Definicja 1.3.1 Niech \((X,\frak M)\) i \((Y,\frak N)\) będą przestrzeniami mierzalnymi. Odwzorowanie \(f:X\to Y\) nazywamy \(\frak M\)-mierzalnym (mierzalnym), gdy
\[ \forall \, A\in \frak N: \ f^{-1}(A)\in \frak M. \]
Zbiór odwzorowań \(\frak M\)-mierzalnych oznaczamy przez \(\mathcal M(X,Y,\frak M)\) (lub prościej \(\mathcal M(X,Y)\)).
Jeżeli \(X\) i \(Y\) są przestrzeniami topologicznymi i \((X,\mathcal B(X))\) i \((Y,\mathcal B(Y))\) są przestrzeniami mierzalnymi, to odwzorowanie \(f:X\to Y\) nazywamy borelowskim, gdy
\[ \forall \, A\in \operatorname {top}Y \ f^{-1}(A)\in \mathcal B(X). \]
Zauważmy, że z Obserwacji 1.1.15 wynika, że aby sprawdzić mierzalność odwzorowania \(f:(X,\frak M)\to (Y,\sigma (\mathcal F))\) wystarczy wykazać, że
\[ \forall \, A\in \mathcal F: \ f^{-1}(A)\in \frak M. \]
W dalszej części wykładu będziemy rozważać głównie odwzorowania \(f:X\to Y\), dla \(Y\subset \overline {\R }=[-\infty ,+\infty ]\). W zbiorze \(\overline {\R }\) można wprowadzić w sposób naturalny topologię, która jest rozszerzeniem topologii euklidesowej na \(\R \). Jako bazę otoczeń \(-\infty \), \(+\infty \) można przyjąć odpowiednio zbiory postaci \([-\infty , a)\) i \((a,+\infty ]\), dla \(a\in \R \).
Przykład 1.3.2 Niech \(X=[0,2]\) i \(\frak M=\{\emptyset , [0,1), [1,2], X\}\). Wtedy
1. Funkcja \(f:X\to \R \) zadana wzorem \(f(x)=x\) nie jest mierzalna.
2. Wszystkie funkcje mierzalne są postaci \(g=a\chi _{[0,1)}+b\chi _{[1,2]}\), gdzie \(a,b\in \R \). Funkcja \(\chi _A:X\to \R \), dla \(A\subset X\) jest nazywana funkcją charakterystyczną zbioru \(A\) i jest zadana wzorem
\[ \chi _A(x):=\left \{ \begin {array}{ll} 1, & x\in A, \\ 0, & x\notin A. \end {array} \right . \]
Obserwacja 1.3.3 Niech \((X,\frak M)\) będzie przestrzenią mierzalną i \(A\subset X\).
1. Funkcja \(\chi _A\) jest \(\frak M\)-mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy \(A\in \frak M\).
2. Załóżmy, że \(A\in \frak M\). Dla funkcji \(f:A\to \overline {\R }\) zdefiniujmy
\[ \tilde f(x):=\left \{ \begin {array}{ll} f(x), & x\in A, \\ c, & x\notin A, \end {array} \right . \]
gdzie \(c\) jest dowolną stałą. Wtedy \(f\in \mathcal M(A,\overline {\R }, \frak M|_A)\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\tilde f\in \mathcal M(X,\overline {\R }, \frak M)\).
Dowód. Wynika z własności przeciwobrazu.
Obserwacja 1.3.4 Niech \((X,\frak M)\) będzie przestrzenią mierzalną. Dla dowolnej funkcji
\(f:X\to \R \) następujące warunki są równoważne:
1. \(f\in \mathcal M(X,\R ,\frak M)\);
2. \(\forall \, a\in \R \ \{x\in X: f(x)<a\}\in \frak M\);
3. \(\forall \, a\in \R \ \{x\in X: f(x)\leq a\}\in \frak M\);
4. \(\forall \, a\in \Q \ \{x\in X: f(x)<a\}\in \frak M\);
5. \(\forall \, a\in \Q \ \{x\in X: f(x)\leq a\}\in \frak M\).
Dowód. Wynika z Obserwacji 1.2.4.
Dowód. Wynika wprost z definicji odwzorowań borelowskich.
Dowód. Niech \((X_j,\frak M_j)\), \(j=1,2,3\), będą przestrzeniami mierzalnymi, \(f:X_1\to X_2\), \(g:X_2\to X_3\) będą odwzorowaniami mierzalnymi, takimi że odwzorowanie \(g\circ f\) jest dobrze określone. Wtedy mierzalność złożenia wynika z następującego wzoru. Dla dowolnego zbioru \(A\in \frak M_3\) mamy
\[ (g\circ f)^{-1}(A)=f^{-1}\left (g^{-1}(A)\right ). \]
Obserwacja 1.3.7 Niech \(f,g,f_n\in \mathcal M(X,\overline {\R },\frak M)\), \(n\in \N \). Wtedy
1. zbiory \(\{x\in X: f(x)<g(x)\}\), \(\{x\in X: f(x)\leq g(x)\}\) i \(\{x\in X: f(x)=g(x)\}\) są \(\frak M\)-mierzalne;
2. wszystkie funkcje stałe są mierzalne;
3. \(-f\in \mathcal M(X,\overline {\R },\frak M)\);
4. \(\sup _{n\in \N }f_n, \inf _{n\in \N } f_n\in \mathcal M(X,\overline {\R },\frak M)\);
5. \(\max (f,g), \min (f,g)\in \mathcal M(X,\overline {\R },\frak M)\);
6. \(\limsup _{n\to \infty }f_n, \liminf _{n\to \infty } f_n\in \mathcal M(X,\overline {\R },\frak M)\);
7. zbiór \(A=\left \{x\in X: \limsup _{n\to \infty }f_n(x)=\liminf _{n\to \infty }f_n(x)\right \}\in \frak M\) oraz
\(\lim _{n\to \infty }f_n\in \mathcal M(A,\overline {\R },\frak M|_A)\).
Dowód. Punkt \((1)\). Zauważmy, że \(f(x)<g(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba \(q\in \Q \) taka, że \(f(x)<q<g(x)\). Stąd dostajemy
\[ \{x\in X: f(x)<g(x)\}=\bigcup _{q\in \Q }f^{-1}([-\infty ,q))\cap g^{-1}((q,+\infty ])\in \frak M. \]
Ponadto
\[ \{x\in X: f(x)\leq g(x)\}=X\setminus \{x\in X: g(x)<f(x)\} \]
oraz
\[ \{x\in X: f(x)=g(x)\}=\{x\in X: f(x)\leq g(x)\}\cap \{x\in X: g(x)\leq f(x)\}. \]
Punkt \((2)\). Niech \(f(x)=a\). Wtedy
\[ f^{-1}(A)=\left \{ \begin {array}{ll} X, & a\in A, \\ \emptyset , & a\notin A. \end {array} \right . \]
Punkt \((3)\). Zauważmy, że \(\{x\in X: f(x)\leq a\}=\{x\in X: -a\leq -f(x)\}\).
Punkt \((4)\). Zauważmy, że
\[ \left \{x\in X: \inf _{n\in \N } f_n(x)\geq a\right \}=\bigcap _{n\in \N } \left \{x\in X: f_n(x)\geq a\right \} \]
oraz \(\sup _{n\in \N }f_n=-\left (\inf _{n\in \N }(-f_n)\right )\).
Punkt \((5)\). Wynika z punktu \((4)\).
Punkt \((6)\). Zauważmy, że \(\liminf _{n\to \infty }f_n(x)=\sup _{k\in \N }\left (\inf _{n\geq k}f_n(x)\right )\) oraz
\(\limsup _{n\to \infty }f_n(x)=\inf _{k\in \N }\left (\sup _{n\geq k}f_n(x)\right )\).
Punkt \((7)\). Wynika z punktów \((1)\) i \((6)\).
Dowód. Zauważmy, że funkcje \(t\to ct\), \(t\to c+t\), \(t\to t^2\), \(t\to |t|\) oraz \(\R \setminus \{0\}\ni t\to \frac 1t\in \R \setminus \{0\}\), \(c\in \mathbb R\), są ciągłe, a więc mierzalne na podstawie Obserwacji 1.3.5. Z Obserwacji 1.3.6 wynika, że funkcje \(cf\), \(c+f\), \(f^2\), \(|f|\), \(\frac 1f\) są mierzalne.
Dla dowolnego \(a\in \R \) mamy również, dzięki Obserwacji 1.3.7
\[ \{x\in X: f(x)+g(x)<a\}=\{x\in X: f(x)<-g(x)+c\}\in \frak M, \]
z czego wynika, że \(f+g\in \mathcal M(X,\R ,\frak M)\).
Zauważmy również, że \(f-g=f+(-g)\) oraz \(fg=\frac 14(f+g)^2-\frac 14(f-g)^2\), z czego wynika mierzalność funkcji \(f-g\) oraz \(fg\).
Dla dowolnej funkcji \(f:X\to \overline {\R }\) zdefiniujmy jej część dodatnią
\[ f_+(x)=\max (f(x),0) \]
oraz część ujemną
\[ f_-(x)=\max (-f(x),0). \]
Zauważmy, że \(f_+,f_-\geq 0\), \(f=f_+-f_-\) oraz \(|f|=f_++f_-\).
Obserwacja 1.3.9 Niech \((X,\frak M)\) będzie przestrzenią mierzalną oraz \(f:X\to \overline {\R }\). Wtedy następujące warunki są równoważne:
1. \(f\in \mathcal M(X,\overline {\R },\frak M)\);
2. \(f_+,f_-\in \mathcal M(X,\overline {\R },\frak M)\).
Dowód. Wynika z Obserwacji 1.3.7 i Obserwacji 1.3.8.