Niech \(\mathcal C\) oznacza dowolną klasę przestrzeni topologicznych.
Przestrzeń topologiczna \(X\) nazywa się absolutnym ekstensorem dla \(\mathcal C\) (w skrócie: \(X\) jest AE(\(\mathcal C\)), co zapisujemy \(X\in {\rm AE}(\mathcal C)\)) gdy dla każdej przestrzeni \(Z\in \mathcal C\), dla każdego domkniętego \(F\subset Z\) i dla każdej funkcji ciągłej \(F\to X\) istnieje jej ciągłe rozszerzenie \(Z\to X\).
Dowód. Jeżeli \(f\colon F\to \prod _{t\in t}X_t\) jest ciągła i \(F\) jest domknięty w \(Z\) to istnieją \(\overline {f}_t\colon Z\to X_t\) ciągłe rozszerzenia \(\pi _t\circ f\). Wtedy zestawienie \(\{\overline {f}_t\}_t\) jest rozszerzeniem \(f\). □
Niech \(\mathcal N\) oznacza klasę wszystkich przestrzeni normalnych. Istotna implikacja w Twierdzeniu Tietzego (Twierdzenie 5.10) ma następującą interpretację:
Klasę \(\mathcal C\) przestrzeni topologicznych będziemy nazywać dopuszczalną, gdy każda \(X\in \mathcal C\) jest przestrzenią Hausdorffa i każda przestrzeń homeomorficzna z \(X\) oraz każdy domknięty podzbiór \(X\) także należy do \(\mathcal C\). Z Uwagi 5.5 wynika, że klasa \(\mathcal N\) jest dopuszczalna.
Niech \(\mathcal C\) będzie klasą dopuszczalną i niech \(X\) należy do \(\mathcal C\). \(X\) nazywa się absolutnym retraktem dla \(\mathcal C\) (inaczej: \(X\) jest AR(\(\mathcal C\)), \(X\in {\rm AR}(\mathcal C)\)), gdy dla każdej przestrzeni \(Y\in \mathcal C\) i każdego \(h\colon X\to Y\), które jest homeomorfizmem na obraz domknięty, \(h(X)\) jest retraktem \(Y\).
Oczywiście przestrzeń homeomorficzna z AR(\(\mathcal C\)) jest także AR(\(\mathcal C\)). Z Wniosku 5.2 wynika
Dowód. Niech \(X\in {\rm AE}(\mathcal C)\cap \mathcal C\), \(Y\in \mathcal C\) i niech \(h\colon X\to Y\) będzie homeomorfizmem na domknięty obraz \(h(X)\). Wtedy \(h^{-1}\colon h(X)\to X\) rozszerza się do \(g\colon Y\to X\) i \(h\circ g\) jest retrakcją \(Y\) na \(h(X)\). □
Dowód. Na podstawie Twierdzenia 11.2 wystarczy udowodnić inkluzję \(\supset \). Niech \(Y\in {\rm AR}(\mathcal C)\); wtedy \(Y\in \mathcal C\) z definicji. Niech \(X\in \mathcal C\), \(A\) będzie domkniętym podzbiorem \(X\) i \(f\colon A\to Y\) będzie funkcją ciągłą. Z Twierdzenia 3.9 wynika, że \(Y_f\) jest homeomorficzny z \(Y\) i jest domkniętym podzbiorem \(X\cup _fY\). Z przyjętych założeń wynika więc, że \(Y_f\) jest retraktem \(X\cup _fY\). Teza jest konsekwencją Twierdzenia 3.10. □
Niech \(\mathcal K\) oznacza klasę wszystkich przestrzeni zwartych; jest to klasa dopuszczalna. Z Twierdzeń 6.6 i 11.3 wynika
Twierdzenie 11.5 (Tietze–Dugundji’ego). Niech \(E\) będzie lokalnie wypukłą przestrzenią liniową topologiczną. Jeżeli \(A\) jest domkniętym podzbiorem metryzowalnej przestrzeni \(X\) i \(f\colon A\to E\) jest funkcją ciągłą to istnieje jej ciągłe rozszerzenie \(\overline {f}\colon X\to E\) takie, że
\[ \overline {f}(X)\subset {\rm conv}\,f(A). \]
Dowód. Niech \(\rho \) będzie metryką zgodną z topologią \(X\). Rodzina kul
\[ \mathcal U:= \{U(x,\tfrac {1}{2}\rho (x,A))\colon x\in X\setminus A\} \]
jest otwartym pokryciem \(X\setminus A\), więc z Twierdzeń 6.22 i 6.23 wynika, że istnieje rozkład jedności \(\{\phi _\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}\) na \(X\setminus A\) wpisany w \(\mathcal U\). Oznaczamy
\[ S_\lambda :={\rm supp}\,\phi _\lambda . \]
Dla każdego \(\lambda \in \Lambda \) istnieje więc \(v_\lambda \in X\setminus A\) taki, że
\[ S_\lambda \subset U(v_\lambda ,\tfrac {1}{2}\rho (v_\lambda ,A)). \]
Wtedy
\(\seteqnumber{0}{11.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:vv} \forall v\in S_\lambda \colon \rho (v_\lambda ,A)\leq 2\rho (v,A), \end{equation}
bo \(\rho (v_\lambda ,A)\leq \rho (v_\lambda ,v)+\rho (v,A)\leq \tfrac {1}{2}\rho (v_\lambda ,A) + \rho (v,A)\). Wybieramy \(a_\lambda \in X\) tak, aby
\[ \rho (a_\lambda ,v_\lambda )\leq 2\rho (v_\lambda ,A). \]
Stąd
\(\seteqnumber{0}{11.}{1}\)\begin{equation} \label {eq:av} \forall a\in A,\ v\in S_\lambda \colon \rho (a,a_\lambda )\leq 6\rho (a,v), \end{equation}
ponieważ z (11.1) wynika, że
\(\seteqnumber{0}{11.}{2}\)\begin{equation*} \rho (a,a_\lambda )\leq \rho (a,v) +\rho (v,v_\lambda ) +\rho (v_\lambda ,a_\lambda ) \leq \rho (a,v) + \tfrac {1}{2}\rho (v_\lambda ,A)+ 2\rho (v_\lambda ,A)\leq \rho (a,v)+\rho (v,A) +4\rho (v,A). \end{equation*}
Dla \(x\in X\) definiujemy
\[ \overline {f}(x):= \begin {cases} f(x),&\text {gdy $x\in A$}, \\ \sum _{\lambda \in \Lambda } \phi _\lambda (x) f(a_\lambda ),&\text {gdy $x\in X\setminus A$}. \end {cases} \]
Funkcja \(\overline {f}\) jest ciągła w każdym punkcie otwartego zbioru \(X\setminus A\), wystarczy więc udowodnić, że jest ciągła w punktach zbioru \(A\). Niech \(a\in A\) i niech \(W\) będzie otwartym otoczeniem \(f(a)\) w \(E\). Dzięki lokalnej wypukłości \(E\) można założyć, że \(W\) jest zbiorem wypukłym. Istnieje \(\delta >0\) takie, że
\[ f(A\cap U(a,\delta ))\subset W. \]
Do zakończenia dowodu ciągłości \(\overline {f}\) wystarczy wykazać, że
\(\seteqnumber{0}{11.}{2}\)\begin{equation} \label {eq:a6} \overline {f}(U(a,\tfrac {1}{6}\delta ))\subset W. \end{equation}
Niech \(x\in U(a,\tfrac {1}{6}\delta )\setminus A\). Niech \(\lambda _1,\ldots ,\lambda _n\) będą takimi elementami \(\Lambda \), że
\[ \{\lambda \in \Lambda \colon x\in S_\lambda \}=\{\lambda _1,\ldots ,\lambda _n\}. \]
Z (11.2) wynika, że dla każdego \(i=1,\ldots ,n\),
\[ \rho (a,a_{\lambda _i})<\delta , \]
a więc \(a_{\lambda _i} \in A\cap U(a,\delta )\) i w konsekwencji
\[ f(a_{\lambda _i})\in W. \]
Wynika stąd, że \(\overline {f}(x)\in W\), bo \(W\) jest wypukły, a to kończy dowód (11.3). Z określenia \(\overline {f}(x)\) wynika również, że \(\overline {f}(x)\in {\rm conv}\,f(A)\). □
Niech \(\mathcal M\) oznacza klasę przestrzeni metryzowalnych. Twierdzenie 11.5 można więc przeformułować jako
Zgodnie z terminologią Podrozdziału 11.2, \(\mathcal M\) jest klasą dopuszczalną, a więc klasa przestrzeni \({\rm AR}(\mathcal M)\) jest zdefiniowana.
Dowód.
(a) \(\Rightarrow \) (b) wynika z Twierdzenia 11.2.
(b) \(\Rightarrow \) (c). Na podstawie Twierdzenia 10.4 \(X\) jest homeomorficzna z domkniętym podzbiorem \(Y\) zbioru wypukłego \(C\) przestrzeni unormowanej. Z definicji absolutnego retraktu wynika, że \(Y\) jest retraktem \(C\).
(c) \(\Rightarrow \) (a). \(X\) jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni unormowanej, więc jest metryzowalna. Z Uwagi 10.1 i Twierdzenia 11.6 wynika, że \(X\) jest homeomorficzna z retraktem absolutnego ekstensora. Teza jest więc konsekwencją Uwag 11.1 i 11.2. □
Równoważność warunków (a) i (b) w Twierdzeniu 11.7 oznacza, że
\[ {\rm AE}(\mathcal M)\cap \mathcal M={\rm AR}(\mathcal M). \]
Na podstawie Twierdzenia 11.6 podzbiór wypukły przestrzeni lokalnie wypukłej jest \(\infty \)-spójny i lokalnie \(\infty \)-spójny. Stąd, z Twierdzenia 11.7 i z Uwagi 4.7 wynika