Definicja 1.10.1 Funkcję \(\alpha :\mathcal A\to [0,+\infty ]\) określoną na pewnej niepustej rodzinie zbiorów \(\mathcal A\subset \mathcal P(X)\) nazywamy \(\sigma \)-skończoną, gdy istnieją zbiory \(A_j\in \mathcal A\), \(j\in \N \), takie że \(\alpha (A_j)<+\infty \) oraz \(X=\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\).
Twierdzenie 1.10.2 (Twierdzenie o rozszerzaniu miary) Niech \(\mathcal A\subset \mathcal P(X)\) będzie pierścieniem zbiorów oraz niech \(\mu _0:\mathcal A\to [0,+\infty ]\) spełnia następujące warunki:
1. \(\mu _0(\emptyset )=0\);
2. jeżeli \(A_j\in \mathcal A\), \(j\in \N \), \(A_j\cap A_k=\emptyset \), \(j\neq k\) oraz \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \mathcal A\), to
\[\mu _0\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\sum _{j=1}^{\infty }\mu _0(A_j).\]
Wtedy istnieje miara \(\mu :\sigma (\mathcal A)\to [0,+\infty ]\) będąca rozszerzeniem \(\mu _0\) do \(\sigma \)-algebry generowanej przez \(\mathcal A\), tzn. \(\mu |_{\mathcal A}=\mu _0\). Jeżeli dodatkowo \(\mu _0\) jest \(\sigma \)-skończona, to miara \(\mu \) jest wyznaczona jednoznacznie i jest również \(\sigma \)-skończona.
Dowód. Konstrukcja rozszerzenia.
Niech \(\mathcal I\) będzie klasą zbiorów mającą pokrycia przeliczalne zbiorami z pierścienia \(\mathcal A\). Zdefiniujmy
\[ \mu _0^*(A):=\inf \left \{\sum _{j=1}^{\infty }\mu _0(A_j): A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right \}, \ A\in \mathcal I. \]
Wtedy \(\mu _0^*\) jest miarą zewnętrzną na \(\mathcal I\). Wykażemy, że \(\mu _0^*=\mu _0\) na \(\mathcal A\). Niech \(A\in \mathcal A\), wtedy \(A\) jest pokryciem zbioru \(A\) i z definicji \(\mu _0^*\) mamy \(\mu _0^*(A)\leq \mu _0(A)\). Aby udowodnić nierówność przeciwną weźmy \(A\in \mathcal A\) i niech \(A_j\in \mathcal A\), \(j\in \N \), będzie pokryciem przeliczalnym zbioru \(A\), tzn. \(A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\). Zdefiniujmy nowe pokrycie \(B_j\in \mathcal A\), \(j\in \N \):
\( \seteqsection {1} \)
\begin{equation} \label {w7} B_1=A\cap A_1, \ B_j=A\cap \left (A_j\setminus \bigcup _{k=1}^{j-1}A_k\right )\subset A_j, \ j\geq 2, \end{equation}
wtedy zbiory \(B_j\) są parami rozłączne oraz \(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j=A\). Mamy wtedy
\[ \mu _0(A)=\mu _0\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\sum _{j=1}^{\infty }\mu _0(B_j)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu _0(A_j) \]
biorąc infimum po wszystkich pokryciach dostajemy \(\mu _0(A)\leq \mu _{0}^*(A)\).
Teraz możemy przeprowadzić konstrukcję Carathéodory’ego dla rodziny \(\mathcal I\). Zbiór \(A\) nazwiemy mierzalnym, gdy spełnia warunek
\[ \forall \, B\in \mathcal I: \mu _0^*(B)=\mu _0^*(B\cap A)+\mu _0^*(B\setminus A). \]
Zbiory mierzalne tworzą \(\sigma \)-algebrę \(\frak M_{\mu _0}\).
Wykażemy, że pierścień \(\mathcal A\subset \frak M_{\mu _0}\), wtedy rozszerzenie \(\mu _0^*\) do \(\frak M_{\mu _0}\supset \sigma (\mathcal A)\) będzie szukaną miarą \(\mu \).
Niech \(A\in \mathcal A\), wtedy przypomnijmy, że zbiór \(A\) będzie mierzalny, gdy spełniony będzie warunek (1.6.2), tzn.
\[ \forall \, B\in \mathcal I: \mu _0^*(B)\geq \mu _0^*(B\cap A)+\mu _0^*(B\setminus A). \]
Dla dowolnego pokrycia \(A_j\in \mathcal A\), \(j\in \N \), zbioru \(B\) zdefiniujmy pokrycie \(B_j\in \mathcal A\) dane wzorami (1.10.1), wtedy rodziny \(B_j\cap A\), \(B_j\setminus A\) są pokryciami, odpowiednio zbiorów \(B\cap A\) i \(B\setminus A\). Mamy
\[ \begin {aligned} &\mu _0^*(B\cap A)+\mu _0^*(B\setminus A)=\mu _0^*\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\cap A\right )+\mu _0^*\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\setminus A\right )\\ &\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu _0(B_j\cap A)+\sum _{j=1}^{\infty }\mu _0(B_j\setminus A)=\sum _{j=1}^{\infty }\mu _0(B_j)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu _0(A_j) \end {aligned} \]
i biorąc infimum po wszystkich pokryciach \(A_j\) dostajemy \(\mu _0^*(B\cap A)+\mu _0^*(B\setminus A)\leq \mu _0^*(B)\), czyli \(A\in \frak M_{\mu _0}\).
Jedyność rozszerzenia.
Załóżmy, że \(\mu _0\) jest \(\sigma \)-skończona i \(\nu _1\) i \(\nu _2\) jej rozszerzeniami. Wtedy istnieją zbiory \(A_j\in \mathcal A\), \(j\in \N \) takie, że \(\mu _0(A_j)<+\infty \) oraz \(X=\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\), bez straty ogólności możemy założyć, że \(A_j\) jest ciągiem wstępującym. Zdefiniujmy rodziny zbiorów
\[ \mathcal D_j=\{C\in \sigma (\mathcal A): \nu _1(C\cap A_j)=\nu _2(C\cap A_j)\}. \]
Zauważmy, że
• \(\mathcal A\subset \mathcal D_j\), \(X\in \mathcal D_j\);
• \(\mathcal D_j\) jest klasą monotoniczną;
Dla ciągów wstępujących wynika to z własności miar, dla ciągów zstępujących wykorzystujemy dodatkowo skończoność miar tych zbiorów.
• Jeżeli \(C\in \mathcal D_j\), to \(C’\in \mathcal D_j\), bo
\[ \nu _1(C’\cap A_j)=\nu _1(A_j)-\nu _1(C\cap A_j)=\nu _2(A_j)-\nu _2(C\cap A_j)=\nu _2(C’\cap A_j). \]
• Jeżeli \(E,F\in \mathcal D_j\), to \(F\subset E\) i wtedy \(E\setminus F\in \mathcal D_j\), bo miary są skończone na \(\mathcal D_j\) oraz
\[ \begin {aligned} &\nu _1((E\setminus F)\cap A_j)=\nu _1(E\cap A_j)-\nu _1(F\cap A_j)\\ &=\nu _2(E\cap A_j)-\nu _2(F\cap A_j)=\nu _2((E\setminus F)\cap A_j). \end {aligned} \]
• \(\mathcal D_j\) jest \(\lambda \)-układem.
• Z powyższych punktów i Twierdzenia 1.1.27 wynika, że \(\sigma (\mathcal A)\supset \mathcal D_j\supset \lambda (\mathcal A)=\sigma (\mathcal A)\).
Dla dowolnego \(B\in \sigma (\mathcal A)\) mamy
\[ \nu _1(B)=\nu _1\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B\cap A_j\right )=\lim _{j\to \infty }\nu _1(B\cap A_j)=\lim _{j\to \infty }\nu _2(B\cap A_j)=\nu _2\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B\cap A_j\right )=\nu _2(B), \]
czyli \(\nu _1=\nu _2\) na \(\sigma (\mathcal A)\).
Obserwacja 1.10.3
1. Warunek (2) w Twierdzeniu 1.10.2 jest równoważny następującemu warunkowi:
\[ \forall \, B_j\in \mathcal A, B_j\subset B_{j+1}, j\in \N : \bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\in \mathcal A \Rightarrow \mu _0\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\lim _{j\to \infty }\mu _0(B_j). \]
2. Jeżeli dodatkowo \(\mu _0(X)<+\infty \), to warunek (2) w Twierdzeniu 1.10.2 jest równoważny następującemu warunkowi:
\[ \forall \, B_j\in \mathcal A, B_j\supset B_{j+1}, j\in \N : \bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\in \mathcal A \Rightarrow \mu _0\left (\bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\lim _{j\to \infty }\mu _0(B_j). \]
Dowód. Punkt \((1)\). Niech \(B_j\in \mathcal A\), \(j\in \N \) będzie wstępującym ciągiem zbiorów takim, że \(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\in \mathcal A\). Zdefiniujmy zbiory
\[ A_1=B_1, \ A_k=B_k\setminus B_{k-1},\ k\geq 2. \]
Wtedy zbory \(A_k\in \mathcal A\) są parami rozłączne, \(B_k=A_1\cup \dots \cup A_k\) oraz \(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j=\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\). Mamy
\[ \mu _0(B_k)=\mu _0(A_1\cup \dots \cup A_k)=\sum _{j=1}^k\mu _0(A_k)\to \sum _{j=1}^{\infty }\mu _0(A_k) =\mu _0\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\mu _0\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right ). \]
Niech teraz \(A_j\in \mathcal A\), \(j\in \N \) będą parami rozłączne i takie, że \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \mathcal A\). Zdefiniujmy zbiory \(B_k=A_1\cup \dots \cup A_k\). Wtedy \(B_j\) jest ciągiem wstępującym i mamy
\[ \sum _{j=1}^{\infty }\mu _0(A_k)\leftarrow \sum _{j=1}^k\mu _0(A_k)=\mu _0(A_1\cup \dots \cup A_k)=\mu _0(B_k)\to \mu _0\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\mu _0\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ). \]
Punkt \((2)\) dowodzi się analogicznie.