Przykład 1.5.2 Niech \(X=\{1,2,3,4\}\), \(\frak M=\left \{\emptyset , \{1,2\}, \{3,4\}, X\right \}\) i \(\mu (\emptyset )=\mu (\{1,2\})=0\), \(\mu (\{3,4\})=\mu (X)=1\). Wtedy \((X,\frak M,\mu
)\) nie jest przestrzenią zupełną, bo zbiór \(\{1\}\) nie jest mierzalny. Istnieje wiele rozszerzeń (uzupełnień) tej przestrzeni do przestrzeni zupełnej. Najmniejsze z nich jest następującą przestrzenią \((X,\frak N,\nu )\), gdzie
\(\frak N=\frak M\cup \left \{\{1\},\{2\},\{1,3,4\},\{2,3,4\}\right \}\) a miara \(\nu \) spełnia warunki: \(\nu (A)=\mu (A)\), dla \(A\in \frak M\) oraz \(\nu (\{1\})=\nu (\{2\})=0\), \(\nu (\{1,3,4\})=\nu (\{2,3,4\})=1\).
Definicja 1.5.3 Dla przestrzeni \((X,\frak M,\mu )\) zdefiniujmy rozszerzenie \(\sigma \)-algebry \(\frak M\)
\[ \overline {\frak M}:=\left \{A\subset X: \exists \, L,R\in \frak M \ L\subset A\subset R, \mu (R\setminus L)=0\right \} \]
oraz uzupełnienie miary \(\mu \)
\[ \bar {\mu }(A)=\mu (L), \ A\in \overline {\frak M}. \]
Twierdzenie 1.5.4 Dla dowolnej przestrzeni mierzalnej z miarą \((X,\frak M,\mu )\) zachodzi:
1. \(\overline {\frak M}\) jest \(\sigma \)-algebrą oraz \(\frak M\subset \overline {\frak M}\);
2. \(\bar \mu \) jest dobrze zdefiniowaną miarą zupełną na \(\overline {\frak M}\);
3. rozszerzenie \((X,\overline {\frak M}, \bar \mu )\) jest minimalne, tzn. jeżeli \((X,\frak N,\nu )\) jest przestrzenią zupełną taką, że \(\frak M\subset \frak N\) oraz \(\nu |_{\frak M}=\mu \), to \(\overline {\frak M}\subset \frak N\) oraz \(\nu |_{\overline {\frak M}}=\bar \mu \).
Dowód. Punkt \((1)\). Wykażemy następujące fakty.
a) \(\overline {\frak M}=\left \{A\cup Z: A\in \frak M, \exists \, B\in \frak M\ \mu (B)=0, Z\subset B\right \}\).
Oznaczmy przez \(\mathcal A\) rodzinę z prawej strony. Załóżmy teraz, że zbiór \(C\in \overline {\frak M}\). Wtedy istnieją zbiory \(L,K\in \frak M\) takie, że \(L\subset C\subset R\) oraz \(\mu (R\setminus L)=0\). Można przyjąć \(A=L\), \(Z=C\setminus L\) oraz \(B=R\setminus L\). To oznacza, że \(C\in \mathcal A\). Z drugiej strony jeżeli \(C\in \mathcal A\). Wtedy istnieją zbiory \(A\in \frak M\), \(Z\subset B\), \(\mu (B)=0\) oraz \(C=A\cup Z\). Możemy przyjąć \(L=A\) i \(R=A\cup B\) co oznacza, że \(C\in \overline {\frak M}\).
b) \(\frak M\subset \overline {\frak M}\).
Jeżeli \(A\in \frak M\), to przyjmując \(L=R=A\) dostajemy, że \(A\in \overline {\frak M}\).
c) \(\emptyset \in \overline {\frak M}\).
Oczywiste, ponieważ \(\emptyset \in \frak M\).
d) Jeżeli \(A\in \overline {\frak M}\), to \(A’\in \overline {\frak M}\).
Załóżmy, że \(A\in \overline {\frak M}\), wtedy istnieją zbiory \(L,K\in \frak M\) takie, że \(L\subset A\subset R\) oraz \(\mu (R\setminus L)=0\). Mamy \(R’\subset A’\subset L’\), \(L’\setminus R’=R\setminus L\) i \(\mu (L’\setminus R’)=\mu (R\setminus L)=0\), a to oznacza, że \(A’\in \overline {\frak M}\).
e) Jeżeli \(A_j\in \overline {\frak M}\), \(j\in \N \), to \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \overline {\frak M}\).
Jeżeli \(A_j\in \overline {\frak M}\), to istnieją zbiory \(R_j,L_j\in \frak M\), takie że \(\mu (R_j\setminus L_j)=0\) oraz
\(L_j\subset A_j\subset R_j\), \(j\in \N \). Zdefiniujmy zbiory \(L=\bigcup _{j=1}^{\infty }L_j\in \frak M\) oraz \(R=\bigcup _{j=1}^{\infty }R_j\in \frak M\), wtedy \(L\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\subset R\). Mamy
również
\[ \begin {aligned} &R\setminus L=\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }R_j\right )\setminus \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }L_j\right )=\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }R_j\right )\cap \left (\bigcap _{j=1}^{\infty }L_j’\right )\\ &=\bigcup _{j=1}^{\infty }\left (R_j\cap \left (\bigcap _{j=1}^{\infty }L_j’\right )\right )\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }\left (R_j\cap L_j’\right )=\bigcup _{j=1}^{\infty }\left (R_j\setminus L_j\right ) \end {aligned} \]
i wtedy
\[ \mu \left (R\setminus L\right )\leq \mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }\left (R_j\setminus L_j\right )\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (R_j\setminus L_j)=0, \]
co dowodzi, że \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \overline {\frak M}\).
Punkt \((2)\). Najpierw udowodnimy, że \(\bar \mu \) jest dobrze określona. Przyjmijmy, że \(A\in \overline {\frak M}\) oraz istnieją zbiory \(L_j,R_j\in \frak M\) takie, że \(L_j\subset A\subset R_j\) oraz \(\mu (R_j\setminus L_j)=0\), dla \(j=1,2\). Wtedy \(L_1\setminus L_2\subset A\setminus L_2\subset R_2\setminus L_2\), czyli \(\mu (L_1\setminus L_2)\leq \mu (R_2\setminus L_2)=0\). Podobnie można wykazać, że \(\mu (L_2\setminus L_1)=0\). Z tego wynika, że
\[ \begin {aligned} &\mu (L_1)=\mu (L_1\setminus (L_1\cap L_2))+\mu (L_1\cap L_2)=\mu (L_1\setminus L_2)+\mu (L_1\cap L_2)\\ &=\mu (L_1\cap L_2)=\mu (L_2\setminus L_1)+\mu (L_1\cap L_2)=\mu (L_2\setminus (L_1\cap L_2))+\mu (L_1\cap L_2)\\ &=\mu (L_2). \end {aligned} \]
Teraz wykażemy, że \(\bar \mu \) jest miarą zupełną.
• \(\bar \mu (\emptyset )=\mu (\emptyset )=0\).
• Warunek przeliczalnej addytywności.
Niech \(A_j\in \overline {\frak M}\), \(j\in \N \), będą zbiorami parami rozłącznymi, wtedy istnieją zbiory \(R_j,L_j\in \frak M\), takie że \(\mu (R_j\setminus L_j)=0\) oraz \(L_j\subset A_j\subset R_j\). Zauważmy, że zbiory \(L_j\) są również parami rozłączne. Wykazaliśmy wcześniej, że można przyjąć \(L=\bigcup _{j=1}^{\infty }L_j\) oraz \(R=\bigcup _{j=1}^{\infty }R_j\), tak aby \(L\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\subset R\), \(\mu (R\setminus L)=0\). Z definicji otrzymujemy
\[ \bar \mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }L_j\right )=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (L_j)=\sum _{j=1}^{\infty }\bar \mu (A_j). \]
• Zupełność.
Niech \(A\in \overline {\frak M}\), \(\bar \mu (A)=0\) i niech \(B\subset A\). Korzystając z punktu \((a)\) dostajemy istnienie zbiorów \(C\), \(D\) i \(Z\) takich, że \(C\in \frak M\), \(D\subset Z\), \(\mu (Z)=0\) oraz \(\bar \mu (A)=\mu (C)=0\). Niech \(B=\emptyset \cup B\), \(\emptyset \in \frak M\), \(B\subset A=C\cup D\subset C\cup Z\) oraz \(\mu (C\cup Z)\leq \mu (C)+\mu (Z)=0\). To oznacza, że \(B\in \overline {\frak M}\).
Punkt \((3)\). Będziemy korzystać z definicji \(\overline {\frak M}\) zawartej w punkcie \((a)\). Załóżmy, że \((X,\frak N,\nu )\) jest przestrzenią zupełną taką, że \(\frak M\subset \frak N\) oraz \(\nu |_{\frak M}=\mu \). Niech \(A\in \overline {\frak M}\), wtedy istnieją zbiory \(B\), \(C\) i \(Z\) takie, że \(A=B\cup C\), \(B\in \frak M\), \(C\subset Z\) i \(\mu (Z)=0\). Z tego wynika, że \(B,Z\in \frak N\) i \(\nu (Z)=0\). Miara \(\nu \) jest zupełna, więc \(C\in \frak N\), skoro \(C\subset Z\) i \(\nu (C)\leq \nu (Z)=0\), a wtedy \(A=B\cup C\in \frak N\). Ponadto
\[ \nu (A)=\nu (B\cup C)=\nu (B)+\nu (C\setminus B)=\nu (B)=\mu (B)=\bar \mu (A). \]