Niech \(X\) będzie niepustym zbiorem i niech \(\mathcal A\subset 2^X\). \(\mathcal A\) nazywa się bazą na \(X\) gdy to baza \(\mathcal A\) nazywa się filtrem. W szczególności, baza otoczeń punktu przestrzeni topologicznej jest bazą, a filtr otoczeń jest filtrem.
Jeżeli \(\mathcal A\) jest bazą to
\[ \mathcal F(\mathcal A):=\{B\subset X\colon \exists A\in \mathcal A\colon A\subset B\} \]
jest filtrem.
Uwaga 2.1 (Własności baz i filtrów). Niech \(\mathcal A\) będzie bazą na \(X\). Wtedy
(a) jeżeli \(\mathcal F\) jest filtrem na \(X\) to
\[ \mathcal F\succ A\Longleftrightarrow \mathcal F\supset A, \]
(b) jeżeli \(f\colon X\to Y\) to
\[ f(\mathcal A):=\{f(A)\colon A\in \mathcal A\} \]
jest bazą na \(Y\),
(c) jeżeli \(\mathcal B\) jest bazą na \(Y\) to \(\{A\times B\colon A\in \mathcal A,\ B\in \mathcal B\} \) jest bazą na \(X\times Y\).
Niech \(\mathcal A\) i \(\mathcal B\) będą bazami na \(X\). Wtedy
(d) \(\mathcal A\succ \mathcal B\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\mathcal F(\mathcal A) \supset \mathcal F(\mathcal B)\),
(e) jeżeli \(\mathcal A\succ \mathcal B\) to \(f(\mathcal A)\succ f(\mathcal B)\),
(f ) jeżeli \(\mathcal C\) jest bazą na \(X\) to
\[ \mathcal A\succ \mathcal B,\ \mathcal B\succ \mathcal C \Rightarrow \mathcal A\succ \mathcal C, \]
(g) \(\{A\cup B\colon A\in \mathcal A,\ B\in \mathcal B\} \) jest bazą na \(X\),
(h) \(\mathcal A\vee \mathcal B:=\{A\cap B\colon A\in \mathcal A,\ B\in \mathcal B\} \) jest bazą na \(X\) wtedy i tylko wtedy gdy
\[ \forall A\in \mathcal A, B\in \mathcal B\colon A\cap B\neq \emptyset . \pushQED {\qed } \qedhere \popQED \]
Niech \(x\in X\) i \(A\subset X\). Przeformułowaniem Uwagi 1.8 jest następujący
Niech \(\mathcal M\) będzie filtrem na \(X\). \(\mathcal M\) nazywa się ultrafiltrem gdy jest maksymalnym filtrem, a więc jeżeli \(\mathcal F\) jest filtrem i \(\mathcal F\supset \mathcal M\) to \(\mathcal F=\mathcal M\).
Dowód. Wystarczy udowodnić, że \(\{B\subset X\colon \exists M\in \mathcal M\colon B\supset A\cap M\} \) jest filtrem. □
Dowód. Rodzina
\[ \Phi :=\{\mathcal F\ \text {filtr na $X$}\colon \mathcal F\supset \mathcal A\} \]
jest częściowo uporządkowana przez inkluzję i jest niepusta, bo \(\mathcal F(\mathcal A) \in \Phi \). Jeżeli \(\Psi \) jest łańcuchem w \(\Phi \) to \(\bigcup \Psi \) jest filtrem. Z Lematu Kuratowskiego–Zorna wynika, że \(\Phi \) ma element maksymalny. □
Niech \(\leq \) będzie relacją na niepustym zbiorze \(\Sigma \). \(\Sigma \) (lub, dokładniej, para \((\Sigma ,\leq )\)) nazywa się zbiorem skierowanym gdy \(\leq \) spełnia następujące warunki:
\(\seteqnumber{0}{2.}{0}\)\begin{gather*} \forall \sigma \in \Sigma \colon \sigma \leq \sigma , \\ \sigma _1,\sigma _2,\sigma _3\in \Sigma ,\ \sigma _1\leq \sigma _2,\ \sigma _2\leq \sigma _3\implies \sigma _1\leq \sigma _3, \\ \forall \sigma _1,\sigma _2\in \Sigma \ \exists \tau \in \Sigma \colon \tau \geq \sigma _1, \tau \geq \sigma _2. \end{gather*} W szczególności \(\mathbb N\) (z naturalnym porządkiem) oraz \((\mathcal A,\subset )\), gdzie \(\mathcal A\) jest bazą, są zbiorami skierowanymi. Dla zbioru skierowanego \((\sigma ,\leq )\)
\[ \Phi (\Sigma ):= \{\{\tau \geq \sigma \}\subset \Sigma \colon \sigma \in \Sigma \} \]
jest bazą na \(\Sigma \) i nazywa się bazą fundamentalną.
Niech \(X\) będzie zbiorem. Dowolną funkcję \(\phi \colon \Sigma \to X\) nazywa się ciągiem uogólnionym (lub ciągiem Moore’a–Smitha); często zapisuje się ją jako \(\{x_\sigma \}_{\sigma \in \Sigma }\), gdzie \(x_\sigma :=\phi (\sigma )\).
Niech \((X,\mathcal T)\) będzie przestrzenią topologiczną, \(x\in X\) i niech \(\mathcal A\) będzie bazą na \(X\). \(\mathcal A\) zmierza do \(x\) (inaczej: \(x\) jest granicą \(\mathcal A\); \(\mathcal A\) jest zbieżna do \(x\)), co zapisuje się jako \(\mathcal A\to x\), gdy \(\mathcal A\succ \mathcal T(x)\), to znaczy
\[ \forall U,\ \text {otoczenia}\ x\ \exists A\in \mathcal A\colon A\subset U. \]
Niech \(\phi :=\{x_\sigma \}_{\sigma \in \Sigma }\) będzie ciągiem uogólnionym na \(X\). \(\phi \) zmierza do \(x\) (inaczej: \(x\) jest granicą \(\phi \); \(\phi \) jest zbieżny do \(x\)), co zapisuje się jako
\[ \phi \to x\ \text {lub}\ x_\sigma \to x, \]
gdy \(\phi (\Phi (\Sigma ))\to x\), to znaczy
\[ \forall U,\ \text {otoczenia}\ x\ \exists \sigma \in \Sigma \ \forall \tau \geq \sigma \colon x_\tau \in U. \]
Należy zaznaczyć, że bez dodatkowych warunków nałożonych na przestrzeń \(X\) (o których będzie mowa w dalszej części wykładu) granice baz i ciągów uogólnionych zwykle nie są jednoznacznie określone. Zbiór wszystkich granic bazy \(\mathcal A\) oznacza się jako \(\lim \mathcal A\); \(\mathcal A\to x\) można więc zapisać jako \(x\in \lim \mathcal A\). Analogicznie zapis \(x\in \lim x_\sigma \) dotyczy granicy ciągu uogólnionego \(x_\sigma \). Często używane oznaczenia \(x=\lim \mathcal A\) i \(x=\lim x_\sigma \) są poprawne tylko w przypadku jedyności granicy.
\(x\) nazywa się punktem skupienia bazy \(\mathcal A\) (lub punktem granicznym \(\mathcal A\)) gdy
\[ \exists \mathcal B,\ \text {baza na $X$},\ \mathcal B\succ \mathcal A\colon \mathcal B\to x. \]
Dowód. Niech \(U\in \mathcal T(x)\) i niech \(A\in \mathcal A\). Jeżeli \(\mathcal B\succ \mathcal A\) i \(\mathcal B\to x\) to istnieją \(B_1,B_2\in \mathcal B\) takie, że
\[ B_1\subset A,\quad B_2\subset U. \]
Wtedy istnieje \(B\in \mathcal B\) taki, że
\[ \emptyset \neq B\subset B_1\cap B_2\subset A\cap U. \]
Na odwrót, \(\mathcal B:=\mathcal A\vee \mathcal T(x)\) jest bazą na podstawie Uwagi 2.1(h), \(\mathcal B\succ \mathcal A\) i \(\mathcal B \to x\). □
\(x\) nazywa się punktem skupienia \(\phi \) (lub punktem granicznym \(\phi \)) gdy \(x\) jest punktem skupienia bazy \(\phi (\Phi (\Sigma ))\), co, na podstawie Uwagi 2.4, jest równoważne warunkowi
\[ \forall U,\ \text {otoczenia}\ x\ \forall \sigma \in \Sigma \ \exists \tau \geq \sigma \colon x_\tau \in U. \]
Dla bazy \(\mathcal A\) definiujemy zbiór skierowany
\[ \Sigma (\mathcal A):=\{(A,a)\colon A\in \mathcal A,\ a\in A\} \]
z relacją \((A,a)\leq (B,b)\) gdy \(A\supset B\). Na \(\Sigma (\mathcal A)\) jest określony ciąg uogólniony
\[ \phi _{\mathcal A}\colon \Sigma (\mathcal A)\ni (A,a)\to a\in X. \]
\(\Phi (\Sigma (\mathcal A))\) jest bazą na \(\Sigma (\mathcal A)\), ponadto
\(\seteqnumber{0}{2.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:aphi} \phi _{\mathcal A}(\Phi (\Sigma (\mathcal A)))= \mathcal A, \end{equation}
bo
\[ \phi _{\mathcal A}(\Phi (\Sigma (\mathcal A)))=\{\{\phi _{\mathcal A}(B,b)\colon b\in B\subset A\}\colon (A,a)\in \Sigma (\mathcal A)\}= \mathcal A. \]
Z (2.1) wynika
Niech \(A\subset X\).
Dowód. Równoważność (b) i (c) wynika z Uwagi 2.6.
(a) \(\Rightarrow \) (b). Niech \(x\in \overline {A}\). Z Wniosku 2.1 wynika, że
\[ \mathcal B:= \mathcal T(x)\vee A= \{U\cap A\colon U\ \text {otoczenie}\ x\} \]
jest bazą na \(A\) i \(\mathcal B\to x\), więc (b).
(b) \(\Rightarrow \) (a). Niech \(\mathcal B\) będzie bazą na \(A\) i \(\mathcal B\to x\). Wtedy dla każdego otoczenia \(U\) punktu \(x\) istnieje \(B\in \mathcal B\) taki, że \(B\subset U\). Ponieważ \(B\subset A\), więc \(U\cap A\neq \emptyset \) i z Uwagi 1.8 wynika, że \(x\in \overline {A}\), co kończy dowód. □
Niech \(X\) spełnia I aksjomat przeliczalności i \(x\in X\).
Dowód.
(\(\Leftarrow \)). Jest to konsekwencja Uwagi 2.5.
(\(\Rightarrow \)). Zakładamy, że \(x\) jest punktem skupienia \(\{x_n\}\). Niech \(\{U_m\colon m\in \mathbb N\}\) będzie zstępującą bazą otoczeń \(x\). Rekurencyjnie konstruujemy ciąg liczb \(\{n_m\}_{m\in \mathbb N}\) tak, by \(x_{n_m}\in U_m\) i \(n_{m+1}>n_m\) dla \(m\in \mathbb N\). Wtedy \(\{x_{n_m}\}\) jest szukanym podciągiem. □
Niech \(A\subset X\).
Dowód. Jeżeli istnieje ciąg w \(A\) zbieżny do \(x\) to \(x\in \overline {A}\) na podstawie Twierdzenia 2.2. Niech teraz \(x\in \overline {A}\) i niech \(\{U_n\colon n\in \mathbb N\}\) będzie zstępującą bazą otoczeń \(x\). Z Uwagi 1.8 wynika, że \(U_n\cap A\neq \emptyset \) dla każdego \(n\). Wybierając \(x_n\in U_n\cap A\) otrzymuje się ciąg \(x_n\to x\). □
Zakładamy, że \(X\) i \(Y\) są przestrzeniami topologicznymi i topologią na \(X\) jest \(\mathcal T\). Niech \(\mathcal A\) będzie bazą na \(X\), \(b\in Y\) i \(f\colon X \to Y\). Punkt \(b\) nazywa się granicą \(f\) w bazie \(\mathcal A\), co zapisuje się
\[ b=\lim _{\mathcal A}f, \]
gdy \(f(\mathcal A)\to b\), to znaczy
\[ \forall U,\ \text {otoczenia}\ b\ \exists A\in \mathcal A\colon f(A)\subset U. \]
Niech \(A\subset X\) i \(a\in \overline {A}\). Z Wniosku 2.1 wynika, że \(\mathcal T(a)\vee A\) jest bazą na \(A\). Zakładamy teraz, że \(f\colon A\to Y\). Punkt \(b\) nazywa się granicą \(f\) gdy \(x\to a\) i \(x\in A\), co zapisuje się
\[ b=\lim _{x\to a,\, x\in A}f(x), \]
gdy \(f(\mathcal T(a)\vee A)\to b\). W szczególności, dla \(A=X\setminus \{a\}\) (to znaczy \(a\in X'\)), tę granicę zapisuje się jako
\[ b=\lim _{x\to a,\,x\neq a}f(x), \]
a jeżeli \(A=X\) to zapisuje się jako
\[ b=\lim _{x\to a}f(x). \]
Jak już było wskazane w Podrozdziale 2.4, granice na ogół nie są wyznaczone jednoznacznie i stąd powyżej wprowadzone (i powszechnie przyjęte) oznaczenia \(b=\lim \ldots \) mogą błędnie sugerować jedyność \(b\) jako granicy \(f\) przy odpowiedniej bazie.
Twierdzenie 2.4. Następujące warunki są równoważne:
(a) \(b=\lim _{x\to a, x\in A}f(x)\),
(b) dla każdej bazy \(\mathcal A\) na \(A\),
\[ \mathcal A\to a\Rightarrow f(\mathcal A)\to b, \]
(c) dla każdego ciągu uogólnionego \(\phi \colon \Sigma \to A\),
\[ \phi \to a \Rightarrow f\circ \phi \to b. \]
(Ponieważ zakładamy, że \(a\in \overline {A}\), istnieje co najmniej jedna baza na \(A\) zbieżna do \(a\); wynika to z Twierdzenia 2.2. Tak więc poprzednik implikacji w warunku (b) nie jest pusto spełniony. Analogicznie dla (c) na podstawie Uwagi 2.6(a).)
Dowód.
(b) \(\Rightarrow \) (c). Jeżeli \(\phi \to a\) to, z definicji zbieżności ciągu uogólnionego, \(\phi (\Phi (\Sigma ))\to a\), więc \(f\circ \phi (\Phi (\Sigma ))\to b\), więc \(f\circ \phi \to b\).
(c) \(\Rightarrow \) (b). Niech \(\mathcal A\to a\). Wtedy \(\phi _{\mathcal A}\to a\) na podstawie Uwagi 2.6(a). Stąd \(f\circ \phi _{\mathcal A}\to b\), co z definicji oznacza, że
\[ f\circ \phi _{\mathcal A}(\Phi (\Sigma (\mathcal A)))\to b. \]
Z (2.1) wynika, że
\[ f\circ \phi _{\mathcal A}(\Phi (\Sigma (\mathcal A))) = f(\mathcal A), \]
więc \(f(\mathcal A)\to b\).
(a) \(\Rightarrow \) (b). Niech \(\mathcal A\) będzie bazą na \(A\) i niech \(\mathcal A\to a\). Wtedy \(\mathcal A\succ \mathcal T(a)\), więc także \(\mathcal A\succ \mathcal T(a)\vee A\), co implikuje
\[ f(\mathcal A)\succ f(\mathcal T(a)\vee A)\to b. \]
(b) \(\Rightarrow \) (a). Ponieważ \(\mathcal T(a)\vee A\to a\),
\[ f(\mathcal T(a)\vee A)\to b, \]
a to z definicji oznacza (a). □
Dowód.
(\(\Rightarrow \)). Jest to konsekwencja Twierdzenia 2.4.
(\(\Leftarrow \)). Niech \(\{U_n\colon n\in \mathbb N\}\) będzie zstępującą bazą otoczeń \(a\). Zakładamy niewprost, że istnieje \(V\), otoczenie \(b\) takie, że dla każdego \(n\in \mathbb N\),
\[ f(U_n\cap A)\not \subset V. \]
Dla \(n\in \mathbb N\) niech \(x_n\in U_n\cap A\) będzie takim punktem, że \(f(x_n)\notin V\). Wtedy \(x_n\in A\), \(x_n\to a\), ale \(f(x_n)\) nie jest zbieżny do \(b\), co jest sprzeczne z założeniem. □