Definicja 3.1.1 Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą i niech \((Y,\frak N)\) będzie przestrzenią mierzalną. Załóżmy, że \(f:X\to Y\) będzie odwzorowaniem mierzalnym. Funkcję \(\mu _f:\frak N\to [0,+\infty ]\) daną wzorem
\[ \mu _f(B)=\mu (f^{-1}(B)), \ B\in \frak N \]
nazywamy transportem (obrazem) miary \(\mu \) przez odwzorowanie \(f\).
Obserwacja 3.1.2 Funkcja \(\mu _f\) z Definicji 3.1.1 jest miarą.
Dowód. Mamy \(\mu _f(\emptyset )=\mu (f^{-1}(\emptyset ))=\mu (\emptyset )=0\). Weźmy teraz ciąg zbiorów mierzalnych \(B_j\in \frak N\) i parami rozłącznych. Wtedy zbiory \(f^{-1}(B_j)\in \frak M\) są również parami rozłączne i mamy
\[ \mu _f\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\mu \left (f^{-1}\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )\right )=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }f^{-1}(B_j)\right )=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (f^{-1}(B_j))=\sum _{j=1}^{\infty }\mu _f(B_j). \]
Przykład 3.1.3 Niech \(\left ([0,3],\mathcal B([0,3]), \Le ^1|_{[0,3]}\right )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą i niech \(f=\chi _{[0,2]}-4\chi _{(2,3]}\). Wówczas
\[ \mu _f=2\delta _{1}+\delta _{-4}. \]
Twierdzenie 3.1.4 (Twierdzenie o transporcie miary) Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą, \((Y,\frak N)\) będzie przestrzenią mierzalną i niech \(f:X\to Y\) będzie odwzorowaniem mierzalnym. Jeżeli \(g:Y\to \R \) jest odwzorowaniem mierzalnym, to
\[ \int _Yg\,d\mu _f=\int _Xg\circ f\,d\mu , \]
przy czym każda z powyższych całek istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje druga z nich. Ponadto dla dowolnego \(B\in \frak N\) zachodzi również
\[ \int _Bg\,d\mu _f=\int _{f^{-1}(B)}g\circ f\,d\mu . \]
Dowód.
a) Niech \(g=\chi _B\), gdzie \(B\in \frak N\). Wtedy mamy
\[ \begin {aligned} &\int _{Y} g\,d\mu _f=\int _Y\chi _B\,d\mu _f=\mu _f(B)=\mu (f^{-1}(B));\\ &\int _Xg\circ f\,d\mu =\int _X\chi _B\circ f\,d\mu =\int _X\chi _{f^{-1}(B)}\,d\mu =\mu (f^{-1}(B)). \end {aligned} \]
b) Niech \(g\in \mathcal M^+_0(Y)\), wtedy \(g=\sum _{j=1}b_j\chi _{B_j}\) i teza wynika z punktu (a).
c) Niech \(g\in \mathcal M^+(Y)\), wtedy istnieje ciąg funkcji prostych mierzalnych \(g_n\nearrow g\). Teraz teza wynika z punktu (b) i Twierdzenia 2.1.22.
d) Niech \(g\in L^1(Y,\mu _f)\), wtedy \(g=g_+-g_-\) i stosujemy punkt (c).
e) Jeżeli \(B\in \frak M\), to mamy
\[ \int _Bg\,d\mu _f=\int _Yg\chi _{B}\,d\mu _f=\int _X(g\chi _{B})\circ f\,d\mu =\int _{f^{-1}(B)}g\circ f\,d\mu . \]
Przykład 3.1.5 Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią probabilistyczną, a \(f:X\to \R \) będzie funkcją mierzalną, która przyjmuje co najwyżej przeliczalną liczbę wartości (tzn. jest dyskretną zmienną losową). Niech \(f(X)=\{a_j\}_{j=1}^{\infty }\) i \(p_j=\mu (\{x\in X: f(x)=a_j\})\). Wówczas transport miary \(\mu \) przez funkcję \(f\) jest równy
\[ \mu _f=\sum _{j=1}^{\infty }p_j\delta _{a_j}, \]
a wartość oczekiwana (o ile istnieje) wynosi
\[ \int _Xf\,d\mu =\int _{\R }x\,d\mu _f=\sum _{j=1}^{\infty }a_jp_j. \]
Na koniec tego podrozdziału opiszemy jak wygląda transport miary Lebesgue’a przez dyfeomorfizm. Niech \(\Psi :U\to V\) będzie dyfeomorfizmem klasy \(\mathcal C^1\), gdzie \(U,V\in \operatorname {top}\R ^n\) (tzn. \(\Phi \) jest bijekcją oraz \(\Psi \) i \(\Psi ^{-1}\) są klasy \(\mathcal C^1\)). Oznaczmy przez \(\operatorname {Jac}\Psi \) wyznacznik macierzy Jacobiego1 dyfeomorfizmu \(\Psi =(\Psi _1,\dots ,\Psi _n)\), tzn.
\[ \operatorname {Jac}\Psi =\operatorname {det}\left [\frac {\partial \Psi _j}{\partial x_k}\right ]_{j,k=1}^n. \]
Twierdzenie 3.1.6 (Twierdzenie o zmianie zmiennej dla całki Lebesgue’a) Niech \(\Psi :U\to V\) będzie dyfeomorfizmem klasy \(\mathcal C^1\), gdzie \(U,V\in \operatorname {top}\R ^n\). Wtedy
1. dla dowolnego zbioru \(A\subset V\), \(A\in \frak L_n\) zachodzi \(\Psi ^{-1}(A)\in \frak L_n\) oraz
\[ \Le ^n(A)=\int _{\Psi ^{-1}(A)}|\operatorname {Jac}\Psi |\,d\Le ^n; \]
2. dla dowolnego zbioru \(A\subset V\), \(A\in \frak L_n\) i funkcji \(g\in \mathcal M^+(A,\Le ^n)\) (\(g\in L^1(A,\Le ^n)\)) zachodzi \((g\circ \Psi )|\operatorname {Jac}\Psi |\in \mathcal M^+(\Psi ^{-1}(A),\Le ^n)\) (\((g\circ \Psi )|\operatorname {Jac}\Psi |\in L^1(\Psi ^{-1}(A),\Le ^n)\)) oraz
\[ \int _Ag\,d\Le ^n=\int _{\Psi ^{-1}(A)}(g\circ \Psi )|\operatorname {Jac}\Psi |\,d\Le ^n. \]
1 Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851) – niemiecki matematyk.