Teoria miary i całki

Zadanie 3.6.1 Obliczyć granicę

\[ \lim _{n\to \infty }\int _{A}x^2\left (1+\frac {y^3}{n}\right )\,d\Le ^2(x,y), \]

gdzie \(A=\{(x,y)\in \mathbb R^2: (x-1)^2+y^2\leq 4, y\geq 1\}\). Uzasadnić istnienie granicy.

Zadanie 3.6.2 Obliczyć

\[ (\Le ^1|_{[0,\infty )} +\delta _{-1}) \otimes (\Le ^1|_{[-1,1]} +\nu )( A_1\setminus A_2), \]

gdzie \(A_1=[-2,0)\times [-2,0]\) oraz \(A_2 = (-1,1) \times (-1,1)\), a \(\nu \) oznacza miarę borelowską określoną wzorem \(\nu (A) = \int _A e^xdL^1(x)\).

Zadanie 3.6.3 Niech \(\mu =\Le ^1|_{[0,4]}\) i niech \(f(x)=\chi _{[\frac 12,1]}-3\chi _{[3,4]}\). Znaleźć \(\mu _f\) - transport miary \(\mu \) przez odwzorowanie \(f\) i obliczyć całkę

\[ \int _{[-3,1]}xd\mu _f. \]

Zadanie 3.6.4 Obliczyć całkę

\[ \int _{A}xy\;d(\Le ^1\otimes \delta _1), \]

gdzie \(\delta _1\) - oznacza miarę Diraca w punkcie \(1\) i \(A=\{(x,y)\in \mathbb R^2: x>0, y>0, x+y<2\}\).

Zadanie 3.6.5 Obliczyć

\[ \int _{[-1,2]} x d\mu (x), \]

gdzie

\[ \mu = \sum _{k=1}^\infty k \delta _k +\nu , \ \ \text { oraz } \ \ \nu (A) = \int _A x^2 d \Le ^1(x), \ A\in \frak L_1. \]

Zadanie 3.6.6 Obliczyć

\[ \int _{\{(x,y)\in \mathbb R^2: x^2+y^2<25\}}(x+y)^2d((3\delta _{-4}+5\delta _4)\otimes \mathcal L^1)(x,y). \]

Zadanie 3.6.7 Obliczyć

\[ ({\mathcal L}^1 \otimes \delta _3) \Big ( [0,2]^2 \cup [1,4]^2 \Big ). \]

Zadanie 3.6.8 Niech \(A=\{(x,y)\in \mathbb R^2:x\neq 0,\ |y|<2^{|x|}\}\), \(f:\mathbb R^2\ni (x,y)\mapsto 3^{-|x|}\in \mathbb R\) i niech miara \(\mu \) będzie dana wzorem \(\mu =\left (\sum _{k\in \mathbb Z}\delta _k\right )\otimes \Le ^1\). Obliczyć całkę

\[ \int _Af\,d\mu . \]

Zadanie 3.6.9 W przestrzeni mierzalnej \((\mathbb R^2, \mathcal L_1\otimes \mathcal P(\mathbb R))\) definiujemy miarę \(\mu \) wzorem

\[ \mu = \Le ^1 \otimes \delta _{1/2}. \]

Obliczyć \(\mu (\{(x,y)\in \mathbb R^2: x^2+y^2<4\})\).

Zadanie 3.6.10 Niech \(\mu \) będzie miarą probabilistyczną i borelowską na \([0,1]\), absolutnie ciągłą względem miary Lebesgue’a na \([0,1]\). Wykazać, że dla dowolnego zbioru borelowskiego funkcja \([0,1]\ni t\mapsto \mu ([0,t]\cap A)\) jest ciągła.

Zadanie 3.6.11 Niech \(A=\{(x,y)\in \mathbb R^2\, : \, (x-1)^2\leq y+3\leq 5\}\). Obliczyć całkę

\[ \int _A xy^2 d(\Le ^1 \otimes \delta _1)(x,y) . \]

Zadanie 3.6.12 Obliczyć całkę

\[ \int _Afd(\Le ^1\otimes \delta _4), \]

gdzie \(f:\mathbb R^2\ni (x,y)\mapsto (x-y)^2\in \mathbb R\), a \(A\) jest trójkątem o wierzchołkach \((1,2)\), \((3,6)\), \((7,5)\).

Zadanie 3.6.13 Niech \(\mu \) niech będzie miarą borelowską na \(\mathbb R\) zdefiniowaną wzorem

\[ \mu (A)=\int _{f^{-1}(A)}x^2\,d\mathcal L^1(x), \]

gdzie \(f:[1,2]\ni x\mapsto \sqrt x\in \mathbb R\). Obliczyć całkę \(\int _{\mathbb R}(4x^2-3)d\mu (x)\).

Zadanie 3.6.14 Obliczyć całkę

\[ \int _A(2x+y)\,d(\mathcal L^1\otimes \delta _3)(x,y), \]

gdzie \(A=\left \{(x,y)\in \mathbb R^2:2x^2-2xy+y^2<5\right \}\).

Zadanie 3.6.15 Obliczyć całkę

\[ \int _A xy \,d(\mathcal L^1\otimes \delta _1)(x,y), \]

gdzie \(A=\{ (x,y)\in [-1,1]\times [-2,2] \, : \, x+1 \leq y \}\).

Zadanie 3.6.16 Sprawdzić, dla jakich wartości parametru \(a\in \mathbb R\) funkcja

\[ f_a:\mathbb N\ni n\mapsto f_a(n)=(2a-5)^n\in \mathbb R \]

jest całkowalna względem miary \(\mu \) określonej wzorem \(\mu (A)=\sum _{n\in A}n/3^n\), \(A\subset \mathbb N\). Obliczyć całkę \(\int _{\mathbb N}f_3\,d\mu \).