Niech \(G\) będzie grupą i jednocześnie przestrzenią topologiczną. \(G\) nazywa się grupą topologiczną, gdy odwzorowania
\(\seteqnumber{0}{9.}{0}\)\begin{gather*} G\times G\ni (x,y)\to xy\in G, \\ G\ni x \to x^{-1}\in G \end{gather*} są ciągłe.
Bezpośrednio z definicji wynika, że odwzorowanie \(x\to x^{-1}\) jest homeomorfizmem i dla każdego \(x\in G\), odwzorowania
\[ G\ni y\to xy\in G,\quad G\ni y\to yx\in G \]
są homeomorfizmami. Grupami topologicznymi są \(\mathbb R\) i \(\mathbb C\) z działaniami dodawania oraz \((0,\infty )\), \(\mathbb R\setminus 0\), \(\mathbb C\setminus 0\) i \(S^1\) i grupy macierzy nieosobliwych \(GL(n,\mathbb R)\) i \(GL(n,\mathbb C)\) z działaniami mnożenia. Jeżeli \(G\) i \(H\) są grupami topologicznymi to \(G\times H\) jest także grupą topologiczną.
Zakładamy, że \(G\) jest grupą topologiczną, \(e\) jest jej elementem neutralnym \(G\) i \(\mathcal E\) jest bazą otoczeń \(e\). Dla \(E\in \mathcal E\) definiujemy
\(\seteqnumber{0}{9.}{0}\)\begin{gather*} U_{E,l}:=\{(x,y)\in G\times G\colon x^{-1}y\in E\}, \\ U_{E,r}:=\{(x,y)\in G\times G\colon yx^{-1}\in E\}. \end{gather*}
Dowód. Niech \(\alpha (x,y):=xy\) i \(\beta (x):=x^{-1}\) dla \(x,y\in G\). Wystarczy sprawdzić (7.1) – (7.4) dla \(\mathcal B_{G,l}\); poniżej \(U_{E,l}\) zapisujemy jako \(U_E\). Spełnienie (7.1) jest oczywiste. Dla \(E\) istnieje \(D\) taki, że \(\beta (D)\subset E\). \(x^{-1}y\in D\) implikuje \(y^{-1}x\in E\), to znaczy \((y,x)\in U_E\) więc \((x,y)\in U_E^{-1}\), skąd wynika, \(U_D\subset U_E^{-1}\), więc (7.2). Niech \(\alpha (D\times D)\subset E\). Jeżeli \((x,y)\in U_D\circ U_D\) to istnieje \(z\in G\) taki, że \(x^{-1}z\in D\) i \(z^{-1}y\in D\), więc \((x,y)\in U_E\), co dowodzi (7.3). Jeżeli \(E_1,E_2\in \mathcal E\) to istnieje \(D\in \mathcal E\) taki, że \(D\subset E_1\cap E_2\). Wtedy \(U_D\subset U_{E_1}\cap U_{E_2}\), stąd (7.4). □
Z Lematu 9.1 wynika, że \(\mathcal B_{G,l}\) i \(\mathcal B_{G,r}\) wyznaczają struktury jednostajne na \(G\); odpowiednio, lewą \(\mathcal U_{G,l}:=\mathcal U(\mathcal B_{G,l})\) i prawą \(\mathcal U_{G,r}:=\mathcal U(\mathcal B_{G,r})\).
Dowód. Niech \(h\colon G\to H\) będzie ciągłym homomorfizmem i niech \(h(D)\subset E\), gdzie \(D\) i \(E\) są otoczeniami elementów neutralnych. Wtedy
\[ (h\times h)(U_D)=\{(h(x),h(y))\colon x^{-1}y\in D\}\subset \{(h(x),h(y))\colon h(x)^{-1}h(y)\in E\} \subset U_E. \]
□
Dla \(x\in G\),
\(\seteqnumber{0}{9.}{0}\)\begin{align} \label {eq:ael} U_{E,l}[x]&=xE, \\ \label {eq:arl} U_{E,r}[x]&=Ex. \end{align} Ponieważ odwzorowania \(y\to xy\) i \(y\to yx\) są homeomorfizmami, z (9.1) i (9.2) wynika, że bazy otoczeń w topologii wyjściowej i topologiach jednostajnych wyznaczonych przez struktury \(\mathcal U_{G,l}\) i \(\mathcal U_{G,r}\) są takie same. Stąd
(a) \(\{xE\colon E\in \mathcal E\}\) jest bazą otoczeń \(x\) dla każdego \(x\in G\),
(b) \(\{Ex\colon E\in \mathcal E\}\) jest bazą otoczeń \(x\) dla każdego \(x\in G\),
(c) topologie jednostajne \(\mathcal T(\mathcal U_{G,l})\) i \(\mathcal T(\mathcal U_{G,r})\) są równe topologii wyjściowej na \(G\). □
Dowód. Z Twierdzenia 7.3 wynika, że (a) jest równoważne (b).
(b) \(\Rightarrow \) (c). Z (b) wynika, że \(G\) jest \(T_1\), to znaczy każdy zbiór jednopunktowy jest domknięty.
(c) \(\Rightarrow \) (a). Dla \(x\in G\) odwzorowanie \(G\ni y\to xy\in G\) jest homeomorfizmem, więc przeprowadza zbiór domknięty \(\{e\}\) w zbiór domknięty \(\{x\}\), a to oznacza, że \(G\) jest \(T_1\), wiec także \(T_0\). □
Twierdzenie 9.2. Niech \(H\subset G\) będzie podgrupą normalną. Wtedy
(a) \(H\) z topologią indukowaną jest grupą topologiczną,
(b) \(\overline {H}\) jest podgrupą normalną \(G\),
(c) odwzorowanie ilorazowe \(G\ni x\to xH\in G/H\) jest otwarte,
(d) jeżeli \(H_i\) jest podgrupą normalną \(G_i\), \(i=1,2\), to odwzorowanie
\[ G_1\times G_2/H_1\times H_2\ni (x_1,x_2)(H_1\times H_2)\to (x_1H_1,x_2H_2) \in G_1/H_1\times G_2/H_2 \]
jest homeomorfizmem,
(e) \(G/H\) jest grupą topologiczną,
(f ) Jeżeli \(H\) jest domknięta to \(G/H\) jest całkowicie regularna.
Dowód. Teza (a) jest oczywista.
Ad (b). Odwzorowanie \(y\to xyx^{-1}\) jest homeomorfizmem, więc
\[ x\overline {H}x^{-1} = \overline {xHx^{-1}} = \overline {H}. \]
Ad (c). Niech \(q\) oznacza odwzorowanie ilorazowe i niech \(U\) będzie otwartym podzbiorem \(G\).
\[ q^{-1}(q(U))=\{x\in G\colon \exists u\in U\colon xH=uH\}=UH=\bigcup _{y\in H} Uy \]
jest zbiorem otwartym, więc \(q(U)\) jest otwarty w \(G/H\).
Ad (d). Niech \(q_i\colon G_i\to G_i/H_i\) będzie odwzorowaniem ilorazowym. Z (c) wynika, że \(q_1\times q_2\) jest otwarte. Ponieważ
\[ G_1\times G_2/\mathcal R_{q_1\times q_2}=G_1\times G_2/H_1\times H_2, \]
z Twierdzenia 3.7 wynika, że indukowane z \(q_1\times q_2\) odwzorowanie jest homeomorfizmem.
Ad (e). Niech \(h\colon G\times G/H\times H\to G/H\times G/H\) będzie homeomorfizmem z (d). Działanie \((x,y)\to xy\) jest ciągłe, więc ciągłym jest też indukowane przez nie odwzorowanie
\[ g\colon G\times G/H\times H \to G/H. \]
Ciągłym jest więc także odwzorowanie
\[ g\circ h^{-1}\colon G/H\times G/H\to G/H. \]
Jest ono równe indukowanemu działaniu w \(G/H\), bo dla \(x,y\in G\),
\[ g(h^{-1}(xH,yH))=g((x,y)(H\times H))=xyH. \]
Homeomorfizm \(x\to x^{-1}\) indukuje ciągłe odwzorowanie \(G\to G/H\), a ponieważ \(x^{-1}\in H\) dla \(x\in H\), indukuje także ciągłe odwzorowanie
\[ G/H\ni xH\to x^{-1}H\in G/H, \]
co kończy dowód (e).
Ad (f). Z (c) wynika, że \(G/H\setminus \{H\}\) jest otwarty, to znaczy \(\{H\}\) jest domknięty w \(G/H\). Teza jest więc konsekwencją Twierdzenia 9.1. □