Niech \(X\) i \(Y\) będą przestrzeniami topologicznymi, \(f\colon X\to Y\) i \(x_0\in X\). \(f\) jest ciągła w \(x_0\) gdy
\[ f(x_0)=\lim _{x\to x_0}f(x), \]
to znaczy dla każdego otoczenia \(U\) punktu \(f(x_0)\) istnieje otoczenie \(V\) punktu \(x_0\) takie, że
\[ f(V)\subset U. \]
Wnioskami z Twierdzeń 2.4 i 2.5 są
Uwaga 3.2. Następujące warunki są równoważne:
(a) \(f\) jest ciągła w \(x_0\),
(b) dla każdej bazy \(\mathcal A\) na \(X\),
\[ \mathcal A\to x_0\Rightarrow f(\mathcal A)\to f(x_0), \]
(c) dla każdego ciągu uogólnionego \(\phi \colon \Sigma \to X\),
\[ \phi \to x_0 \Rightarrow f\circ \phi \to f(x_0). \pushQED {\qed } \qedhere \popQED \]
\(f\) nazywa się funkcją ciągłą gdy \(f\) jest ciągła w \(x\) dla każdego \(x\in X\).
Twierdzenie 3.1. Następujące warunki są równoważne:
(a) \(f\) jest ciągła,
(b) \(f(\overline {A})\subset \overline {f(A)}\) dla każdego \(A\subset X\),
(c) \(f^{-1}(F)\) jest domknięty dla każdego domkniętego \(F\subset Y\),
(d) \(f^{-1}(U)\) jest otwarty dla każdego otwartego \(U\subset Y\),
(e) \(f^{-1}({\rm int}\,B)\subset {\rm int}\,f^{-1}(B)\) dla każdego \(B\subset Y\).
Dowód. Równoważność (c) i (d) jest oczywista.
(a) \(\Rightarrow \) (b). Niech \(x\in \overline {A}\). Z Twierdzenia 2.2 wynika, że istnieje baza \(\mathcal B\) na \(A\) taka, że \(\mathcal B\to x\). Wtedy \(f(\mathcal B)\to f(x)\) na podstawie Uwagi 3.2, skąd wynika, że \(f(x)\in \overline {f(A)}\) bo \(f(\mathcal B)\) jest bazą na \(f(A)\).
(b) \(\Rightarrow \) (c). Niech \(F\subset Y\) będzie zbiorem domkniętym. Wtedy
\[ \overline {f^{-1}(F)}\subset f^{-1}f\left ( \overline {f^{-1}(F)}\right ) \subset f^{-1}\left ( \overline {f(f^{-1}(F))}\right ) \subset f^{-1}\left (\overline {F}\right )=f^{-1}(F), \]
więc \(f^{-1}(F)=\overline {f^{-1}(F)}\).
(d) \(\Rightarrow \) (e). Niech \(B\subset Y\). Ponieważ \({\rm int}\, B\) jest otwarty, \(f^{-1}({\rm int}\,B)\) jest otwartym podzbiorem \(f^{-1}(B)\), więc jest także podzbiorem wnętrza \(f^{-1}(B)\).
(e) \(\Rightarrow \) (d). Niech \(U\) będzie otwartym podzbiorem \(Y\). Wtedy
\[ f^{-1}(U)=f^{-1}({\rm int}\,U)\subset {\rm in t}\,f^{-1}(U), \]
więc \(f^{-1}(U)\) jest równy swojemu wnętrzu.
(d) \(\Rightarrow \) (a). Niech \(x\in X\) i niech \(U\) będzie otwartym otoczeniem \(f(x)\) w \(Y\). Z założenia \(f^{-1}(U)\) jest otwartym otoczeniem \(x\) i \(f(f^{-1}(U))\subset U\). □
Funkcjami ciągłymi są identyczność na przestrzeni \(X\) i wszystkie funkcje stałe; złożenie funkcji ciągłych jest ciągłe.
\(f\) nazywa się odwzorowaniem otwartym (domkniętym) gdy obraz \(f(A)\) każdego zbioru otwartego (domkniętego) \(A\subset X\) jest otwarty (domknięty). \(f\) nazywa się homeomorfizmem gdy jest bijekcją i \(f\) wraz z \(f^{-1}\) są odwzorowaniami ciągłymi (lub, równoważnie, \(f\) jest ciągłe i otwarte lub domknięte).
Przestrzenie topologiczne \(X\) i \(Y\) nazywają się przestrzeniami homeomorficznymi gdy istnieje homeomorfizm \(X\to Y\). Relacja homeomorficzności jest relacją równoważnościową. Własność przestrzeni topologicznej \(X\) nazywa się własnością topologiczną, gdy przysługuje także przestrzeniom homeomorficznym z \(X\). W szczególności, metryzowalność jest własnością topologiczną. Niezmiennikiem topologicznym nazywa się funkcję określoną na klasie przestrzeni topologicznych, posiadającą stałą wartość dla przestrzeni homeomorficznych. Przykładem niezmiennika topologicznego jest ciężar przestrzeni topologicznej, tzn. najmniejsza możliwa liczba kardynalna bazy topologii.
Niech \(X\) będzie zbiorem, \(\{Y_t\}_{t\in T}\) rodziną przestrzeni topologicznych, a \(f_t\colon X\to Y_t\) dowolnymi funkcjami. Topologia początkowa (inaczej: projektywna) na \(X\) wprowadzona przez \(\{f_t\}_{t\in T}\) jest to najsłabsza topologia dla której wszystkie \(f_t\) są ciągłe.
Zakładamy, że topologia na \(X\) jest wprowadzona przez \(\{f_t\}_{t\in T}\).
Dowód. Uzasadnienia wymaga tylko jedna implikacja. Niech \(U\) będzie otwartym otoczeniem \(x\). Na podstawie Uwagi 3.4 można przyjąć, że
\[ U=\bigcap _{i=1}^k f_{t_i}^{-1}(V_i), \]
gdzie \(V_i\) jest otwartym otoczeniem \(f_{t_i}(x)\) w \(Y_{t_i}\). Dla \(i=1,\ldots ,k\) istnieje \(A_i\in \mathcal A\) taki, że
\[ f_{t_i}(A_i)\subset V_i. \]
Niech \(A\in \mathcal A\), \(A\subset A_1\cap \ldots \cap A_k\). Wtedy
\[ A\subset f_{t_i}^{-1}(f_{t_i}(A))\subset f_{t_i}^{-1}(V_i), \]
dla każdego \(i=1,\ldots ,k\), a stąd wynika, że \(A\subset U\). □
Dowód. Niech \(z\in Z\) i niech \(\mathcal A\to z\). Jeżeli \(f_t(g(\mathcal A))\to f_t(g(z))\) dla każdego \(t\in T\) to z Uwagi 3.5 wynika, że \(g(\mathcal A)\to g(z)\). □
Niech teraz \(X_t\) będzie rodziną przestrzeni topologicznych, \(Y\) zbiorem i \(f_t\colon X_t\to Y\). Topologia końcowa (inaczej: induktywna) na \(Y\) wprowadzona przez \(\{f_t\}_{t\in T}\) jest to najsilniejsza topologia dla której wszystkie \(f_t\) są ciągłe.
Zakładamy, że w \(Y\) jest topologia końcowa wprowadzona przez \(\{f_t\}_{t\in T}\).
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną i \(A\subset X\). Topologią indukowaną na \(A\) nazywa się topologię początkową wprowadzoną przez jednoelementową rodzinę \(\{i\}\), gdzie
\[ i\colon A\hookrightarrow X \]
jest inkluzją. Z Uwagi 3.4, \(W\) jest otwarty (domknięty) w \(A\) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje \(W'\) otwarty (odpowiednio, domknięty) w \(X\) taki, że \(W=A\cap W'\). \(g\colon Z\to A\) jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy \(i\circ g\) jest ciągła. Jeżeli \(f\colon X\to Y\) jest ciągła to \(f|_A:=f\circ i\colon A \to Y\) jest ciągła.
Gdy \(B\subset A\) to domknięcie i wnętrze \(B\) w \(A\) oznaczane są, odpowiednio, \(\overline {B}\, ({\rm rel}\, A)\) i \({\rm int}\,B\, ({\rm rel}\, A)\).
Uwaga 3.8. Niech \(B\subset A\). Wtedy
(a) \(\overline {B}\,({\rm rel}\, A)=\overline {B}\cap A\),
(b) jeżeli \(A\) jest domknięty w \(X\) to \(\overline {B}\, ({\rm rel}\, A)=\overline {B}\); jeżeli ponadto \(B\) jest domknięty w \(A\) to \(B\) jest domknięty w \(X\),
(c) \({\rm int}\, B\subset {\rm int}\,B\, ({\rm rel}\, A)\),
(d) jeżeli \(A\) jest otwarty w \(X\) i \(B\) jest otwarty w \(A\) to \(B\) jest otwarty w \(X\).
(e) jeżeli \(A\) jest otwarty w \(X\) to \({\rm int}\, B={\rm int}\,B\, ({\rm rel}\, A)\).
Dowód. (a) wynika z
\[ \overline {B}\, ({\rm rel}\, A)=\bigcap _{F\ \text {domkniÄŹty w}\ X,\ B\subset F} F\cap A = \left (\bigcap _{F\ \text {domkniÄŹty w}\ X,\ B\subset F} F\right ) \cap A = \overline {B}\cap A; \]
(b) bezpośrednio wynika z (a).
Ad (c). \({\rm int}\,B\) jest otwarty w \(X\) i zawarty w \(A\), więc jest otwarty w \(A\). Ponieważ jest zawarty w \(B\), \({\rm int}\,B\subset {\rm int}\,B({\rm rel}\,A)\).
Ad (d). \(B\) jest otwarty w \(A\) więc \(B=A\cap U\), gdzie \(U\) jest otwarty w \(X\); z otwartości \(A\) w \(X\) wynika teza.
Ad (e). Zbiór \(\operatorname {int}B (\operatorname {rel}A)\subset B\) jest otwarty w \(A\), więc jest także otwarty w \(X\) na podstawie (d), stąd \(\operatorname {int}B (\operatorname {rel}A)\subset \operatorname {int}B\) i z (c) wynika teza. □
Z Uwagi 3.8(a) wynika natychmiast, że podzbiór \(A\) przestrzeni \(X\) jest gęsty w swoim domknięciu \(\overline {A}\).
Niech \(\mathcal A\subset 2^X\). \(\mathcal A\) nazywa się lokalnie skończoną rodziną zbiorów gdy
\[ \forall x\in X\ \exists U,\ \text {otoczenie $x$}\colon \#\{A\in \mathcal A \colon A\cap U\neq \emptyset \}<\infty . \]
Niech \(\{A_t\colon t\in T\}\) będzie pokryciem \(X\) i \(f_t\colon A_t\to Y\) będą takimi odwzorowaniami, że
\[\‚f_s|_{A_s\cap A_t}=f_t|_{A_s\cap A_t} \]
dla wszystkich \(s,t\in T\) i niech \(f\colon X\to Y\) będzie sklejeniem
\[ f:=\bigcup _{t\in T} f_t. \]
Dowód. Jeżeli \(A_t\) jest otwarty dla każdego \(t\in T\) i \(U\) jest otwartym podzbiorem \(Y\) to
\[ f^{-1}(U)=\bigcup _{t\in T} f_t^{-1}(U) \]
jest zbiorem otwartym \(X\), bo \(f_t^{-1}(U)\) jest otwarty w \(A_t\). Niech teraz wszystkie \(A_t\) będą zbiorami domkniętymi i \(F\) jest domknięty w \(Y\). Zakładamy najpierw, że \(T\) jest skończony. Wtedy
\[ f^{-1}(F)=\bigcup _{t\in T} f_t^{-1}(F) \]
jest domknięty w \(X\). W ogólnym przypadku, dla \(x\in X\) niech \(U_x\) będzie otwartym otoczeniem \(x\) z definicji lokalnej skończoności. Wtedy \(f|_{U_x}\) jest ciągłe dla każdego \(x\in X\) i \(f\), jako sklejenie \(f|_{U_x}\) na zbiorach otwartych, też jest ciągłe. □
Niech \(f\colon X\to Y\) będzie injekcją ciągłą. \(f\) nazywa się homeomorfizmem na obraz (inaczej: zanurzeniem), gdy odwzorowanie
\[ X\ni x\to f(x)\in f(X) \]
jest homeomorfizmem i na \(f(X)\) jest topologia indukowana z \(Y\).
Niech \(X_t\), \(t\in T\), będą przestrzeniami topologicznymi. Topologia Tichonowa (inaczej: topologia produktowa) na \(\prod _{t\in T} X_t\) jest topologią początkową wprowadzoną przez rzutowania kanoniczne \(\{\pi _t\}_{t\in T}\). Zbiory
\[ \left \{\prod _{t\in T}U_t\colon U_t\ \text {otwarty w $X_t$},\ U_t=X_t\ \text {dla prawie wszystkich $t\in T$}\right \} \]
stanowią bazę topologii Tichonowa. Wynika stąd, że
Niech \(\mathcal A\) będzie bazą w \(\prod _{t\in T}X_t\). Z Uwagi 3.5 wynika, że \(\mathcal A\to \{x_t\}_{t\in T}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\pi _t(\mathcal A)\to x_t\) dla każdego \(t\in T\). Z Twierdzenia 3.2 wynika, że odwzorowanie \(g\colon Z\to \prod _{t\in t}X_t\) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie \(\pi _t\circ g\) są ciągłe.
Niech \(A_t\subset X_t\) dla \(t\in T\) i na \(A_t\) będzie topologia indukowana z \(X_t\).
Dowód. \(\{\prod _{t\in T}U_t\colon U_t\ \text {otwarty w $A_t$},\ U_t=A_t\ \text {dla prawie wszystkich $t$}\}\) jest bazą obydwu topologii na \(\prod _{t\in T} A_t\). □
Dowód.
(\(\subset \)). Niech \(x=\{x_t\}\in \overline {\prod _{t\in T}A_t}\), niech \(t_0\in T\) i niech \(V\) będzie otwartym otoczeniem \(x_{t_0}\) w \(X_{t_0}\). Wystarczy sprawdzić, że
\(\seteqnumber{0}{3.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:vat} V\cap A_{t_0}\neq \emptyset . \end{equation}
Określamy zbiór otwarty \(U:=\prod _{t\in T}U_t\) wzorem
\[ U_{t_0}:=V,\ U_t=X_t\ \text {dla $t\neq t_0$}. \]
\(U\) jest otoczeniem \(x\), więc
\[ \prod _{t\in T} (U_t\cap A_t)=U\cap \prod _{t\in T}A_t\neq \emptyset , \]
skąd otrzymujemy (3.1).
(\(\supset \)). Niech \(U\) będzie otoczeniem \(x=\{x_t\}\in \prod _{t\in T}\overline {A_t}\). Można założyć, że \(U=\prod _{t\in T}U_t\), gdzie \(U_t\) jest otwarty w \(X_t\) i \(U_t=X_t\) dla prawie wszystkich \(t\). Wtedy \(U_t\) jest otoczeniem \(x_t\), więc \(U_t\cap A_t\neq \emptyset \) dla każdego \(t\), a stąd wynika, że \(U\cap \prod _{t\in T}A_t\neq \emptyset \), co kończy dowód. □
Niech \(y\in \prod _{t\in T}X_t\) i niech \(s\in T\). Określamy
\[ X(y,s):=\left \{x\in \prod _{t\in T} X_t\colon \pi _t(x)=\pi _t(y)\ \forall t\neq s\right \}. \]
Dowód. Ponieważ inkluzja \(i\colon X(y,s)\hookrightarrow \prod _{t\in T} X_t\) jest ciągła, ciągłą funkcją jest też \(\sigma =\pi _s\circ i\). Odwrotnym odwzorowaniem do \(\sigma \) jest
\[ \sigma ^{-1}\colon X_s\ni u\to \{x_t\}\in X(y,s), \]
gdzie \(x_s:=u\) i \(x_t:=\pi _t(y)\) dla \(t\neq s\). Wystarczy udowodnić, że \(i\circ \sigma ^{-1}\) jest ciągła. Jeżeli \(t\neq s\) to \(\pi _t\circ i\circ \sigma ^{-1}\) jest odwzorowaniem stałym równym \(\pi _t(y)\), a gdy \(t= s\) to jest identycznością na \(X_s\). Tak więc \(\pi _t\circ i\circ \sigma ^{-1}\) jest ciągłe dla każdego \(t\in T\), a stąd wynika ciągłość \(i\circ \sigma ^{-1}\). □
Niech \(f_t\colon X_t\to X'_t\), \(t\in T\).
Dowód. Niech wszystkie \(f_t\) będą ciągłe. Dla dowodu ciągłości iloczynu kartezjańskiego wystarczy wykazać, że \(\pi '_s\circ \prod f_t\) jest ciągłe dla każdego \(s\in T\), a to jest konsekwencją przemienności diagramu
to znaczy równości \(\pi '_s\circ \prod f_t=f_s\circ \pi _s\). Jeżeli iloczyn kartezjański jest ciągły to
\[ f_s=\pi '_s\circ \prod f_t \circ \sigma ^{-1}, \]
gdzie \(\sigma \) jest określone w Twierdzeniu 3.6, jest też ciągłe. □
Niech \(g_t\colon Z\to X_t\), \(t\in T\).
W szczególności, dla przestrzeni topologicznej \(X\) i zbioru \(T\) odwzorowanie diagonalne (będące zestawieniem identyczności) \(\Delta \colon X\to X^T\) jest ciągłe.
Przykład 3.1. Topologia iloczynu kartezjańskiego \(\mathbb R^n\) jest równa topologii metrycznej wyznaczonej przez normę euklidesową na \(\mathbb R^n\). Działania dodawania, odejmowania i mnożenia na \(\mathbb R\) są ciągłymi funkcjami \(\mathbb R^2\to \mathbb R\), bo dodawanie i odejmowanie są monotoniczne, a mnożenie jest rosnące w \([0,\infty )^2\). Ogólniej, działania dodawania i odejmowania są funkcjami ciągłymi \(\mathbb R^n\times \mathbb R^n\to \mathbb R^n\), a mnożenie przez skalar jest ciągłą funkcją \(\mathbb R\times \mathbb R^n\to \mathbb R^n\).
Zakładamy, że \(X\) jest przestrzenią topologiczną, a \(\mathcal R\) jest relacją równoważnościową na \(X\). Niech \([x]\) oznacza klasę równoważności \(x\in X\) w relacji \(\mathcal R\).
\[ q:=q_{\mathcal R}\colon X\ni x\to [x]\in X/\mathcal R \]
nazywa się odwzorowaniem ilorazowym. Topologia ilorazowa na \(X/\mathcal R\) jest topologią końcową wprowadzoną przez \(\{q\}\). W szczególności, \(A\) jest otwarty w \(X/\mathcal R\) wtedy i tylko wtedy gdy \(q^{-1}(A)\) jest otwarty w \(X\) i \(h\colon X/\mathcal R\to Z\) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy ciągłe jest złożenie \(h\circ q\).
Niech \(\mathcal S\) będzie relacją równoważności na przestrzeni topologicznej \(Y\) i \(f\colon X\to Y\) będzie funkcją ciągłą taką, że jeżeli \(x\mathcal Rx'\) to \(f(x)\mathcal S f(x')\).
Dowód. Teza jest konsekwencją przemienności \(q_{\mathcal S}\circ f=\bar f\circ q_{\mathcal R}\):
□
Niech \(X\) i \(Y\) będą przestrzeniami topologicznymi, a \(f\colon X\to Y\) ciągła surjekcją. \(f\) wyznacza relację równoważnościową \(\mathcal R_f\);
\[ x\mathcal R_fx'\ \text {gdy}\ f(x)=f(x'). \]
Wtedy odwzorowanie
\[ \tilde {f}\colon X/\mathcal R_f\ni [x]\to f(x)\in Y \]
jest bijekcją ciągłą bo \(\tilde {f}\circ q=f\);
Dowód. Zakładamy, że \(f\) jest otwarte. Niech \(U\) będzie zbiorem otwartym w \(X/\mathcal R_f\). Ponieważ \(q^{-1}(U)\) jest otwarty w \(X\), \(f(q^{-1}(U)\) jest otwarty w \(Y\).
\[ f(q^{-1}(U))=(\tilde {f}\circ q)(q^{-1}(U))=\tilde {f}(U), \]
bo \(q\) jest surjekcją. \(\tilde {f}(U)\) jest więc otwarty. Dla domkniętego \(f\) dowód jest analogiczny. □
Przykład 3.3. Odwzorowanie \(\mathbb R\ni t\to e^{2\pi i t}\in S^1\) jest otwarte, więc \(\mathbb R/\mathbb Z\) jest homeomorficzny z \(S^1\).
Niech \(X\) będzie zbiorem, \(A_t\subset X\), \(t\in T\), będą przestrzeniami topologicznymi stanowiącymi pokrycie \(X\) (to znaczy \(X=\bigcup _{t\in T}A_t\)). Zakładamy, że
(a) dla wszystkich \(s,t\in T\), topologie indukowane na \(A_s\cap A_t\) z \(A_s\) i \(A_t\) pokrywają się i
(b1) \(A_s\cap A_t\) jest otwarty w \(A_t\) i w \(A_s\) dla wszystkich \(s,t\in T\)
lub
(b2) \(A_s\cap A_t\) jest domknięty w \(A_t\) i w \(A_s\) dla wszystkich \(s,t\in T\).
Niech \(i_t\colon A_t\hookrightarrow X\) oznacza inkluzję. Słabą topologią na \(X\) wyznaczoną przez \(\{A_t\}_{t\in T}\) nazywa się topologię końcową wprowadzoną przez \(\{i_t\}_{t\in T}\).
\(B\subset X\) jest otwarty (domknięty) w słabej topologii wtedy i tylko wtedy gdy \(B\cap A_t\) jest otwarty (odpowiednio, domknięty) w \(A_t\) dla każdego \(t\in T\). Jeżeli zakładamy (b1) to każdy \(A_t\) jest otwarty w \(X\); jeżeli zakładamy (b2) to każdy \(A_t\) jest domknięty w \(X\). Odwzorowanie \(f\colon X\to Y\) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy \(f|_{A_t}\) jest ciągłe dla każdego \(t\in T\).
Dowód. Niech \(U\subset A_t\) będzie otwarty w topologii indukowanej na \(A_t\). Istnieje \(U^\ast \) otwarty w \(X\) taki, że \(U^\ast \cap A_t=U\). Ale wtedy \(U\) jest otwarty w topologii wyjściowej na \(A_t\). Dla dowodu przeciwnej inkluzji zakładamy (b1). Niech \(U\) będzie otwarty w topologii wyjściowej na \(A_t\). Wystarczy udowodnić, że \(U\) jest otwarty w \(X\), to znaczy \(U\cap A_s\) jest otwarty w \(A_s\) dla każdego \(s\).
\[ U\cap A_s=U\cap (A_t\cap A_s) \]
jest otwarty w topologii indukowanej z \(A_t\) na \(A_t\cap A_s\), więc z (a) jest też otwarty w topologii indukowanej z \(A_s\) na \(A_t\cap A_s\). Z (b1) wynika więc, że \(U\cap A_s\) jest otwarty w \(A_s\). Przy założeniu (b2) dowód jest analogiczny (z zamianą zbioru otwartego \(U\) na zbiór domknięty). □
Niech \(X_t\), \(t\in T\), będą przestrzeniami topologicznymi. Ich topologiczną sumą prostą nazywamy sumę rozłączną \(\coprod _{t\in T} X_t \) z topologią słabą wyznaczoną przez podzbiory \(X_t\times \{t\}\) (utożsamiane z \(X_t\); Podrozdział 0.3).
Niech \(X\), \(Y\) będą przestrzeniami topologicznymi, \(A\subset X\) i \(f\colon A\to Y\) będzie odwzorowaniem ciągłym. W topologicznej sumie prostej \(X\amalg Y\) wprowadzamy relację równoważnościową \(\mathcal R\) taką, że klasami punktów \(x\in X\setminus A\) są zbiory jednoelementowe
\[ [x]=\{x\}, \]
a klasami punktów \(y\in Y\) są zbiory
\[ [y]=\{y\}\cup \{x\in A\colon f(x)=y\}. \]
W szczególności, \([y]\) jest jednoelementowy gdy \(y\in Y\setminus f(A)\). Przestrzeń ilorazowa
\[ X\cup _fY:=(X\amalg Y)/\mathcal R \]
nazywa się zrostem \(X\) z \(Y\) wyznaczonym przez \(f\).
Niech \(q_f\colon X\amalg Y\to X\cup _fY\) będzie odwzorowaniem ilorazowym. Gdy \(Z\subset X\amalg Y\), oznaczamy
\[ Z_f:=q_f(Z). \]
Oczywiście
\(\seteqnumber{0}{3.}{1}\)\begin{equation} \label {eq:xyfa} X\cup _fY=(X\setminus A)_f\cup Y_f. \end{equation}
Dowód.
Ad (a). \(q|_Y\) jest ciągłą injekcją, Jest także odwzorowaniem domkniętym, bo jeżeli \(F\) jest domknięty w \(Y\) to domkniętym zbiorem w \(X\amalg Y\) jest
\[ q_f^{-1}(q_f(F))=f^{-1}(F)\amalg F \]
z założenia o domkniętości \(A\).
Ad (b). \(q_f|_{X\setminus A}\) jest ciągłą injekcją. Jeżeli \(U\subset X\setminus A\) jest otwarty w \(X\setminus A\), to jest także otwarty w \(X\) z założenia o domkniętości \(A\) i
\[ q_f^{-1}(q_f(U))=U\amalg \emptyset \]
jest otwarty w \(X\amalg Y\). □
Niech \(A\subset X\) i niech \(\ast \) będzie punktem nie należącym do \(X\). Niech \(\alpha \colon A\to \{\ast \}\) będzie odwzorowaniem stałym. Przestrzeń ilorazowa \(X/A\) z Przykładu 3.2 może być traktowana jako
\[ X/A:=X\cup _\alpha \{\ast \}, \]
przy czym tak postawiona definicja obejmuje także przypadek \(A=\emptyset \); \(X/\emptyset \) jest topologiczną sumą prostą \(X\) i \(\{\ast \}\).
Niech \(X\) i \(Y\) będą zbiorami i niech \(A\subset X\). Rozszerzeniem funkcji \(f\colon A\to Y\) nazywa się każdą funkcję \(g\colon X\to Y\) taką, że \(g|_A=f\).
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną i \(A\subset X\). Ciągłe odwzorowanie \(f\colon X\to A\) nazywa się retrakcją gdy \(r(a)=a\) dla każdego \(a\in A\). \(A\) nazywa się retraktem \(X\) gdy istnieje retrakcja \(X\to A\).
Dowód.
(\(\Rightarrow \)). Niech \(r\colon X\to A\) będzie retrakcją i niech \(f\colon A\to Y\) będzie ciągłe. Wtedy
\[ f\circ r\colon X\to Y \]
jest rozszerzeniem \(f\).
(\(\Leftarrow \)). Identyczność \(A\to A\) ma ciągłe rozszerzenie \(X\to A\); każde takie rozszerzenie jest retrakcją. □
Dowód.
(\(\Rightarrow \)). Niech \(r\colon X\cup _fY\to Y_f\) będzie retrakcją. Na podstawie Twierdzenia 3.9, dla \(x\in X\) określamy
\[ \overline {f}:=(q_f|_Y)^{-1}\circ r\circ q_f|_X \]
Niech \(a\in A\). Ponieważ \(q_f(f(a))=q_f(a)\),
\[ \overline {f}(a)=q_f^{-1}(r(q_f(a))=q_f^{-1}(q_f(f(a)))=f(a). \]
\(\overline {f}\) jest więc ciągłym rozszerzeniem \(f\).
(\(\Leftarrow \)). Określamy \(R(x):=q_f(\overline {f}(x))\), gdy \(x\in X\) i \(R(y):=q_f(y)\), gdy \(y\in Y\). Wtedy \(R\colon X\amalg Y\to Y_f\) jest ciągła i \(R(a)=R(f(a))\) dla \(a\in A\). Niech \(r\colon X\cup _fY\to Y_f\) będzie taką funkcją, że \(R=r\circ q_f\);
Wtedy \(r(q_f(y))=R(y)=q_f(y)\), więc \(r\) jest retrakcją. □
