Przestrzeń topologiczna jest spójna gdy nie jest sumą dwóch zbiorów niepustych, rozłącznych i domkniętych. Równoważnie: jedynymi podzbiorami domknięto-otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń. Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywa się zbiorem spójnym jeżeli jest przestrzenią spójną w topologii indukowanej.
Dowód. Niech \(\emptyset \neq B\) będzie zbiorem domknięto-otwartym w \(C\). Ponieważ \(A\) jest spójny, albo \(A\subset B\) albo \(A\cap B=\emptyset \).
Załóżmy najpierw, że \(A\subset B\). Istnieje domknięty podzbiór \(F\subset \overline {A}\) taki, że
\[ B=F \cap C. \]
Wtedy \(A\subset F\), więc \(\overline {A}\subset F\), skąd wynika że \(F=\overline {A}\) i \(B=C\).
Niech teraz \(A\cap B=\emptyset \). Istnieje otwarty podzbiór \(U\) w \(X\) taki, że
\[ B=U\cap C. \]
Wtedy \(U\cap A\subset U\cap C=B\), więc \(U\cap A=\emptyset \), skąd wynika, że \(B\subset U\cap \overline {A}=\emptyset \). □
Twierdzenie 4.1 (Własności zbiorów spójnych).
(a) Jeżeli \(A_t\subset X\) jest spójny dla każdego \(t\in T\) i
\[ \bigcap _{t\in T}A_t\neq \emptyset \]
to \(\bigcup _{t\in T} A_t\) jest spójny.
(b) Jeżeli \(X_t\) jest spójna dla każdego \(t\in T\) to \(\prod _{t\in T}X_t\) jest spójny.
(c) Jeżeli \(X\) jest spójna i \(f\colon X\to Y\) jest ciągła to \(f(X)\) jest spójny.
Dowód.
Ad (a). Niech \(\emptyset \neq B\subset \bigcup A_t\) będzie zbiorem domknięto-otwartym. Wtedy dla każdego \(t\in T\) albo \(A_t\subset B\) albo \(B\subset \setminus A_t\). Ponieważ \(B\cap A_{t_0}\neq \emptyset \) dla pewnego \(t_0\in T\),
\[ A_{t_0}\subset B. \]
Stąd i z założenia wynika, że \(A_t\cap B\neq \emptyset \) dla każdego \(t\in T\), wiec \(A_t\subset B\).
Ad (b).
Etap 1. Jeżeli \(x,y\in \prod X_t\) i \(\#\{t\in T\colon \pi _t(x)\neq \pi _t(y)\}=n<\infty \) to istnieje spójny \(C\subset \prod X_t\) taki, że \(x,y\in C\).
Dowód indukcyjny; niech najpierw \(n=1\); wtedy \(\pi _t(x)=\pi _t(y)\) dla każdego \(t\neq t_1\). Z Twierdzenia 3.6 wynika, że odwzorowanie \(\pi _{t_1}\) zawężone do \(X(x,t_1)\) jest homeomorfizmem na \(X_{t_1}\). Stąd \(x\) i \(y\) należą do spójnego zbioru \(X(x,t_1)\).
Zakładamy teraz, że teza jest prawdziwa dla \(1,\ldots ,n-1\) i niech \(\pi _t(x)=\pi _t(y)\) dla wszystkich \(t\notin \{t_1,\ldots ,t_n\}\), gdzie \(t_1,\ldots ,t_n\) są różnymi elementami \(T\). Niech \(z\) będzie elementem \(\prod X_t\) dla którego \(\pi _{t_1}(z)=\pi _{t_1}(y)\) i
\[ \forall t\neq t_1\colon \pi _t(z)=\pi _t(x). \]
Stąd \(\pi _t(z)=\pi _t(y)\) dla wszystkich \(t\neq \{t_2,\ldots , t_n\}\). Istnieją więc zbiory spójne \(C_1\) i \(C_2\) takie, że \(x,z\in C_1\) i \(y,z\in C_2\). Wtedy \(x,y\in C_1\cup C_2\), który jest spójny na podstawie (a).
Etap 2. Niech \(x_0\in \prod X_t\) i niech
\[ A:=\{x\in \prod X_t\colon \pi _t(x)\neq \pi _t(x_0)\ \text {dla skoÅĎczonej liczby elementÃşw $t\in T$}\}. \]
Udowodnimy, że \(A\) jest gęsty w \(\prod X_t\). Niech \(U\) będzie otwartym podzbiorem \(\prod X_t\). Można założyć, że \(U\) należy do bazy topologii, to znaczy \(U=\prod U_t\) i \(U_t\neq \emptyset \) jest otwarty w \(X_t\) oraz \(U_t=X_t\) dla wszystkich \(t\) spoza skończonego zbioru \(\{t_1,\ldots ,t_n\}\). Niech \(y\in \prod X_t\) spełnia warunki
\[ \forall i=1,\ldots ,n\colon \pi _{t_i}(y)\in U_{t_i},\quad \forall t\neq t_1,\ldots ,t_n\colon \pi _t(y)=\pi _t(x_0). \]
Wtedy \(y\in A\cap U\), co implikuje gęstość \(A\). Z Etapu 1 wynika, że dla każdego \(x\in A\) istnieje spójny zbiór \(C_x\) taki, że \(x,x_0\in C_x\). Z (a) wynika, że \(B:=\bigcup _{x\in A} C_x\) jest spójny, więc \(\overline {B}\) jest także spójny na podstawie Uwagi 4.1. Ponieważ \(A\subset B\) i \(A\) jest gęsty, \(\prod X_t=\overline {B}\) jest spójny.
Ad (c). Niech \(B\) będzie domknięto-otwartym podzbiorem \(f(X)\). Ponieważ \(f\) jako odwzorowanie \(X\to f(X)\) jest ciągłe, \(f^{-1}(B)\) jest równy \(\emptyset \) lub \(X\). Stąd \(B=\emptyset \) lub \(B=f(X)\). □
Niech \(x\in X\). Składową punktu \(x\) nazywamy największy podzbiór spójny \(X\) zawierający \(x\). Z Twierdzenia 4.1 (a) i Uwagi 4.1 wynika
Przestrzeń topologiczna \(X\) nazywa się przestrzenią lokalnie spójną gdy każdy punkt ma bazę otoczeń spójnych.
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną i niech \(x_0,x_1\in X\). Każde odwzorowanie ciągłe \(\alpha \colon I\to X\) (przypomnienie: \(I:=[0,1]\)) takie, że \(\alpha (0)=x_0\) i \(\alpha (1)=x_1\) nazywa się drogą łączącą \(x_0\) z \(x_1\). Jeżeli droga \(\alpha \) łączy \(x_0\) z \(x_1\), a droga \(\beta \) łączy \(x_1\) z \(x_2\) to droga \(\alpha \ast \beta \colon I\to X\),
\[ \alpha \ast \beta (t):=\begin {cases} \alpha (2t),&\text {gdy $t\in [0,\tfrac {1}{2}]$}, \\ \beta (2t-1),&\text {gdy $t\in [\tfrac {1}{2},1]$}, \end {cases} \]
łączy \(x_0\) z \(x_2\).
\(X\) nazywa się przestrzenią łukowo spójna gdy jej każde dwa punkty można połączyć drogą. Ponieważ \(I\) jest zbiorem spójnym, spójny jest także obraz każdej drogi, skąd wynika
Twierdzenie 4.2 (Własności zbiorów łukowo spójnych).
(a) Jeżeli \(A_t\subset X\) jest łukowo spójny dla każdego \(t\in T\) i
\[ \bigcap _{t\in T}A_t\neq \emptyset \]
to \(\bigcup _{t\in T} A_t\) jest łukowo spójny.
(b) Jeżeli \(X_t\) jest łukowo spójna dla każdego \(t\in T\) to \(\prod _{t\in T}X_t\) jest łukowo spójny.
(c) Jeżeli \(X\) jest łukowo spójna i \(f\colon X\to Y\) jest ciągła to \(f(X)\) jest łukowo spójny.
Dowód.
Ad (a). Niech \(x\in \bigcap _t A_t\) i niech \(x_0,x_1\in \bigcup _t A_t\). Wtedy \(x_0\in A_{t_0}\) i \(x_1\in A_{t_1}\) dla pewnych \(t_0,t_1\in T\). Niech droga \(\alpha _0\) łączy \(x_0\) z \(x\) w \(A_{t_0}\), a \(\alpha _1\) łączy \(x\) z \(x_1\) w \(A_{t_1}\). Wtedy \(\alpha _0\ast \alpha _1\) łączy \(x_0\) z \(x_1\) w \(\bigcup _t A_t\).
Ad (b). Niech \(x,y\in \prod _t X_t\) i niech \(\alpha _t\) będzie drogą łączącą \(\pi _t(x)\) z \(\pi _t(y)\) w \(X_t\). Wtedy zestawienie \(\{\alpha _t\}_t\colon I\to \prod _t X_t\) jest drogą łączącą \(x\) z \(y\).
Ad (c). Jeżeli \(\alpha \) łączy \(x_0\) z \(x_1\) w \(X\) to \(f\circ \alpha \) łączy \(f(x_0)\) z \(f(x_1)\) w \(f(X)\). □
Składową łukową punktu \(x\in X\) nazywa się największy łukowo spójny podzbiór \(X\) zawierający \(x\). Z Twierdzenia 4.2 (a) wynika
Z Uwagi 4.4 wynika, że składowa łukowa \(x\) jest podzbiorem składowej \(x\). \(X\) nazywa się przestrzenią lokalnie łukowo spójna gdy każdy jej punkt ma bazę otoczeń łukowo spójnych. Oczywiście przestrzeń lokalnie łukowo spójna jest lokalnie spójna.
Dowód. Niech \(X\) będzie przestrzenią spójną i lokalnie łukowo spójną, \(x_0\in X\) i niech \(C\) będzie składową łukową \(x_0\). Ponieważ \(C\) jest zbiorem otwartym (z Uwagi 4.6), wystarczy udowodnić, że \(C\) jest domknięty. Niech \(x_1\in \overline {C}\) i niech \(U\) będzie łukowo spójnym otoczeniem \(x_1\). Wtedy \(U\cap C\neq \emptyset \) i niech \(y\in U\cap C\), \(\alpha \) będzie drogą łączącą \(x_0\) z \(y\) w \(C\), a \(\beta \) drogą łączącą \(y\) z \(x_1\) w \(U\). Wtedy \(\alpha \ast \beta \) łączy \(x_0\) z \(x_1\) w \(X\). Wynika stąd, że \(x_1\in C\), więc \(C=\overline {C}\). □
Dowód. Zakładamy, że \(X\) jest przestrzenią lokalnie łukowo spójną. Niech \(x\in X\), \(C\) będzie jego składową łukową, a \(C'\) jego składową. Wtedy \(C\subset C'\). Ponieważ \(C'\) jest zbiorem otwartym (bo \(X\) jest lokalnie spójna), więc jest także zbiorem lokalnie łukowo spójnym. Z Twierdzenia 4.3 wynika, że \(C'\) jest łukowo spójny, więc \(C'\subset C\). □
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną. \(X\) nazywa się przestrzenią \(-1\)-spójną gdy \(X\neq \emptyset \). Niech \(n\in \mathbb N\). \(X\) nazywa się przestrzenią \(n\)-spójną gdy jest \(n-1\)-spójną i każde odwzorowanie ciągłe \(S^n\to X\) rozszerza się do ciągłego odwzorowania \(D^{n+1}\to X\). \(X\) nazywa się przestrzenią \(\infty \)-spójną, gdy jest \(n\)-spójną dla każdego \(n\in \mathbb N\).
W szczególności, \(X\) jest \(0\)-spójną wtedy i tylko wtedy gdy \(X\) jest niepustą przestrzenią łukowo spójną. Przestrzeń \(1\)-spójna jest nazywana także przestrzenią jednospójną.
\(X\) nazywa się przestrzenią \(0\)-lokalnie spójną gdy jest lokalnie łukowo spójną. Dla \(n=1,2,\ldots \) zwykle przyjmuje się inny warunek definiujący lokalną \(n\)-spójność przestrzeni niż istnienie baz \(n\)-spójnych otoczeń jej punktów. \(X\) nazywa się przestrzenią lokalnie \(n\)-spójną gdy jest \(n-1\)-lokalnie spójną i gdy dla każdego \(x\in X\) i dla dowolnego jego otoczenia \(U\) istnieje otoczenie \(V\subset U\) takie, że dla każdego odwzorowania ciągłego \(f\colon S^{n}\to V\) istnieje rozszerzenie w \(U\), to znaczy odwzorowanie ciągłe \(F\colon D^{n+1}\to U\) dla którego \(F(t)=f(t)\) gdy \(t\in S^n\). \(X\) nazywa się przestrzenią lokalnie \(\infty \)-spójną gdy jest lokalnie \(n\)-spójną dla każdego \(n\in \mathbb N\).