Definicja 1.1.1 Niech \(X\) będzie dowolnym zbiorem niepustym. Niepustą rodzinę jego podzbiorów \(\mathcal A\subset \mathcal P(X)\) nazywamy pierścieniem zbiorów, gdy spełnia następujące warunki:
1. \(\emptyset \in \mathcal A\);
2. \(\forall \, A,B\in \mathcal A:\, A\cup B, A\setminus B\in \mathcal A\).
Pierścień zbiorów \(\mathcal A\) nazywamy algebrą zbiorów, gdy \(X\in \mathcal A\).
Obserwacja 1.1.2
1. Pierścień zbiorów jest zamknięty ze względu na branie skończonych sum i skończonych przecięć zbiorów.
2. Algebra zbiorów jest zamknięta na branie dopełnień.
Dowód. Wystarczy zauważyć, że
1. \(A\cap B=(A\cup B)\setminus \left ((A\setminus B)\cup (B\setminus A)\right )\) oraz
2. \(A’=X\setminus A\).
Definicja 1.1.3 Niepustą rodzinę zbiorów \(\frak M \subset \mathcal P(X)\) nazywamy \(\sigma \)-algebrą na \(X\), gdy spełnia następujące warunki:
1. \(\emptyset \in \frak M\);
2. \(\forall \, A\in \frak M:\, A’\in \frak M\);
3. \(\forall \, A_j\in \frak M, j\in \mathbb N:\, \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \frak M\).
Parę \((X,\frak M)\) nazywamy przestrzenią mierzalną, a zbiory należące do rodziny \(\frak M\) zbiorami \(\frak M\)-mierzalnymi (lub mierzalnymi).
Przykład 1.1.4 Rodziny \(\{\emptyset , X\}\) oraz \(\mathcal P(X)\) są odpowiednio najmniejszą i największą (w sensie inkluzji) \(\sigma \)-algebrą na \(X\).
Ćwiczenie 1.1.5 Sprawdzić, czy poniższe rodziny zbiorów są pierścieniami, algebrami, \(\sigma \)-algebrami na \(\R \):
1. \(\mathcal A_1=\left \{A\subset \R \,: \# A<\infty \right \}\);
2. \(\mathcal A_2=\left \{A\subset \R \,: \# A<\infty \ \text {lub} \ \# A’<\infty \right \}\);
3. \(\mathcal A_3=\left \{A\subset \R \,: \# A\leq \aleph _0\ \text {lub} \ \# A’\leq \aleph _0 \right \}\);
4. \(\mathcal A_4=\left \{A\subset \R \,: A-\text {suma skoÅĎczonej liczby przedziaÅĆÃşw} \right \}\cup \{\emptyset \}\).
Obserwacja 1.1.6 (Własności \(\sigma \)-algebr) Niech \((X,\frak M)\) będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy
1. \(X\in \frak M\);
2. jeżeli \(A_1,\dots , A_n\in \frak M\), to \(A_1\cup \dots \cup A_n\in \frak M\);
3. jeżeli \(A_j\in \frak M\), \(j\in \mathbb N\), to \(\bigcap _{j=1}^{\infty } A_j\in \frak M\);
4. jeżeli \(A_1,\dots , A_n\in \frak M\), to \(A_1\cap \dots \cap A_n\in \frak M\);
5. jeżeli \(A, B\in \frak M\), to \(A\setminus B\in \frak M\).
Dowód.
1. \(X=X\setminus \emptyset \).
2. Przyjmijmy \(A_{n+1}=A_{n+2}=\dots =\emptyset \) w definicji \(\sigma \)-algebry.
3. Zauważmy, że \(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_j=\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j’\right )’\).
4. Przyjmijmy \(A_{n+1}=A_{n+2}=\dots =X\) w definicji \(\sigma \)-algebry.
5. Zauważmy, że \(A\setminus B=A\cap B’\).
Uwaga 1.1.7 Każda \(\sigma \)-algebra jest algebrą.
Ćwiczenie 1.1.8 Niech \((X,\frak M)\) będzie przestrzenią mierzalną oraz \(B\subset X\). Pokazać, że
1. rodzina
\[ \frak M|_B:=\left \{A\cap B: A\in \frak M\right \} \]
jest \(\sigma \)-algebrą na \(B\);
2. jeżeli dodatkowo \(B\in \frak M\), to
\[ \frak M|_B=\left \{A: A\in \frak M, A\subset B\right \}. \]
Obserwacja 1.1.9 Niech \(f:X\to Y\) będzie dowolną funkcją, \(X,Y\neq \emptyset \).
1. Jeżeli \(\frak M\) jest \(\sigma \)-algebrą na \(X\), to rodzina
\[ f_{*}\frak M=f(\frak M)=\left \{B\subset Y: f^{-1}(B)\in \frak M\right \} \]
jest \(\sigma \)-algebrą na Y.
2. Jeżeli \(\frak N\) jest \(\sigma \)-algebrą na \(Y\), to rodzina
\[ f^*\frak N=f^{-1}(\frak N):=\left \{f^{-1}(B): B\in \frak N\right \} \]
jest \(\sigma \)-algebrą na \(f^{-1}(Y)\).
Dowód. Wynika z własności przeciwobrazu.
Ćwiczenie 1.1.10 Niech \(f:X\to Y\) będzie surjekcją, a \(\frak M\) \(\sigma \)-algebrą na \(X\). Czy rodzina zbiorów
\[ \left \{f(A): A\in \frak M\right \} \]
musi być \(\sigma \)-algebrą na \(Y\)?
Obserwacja 1.1.11 Jeżeli \(\frak M_j\) jest \(\sigma \)-algebrą na \(X\), dla \(j\in J\) (\(J\) jest dowolnym zbiorem indeksów), to \(\bigcap _{j\in J}\frak M_j\) jest \(\sigma \)-algebrą na \(X\).
Dowód. Wynika z własności przecięcia.
Ćwiczenie 1.1.12 Czy suma dowolnych \(\sigma \)-algebr musi być \(\sigma \)-algebrą?
Definicja 1.1.13 Dla dowolnej rodziny \(\mathcal F\subset \mathcal P(X)\) zdefiniujmy \(\sigma \)-algebrę generowaną przez \(\mathcal F\) na \(X\) jako
\[ \sigma (\mathcal F):=\bigcap \left \{\frak M: \mathcal F\subset \frak M, \frak M - \sigma \text { algebra na } X\right \}. \]
Obserwacja 1.1.14
1. \(\sigma (\mathcal F)\) jest poprawnie zdefiniowaną najmniejszą \(\sigma \)-algebrą na \(X\) zawierającą \(\mathcal F\).
2. Jeżeli \(\mathcal F\) jest \(\sigma \)-algebrą, to \(\mathcal F=\sigma (\mathcal F)\).
3. Dla dowolnych rodzin \(\mathcal A, \mathcal B\subset \mathcal P(X)\), jeżeli \(\mathcal A\subset \sigma (\mathcal B)\), to \(\sigma (\mathcal A)\subset \sigma (\mathcal B)\).
4. Dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\mathcal A\) mamy \(\sigma (\sigma (\mathcal A))=\sigma (\mathcal A)\).
Dowód. Wynika z własności przecięcia.
Dowód. Ponieważ \(\mathcal F\subset \sigma (\mathcal F)\), to \(f^{-1}(\mathcal F)\subset f^{-1}(\sigma (\mathcal F))\) i otrzymujemy inkluzję
\[ \sigma (f^{-1}(\mathcal F))\subset f^{-1}(\sigma (\mathcal F)). \]
Aby wykazać inkluzję przeciwną zdefiniujmy następującą rodzinę
\[ \frak M=\left \{A\in \sigma (\mathcal F): f^{-1}(A)\in \sigma (f^{-1}(\mathcal F))\right \}. \]
Zauważmy, że \(\frak M\) jest \(\sigma \)-algebrę zawierającą rodzinę \(\mathcal F\), więc \(\frak M=\sigma (\mathcal F)\). Wtedy otrzymujemy \(f^{-1}(\sigma (\mathcal F))=f^{-1}(\frak M)\subset \sigma (f^{-1}(\mathcal F))\).
Ćwiczenie 1.1.16 Niech \(X=[0,3]\) oraz \(A=[0,2]\), \(B=[1,2]\). Znaleźć \(\sigma (\{A,B\})\).
Przykład 1.1.17 Niech \(X=\{x_1,\dots ,x_n\}\) będzie zbiorem skończonym. Wtedy
\[ \sigma \left (\left \{\{x_1\},\dots ,\{x_n\}\right \}\right )=\mathcal P(X). \]
Ćwiczenie 1.1.18 Czy dla dowolnego zbioru \(X\) \(\sigma \)-algebra generowana przez wszystkie singletony jest równa \(\mathcal P(X)\)?
Definicja 1.1.19 Niech \(X\) będzie dowolnym zbiorem niepustym. Niepustą rodzinę
\(\mathcal M\subset \mathcal P(X)\) nazywamy klasą monotoniczną, gdy spełnia następujące warunki:
1. jeżeli \(A_j\in \mathcal M\), \(j\in \N \), jest wstępującym ciągiem zbiorów tzn. \(A_j\subset A_{j+1}\), \(j\in \N \), to \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \mathcal M\) oraz
2. jeżeli \(A_j\in \mathcal M\), \(j\in \N \), jest zstępującym ciągiem zbiorów tzn. \(A_{j+1}\subset A_{j}\), \(j\in \N \), to \(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_j\in \mathcal M\).
Obserwacja 1.1.20
1. Przecięcie dowolnej ilości klas monotonicznych jest klasą monotoniczną.
2. Dla dowolnej rodziny zbiorów \(\mathcal F\subset \mathcal P(X)\) istnieje najmniejsza klasa monotoniczna zawierająca \(\mathcal F\)
\[ \operatorname M(\mathcal F):=\bigcap \left \{\mathcal M: \mathcal F\subset \mathcal M, \ \mathcal M - \text { klasa monotoniczna na } X\right \}. \]
Nazywamy ją klasą monotoniczną generowaną przez \(\mathcal F\).
3. Jeżeli \(\mathcal F\) jest klasą monotoniczną, to \(\mathcal F=\operatorname M(\mathcal F)\).
4. Dla dowolnych rodzin \(\mathcal A, \mathcal B\subset \mathcal P(X)\), jeżeli \(\mathcal A\subset \operatorname M(\mathcal B)\), to \(\operatorname M(\mathcal A)\subset \operatorname M (\mathcal B)\).
5. Dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\mathcal A\) mamy \(\operatorname M(\operatorname M(\mathcal A))=\operatorname M(\mathcal A)\).
Dowód. Wynika z własności przecięcia.
Dowód. Niech \(A_j\in \mathcal A\), \(j\in N\). Zdefiniujmy wstępujący ciąg zbiorów \(B_k=A_1\cup \dots \cup A_k\in \mathcal A\), \(k\in \N \). Wtedy \(\bigcup _{k=1}^{\infty }A_k=\bigcup _{k=1}^{\infty }B_k\in \mathcal A\), bo \(\mathcal A\) jest klasą monotoniczną.
Twierdzenie 1.1.22 (Twierdzenie o klasie monotonicznej) Niech \(X\) będzie dowolnym zbiorem niepustym. Jeżeli \(\frak N\subset \mathcal P(X)\) jest algebrą na \(X\), to klasa monotoniczna generowana przez \(\frak N\) jest równa \(\sigma \)-algebrze generowanej przez \(\frak N\), tzn.
\[ \operatorname M(\frak N)=\sigma (\frak N). \]
Dowód. Zauważmy, że każda \(\sigma \)-algebra jest klasą monotoniczną, czyli zachodzi następująca inkluzja
\[ \operatorname M(\frak N)\subset \sigma (\frak N). \]
Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że \(\operatorname M(\frak N)\) jest \(\sigma \)-algebrą.
Dla dowolnej rodziny \(L\subset \mathcal P(X)\) zdefiniujmy następującą rodzinę zbiorów:
\[ \operatorname {J}(L):=\left \{A\subset X: \forall \, B\in L\ \ A\cup B, A\setminus B, B\setminus A\in \operatorname M(\frak N) \right \}. \]
Rodzina \(\operatorname {J}(L)\) ma następujące własności.
1. \(\operatorname {J}(L)\) jest klasą monotoniczną.
Weźmy dowolny ciąg wstępujący zbiorów \(\{A_j\}\subset \operatorname {J}(L)\). Dla dowolnego zbioru \(B\in L\) ciągi zbiorów \(\{A_j\cup B\}\), \(\{A_j\setminus B\}\) są wstępujące a ciąg \(\{B\setminus A_j\}\) jest zstępujący. Wtedy dostajemy
\[ \begin {aligned} \operatorname M(\frak N)\ni \bigcup _{j=1}^{\infty }(A_j\cup B)&=\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\cup B, \\ \operatorname M(\frak N)\ni \bigcup _{j=1}^{\infty }(A_j\setminus B)&=\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\setminus B, \\ \operatorname M(\frak N)\ni \bigcap _{j=1}^{\infty }(B\setminus A_j)&=B\setminus \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ), \end {aligned} \]
co oznacza, że \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \operatorname {J}(L)\).
Dowód wygląda podobnie dla ciągów zstępujących.
2. Dla dowolnych rodzin \(K,L\subset \mathcal P(X)\) mamy \(K\subset \operatorname {J}(L)\Leftrightarrow L\subset \operatorname {J}(K)\). Zauważmy, że
\[ \begin {aligned} &K\subset \operatorname {J}(L)\Leftrightarrow \forall \, A\in K \ A\in \operatorname {J}(L)\\ &\Leftrightarrow \forall \, A\in K \ \forall \, B\in L \ A\cup B, A\setminus B, B\setminus A\in \operatorname M(\frak N) \\ &\Leftrightarrow \forall \, B\in L \ \forall \, A\in K \ A\cup B, A\setminus B, B\setminus A\in \operatorname M(\frak N)\\ &\Leftrightarrow \forall \, B\in L \ B\in \operatorname {J}(K)\Leftrightarrow L\subset \operatorname {J}(K). \end {aligned} \]
Teraz zauważmy, że skoro \(\frak N\) jest algebrą, to \(\frak N\subset \operatorname {J}(\frak N)\). Ponieważ \(\operatorname {J}(\frak N)\) jest klasą monotoniczną, to \(\operatorname {M}(\frak N)\subset \operatorname {J}(\frak N)\). Z punktu (2) wynika, że \(\frak N\subset \operatorname {J}(\operatorname {M}(\frak N))\). Wtedy punkt (1) implikuje, że
\( \seteqsection {1} \)
\begin{equation} \label {w1} \operatorname {M}(\frak N)\subset \operatorname {J}(\operatorname {M}(\frak N)). \end{equation}
Zauważmy, że \(X\in \frak N\subset \operatorname {M}(\frak N)\), a więc również \(\emptyset =X\setminus X\in \frak N\subset \operatorname {M}(\frak N)\). Z inkluzji (1.1.1) wynika, że \(\operatorname {M}(\frak N)\) jest algebrą. Z Obserwacji 1.1.21 wynika, że \(\operatorname {M}(\frak N)\) jest \(\sigma \)-algebrą.
Definicja 1.1.24 Niepustą rodzinę zbiorów \(\mathcal A \subset \mathcal P(X)\) nazywamy \(\lambda \)-układem (układem Dynkina1) na \(X\), gdy spełnia następujące warunki:
1. \(X \in \mathcal A\);
2. \(\forall \, A,B\in \mathcal A:\, A\subset B\Rightarrow B\setminus A\in \mathcal A\);
3. \(\forall \, A_j\in \mathcal A, \, A_{j}\subset A_{j+1}, \,j\in \N :\, \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \mathcal A\).
Pojęcia \(\pi \)-układu i \(\lambda \)-układu zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Wacława Sierpińskiego2.
Dowód. Wprost z definicji wynika, że każda \(\sigma \)-algebra jest \(\pi \)-układem i \(\lambda \)-układem. I odwrotnie, jeżeli \(\mathcal A\) jest \(\pi \)-układem i \(\lambda \)-układem, to \(X\in \mathcal A\) i wtedy \(X\setminus X=\emptyset \in \mathcal A\) oraz \(\mathcal A\) jest zamknięta na branie dopełnień. Pokazaliśmy więc, że \(\mathcal A\) jest algebrą. Naśladując dowód Obserwacji 1.1.21 dostajemy, że \(\mathcal A\) jest \(\sigma \)-algebrą.
Obserwacja 1.1.26
1. Przecięcie dowolnej ilości \(\lambda \)-układów jest \(\lambda \)-układem.
2. Dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\mathcal F\subset \mathcal P(X)\) istnieje najmniejszy \(\lambda \)-układ zawierający \(\mathcal F\)
\[ \lambda (\mathcal F):=\bigcap \left \{\mathcal M: \mathcal F\subset \mathcal M, \ \mathcal M - \text { $\lambda $-ukÅĆad na } X\right \}. \]
Nazywamy go \(\lambda \)-układem generowanym przez \(\mathcal F\).
3. Jeżeli \(\mathcal F\) jest \(\lambda \)-układem, to \(\mathcal F=\lambda (\mathcal F)\).
4. Dla dowolnych rodzin \(\mathcal A, \mathcal B\subset \mathcal P(X)\), jeżeli \(\mathcal A\subset \lambda (\mathcal B)\), to \(\lambda (\mathcal A)\subset \lambda (\mathcal B)\).
5. Dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\mathcal A\) mamy \(\lambda (\lambda (\mathcal A))=\lambda (\mathcal A)\).
Dowód. Jest oczywisty.
Dowód. Ponieważ każda \(\sigma \)-algebra jest \(\lambda \)-układem, to \(\lambda (\mathcal A)\subset \sigma (\mathcal A)\). Aby wykazać inkluzję przeciwną zauważmy, że wystarczy na mocy
Obserwacji 1.1.25 wykazać, że \(\lambda (\mathcal A)\) jest
\(\pi \)-układem, bo wtedy \(\lambda (\mathcal A)\) jest \(\sigma \)-algebrą i mamy \(\lambda (\mathcal A)\supset \sigma (\mathcal A)\).
Dla zbioru \(B\in \mathcal A\) zdefiniujmy rodzinę zborów:
\[ \mathcal A_B=\{A\in \lambda (\mathcal A): A\cap B\in \lambda (\mathcal A)\}. \]
Zauważmy, że \(\mathcal A\subset \mathcal A_B\), bo \(\mathcal A\) jest \(\pi \)-układem. Wykażemy teraz, że \(\mathcal A_B\) jest \(\lambda \)-układem.
• \(X\in \mathcal A_B\), bo
\[ X\in \lambda (\mathcal A) \ \text {oraz} \ X\cap B=B\in \mathcal A\subset \lambda (\mathcal A). \]
• Niech \(A_1,A_2\in \mathcal A_B\) oraz \(A_1\subset A_2\). Wtedy
\[ A_1, A_2\in \lambda (\mathcal A) \ \text {oraz} \ A_1\cap B, A_2\cap B\in \lambda (\mathcal A) \]
i ponieważ \(\lambda (\mathcal A)\) jest \(\lambda \)-układem i \(A_1\cap B\subset A_2\cap B\) to
\[ A_2\setminus A_1\in \lambda (\mathcal A)\ \text {oraz} \ (A_1\setminus A_2)\cap B= (A_1\cap B)\setminus (A_2\cap B)\in \lambda (\mathcal A), \]
czyli \(A_2\setminus A_1\in \mathcal A_B\).
• Niech \(A_j\in \mathcal A_B\), \(j\in \N \), będzie wstępującym ciągiem zbiorów, wtedy \(A_j\in \lambda (\mathcal A)\) i ciąg \(A_j\cap B\in \lambda (\mathcal A)\) jest również wstępującym ciągiem zbiorów. Wówczas
\[ \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \lambda (\mathcal A) \ \text {oraz} \ \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\cap B=\bigcup _{j=1}^{\infty }(A_j\cap B)\in \lambda (\mathcal A), \]
z czego wynika, że \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \mathcal A_B\).
Zauważmy, że \(\mathcal A\subset \mathcal A_B\subset \lambda (\mathcal A)\), czyli \(\mathcal A_B=\lambda (\mathcal A)\), bo \(\lambda (\mathcal A)\) jest najmniejszym \(\lambda \)-układem zawierającym \(\mathcal A\). Otrzymaliśmy zatem
\[ \forall \, B\in \mathcal A: \mathcal A_B=\lambda (\mathcal A), \ \text {czyli} \ \forall \, B\in \mathcal A \ \forall \, A\in \lambda (\mathcal A): A\cap B\in \lambda (\mathcal A). \]
Dla \(B\in \lambda (\mathcal A)\) zdefiniujmy rodzinę zbiorów
\[ \mathcal A_B=\{A\in \lambda (\mathcal A): A\cap B\in \lambda (\mathcal A)\}. \]
Z powyższych rozważań wynika, że \(\mathcal A\subset \mathcal A_B\). Rozumując jak wyżej możemy wykazać, że \(\mathcal A_B=\lambda (\mathcal A)\), co oznacza, że \(\lambda (\mathcal A)\) jest \(\pi \)-układem.
1 Eugene Dynkin (1924-2014) – rosyjski matematyk.
2 Wacław Sierpiński (1882-1969) - polski matematyk.