Przypomnijmy, że \(\varphi :(a,b)\to \R \) jest funkcją wypukłą, gdy
\[ \forall \, x,y\in (a,b)\ \forall \, t\in [0,1]: \ \varphi ((1-t)x+ty)\leq (1-t)\varphi (x)+t\varphi (y), \]
lub równoważnie
\[ \forall \, a<s<t<u<b: \ \frac {\varphi (t)-\varphi (s)}{t-s}\leq \frac {\varphi (u)-\varphi (t)}{u-t}. \]
Funkcje wypukłe są ciągłe, z czego wynika, że złożenie funkcji mierzalnej z funkcją wypukłą jest funkcją mierzalną.
Twierdzenie 3.4.1 (Nierówność Jensena12) Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą probabilistyczną. Jeżeli \(f\in L^1(X,\mu )\), \(a<f(x)<b\) i \(\varphi :(a,b)\to \R \) jest funkcją wypukłą, to
\[ \varphi \left (\int _Xf\,d\mu \right )\leq \int _{X}\varphi \circ f\,d\mu . \]
Dowód. Zauważmy, że \(\varphi \circ f\) jest funkcją mierzalną. Niech \(t=\int _Xf\,d\mu \in (a,b)\). Przyjmijmy
\[ \beta =\sup _{s}\frac {\varphi (t)-\varphi (s)}{t-s}, \]
wtedy
\[ \beta \leq \frac {\varphi (u)-\varphi (t)}{u-t}, \ \text {czyli} \ \varphi (u)\geq \varphi (t)+\beta (u-t), \ u>t \]
i analogicznie
\[ \beta \geq \frac {\varphi (t)-\varphi (s)}{t-s}, \ \text {czyli} \ \varphi (s)\geq \varphi (t)+\beta (s-t), \ s<t. \]
Zatem dla \(s=f(x)\) mamy
\[ \varphi (f(x))-\varphi (t)-\beta (f(x)-t)\geq 0 \]
i wtedy
\[ \begin {aligned} &0\leq \int _X\varphi (f(x))\,d\mu -\int _X\varphi (t)\,d\mu -\beta \int _Xf\,d\mu +t\beta \int _X\,d\mu \\ &=\int _X\varphi (f(x))-\varphi (t)=\int _X\varphi (f(x))-\varphi \left (\int _Xf\,d\mu \right ). \end {aligned} \]
Twierdzenie 3.4.2 (Nierówność Höldera) Niech \(p,q\in (1,+\infty )\) będą wykładnikami sprzężonymi, tzn. \(\frac 1p+\frac 1q=1\). Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą i niech \(f,g\in \mathcal M^+(X)\). Wówczas
\[ \int _Xfg\,d\mu \leq \left (\int _Xf^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}\left (\int _Xg^q\,d\mu \right )^{\frac 1q}. \]
Dowód. Oznaczmy
\[ A=\left (\int _Xf^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}, \ B=\left (\int _Xg^q\,d\mu \right )^{\frac 1q}. \]
Jeżeli \(A=0\), to \(f=0\) \(\mu \)-p.w., a wtedy \(fg=0\) \(\mu \)-p.w. i mamy tezę.
Jeżeli \(A>0\) i \(B=+\infty \), to też mamy tezę.
Możemy więc założyć, że \(A,B\in (0,+\infty )\). Zdefiniujmy nowe funkcje \(F=\frac fA\) i \(G=\frac gB\), wówczas
\[ \int _{X}F^p\,d\mu =\int _XG^q\,d\mu =1. \]
Jeżeli \(x\in X\) jest taki, że \(F(x),G(x)\in (0,+\infty )\), to istnieją liczby \(s,t\in \R \) takie, że \(F(x)=e^{\frac sp}\) i \(G(x)=e^{\frac tq}\). Ponieważ \(\frac 1p+\frac 1q=1\), to korzystając z wypukłości funkcji \(x\mapsto e^x\) mamy
\[ e^{\frac sp+\frac tq}\leq \frac 1pe^s+\frac 1qe^t. \]
Stąd dla dowolnego \(x\in X\) otrzymujemy
\[ F(x)G(x)\leq \frac 1pF(x)^{p}+\frac 1qG(x)^q. \]
Całkując powyższą nierówność dostajemy
\[ \int _XFG\,d\mu \leq \int _X\frac 1pF^{p}\,d\mu +\int _X\frac 1qG^q\,d\mu =\frac 1p+\frac 1q=1, \]
a stąd
\[ \int _Xfg\,d\mu \leq AB=\left (\int _Xf^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}\left (\int _Xg^q\,d\mu \right )^{\frac 1q}. \]
Twierdzenie 3.4.3 (Nierówność Minkowskiego13) Niech \(p\in (1,+\infty )\), \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą i niech \(f,g\in \mathcal M^+(X)\). Wówczas
\[ \left (\int _X(f+g)^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}\leq \left (\int _Xf^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}+ \left (\int _Xg^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}. \]
Dowód. Zauważmy, że \((f+g)^p=f(f+g)^{p-1}+g(f+g)^{p-1}\) i z nierówności Höldera mamy (dla \(q=\frac {p-1}{p}\))
\( \seteqsection {3} \)
\begin{equation} \label {w18} \begin {aligned} &\int _Xf(f+g)^{p-1}\,d\mu \leq \left (\int _Xf^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}\left (\int _X(f+g)^{(p-1)q}\,d\mu \right )^{\frac 1q}\\ &=\left (\int _Xf^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}\left (\int _X(f+g)^{p}\,d\mu \right )^{\frac {p}{p-1}} \end {aligned} \end{equation}
i podobnie
\( \seteqsection {3} \) \( \seteqnumber {2} \)
\begin{equation} \label {w19} \int _Xg(f+g)^{p-1}\,d\mu \leq \left (\int _Xg^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}\left (\int _X(f+g)^{p}\,d\mu \right )^{\frac {p}{p-1}}. \end{equation}
Z nierówności (3.4.1) i (3.4.2) otrzymujemy
\( \seteqsection {3} \) \( \seteqnumber {3} \)
\begin{equation} \label {w20} \int _X(f+g)^{p}\,d\mu \leq \left (\left (\int _Xf^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}+\left (\int _Xg^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}\right )\left (\int _X(f+g)^{p}\,d\mu \right )^{\frac {p}{p-1}}. \end{equation}
Zauważmy, że nierówność Minkowskiego wystarczy wykazać dla lewej strony dodatniej, a prawej skończonej. Z wypukłości funkcji \(x\mapsto x^p\) mamy poniższą nierówność
\[ \left (\frac {f+g}{2}\right )^p\leq \frac 12\left (f^p+g^p\right ), \]
z czego wynika, że jeżeli prawa strona nierówności Minkowskiego jest skończona, to lewa też jest skończona i można podzielić nierówność (3.4.3) i otrzymać tezę.
12 Johan Jensen (1859-1925) – duński matematyk.
13 Hermann Minkowski (1864-1909) – niemiecki matematyk.