Przestrzeń topologiczna \(X\) nazywa się zwartą, gdy jest Hausdorffa i z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone. W szczególności, każdy zbiór skończony z topologią dyskretną jest zwarty. Bezpośrednio z definicji wynika, że przestrzeń zwarta jest przestrzenią Lindelöfa; z Twierdzenia 1.7 wynika więc, że przestrzeń metryzowalna zwarta jest ośrodkowa i spełnia II aksjomat przeliczalności.
Twierdzenie 6.1. Niech \(X\) będzie przestrzenią Hausdorffa. Wtedy następujące warunki są równoważne:
(a) \(X\) jest zwarta,
(b) jeżeli \(\mathcal F\subset 2^X\) jest rodziną zbiorów domkniętych taką, że \(\bigcap \mathcal F=\emptyset \) to istnieje skończona rodzina \(\mathcal G\subset \mathcal F\) taka, że \(\bigcap \mathcal G=\emptyset \),
(c) każda baza na \(X\) ma punkt skupienia,
(d) każdy ciąg uogólniony na \(X\) ma punkt skupienia.
Dowód. Równoważności (a) i (b) oraz (c) i (d) są oczywiste. Jeżeli \(\mathcal A\) jest bazą na \(A\), to \(\{\overline {A}\colon A\in \mathcal A\}\) jest rodziną zbiorów domkniętych, której każda podrodzina skończona ma niepuste przecięcie. Istnieje więc \(x\in X\) taki, że \(x\in \overline {A}\) dla każdego \(A\in \mathcal A\). Na odwrót, niech \(\mathcal F\) będzie rodziną zbiorów domkniętych taką, że
\[ F_1\cap \ldots \cap F_k\neq \emptyset \]
dla każdego \(k\in \mathbb N\) i wszystkich \(F_i\in \mathcal F\), \(i=1,\ldots ,k\). Wtedy
\[ \{F_1\cap \ldots \cap F_k\colon k\in \mathbb N,\ F_i\in \mathcal F\} \]
jest bazą na \(X\). Jeżeli \(x\) jest punktem skupienia tej bazy to
\[ x\in \overline {F}=F \]
dla każdego \(F\in \mathcal F\). □
Bezpośrednio z definicji zwartości wynika
Dowód. Niech \(x\in X\setminus A\) i niech \(y\in A\). Istnieją otwarte i rozłączne otoczenia \(U_y\) punktu \(y\) i \(V_y\) punktu \(x\). Niech \(y_1,\ldots ,y_k\) będą takimi punktami, że
\[ A\subset \bigcup _{i=1}^k U_{y_i}. \]
Wtedy \(\bigcap _{i=1}^k V_{y_i}\) jest otwartym otoczeniem \(x\) rozłącznym z \(A\). □
Dowód.
(\(\Rightarrow \)). Wynika z Uwagi 6.2.
(\(\Leftarrow \)). Niech \(\mathcal F\) będzie rodziną zbiorów domkniętych w \(A\) taką, że \(\bigcap \mathcal F=\emptyset \). Wtedy \(\mathcal F\) jest także rodziną zbiorów domkniętych w \(X\), więc istnieje skończona podrodzina \(\mathcal F\) o pustym przecięciu. □
Dowód. Niech \(t_0\in T\). \(\bigcap A_t\) jest domknięty i zawarty w \(A_{t_0}\), więc jest zwarty. □
Dowód. Jeżeli \(\mathcal U\) jest pokryciem otwartym \(f(X)\) to \(f^{-1}(\mathcal U)\) jest pokryciem \(X\) z którego można wybrać pokrycie skończone
\[ \{f^{-1}(U_1),\ldots ,f^{-1}(U_k)\}. \]
Wtedy \(\{U_1,\ldots ,U_k\}\) jest pokryciem \(f(X)\), co kończy dowód (a). (b) wynika z Uwagi 6.3, a (c) wynika z (b). □
Dowód. Niech \(X\) będzie przestrzenią zwartą. Niech \(x\in X\) i niech \(F\subset X\) będzie zbiorem domkniętym, \(x\notin F\). Dla \(y\in F\) istnieją otwarte zbiory \(U_y\) i \(V_y\) takie, że \(x\in U_x\), \(y\in V_y\) i \(U_y\cap V_y=\emptyset \). Ponieważ \(F\) jest zwarty, istnieją \(y_1,\ldots ,y_k\in F\) takie, że
\[ F\subset V:=\bigcup _{i=1}^k V_{y_i}. \]
Ponieważ
\[ U:=\bigcap _{i=1}^k U_{y_i} \]
jest otwartym otoczeniem \(x\) i \(U\cap V=\emptyset \), \(X\) jest przestrzenią regularną. Niech teraz \(F\) i \(G\) będą domkniętymi i rozłącznymi podzbiorami \(X\). Dla \(x\in F\) istnieje otwarte i rozłączne zbiory \(U_x\) i \(V_x\) takie, że
\[ x\in U_x,\ G\subset V_x. \]
Niech
\[ F\subset W:=\bigcup _{i-1}^k U_{x_i} \]
dla pewnych \(x_1,\ldots ,x_k\in F\). Ponieważ
\[ Z:=\bigcap _{i=1}^k V_{x_i} \]
jest otwartym otoczeniem \(G\) i \(W\cap Z=\emptyset \), \(X\) jest normalna. □
Dowód. Niech \(m:=\inf f(X)\). Dla \(q>m\) określamy
\[ F_q:=\{y\in X\colon f(y)\leq q\}. \]
Wtedy \(\mathcal F:=\{F_q\}_{q>m}\) jest zstępującą rodziną niepustych zbiorów domkniętych. Każde skończone przecięcie zbiorów z \(\mathcal F\) jest także zbiorem z \(\mathcal F\), wiec jest zbiorem niepustym. Ze zwartości \(X\) wynika, że \(\bigcap \mathcal F\neq \emptyset \); każdy punkt z \(\bigcap \mathcal F\) realizuje infimum. Analogicznie dla supremum. □
Twierdzenie Weierstrassa uzasadnia używanie nazw maksimum i minimum (i oznaczeń \(\min f\) i \(\max f\)) gdy dziedziną funkcji \(f\) jest przestrzeń zwarta. W następnym twierdzeniu przestrzeń zwarta występuje jako zbiór parametrów funkcji:
Dowód. Niech \(x_0\in X\) i niech \(\epsilon >0\). Niech ponadto \(u_0\) będzie takim punktem \(U\), że
\[ \phi (x_0)=\Phi (x_0,u_0). \]
Istnieje \(V_1\), otoczenie \(x_0\) takie, że
\[ \Phi (V_1\times \{u_0\})\subset (\phi (x_0)-\epsilon , \phi (x_0)+\epsilon ). \]
Niech \(u\in U\). Istnieje \(W_u\), otoczenie \(x_0\) oraz \(Z_u\), otoczenie \(u\) takie, że
\[ \phi (x_0)-\epsilon \leq \Phi (x_0,u)-\epsilon <\Phi (x,z) \]
dla \(x\in W_u\) i \(z\in Z_u\). Ze zwartości \(U\) wynika istnienie \(u_1,\ldots ,u_k\) takich, że
\[ U=\bigcup _{i=1}^k Z_{u_i}. \]
Niech
\[ V_2:=\bigcap _{i=1}^k W_{u_i}. \]
Wtedy
\[ \Phi (V_2\times U)\subset (\phi (x_0)-\epsilon ,\infty ), \]
bo jeżeli \((x,u)\in V_2\times U\) to \(u\in Z_{u_j}\) dla pewnego \(j\) i \(x\in W_{u_j}\). Wynika stąd, że \(\phi (x_0)-\epsilon <\phi (x)\) dla każdego \(x\in V_2\). Jeżeli \(x\in V_1\cap V_2\) to
\[ \phi (x_0)-\epsilon < \phi (x)\leq \Phi (x,u_0) < \phi (x_0)+\epsilon , \]
co kończy dowód. □
Oczywiście powyższe twierdzenie jest także prawdziwe, gdy minimum jest zastąpione przez maksimum.
Dowód.
(\(\Rightarrow \)). Niech \(t_0\in T\). Z Twierdzenia 3.6 wynika, że \(X_{t_0}\) jest homeomorficzny z podzbiorem \(\prod X_t\), więc jest także przestrzenią Hausdorffa. Rzutowanie \(\pi _{t_0}\colon \prod X_t\to X_{t_0}\) jest ciągła surjekcją, więc \(X_{t_0}\) jest zwarta.
(\(\Leftarrow \)). \(\prod X_t\) jest Hausdorffa bo wszystkie \(X_t\) są Hausdorffa. Niech \(\mathcal A\) będzie bazą na \(\prod X_t\) i niech \(\mathcal M\) będzie ultrafiltrem zawierającym \(\mathcal A\) z Twierdzenia 2.1. Ponieważ \(\mathcal M\succ \mathcal A\), wystarczy udowodnić, że istnieje \(x\in \prod X_t\) taki, że \(\mathcal M\to x\).
\(\pi _t(\mathcal M)\) jest bazą na \(X_t\) i \(X_t\) jest zwarta, więc istnieje baza \(\mathcal B_t\) na \(X_t\) taka, że
\(\seteqnumber{0}{6.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:succ} \mathcal B_t\succ \pi _t(\mathcal M) \end{equation}
oraz \(x_t\in X_t\) taki, że \(\mathcal B_t\to x_t\). Wtedy
\(\seteqnumber{0}{6.}{1}\)\begin{equation} \label {eq:btm} \forall B\in \mathcal B_t\ \forall M\in \mathcal M\colon B\cap \pi _t(M)\neq \emptyset , \end{equation}
bo dla \(B\in \mathcal B_t\) i \(M\in \mathcal M\) na podstawie (6.1) istnieje \(C\in \mathcal B\) taki, że
\[ \emptyset \neq C\cap B\subset \pi _t(M)\cap B. \]
Z (6.2) wynika, że dla \(B\in \mathcal B_t\),
\[ \forall M\in \mathcal M\colon M\cap \pi _t^{-1}(B)\neq \emptyset , \]
a więc \(\pi _t^{-1}(B)\in \mathcal M\) na podstawie Uwagi 2.2. Ponieważ \(\pi _t\) jest surjekcją,
\[ B=\pi _t(\pi _t^{-1}(B))\in \pi _t(\mathcal M). \]
Stąd \(\mathcal B_t\subset \pi _t(\mathcal M)\), więc \(\pi _t(\mathcal M)\to x_t\). Niech \(x=\{x_t\}_t\). Z Uwagi 3.5 wynika, że \(\mathcal M\to x\), co kończy dowód. □
Przykład 6.1. Kostka Cantora \(\{0,1\}^\mathbb N\) jest przestrzenią zwartą. Odwzorowanie
\[ f\colon \{0,1\}^\mathbb N\ni \{x_n\}\to \sum _{n=0}^\infty \frac {2x_n}{3^{n+1}}\in I \]
jest homeomorfizmem na obraz; \(f\left (\{0,1\}^\mathbb N\right )\) nazywa się zbiorem Cantora.
Jako szczególny przypadek Twierdzenia 6.6 otrzymujemy
Uogólnieniem Twierdzenia 6.6 i jest
Dowód. \(q\colon X\to X/\mathcal R\) jest ciągłą surjekcją; na podstawie Uwagi 6.4 wystarczy udowodnić, że \(X/\mathcal R\) jest Hausdorffa. Ponieważ \(X\) jest normalna (Twierdzenie 6.2), na podstawie Twierdzenia 5.7 wystarczy udowodnić, że \(q\) jest domknięte. Niech \(F\) będzie domkniętym podzbiorem \(X\). \(q(F)\) jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy \(q^{-1}(q(F))\) jest domknięty.
\(\seteqnumber{0}{6.}{2}\)\begin{align*} q^{-1}(q(F))=\{x\in X\colon \exists y\in F\colon q(x)=q(y)\}&=\{x\in X\colon \exists y\in F\colon (x,y)\in \mathcal R\} \\ &=p_1(\{(x,y)\in \mathcal R\colon y\in F\})=p_1(p_2^{-1}(F)\cap \mathcal R), \end{align*} gdzie \(p_i\colon X\times X\to X\) są rzutowaniami na pierwszą (\(i=1\)) i drugą (\(i=2\)) współrzędne, jest domknięty, bo \(p_1^{-1}(F)\) i \(\mathcal R\) są zwarte. □
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną. Uzwarceniem \(X\) nazywa się parę \((Y,\Psi )\), gdzie \(Y\) jest przestrzeń zwartą, a \(\Psi \colon X\to Y\) jest homeomorfizmem na obraz i \(\overline {\Psi (X)}=Y\). (Dla uproszczenia zapisu zwykle samą przestrzeń \(Y\) nazywa się wtedy uzwarceniem.)
Przez \(C(X,I)\) oznaczamy zbiór funkcji ciągłych \(X\to I\). Wprowadźmy topologię Tichonowa na zbiorze \(I^{C(X,I)}\) i określamy funkcję
\[ \Phi \colon X\to I^{C(X,I)} \]
wzorem \(\Phi (x)(\phi ):=\phi (x)\). \(\Phi \) jest ciągła, bo dla każdego \(\phi \in C(X,I)\),
\[ \pi _\phi \circ \Phi =\phi , \]
gdzie \(\pi _\phi \colon I^{C(X,I)}\ni \mu \to \mu (\phi )\in I\) jest rzutowaniem kanonicznym na \(\phi \)-tą współrzędną.
Dowód. \(\Phi \) jest injekcją, bo jeżeli \(x\neq y\) to istnieje funkcja ciągła \(\phi \colon X\to I\) taka, że \(\phi (x)=0\) i \(\phi (y)=1\), a wtedy
\[ \pi _\phi (\Phi (x))=\phi (x)\neq \phi (y)=\pi _\phi (\Phi (y)), \]
więc \(\Phi (x)\neq \Phi (y)\). Dla dowodu, że \(X\ni x\to \Phi (x)\in \Phi (X)\) jest odwzorowaniem otwartym, zakładamy, że \(U\) jest otwartym otoczeniem \(x\in X\). Wystarczy wykazać, że \(\Phi (U)\) zawiera otoczenie \(\Phi (x)\) w \(\Phi (X)\). Istnieje ciągła funkcja \(\phi \colon X\to I\) taka, że \(\phi (x)=0\) i \(X\setminus U\subset \phi ^{-1}(1)\). Wtedy \(\Phi (X)\cap \pi _\phi ^{-1}([0,1))\) jest otwartym otoczeniem \(\Phi (x)\) w \(\Phi (X)\) i
\[ \Phi ^{-1}(\pi _\phi ^{-1}([0,1)))=\phi ^{-1}([0,1))\subset U, \]
a więc
\[ \Phi (X)\cap \pi _\phi ^{-1}([0,1))=\Phi (\Phi ^{-1}(\pi _\phi ^{-1}([0,1))))\subset \Phi (U). \qedhere \]
□
Z Twierdzenia Tichonowa wynika, że \(I^{C(X,I)}\) jest przestrzenią zwartą, stąd
\[ \beta X:=\overline {\Phi (X)} \]
jest zwarty. Para \((\beta X,\Phi _X)\), gdzie \(\Phi _X\colon X\to \beta X\) jest zawężeniem \(\Phi \), jest więc uzwarceniem \(X\); nazywa się uzwarceniem Čecha-Stone’a. Oczywiście jeżeli \(X\) jest zwarta to \(\Phi _X\) jest homeomorfizmem. Z Uwagi 5.7, całkowitej regularności przestrzeni zwartej i Twierdzenia 6.8 wynika
Niech \(f\colon X\to Y\) będzie odwzorowaniem ciągłym. Wtedy
\[ f_\ast \colon I^{C(X,I)}\to I^{C(Y,I)} \]
zdefiniowane wzorem \(f_\ast (\mu )(\psi ):=\mu (\psi \circ f)\) jest ciągłe, bo \(\pi _\psi \circ f_\ast =\pi _{\psi \circ f}. \) Ponadto
\(\seteqnumber{0}{6.}{2}\)\begin{equation} \label {eq:phiphi} f_\ast \circ \Phi _X=\Phi _Y\circ f, \end{equation}
bo dla \(x\in X\) i \(\psi \in C(Y,I)\),
\[ f_\ast (\Phi _X(x))(\psi )=\Phi _X(x)(\psi \circ f)=\psi (f(x))=\Phi _Y(f(x))(\psi ). \]
Z (6.3) wynika, że \(f_\ast (\Phi _X(X))\subset \Phi _Y(Y)\), więc ciągłość \(f_\ast \) implikuje
\[ f_\ast (\beta X)=f_\ast \left (\overline {\Phi _X(X)}\right ) \subset \overline {f_\ast (\Phi _X(X))} \subset \overline {\Phi _Y(Y)}=\beta Y. \]
Definiujemy
\[ \beta f\colon \beta X\to \beta Y \]
jako zawężenie \(f_\ast \); jest to więc odwzorowanie ciągłe. Z (6.3) wynika
Dowód. Z Uwagi 6.5 wynika, że
\[ \beta {\rm id}_X|_{\Phi _X(X)}={\rm id}_{\beta X}|_{\Phi _X(X)},\‚\beta (g\circ f)|_{\Phi _X(X)}=\beta g\circ \beta f|_{\Phi _X(X)}. \]
Teza jest konsekwencją gęstości \(\Phi _X(X)\) w \(\beta X\). □
Twierdzenie 6.10. Niech \(X\) będzie przestrzenią całkowicie regularną.
(a) Jeżeli \(K\) jest zwarta i \(g\colon X\to K\) jest ciągła to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe \(\overline {g}\colon \beta X\to K\) takie, że diagram
jest przemienny.
(b) Jeżeli \((Y,\Psi )\) jest uzwarceniem \(X\) to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe \(\overline {\Psi }\colon \beta X\to Y\) takie, że diagram
jest przemienny.
(c) Jeżeli \((Y,\Psi )\) jest uzwarceniem \(X\) i dla każdej przestrzeni zwartej \(K\) i każdego odwzorowania ciągłego \(g\colon X\to K\) istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe \(g^\ast \colon Y\to K\) takie, że diagram
jest przemienny to odwzorowania \(\overline {\Psi }\) i \(\Phi _X^\ast \) są wzajemnie odwrotnymi homeomorfizmami między \(\beta X\) a \(Y\).
Dowód.
Ad (a). Z Uwagi 6.5 wynika, że
\[ \Phi _K\circ g=\beta g \circ \Phi _X. \]
Ponieważ odwzorowanie \(\Phi _K\) jest homeomorfizmem, wystarczy określić
\[ \overline {g}:=\Phi _K^{-1}\circ \beta g. \]
Jedyność \(\overline {g}\) wynika z gęstości \(\Phi _X(X)\) w \(\beta X\).
Ad (b). Jest to szczególny przypadek (a).
Ad (c). Ponieważ \(\overline {\Phi _X}={\rm id}_{\beta X}\) i \(\Psi ^\ast ={\rm id}_Y\) są jedynymi odwzorowaniami takimi, że \(\Phi _X=\overline {\Phi _X}\circ \Phi _X\) i \(\Psi =\Psi ^\ast \circ \Psi \), z połączenia diagramów (6.4) i (6.5) dla \(K=\beta X\) i \(g=\Phi _X\) wynika, że
\[ \overline {\Psi }\circ \Phi _X^\ast ={\rm id}_Y,\‚\Phi _X^\ast \circ \overline {\Psi } ={\rm id}_{\beta X}. \qedhere \]
□
Część (b) Twierdzenia 6.10 oznacza, że uzwarcenie Čecha–Stone’a jest maksymalne (względem pewnego uporządkowania) spośród wszystkich uzwarceń przestrzeni \(X\), a część (c) wskazuje, że ta maksymalność charakteryzuje uzwarcenie Čecha-Stone’a z dokładnością do homeomorfizmu.
Przestrzeń Hausdorffa nazywa się przeliczalnie zwarta jeżeli z każdego jej przeliczalnego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone.
Oczywiście przestrzeń zwarta jest przeliczalnie zwarta. Ponadto
Dowód.
(b) \(\Rightarrow \) (a). Niech \(\{U_i\colon i=1,2,\ldots \}\) będzie pokryciem przeliczalnym. Zakładamy niewprost, że \(\{U_i\}\) nie zawiera pokrycia skończonego. Niech
\[ x_n\in X\setminus \bigcup _{i=1}^n U_i. \]
Wtedy \(\{x_n\}_n\) nie ma punktu skupienia, bo dla każdego \(y\in X\) istnieje jego otoczenie \(V\) równe \(\bigcup _{i=1}^n U_i\) dla pewnego \(n\) i dla każdego \(k\geq n\),
\[ x_k\notin V. \]
(a) \(\Rightarrow \) (c). Niech \(A\) będzie nieskończonym podzbiorem \(X\) takim, że \(A'=\emptyset \). Można założyć, że \(A\) jest przeliczalny. Dla każdego \(x\in X\) istnieje \(U_x\), otwarte otoczenie \(x\) takie, że
\(\seteqnumber{0}{6.}{5}\)\begin{equation} \label {eq:uxax} U_x\cap (A\setminus \{x\})=\emptyset . \end{equation}
\(A\) jest domknięty, bo jeżeli \(x\notin A\) to \(U_x\cap A=\emptyset \). Niech \(A=\{x_i\colon i=1,2,\ldots \}\) i niech \(x_i\neq x_j\) dla \(i\neq j\). Wtedy
\[ \mathcal U:=\{U_{x_i}\colon i=1,2,\ldots \}\cup X\setminus A \]
jest przeliczalnym pokryciem otwartym nie zawierającym pokrycia skończonego, bo jeżeli \(i\neq j\) to \(x_i\notin U_{x_j}\) na podstawie (6.6), więc
\[ x_i\notin \bigcup _{j\neq i}U_{x_j}\cup (X\setminus A), \]
to znaczy usuwając zbiór \(U_{x_i}\) z \(\mathcal U\) nie uzyskamy pokrycia \(X\).
(c) \(\Rightarrow \) (b). Niech \(\phi \colon \mathbb N\to X\). Zakładamy najpierw, że \(\#\phi (\mathbb N)=\infty \). Niech \(y\in \phi (\mathbb N)'\). Wtedy
\[ \forall U,\ \text {otoczenia $y$}\ \exists T\subset \mathbb N,\ \#T=\infty \colon \phi (T)\subset U, \]
bo gdyby \(\phi (\mathbb N)\cap U=\{\phi (n_1),\ldots ,\phi (n_k)\}\) to \(U\setminus (\{\phi (n_1),\ldots ,\phi (n_k)\}\setminus \{y\})\) byłoby otwartym otoczeniem \(y\) nie przecinającym \(\phi (\mathbb N)\setminus \{y\}\). \(y\) jest więc punktem skupienia ciągu \(\phi \).
Niech teraz \(\#\phi (\mathbb N)<\infty \), to znaczy \(\phi (\mathbb N)=\{x_1,\ldots ,x_k\}\) i \(x_i\neq x_j\) dla \(i\neq j\). Wtedy istnieje \(i\in \{1,\ldots ,k\}\) oraz nieskończony zbiór \(T\subset \mathbb N\) taki, że \(\{x_i\}=\phi (T)\). Stąd \(x_i\) jest punktem skupienia \(\phi \). □
Przestrzeń Hausdorffa nazywa się ciągowo zwarta gdy każdy ciąg jej punktów zawiera podciąg zbieżny.
Z Twierdzenia Lindelöfa (Twierdzenie 1.6), Uwagi 6.7 oraz Uwagi 6.8 wynika
Przestrzeń \(\mathbb R^n\) i każdy jej podzbiór spełniają II aksjomat przeliczalności. Na podstawie Twierdzenia 6.12, dowodzenie zwartości podzbioru \(A\subset \mathbb R^N\) sprowadza się do wykazania istnienia punktów skupienia (lub, równoważnie, podciągu zbieżnego) każdego ciągu zawartego w \(A\).
Dowód. Niech \(\{x_n\}\) będzie ciągiem ograniczonym. Na podstawie Uwagi 2.7 wystarczy udowodnić, że ma punkt skupienia. Ciąg
\[ y_n:=\sup \{x_i\colon i\geq n\} \]
jest malejący i ograniczony, więc \(y_n\to y\) dla pewnego \(y\in \mathbb R\). \(y\) jest punktem skupienia \(\{x_n\}\). □
Niech \(T\) będzie zbiorem. Iloczyn kartezjański \(I^T\) nazywa się kostką Tichonowa. Gdy \(T=\mathbb N\), zbiór \(I^\mathbb N\) nosi nazwę kostki Hilberta. Z Twierdzenia Tichonowa (Twierdzenie 6.5) wynika
Dowód. Niech \(A\subset \mathbb R^n\).
(\(\Rightarrow \)). Jeżeli \(A\) jest zwarty to jest domknięty w \(\mathbb R^n\) (Uwaga 6.2). Gdyby dla każdego \(m=1,2,\ldots \) istniał \(x_m\in A\) taki, że \(x_m\notin [-m,m]^n\) to ciąg \(\{x_m\}_{m=1,2,\ldots }\) nie posiadałby punktu skupienia, co jest sprzeczne ze zwartością \(A\).
(\(\Leftarrow \)). Ponieważ \(A\) jest ograniczony, istnieje \(M>0\) takie, że \(A\subset [-M,M]^n\). Z Wniosku 6.4 wynika, że \(A\) jest domkniętym podzbiorem zbioru zwartego, wiec jest zwarty. □
W szczególności, kula domknięta i sfera w normie euklidesowej są zwarte. Z Twierdzenia 6.14 natychmiast wynika Twierdzenia Bolzano–Weierstrassa w ogólniejszym niż 6.13 sformułowaniu: ograniczony ciąg w \(\mathbb R^n\) zawiera podciąg zbieżny.
Przestrzeń Hausdorffa nazywa się lokalnie zwarta gdy każdy jej punkt posiada bazę otoczeń zwartych. Z Twierdzenia 6.14 wynika, że \(\mathbb R^n\) jest przestrzenią lokalnie zwartą.
Przestrzeń zwarta jest lokalnie zwarta, bo jest przestrzenią regularną, a więc każdy jej punkt ma bazę otoczeń domkniętych na podstawie Twierdzenia 5.4. Z tego twierdzenia, Twierdzenia 5.9 oraz z domkniętości podzbiorów zwartych przestrzeni Hausdorffa wynika
Z Twierdzenia 5.4 wynika także
Dowód. Niech \(x\in A\). Istnieją \(K_x,V_x\subset A\) takie, że \(K_x\) jest zwarty, \(V_x\) jest otwarty w \(A\) i
\[ x\in V_x\subset K_x. \]
Niech \(W_x\subset X\) będzie zbiorem otwartym takim, że \(V_x=A\cap W_x\).
\[ U_x:={\rm int}(K_x\cup W_x) \]
jest otwartym otoczeniem \(x\) w \(X\). Wystarczy udowodnić, że
\(\seteqnumber{0}{6.}{6}\)\begin{equation} \label {eq:aadu} U_x\cap \overline {A}=U_x\cap A, \end{equation}
bo wtedy
\[ A=A\cap \bigcup _{x\in A} U_x=\bigcup _{x\in A} U_x\cap A=\bigcup _{x\in A} U_x\cap \overline {A} =F\cap U, \]
gdzie \(F:=\overline {A}\) i \(U:=\bigcup _{x\in A} U_x\).
Dla dowodu (6.7) załóżmy, że \(y\in U_x\cap \overline {A}\). Jeżeli \(V\) jest dowolnym otoczeniem \(y\) w \(X\) to \(U_x\cap V\) jest też otoczeniem \(y\) (bo \(U_x\) jest otwarty), skąd wynika, że
\[ U_x\cap V\cap A\neq \emptyset . \]
\(U_x\cap V\) jest także otoczeniem \(y\) w \(U_x\), więc
\[ y\in \overline {U_x\cap A} ({\rm rel}\, U_x). \]
Wystarczy więc udowodnić, że \(U_x\cap A\) jest domknięty w \(U_x\). W tym celu udowodnimy, że
\(\seteqnumber{0}{6.}{7}\)\begin{equation} \label {eq:uxakx} U_x\cap A=U_x\cap K_x. \end{equation}
Ponieważ \(K_x\) jest zwarty, \(U_x\cap K_x\) jest domknięty w \(U_x\) i z (6.8) wynika domkniętość \(U_x\cap A\) w \(U_x\). Inkluzja \(\supset \) w (6.8) jest oczywista;
\[ U_x\cap A\subset (K_x\cup W_x)\cap A=K_x\cup (W_x\cap A)=K_x\cup V_x=K_x, \]
co kończy dowód (6.8) i całego twierdzenia. □
Dowód.
(\(\Rightarrow \)). Wynika z Twierdzenia 6.15.
(\(\Leftarrow \)). Niech \(U\) będzie otwartym, a \(F\) domkniętym podzbiorem \(X\). Ponieważ \(F\) jest lokalnie zwarty, jego otwarty podzbiór \(F\cap U\) też jest lokalnie zwarty. □
Dla zbioru \(X\) ustalamy punkt \(\infty _X\) taki, że \(\infty _X\notin X\) i definiujemy
\[ \hat X:=X\cup \{\infty _X\}. \]
Niech \(X\) z topologią \(\mathcal T\) będzie przestrzenią lokalnie zwartą i niezwartą. Definiujemy
\[ \hat {\mathcal T}:=\mathcal T\cup \{U\subset \hat X\colon \infty _X\in U,\ \hat X \setminus U\ \text {zwarty}\}\subset 2^{\hat X}. \]
Twierdzenie 6.16 (Aleksandrowa).
(a) \((\hat X,\hat {\mathcal T})\) jest zwarta.
(b) Jeżeli \(Y\) jest zwarta i \(h\colon X\to Y\) jest homeomorfizmem na obraz takim, że \(Y\setminus h(X)\) jest zbiorem jednopunktowym to istnieje homeomorfizm \(\hat h\colon \hat X\to Y\) taki, że \(\hat h|_{X}=h\).
Dowód.
Ad (a). \(\hat X\) jest Hausdorffa, bo jeżeli \(x\in X\) to istnieje jego otwarte otoczenie \(U\) oraz zwarty \(K\subset X\) taki, że \(U\subset K\), a więc
\[ U\cap (\hat X\setminus K)=\emptyset , \]
a to oznacza, że \(x\) i \(\infty _X\) mają rozłączne otoczenia. \(\hat X\) jest więc zwarta, bo jeżeli \(\mathcal U\) jest otwartym pokryciem \(\hat X\) i \(\infty _X\in U\in \mathcal U\) to \(\hat X\setminus U\) jest zwarty, więc istnieje \(\mathcal V\subset \mathcal U\) takie, że \(K\subset \bigcup \mathcal V\) i \(\#\mathcal V<\infty \), skąd wynika, że
\[ \{U\}\cup \mathcal V\subset \mathcal U \]
jest skończonym pokryciem \(\hat X\).
Ad (b). Niech \(\infty \) oznacza jedyny punkt w \(Y\setminus h(X)\). Rozszerzamy \(h\) do bijekcji
\[ \hat h\colon \hat X\to Y \]
wzorem \(\hat h(\infty _X):=\infty \). \(\hat h\) jest odwzorowaniem otwartym, bo \(\hat h|_X=h\) jest otwarte i jeżeli \(K\subset X\) jest zwarty to
\[ \hat h(\hat X\setminus K)=Y\setminus h(K) \]
jest otwarty. \(\hat h^{-1}\) jest więc ciągłą bijekcją przestrzeni zwartych, a więc homeomorfizmem. □
\(\hat X\) z topologią \(\hat {\mathcal T}\) jest nazywa się uzwarceniem Aleksandrowa przestrzeni \(X\). \(\hat X\) wraz z odwzorowaniem inkluzji \(X\hookrightarrow \hat X\), a także dowolna para \((Y,h)\) z punktu (b) Twierdzenia 6.16 są uzwarceniami \(X\) w sensie definicji z Podrozdziału 6.4. Z Twierdzenia 6.16(b) wynika ponadto
Przykład 6.2. Uzwarcenie Aleksandrowa \(\mathbb R^n\) jest homeomorficzne ze sferą \(S^n\). Uzasadnienie jest następujące. Określamy
\[ p\colon \mathbb R^n\to S^n \]
tak, by \(p(x)\) dla \(x\in \mathbb R^n\) był drugim punktem przecięcia \(S^n\) z prostą w \(\mathbb R^{n+1}\) przechodzącą przez „biegun północny” \((0,\ldots ,0,1)\in S^n\) i \((x,-1)\in \mathbb R^{n+1}\). (Wtedy \((x,-1)\) nazywa się rzutem stereograficznym punktu \(p(x)\)). \(p\) jest homeomorfizmem na obraz i \((0,\ldots ,0,1)\) jest jedynym punktem \(S^n\) nie należącym do tego obrazu, więc \(\hat p\) z Twierdzenia 6.16(b) jest homeomorfizmem. □
Niech \(X\) będzie zbiorem i niech \(\mathcal A,\mathcal B\subset 2^X\). \(\mathcal A\) jest wpisane w \(\mathcal B\) gdy
\[ \forall A\in \mathcal A\ \exists B\in \mathcal B\colon A\subset B. \]
Zakładamy teraz, że \(X\) jest przestrzenią topologiczną. \(X\) jest parazwarta gdy jest przestrzenią Hausdorffa i dla każdego jej pokrycia otwartego \(\mathcal U\) istnieje lokalnie skończone pokrycie otwarte wpisane w \(\mathcal U\).
Każda przestrzeń zwarta jest parazwarta.
Dowód. Niech \(\mathcal U\) będzie pokryciem otwartym regularnej przestrzeni Lindelöfa \(X\). Dla \(x\in X\) niech \(x\in U_x\in \mathcal U\). Istnieje otwarty \(V_x\) taki, że
\[ x\in V_x\subset \overline {V_x}\subset U_x. \]
\(\{V_x\colon x\in X\}\) jest pokryciem otwartym \(X\), istnieją więc punkty \(x_i\), \(i=1,2,\ldots \) takie, że \(\{V_{x_i}\colon i=1,2,\ldots \}\) jest pokryciem \(X\). Wtedy \(\{U_{x_i}\}\) jest także pokryciem \(X\). Dla \(n=1,2,\ldots \) definiujemy
\[ W_n:=U_{x_n}\setminus \bigcup _{i<n}\overline {V_{x_i}}. \]
Wtedy \(\mathcal W:=\{W_n\colon n=1,2,\ldots \}\) jest rodziną zbiorów otwartych wpisaną w \(\mathcal U\). \(\mathcal W\) jest pokryciem \(X\), bo dla \(x\in X\) wybieramy najmniejszy \(n\) taki, że \(x\in U_{x_n}\), skąd wynika, że \(x\notin U_{x_i}\supset \overline {V_{x_i}}\) dla \(i<n\), więc \(x\in W_n\). \(\mathcal W\) jest lokalnie skończone, bo dla \(x\in X\) istnieje \(i\) taki, że \(x\in V_{x_i}\) i
\[ V_{x_i}\cap W_n=\emptyset \]
dla wszystkich \(n>i\). □
Konsekwencją Uwagi 6.9 i Twierdzenia 6.17 jest
Dowód. Niech \(F\) będzie domkniętym podzbiorem parazwartej przestrzeni \(X\). Wtedy \(F\) jest przestrzenią Hausdorffa. Niech \(\mathcal V\) będzie otwartym pokryciem \(F\). Dla \(V\in \mathcal V\) istnieje otwarty zbiór \(U_V\subset X\) taki, że
\[ V=U_V\cap F. \]
Wtedy
\[ \mathcal U:=\{U_V\colon V\in \mathcal V\}\cup \{X\setminus F\} \]
jest otwartym pokryciem \(X\). Niech \(\mathcal W\) będzie lokalnie skończonym otwartym pokryciem \(X\) wpisanym w \(\mathcal U\). Wtedy
\[ \mathcal Z:=\{W\cap F\colon W\in \mathcal W\} \]
jest lokalnie skończonym otwartym pokryciem \(F\) wpisanym w \(\mathcal V\). □
Dowód. Zakładamy, że \(X\) jest przeliczalnie zwarta. Niech \(\mathcal U\) będzie otwartym pokryciem \(X\) i niech \(\mathcal V\) będzie otwartym pokryciem lokalnie skończonym wpisanym w \(\mathcal U\). Zbiór
\[ \Phi :=\{\mathcal W\subset \mathcal V\colon \mathcal W\ \text {pokrycie $X$}\} \]
jest częściowo uporządkowany przez inkluzję. Udowodnimy, że jeżeli \(\Psi \subset \Phi \) jest łańcuchem to \(\bigcap \Psi \in \Phi \). Załóżmy niewprost, że \(\bigcap \Psi \) nie należy do \(\Phi \), to znaczy nie jest pokryciem \(X\). Istnieje więc \(x\in X\)
\[ x\notin \bigcup \bigcap \Psi . \]
\(\mathcal V\) jest lokalnie skończona, więc istnieją \(V_1,\ldots ,V_k\in \mathcal V\) takie, że
\[ \{V\in \mathcal V\colon x\in V\}=\{V_1,\ldots ,V_k\}. \]
Wtedy \(V_i\notin \bigcap \Psi \) dla wszystkich \(i=1,\ldots ,k\), więc istnieją \(\mathcal W_i\in \Psi \) takie, że \(V_i\notin \mathcal W_i\). Ponieważ \(\Psi \) jest łańcuchem,
\[ \bigcap _{i=1}^k \mathcal W_i=\mathcal W_{i_0} \]
dla pewnego \(i_0=1,\ldots ,k\). Wynika stąd, że \(V_i\notin \mathcal W_{i_0}\) dla wszystkich \(i\), a więc \(x\notin \mathcal W_{i_0}\), co nie jest prawdą, bo \(\mathcal W_{i_0}\) jest pokryciem. Niech \(\mathcal Z\) będzie elementem minimalnym \(\Phi \) z Lematu Kuratowskiego–Zorna. \(\mathcal Z\) jest więc pokryciem i żaden jego istotny podzbiór nie jest pokryciem \(X\), to znaczy
\[ \forall Z\in \mathcal Z\ \exists x_Z\in Z\ \forall Y\in \mathcal Z,\ Y\neq Z\colon x_Z\notin Y. \]
Wystarczy udowodnić, że \(\mathcal Z\) jest skończone. Zakładamy niewprost, że \(\#\mathcal Z=\infty \), a więc
\[ A:=\{x_Z\colon Z\in \mathcal Z\} \]
jest nieskończony. Z własności Bolzano–Weierstrassa (Twierdzenie 6.11) wynika, że \(A\) ma punkt skupienia. To prowadzi do sprzeczności, bo \(A\) jest zbiorem punktów izolowanych, ponieważ
\[ A\cap Z=\{x_Z\} \]
dla każdego \(Z\in \mathcal Z\). □
Dowód.
(\(\supset \)). Niech \(A\in \mathcal A\). Wtedy \(A\subset \bigcup \mathcal A\), więc
\[ \overline {A}\subset \overline {\bigcup \mathcal A}, \]
skąd teza.
(\(\subset \)). Niech \(x\in \overline {\bigcup \mathcal A}\) i niech \(V\) będzie otwartym otoczeniem \(x\) takim, że
\[ \mathcal B:=\{A\in \mathcal A\colon V\cap A\neq \emptyset \} \]
jest zbiorem skończonym. Wtedy
\[ x\in \overline {\bigcup \mathcal B\cup \bigcup (\mathcal A\setminus \mathcal B)}= \overline {\bigcup \mathcal B}\cup \overline {\bigcup (\mathcal A\setminus \mathcal B)}. \]
Ponieważ \(\bigcup (\mathcal A\setminus \mathcal B)\subset X\setminus V\),
\[ \overline {\bigcup (\mathcal A\setminus \mathcal B)}\subset X\setminus V, \]
więc \(x\notin \overline {\bigcup (\mathcal A\setminus \mathcal B)}\). Stąd
\[ x\in \overline {\bigcup \mathcal B}=\bigcup _{A\in \mathcal B}\overline {A} \subset \bigcup _{A\in \mathcal A}\overline {A}. \qedhere \]
□
Dowód. Niech \(X\) będzie przestrzenią parazwartą.
Etap 1. Udowodnimy, że \(X\) jest regularna.
Niech \(x\in X\) i niech \(G\) będzie domkniętym podzbiorem \(X\) takim, że \(x\notin G\). Ponieważ \(X\) jest Hausdorffa, dla \(y\in G\) istnieje otwarty \(U_y\) taki, że \(y\in U_y\) i \(x\notin \overline {U_y}\).
\[ \mathcal U:=\{U_y\colon y\in G\}\cup \{X\setminus G\} \]
jest otwartym pokryciem \(X\). Niech \(\mathcal V\) będzie lokalnie skończonym otwartym pokryciem \(X\) wpisanym w \(\mathcal U\). Definiujemy
\(\seteqnumber{0}{6.}{8}\)\begin{align*} \mathcal W&:=\{W\in \mathcal V\colon W\not \subset X\setminus G\}, \\ V&:=\bigcup \mathcal W. \end{align*} Wtedy \(V\) jest otwarty, \(G\subset V\) i \(x\notin \overline {V}\), ponieważ z Lematu 6.2,
\[ \overline {V}=\overline {\bigcup \mathcal W}= \bigcup _{W\in \mathcal W}\overline {W} \]
i \(x\notin \overline {W}\) dla każdego \(W\in \mathcal W\), bo dla \(W\) istnieje \(y\in G\) taki, że \(W\subset U_y\) i \(x\notin \overline {U_y}\). Niech
\[ U:=X\setminus \overline {V}. \]
Wtedy \(U\) i \(V\) są otwarte i rozłączne, \(x\in U\) i \(G\subset V\).
Etap 2. Dla dowodu normalności \(X\) zakładamy, że \(F\) i \(G\) są domknięte i rozłączne w \(X\). Z udowodnionej w Etapie 1 regularności \(X\) wynika, że dla \(x\in F\) istnieje otwarty \(V_x\) taki, że \(x\in V_x\) i
\[ \overline {V_x}\cap G =\emptyset . \]
Wtedy
\[ \mathcal V:=\{V_x\colon x\in F\}\cup \{X\setminus F\} \]
jest otwartym pokryciem \(X\) i wybieramy lokalnie skończone otwarte pokrycie \(\mathcal U\) wpisane w \(\mathcal V\). Definiujemy
\(\seteqnumber{0}{6.}{8}\)\begin{align*} \mathcal Z&:=\{Z\in \mathcal U\colon Z\not \subset X\setminus F\}, \\ U&:=\bigcup \mathcal Z. \end{align*} \(U\) jest otwarty, \(F\subset U\) i \(\overline {U}\cap G=\emptyset \), co można udowodnić korzystając z Lematu 6.2 analogicznie jak w Etapie 1. Definiując
\[ V:=X\setminus \overline {U} \]
uzyskujemy istnienie otwartych i rozłącznych zbiory \(U\) i \(V\) takich, że \(F\subset U\) i \(G\subset V\). □
Z Twierdzeń 6.17 i 6.20 oraz Wniosku 6.7 wynikają
Pokrycia postaci \(\{U_t\colon t\in T\}\) nazywamy pokryciami indeksowanymi. Pokrycie \(\{V_t\}\) nazywa się dokładnie wpisanym w \(\{U_t\}\) gdy
\[ \forall t\in T\colon V_t\subset U_t. \]
Równoważna definicja parazwartości jest zawarta w poniższym twierdzeniu:
Dowód. Wystarczy udowodnić implikację \((\Rightarrow )\). Niech \(\mathcal W\) będzie pokryciem otwartym lokalnie skończonym wpisanym w \(\{U_t\}\). Wybieramy dowolną funkcję \(\phi \colon \mathcal W\to T\) taką, że dla każdego \(W\in \mathcal W\),
\[ W\subset U_{\phi (W)}. \]
Dla \(t\in T\) definiujemy
\[ V_t:=\bigcup \{W\in \mathcal W\colon t=\phi (W)\} \]
Wtedy \(\{V_t\colon t\in T\}\) jest pokryciem otwartym \(X\). Jest pokryciem lokalnie skończonym, bo jeżeli \(x\in X\) i \(U\) jest otwartym otoczeniem \(X\) takim, że
\[ \{W\in \mathcal W\colon W\cap U\neq \emptyset \}=\{W_1,\ldots ,W_k\}. \]
to \(U\cap V_t=\emptyset \) dla każdego \(t\neq \phi (W_i)\), \(i=1,\ldots ,k\). □
Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną i niech \(\phi \colon X\to \mathbb R\) będzie funkcją ciągłą. Nośnikiem \(\phi \) nazywa się zbiór
\[ {\rm supp}\,\phi :=\overline {\{x\in X\colon \phi (x)\neq 0\}}. \]
Rodzina \(\Phi \) funkcji ciągłych \(X\to I\) nazywa się rozkładem jedności na X gdy
(a) \(\{{\rm supp}\,\phi \colon \phi \in \Phi \}\) jest lokalnie skończonym pokryciem \(X\),
(b) dla każdego \(x\in X\),
\[ \sum _{\phi \in \Phi } \phi (x)=1. \]
Niech \(\mathcal U\) będzie otwartym pokryciem \(X\). Poniżej zostaną wprowadzone dwie nierównoważne definicje wpisania rozkładu jedności w pokrycie \(\mathcal U\).
Rozkład jedności \(\Phi \) na \(X\) jest wpisany w \(\mathcal U\) gdy dla każdego \(\phi \in \Phi \) istnieje \(U\in \mathcal U\) taki, że
\[ \operatorname {supp} \phi \subset U. \]
Zakładamy teraz, że \(T\) jest zbiorem i \(\{U_t\colon t\in T\}\) jest indeksowanym pokryciem otwartym. Rozkład jedności \(\{\phi _t\colon t\in T\}\) jest dokładnie wpisany w \(\{U_t\}\) gdy
\[ \forall t\in T\colon {\rm supp}\,\phi _t\subset U_t. \]
Lemat 6.3. Niech \(X\) będzie przestrzenią parazwartą i niech \(\{U_t\colon t\in T\}\) będzie otwartym lokalnie skończonym pokryciem \(X\). Wtedy istnieje \(\{V_t\colon t\in T\}\), otwarte lokalnie skończone pokrycie \(X\) takie, że dla każdego \(t\in T\),
\(\seteqnumber{0}{6.}{8}\)\begin{equation} \label {eq:vtut} \overline {V_t}\subset U_t. \end{equation}
Dowód. Niech \(x\in X\) i niech \(t_x\in T\) będzie tak wybrany, by \(x\in U_{t_x}\). Z normalności \(X\) (Twierdzenie 6.20) wynika, że istnieje otwarty \(W_x\subset X\) taki, że
\[ x\in W_x\subset \overline {W_x}\subset U_{t_x}. \]
Niech \(\mathcal Z\) będzie lokalnie skończonym otwartym pokryciem wpisanym w otwarte pokrycie \(\{W_x\colon x\in X\}\). Dla \(t\in T\) definiujemy
\(\seteqnumber{0}{6.}{9}\)\begin{align*} \mathcal Z(t)&:=\{Z\in \mathcal Z\colon \overline {Z}\subset U_t\}, \\ V_t&:=\bigcup \mathcal {Z}(t). \end{align*} Wtedy \(V_t\) jest otwarty i spełnia (6.9), bo z Lematu 6.2 wynika, że
\[ \overline {V_t}= \overline {\bigcup _{Z\in \mathcal Z(t)}Z}=\bigcup _{Z\in \mathcal Z(t)} \overline {Z}\subset U_t. \]
Rodzina \(\{V_t\colon t\in T\}\) jest lokalnie skończona, bo \(V_t\subset U_t\) dla każdego \(t\), a \(\{U_t\colon t\in T\}\) jest lokalnie skończona z założenia, i jest pokryciem, bo jeżeli \(y\in X\) to istnieje \(Z\in \mathcal Z\) taki, że \(y\in Z\), więc istnieje \(x\in X\) taki, że \(Z\subset W_x\) i wtedy
\[ \overline {Z}\subset \overline {W_x}\subset U_{t_x}, \]
skąd wynika, że \(Z\in \mathcal Z(t_x)\), a więc \(y\in V_{t_x}\). □
Dowód Twierdzenia 6.22. Implikacja \((c) \Rightarrow (b)\) jest oczywista.
\((b) \Rightarrow (a)\). Jeżeli \(\Phi \) jest rozkładem jedności wpisanym w pokrycie otwarte \(\mathcal U\), to
\[ \{\phi ^{-1}((0,1])\colon \phi \in \Phi \} \]
jest pokryciem otwartym wpisanym w \(\mathcal U\).
\((a) \Rightarrow (c)\). Z Twierdzenia 6.21 wynika, że dla otwartego pokrycia \(\mathcal U=\{U_t\colon t\in T\}\) istnieje lokalnie skończone otwarte pokrycie \(\{Y_t\colon t\in T\}\) takie, że \(Y_t\subset U_t\). Z Lematu 6.3 wynika istnienie otwartych lokalnie skończonych pokryć \(\{V_t\colon t\in T\}\) i \(\{W_t\colon t\in T\}\) takich, że
\[ \overline {V_t}\subset W_t \subset \overline {W_t}\subset Y_t \]
dla każdego \(t\in T\). Ponieważ \(X\) jest normalna (Twierdzenie 6.20), z Lematu Urysohna (Twierdzenie 5.9) wynika, że dla \(t\in T\) istnieje ciągła funkcja
\[ \psi _t\colon X\to I, \]
taka, że jeżeli \(V_t\neq \emptyset \) to
\(\seteqnumber{0}{6.}{9}\)\begin{align*} \psi _t(x)=1,&\quad \text {gdy $x\in \overline {V_t}$}, \\ \psi _t(x)=0,&\quad \text {gdy $x\in X\setminus W_t$}. \end{align*} i \(\psi _t=0\) w przypadku pustego \(V_t\). Definiujemy
\[ \psi :=\sum _{t\in T} \psi _t\colon X\to \mathbb R. \]
\(\psi \) jest ciągła, bo dla każdego \(x\) ciągłe jest zawężenie \(\psi |_{Z_x}\), gdzie \(Z_x\) jest otwartym otoczeniem \(x\) takim, że
\[ \#\{t\in T\colon Y_t\cap Z_x\neq \emptyset \}<\infty . \]
Ponadto \(\psi (x)>0\) dla każdego \(x\in X\), bo \(\{V_t\}\) jest pokryciem. Dla \(t\in T\) definiujemy
\[ \phi _t:=\frac {\psi _t}{\psi } \]
Wtedy \(\phi _t\) jest ciągła i
\(\seteqnumber{0}{6.}{9}\)\begin{align*} \forall x\in X&\colon \sum _{t\in T} \phi _t(x)=1, \\ \forall t\in T&\colon V_t\subset {\rm supp}\, \phi _t\subset \overline {W_t}\subset U_t, \end{align*} więc \(\{{\rm supp}\,\phi _t\colon t\in T\}\) jest lokalnie skończonym pokryciem dokładnie wpisanym w \(\mathcal U\). □
Poniższy dowód pochodzi z pracy [R] Mary E. Rudin.
Dowód. Niech \(\mathcal U:=\{U_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}\) będzie otwartym pokryciem przestrzeni \(X\) z metryką \(\rho \) i niech \(U(x,r)\) oznacza kulę otwartą o środku \(x\in X\) i promieniu \(r\) w tej metryce. Na podstawie Twierdzenia Zermelo można założyć, że zbiór \(\Lambda \) jest dobrze uporządkowany. Dla \(x\in X\) niech \(\lambda (x)\) oznacza najmniejszy element \(\lambda \in \Lambda \) taki, że \(x\in U_\lambda \).
Dla \(\lambda \in \Lambda \) oraz liczb naturalnych \(n=1,2,\ldots \) rekurencyjnie ze względu na \(n\) definiujemy zbiory \(V_{\lambda ,n}\). Niech
\[ V_{\lambda ,1}:=\bigcup \{U(z,\tfrac {1}{2})\colon z\in X,\‚\lambda =\lambda (z),\ U(z,\tfrac {3}{2})\subset U_\lambda \}. \]
Zakładamy, że \(V_{\lambda ,j}\) są zdefiniowane dla wszystkich \(j<n\). Definiujemy
\[ V_{\lambda ,n}:=\bigcup \{U(z,\tfrac {1}{2^n})\colon z\in X,\‚\lambda =\lambda (z),\ U(z,\tfrac {3}{2^n})\subset U_\lambda ,\‚z\notin V_{\mu ,j}\ \forall \mu \in \Lambda ,j<n\}. \]
Bezpośrednio z definicji wynika, że \(\mathcal V:=\{V_{\lambda ,n}\}\) jest rodziną zbiorów otwartych wpisaną w \(\mathcal U\). \(\mathcal V\) jest pokryciem \(X\), bo dla \(x\in X\) istnieje \(n\) takie, że \(U(x,\tfrac {3}{2^n})\subset U_{\lambda (x)}\) i wtedy albo \(x\in V_{\lambda (x),n}\) albo \(x\in V_{\mu ,j}\) dla pewnych \(\mu \in \Lambda \) i \(j<n\). Dla dowodu lokalnej skończoności \(\mathcal V\) w otoczeniu \(x\in X\) wybieramy liczby naturalne \(j,n\geq 1\) oraz \(\lambda _\ast \in \Lambda \) dla których \(U(x,\tfrac {1}{2^j})\subset V_{\lambda _\ast ,n}\). Wystarczy udowodnić, że
(a) jeżeli \(i\geq n+j\) to \(U(x,\tfrac {1}{2^{n+j}})\cap V_{\lambda ,i}=\emptyset \) dla wszystkich \(\lambda \in \Lambda \),
(b) jeżeli \(i<n+j\) to \(U(x,\tfrac {1}{2^{n+j}})\cap V_{\lambda ,i}\neq \emptyset \) dla co najwyżej jednego \(\lambda \).
Ad (a). Niech \(\lambda \in \Lambda \) i \(y\in V_{\lambda ,i}\). Ponieważ \(i>n\), z definicji zbioru \(V_{\lambda ,i}\) wynika, że \(y\in U(z,\tfrac {1}{2^i})\) dla pewnego \(z\notin V_{\lambda _\ast ,n}\). Z wyboru \(j\) wynika więc, że \(\rho (x,z)\geq \tfrac {1}{2^j}\). Ponieważ \(i\geq j+1\) i \(n+j\geq j+1\),
\[ \rho (x,y)\geq \rho (x,z)-\rho (y,z)>\tfrac {1}{2^j}- \tfrac {1}{2^i} \geq \tfrac {1}{2^j}-\tfrac {1}{2^{j+1}} \geq \tfrac {1}{2^{n+j}}, \]
a to oznacza, że \(y\notin U(x,\tfrac {1}{2^{n+j}})\).
Ad (b). Niech \(u\in V_{\lambda ,i}\), \(v\in V_{\mu ,i}\) i \(\lambda <\mu \). Istnieją więc punkty \(y\) i \(z\) takie, że
\(\seteqnumber{0}{6.}{9}\)\begin{align*} &u\in U(y,\tfrac {1}{2^i})\subset V_{\lambda ,i},\quad U(y,\tfrac {3}{2^i})\subset U_\lambda , \\ &v\in U(z,\tfrac {1}{2^i})\subset V_{\mu ,i},\quad \mu =\lambda (z), \end{align*} a więc, w szczególności, \(z\notin U_\lambda \). Stąd \(\rho (y,z)\geq \tfrac {3}{2^i}\) i
\[ \rho (u,v)\geq \rho (y,z)-\rho (u,y)-\rho (v,z)> \tfrac {1}{2^i}\geq 2\tfrac {1}{2^{n+j}}, \]
a to oznacza, że tylko jeden z punktów \(u\) i \(v\) może należeć do \(U(x,\tfrac {1}{2^{n+j}})\). □
