Niech \(n\in \mathbb N\). Przestrzeń topologiczna \(M\) nazywa się rozmaitością topologiczną (krócej: rozmaitością) wymiaru \(n\) gdy jest przestrzenią Hausdorffa i każdy punkt \(M\) ma otoczenie otwarte homeomorficzne z podzbiorem otwartym \(\mathbb R^n\). Wymiar \(M\) jest jednoznacznie określony, co wynika z Twierdzenia 13.1 (b). Jest powszechnie przyjęte zapisywać go jako \(\dim M\), czego tutaj unikamy z powodu kolizji z (równie powszechnie przyjętym) oznaczeniem wymiaru Čecha-Lebesgue’a z Rozdziału 14.1.
Homeomorfizm na otwarty obraz \(f\colon U\to \mathbb R^n\), gdzie \(U\) jest zbiorem otwartym w \(M\), nazywa się mapą. Zbiór map, których dziedziny pokrywają \(M\) nazywa się atlasem. Rozmaitość jest przestrzenią lokalnie zwartą, więc także przestrzenią całkowicie regularną (Uwaga 6.9). Ponadto jest przestrzenią lokalnie łukowo spójną, więc każda jej składowa spójna jest zbiorem domknięto-otwartym (Uwaga 4.3), więc jest także rozmaitością. Z Wniosków 6.7 i 7.3 wynika
Przestrzeń Hausdorffa nazywa się \(\sigma \)-zwarta jeżeli jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów zwartych.
Dowód.
(a) \(\Rightarrow \) (b). Niech \(\mathcal U\) będzie przeliczalną bazą topologii \(X\) i niech \(U_i\in \mathcal U\), \(i=1,2,\ldots \), będzie takim ciągiem elementów bazy, że \(\overline {U}_k\) jest zwarty i dla każdego \(x\in X\) istnieje \(k\) dla którego \(x\in U_k\). Definiujemy \(K_1:=\overline {U}_1\) oraz \(p(1):=1\). Jeżeli \(K_i\) i \(p(i)\) są określone, niech \(p(i+1)>p(i)\) spełnia inkluzję \(K_i\subset \bigcup _{j=1}^{p(i+1)} U_j\). Definiujemy \(K_{i+1}:=\bigcup _{j=1}^{p(i+1)}\overline {U}_j\). Ciąg \(\{K_i\}\) ma żądane własności (w szczególności, silna monotoniczność funkcji \(p\) gwarantuje pokrycie całego \(X\) zbiorami z rodziny \(\{K_i\}\) w przypadku, gdy dla pewnego \(i\) zbiór \(K_i\) jest składową zwartą niespójnej przestrzeni \(X\)).
(b) \(\Rightarrow \) (c) nie wymaga uzasadnienia.
(c) \(\Rightarrow \) (a). Dla \(x\in M\) niech \(U_x\) będzie otoczeniem otwartym homeomorficznym z \(\mathbb R^n\) (w szczególności, każdy z tych zbiorów ma przeliczalną bazę topologii). Niech \(M=\bigcup _{i=1}^\infty K_i\), gdzie \(K_i\) są zbiorami zwartymi. Dla każdego \(K_i\) istnieje skończone pokrycie zbiorami z \(\{U_x\}\); niech \(V_i\) będzie ich sumą. Wtedy \(V_i\) jest zbiorem otwartym mającym przeliczalną bazę topologii. \(X\) jest przeliczalną sumą zbiorów \(V_i\), więc także ma przeliczalną bazę topologii, co kończy dowód. □
Dowód. Niech \(X\) spełnia założenia i niech \(\mathcal U\) będzie pokryciem otwartym \(X\) takim, że \(\overline U\) jest zwarty dla każdego \(U\in \mathcal U\). Wybieramy otwarte pokrycie lokalnie skończone \(\mathcal V\) wpisane w \(\mathcal U\). Definiujemy \(W_1:=V\), gdzie \(V\) jest dowolnie wybranym (niepustym) elementem \(\mathcal V\). Rekurencyjnie zakładamy, że \(W_1,\ldots ,W_i\) są wyznaczone i \(\overline W_i\) jest zwarty, skąd wynika, że zbiór
\[ \mathcal V_i:=\{V\in \mathcal V\colon V\cap \overline W_i\neq \emptyset \} \]
jest skończony. Definiujemy \(W_{i+1}:=\bigcup \mathcal V_i\). Wtedy
\[ \overline W_{i+1}=\bigcup _{V\in \mathcal V_i} \overline V \]
jest zwarty i \(\overline W_i\subset W_{i+1}\). Niech
\[ W:=\bigcup _{i=1}^\infty W_i. \]
Z konstrukcji wynika, że zbiór \(W\) jest sumą przeliczalnej podrodziny \(\mathcal W\subset \mathcal V\), więc
\[ \overline W=\bigcup _{Z\in \mathcal W} \overline Z \]
jest przestrzenią \(\sigma \)-zwartą. Każdy zbiór \(Z\in \mathcal W\) jest zawarty w pewnym \(W_i\), więc \(\overline Z\subset W_{i+1}\subset W\), a stąd wynika, że \(W=\overline W\) i spójność implikuje \(X=\overline W\). □
Ponieważ topologia rozmaitości jest topologią sumy jej składowych (bo są one domknięto-otwarte), rozmaitość jest parazwarta wtedy i tylko wtedy gdy każda składowa jest parazwarta.
Dowód. Ponieważ (niepusta) \(n\)-wymiarowa rozmaitość \(M\) zawiera podzbiór homeomorficzny ze zwartą kulą \(n\)-wymiarową, wymiar Čecha–Lebesgue’a spełnia nierówność \(\dim M\geq n\), co wynika z Twierdzenia 14.3 i Uwagi 14.4. Na podstawie uwagi sformułowanej przed wypowiedzią twierdzenia, dla dowodu nierówności przeciwnej wystarczy założyć, że \(M\) jest spójna. Z Lematu 15.1 wynika, że wtedy jest ona \(\sigma \)-zwarta, więc można zastosować Twierdzenie 14.1 do ciągu podzbiorów zwartych z punktu (b) Twierdzenia 15.1; każdy taki zbiór jest sumą skończonej ilości zbiorów homeomorficznych z podzbiorami zwartymi \(\mathbb R^n\), więc jego wymiar nie przekracza \(n\) (Uwaga 14.2 i Wniosek 14.1) i w konsekwencji \(\dim M\leq n\). □
Z powyższego twierdzenia wynika więc jednoznaczność oznaczenia \(\dim M\), przynajmniej w zakresie rozmaitości parazwartych.
Lemat 15.2. Niech \(M\) będzie rozmaitością spełniającą II aksjomat przeliczalności. Jeżeli \(\mathcal U\) jest pokryciem otwartym \(M\) rzędu \(p\) to istnieje otwarte pokrycie
\[ \{V_{ij}\colon i=1,\ldots ,p+1,\ j=1,2,\ldots \} \]
wpisane w \(\mathcal U\) takie, że dla \(i=1,\ldots ,p+1\) oraz wszystkich \(j\neq k\),
\[ V_{ij}\cap V_{ik}=\emptyset . \]
Dowód. Ponieważ rozmaitość spełniając II aksjomat przeliczalności jest parazwarta (Uwaga 15.1 (b)), można założyć, że \(\mathcal U\) jest lokalnie skończonym pokryciem rzędu \(p\). Ponadto, z Twierdzenia 1.6, można przyjąć, że że \(\mathcal U=\{U_i\colon i=1,2,\ldots \}\). Prowadzimy indukcję ze względu na \(p\). Jeżeli \(p=0\) to to \(V_{1i}:=U_i\) spełnia tezę. Zakładamy tezę dla wszystkich rozmaitości spełniających II aksjomat przeliczalności i wszystkich ich pokryć otwartych rzędu \(p-1\). Dla ciągu \(k_1<\ldots <k_{p+1}\) definiujemy
\[ U_{k_1,\ldots ,k_{p+1}}:=U_{k_1}\cap \ldots \cap U_{k_p}. \]
Wtedy \(\{U_{{k_1},\ldots ,k_{p+1}}\}\) jest rodziną rozłącznych zbiorów otwartych (z założenia o rzędzie \(\mathcal U\)) i można oznaczać jej elementy jako \(V_{1i}\), \(i=1,2,\ldots \). Definiujemy
\[ V:=\bigcup _i V_{1i}. \]
Niech \(\{W_j\}\) będzie takim pokryciem otwartym \(M\), że \(\overline W_j\subset U_j\). Definiujemy
\[ A:=\bigcup \{\overline W_{k_1}\cap \ldots \cap \overline W_{k_{p+1}}\colon k_1<\ldots <k_{p+1}\}; \]
rodzina \(\{V_{1i}\}\) pokrywa więc \(A\). Ponieważ \(\{W_j\}\) jest lokalnie skończona, \(A\) jest zbiorem domkniętym. Wtedy \(\{W_j\cap M\setminus A\}\) jest pokryciem otwartym rzędu \(p-1\) zbioru otwartego (a więc rozmaitości) \(M\setminus A\), więc istnieją rodziny zbiorów otwartych i rozłącznych \(\{V_{2j}\},\ldots ,\{V_{p+1,j}\}\) pokrywające \(M\setminus A\). Ponieważ \(M=(M\setminus A)\cup V\), rodzina \(\{V_{ij}\}\), gdzie \(i=1,\ldots p+1\), spełnia tezę. □
Dowód. Z parazwartości \(M\) oraz Twierdzenia 15.2 wynika, że w rodzinę dziedzin map z dowolnie wybranego atlasu \(M\) można wpisać rodzinę zbiorów otwartych \(\{V_{ij}\}\) spełniającą tezę Lematu 15.2 dla \(i=1,\ldots ,p+1\) i \(p\leq n\). Dla \(i,j\) wybieramy mapę, której dziedzina zawiera \(V_{ij}\) i niech \(f_{ij}\colon V_{ij}\to \mathbb R^n\) będzie zawężeniem tej mapy. Dla ustalonego \(i\), po ewentualnych obłożeniach przez translacje można przyjąć, że
\[ f_{ij}(V_{ij})\cap f_{ik}(V_{ik})=\emptyset \]
dla \(j\neq k\), skąd wynika, że sklejenie
\[ f_i:= \bigcup _j f_{ij}\colon \bigcup _j V_{ij}\to \mathbb R^n \]
jest mapą. Teza (a) jest więc spełniona przez atlas \(\{f_i\colon i=1,\ldots ,p+1\}\). Dla dowodu (b) wybieramy atlas złożony z map \(f_i\colon V_i\to \mathbb R^n\), \(i=1,\ldots ,q\), \(q\leq n+1\), którego istnienie wynika z (a). Niech \(\{\phi _i\}_{j=1,\ldots , q}\) będzie rozkładem jedynki dokładnie wpisanym w pokrycie \(\{V_i\}\).
Wtedy funkcja
\[ F\colon M\ni x\to (\phi _1f_1(x),\ldots ,\phi _qf_q(x),\phi _1(x),\ldots ,\phi _q(x)) \in (\mathbb R^n)^q\times \mathbb R^q \]
jest ciągłą injekcją. Uzasadnienie: niech \(x,y\in M\), \(x\neq y\). Istnieje \(i\) takie, że \(\phi _i(x)\neq 0\). Jeżeli \(\phi _i(x)\neq \phi _i(y)\) to \(F(x)\neq F(y)\). W przeciwnym przypadku \(\phi _i(y)=\phi _i(x)\) jest różne od zera, więc \(x,y\in V_i\), skąd wynika, że \(f_i(x)\neq f_i(y)\), a więc także \(F(x)\neq F(y)\). Gdy \(M\) jest zwarta, \(F\) jest homeomorfizmem na obraz i teza (b) jest więc udowodniona dla \(N=nq+q\). Dla niezwartej \(M\) wybieramy rodzinę zwartych podzbiorów \(\{K_i\}\) z Lematu 15.1 i dla \(i=1,2,\ldots \) wybieramy ciągłą funkcję \(\lambda _i\colon M\to [0,1]\) taką, że \(\lambda _i(x)=0\) dla \(x\in K_i\) i \(\lambda _i(x)=1\) dla \(x\in X\setminus {\rm int}\,K_{i+1}\). Jej istnienie wynika z Lematu Urysohna, bo \(M\) jest normalna (jako przestrzeń parazwarta z Twierdzenia 6.20 i Uwagi 15.1). Definiujemy \(\lambda =\sum _{i=1}^\infty \lambda _i\); jest to funkcja ciągła \(M\to [0,\infty )\). Wtedy
\[ M\ni x\to (F(x),\lambda (x))\in \mathbb R^{nq+q}\times \mathbb R \]
jest homeomorfizmem na obraz domknięty, więc punkt (b) został udowodniony. □
Istnieje \(N\leq 2n+1\) spełniające tezę (b); dowód tego faktu można znaleźć w [Mu].
Twierdzenie 15.4. Dla spójnej rozmaitości \(M\) następujące warunki są równoważne:
(a) \(M\) jest metryzowalna,
(b) \(M\) jest parazwarta,
(c) \(M\) jest \(\sigma \)-zwarta,
(d) \(M\) spełnia II aksjomat przeliczalności,
(e) dla pewnego \(N\in \mathbb N\) istnieje homeomorfizm na obraz domknięty \(M\to \mathbb R^N\),
(f ) \(M\) jest przestrzenią Lindelöfa,
Dowód. Implikacja (a) \(\Rightarrow \) (b) wynika z Twierdzenia Stone’a, (b) \(\Rightarrow \) (c) z Lematu 15.1, (c) \(\Rightarrow \) (d) z Twierdzenia 15.1 i (d) \(\Rightarrow \) (e) z Twierdzenia 15.3. Ponieważ podzbiór przestrzeni metryzowalnej jest przestrzenią metryzowalną, z (e) wynika (a), co oznacza, że wszystkie warunki (a) – (e) są równoważne. Implikacja (d) \(\Rightarrow \) (f) wynika z Twierdzenia 1.6, a (f) \(\Rightarrow \) (b) z Uwagi 15.1 (a). □