Wykłady z topologii

Dowód. Dla \(\epsilon >0\) rekurencyjnie definiujemy zbiory kostek \(Q^k(\epsilon )\) w \(\mathbb R^k\):

\begin{align*} \mathcal Q^1(\epsilon )&:=\{[(i-1)\epsilon ,i\epsilon ]\colon i\in \mathbb Z\}, \\ \mathcal Q^{k+1}(\epsilon )&:= \big \{ Q\times \left [ \frac {(j-1)\epsilon }{2^k}, \frac {j\epsilon }{2^{k}} \right ] \colon Q\in \mathcal Q^{k}(\epsilon ),\ j \text { nieparzyste} \big \} \\ &\quad \cup \big \{\left (Q+\left (\frac {\epsilon }{2^{k}},\ldots ,\frac {\epsilon }{2^{k}}\right )\right ) \times \left [\frac {(j-1)\epsilon }{2^{k}},\frac {j\epsilon }{2^{k}}\right ]\colon Q\in \mathcal Q^{k}(\epsilon ),\ j \text { parzyste}\big \}. \end{align*} Wtedy

\[ \mathcal V(\epsilon ):=\left \{U\left (Q,\frac {\epsilon }{2^{n+1}}\right )\colon Q\in \mathcal Q^n\left (\frac {\epsilon }{2}\right )\right \} \]

jest pokryciem otwartym \(\mathbb R^n\) rzędu \(n\) którego zbiory mają średnice mniejsze niż \(\epsilon \). Jeżeli \(\mathcal U\) jest pokryciem otwartym \(K\) i \(\epsilon \) jest jego liczbą Lebesgue’a to

\[ \{V\cap K\colon V\in \mathcal V(\epsilon )\} \]

jest pokryciem otwartym rzędu \(n\) wpisanym w \(\mathcal U\).  □

Dowód. Jedynie implikacja \((\Rightarrow )\) wymaga uzasadnienia. Niech \(\mathcal V\) będzie pokryciem otwartym rzędu \(n\) wpisanym w \(\{U_\lambda \}\). Wtedy

\[ V_\lambda :=\bigcup \{V\in \mathcal V\colon V\subset U_\lambda \} \]

jest pokryciem otwartym takim, że \(V_\lambda \subset U_\lambda \).  □

Dowód. Wystarczy założyć, że \(\dim X=n<\infty \). Niech \(\mathcal U\) będzie pokryciem otwartym \(A\). Wtedy \(\{U\cup (X\setminus A)\colon U\in \mathcal U\}\) jest otwartym pokryciem \(X\), więc posiada wpisane pokrycie otwarte \(\mathcal V\) rzędu \(n\). \(\{V\cap A\colon V\in \mathcal V\} \) jest pokryciem otwartym \(A\) rzędu \(n\) wpisanym w \(\mathcal U\).  □

Dowód. Niech \(\{U_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda }\) będzie pokryciem otwartym. Z Uwagi 14.3 istnieje \(\{V_\lambda \}\), pokrycie otwarte \(A\) rzędu \(n\) wpisane w \(\{U_\lambda \cap A\}\). Pokrycie otwarte

\[ \{V_\lambda \cup (U_\lambda \setminus A)\}_{\lambda \in \Lambda } \]

spełnia tezę.  □

Dowód. Definiujemy \(F_0=F_{-1}:=\emptyset \). Niech \(\mathcal U\) będzie pokryciem otwartym \(X\).

Etap 1. Udowodnimy, że istnieje pokrycie otwarte \(\mathcal V_0\) wpisane w \(\mathcal U\) takie, że jeżeli \(V\in \mathcal V_0\) i \(V\cap F_i\neq \emptyset \) to \(V\subset F_{i+1}\).

Dla \(j=0,1,2,\ldots \) niech \(G_j:=\operatorname {int} F_{j+1}\setminus F_{j-1}\). Wtedy \(\{G_j\}\) jest pokryciem otwartym \(X\). Definiujemy

\[ \mathcal V_0:=\mathcal U\vee \{G_j\}:=\{U\cap G_j\colon U\in \mathcal U,\ j\in \mathbb N\}. \]

\(\mathcal V_0\) jest pokryciem otwartym wpisanym w \(\mathcal U\) i jeżeli \(x\in (U\cap G_j)\cap F_i\) to \(i\geq j\), bo

\[ G_j\cap F_{j-1}=G_j\cap F_{j-2}=\ldots =\emptyset , \]

a więc \(x\in G_j\subset F_{j+1}\subset F_{i+1}\).

Etap 2. Udowodnimy, że dla \(m\geq 1\) istnieje pokrycie otwarte \(\mathcal V_m\) rzędu \(n\) na \(F_m\) wpisane w \(\mathcal V_{m-1}\) takie, że
\(\seteqnumber{0}{14.}{0}\) \begin{equation} \label {eq:vimk} V\in \mathcal V_m,\ V\cap F_{m-2}\neq \emptyset \Longrightarrow V\in \mathcal V_{m-1}. \end{equation}

Niech \(\mathcal V_{m-1}=\{V_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda }\). Z Uwagi 14.5 wynika istnienie pokrycia otwartego \(\mathcal W_m=\{W_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda } \) rzędu \(n\) na \(F_m\) dokładnie wpisanego w \(\mathcal V_{m-1}\). Definiujemy \(\mathcal V_1:=\mathcal W_1\) i \(\mathcal V_2:=\mathcal W_2\). Niech \(m\geq 3\). Definiujemy

\[ \mathcal V_m:=\{Z_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda }:=\mathcal Z\cup \mathcal Z^\ast , \]

gdzie

\[ \mathcal Z:=\{V_\lambda \in \mathcal V_{m-1}\colon V_\lambda \cap F_{m-2}\neq \emptyset \},\quad \mathcal Z^\ast :=\{W_\lambda \in \mathcal W_m\colon V_\lambda \cap F_{m-2}= \emptyset \}. \]

Bezpośrednio z definicji wynika, że \(\mathcal V_m\) jest rodziną zbiorów otwartych wpisaną w \(\mathcal V_{m-1}\) i spełniającą implikację (14.1). W celu wykazania, że \(\mathcal V_m\) jest pokryciem załóżmy, że \(x\notin \bigcup \mathcal Z\). Ponieważ \(\mathcal W_m\) jest pokryciem, \(x\in W_\mu \) dla pewnego \(\mu \). Wtedy \(V_\mu \notin \mathcal Z\), a więc \(W_\mu \in \mathcal Z^\ast \) co oznacza, że \(x\in \bigcup \mathcal Z^\ast \). Pozostaje do udowodnienia, że \(\mathcal V_m\) jest rzędu \(n\) na \(F_m\). Załóżmy najpierw, że \(x\in F_{m-1}\); wtedy

\begin{equation*} \#\{\lambda \colon x\in Z_\lambda \in \mathcal V_m\}= \#\{\lambda \colon x\in V_\lambda \in \mathcal Z\}+\#\{\lambda \colon x\in W_\lambda \in \mathcal Z^\ast \} \leq \#\{\lambda \colon x\in V_\lambda \in \mathcal V_{m-1}\}\leq n, \end{equation*}

Niech teraz \(x\in F_m\setminus F_{m-1}\). Jeżeli \(x\in V_\lambda \) to \(V_\lambda \cap F_{m-2}=\emptyset \) bo \(\mathcal V_{m-1}\) jest wpisane w \(\mathcal V_0\). Stąd

\[ \#\{\lambda \colon x\in Z_\lambda \in \mathcal V_m\}=\#\{\lambda \colon x\in W_\lambda \in \mathcal Z^\ast \} = \#\{\lambda \colon x\in W_\lambda \in \mathcal W_m\} \leq n. \]

Etap 3. Definiujemy

\[ \mathcal V:=\{V\colon \exists m\geq 3\colon V\in \mathcal V_m,\ V\cap F_{m-2}\neq \emptyset \}; \]

jest to pokrycie otwarte \(X\) wpisane w \(\mathcal U\). Ponieważ \(X=\bigcup _i (F_i\setminus F_{i-1})\) i wszystkie \(\mathcal V_m\) są rzędu \(n\) na \(F_m\), dla udowodnienia, że \(n\) jest rzędem \(\mathcal V\) wystarczy wykazać

\[ x\in F_i\setminus F_{i-1},\ x\in V\in \mathcal V \Longrightarrow V\in \mathcal V_{i+1}. \]

Niech \(x\in V\in \mathcal V_m\), \(V\cap F_{m-2}\neq \emptyset \) i \(x\in F_i\setminus F_{i-1}\). Ponieważ \(\mathcal V_m\) jest wpisane w \(\mathcal V_0\), z Etapu 1. wynika, że \(V\subset F_{m-1}\). Stąd \(x\in F_{m-1}\setminus F_{i-1}\), co oznacza nierówność \(m>i\), a więc \(m=i+1\) albo \(m=i+2+k\) dla \(k=0,1,\dots \). W tym drugim przypadku konkluzję \(V\in \mathcal V_{i+1}\) otrzymuje się przez \(k+1\)-krotne zastosowanie implikacji (14.1).  □

Dowód. Ponieważ

\[ \bigcap A_i\cap \bigcup B_i=\emptyset , \]

rodzina zbiorów \(\{X\setminus A_1,\ldots , X\setminus A_n, X\setminus \bigcup B_i\} \) jest pokryciem otwartym \(X\). Z założenia o wymiarze \(X\) i z Uwagi 14.3 wynika istnienie pokrycia otwartego \(\{V_1,\dots ,V_{n+1}\}\) takiego, że

\begin{gather} \label {eq:vixa} V_i\subset X\setminus A_i,\quad i=1,\ldots ,n, \\ \label {eq:vixb} V_{n+1}\subset X\setminus \bigcup _{i=1}^n B_i, \\ \label {eq:uve} \bigcap _{i=1}^{n+1} V_i=\emptyset , \end{gather} a z Lematu 6.3 wynika, że istnieje pokrycie \(\{W_1,\ldots ,W_{n+1}\}\) takie, że

\[ W_i\subset \overline W_i\subset V_i. \]

Niech \(F_i:=\overline W_i\) dla \(i=1,\ldots ,n+1\); w szczególności \(F_i\) są domknięte, \(F_i\subset V_i\) i \(\bigcup F_i=X\). Dla \(i=1,\ldots ,n\) definiujemy

\begin{align*} &A_i^\ast :=A_i\cup (F_{n+1}\setminus V_i), \\ &B_i^\ast =B_i\cup F_i. \end{align*} Wtedy \((A_i^\ast ,B_i^\ast )\) są parami rozdzielonymi, bo \(X\) jest normalna na podstawie Twierdzenia Dieudonné’go, \(A_i^\ast \) i \(B_i^\ast \) są zbiorami domkniętymi, a z (14.2), (14.3) wynika, że

\begin{gather*} B_i\cap A_i=\emptyset , \\ F_i\cap A_i\subset V_i\cap A_i=\emptyset , \\ B_i\cap (F_{n+1}\setminus V_i)\subset B_i\cap V_{n+1}=\emptyset , \\ F_i\cap (F_{n+1}\setminus V_i)\subset V_i\cap (F_{n+1}\setminus V_i)=\emptyset , \end{gather*} więc \(A_i^\ast \) i \(B_i^\ast \) są zbiorami rozłącznymi. Udowodnimy równość

\begin{equation} \label {eq:abxx} \bigcup _{i=1}^n (A_i^\ast \cup B_i^\ast )=X. \end{equation}

Ponieważ \(\bigcup _{i=1}^{n+1} F_i=X\) i \(\bigcup _{i=1}^nB_i^\ast \supset \bigcup _{i=1}^n F_i\), dla dowodu (14.5) wystarczy wykazać, że

\begin{equation} \label {eq:sups} \bigcup _{i=1}^n A_i^\ast \supset F_{n+1}. \end{equation}

Na podstawie (14.4),

\[ F_{n+1}\cap \bigcap _{i=1}^n V_i\subset V_{n+1}\cap \bigcap _{i=1}^n V_i=\emptyset , \]

więc

\[ \bigcup _{i=1}^n A_i^\ast \supset \bigcup _{i=1}^n (F_{n+1}\setminus V_i)= F_{n+1}\setminus \bigcap _{i=1}^n V_i=F_{n+1} \]

i inkluzja (14.6), a więc także równość (14.5), została udowodniona.

Niech \(L_i\) będzie przegrodą dla \((A_i^\ast ,B_i^\ast )\). Ponieważ \(A_i\subset A_i^\ast \) i \(B_i\subset B_i^\ast \), \(L_i\) jest także przegrodą dla \((A_i,B_i)\). Z (14.5) wynika, że

\[ \bigcap L_i\subset \bigcap (X\setminus (A_i^\ast \cup B_i^\ast ))= X\setminus \bigcup (A_i^\ast \cup B_i^\ast )=\emptyset . \qedhere \]

 □

Dowód. Na podstawie Uwagi 14.2 wystarczy udowodnić, że \(\dim I^n\geq n\). Dla \(i=1,\ldots , n\) definiujemy

\[ A_i:=\{x\in I^n\colon x_i=0\},\quad B_i:=\{x\in I^n\colon x_i=1\}. \]

Z Twierdzenia 14.2 wynika, że wystarczy udowodnić, że jeżeli \(L_i\) jest przegrodą dla \((A_i,B_i)\), \(i=1,\ldots , n\), to

\[ \bigcap _{i=1}^n L_i\neq \emptyset . \]

Załóżmy, że przecięcie \(\bigcap L_i\) jest puste. Ponieważ \(I^n\) jest przestrzenią doskonale normalną, istnieją ciągle funkcje \(\phi _i\colon I^n\to I\), \(i=1,\ldots ,n\), takie, że

•   \(\phi _i(x)=1\) dla \(x\in A_i\),

•   \(\phi _i(x)=0\) dla \(x\in B_i\),

•   \(\phi _i(x)=\tfrac {1}{2}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(x\in L_i\).

Z założenia niewprost wynika, że \(\phi =(\phi _1,\ldots ,\phi _n)\colon I^n\to I^n\) nie przyjmuje wartości \(c:=(\tfrac {1}{2},\ldots ,\tfrac {1}{2})\). Niech \(r\colon I^n\setminus \{c\}\to \partial I^n\) będzie retrakcją. Wtedy odwzorowanie

\[ I^n\ni x\to r(\phi (x))\in I^n \]

nie ma punktów stałych, a to jest sprzeczne z Twierdzeniem Brouwera (Twierdzenie 13.3).  □