Zakładamy, że \(X\) jest przestrzenią topologiczną. \(X\) nazywa się przestrzenią
\(T_0\) (lub Kołmogorowa), gdy dla każdych punktów \(x,y\in X\), \(x\neq y\) istnieje zbiór otwarty zawierający dokładnie jeden z punktów \(x\) i \(y\),
\(T_1\) (lub Frécheta; „espace accessible” w terminologii Bourbakiego), gdy dla każdych punktów \(x,y\in X\), \(x\neq y\) istnieje otwarty zbiór \(U\) taki, że \(x\in U\) i \(y\notin U\),
\(T_2\) (lub Hausdorffa, inaczej: rozdzielczą), gdy dla każdych punktów \(x,y\in X\), \(x\neq y\) istnieją zbiory otwarte \(U\) i \(V\) takie, że \(x\in U\), \(y\in V\) i \(U\cap V=\emptyset \),
\(T_{2\frac {1}{2}}\) (lub Urysohna), gdy dla każdych punktów \(x,y\in X\), \(x\neq y\) istnieją zbiory otwarte \(U\) i \(V\) takie, że \(x\in U\), \(y\in V\) i \(\overline {U}\cap \overline {V}=\emptyset \),
\(T_3\) (lub regularną), gdy jest \(T_1\) i dla każdego \(x\in X\) i każdego domkniętego \(F\subset X\), \(x\notin F\), istnieją zbiory otwarte \(U\) i \(V\) takie, że \(x\in U\), \(F\subset V\) i \(U\cap V=\emptyset \),
\(T_{3\tfrac {1}{2}}\) (lub Tichonowa, inaczej: całkowicie regularną), gdy jest \(T_1\) dla każdego \(x\in X\) i każdego domkniętego \(F\subset X\), \(x\notin F\), istnieje funkcja ciągła \(f\colon X\to I\) taka, że \(f(x)=0\) i \(F\subset f^{-1}(1)\),
\(T_4\) (lub normalną), gdy jest \(T_1\) i dla każdych domkniętych \(F,G\subset X\), \(F\cap G=\emptyset \), istnieją zbiory otwarte \(U\) i \(V\) takie, że \(F\subset U\), \(G\subset V\) i \(U\cap V=\emptyset \),
\(T_5\) (lub dziedzicznie normalną) gdy jest \(T_1\) i dla każdych rozgraniczonych zbiorów \(A,B\subset X\), to znaczy takich, że
\[ \overline {A}\cap B=A\cap \overline {B}=\emptyset , \]
istnieją otwarte \(U\) i \(V\) takie, że \(A\subset U\), \(B\subset V\) i \(U\cap V=\emptyset \),
\(T_6\) (lub doskonale normalną), gdy jest \(T_1\) i dla każdych domkniętych \(F,G\subset X\), \(F\cap G=\emptyset \), istnieje ciągła funkcja \(f\colon X\to I\) taka, że \(f^{-1}(0)=F\) i \(f^{-1}(1)=G\).
Natychmiast z definicji wynika, że przestrzeń \(T_j\) jest także przestrzenią \(T_i\) gdy \(i<j\) dla \(i,j=0,1,2,2\frac {1}{2}\) oraz \(i,j=4,5\).
Gdy \(i=0,1\), podzbiór przestrzeni \(T_i\) jest także \(T_i\), a iloczyn kartezjański (suma prosta) jest przestrzenią \(T_i\) wtedy i tylko wtedy gdy każdy czynnik (składnik) jest przestrzenią \(T_i\). Ponadto
Przestrzeń Hausdorffa jest \(T_1\).
Twierdzenie 5.3. Następujące warunki są równoważne:
(a) \(X\) jest przestrzenią Hausdorffa,
(b) dla każdego \(x\in X\) przecięcie wszystkich domkniętych otoczeń \(x\) jest równe \(\{x\}\),
(c) diagonala \(\Delta (X):=\{(x,y)\in X\times X\colon x=y\}\) jest zbiorem domkniętym,
(d) jeżeli \(\mathcal A\) jest bazą na \(X\) i \(\mathcal A\to x\) oraz \(\mathcal A\to y\) to \(x=y\),
(e) jeżeli \(\phi \) jest ciągiem uogólnionym na \(X\) i \(\phi \to x\) oraz \(\phi \to y\) to \(x=y\).
Dowód. Równoważności (a) i (b) oaz (d) i (e) są oczywiste. \(X\) jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy \(X\times X\setminus \Delta (X)\) jest otwarty, więc (a) jest równoważne (c).
(a) \(\Rightarrow \) (d). Niech \(x\neq y\) i niech \(\mathcal A\) będzie bazą, \(\mathcal A\to x\), \(\mathcal A\to y\). Niech \(U\) i \(V\) będą rozłącznymi otoczniami, odpowiednio, \(x\) i \(y\) i niech \(A_1\subset U\), \(A_2\subset V\) dla pewnych \(A_1,A_2\in \mathcal A\). Wtedy istnieje niepusty \(A\subset A_1\cap A_2\), co jest sprzeczne z rozłącznością \(U\) i \(V\).
(d) \(\Rightarrow \) (a). Niech \(U\cap V\neq \emptyset \) dla wszystkich otoczeń \(U\) punktu \(x\) i \(V\) punktu \(y\). Wtedy rodzina \(\{U\cap V\}\), gdzie \(U\) jest otoczeniem \(x\) i \(V\) jest otoczeniem \(y\) jest bazą zbieżną do \(x\) i do \(y\), więc \(x=y\). □
Bezpośrednio z definicji wynika, że podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa. Iloczyn kartezjański (suma prosta) przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy każdy czynnik (składnik) jest przestrzenią Hausdorffa. Z Twierdzenia 5.3 wynika, że zbieżność bazy \(\mathcal A\) do \(x\) w przestrzeni Hausdorffa można zapisać jako \(x=\lim \mathcal A\) (analogicznie dla ciągu uogólnionego).
Dowód. Z założenia o \(Y\) wynika, że
\[ y=\lim _{x\to x_0} f(x) \]
jest jedyną granicą. Niech \(y\neq f(x_0)\); istnieje wtedy \(U\), otoczenie \(y\) takie, że \(f(x_0)\notin U\). Jest to sprzeczne ze zbieżnością, ponieważ istnieje \(V\), otoczenie \(x_0\) takie, że \(f(V)\subset U\), stąd
\[ f(x_0)\in f(V)\subset U. \qedhere \]
□
Dowód. Niech \({\rm id}_X\) oznacza odwzorowanie identycznościowe na \(X\) i niech \(r\colon X\to A\) będzie retrakcją. Wtedy
\[ A=({\rm id}_X,r)^{-1}(\Delta (X)) \]
jest domknięty w \(X\). □
Twierdzenie 5.4. Następujące warunki są równoważne:
(a) \(X\) jest przestrzenią regularna,
(b) \(X\) jest \(T_1\) i dla każdego \(x\in X\) i każdego jego otwartego otoczenia \(U\) istnieje otwarty zbiór \(V\) taki, że
\[ x\in V\subset \overline {V}\subset U. \]
(c) \(X\) jest \(T_1\) i każdy punkt \(X\) ma bazę otoczeń domkniętych. □
Dowód. Niech \(A\subset X\), \(x\in A\) i niech \(F\) będzie domkniętym podzbiorem \(A\), \(x\notin F\). Istnieje domknięty zbiór \(G\) w \(X\) taki, że \(G\cap A=F\), skąd w szczególności wynika, że \(x\notin G\). Istnieją więc otwarte i rozłączne zbiory \(U\) i \(V\) oddzielające \(x\) od \(G\). Otwartymi zbiorami oddzielającymi \(x\) od \(F\) w \(A\) są \(U\cap A\) i \(V\cap A\). □
Twierdzenie 5.5. Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną, \(D\) jej gęstym podzbiorem i niech \(f\colon D\to Y\), gdzie \(Y\) jest przestrzenią regularną. Jeżeli dla każdego \(x_0\in X\) istnieje granica \(f\) gdy \(x\to x_0\) i \(x\in D\) to istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła \(\overline {f}\colon X\to Y\) taka, że
\[ \overline {f}|_D=f. \]
Dowód. Ponieważ \(Y\) jest przestrzenią Hausdorffa, jednoznaczność \(\overline {f}\) wynika z Uwagi 5.2. Niech \(x_0\in X\). Definiujemy \(\overline {f}\) wzorem
\[ \overline {f}(x_0):=\lim _{x\to x_0,\,x\in D} f(x). \]
Z Twierdzenia 5.3 wynika, że \(\overline {f}\) jest funkcją, a z Uwagi 5.1 wynika, że \(\overline {f}\) jest rozszerzeniem \(f\). Niech \(W\) będzie domkniętym otoczeniem \(\overline {f}(x_0)\). Istnieje \(V\), otwarte otoczenie \(x_0\) w \(X\) takie, że
\[ f(V\cap D)\subset W. \]
Niech \(z\in V\). Wtedy
\[ \overline {f}(z)=\lim _{x\to z,\,x\in D} f(x)=\lim _{x\to z,\,x\in D\cap V} f(x)\in \overline {W}=W, \]
więc \(\overline {f}(V)\subset W\). Ponieważ otoczenia domknięte stanowią bazę otoczeń \(\overline {f}(x_0)\) (co wynika z Twierdzenia 5.4), \(\overline {f}\) jest ciągła w \(x_0\). □
Z Twierdzenia 5.2 wynika, że przestrzeń normalna jest regularna.
Twierdzenie 5.6. Następujące warunki są równoważne:
(a) \(X\) jest przestrzenią normalną,
(b) \(X\) jest \(T_1\) i dla każdych zbiorów otwartych \(U\) i \(V\) takich, że \(U\cup V=X\) istnieją zbiory domknięte \(F\subset U\) i \(G\subset V\) takie, że \(F\cup G=X\),
(c) \(X\) jest \(T_1\) i dla wszystkich zbiorów \(F\subset U\) takich, że \(F\) jest domknięty i \(U\) jest otwarty istnieje otwarty zbiór \(V\) taki, że
\[ F\subset V\subset \overline {V}\subset U. \pushQED {\qed } \qedhere \popQED \]
Dowód. Zawężenie \(f\) do odwzorowania \(X\to f(X)\) jest ciągłe i domknięte, wystarczy więc założyć, że \(f\) jest surjekcją. \(Y\) jest \(T_1\), bo każdy punkt w \(Y\) jest obrazem punktu w \(X\), a więc zbioru domkniętego. Niech \(U_1\) i \(U_2\) będą otwartymi podzbiorami \(Y\) takimi, że \(U_1\cup U_2=Y\). Wtedy \(\{f^{-1}(U_1),f^{-1}(U_2)\}\) jest otwartym pokryciem \(X\), więc istnieją domknięte \(F_1\) i \(F_2\) takie, że
\[ F_1\cup F_2=X,\ F_i\subset f^{-1}(U_i)\ \text {dla $i=1,2$}. \]
Z założeń wynika, że \(f(F_1)\) i \(f(F_2)\) są domknięte i
\(\seteqnumber{0}{5.}{0}\)\begin{gather*} f(F_i)\subset f(f^{-1}(U_i))=U_i\ \text {dla $i=1,2$}, \\ f(F_1)\cup f(F_2)=f(X)=Y, \end{gather*} co kończy dowód. □
Dowód. Zrost jest \(T_1\) (Wniosek 5.1). Niech \(F,G\subset X\cup _fY\) będą domknięte i rozłączne. Wtedy
\[ D:=q_f^{-1}(F),\ E:=q_f^{-1}(G) \]
są domknięte i rozłączne w \(X\amalg Y\). Niech \(W\) i \(Z\) będą takimi otwartymi otoczeniami \(D\cap Y\) i, odpowiednio, \(E\cap Y\) w \(Y\), by
\[ \overline {W}\cap \overline {Z}=\emptyset . \]
Niech
\(\seteqnumber{0}{5.}{0}\)\begin{align*} W_1&=f^{-1}(W)\cup X\setminus A, \\ Z_1&:=f^{-1}(Z)\cup X\setminus A. \end{align*} \(W_1\) i \(Z_1\) są otwartymi podzbiorami \(X\). Ponieważ \((D\cap X)\cup f^{-1}(\overline {W})\) i \((E\cap X)\cup f^{-1}(\overline {Z})\) są domknięte i rozłączne, istnieją otwarte zbiory \(W_2,Z_2\subset X\) takie, że
\(\seteqnumber{0}{5.}{0}\)\begin{gather*} (D\cap X)\cup f^{-1}(\overline {W})\subset W_2, \\ (E\cap X)\cup f^{-1}(\overline {Z})\subset Z_2, \\ W_2\cap Z_2=\emptyset . \end{gather*} Niech
\(\seteqnumber{0}{5.}{0}\)\begin{align*} U&:=W_f \cup (W_1\cap W_2)_f, \\ V&:=Z_f \cup (Z_1\cap Z_2)_f. \end{align*} Wtedy \(F\subset U\), \(G\subset V\), \(U\cap V=\emptyset \). Ponadto \(U\) i \(V\) są otwarte, bo
\(\seteqnumber{0}{5.}{0}\)\begin{align*} q_f^{-1}(U)&=W_1\cap W_2\amalg W, \\ q_f^{-1}(V)&=Z_1\cap Z_2\amalg Z \end{align*} są otwarte w \(X\amalg Y\). □
Niech \(F,G\) będą rozłącznymi podzbiorami przestrzeni topologicznej \(X\). Ciągła funkcja \(f\colon X\to I\) taka, że
\(\seteqnumber{0}{5.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:ffg} F\subset f^{-1}(0),\ G\subset f^{-1}(1). \end{equation}
nazywa się funkcją rozdzielającą \(F\) i \(G\). Dwa podzbiory \(X\) są funkcyjnie rozdzielone gdy istnieje dla nich funkcja rozdzielająca. W szczególności, całkowita regularność przestrzeni \(X\) oznacza, że \(X\) jest \(T_1\) i jeżeli \(G\) jest domkniętym podzbiorem \(X\) i \(x\notin G\) to \(x\) i \(G\) są funkcyjnie rozdzielone.
Dowód. Wystarczy przyjąć \(U:=f^{-1}\left [0,\tfrac {1}{2}\right )\) i \(V:=f^{-1}\left (\frac {1}{2},1\right ]\) dla funkcji \(f\) rozdzielającej \(F\) i \(G\). □
Dowód. Początek dowodu jest dokładnie taki sam jak początek dowodu Uwagi 5.4. Szukaną funkcją rozdzielającą \(x\) od \(F\) jest zawężeniem do \(A\) funkcji rozdzielającej \(x\) i \(G\). □
Lemat 5.1 (konstrukcja Urysohna). Niech \(F\) i \(G\) będą rozłącznymi podzbiorami przestrzeni topologicznej \(X\) i niech
\[ R:=\left \{\tfrac {k}{2^m}\in \mathbb Q\colon k,m\in \mathbb N,\ 0\leq k\leq 2^m\right \}. \]
Jeżeli istnieje rodzina zbiorów otwartych \(\{U_r\colon r\in R\}\) taka, że
\(\seteqnumber{0}{5.}{1}\)\begin{gather} \label {eq:u01} U_0 =\emptyset ,\ U_1 =X, \\ \label {eq:ur} \forall r\in R\setminus \{0,1\}\colon F\subset U_r\subset \overline {U_r}\subset X\setminus G, \\ \label {eq:rr} \forall r,r'\in R,\ r<r'\colon \overline {U_r}\subset U_{r'}. \end{gather} to \(F\) i \(G\) są funkcyjnie rozdzielone.
Dowód. \(R\) jest gęstym podzbiorem \(I\). Definiujemy funkcję \(f\colon X\to I\) wzorem
\[ f(x):=\inf \{r\in R\colon x\in U_r\} \]
Z (5.2) i (5.3) wynika (5.1). Niech \(x\in X\). Zakładamy najpierw, że \(0<f(x)<1\). Niech \(\epsilon >0\) i \(m\in \mathbb N\) będą takie, że
\[ 0<\tfrac {1}{2^{m-1}}<\min \{\epsilon , 1-f(x)\}. \]
Istnieje \(1\leq k\leq 2^m-1\) takie, że
\(\seteqnumber{0}{5.}{4}\)\begin{equation} \label {eq:k} \tfrac {k-1}{2^m}<f(x)\leq \tfrac {k}{2^m}. \end{equation}
Udowodnimy, że
\[ x\in V:=U_{(k+1)/2^m}\setminus \overline {U_{(k-1)/2^m}}. \]
Wtedy dowód ciągłości \(f\) w \(x\) będzie zakończony, bo \(V\) jest otwarty i dla każdego \(y\in V\),
\[f(x)-\epsilon <\tfrac {k+1}{2^m}-\tfrac {1}{2^{m-1}}= \tfrac {k-1}{2^m}\leq f(y)\leq \tfrac {k+1}{2^m}=\tfrac {k-1}{2^m}+\tfrac {1}{2^{m-1}}<f(x)+\epsilon . \]
\(x\in U_{k+1/2^m}\) bo z (5.5),
\[ R\cap \left [f(x),\tfrac {k+1}{2^m}\right )\neq \emptyset , \]
więc \(x\in U_r\) dla pewnego \(r\in \left [f(x),\tfrac {k+1}{2^m}\right )\) i z (5.4) wynika, że
\[ U_r\subset U_{(k+1)/2^m}. \]
Ponieważ z (5.5) wynika, że
\[ R\cap \left (\tfrac {k-1}{2^m},f(x)\right )\neq \emptyset \]
i \(x\notin U_r\) dla dowolnego \(r\in R\cap \left (\frac {k-1}{2^m},f(x)\right )\),
\[ x\notin \overline {U_{(k-1)/2^m}} \]
na podstawie (5.4). Gdy \(f(x)=0\) lub \(f(x)=1\), dowód będzie analogiczny. □
Dowód.
(\(\Leftarrow \)) wynika z Uwagi 5.6.
(\(\Rightarrow \)). Niech \(F\) i \(G\) będą domknięte i rozłączne w \(X\). Definiujemy \(U_0:=\emptyset \) i \(U_1:=X\). Niech \(m\geq 1\). Zakładamy, że \(U_{\ell /2^{m-1}}\) są określone dla wszystkich \(0\leq \ell \leq 2^{m-1}\). Niech \(1\leq k\leq 2^m-1\) będzie liczbą nieparzystą. Dzięki normalności \(X\) określamy otwarty zbiór \(U_{k/2^m}\) tak, by
\[ \overline {U_{(k-1)/2^m}}\cup F\subset U_{k/2^m}\subset \overline {U_{k/2^m}} \subset U_{(k+1)/2^m}\setminus G. \]
Wtedy rodzina zbiorów \(\{U_r\colon r\in R\}\) spełnia warunki (5.2), (5.3) i (5.4), więc z Lematu 5.1 wynika teza. □
Twierdzenia 5.2 i 5.9 implikują
Lemat 5.2. Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną, \(f_n\colon X\to \mathbb R\), \(n\in \mathbb N\), i niech \(g\colon X\to \mathbb R\) będzie granicą jednostajną ciągu \(\{f_n\}\), to znaczy
\[ \forall \epsilon >0\ \exists k\in \mathbb N\ \forall n\geq k\‚\forall x\in X\colon |f_n(x)-g(x)|<\epsilon . \]
Jeżeli \(f_n\) są ciągłe to \(g\) jest ciągła.
Dowód. Niech \(x_0\in X\) i niech \(\epsilon >0\). Istnieje \(k\) takie, że
\[ |f_k(x)-g(x)|<\tfrac {1}{3}\epsilon \ \forall x\in X \]
i istnieje otoczenie \(U\) punktu \(x_0\) takie, że
\[ |f_k(x)-f_k(x_0)|<\tfrac {1}{3}\epsilon \ \forall x\in U. \]
Wtedy
\[ |g(x)-g(x_0)|\leq |g(x)-f_k(x)| + |f_k(x)-f_k(x_0)| + |f_k(x_0)-g_k(x_0)|<\epsilon \]
dla wszystkich \(x\in U\). □
Twierdzenie 5.10 (Tietzego). \(X\) jest przestrzenią normalną wtedy i tylko wtedy gdy jest \(T_1\) oraz dla każdego domkniętego \(F\subset X\) i dla każdej funkcji ciągłej \(f\colon F\to \mathbb R\) istnieje jej ciągłe rozszerzenie \(\overline f\colon X\to \mathbb R\).
Ponadto, jeżeli \(|f(x)|<c\) (względnie \(|f(x)|\leq c\)) dla każdego \(x\in F\) to także \(|\overline {f}(x)|<c\) (odpowiednio, \(|\overline {f}(x)\leq c\)) dla każdego \(x\in X\).
Dowód.
(\(\Leftarrow \)). Niech \(F,G\) są rozłącznymi zbiorami domkniętymi i niech \(f\colon F\cup G\to \mathbb R\) będzie równa \(0\) na \(F\) i równa \(1\) na \(G\). Wtedy \(\overline {f}^{-1}\left (-\infty ,\tfrac {1}{2}\right )\) i \(\overline {f}^{-1}\left (\tfrac {1}{2},\infty \right )\) są poszukiwanymi zbiorami otwartymi.
(\(\Rightarrow \)).
Etap 1. Jeżeli \(g\colon F\to \mathbb R\) jest ciągła, \(|g(x)|\leq c\) dla każdego \(x\in F\), to istnieje ciągła funkcja \(h\colon X\to \mathbb R\) taka, że \(\seteqnumber{0}{5.}{5}\) \begin{gather*} |h(x)|\leq \tfrac {1}{3}c,\ \forall x\in X, \\ |g(x)-h(x)|\leq \tfrac {2}{3}c,\ \forall x\in F, \end{gather*} bo na podstawie Twierdzenia 5.9 istnieje
\[ h\colon X\to \left [-\tfrac {1}{3}c,\tfrac {1}{3}c\right ] \]
taka, że
\(\seteqnumber{0}{5.}{5}\)\begin{gather*} g^{-1}\left (\left [\tfrac {1}{3}c,c\right ]\right )\subset h^{-1}\left (\tfrac {1}{3}c\right ), \\ g^{-1}\left (\left [-c,-\tfrac {1}{3}c\right ]\right )\subset h^{-1}\left (-\tfrac {1}{3}c\right ). \end{gather*}
Etap 2. Udowodnimy, że jeżeli \(|f(x)|\leq c\) dla wszystkich \(x\in F\) to istnieje rozszerzenie \(\overline {f}\) na \(X\) takie, że \(|\overline {f}(x)|\leq c\) dla wszystkich \(x\in X\).
Z Etapu 1 wynika, że istnieje
\[ h_0\colon X\to \left [-\tfrac {1}{3}c,\tfrac {1}{3}c\right ] \]
taka, że
\[ |f(x)-h_0(x)|\leq \tfrac {2}{3}c\ \forall x\in F. \]
Dla \(n\in \mathbb N\), \(n\geq 1\), na podstawie Etapu 1 rekurencyjnie konstruujemy ciągłe
\[ h_n\colon X\to \left [-\tfrac {1}{3}\left (\tfrac {2}{3}\right )^n c, \tfrac {1}{3}\left (\tfrac {2}{3}\right )^n c \right ] \]
takie, że
\[ \left |f(x)-\sum _{i=0}^{n}h_i(x)\right |\leq \tfrac {2}{3}\left (\tfrac {2}{3}\right )^n c,\ \forall x\in F. \]
Definiujemy
\[ \overline {f}:=\sum _{n=0}^\infty h_n. \]
\(\overline {f}\) jest ciągła jako granica jednostajna funkcji ciągłych (Lemat 5.2), \(\overline {f}|_F=f\) i jeżeli \(x\in X\) to
\[ |\overline {f}(x)|\leq \sum _{n=0}^\infty \tfrac {1}{3}\left (\tfrac {2}{3}\right )^n c=c. \]
Etap 3. Udowodnimy, że jeżeli \(|f(x)|<c\) dla wszystkich \(x\in F\) to istnieje rozszerzenie \(\overline {f}\) na \(X\) takie, że \(\overline {f}<c\) dla wszystkich \(x\in X\).
Niech \(g\colon X\to \mathbb R\) będzie takim rozszerzeniem \(f\), że \(|g(x)|\leq c\) dla \(x\in X\). Niech
\[ G:=g^{-1}(\{-c,c\}) \]
i niech \(\phi \colon X\to I\) będzie taką funkcją ciągłą, że
\[ F\subset \phi ^{-1}(1),\ G\subset \phi ^{-1}(0); \]
jej istnienie wynika z Lematu Urysohna (Twierdzenie 5.9). Wystarczy określić
\[ \overline {f}:=\phi g. \]
Etap 4. Niech \(h\colon \mathbb R\to (-1,1)\) będzie homeomorfizmem (np. \(h(t)=t/1+|t|\)) i niech \(g\) będzie rozszerzeniem \(h\circ f\) takim, że \(|g(x)|<1\) dla \(x\in X\). Wtedy \(\overline {f}:=h^{-1}\circ g\) spełnia tezę. □
Przestrzeń dziedzicznie normalna jest normalna; ponadto
Dowód. Niech \(Z\subset X\) i niech \(A,B\subset Z\) będą takie, że
\[ \overline {A}\,({\rm rel}\, Z)\cap B=\emptyset ,\ \overline {B}\,({\rm rel}\, Z)\cap A=\emptyset . \]
Z Uwagi 3.8 (a) wynika, że
\[ \overline {A}\cap B=\emptyset ,\ \overline {B}\cap A=\emptyset , \]
więc istnieją otwarte \(U,V\subset X\) takie, że
\[ A\subset U,\ B\subset V,\ U\cap V=\emptyset . \]
Wtedy \(U\cap Z\) i \(V\cap Z\) są rozłączne i otwarte w \(Z\) oraz rozdzielają \(A\) i \(B\). □
Dowód. Niech \(\rho \) będzie dowolną metryką zgodną z topologią \(X\) i niech \(F\) i \(G\) będą rozłącznymi domkniętymi podzbiorami \(X\). Z Lematu 5.3 wynika, że
\[ f\colon X\ni x\to \frac {\rho (x,F)}{\rho (x,F)+\rho (x,G)}\in I \]
jest funkcją ciągła; \(f^{-1}(0)=F\) i \(f^{-1}(1)=G\). □
Dowód. Niech \(X\) będzie przestrzenią doskonale normalną i niech \(A,B\subset X\) będą niepustymi zbiorami takimi, że
\[ \overline {A}\cap B=\emptyset ,\ \overline {B}\cap A=\emptyset . \]
Z założenia wynika, że istnieją ciągłe funkcje \(f,g\colon X\to I\) takie, że
\[ \overline {A}=f^{-1}(0),\ \overline {B}=g^{-1}(0). \]
Wtedy
\[ A\subset \{f<g\},\ B\subset \{f>g\} \]
i zbiory \(\{f<g\},\{f>g\}\) są otwarte i rozłączne w \(X\). □
Niech \(\mathcal T_i\) oznacza klasę wszystkich przestrzeni topologicznych spełniających aksjomat oddzielania \(T_i\) z Podrozdziału 5.1. Z Wniosków 5.3, 5.4 i 5.5, Twierdzenia 5.13 oraz bezpośrednio z definicji klas oddzielania wynika