\| \geq |f(x_n)-f_{x_n}(x_n)|=|f(x_n)| = \sum _{i=0}^k \alpha _i f_{x_i}(x_n) \geq \alpha _{i_0} f_{x_{i_0}}(x_n) \geq \tfrac {1}{k+1} \rho (x_{i_0},x_n). \end{equation*}
Z założenia \(\|f-f_{x_n}\|\to 0\), więc \(x_n\to x_0\), skąd wynika, że \(f_{x_n}\to f_{x_0}\), to znaczy \(f=f_{x_0}\in h(X)\). □
Niech \(X\) będzie przestrzenią metryczną. Jej uzupełnieniem nazywamy parę \((Y,\phi )\), gdzie \(Y\) jest przestrzenią metryczną zupełną, a \(\phi \colon X\to Y\) jest izometrią dla której \(\overline {\phi (X)}=Y\). O ile nie prowadzi to do nieporozumień, uzupełnieniem \(X\) nazywa się także samą przestrzeń \(Y\).
Dowód. Niech \(x_0\in X\). Istnieje ciąg \(x_n\in D\) taki, że \(x_n\to x_0\). Wtedy \(x_n\) jest ciągiem Cauchy’ego na \(D\), skąd wynika, że \(f(x_n)\) jest ciągiem Cauchy’ego na \(Y\), więc \(f(x_n)\to y_0\) dla pewnego \(y_0\in Y\). W oparciu o Twierdzenie 2.5 udowodnimy, że
\(\seteqnumber{0}{10.}{2}\)\begin{equation} \label {eq:yod} y_0=\lim _{x\to x_0,\ x\in D} f(x). \end{equation}
Jeżeli \(x_n^\ast \) jest dowolnym ciągiem na \(D\) takim, że \(x_n^\ast \to x_0\) to \(x_n\) i \(x_n^\ast \) są podciągami ciągu Cauchy’ego \(z_n\),
\[ z_{2n}:=x_n,\quad z_{2n+1}=x_n^\ast \]
i
\[ y_0=\lim _{n\to \infty } f(x_n)=\lim _{n\to \infty } f(z_n)=\lim _{n\to \infty } f(x_n^\ast ), \]
skąd wynika (10.3). Z Twierdzenia 5.5 wynika więc, że istnieje dokładnie jedna ciągła funkcja \(F\colon X\to Y\) będąca rozszerzeniem \(f\). Jeżeli \(x,x'\in X\) to z ciągłości \(F\) oraz ciągłości metryk \(\rho _X\) na \(X\) i \(\rho _Y\) na \(Y\) wynika, że
\(\seteqnumber{0}{10.}{3}\)\begin{equation*} \rho _Y(F(x),F(x'))=\rho _Y(\lim f(x_n),\lim f(x_n'))=\lim \rho _Y(f(x_n),f(x_n')) = \lim \rho _X(x_n,x_n')=\rho _X(x,x'), \end{equation*}
więc \(F\) jest izometrią. □
Dowód Twierdzenia 10.5. Niech \(X\) będzie przestrzenią metryczną i niech \(e\colon X\to C_b(X)\) będzie izometrią z tezy Twierdzenia 10.3. Ponieważ \(C_b(X)\) jest przestrzenią zupełną (Uwaga 10.5), \(\overline {e(X)}\) jest także przestrzenią zupełną na podstawie Uwag 8.3 i 8.5, a stąd wynika, że \(\overline {e(X)}\) jest uzupełnieniem \(X\).
Niech \((Y,\phi )\) i \((Y',\phi ')\) będą uzupełnieniami \(X\). Wtedy \(\phi '\circ \phi ^{-1}\) jest izometrią \(\phi (X)\to Y\); jej rozszerzenie do izometrii \(i\colon X\to X'\) wynika z Lematu 10.4. Analogicznie \(\phi \circ \phi '^{-1}\) rozszerza się do izometrii \(i'\colon X'\to X\). Złożenia \(i'\circ i\) oraz \(i\circ i'\) są identycznościami, bo są identycznościami na zbiorach gęstych (Uwaga 5.2 (b)). □
Niech \(X\) będzie przestrzenią liniową unormowaną, a \((Y,\phi )\) jej uzupełnieniem. W \(Y\) można jednoznacznie określić strukturę przestrzeni liniowej oraz normę, definiując
\(\seteqnumber{0}{10.}{3}\)\begin{align*} \lim \phi (x_n) + \lim \phi (y_n)&:=\lim \phi (x_n+y_n), \\ \alpha \lim \phi (x_n)&:=\lim \phi (\alpha x_n), \\ \|\lim \phi (x_n)\|&:=\lim \|x_n\|, \end{align*} gdzie \(x_n\) i \(y_n\) są ciągami Cauchy’ego na \(X\). Wtedy \(Y\) jest przestrzenią Banacha. Ponadto, jeżeli \((Y',\phi ')\) jest także uzupełnieniem \(X\) i \(i \colon Y\to Y'\) jest bijektywną izometrią taką, że \(\phi '=i\circ \phi \) to \(i\) jest izomorfizmem liniowym. Z Twierdzenia 10.5 wynika więc