Teoria miary i całki

Definicja 1.2.1 Niech \(X\) będzie przestrzenią topologiczną i niech \(\operatorname {top} X\) będzie rodziną zbiorów otwartych na \(X\) a \(\operatorname {cotop} X\) będzie rodziną zbiorów domkniętych na \(X\). \(\sigma \)-algebrę

\[ \mathcal B(X):=\sigma (\operatorname {top} X) \]

generowaną przez rodzinę wszystkich zbiorów otwartych nazywamy \(\sigma \)-algebrą zbiorów borelowskich, a zbiory należące do niej nazywamy zbiorami borelowskimi.

Definicja 1.2.2 Zbiór \(Y\subset X\) nazywamy

• 1. zbiorem typu \(G_{\delta }\), jeżeli

  \[ \exists \, G_j\in \operatorname {top} X, j\in \N , \ Y=\bigcap _{j=1}^{\infty }G_j; \]

• 2. zbiorem typu \(F_{\sigma }\), jeżeli

  \[ \exists \, F_j\in \operatorname {cotop} X, j\in \N , \ Y=\bigcup _{j=1}^{\infty }F_j. \]

Obserwacja 1.2.3 W dowolnej przestrzeni topologicznej zachodzi:

• 1. \(\mathcal B(X)=\sigma (\operatorname {cotop}X)\);

• 2. zbiory typu \(G_{\delta }\) i \(F_{\sigma }\) są borelowskie.

Obserwacja 1.2.4 Każda z poniższych rodzin generuje \(\sigma \)-algebrę zbiorów borelowskich \(\mathcal B(\R )\):

• 1. \(\left \{(a,b): a,b\in \R \right \}\);

• 2. \(\left \{(-\infty ,b): b\in \R \right \}\);

• 3. \(\left \{(-\infty ,b]: b\in \R \right \}\);

• 4. \(\left \{(-\infty ,b): b\in \Q \right \}\);

• 5. \(\left \{(-\infty ,b]: b\in \Q \right \}\).

Twierdzenie 1.2.5 \(\# \mathcal B(\R ^n)=\mathfrak c\).