W tym podrozdziale będziemy zawsze zakładali, że \((X,\frak M,\mu )\) i \((Y,\frak N,\nu )\) są przestrzeniami mierzalnymi z miarami \(\sigma \)-skończonymi.
Definicja 3.2.1 Na iloczynie kartezjańskim \(X\times Y\) zdefiniujmy \(\sigma \)-algebrę produktową
\(\frak M\otimes \frak N\) jako najmniejszą \(\sigma \)-algebrę zawierającą iloczyny kartezjańskie zbiorów mierzalnych, tzn.
\[ \frak M\otimes \frak N:=\sigma \left (\{A\times B: A\in \frak M, B\in \frak N\}\right )=\sigma \left (\frak M\times \frak N\right ). \]
Miarę \(\varphi \) określoną na przestrzeni mierzalnej \((X\times Y,\frak M\otimes \frak N)\) nazywamy miarą produktową (produktem) miar \(\mu \) i \(\nu \), gdy spełnia następujący warunek
\[ \forall \, A\in \frak M\ \forall \, B\in \frak N: \varphi (A\times B)=\mu (A)\nu (B). \]
Definicja 3.2.2 Dla zbioru \(C\subset X\times Y\) zdefiniujmy zbiory
\[ \begin {aligned} C_x&=\{y\in Y: (x,y)\in C\}, \ \text {dla} \ x\in X;\\ C^y&=\{x\in X: (x,y)\in C\}, \ \text {dla} \ y\in Y. \end {aligned} \]
Podobnie dla funkcji \(f:X\times Y\to \overline {\R }\) zdefiniujmy dla \(x\in X\) i \(y\in Y\) funkcje
\[ \begin {aligned} &f_x:Y\to \overline {\R }, \ f_x(y)=f(x,y); \\ &f^y:X\to \overline {\R }, \ f^y(x)=f(x,y). \end {aligned} \]
Lemat 3.2.3 Niech \(C\in \frak M\otimes \frak N\) i \(f\in \mathcal M(X\times Y,\frak M\otimes \frak N)\). Wówczas:
1. \(\forall \, x\in X: C_x\in \frak N\) oraz \(\forall \, y\in Y: C^y\in \frak M\);
2. \(\forall \, x\in X: f_x\in \mathcal M(Y,\frak N)\) oraz \(\forall \, y\in Y: f^y\in \mathcal M(X,\frak M)\);
3. \(\alpha _C(x):=\nu (C_x)\in \mathcal M(X,\frak M)\) oraz \(\beta _C(y):=\mu (C^y)\in \mathcal M(Y,\frak N)\).
Dowód. Punkt \((1)\). Zdefiniujmy rodzinę zbiorów
\[ \mathcal A=\left \{E\in \frak M\otimes \frak N: \forall \, x\in X \ E_x\in \frak N\right \}. \]
Teza zostanie wykazana, gdy udowodnimy, że \(\mathcal A\) jest \(\sigma \)-algebrą zawierającą iloczyny kartezjańskie zbiorów mierzalnych.
• \(\frak M\times \frak N\subset \mathcal A\).
Niech \(E=A\times B\), \(A\in \frak M\), \(B\in \frak N\). Wtedy dostajemy
\[ E_x=\left \{ \begin {array}{ll} B, & x\in A; \\ \emptyset , & x\notin A, \end {array} \right . \]
z czego wynika, że \(E\in \mathcal A\).
• Jeżeli \(E\in \mathcal A\), to \(E’\in \mathcal A\).
Wystarczy zauważyć, że \((E’)_x=(E_x)’\) dla dowolnego \(x\in X\).
• Jeżeli \(E_j\in \mathcal A\), \(j\in \N \), to \(E=\bigcup _{j=1}^{\infty }E_j\in \mathcal A\).
Wystarczy zauważyć, że \(E_x=\bigcup _{j=1}^{\infty }(E_j)_x\) dla \(x\in X\).
Analogicznie można wykazać drugą część tezy.
Punkt \((2)\). Niech \(V\) będzie zbiorem otwartym w \(\R \), wtedy
\[ E=f^{-1}(V)=\{(x,y): f(x,y)\in V\}\in \frak M\otimes \frak N. \]
Z punktu \((1)\) dostajemy, że przekrój \(E_x=\{y: f_x(y)\in V\}\in \frak N\), z czego wynika, że funkcja \(f_x\in \mathcal M(Y,\frak N)\). Analogicznie można wykazać drugą część tezy.
Punkt \((3)\). Załóżmy na początek, że miara \(\nu \) jest skończona. Zauważmy, że z punktu \((1)\) wynika, że funkcja \(\alpha _C\) jest dobrze zdefiniowana. Zdefiniujmy następującą rodzinę zbiorów
\[ \mathcal D=\left \{C\in \frak M\otimes \frak N: \alpha _C\in \mathcal M(X,\frak M)\right \}. \]
Zauważmy, że rodzina \(\frak M\times \frak N\) jest \(\pi \)-układem, bo dla dowolnych \(A=A_1\times A_2, B=B_1\times B_2\) mamy
\[ A\cap B=(A_1\times A_2)\cap (B_1\times B_2)=(A_1\cap B_1)\times (A_2\cap B_2)\in \frak M\times \frak N. \]
Teza zostanie wykazana, gdy udowodnimy, że \(\mathcal D\) jest \(\lambda \)-układem zawierającym \(\frak M\times \frak N\), bo wtedy z Twierdzenia 1.1.27
\[ \frak M\otimes \frak N\supset \mathcal D\supset \lambda (\frak M\times \frak N)=\sigma (\frak M\times \frak N)=\frak M\otimes \frak N. \]
• \(\frak M\times \frak N\subset \mathcal D\), w szczególności \(X\times Y\in \mathcal D\).
Niech \(E=A\times B\), \(A\in \frak M\), \(B\in \frak N\). Wtedy otrzymujemy
\[ \alpha _E(x)=\left \{ \begin {array}{ll} \nu (B), & x\in A; \\ 0, & x\notin A, \end {array} \right . =\nu (B)\chi _{A} \]
z czego wynika, że \(E\in \mathcal D\).
• Jeżeli \(E,F\in \mathcal D\), \(E\subset F\) to \(F\setminus E\in \mathcal D\).
Wystarczy zauważyć, że \((F\setminus E)_x=F_x\setminus E_x\) i wtedy dostajemy
\[ \alpha _{F\setminus E}(x)=\nu ((F\setminus E)_x)=\nu (F_x\setminus E_x)=\nu (F_x)-\nu (E_x)=\alpha _F(x)-\alpha _E(x). \]
• Załóżmy, że \(E_j\) jest ciągiem wstępującym \(E_j\nearrow E=\bigcup _{j=1}^{\infty }E_j\), wtedy
\((E_j)_x\nearrow E_x=\bigcup _{j=1}^{\infty }(E_j)_x\) i mamy
\[ \alpha _{E_j}(x)=\nu ((E_j)_x)\nearrow \nu \left (E_x\right )=\alpha _{E}(x), \ j\to \infty . \]
Załóżmy teraz, że miara \(\nu \) jest \(\sigma \)-skończona. Wtedy istnieje ciąg zbiorów wstępujących \(Y_j\in \frak N\), \(\nu (Y_j)<+\infty \) oraz \(Y=\bigcup _{j=1}^{\infty }Y_j\). Niech \(\nu _j(B)=\nu (B\cap Y_j)\), wtedy \(\nu _j\) są miarami skończonymi. Zauważmy, że funkcje \((\alpha _C)_j(x)=\nu _j(C_x)\) są mierzalne oraz
\[ (\alpha _C)_j(x)=\nu _j(C_x)=\nu (Y_j\cap C_x)\nearrow \nu (C_x)=\alpha _C(x), \]
z czego wynika, że \(\alpha _C\) jest funkcją mierzalną.
Analogicznie można wykazać drugą część tezy.
Twierdzenie 3.2.4 \(\mathcal B(\R ^n)\otimes \mathcal B(\R ^m)=\mathcal B(\R ^{n+m})\).
Dowód. Aby wykazać inkluzję \(\supset \) zauważmy, że każdy zbiór \(U\in \operatorname {top} (\mathbb R^{n+m})\) można przedstawić w postaci
\[ U=\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\times B_j, \]
gdzie \(A_j\in \operatorname {top}(\mathbb R^n)\), \(B_j\in \operatorname {top}(\mathbb R^m)\), \(j\in \mathbb N\). Wtedy \(U\in \mathcal B(\R ^n)\otimes \mathcal B(\R ^m)\) i inkluzja została wykazana.
Teraz wykażemy inkluzję \(\subset \). Dla dowolnego \(A\subset \mathbb R^n\) zdefiniujmy rodzinę zbiorów
\[ \mathcal F(A)=\left \{B\subset \mathbb R^m: A\times B\in \mathcal B(\R ^{n+m})\right \}. \]
Rodzina ta ma następujące własności:
1. \(\emptyset \in \mathcal F(A)\).
Dla dowodu wystarczy zauważyć, że \(A\times \emptyset =\emptyset \in \mathcal B(\R ^{n+m})\).
2. Jeśli \(B,C\in \mathcal F(A)\), to \(B\setminus C\in \mathcal F(A)\).
Aby to wykazać zauważmy, że \(A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)\).
3. Jeśli \(B_j\in \mathcal F(A)\), \(j\in \mathbb N\), to \(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\in \mathcal F(A)\).
Własność ta wynika z równości \(A\times \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\bigcup _{j=1}^{\infty }(A\times B_j)\).
4. Jeśli \(A\in \operatorname {top}(\mathbb R^n)\), to \(\mathcal F(A)\) jest \(\sigma \)-algebrą zawierającą \(\operatorname {top}(\mathbb R^m)\).
Zauważmy, że gdy \(A\in \operatorname {top}(\mathbb R^n)\), to dla dowolnego \(B\in \operatorname {top}(\mathbb R^n)\), mamy \(A\times B\in \operatorname {top}(\mathbb R^{n+m})\), czyli \(B\in \mathcal F(A)\). Z tego wynika, że \(\mathcal F(A)\) jest \(\sigma \)-algebrą zawierającą \(\operatorname {top}(\mathbb R^m)\).
Zdefiniujmy teraz rodzinę zbiorów
\[ \mathcal A=\left \{A\subset \mathbb R^n: \mathcal B(\R ^{m})\subset \mathcal F(A)\right \}. \]
Z punktu (4) wynika, że \(\operatorname {top}(\mathbb R^n)\subset \mathcal A\). Tak więc, aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że \(\mathcal A\) jest \(\sigma \)-algebrą, bo wtedy \(\mathcal B(\mathbb R^n)\subset \mathcal A\), co daje \(\mathcal B(\R ^{n})\times \mathcal B(\R ^{m})\subset \mathcal B(\R ^{n+m})\), czyli \(\mathcal B(\R ^{n})\otimes \mathcal B(\R ^{m})\subset \mathcal B(\R ^{n+m})\).
• Wykażemy, że jeśli \(A\in \mathcal A\), to \(A’\in \mathcal A\).
Niech \(A\in \mathcal A\) i \(B\in \mathcal B(\R ^{n})\), wtedy \(A\times B\in \mathcal B(\R ^{n+m})\). Mamy również \(A’\times B=(A\times B)’\cap (\R ^n\times B)\in \mathcal B(\R ^{n+m})\), czyli \(B\in \mathcal F(A’)\). Ponieważ \(B\) był dowolnym zbiorem borelowskim to \(\mathcal B(\R ^{m})\subset \mathcal F(A’)\), czyli \(A’\in \mathcal A\).
• Wykażemy, że jeśli \(A_j\in \mathcal A\), \(j\in \mathbb N\), to \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \mathcal A\).
Niech \(A_j\in \mathcal A\), \(j\in \mathbb N\), i \(B\in \mathcal B(\R ^{n})\), wtedy \(A_j\times B\in \mathcal B(\R ^{n+m})\). Mamy również \(\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\times B=\bigcup _{j=1}^{\infty }(A_j\times B)\), czyli \(B\in \mathcal F(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j)\). Ponieważ \(B\) był dowolnym zbiorem borelowskim to \(\mathcal B(\R ^{m})\subset \mathcal F(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j)\), czyli \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \mathcal A\).
Dowód. Wykażemy, że
\[ \mathcal B(\R ^{n+m})\subset \frak L_n\otimes \frak L_m\subset \frak L_{n+m}. \]
Zauważmy, że kostki \(n+m\) wymiarowe należą do \(\frak L_n\otimes \frak L_m\) i kostki te generują rodzinę \(\mathcal B(\R ^{n+m})\), z czego wynika pierwsza inkluzja.
Aby wykazać drugą inkluzję weźmy zbiory \(A\in \frak L_n\) i \(B\in \frak L_m\), wtedy z Twierdzenia 1.7.8 istnieją zbiory \(A_1\subset \R ^n\) i \(B_1\subset \R ^m\) typu \(F_{\sigma }\) oraz zbiory \(C_1\in \frak L_n\), \(\Le ^n(C_1)=0\), \(C_2\in \frak L_m\), \(\Le ^m(C_2)=0\) oraz \(A=A_1\cup C_1\), \(B=B_1\cup C_2\). Wtedy
\[ A\times B=(A_1\times B_1)\cup (A_1\times C_2)\cup (C_1\times B_1)\cup (C_1\times C_2)=(A_1\times B_1)\cup C, \]
ponadto zbiór \(A_1\times B_1\) jest typu \(F_{\sigma }\) oraz
\[ \begin {aligned} \Le ^{n+m}(C)&\leq \Le ^{n+m}(A_1\times C_2)+\Le ^{n+m}(C_1\times B_1)+\Le ^{n+m}(C_1\times C_2)\\ &=\Le ^{n}(A_1)\Le ^{m}(C_2)+\Le ^{n}(C_1)\Le ^{m}(B_1)+\Le ^{n}(C_1)\Le ^{m}(C_2)=0, \end {aligned} \]
czyli \(A\times B\in \frak L_{n+m}\). Z tego wynika, że
\[ \sigma \left (\frak L_n\times \frak L_m\right )=\frak L_n\otimes \frak L_m\subset \frak L_{n+m}. \]
Na koniec wykażemy, że nie ma równości w ostatniej inkluzji. Niech \(A\neq \emptyset \), \(\Le ^n(A)=0\) i niech \(B\notin \frak L_m\). Wtedy \(A\times B\notin \frak L_n\otimes \frak L_m\), bo inaczej z Lematu 3.2.3 zbiór \((A\times B)_x=B\) musiałby być mierzalny. Z drugiej strony \(A\times B\in \frak L_{n+m}\), bo \(A\times B\subset A\times \R ^m\), miara \(\Le ^{n+m}\) jest zupełna i \(\Le ^{n+m}(A\times \R ^m)=0\).
Twierdzenie 3.2.6 (Twierdzenie o istnieniu miary produktowej) Załóżmy, że \(\mu \), \(\nu \) są miarami \(\sigma \)-skończonymi. Wtedy istnieje dokładnie jedna miara produktowa
\[\mu \otimes \nu :\frak M\otimes \frak N\to [0,+\infty ]\]
taka, że
\[ \forall \, A\in \frak M, \forall \, B\in \frak N: \mu \otimes \nu (A\times B)=\mu (A)\nu (B). \]
Dowód. Niech \(C\in \frak M\otimes \frak N\) wtedy z Lematu 1.1.22 funkcja \(\alpha _C\geq 0\) jest mierzalna i możemy z Twierdzenia 2.1.32 zdefiniować miarę
\[ \mu \otimes \nu (C)=\int _{X}\alpha _C(x)\,d\mu (x). \]
Dla \(A\in \frak M\) i \(B\in \frak N\) mamy
\[ \mu \otimes \nu (A\times B)=\int _{X}\alpha _{A\times B}(x)\,d\mu (x)=\int _{X}\nu (B)\chi _{A}(x)\,d\mu (x)=\mu (A)\nu (B). \]
Teraz wykażemy jedyność miary produktowej. Złóżmy dla dowodu nie wprost, że istnieją dwie miary produktowe \(\lambda _1\) i \(\lambda _2\). Ponieważ miary są \(\sigma \)-skończone, to istnieją zbiory parami rozłączne \(X_j\in \frak M\), \(\mu (X_j)<+\infty \), \(\bigcup _{j=1}^{\infty }X_j=X\) oraz zbiory parami rozłączne \(Y_k\in \frak N\), \(\nu (Y_k)<+\infty \), \(\bigcup _{k=1}^{\infty }Y_k=Y\).
Zdefiniujmy rodziny zbiorów
\[ \mathcal A_{j,k}=\{E\in \frak M\otimes \frak N: \lambda _1(E\cap (X_j\times Y_k))=\lambda _2(E\cap (X_j\times Y_k))\}. \]
Pokażemy, że \(\mathcal A_{j,k}=\frak M\otimes \frak N\). Zauważmy, że wystarczy wykazać, że \(\mathcal A_{j,k}\) jest \(\lambda \)-układem zawierającym \(\frak M\times \frak N\), bo wtedy z Twierdzenia 1.1.27
\[ \frak M\otimes \frak N\supset \mathcal A_{j,k}\supset \lambda (\frak M\times \frak N)=\sigma (\frak M\times \frak N)=\frak M\otimes \frak N. \]
a) \(\frak M\times \frak N\subset \mathcal A_{j,k}\), w szczególności \(X\times Y\in \mathcal A_{j,k}\).
Wynika to z faktu, że \(\lambda _1\) i \(\lambda _2\) to miary produktowe.
b) Niech \(E_n\in \mathcal A_{j,k}\) będzie wstępującym ciągiem zbiorów, \(E_n\nearrow E=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_n\). Wtedy
\[ \lambda _1(E\cap (X_j\times Y_k))=\lim _{n\to \infty }\lambda _1(E_n\cap (X_j\times Y_k))=\lim _{n\to \infty }\lambda _2(E_n\cap (X_j\times Y_k))= \lambda _2(E\cap (X_j\times Y_k)), \]
z czego wynika, że \(E\in \mathcal A_{j,k}\).
c) Jeżeli \(E,F\in \mathcal A_{j,k}\), \(E\subset F\), to \(F\setminus E\in \mathcal A_{j,k}\) i otrzymujemy
\[ \begin {aligned} &\lambda _1((F\setminus E)\cap (X_j\times Y_k))=\lambda _1\left ((F\cap (X_j\times Y_k)\setminus (E\cap (X_j\times Y_k))\right )=\\ &=\lambda _1(F\cap (X_j\times Y_k))-\lambda _1(E\cap (X_j\times Y_k))=\lambda _2(F\cap (X_j\times Y_k))-\lambda _2(E\cap (X_j\times Y_k))\\ &= \lambda _2\left ((F\cap (X_j\times Y_k)\setminus (E\cap (X_j\times Y_k))\right )=\lambda _2((F\setminus E)\cap (X_j\times Y_k)). \end {aligned} \]
Zdefiniujmy teraz rodzinę zbiorów
\[ \mathcal A=\{E\in \frak M\otimes \frak N: \lambda _1(E)=\lambda _2(E)\}. \]
Wykażemy, że \(\mathcal A=\frak M\otimes \frak N\). Zauważmy, że wystarczy jak poprzednio wykazać, że \(\mathcal A\) jest \(\lambda \)-układem zawierającym \(\frak M\times \frak N\). Punkty (a) i (b) wykazuje się analogicznie. Pozostaje do wykazania punkt (c): jeżeli \(E,F\in \mathcal A\), \(E\subset F\), to \(F\setminus E\in \mathcal A\). Niech \(F_{j,k}=F\cap (X_j\times Y_k)\) oraz \(E_{j,k}=E\cap (X_j\times Y_k)\), wtedy dostajemy
\[ \begin {aligned} &\lambda _1(F\setminus E)=\lambda _1\left (\bigcup _{j,k=1}^{\infty }(F_{j,k}\setminus E_{j,k})\right )=\sum _{j,k=1}^{\infty }\lambda _1(F_{j,k}\setminus E_{j,k}) =\sum _{j,k=1}^{\infty }\left (\lambda _1(F_{j,k})-\lambda _1(E_{j,k})\right )\\ &=\sum _{j,k=1}^{\infty }\left (\lambda _2(F_{j,k})-\lambda _2(E_{j,k})\right )=\sum _{j,k=1}^{\infty }\lambda _2(F_{j,k}\setminus E_{j,k})=\lambda _2 \left (\bigcup _{j,k=1}^{\infty }(F_{j,k}\setminus E_{j,k})\right )=\lambda _2(F\setminus E). \end {aligned} \]
Twierdzenie 3.2.7 (Zasada Cavaleriego2) Niech \(\mu \), \(\nu \) będą miarami \(\sigma \)-skończonymi. Jeżeli \(C\in \frak M\otimes \frak N\), to \(\alpha _C\in \mathcal M(X)\), \(\beta _C\in \mathcal M(Y)\) oraz
\[ \mu \otimes \nu (C)=\int _{X}\alpha _C(x)\,d\mu (x)=\int _{Y}\beta _C(y)\,d\nu (y). \]
Dowód. Wynika z Lematu 3.2.3 i Twierdzenia 3.2.6.
Przykład 3.2.8 Dla zbioru \(C=\{(x,y)\in [0,1]^2:0\leq y\leq x^2\}\subset \R \times \R \) i miary produktowej \(\Le ^1\otimes \Le ^1\) mamy
\[ C_x=\left \{ \begin {array}{ll} [0,x^2], & x\in [0,1]; \\ \emptyset , & x\notin [0,1], \end {array} \right . \ \text {oraz} \‚\alpha _C(x)=\left \{ \begin {array}{ll} \Le ^1([0,x^2])=x^2, & x\in [0,1]; \\ \Le ^1(\emptyset )=0, & x\notin [0,1] \end {array} \right . \]
i wtedy
\[ \Le ^1\otimes \Le ^1(C)=\int _{\R }\alpha _C(x)\,d\Le ^1(x)=\int _{[0,1]}x^2\,d\Le ^1(x)=\frac 13. \]
Twierdzenie 3.2.9 (Twierdzenie Tonellego3) Niech \(\mu \), \(\nu \) będą miarami \(\sigma \)-skończonymi. Załóżmy, że \(f\in \mathcal M^+(X\times Y,\frak M\otimes \frak N)\) i zdefiniujmy funkcje
\[ \tilde \alpha (x):=\int _Yf_x\,d\nu , \ x\in X \ \text {oraz} \ \tilde \beta (y):=\int _Xf^y\,d\mu , \ y\in Y. \]
Wówczas \(\tilde \alpha \in \mathcal M^+(X)\) i \(\tilde \beta \in \mathcal M^+(Y)\) oraz
\[ \int _{X\times Y}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _X\tilde \alpha \,d\mu =\int _Y\tilde \beta \,d\nu . \]
Równość powyższą można również zapisać w postaci
\[ \int _{X\times Y}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _X\left (\int _Yf(x,y)\,d\nu (y)\right )\,d\mu (x)=\int _Y\left (\int _Xf(x,y)\,d\mu (x)\right )\,d\nu (y). \]
Dowód. Z Lematu 3.2.3 wiemy, że funkcje \(f_x\) i \(f^y\) są poprawnie określone i mierzalne.
a) Niech \(f=\chi _C\), dla \(C\in \frak M\otimes \frak N\). Wtedy \(\tilde \alpha (x)=\nu (C_x)=\alpha _C(x)\), \(\tilde \beta (y)=\mu (C^y)=\beta _C(y)\) i otrzymujemy
\[ \begin {aligned} &\int _{X\times Y}\chi _C\,d(\mu \otimes \nu )=\mu \otimes \nu (C), \\ &\int _X\tilde \alpha (x)\,d\mu (x)=\int _X\alpha _C(x)\,d\mu (x)=\mu \otimes \nu (C),\\ &\int _Y\tilde \beta (y)\,d\nu (y)=\int _Y\beta _C(y)\,d\nu (y)=\mu \otimes \nu (C). \end {aligned} \]
b) Jeżeli \(f\in \mathcal M^+_0(X\times Y,\frak M\otimes \frak N)\), to \(f\) jest kombinacją liniową funkcji charakterystycznych zbiorów mierzalnych i teza wynika z punktu (a).
c) Jeżeli \(f\in \mathcal M^+(X\times Y,\frak M\otimes \frak N)\), to \(f\) jest granicą rosnącego ciągu funkcji mierzalnych prostych i teza wynika z punktu (b) i twierdzenia o monotonicznym przejściu pod znakiem całki (Twierdzenie 2.1.22).
Przykład 3.2.10 Niech \(C=\{(x,y)\in \R ^2: x^2+y^2\leq 1\}\) i \(f(x,y)=y^2\sqrt {1-x^2}\chi _{C}\). Wtedy
\[ \begin {aligned} &\int _Cf(x,y)\,d(\Le ^1\otimes \Le ^1)=\int _{[-1,1]}\left (\int _{[-\sqrt {1-x^2},\sqrt {1-x^2}]}y^2\sqrt {1-x^2}\,d\Le ^1(y)\right )\,d\Le ^1(x)\\ &=\int _{[-1,1]}\frac 23(1-x^2)^2\,d\Le ^1(x)=\frac {42}{35}. \end {aligned} \]
Ćwiczenie 3.2.11 Niech \(\mu \) będzie miarą \(\sigma \)-skończoną i \(f\geq 0\), \(f\in L^1(X,\mu )\). Wtedy
\[ \int _Xf\,d\mu =(\mu \otimes \Le ^1)(\{(x,y)\in X\times \R : 0\leq y\leq f(x)\}). \]
Obserwacja 3.2.12 Niech \(\mu \), \(\nu \) będą miarami \(\sigma \)-skończonymi. Jeżeli funkcja
\(f\in L^1(X\times Y,\frak M\otimes \frak N)\), to \(f_x\in L^1(Y,\nu )\) dla \(\mu \)-p.w. \(x\in X\) oraz \(f^y\in L^1(X,\mu )\) dla \(\nu \)-p.w. \(y\in Y\).
Dowód. Niech \(f=f_+-f_-\), wtedy \(f_+,f_-\) są całkowalne. Stosując do nich Twierdzenie Tonellego dostajemy \(\tilde \alpha _+, \tilde \alpha _-\in L^1(X,\mu )\) i wtedy
\[ \begin {aligned} &\tilde \alpha _+(x)<+\infty , \ \text {dla} \ \mu -\text {p.w.} \ x\in X \ \Rightarrow (f_x)_+\in L^1(Y,\nu ) \ \text {dla} \ \mu -\text {p.w.} \ x\in X,\\ &\tilde \alpha _-(x)<+\infty , \ \text {dla} \ \mu -\text {p.w.} \ x\in X \ \Rightarrow (f_x)_-\in L^1(Y,\nu ) \ \text {dla} \ \mu -\text {p.w.} \ x\in X, \end {aligned} \]
czyli \(f_x=(f_x)_+-(f_x)_-\in L^1(Y,\nu )\) dla \(\mu \)-p.w. \(x\in X\).
Dowód jest analogiczny dla funkcji \(f^y\).
Twierdzenie 3.2.13 (Twierdzenie Fubiniego4) Niech \(\mu \), \(\nu \) będą miarami \(\sigma \)-skończonymi. Załóżmy, że \(f\in L^1(X\times Y,\frak M\otimes \frak N)\) i zdefiniujmy funkcje
\[ \widetilde {\widetilde { \alpha }}(x):=\left \{ \begin {array}{ll} \int _Yf_x\,d\nu , & x: f_x\in L^1(Y,\nu ); \\ 0, & x: f_x\notin L^1(Y,\nu ), \end {array} \right . \]
oraz
\[ \widetilde {\widetilde { \beta }}(y):=\left \{ \begin {array}{ll} \int _Xf^y\,d\mu , & y: f^y\in L^1(X,\mu ); \\ 0, & y: f^y\notin L^1(X,\mu ). \end {array} \right . \]
Wówczas \(\widetilde {\widetilde { \alpha }}\in L^1(X,\mu )\) i \(\widetilde {\widetilde { \beta }}\in L^1(Y,\nu )\) oraz
\[ \int _{X\times Y}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _X\widetilde {\widetilde { \alpha }}\,d\mu =\int _Y\widetilde {\widetilde { \beta }}\,d\nu . \]
Równość powyższą można również zapisać w postaci
\[ \int _{X\times Y}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _X\left (\int _Yf(x,y)\,d\nu (y)\right )\,d\mu (x)=\int _Y\left (\int _Xf(x,y)\,d\mu (x)\right )\,d\nu (y). \]
Dowód. Niech \(f\in L^1(X\times Y,\frak M\otimes \frak N)\), wtedy \(f=f_+-f_-\) i \(f_+,f_-\geq 0\) są całkowalne. Mamy również \(\widetilde {\widetilde { \alpha }}=\widetilde {\widetilde { \alpha }}_+-\widetilde {\widetilde { \alpha }}_-\in L^1(X,\mu )\) oraz \(\widetilde {\widetilde { \alpha }}_+,\widetilde {\widetilde { \alpha }}_-\in L^1(X,\mu )\). Twierdzenie Tonellego zachodzi dla par funkcji \(\widetilde {\widetilde { \alpha }}\) i \(f_+\) oraz \(\widetilde {\widetilde { \alpha }}_-\) i \(f_-\). Wszystkie otrzymane całki są kończone, po ich odjęciu dostajemy tezę.
Dowód jest analogiczny dla funkcji \(f^y\) i \(\widetilde {\widetilde { \beta }}\).
Poniższy przykład pokazuje, że Twierdzenie Fubiniego nie jest prawdziwe dla miar, które nie są \(\sigma \)-skończone.
Przykład 3.2.14 Niech \(\mu \) będzie miarą liczącą, \((\R ^2,\mathcal P(\R )\otimes \frak L_1,\mu \otimes \Le ^1)\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą i niech
\[ f(x,y)=\left \{ \begin {array}{ll} 1, & x=y; \\ 0, & x\neq y. \end {array} \right . \]
Wtedy
\[ \begin {aligned} &\int _{\R }\left (\int _{\R }f(x,y)\,d\mu (x)\right )\,d\Le ^1(y)=\int _{\R }1\,d\Le ^1(y)=+\infty , \\ &\int _{\R }\left (\int _{\R }f(x,y)\,d\Le ^1(y)\right )\,d\mu (x)=\int _{\R }0\,d\mu (x)=0. \end {aligned} \]
Teza Twierdzenia Tonellego, tzn. równość całek iterowanych, nie zachodzi ponieważ \(\mu \) nie jest miarą \(\sigma \)-skończoną.
Podamy teraz przykład pokazujący, że Twierdzenie Fubiniego nie jest prawdziwe dla funkcji, które nie są całkowalne.
Przykład 3.2.15 Niech \((\R ^2,\frak L_1\otimes \frak L_1,\Le ^1\otimes \Le ^1)\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą i niech
\[ f(x,y)=\left \{ \begin {array}{ll} 1, & x\geq 0, x\leq y<x+1; \\ -1, & x\geq 0, x+1\leq y<x+2;\\ 0, & \text {w pozostaÅĆych przypadkach}. \end {array} \right . \]
Wtedy
\[ \begin {aligned} &\int _{\R }\left (\int _{\R }f(x,y)\,d\Le ^1(x)\right )\,d\Le ^1(y)=\int _0^1y\,d\Le ^1(y)+\int _1^2(2-y)\,d\Le ^1(y)=1, \\ &\int _{\R }\left (\int _{\R }f(x,y)\,d\Le ^1(y)\right )\,d\Le ^1(x)=\int _{\R }0\,d\Le ^1(x)=0. \end {aligned} \]
Teza Twierdzenia Fubiniego, tzn. równość całek iterowanych, nie zachodzi ponieważ funkcja \(f\) nie jest całkowalna.
Przykład 3.2.16 Niech \(f_n:\R \to \R _+\), \(n\in \N \). Ciąg funkcji \(f_n\) można utożsamić z funkcją \(f:\N \times \R \to \R _+\). Na zbiorze \(\N \times \R \) weźmy miarę produktową \(\mu \otimes \Le ^1:\mathcal P(\N )\otimes \frak L_1\to [0,+\infty ]\), gdzie \(\mu \) jest miarą liczącą. Z twierdzenia Tonellego wynika twierdzenie o całkowaniu szeregu funkcyjnego
\[ \begin {aligned} &\int _{\R }\left (\sum _{n=1}^{\infty }f_n(x)\right )\,d\Le ^1(x)=\int _{\R }\left (\int _{\N }f(n,x)\,d\mu (y)\right )\,d\Le ^1(x)=\int _{\N \times \R }f(n,x)\,d(\mu \otimes \Le ^1)(n,x)\\ &=\int _{\N }\left (\int _{\R }f(n,x)\,d\Le ^1(x)\right )\,d\mu (y)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\R }f_n(x)\,d\Le ^1(x). \end {aligned} \]
Przestrzeń \((X\times Y,\frak M\otimes \frak N,\mu \otimes \nu )\) nie musi być zupełna, nawet gdy miary \(\mu \), \(\nu \) są zupełne. Stosując konstrukcję Carathéodory’ego można ją uzupełnić do przestrzeni
\((X\times Y,\overline {\frak M\otimes \frak N},\overline {\mu \otimes \nu })\).
Będziemy potrzebować następującej obserwacji.
Obserwacja 3.2.17 Niech \((X,\frak A, \alpha )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą i niech \((X,\overline {\frak A}, \overline {\alpha })\) będzie jej uzupełnieniem. Wtedy dla
dowolnej funkcji \(f\in \mathcal M(X,\overline {\frak A})\) istnieje funkcja
\(g\in \mathcal M(X,\frak A)\) taka, że \(f=g\) \(\alpha \)-p.w.
Dowód. Zauważmy, że wystarczy wykazać tezę dla \(f\geq 0\). Wtedy istnieje ciąg funkcji mierzalnych prostych \(f_n\nearrow f\), \(f_n=\sum _{j=1}^{k(n)}a_j^n\chi _{A_j^n}\), gdzie \(A_j^n\in \overline {\frak A}\). Z Twierdzenia 1.5.4 mamy \(A_j^n=B_j^n\cup C_j^n\), gdzie \(B_j^n\in \frak A\) oraz istnieją \(Z_j^n\in \frak A\), \(\alpha (Z_j^n)=0\) i \(C_j^n\subset Z_j^n\). Zdefiniujmy zbiór \(Z=\bigcup _{j,n}Z_j^n\in \frak A\) i zauważmy, że \(\alpha (Z)=0\). Niech
\[ g_n=\sum _{j=1}^{k(n)}a_j^n\chi _{B_j^n\setminus Z}, \]
wtedy \(g_n\in \mathcal M^+_0(X,\frak A)\) jest ciągiem rosnącym do pewnej funkcji \(g\in \mathcal M^+(X,\frak A)\). Skoro \(g_n(x)=f_n(x)\) dla \(x\notin Z\), to \(g=f\) \(\alpha \)-p.w.
Obserwacja 3.2.18 Niech \(\mu \), \(\nu \) będą miarami zupełnymi i \(\sigma \)-skończonymi. Wtedy
1. jeżeli \(C\in \overline {\frak M\otimes \frak N}\), to \(C_x\in \frak N\) dla \(\mu \)-p.w. \(x\in X\) oraz \(C^y\in \frak M\) dla \(\nu \)-p.w. \(y\in Y\);
2. jeżeli \(f\in \mathcal M(X\times Y,\overline {\frak M\otimes \frak N})\), to \(f_x\in \mathcal M(Y,\nu )\) dla \(\mu \)-p.w. \(x\in X\) oraz \(f^y\in \mathcal M(X,\mu )\) dla \(\nu \)-p.w. \(y\in Y\).
Dowód. Punkt \((1)\). Niech \(C\in \overline {\frak M\otimes \frak N}\), wtedy z Twierdzenia 1.5.4 \(C=A\cup B\), gdzie \(A\in \frak M\otimes \frak N\) oraz istnieje \(Z\in \frak M\otimes \frak N\), \(\mu \otimes \nu (Z)=0\) i \(B\subset Z\). Z Lematu 3.2.3 mamy \(C_x=A_x\cup B_x\), \(A_x\in \frak N\), \(B_x\subset Z_x\). Korzystając z Zasady Cavaleriego otrzymujemy
\[ \mu \otimes \nu (Z)=\int _X\nu (Z_x)\,d\mu =0. \]
Z Obserwacji 2.1.10 mamy \(\nu (Z_x)=0\) \(\mu \)-p.w. \(x\in X\), czyli z zupełności miary \(\nu \) dostajemy \(\nu (B_x)=0\) \(\mu \)-p.w. \(x\in X\). Z tego wynika, że \(C_x\in \frak N\) dla \(\mu \)-p.w. \(x\in X\).
Dowód jest analogiczny dla zbiorów \(C^y\).
Punkt \((2)\). Niech \(f\in \mathcal M(X\times Y,\overline {\frak M\otimes \frak N})\), wtedy z Obserwacji 3.2.17 istnieje funkcja \(g\in \mathcal M(X\times Y,\frak M\otimes \frak N)\) taka, że \(f=g\) na zbiorze \(X\times Y\setminus Z\) i \(\mu \otimes \nu (Z)=0\). Z dowodu punktu (1) wynika wtedy, że \(\nu (Z_x)=0\) dla \(\mu \)-p.w. \(x\in X\), czyli \(g_x=f_x\) dla \(x\notin Z_x\), co daje nam \(f_x\in \mathcal M(Y,\nu )\) dla \(\mu \)-p.w. \(x\in X\).
Twierdzenie 3.2.19 Mamy \(\frak L_{n+m}=\overline {\frak L_n\otimes \frak L_m}\) oraz \(\Le ^{n+m}=\overline {\Le ^n\otimes \Le ^m}\). Ponadto jeżeli \(C\in \frak L_{n+m}\), to \(C_x\in \frak L_m\) dla \(\Le ^{n}\)-p.w. \(x\in \R ^n\) oraz \(C^y\in \frak L_n\) dla \(\Le ^m\)-p.w. \(y\in \R ^m\).
Dowód. Z Obserwacji 3.2.5 wiemy, że \(\frak L_n\otimes \frak L_m\subset \frak L_{n+m}\), czyli \(\overline {\frak L_n\otimes \frak L_m}\subset \frak L_{n+m}\). Teraz wykażemy inkluzję przeciwną.
Zauważmy, że miary \(\Le ^{n+m}\) i \(\Le ^n\otimes \Le ^m\) są borelowskie, niezmiennicze względem przesunięć i przyjmują te same wartości na kostkach \(n+m\)-wymiarowych. Z Twierdzenia 1.8.3 wynika, że \(\Le ^{n+m}=\Le ^n\otimes \Le ^m\) na \(\mathcal B(\R ^{n+m})\). Niech teraz \(Q\in \frak L_{n+m}\), wtedy korzystając z Twierdzenia 1.7.8 mamy
\[ \begin {aligned} &Q=B_1\cup C_1, \ B_1-\text {typu} \ F_{\sigma },\ B_1\in \mathcal B(\R ^{n+m}), \ \Le ^{n+m}(C_1)=0; \\ &Q=B_2\setminus C_2, \ B_2-\text {typu} \ G_{\delta },\ B_2\in \mathcal B(\R ^{n+m}),\ \Le ^{n+m}(C_2)=0. \end {aligned} \]
Z powyższych równości wynika, że \(B_1\subset Q\subset B_2\), \(B_1, B_2\in \mathcal B(\R ^{n+m})\) i \(\Le ^{n+m}(B_2\setminus B_1)=0\). Zatem
\[ \Le ^n\otimes \Le ^m(B_2\setminus B_1)=\Le ^{n+m}(B_2\setminus B_1)=0 \]
czyli \(Q\in \overline {\frak L_n\otimes \frak L_m}\). Ponadto
\[ \overline {\Le ^n\otimes \Le ^m}(Q)=\Le ^n\otimes \Le ^m(B_1)=\Le ^{n+m}(B_1)=\Le ^{n+m}(Q). \]
Tak więc \(\Le ^{n+m}=\overline {\Le ^n\otimes \Le ^m}\) na \(\frak L_{n+m}\), z czego wynika, że \(\frak L_{n+m}\) jest uzupełnieniem \(\sigma \)-algebry \(\frak L_n\otimes \frak L_m\) względem miary \(\Le ^n\otimes \Le ^m\).
Punkt \((2)\) wynika z Obserwacji 3.2.18.
Uwaga 3.2.20 Jeżeli miary \(\mu \) i \(\nu \) są zupełne i \(\sigma \)-skończone to Zasada Cavaleriego, Twierdzenie Tonellego i Twierdzenie Fubiniego pozostają prawdziwe, gdy przestrzeń mierzalną \((X\times Y,\frak M\otimes \frak N,\mu \otimes \nu )\) zastąpimy jej uzupełnieniem \((X\times Y,\overline {\frak M\otimes \frak N},\overline {\mu \otimes \nu })\).
Uwaga 3.2.21 Twierdzenie Tonellego i Twierdzenie Fubiniego pozostają prawdziwe dla funkcji \(f:A\to \overline {\R }\), gdzie \(A\in \frak M\otimes \frak N\) (lub \(A\in \overline {\frak M\otimes \frak N}\)).
2 Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) – włoski matematyk i astronom.
3 Leonida Tonelli (1885–1946) – włoski matematyk.
4 Guido Fubini (1879-1943) – włoski matematyk.