Topologia jest działem matematyki, którego definicje i twierdzenia wywodzą się od tak podstawowych i bliskich intuicji pojęć jak otoczenie punktu, zbieżność ciągu oraz ciągłość, to znaczy brak rozerwań przy przekształcaniu zbioru.
W publikacjach matematycznych słowo „topologia” pojawiło się po raz pierwszy w dziele J. B. Listinga1 „Vorstudien zur Topologie” wydanym w roku 1847. Do lat 20-tych ubiegłego wieku było rzadko używane i zastępował je wprowadzony w roku 1895 przez H. Poincaré’go2 termin „analysis situs” — dokładniejsze informacje na ten temat, a także na temat innych faktów związanych z historią topologii można znaleźć w artykule [Mo] oraz cytowanych tam publikacjach.
1 Johann Benedict Listing (1808–1882); matematyk niemiecki.
2 Jules Henri Poincaré (1854–1912); matematyk francuski, jeden z najwybitniejszych matematyków przełomu XIX i XX wieku.
Niech \(X\) i \(Y\) będą zbiorami i niech \(x\in X\) i \(y\in Y\). Parą \((x,y)\) nazywamy dwuelementowy zbiór \(\{x,\{y\}\}\); w szczególności \((x,y)\neq (y,x)\). Iloczynem kartezjańskim \(X\) i \(Y\) jest zbiór wszystkich par \((x,y)\), gdzie \(x\in X\), a \(y\in Y\). Relacją na \(X\times Y\) nazywamy każdy podzbiór \(X\times Y\). Gdy \(\mathcal R\) jest relacją na \(X\times Y\), często używamy zapisu \(x\mathcal R y\) zamiast \((x,y)\in \mathcal R\). Relacja \(f\) na \(X\times Y\) nazywa się funkcją (lub odwzorowaniem) z \(X\) do \(Y\), gdy dla każdego \(x\in X\) istnieje dokładnie jeden \(y\in Y\) taki, że \((x,y)\in f\); wtedy \(y\) zapisuje się jako \(f(x)\). Zapis \(f\colon X\to Y\) oznacza, że \(f\) jest funkcją z \(X\) do \(Y\); dla \(x\in X\) i \(y\in Y\), \(f\colon x\to y\) oznacza \(y=f(x)\). Zbiór wszystkich funkcji \(X\to Y\) zapisujemy jako \(Y^X\).
\[ \mathbb N:=\{0,1,2,\ldots \} \]
oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych (zero jest traktowane jako liczba naturalna). Dla \(k\in \mathbb N\) określamy
\[ \mathbb N_k:=\{n\in \mathbb N\colon n\geq k\}. \]
Przez \(\# X\in \mathbb N\cup \{\infty \}\) oznaczamy liczbę elementów zbioru \(X\). Elementy zbiorów \(X^\mathbb N\) lub \(X^{\mathbb N_1}\) nazywają się ciągami.
\(A\cup B\), \(A\cap B\) i \(A\setminus B\) oznaczają, odpowiednio, sumę, iloczyn i różnicę zbiorów \(A\) i \(B\). Gdy \(A\) jest podzbiorem \(X\), jego uzupełnienie \(X\setminus A\) zapisujemy zwykle jako \(\setminus A\). Z każdym podzbiorem \(A\subset X\) utożsamiamy jego funkcję charakterystyczną \(\chi _A\colon X\to \{0,1\}\) wyrażającą się wzorem \(\chi _A(x)=1\), gdy \(x\in A\) i \(\chi _A(x)=0\), gdy \(x\in \setminus A\). Stąd podzbiory \(X\) traktujemy jako elementy zbioru \(\{0,1\}^X\). Zgodnie z konstrukcją liczb naturalnych (\(0:=\emptyset \), \(1:=\{\emptyset \}\), \(\ldots \)), liczba \(2\) jest zbiorem \(\{0,1\}:=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\), więc równoważną formą zapisu \(A\subset X\) jest \(A\in 2^X\).
Niech \(X\) będzie zbiorem i niech \(\mathcal A\subset 2^X\) będzie rodziną podzbiorów \(X\). Sumę i iloczyn wszystkich elementów \(\mathcal A\) zapisujemy
\[ \bigcup \mathcal A:=\bigcup _{A\in \mathcal A} A,\quad \bigcap \mathcal A:=\bigcap _{A\in \mathcal A} A. \]
Przyjmujemy, że \(\bigcup \emptyset =\emptyset \) i \(\bigcap \emptyset =X\).
Niech \(\mathcal A, \mathcal B\subset 2^X\) będą rodzinami podzbiorów \(X\). \(\mathcal A\) jest mocniejsza niż \(\mathcal B\) (co oznaczamy \(\mathcal A \succ \mathcal B\)) gdy
\[ \forall B\in \mathcal B\ \exists A\in \mathcal A\colon A\subset B. \]
Niech \(X_i\), \(i=1,\ldots ,n\) będą zbiorami. Ich iloczynem kartezjańskim jest zbiór \(X_1\times \ldots \times X_n\) ciągów \(\{x_i\}_{i=1,\ldots ,n}\), gdzie \(x_i\in X_i\). Elementy iloczynu kartezjańskiego zapisuje się także \((x_1,\ldots ,x_n)\). Kanoniczne bijekcje
\[ (x,y,z)\to ((x,y),z)\ \text {i}\ (x,y,z) \to (x,(y,z)) \]
prowadzą do utożsamień
\[ X\times Y\times Z=(X\times Y)\times Z=X\times (Y\times Z), \]
co oznacza łączność iloczynu kartezjańskiego.
Niech \(T\) oraz \(X_t\), \(t\in T\), będą dowolnymi zbiorami. Rozszerzając zakres definicji z przypadku skończonego, iloczynem kartezjańskim \(X_t\) nazywamy zbiór funkcji
\[ \prod _{t\in T} X_t:=\left \{x\colon T\to \bigcup _{t\in T} X_t\colon x(t)\in X_t\ \forall t\in T\right \}. \]
W szczególności, gdy \(T=\emptyset \), jedynym elementem iloczynu kartezjańskiego jest trywialne odwzorowanie \(\emptyset \to \emptyset =\bigcup \emptyset \) (które także oznaczamy \(\emptyset \)), więc \(\prod _\emptyset =\{\emptyset \}\).
Element \(x\in \prod _{t\in T} X_t\) zwykle zapisuje się jako \(\{x_t\}_{t\in T}\), gdzie \(x_t:=x(t)\). Wtedy \(x_t\) nazywają się współrzędnymi \(x\). Gdy \(X_t=X\) dla każdego \(t\in T\), iloczyn kartezjański \(\prod _t X_t\) jest równy \(X^T\), to znaczy zbiorowi wszystkich funkcji \(T\to X\).
Dla \(t_0\in T\) definiujemy rzutowanie (inaczej: projekcję) kanoniczną
\[ \pi _{t_0}\colon \prod _{t\in T} X_t \ni \{x_t\}\to x_{t_0}\in X_{t_0}. \]
Niech \(f_t\colon X_t\to Y_t\) dla \(t\in T\). Iloczyn kartezjański \(f_t\) definiujemy wzorem
\[ \prod _{t\in T}f_t\colon \prod _{t\in T}X_t\ni \{x_t\}\to \{f_t(x_t)\}\in \prod _{t\in T}Y_t. \]
W przypadku dwóch funkcji \(f\) i \(g\), ich iloczyn kartezjański oznacza się \(f\times g\).
Dla \(g_t\colon Z\to X_t\), zestawienie \(g_t\) jest zdefiniowane jako
\[ \{g_t\}_{t\in T}\colon Z\ni z\to \{g_t(z)\}\in \prod _{t\in T} X_t. \]
Zestawienie identyczności na \(X\),
\[ \Delta \colon X\ni x\to \{x\}_{t\in T}\in X^T \]
nazywa się odwzorowaniem diagonalnym, a jego obraz \(\Delta (X)\subset X^T\) nazywa się diagonalą.
Zestawienie dwóch funkcji \(f\colon Z\to X\) i \(g\colon Z\to Y\) oznaczamy \((f,g)\).
Sumą rozłączną (inaczej: koproduktem) zbiorów \(X_t\), \(t\in T\), nazywamy zbiór
\[ \coprod _{t\in T} X_t:=\bigcup _{t\in T} X_t\times \{t\}. \]
Kanonicznymi zanurzeniami (lub kanonicznymi injekcjami) nazywamy funkcje
\[ \iota _{t_0}\colon X_{t_0}\ni x\to (x,t_0)\in \coprod _{t\in T} X_t. \]
Dla usprawnienia zapisu traktujemy każdy \(X_{t_0}\) jako podzbiór \(\coprod _{t\in T}X_t\), utożsamiając \(x\in X_{t_0}\) z \(\iota _{t_0}(x)\). Jeżeli \(X_t\) są rozłączne, to znaczy dla każdego \(t_0\in T\),
\[ X_{t_0}\cap \bigcup _{t\neq t_0} X_t=\emptyset , \]
powyższe utożsamienie prowadzi do równości
\[ \coprod _{t\in T}X_t=\bigcup _{t\in T} X_t. \]
W przypadku dwóch zbiorów \(X\) i \(Y\), ich rozłączną sumę zapisujemy \(X\amalg Y\); ogólniej: \(X_1 \amalg \ldots \amalg X_n\) oznacza sumę rozłączną zbiorów \(X_1,\ldots ,X_n\).
Częściowym porządkiem w zbiorze \(X\) nazywamy relację \(\leq \) taką, że
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} & x\leq x, \\ &x\leq y,\ y\leq z \implies x\leq z, \\ &x\leq y,\ y\leq x \implies x=y \end{align*} dla dowolnych \(x,y,z\in X\). Gdy dodatkowo dla wszystkich \(x,y\in X\),
\[ x\leq y\ \text {lub}\ y\leq x, \]
\(\leq \) nazywa się porządkiem liniowym (lub porządkiem). Liniowy porządek na \(X\) jest dobry, gdy dla każdego niepustego \(Y\subset X\), w \(Y\) istnieje element najmniejszy. Parę \((X,\leq )\) (lub zbiór \(X\), gdy kontekst jednoznacznie wskazuje relację \(\leq \)) nazywa się zbiorem (odpowiednio: częściowo; liniowo; dobrze) uporządkowanym. Zbiór liniowo uporządkowany nazywa się także łańcuchem.
Używamy teorii mnogości spełniającej aksjomaty Zermelo–Fraenkela z dołączonym Aksjomatem wyboru, który mówi, że jeżeli \(X_t\), \(t\in T\), są zbiorami rozłącznymi i niepustymi to istnieje funkcja \(f\colon T\to \bigcup _{t\in T}X_t\) taka, że \(f(t)\in X_t\) dla każdego \(t\).
Twierdzenie 0.1. Następujące warunki są równoważne:
(a) Aksjomat wyboru,
(b) (Twierdzenie Tarskiego) jeżeli \(X_t\neq \emptyset \) dla każdego \(t\in T\) to
\[ \prod _{t\in T} X_t\neq \emptyset , \]
(c) (Lemat Kuratowskiego–Zorna) jeżeli \(X\) jest niepustym zbiorem częściowo uporządkowanym i każdy łańcuch w \(X\) ma majorantę to w \(X\) istnieje element maksymalny,
(d) (Twierdzenie Zermelo) każdy niepusty zbiór można dobrze uporządkować.
\(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\) i \(\mathbb R\) oznaczają kolejno zbiory liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych; \(\mathbb C\) oznacza ciało liczb zespolonych (mnogościowo równe \(\mathbb R^2\)). \(\mathbb R\) jest (liniowo) uporządkowany; działania dodawania w \(\mathbb R\) i mnożenia w przedziale \([0,\infty )\) zachowują porządek.
Niech \(X\) będzie zbiorem. Funkcja
\[ \rho \colon X\times X\to [0,\infty ) \]
nazywa się metryką na \(X\) gdy
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{gather*} \rho (x,y)=0\ \Longleftrightarrow \ x=y, \\ \forall x,y\in X\colon \rho (x,y)=\rho (y,x), \\ \forall x,y,z\in X\colon \rho (x,z)\leq \rho (x,y)+\rho (y,z). \end{gather*} Para \((X,\rho )\) nazywa się przestrzenią metryczną gdy \(\rho \) jest metryką na \(X\). Dla \(x\in X\) i \(r>0\) zbiory
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} D(x,r)&:=\{y\in X\colon \rho (x,y)\leq r\}, \\ U(x,r)&:=\{y\in X\colon \rho (x,y)<r\}, \\ S(x,r)&:=D(x,r)\setminus U(x,r) \end{align*} nazywają się, odpowiednio, kulą otwartą, kulą domkniętą i sferą o środku \(x\) i promieniu \(r\).
Niech \((X,\rho )\) i \((Y,\sigma )\) będą przestrzeniami metrycznymi. \(f\colon X\to Y\) nazywa się izometrią, gdy dla wszystkich \(x,x'\in X\),
\[ \rho (x,x')=\sigma (f(x),f(x')). \]
Przestrzenie \((X,\rho )\) i \((Y,\sigma )\) są izometryczne gdy istnieje bijektywna izometria \(X\to Y\).
\(\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\in X^\mathbb N\) nazywa się ciągiem Cauchy’ego na \(X\) gdy
\[ \forall \epsilon >0\ \exists k\in \mathbb N\ \forall n_1,n_2\geq k\colon \rho (x_{n_1},x_{n_2})<\epsilon . \]
\((X,\rho )\) nazywa się przestrzenią zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy’ego na \(X\) jest zbieżny.
Termin przestrzeń liniowa (lub wektorowa) oznacza przestrzeń wektorową nad ciałem \(\mathbb R\). Normą (w) przestrzeni liniowej \(X\) nazywa się funkcję
\[ \|\cdot \|\colon X\ni x\to \|x\|\in [0,\infty ) \]
taką, że
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{gather*} \|x\|=0\ \implies x=0, \\ \forall x\in X\ \forall \lambda \in \mathbb R\colon \|\lambda x\|=|\lambda |\|x\|, \\ \forall x,y\in X\colon \|x+y\|\leq \|x\| + \|y\|. \end{gather*} Para \((X,\|\cdot \|)\) nazywa się przestrzenią unormowaną. Przestrzeń unormowana zupełna nazywa się przestrzenią Banacha.
\(A\subset X\) nazywa się zbiorem ograniczonym w normie \(\|\cdot \|\), gdy istnieje \(r>0\) takie, że \(\|x\|\leq r\) dla każdego \(x\in A\). Norma w \(X\) wyznacza metrykę
\[ X\times X\ni (x,y)\to \|x-y\|\in [0,\infty ). \]
na \(X\).
Niech \(X\) będzie przestrzenią liniową. Niepusty zbiór \(C\subset X\) jest wypukły, gdy \((1-t)x+ty\in C\) dla dowolnych \(x,y\in C\) i \(t\in [0,1]\). Obwiednią wypukłą niepustego \(A\subset X\) nazywa się zbiór
\[ {\rm conv}\,A:=\bigcap \{C\subset X\colon C\ \text {wypukÅĆy},\ A\subset C\}. \]
Obwiednia wypukła jest zbiorem wypukłym.
Definiujemy
\[ \mathbb R^0:=\{0\} \]
(co można uzasadnić konstrukcją liczb naturalnych; \(0:=\emptyset \)). Przez \(I\) oznaczamy domknięty przedział \([0,1]\) w \(\mathbb R\). Niech \(n=1,2,\ldots \). Standardowy iloczyn skalarny wektorów \(x,y\in \mathbb R^n\) jest zdefiniowany jako
\[ x\cdot y:=\sum _{i=1}^n x_iy_i, \]
a wyznaczona z niego norma euklidesowa wektora \(x\) jest dana wzorem \(|x|:=\sqrt {x\cdot x}\). Zbiory
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} D^n&:=\{x\in \mathbb R^n\colon |x|\leq 1\}, \\ S^{n-1}&:=\{x\in \mathbb R^n\colon |x|=1\} \end{align*} nazywają się, odpowiednio, \(n\)-wymiarową kula jednostkową i \(n-1\)-wymiarową sferą jednostkową. W szczególności,
\[ S^0=\{-1,1\}\subset \mathbb R, \]
a sfera \(S^1\) (zwana okręgiem jednostkowym) jest zbiorem liczb zespolonych o module równym \(1\).
\(A\subset \mathbb R^n\) nazywa się zbiorem ograniczonym gdy istnieje \(r>0\) takie, że
\[ A\subset [-r,r]^n. \]
\(A\) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony w normie euklidesowej na \(\mathbb R^n\).