W kolejnych rozdziałach przedstawimy, przeważnie bez dowodów, kilka ważnych faktów dotyczących wybranych podzbiorów przestrzeni euklidesowych oraz związanych z nimi odwzorowań ciągłych. Brakujące dowody zostaną przedstawione w końcowej części tych notatek, dotyczącej podstaw topologii algebraicznej.
Twierdzenie 13.1. Jeżeli \(m\neq n\) to
(a) sfery \(S^n\) i \(S^m\) nie są ze sobą homeomorficzne,
(b) jeżeli \(U\subset \mathbb R^n\) i \(V\subset \mathbb R^m\) są zbiorami otwartymi to \(U\) nie jest homeomorficzne z \(V\) (w szczególności, \(\mathbb R^n\) i \(\mathbb R^m\) nie są homeomorficzne).
Wykorzystując inne głębokie twierdzenia dotyczące podzbiorów otwartych przestrzeni euklidesowych, na końcu Rozdziału 13.4 będzie udowodniona część (b).
Gdy \(n=1\), powyższe twierdzenia mają dowody opierające na własnościach przestrzeni spójnych (wyrzucenie punktu z przedziału zamienia go w zbiór niespójny więc, w szczególności, \(\mathbb R^n\) nie jest homeomorficzne z \(\mathbb R^n\) gdy \(n>1\); ponieważ \(S^0\) jest przestrzenią niespójną, nie może być retraktem \(D^1\)).
Dowód. Gdyby \(f\colon D^n\to D^n\) było odwzorowaniem ciągłym takim, że \(f(x)\neq x\) dla każdego \(x\in D^n\), retrakcją byłoby odwzorowanie \(r\colon D^n\to S^{n-1}\), gdzie \(r(x)\) jest punktem przecięcia sfery \(S^{n-1}\) z półprostą zaczepioną w \(f(x)\) i przechodzącą przez \(x\), co jest sprzeczne z Twierdzeniem 13.2. □
Odwzorowania \(v\) z Twierdzenia 13.4 nazywa się polem wektorowym na \(S^n\). Implikacja jest \(\Leftarrow \) łatwa do wykazania: dla \(n=2q+1\) wystarczy zdefiniować
\[ v(x_0,x_1,\ldots ,x_{2q},x_{2q+1}):=(-x_1,x_0,\ldots ,-x_{2q+1},x_{2q}), \]
natomiast dowód w przeciwną stronę opiera się na zastosowaniu twierdzeń topologii algebraicznej.
Niech \(n\in \mathbb N\) będzie liczbą nieparzystą. Problem wyznaczenia maksymalnej liczby liniowo niezależnych pól wektorowych na \(S^n\) (tzn. wyznaczenia maksymalnej liczby \(k\) dla której istnieją \(v_1,\ldots ,v_k\colon S^n\to \mathbb R^{n+1}\) takie że \(v_i(x)\cdot x=0\) i \(\{v_1(x),\ldots ,v_k(x)\}\) są liniowo niezależne dla każdego \(x\in S^n\)) został rozwiązany przez J. F. Adamsa około roku 1960: maksymalnie jest \(\rho (n+1)-1\) pól, gdzie \(\rho \colon \mathbb N\to \mathbb N\) jest funkcją Radona–Hurwitza zdefiniowaną następująco: dla \(m=2^bs\), gdzie \(s\) jest nieparzyste,
\[ \rho (m):=\begin {cases} 2b+1,&\text {gdy $b=0\bmod 4$,} \\ 2b,&\text {gdy $b=1\bmod 4$ lub $b=2\bmod 4$,} \\ 2b+2,&\text {gdy $b=3\bmod 4$.} \end {cases} \]
Dolne oszacowanie rozwiązania problemu było znane wcześniej i było konsekwencją rozwiązania pewnego problemu dotyczącego składania form kwadratowych przedstawionego przez W. A. Hurwitza (1898) i, niezależnie, J. Radona (1922); informacje na ten temat można znaleźć w artykule [OT].
Gdy \(m=0\), powyższe twierdzenie ma proste uzasadnienie: obraz odwzorowania ciągłego \(S^n\to S^0=\{-1,1\}\) jest jednopunktowy, więc \(f(x)=f(-x)\neq -f(x)\).
Dowód. Zakładamy niewprost, że \(f\colon S^n\to \mathbb R^n\) jest takim odwzorowaniem ciągłym, że \(f(x)\neq f(-x)\) dla wszystkich \(x\in S^n\). Wtedy
\[ g\colon S^n\ni x\to \frac {f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|}\in S^{n-1} \]
jest ciągłym odwzorowaniem takim, że \(g(-x)=-g(x)\), co jest sprzeczne z Twierdzeniem 13.5. □
Z Wniosku 13.1 wynika, że w każdej chwili na powierzchni Ziemi są dwa punkty antypodyczne mające taką samą temperaturę i takie samo ciśnienie atmosferyczne.
Dowód. Niech \(M_i\cap (-M_i)=\emptyset \) dla \(i=1,\ldots ,n\) i niech \(g_i\colon S^n\to \mathbb R\) będą funkcjami z Lematu Urysohna takimi, że \(g_i=0\) na \(M_i\) i \(g_i=1\) na \(-M_i\). Z Twierdzenia Borsuka-Ulama wynika że dla zestawienia
\[ g=(g_1,\ldots ,g_n)\colon S^n\to \mathbb R^n \]
istnieje \(z\) taki, że \(g(z)=g(-z)\). Z konstrukcji funkcji \(g_i\) wynika, że
\[ z\in S^n \setminus \left (\bigcup _{i=1}^n M_i\cup (-M_i)\right ). \]
Ponieważ zarówno \(M_1,\ldots ,M_{n+1}\) jak i \(-M_1,\ldots ,-M_{n+1}\) pokrywają \(S^n\), punkt \(z\) należy jednocześnie do \(M_{n+1}\) i do \(-M_{n+1}\). □
Twierdzenie 13.5 oraz Wnioski 13.1 i 13.2 są równoważne (w tym sensie, że prawdziwość jednego z nich implikuje prawdziwość pozostałych). Dla uzasadnienia wystarczy założyć prawdziwość Twierdzenia Lusternika–Schnirelmana i z jego pomocą udowodnić Twierdzenie o odwzorowaniach antypodycznych. Można przyjąć, że \(m=n-1\). Niech \(f\colon S^n\to S^{n-1}\) będzie ciągłym odwzorowaniem takim, że \(f(-x)=-f(x)\). Niech \(x_1,\ldots ,x_{n+1}\) będą afinicznie niezależnymi punktami \(\mathbb R^n\) takimi, że \(0\) jest ich kombinacją barycentryczną o współczynnikach dodatnich; wtedy rozpięty na nich \(n\)-wymiarowy sympleks \(\Delta \) zawiera \(0\) w swoim wnętrzu. Projekcja brzegu \(\Delta \) na sferę \(S^{n-1}\) przeprowadza ścianę leżącą naprzeciw wierzchołka \(x_i\) na domknięty podzbiór \(A_i\subset S^{n-1}\) i żaden z \(A_i\), \(i=1,\dots ,n+1\), nie zawiera punktów antypodycznych. Zbiory \(f^{-1}(A_i)\) stanowią pokrycie domknięte \(S^n\), więc z Twierdzenia Lusternika-Schnirelmana wynika, że istnieje \(i=1,\dots ,n+1\) oraz \(z\) taki, że \(z,-z\in f^{-1}(A_i)\). Wtedy \(f(z),-f(z)\in A_i\), a to jest sprzeczne z konstrukcją \(A_i\).
Wniosek 13.3 („Sandwich ham theorem”). Jeżeli \(M_i\), \(i=1,\ldots ,n\) są mierzalnymi (Lebesgue) i ograniczonymi podzbiorami \(\mathbb R^n\) to istnieje hiperpłaszczyzna afiniczna dzieląca każdy z \(M_i\) na dwie części o równej mierze.
Dowód. Niech \(\operatorname {vol}\) oznacza miarę Lebesgue’a na \(\mathbb R^n\). Dla \(x\in S^{n-1}\) i \(a\in \mathbb R\) definiujemy hiperpłaszczyznę afiniczną
\[ P(x,a):=\{y\in \mathbb R^n\colon x\cdot y=a\}. \]
Niech \(A(x):=\{a\in \mathbb R\colon P(x,a)\ \text {dzieli $M_n$ na dwie czÄŹÅŻci o rÃşwnej mierze}\}\) i niech
\[ c(x):=\frac {\inf A(x)+\sup A(x)}{2}. \]
Wtedy \(P(x,c(x))\) dzieli \(M_n\) na dwie części o równej mierze i \(c\colon S^{n-1}\to \mathbb R\) jest ciągła. Dla \(i=1,\ldots ,n-1\) definiujemy ciągłą funkcję \(f_i\colon S^{n-1}\to \mathbb R\),
\[ f_i(x):=\operatorname {vol}(\{y\in M_i\colon y\cdot x>c(x)\}). \]
Wtedy \(f_i(x)+f_i(-x)=\operatorname {vol}(M_i)\). Ponieważ zestawienie
\[ f:=(f_1,\ldots ,f_{n-1})\colon S^{n-1}\to \mathbb R^{n-1} \]
jest ciągłe, Twierdzenia Borsuka–Ulama implikuje istnienie takiego \(x_0\), że \(f(x_0)=f(-x_0)\), więc \(P(x_0,c(x_0))\) dzieli na dwie części o równej mierze także każdy ze zbiorów \(M_i\) dla \(i=1,\ldots ,n-1\). □
W przypadku \(n=2\) prawdziwe jest ogólniejsze Twierdzenie Schönfliesa: homeomorfizm na obraz \(S^1\to \mathbb R^2\) można rozszerzyć do homeomorfizmu \(\mathbb R^2\to \mathbb R^2\). Bez dodatkowych założeń przeniesienie Twierdzenia Schönfliesa na wyższe wymiary nie jest możliwe: kontrprzykładem jest rogata sfera Alexandera.
Dowód. Niech \(x\in U\) i niech \(K\subset U\) będzie \(n\)-wymiarową kulą zwartą, \(x\in {\rm int}\,K\). Wystarczy wykazać, że \(f({\rm int}\,K)\) jest otwarty. Można założyć, że \(x=0\) i \(K=D^n\). \(B:=f(D^n)\) i \(J:=f(S^{n-1})\) są homeomorficzne, odpowiednio, z \(D^n\) i \(S^{n-1}\). Z Wniosku 13.4(a) wynika, że zbiór \(\mathbb R^n\setminus J\) ma dwie składowe \(D_1\) i \(D_2\), więc
\(\seteqnumber{0}{13.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:dd} D_1\cup D_2=\mathbb R^n\setminus J=(\mathbb R^n\setminus B)\cup B\setminus J, \end{equation}
Z Wniosku 13.4(b) wynika, że \(\mathbb R^n\setminus B\) jest spójny. Można więc założyć, że
\(\seteqnumber{0}{13.}{1}\)\begin{equation} \label {eq:bd} \mathbb R^n\setminus B\subset D_1. \end{equation}
Zbiór \(B\setminus J=f(D^n\setminus S^{n-1})\) jest spójny, więc \(B\setminus J\subset D_1\) lub \(B\setminus J\subset D_2\). \(B\setminus J\) nie może być zawarty w \(D_1\), bo wtedy z (13.1) wynikałoby, że \(D_2=\emptyset \), skąd
\(\seteqnumber{0}{13.}{2}\)\begin{equation} \label {eq:bj} B\setminus J\subset D_2. \end{equation}
Z (13.1), (13.2) i (13.3) wynika, że \(\mathbb R^n\setminus B=D_1\) i \(B\setminus J=D_2\). Tak więc \(f({\rm int}\, D^n)\) jest równy zbiorowi otwartemu \(D_2\), co kończy dowód. □
Dowód. Punkt (a) jest przeformułowaniem Twierdzenia o obrazie otwartym, wystarczy więc udowodnić (b). Gdyby \(m<n\) to odwzorowanie
\[ \mathbb R^n\ni x\to (f(x),0)\in \mathbb R^m\times \mathbb R^{n-m} \]
byłoby ciągłą injekcją o obrazie zawartym we właściwej podprzestrzeni \(\mathbb R^n\), a więc ten obraz nie mógłby być zbiorem otwartym. □