Dowód. Ćwiczenie.
Przykład 1.11.3 Dystrybuantą miary \(\mu =\frac 12\delta _0+\frac 12\delta _1\) jest funkcja
\[ F(x)=\left \{ \begin {array}{ll} 0, & x<0; \\ \frac 12, & 0\leq x<1; \\ 1, & 1\leq x. \end {array} \right . \]
Przykład 1.11.4 Dystrybuantą miary \(\mu =\Le ^1|_{[0,1]}\) jest funkcja
\[ F(x)=\left \{ \begin {array}{ll} 0, & x<0; \\ x, & 0\leq x<1; \\ 1, & 1\leq x. \end {array} \right . \]
Twierdzenie 1.11.5 Niech \(F:\R \to \R \) będzie funkcją spełniającą warunki (1)-(3) z Obserwacji 1.11.2. Wtedy istnieje dokładnie jedna miara probabilistyczna \(\mu \) taka, że \(F\) jest jej dystrybuantą.
Dowód. Zdefiniujmy \(\mu _0((a,b])=F(b)-F(a)\) i \(\mu _0(\emptyset )=0\), przyjmijmy również \(F(-\infty )=0\) i \(F(+\infty )=1\). Niech
\[ \mathcal P=\left \{(a,b]: -\infty \leq a<b\leq +\infty \right \}\cup \{\emptyset \} \ \text {oraz} \ \mathcal A=\left \{\bigcup _{j=1}^{n}A_j: n\in \N , A_j\in \mathcal P\right \}. \]
Wtedy \(\mathcal A\) jest pierścieniem zbiorów, a \(\mu _0\) przedłuża się jednoznacznie na \(\mathcal A\), bo każdy zbiór z \(\mathcal A\) jest skończoną sumą zbiorów rozłącznych z rodziny \(\mathcal P\).
Ponieważ funkcja \(F\) jest prawostronnie ciągła, to funkcja \(\mu _0\) jest \(\sigma \)-addytywna na pierścieniu \(\mathcal A\). Mamy również \(\sigma (\mathcal A)=\mathcal B(\R )\) i z Twierdzenia 1.10.2 dostajemy, że \(\mu _0\) przedłuża się do jedynej miary borelowskiej \(\mu \) takiej, że \(\mu =\mu _0\) na \(\mathcal A\) i wtedy
\[ \mu ((-\infty ,x])=\mu \left (\bigcup _{j=[x]}^{\infty }(-j,x]\right )\leftarrow \mu ((-j,x])=\mu _0((-j,x])=F(x)-F(-j)\to F(x), j\to \infty . \]
Z tego wynika, że \(F\) jest dystrybuantą miary \(\mu \). Dodatkowo punkt (3) daje nam \(\mu (\R )=1\), czyli \(\mu \) jest miarą probabilistyczną.