Teoria miary i całki

Zadanie 2.3.1 Niech \((X,\frak M)\) będzie przestrzenią mierzalną, \(x\in X\) i niech \(f\) będzie funkcją na \(X\). Wykazać, że \(\int _Xf\,d\delta _x=f(x)\).

Zadanie 2.3.2 Niech \((X,\frak M)\) będzie przestrzenią mierzalną, \(\mu _n\) niech będą miarami oraz \(a_n\in \mathbb R\), \(n\in \mathbb N\). Wykazać, że \(\mu =\sum _{n=1}^{\infty }a_n\mu _n\) jest miarą oraz dla dowolnej funkcji \(f\in L^1(X,\mu )\) zachodzi

\[ \int _{X}f\,d\mu =\sum _{n=1}^{\infty }a_n\int _Xf\,d\mu _n. \]

Zadanie 2.3.3 Niech \(f\in L^1([a,b],\Le ^1|_{[a,b]})\). Udowodnić, że funkcja

\[ F(x)=\int _{[a,x]}f\,d\Le ^1|_{[a,b]}, \ x\in [a,b] \]

jest ciągła.

Zadanie 2.3.4 Niech \(f:[a,b]\to \R \) będzie funkcją ciągłą.

• 1. Udowodnić, że funkcja

  \[ F(x)=\int _{[a,x]}f\,d\Le ^1|_{[a,b]}, \ x\in [a,b] \]

  jest różniczkowalna na odcinku \((a,b)\) oraz \(F’(x)=f(x)\), \(x\in (a,b)\).

• 2. Jeżeli funkcja \(G\in \mathcal C([a,b])\) jest funkcją pierwotną \(f\), to

  \[ \int _{[a,b]}f\,d\Le ^1|_{[a,b]}=G(b)-G(a). \]

Zadanie 2.3.5 Niech \((X,\frak M, \mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą, \(\mu (X)<+\infty \) oraz \(f\in \mathcal M(X)\). Wykazać, że następujące warunki są równoważne

• 1. \(f\in L^1(X,\mu )\);

• 2. szereg \(\sum _{n=1}^{\infty }n\mu (\{x\in X: n\leq |f(x)|<n+1\})\) jest zbieżny;

• 3. szereg \(\sum _{n=1}^{\infty }\mu (\{x\in X: n\leq |f(x)|\})\) jest zbieżny.

Zadanie 2.3.6 Niech \((X,\frak M, \mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą i \(f\in \mathcal M(X)\). Udowodnić, że \(f\in L^1(X,\mu )\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(g\in L^1((0,+\infty ),\Le ^1)\), gdzie
\(g(t)=\mu (\{x\in X: |f(x)|>t\})\), \(t>0\). Ponadto, gdy spełnione są powyższe warunki, to

\[ \int _X|f|\,d\mu =\int _{(0,+\infty )}g\,d\Le ^1. \]

Zadanie 2.3.7 Podać przykład zbioru ograniczonego \(A\subset \R ^n\) takiego, że \(\Le ^n(\partial A)>0\).

Zadanie 2.3.8 Niech \((X,\mathfrak {M},\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą skończoną \(\mu \) i niech \(f:X\to \mathbb R\) będzie funkcją \(\mathfrak {M}-\)mierzalną. Wykazać, że istnieje funkcja \(\mathfrak {M}-\)mierzalna \(g:X\to (0,\infty )\) taka, że

\[ \int _{X}|fg|d\mu <\infty . \]

Zadanie 2.3.9 Obliczyć

\[ \int \limits _{[0,\infty )}\sum _{n=0}^{\infty }\frac {1}{4^n+x^2}\,d\Le ^1(x). \]

Zadanie 2.3.10 Niech dana będzie miara borelowska \(\mu \) na \(\mathbb R\) taka, że dla dowolnego zbioru borelowskiego \(A\subset \mathbb R\)

\[ \mu (A)= \int _A |x+1| \, d{\mathcal L}^1(x). \]

Obliczyć

\[ \lim _{n\to +\infty } \int _{(0,1)} nx\sin \dfrac {1}{nx}\, d\mu (x) . \]

Zadanie 2.3.11 Obliczyć granicę

\[ \lim _{n\to \infty }\int _0^{+\infty }\frac {1}{\sqrt x+x^{n+2}}\,d\mathcal L^1(x). \]

Odpowiedź uzasadnić.

Zadanie 2.3.12 Obliczyć granicę

\[ \lim _{n\to \infty }\int \limits _{[0,2]}\frac {\sin (\pi x)}{1+x^n}d\Le ^1(x). \]

Zadanie 2.3.13 Sprawdzić, czy funkcja

\[ f(x,y)=\left [ \frac {16}{x^2+y^2+7}\right ] \]

jest funkcją prostą (\([a]\) - oznacza część całkowitą z liczby \(a\in \mathbb R\)). Obliczyć całkę \(\int _{\mathbb R^2}f\,d\Le ^2\).

Zadanie 2.3.14 Pokazać, że funkcja określona wzorem

\[ \mu :{\mathcal P}(\mathbb R)\ni A\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }\delta _{\frac {1}{n}}(A)\in [0,+\infty ] \]

jest miarą (\(\delta _a\) - oznacza miarę Diraca w punkcie \(a\in \mathbb R\)) i obliczyć całkę:

\[ \int \limits _{(0,2014]} 2^{-\frac {1}{x}}d\mu . \]

Zadanie 2.3.15 Obliczyć granicę

\[ \lim _{n\to \infty } \int _{(2,5)} (3^n+x^n)^{\frac 1n}\,d\Le ^1(x). \]

Zadanie 2.3.16 Obliczyć granicę

\[ \lim _{n\to +\infty }\int \limits _0^n\left (1+\frac {x}{n}\right )^ne^{-2x}\,d\Le ^1(x). \]

Zadanie 2.3.17 Obliczyć

\[ \int _0^{\frac {\pi }2}\sum _{n=1}^\infty {\frac {n\sin nx}{2^n}}\,d\Le ^1(x). \]

Zadanie 2.3.18 Obliczyć granicę

\[ \lim _{n\to +\infty }\int \limits _0^{\infty }\frac {(\frac 12+x)^n}{(\frac 12+x)^n+1}e^{-2x}\,d\Le ^1(x). \]

Zadanie 2.3.19 Obliczyć granicę

\[ \lim _{n\to \infty }\int _{[1,\infty )}{(x-1)^n\over (x-1)^nx^2+1}\,d\mathcal L^1(x) \]

i uzasadnić poprawność przeprowadzonych obliczeń.

Zadanie 2.3.20 Obliczyć granicę

\[ \lim _{n\to \infty } \int _0^\infty \sqrt [n]{1+x^n} e^{-3x}\,d\mathcal L^1(x) \]

i uzasadnić poprawność przeprowadzonych obliczeń.

Zadanie 2.3.21 Obliczyć granicę

\[ \lim _{n\to \infty } \int _0^n \frac {x^{n-\frac 12}e^{-\frac xn}}{x^n+1}\ln x\,d\mathcal L^1(x) \]

i uzasadnić poprawność przeprowadzonych obliczeń.

Zadanie 2.3.22 Niech \(f\) będzie funkcją ciągłą na odcinku \([0,1]\). Obliczyć granicę

\[ \lim _{n\to \infty }n\int _0^1f(x)x^{n-1}\,d\mathcal L^1(x). \]

Zadanie 2.3.23 Znaleźć wszystkie borelowskie miary probabilistyczne \(\mu \) na \([0,1]\) spełniające warunek

\[ \int _{[0,1]}x d\mu (x) = 1. \]

Zadanie 2.3.24 Znaleźć wszystkie miary \(\mu \) na \(\mathcal B(\mathbb R)\) takie, że dla dowolnej funkcji ciągłej \(f:\mathbb R\to [0,1]\) zachodzi

\[ \int _{\mathbb R} f(x)\,d\mu (x) = f(0) + 2 f(1). \]

Zadanie 2.3.25 Niech \(\mu \) będzie taką probabilistyczną miarą borelowską na \(\mathbb R\), że dla każdego borelowskiego \(A\subset \mathbb R\) zachodzi

\[ \int _A\sin (\pi x)d\mu (x)=0. \]

Wyznaczyć \(\mu (\mathbb Z)\).

Zadanie 2.3.26 (Twierdzenie Łuzina⁶) Niech \(\mu \) będzie miarą regularną na przestrzeni topologicznej \(X\). Jeżeli funkcja \(f: X \to \R \) jest mierzalna, to dla każdej liczby \(\epsilon >0\) istnieje zbiór domknięty \(Y\subset X\) taki, że funkcja \(f|Y\) jest ciągła oraz \(\mu (X\setminus Y)<\epsilon \).

Zadanie 2.3.27 (Twierdzenie Jegorowa⁷) Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą skończoną \(\mu (X)<+\infty \). Niech \(f,f_n\in \mathcal M(X,\frak M)\), \(n\in \N \) i \(f, f_n\) są skończone \(\mu \)-p.w. oraz \(f_n\to f\), \(n\to \infty \) \(\mu \)-p.w. Wtedy dla dowolnego \(\epsilon >0\) istnieje zbiór \(Y\in \frak M\) taki, że

\[ \mu (X\setminus Y)<\epsilon \ \text {oraz} \ f_n\rightrightarrows f,\, n\to \infty , \ \text {jednostajnie na}\ Y. \]

Jeżeli dodatkowo \(X\) jest przestrzenią topologiczną i \(\mu \) jest miarą regularną, to istnieje zbiór domknięty \(Y\) o podanych własnościach.

Zadanie 2.3.28 Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą i niech
\(f_n,f:X \to \R \), \(f,f_n\in \mathcal M(X,\frak M)\), \(n\in \N \). Powiemy, że ciąg \(f_n\) jest zbieżny względem miary \(\mu \) (\(\mu \)-zbieżny) do funkcji \(f\), gdy

\[ \forall \,\epsilon >0 \ \lim _{n\to \infty }\mu \left (\{x\in X: |f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon \}\right )=0. \]

Wykazać, że

• 1. jeżeli \(\mu (X)<+\infty \) to zbieżność punktowa \(\mu \)-p.w. implikuje zbieżność względem miary \(\mu \);

• 2. zbieżność jednostajna \(\mu \)-p.w. implikuje zbieżność względem miary \(\mu \);

• 3. z każdego ciągu zbieżnego względem miary \(\mu \) można wybrać podciąg zbieżny jednostajnie \(\mu \)-p.w.

Zadanie 2.3.29 Niech

\[ \begin {aligned} &{\bf \Gamma }(x)=\int _0^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt, \ x>0, \ \text {bÄŹdzie funkcjÄĚ gamma Eulera i}\\ &{\bf B}(a,b)=\int _0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt, \ a,b>0, \ \text {bÄŹdzie funkcjÄĚ beta Eulera}. \end {aligned} \]

Całkując przez części i korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu pod znakiem całki wykazać następujące własności funkcji Eulera.

• 1. Funkcje \(\bf \Gamma \) i \(\bf B\) są klasy \(\mathcal C^{\infty }\);

• 2. \(x{\bf \Gamma }(x)={\bf \Gamma }(x+1)\), w szczególności \({\bf \Gamma }(n+1)=n!\), \(n\in \N \);

• 3. \({\bf \Gamma }(x){\bf \Gamma }(1-x)=\frac {\pi }{\sin (\pi x)}\), w szczególności \({\bf \Gamma }(\frac 12)=\sqrt {\pi }\);

• 4. \({\bf B}(a,b)={\bf B}(b,a)\);

• 5. \({\bf B}(a,b)=\frac {{\bf \Gamma }(a){\bf \Gamma }(b)}{{\bf \Gamma }(a+b)}\);

• 6. \({\bf B}(a+1,b)+{\bf B}(a,b+1)={\bf B}(a,b)\),

• 7. \({\bf B}(a,b+1)=\frac {b}{a+b}{\bf B}(a,b)\).

Zadanie 2.3.30 Wykazać, że

• 1. każdy zbiór o objętości zero jest ograniczony;

• 2. każdy zbiór skończony ma objętość zero;

• 3. podzbiór zbioru o objętości zero ma objętość zero;

• 4. suma skończonej liczby zbiorów o objętości zero ma objętość zero;

• 5. jeżeli \(\R ^n\ni a_j\to a\in \R ^n\), to zbiór \(\{a_j\}_{j=1}^{\infty }\) ma objętość zero;

• 6. jeżeli \(A\subset \R ^n\) ma objętość zero, to dla dowolnego zbioru ograniczonego \(B\subset \R ^m\) zbiór \(A\times B\) ma objętość zero. W szczególności, dla dowolnej kostki ograniczonej \(P\subset \R ^n\) mamy \(|\partial P|= 0\);

• 7. jeżeli \(|A|=0\), to \(|\bar A|=0\).

Zadanie 2.3.31 Niech \(P\subset \R ^m\) będzie kostką domkniętą i niech \(f:P\to \R ^{n-m}\) będzie funkcją ciągłą i \(1\leq m\leq n-1\). Wtedy wykres funkcji \(\{(x,f(x)): x\in P\}\) ma objętość zero.

Zadanie 2.3.32 Niech \(P\subset \R ^m\) będzie kostką domkniętą i niech \(f:P\to \R ^{n}\) będzie funkcją spełniającą warunek Höldera⁸ z wykładnikiem \(\alpha \) (warunek Lipschitza⁹)¹⁰. Wtedy

• 1. jeżeli \(\alpha n>m\) (\(\alpha >m\)), to zbiór \(f(P)\) ma objętość zero;

• 2. jeżeli \(\alpha n\geq m\) (\(\alpha \geq m\)), to zbiór \(f(Z)\) ma objętość zero, dla dowolnego zbioru \(Z\subset P\) o objętości zero.

Zadanie 2.3.33 Wykazać, że

• 1. jeżeli \(|A|= 0\), to zbiór \(A\) jest regularny;

• 2. każda kostka jest regularna;

• 3. jeżeli zbiór \(A\) jest regularny, to zbiór \(\operatorname {int}A\) jest regularny; implikacja przeciwna nie jest prawdziwa;

• 4. jeżeli zbiór \(A\) jest regularny, to zbiór \(\bar A\) jest regularny; implikacja przeciwna nie jest prawdziwa;

• 5. jeżeli zbiory \(A,B\) sa regularne, to zbiory \(A\cap B\), \(A\cup B\) i \(A\setminus B\) są regularne;

• 6. jeżeli zbiory \(A\subset \R ^n\) i \(B\subset \R ^m\) są regularne, to zbiór \(A\times B\) jest regularny.

Zadanie 2.3.34 Niech \(A\) będzie zbiorem regularnym w \(\R ^{n-1}\) i niech \(f\in \mathcal R(A)\), wtedy wykres \(\{(x,f(x)): x\in P\}\subset \R ^n\) ma objętość zero.