Niech \(X\) i \(Y\) będą przestrzeniami topologicznymi. Definiujemy
\[ C(X,Y):=\{f\in Y^X\colon f\ \text {jest ciÄĚgÅĆa}\}. \]
Topologia zbieżności punktowej na \(C(X,Y)\) (oznaczenie: \(\mathcal T_p\)) jest to topologia indukowana z topologii Tichonowa na \(Y^X\). W szczególności, jeżeli \(\{f_\sigma \}_{\sigma \in \Sigma }\) jest ciągiem uogólnionym na \(C(X,Y)\) to \(f_\sigma \to f\) w \(\mathcal T_p\) wtedy i tylko wtedy gdy \(f_\sigma (x)\to f(x)\) dla każdego \(x\in X\).
Niech \(A\subset X\), \(B\subset Y\). Definiujemy
\[ T(A,B):=\{f\in C(X,Y)\colon f(A)\subset B\}. \]
Wtedy rodziny zbiorów
\(\seteqnumber{0}{12.}{0}\)\begin{align*} \mathcal P_p&:=\{T(\{x\},U)\colon \text {$x\in X$, $U$ otwarty}\}, \\ \mathcal P_c&:=\{T(K,U)\colon \text {$K$ zwarty, $U$ otwarty}\} \end{align*} są podbazami pewnych topologii na \(C(X,Y)\) bo spełniają warunek z Wniosku 1.1 (\(f\in T(\{x\},X)\) dla dowolnego \(f\in C(X,Y)\) i każdy zbiór jednopunktowy jest zwarty); pierwsza z nich generuje \(\mathcal T_p\), a topologię generowaną przez drugą nazywa się topologią zwarto-otwartą i oznacza się \(\mathcal T_c\). Oczywiście \(\mathcal T_c\supset \mathcal T_p\). Na \(C(X,Y)\) w naturalny sposób można zdefiniować jeszcze jedną topologię na \(C(X,Y)\), zwaną topologią wykresową lub topologią Whitney’a; jej bazą jest rodzina \(\{G(U)\colon U\ \text {otwarty w $X\times Y$}\}\), gdzie
\[ G(U):=\{f\in C(X,Y)\colon f\subset U\}. \]
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną, a \((Y,\mathcal V)\) będzie przestrzenią jednostajną. Dla \(V\in \mathcal V\) i \(A\subset X\) definiujemy
\[ U(A,V):=\{(f,g)\in C(X,Y)\times C(X,Y)\colon \forall a\in A\colon (f(a),g(a))\in V\}. \]
Wtedy
\[ U(A_1\cup A_2, V_1\cap V_2)\subset U(A_1,V_1)\cap U(A_2,V_2), \]
skąd wynika, że jeżeli \(\mathcal A\) jest rodziną podzbiorów \(X\) zamkniętą na sumowanie zbiorów to
\[ \{U(A,V)\colon A\in \mathcal A,\ V\in \mathcal V\} \]
jest bazą pewnej struktury jednostajnej \(\mathcal U\) na \(C(X,Y)\). Gdy \(\mathcal A\) jest rodziną podzbiorów skończonych, \(\mathcal U\) nazywa się struktury jednostajnej zbieżności punktowej i jest oznaczana \(\mathcal U_p(\mathcal V)\). Gdy \(\mathcal A=\{X\}\), \(\mathcal U\) nazywa się struktury zbieżności jednostajnej; oznaczenie: \(\mathcal U(\mathcal V)\), a gdy \(X\) jest przestrzenią Hausdorffa i \(\mathcal A\) jest rodziną zbiorów zwartych, \(\mathcal U\) nazywa się struktury zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych; oznaczenie: \(\mathcal U_c(\mathcal V)\).
Jeżeli \(X\) jest zwarta to (oczywiście) \(\mathcal U_c(\mathcal V)=\mathcal U(\mathcal V)\). Topologia jednostajna wyznaczona przez \(\mathcal U_p(\mathcal V)\) jest równa \(\mathcal T_p\). Dla pozostałych dwóch struktur jednostajnych: \(\mathcal U(\mathcal V)\) wyznacza topologię zbieżności jednostajnej \(\mathcal T(\mathcal V)\), a \(\mathcal U_c(\mathcal V)\) wyznacza topologię zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych (inaczej: topologię zbieżności niemal jednostajnej) \(\mathcal T_c(\mathcal V)\). Jeżeli \(X\) jest przestrzenią Hausdorffa to każdy skończony podzbiór \(X\) ma topologię dyskretną, więc jest zwarty, skąd wynika
Dowód. Dla \(y\in K\) określamy \(V_y\in \mathcal V\) tak, aby
\[ V=V^{-1},\ (V_y\circ V_y)[y]\subset U. \]
Istnieją \(y_1,\ldots ,y_k\in K\) takie, że
\[ K\subset \bigcup _{i=1}^k V_{y_i}[y_i]. \]
Określamy
\[ V:=\bigcap _{i=1}^k V_{y_i}. \]
Niech \(y\in K\) i \(z\in V[y]\). Wtedy \(y\in V_{y_i}[y_i]\) dla pewnego \(i=1,\ldots ,k\) i
\[ (y,z)\in V,\ (y_i,y)\in V_{y_i}, \]
a stąd wynika, że \((z,y_i)\in V\circ V_{y_i}\), więc \(z\in (V_{y_i}\circ V_{y_i})[y_i]\subset U\). □
Dowód. Niech \(V\in \mathcal V\). Istnieje \(U\in \mathcal V\) taki, że
\[ U=U^{-1},\ U\circ U\circ U\subset V. \]
Wtedy \(\overline {U}\in \mathcal V\). Wystarczy udowodnić, że
\[ \overline {U}\subset V. \]
Niech \((x,y)\in \overline {U}\). Wtedy
\[ U[x]\times U[y]\cap U\neq \emptyset . \]
Istnieje więc \((w,z)\in U\) taki, że \((x,w)\in U\) i \((y,z)\in U\), a stąd wynika, że
\[ (x,y)\in U\circ U\circ U\subset V. \]
Definiujemy \(W=\overline {U}\cap \overline {U}^{-1}\). Wtedy \(W\) jest domknięty, \(W\in \mathcal V\), \(W=W^{-1}\) i \(W\subset V\). □
Dowód.
(\(\subset \)). Wystarczy udowodnić, że jeżeli \(K\) jest zwarty i \(U\) jest otwarty to
\[ T(K,U)\subset \mathcal T_c(\mathcal V). \]
Niech \(f\in T(K,U)\). Wtedy \(f(K)\subset U\) jest zwarty (bo \(Y\) jest Hausdorffa), więc z Lematu 12.1 istnieje \(V\in \mathcal V\) taki, że dla każdego \(x\in K\),
\[ V[f(x)]\subset U. \]
Wystarczy więc udowodnić, że
\[ U(K,V)[f]\subset T(K,U). \]
Niech \(g\in U(K,V)[f]\). Wtedy \((f(x),g(x))\in V\) dla każdego \(x\in K\), wiec
\[ g(x)\in V[f(x)]\subset U, \]
co oznacza, że \(g\in T(K,U)\).
(\(\supset \)). Niech \(f\in C(X,Y)\), \(V\in \mathcal V\) i \(K\subset X\) będzie zbiorem zwartym. Wystarczy udowodnić, że istnieją zbiory zwarte \(K_1,\ldots ,K_n\) i zbiory otwarte \(U_1,\ldots ,U_n\) takie, że
\[ f\in \bigcap _{i=1}^n T(K_i,U_i)\subset U(K,V)[f]. \]
Niech \(W\in \mathcal V\) będzie elementem bazy z tezy Lematu 12.2 takim, że
\[ W\circ W\circ W\subset V. \]
Ponieważ \(f(K)\) jest zwarty, istnieją \(x_1,\ldots ,x_n\in X\) takie, że
\[ f(K)\subset \bigcup _{i=1}^n W[f(x_i)] \]
Jeżeli \(y\in Y\) to \(W[y]\) jest domknięty, bo \(W[y]\) jest przeciwobrazem \(W\) przez odwzorowanie ciągłe \(z\to (y,z)\). Wynika stąd, że
\[ K_i:=K\cap f^{-1}(W[f(x_i)]) \]
jest zwarty i ponadto
\[ K=\bigcup _{i=1}^n K_i. \]
Definiujemy
\[ U_i:={\rm int}(W\circ W)[f(x_i)]. \]
Wtedy \(f\in T(K_i,U_i)\) dla każdego \(i=1,\ldots ,n\), bo jeżeli \(x\in K_i\) to
\[ f(x)\in W[f(x_i)], \]
a ponieważ \(W[f(x_i)]\subset (W\circ W)[f(x_i)]\),
\[ f(x)\in {\rm int}(W\circ W)[f(x_i)]=U_i. \]
Niech \(g\in \bigcap _{i=1}^n T(K_i,U_i)\) i niech \(x\in K\); wtedy \(x\in K_i\) dla pewnego \(i=1,\ldots ,n\). Stąd
\[ g(x)\in (W\circ W)[f(x_i)],\ f(x)\in W[f(x_i)], \]
więc
\[ (f(x),g(x))\in W\circ W\circ W\subset V.\qedhere \]
□
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną, a \((Y,\mathcal V)\) przestrzenią jednostajną. Niech \(\mathcal F\subset Y^X\) i \(x_0\in X\). Rodzina funkcji \(\mathcal F\) jest jednakowo ciągła w \(x_0\) gdy
\[ \forall V\in \mathcal V\ \exists U,\ \text {otoczenie $x_0$}\ \forall f\in \mathcal F\‚\forall x\in U\colon (f(x_0),f(x))\in V. \]
\(\mathcal F\) jest jednakowo ciągła gdy jest jednakowo ciągła w każdym \(x\in X\). W szczególności, jednakowo ciągła rodzina funkcji jest zawarta w \(C(X,Y)\).
Dowód. Niech \(V\in \mathcal V\). Wybieramy \(W\in \mathcal V\) taki, że \(W=W^{-1}\) i \(W\circ W\circ W\subset V\). Istnieje \(U\), otoczenie \(x_0\) takie, że dla każdego \(x\in U\) i \(f\in \mathcal F\),
\[ (f(x_0),f(x))\in W. \]
Niech \(g\in \overline {\mathcal F}\) i \(x\in U\). Wtedy istnieje \(f\in \mathcal F\) taki, że
\[ (g(x_0),f(x_0))\in W,\ (g(x),f(x))\in W, \]
a więc \((g(x_0),g(x))\in W\circ W\circ W\subset V\). □
Dowód. Wystarczy wykazać, że bazy struktur jednostajnych \(\mathcal U_p(\mathcal V)\) i \(\mathcal U_c(\mathcal V)\) są równe na \(\mathcal F\). Ponieważ \(X\) jest Hausdorffa, z Uwagi 12.1 wynika, że
\[ \mathcal U_p(\mathcal V)\subset \mathcal U_c(\mathcal V). \]
Dla dowodu odwrotnej implikacji zakładamy, że \(K\) jest zwarty w \(X\) i \(V\subset \mathcal V\). Wystarczy znaleźć skończony zbiór \(A\) oraz \(W\in \mathcal V\) takie, że
\[ U(A,W)\cap (\mathcal F\times \mathcal F)\subset U(K,V)\cap (\mathcal F\times \mathcal F). \]
Niech \(W\) będzie takim elementem \(\mathcal V\), że \(W=W^{-1}\) i \(W\circ W\circ W\subset V\). Dla każdego \(x\in K\) istnieje \(U_x\), otoczenie \(x\) takie, że dla każdego \(z\in U_x\) i \(f\in \mathcal F\),
\[ (f(x),f(z))\in W. \]
Niech \(x_1,\ldots ,x_k\) będą takimi punktami \(K\), że \(K\subset \bigcup _{i=1}^k U_{x_i}\) i niech
\[ A:=\{x_1,\ldots ,x_k\}. \]
Niech \(f,g\in \mathcal F\) i \((f,g)\in U(A,W)\) i niech \(x\in K\). Wtedy istnieje \(i=1,\ldots ,k\) taki, że \(x\in U_{x_i}\), a więc
\[ (f(x),f(x_i))\in W,\ (g(x),g(x_i))\in W. \]
Ponieważ \((f(x_i),g(x_i))\in W\), \((f(x),g(x))\in W\circ W\circ W\subset V\). □
Dla \(x\in X\) i \(\mathcal G\subset Y^X\) definiujemy
\[ \mathcal G(x):=\{g(x)\in Y\colon g\in \mathcal G\}. \]
Domknięcia w topologiach \(\mathcal T_p\) i \(\mathcal T_c(\mathcal V)\) na \(C(X,Y)\) oznaczone są odpowiednio jako \(\operatorname {cl}_p\) i \(\operatorname {cl}_c\).
Twierdzenie 12.2 (Uogólnione twierdzenie Arzeli–Ascoli’ego). Jeżeli \(X\) jest przestrzenią Hausdorffa, topologia na \(Y\) wprowadzona przez \(\mathcal V\) jest Hausdorffa, \(\mathcal F\) jest jednakowo ciągła i \(\overline {\mathcal F(x)}\) jest zwarty w \(Y\) dla każdego \(x\in X\) to \({\rm cl}_c(\mathcal F)\) jest zwarte.
Dowód. \(\mathcal F\) jest zawarty w zbiorze \(\prod _{x\in X}\overline {\mathcal F(x)}\), który jest zwarty na podstawie Twierdzenia Tichonowa i jest domknięty w \(Y^X\) (z Uwagi 6.2). Wynika stąd, że domknięcie \(\overline {\mathcal F}\) w topologii Tichonowa jest zwarte. Ponieważ \(\mathcal F\) jest jednakowo ciągła, z Lematu 12.3 wynika, że \(\overline {\mathcal F}\) jest też jednakowo ciągła; w szczególności jest zawarta w \(C(X,Y)\). Z Uwagi 3.8(a),
\(\seteqnumber{0}{12.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:clpf} \operatorname {cl}_p\mathcal F=\overline {\mathcal F}(\operatorname {rel}C(X,Y)) =\overline {\mathcal F}\cap C(X,Y)=\overline {\mathcal F}. \end{equation}
Z Uwagi 12.1 wynika, że \(\operatorname {cl}_c\mathcal F\subset \operatorname {cl}_p\mathcal F\), więc z (12.1) i z Lematu 12.4 wynika, że
\[ \operatorname {cl}_c\mathcal F=\operatorname {cl}_c\mathcal F\cap \overline {\mathcal F}=\operatorname {cl}_c\mathcal F(\operatorname {rel} \overline {\mathcal F}) =\operatorname {cl}_p\mathcal F(\operatorname {rel} \overline {\mathcal F})=\overline {\mathcal F} \]
i teza wynika ze zwartości \(\overline {\mathcal F}\). □
Zakładamy teraz, że \(V=\mathbb R^n\). Jednakowa ciągłość rodziny \(\mathcal F\subset C(X,\mathbb R^n)\) oznacza, że
\[ \forall x\in X\ \forall \epsilon >0\ \exists U,\ \text {otoczenie $x$}\ \forall z\in U\‚\forall f\in \mathcal F\colon |f(x)-f(z)|<\epsilon . \]
\(\mathcal F\) nazywa się rodziną wspólnie ograniczoną gdy
\[ \forall x\in X\ \exists r>0\ \forall f\in \mathcal F\colon |f(x)|<r. \]
Wniosek 12.1 (Twierdzenie Arzeli–Ascoli’ego). Niech \(X\) będzie przestrzenią zwartą i niech rodzina funkcji \(\mathcal F\subset C(X,\mathbb R^n)\) będzie jednakowo ciągła i wspólnie ograniczona. Wtedy domknięcie \(\mathcal F\) w topologii jednostajnej zbieżności jest zwarte (lub, równoważnie, z każdego ciągu na \(\mathcal F\) można wybrać podciąg jednostajnie zbieżny).
Dowód. Ponieważ \(C(X,\mathbb R^n)\) jest przestrzenią metryczną, zwartość jej podzbioru jest równoważna ciągowej zwartości (Wniosek 6.11). □
Dowód. Niech \(\epsilon >0\). Dla \(n\in \mathbb N\) definiujemy
\[ F_n:=\{x\in X\colon f(x)-f_n(x)\geq \epsilon \}. \]
Ponieważ \(F_n\) jest zwarty, \(F_{n+1}\subset F_n\) i \(\bigcap _n F_n=\emptyset \), istnieje \(n_0\) taki, że \(F_{n_0}=\emptyset \). □
Dowód. Dla \(t\in I\) określamy
\(\seteqnumber{0}{12.}{1}\)\begin{align*} w_1(t)&:=0, \\ w_{n+1}(t)&:=w_n(t)+\tfrac {1}{2}(t-w_n^2(t))). \end{align*} Wtedy
\(\seteqnumber{0}{12.}{1}\)\begin{equation} \label {eq:wnt} \forall n=1,2,\ldots \ \forall t\in I\colon 0\leq w_n(t)\leq \sqrt {t}, \end{equation}
bo \(w_1(t)=0\leq \sqrt {t}\) i jeżeli \(0\leq w_n(t)\leq \sqrt {t}\) dla każdego \(t\in I\) to \(w_{n+1}(t)\geq 0\) i
\(\seteqnumber{0}{12.}{2}\)\begin{equation*} \sqrt {t}-w_{n+1}(t) = \sqrt {t} - w_n(t) - \tfrac {1}{2}(t-w_n^2(t)) \\ =(\sqrt {t}-w_n(t))(1-\tfrac {1}{2}(\sqrt {t}+w_n(t))\geq 0. \end{equation*}
Z (12.2) wynika, że \(w_n(t)\leq w_{n+1}(t)\) dla wszystkich \(n\) i \(t\). Ponieważ \(w_n(t)\to \sqrt {t}\) dla każdego \(t\in I\), z Lematu 12.5 wynika teza. □
Twierdzenie 12.3 (Stone’a–Weierstrassa). Jeżeli \(X\) jest przestrzenią zwartą, \(P\subset C(X,\mathbb R)\) jest podpierścieniem zawierającym funkcje stałe i rozdzielającym punkty \(X\), to znaczy
\[ \forall x,y\in X,x\neq y\ \exists f\in P\colon f(x)\neq f(y), \]
to \(P\) jest gęsty w \(C(X,\mathbb R)\) w topologii jednostajnej zbieżności.
Dowód. Przez \(\overline P\) oznaczamy domknięcie \(P\) w topologii zbieżności jednostajnej na \(C(X,\mathbb R)\).
Etap 1. Jeżeli \(f,g\in \overline {P}\) to \(f+g, f\cdot g\in \overline {P}\).
Wystarczy udowodnić, że działania \(+\) i \(\cdot \) na \(C(X,\mathbb R)\) są ciągłe, bo jeżeli \(\phi \) jest ciągłym działaniem na \(C(X,\mathbb R)\) to
\[ \phi (\overline {P}\times \overline {P})=\phi (\overline {P\times P})\subset \overline {\phi (P\times P)}=\overline {P}. \]
Niech \(f_0,g_0\in C(X,\mathbb R)\) i \(\epsilon >0\). Istnieje \(N\in \mathbb N\) takie, że
\[ -N\leq \min f_0(X)\cup g_0(X) - 1< \max f_0(X)\cup g_0(X) +1\leq N. \]
Z jednostajnej ciągłości dodawania na zbiorze \([-N,N]^2\) wynika istnienie \(\delta \),
\[ 0<\delta \leq 1 \]
takiego, że jeżeli \(|\alpha -\alpha '|<\delta \) i \(|\beta -\beta '|<\delta \) to
\[ |(\alpha +\beta )- (\alpha '+\beta ')|<\epsilon . \]
Wynika stąd, że jeżeli \(|f(x)-f_0(x)|<\delta \) i \(|g(x)-g_0(x)|<\delta \) dla wszystkich \(x\in X\) to także
\[ \forall x\in X\colon |(f+g)(x)-(f_0+g_0)(x)|<\epsilon . \]
Dowód dla mnożenia jest taki sam.
Etap 2. Jeżeli \(f,g\in \overline {P}\) to \(\max \{f,g\},\min \{f,g\}\in \overline {P}\).
Ponieważ
\[ \min \{f,g\}= \tfrac {1}{2}(f+g-|f-g|),\ \max \{f,g\}=\tfrac {1}{2}(f+g+|f+g|), \]
wystarczy udowodnić, że jeżeli \(f\in \overline {P}\) to \(|f|\in \overline {P}\). Niech \(f\in \overline {P}\). Istnieje \(c>0\) takie, że \(|f(x)|<c\) dla wszystkich \(x\in X\). Z Etapu 1 wynika, że
\[ g:=\tfrac {1}{c}f\in \overline {P}, \]
bo \(\tfrac {1}{c}\in P\). Niech \(\{w_n\}\) będzie ciągiem wielomianów z Lematu 12.6. Ponieważ \(0\leq g^2(x)\leq 1\) dla wszystkich \(x\in X\),
\[ w_n\circ g^2\to \sqrt {g^2}=|g| \]
jednostajnie. Z Etapu 1 wynika, że \(w_n\circ g^2\in \overline {P}\), więc \(|g|\in \overline {P}\) i \(|f|=c|g|\in \overline {P}\).
Etap 3. Niech \(f\in C(X,\mathbb R)\) i \(\epsilon >0\). Celem zakończenia dowodu twierdzenia wystarczy wykazać, że
\(\seteqnumber{0}{12.}{2}\)\begin{equation} \label {eq:fgep} \exists g\in \overline {P}\ \forall x\in X\colon |f(x)-g(x)|<\epsilon . \end{equation}
Niech \(a,b\in X\). Jeżeli \(a\neq b\) to wybieramy \(\phi \in P\) tak, aby \(\phi (a)\neq \phi (b)\) i określamy \(\chi _{a,b}\colon X\to \mathbb R\) wzorem
\[ \chi _{a,b}(x):=\frac {\phi (x)-\phi (a)}{\phi (b)-\phi (a)}. \]
W szczególności, \(\chi _{a,b}\in P\), \(\chi _{a,b}(a)=0\) i \(\chi _{a,b}(b)=1\). Dla \(x\in X\) definiujemy
\[ f_{a,b}(x):=\begin {cases} f(a),&\text {gdy $a=b$}, \\ (f(b)-f(a))\chi _{a,b}(x)+f(a),&\text {gdy $a\neq b$}. \end {cases} \]
Wtedy \(f_{a,b}\in P\), \(f_{a,b}(a)=f(a)\) i \(f_{a,b}(b)=f(b)\). Określamy
\(\seteqnumber{0}{12.}{3}\)\begin{align*} U_{a,b}&:=\{x\in X\colon f_{a,b}<f(x)+\epsilon \}, \\ V_{a,b}&:=\{x\in X\colon f_{a,b}>f(x)-\epsilon \}. \end{align*} Niech \(b\in \mathbb R\). Ponieważ \(U_{a,b}\) jest otoczeniem \(a\), istnieją \(a_1,\ldots ,a_k\in X\) takie, że
\[ X=\bigcup _{i=1}^k U_{a_i,b}. \]
Niech \(f_b:=\min _{i=1,\ldots ,k}f_{a_i,b}\); wtedy
\[ \forall x\in X\colon f_b(x)<f(x)+\epsilon . \]
Z Etapu 2 wynika, że \(f_b\in \overline {P}\). Określamy \(V_b:=\bigcap _{i=1}^k V_{a_i,b}\). Wtedy \(V_b\) jest otoczeniem \(b\) i
\[ \forall x\in V_b\colon f_b(x)> f(x)-\epsilon . \]
Niech \(b_1,\ldots ,b_\ell \) będą takimi elementami \(X\), że
\[ X=\bigcup _{i=1}^\ell V_{b_i} \]
i niech \(g:=\max _{i=1,\ldots ,\ell } f_{b_i}\). Wtedy \(g\in \overline {P}\) (z Etapu 2) i dla każdego \(x\in X\),
\[ f(x)-\epsilon < g(x) < f(x)+\epsilon , \]
więc (12.3). □
Wniosek 12.2 (Twierdzenie Weierstrassa). Jeżeli \(K\subset \mathbb R^n\) jest zwarty i \(f\colon K\to \mathbb R\) jest ciągła to dla każdego \(\epsilon >0\) istnieje wielomian \(w\colon \mathbb R^n\to \mathbb R\) taki, że
\[ |f(x)-w(x)|<\epsilon \]
dla każdego \(x\in K\). □