Kostką domkniętą w \(\R ^n\) nazywamy zbiór postaci \(P=[a_1,b_1]\times \dots \times [a_n,b_n]\), a kostką otwartą w \(\R ^n\) nazywamy zbiór postaci \(Q=(a_1,b_1)\times \dots \times (a_n,b_n)\), gdzie \(a_j,b_j\in \R \), \(a_j<b_j\), \(j=1,\dots ,n\). Każda inna kostka ograniczona \(R\) jest zawarta w pewnej kostce \(P\) i zawiera pewną kostkę \(Q\). Objętość tych kostek definiujemy jako
\[ V^n(P)=V^n(Q)=V^n(R)=(b_1-a_1)\dots (b_n-a_n). \]
Przyjmijmy również, że \(V^n(\emptyset )=0\).
Ćwiczenie 1.7.2 Obliczyć \(\Le ^1_e(\Q \cap [0,1])\) i \(\Le ^2_e(\Q \times \R )\).
Dowód. Jeżeli \(P\) jest dowolną kostką, to \(P\subset \overline P\) i
\[ \Le _e^n(P)\leq V^n(\overline P)=V^n(P). \]
Niech \(P_j\), \(j\in \N \), będą kostkami otwartymi takimi, że \(P\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }P_j\). Ustalmy dowolne \(\epsilon >0\). Wtedy istnieje kostka domknięta \(P_0\subset P\) taka że \(V^n(P)-\epsilon <V^n(P_0)\). Ponieważ \(P_0\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }P_j\), korzystając ze zwartości \(P_0\) dostajemy, że \(P_0\subset P_1\cup \dots \cup P_N\). Wtedy
\[ V^n(P)-\epsilon <V^n(P_0)\leq V^n(P_1)+\dots +V^n(P_N)\leq \sum _{j=1}^{\infty }V^n(P_j), \]
przechodząc do infimum po wszystkich możliwych pokryciach mamy \(V^n(P)-\epsilon <\Le ^n_e(P)\). Z dowolności \(\epsilon \) dostajemy \(V^n(P)\leq \Le _e^n(P)\).
Uwaga 1.7.4
1. W definicji \(\Le _e^n\) kostki domknięte można zastąpić kostkami otwartymi. Niech \(Q_j\) będą kostkami otwartymi, \(j\in \N \), \(A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }Q_j\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }\bar Q_j\), wtedy
\[ \Le _e^n(A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }V^n(\bar Q_j)=\sum _{j=1}^{\infty }V^n(Q_j). \]
Ustalmy teraz dowolne \(\epsilon >0\) i niech \(P_j\), \(j\in \N \), będzie pokryciem kostkami domkniętymi takie, że \(\sum _{j=1}^{\infty }V^n(P_j)<\Le _e^n(A)+\frac 12\epsilon \). Wtedy istnieją kostki otwarte \(Q_j\), \(j\in \N \), takie, że \(P_j\subset Q_j\), \(V^n(Q_j)<V^n(P_j)+2^{-j-1}\epsilon \). Wtedy \(A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }Q_j\) oraz
\[ \sum _{j=1}^{\infty }V^n(Q_j)\leq \Le _e^n(A)+\epsilon , \]
z czego wynika, że
\[ \Le ^n_e(A):=\inf \left \{\sum _{j=1}^{\infty }V^n(Q_j): Q_j-\text {kostki otwarte}, A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }Q_j\right \}. \]
2. W definicji \(\Le _e^n\) można ograniczyć się do kostek otwartych lub domkniętych o średnicy mniejszej od dowolnie ustalonej stałej \(\delta >0\).
Definicja 1.7.5 Zbiór \(A\subset \R ^n\) spełniający warunek Carathéodory’ego względem miary zewnętrznej Lebesgue’a \(\Le _e^n\) będziemy nazywać mierzalnym w sensie Lebesgue’a, a \(\sigma \)-algebrą \(\frak M_{\Le _e^n}\) wszystkich tych zbiorów będziemy oznaczać przez \(\frak L_n\). Miarę nieujemną \(\Le ^n_e|_{\frak L_n}\) nazywamy miarą Lebesgue’a i oznaczmy ją przez \(\Le ^n\). (Uwaga: miara Lebesgue’a jest również oznaczana przez \(m_n\) lub \(\lambda _n\).)
Zauważmy, że w powyższej definicji można założyć, że zbiory \(A_j\) są parami rozłączne lub tworzą ciąg wstępujący.
1. \(\Le ^n\) jest miarą zupełną w \(\R ^n\).
2. \(\Le ^n_e\) jest miarą zewnętrzną metryczną w \(\R ^n\).
3. \(\mathcal B(\R ^n)\subset \frak L_n\).
4. Jeżeli \(P\) jest kostką w \(\R ^n\), to \(\Le ^n(P)=V^n(P)\).
5. Jeżeli \(A\subset \R ^n\) jest zbiorem ograniczonym, to \(\Le ^n_e(A)<+\infty \).
6. \(\Le ^n\) jest miarą \(\sigma \)-skończoną.
7. \(\forall \, Y\subset \R ^n \ \exists \, G\subset \R ^n, G-\text {typu}\ G_{\delta }, Y\subset G: \Le ^n_e(Y)=\Le ^n(G)\).
8. \(\Le ^n_e\) jest miarą zewnętrzną regularną w \(\R ^n\).
9. Dla dowolnych \(Y\subset \R ^n\), \(a\in \R ^n\) zachodzi \(\Le ^n_e(a+Y)=\Le ^n_e(Y)\).
10. Dla dowolnych \(Y\subset \R ^n\), \(s\in [0,+\infty ]\) zachodzi \(\Le ^n_e(sY)=s^n\Le ^n_e(Y)\).
11. Dla dowolnych \(Y\in \frak L_n\), \(a\in \R ^n\) zachodzi \(a+Y\in \frak L_n\) oraz \(\Le ^n(a+Y)=\Le ^n(Y)\).
12. Dla dowolnych \(Y\in \frak L_n\), \(s\in [0,+\infty )\) zachodzi \(sY\in \frak L_n\) oraz \(\Le ^n(sY)=s^n\Le ^n(Y)\).
Dowód. Punkt \((1)\). Wynika z Twierdzenia 1.6.9.
Punkt \((2)\). Weźmy zbiory \(A,B\subset \R ^n\) takie, że ich odległość \(\operatorname {dist}(A,B)=\rho >0\). Można założyć, że \(\Le ^n_e(A),\Le ^n_e(B)<+\infty \). Z własności miary zewnętrznej mamy \(\Le ^n_e(A\cup B)\leq \Le ^n_e(A)+\Le ^n_e(B)\). Aby wykazać przeciwną nierówność weźmy pokrycie kostkami domkniętymi \(P_j\), \(j\in \N \), \(A\cup B\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }P_j\) oraz \(\operatorname {diam}P_j<\frac {\rho }{3}\). Wtedy
\[ A\subset \bigcup _{j: P_j\cap A\neq \emptyset }P_j \ \text { oraz } \ B\subset \bigcup _{j: P_j\cap B\neq \emptyset }P_j. \]
Z ciągu \(P_j\) odrzućmy te kostki, które nie mają punktów wspólnych z \(A\cup B\). Wtedy albo \(A\cap P_j\neq \emptyset \) albo \(B\cap P_j\neq \emptyset \), bo \(\operatorname {diam}P_j<\frac {\rho }{3}\). Dostajemy
\[ \Le ^n_e(A)+\Le ^n_e(B)\leq \sum _{j: P_j\cap A\neq \emptyset }V^n(P_j)+\sum _{j: P_j\cap B\neq \emptyset }V^n(P_j)=\sum _{j}V^n(P_j), \]
a po przejściu do infimum otrzymujemy \(\Le ^n_e(A)+\Le ^n_e(B)\leq \Le ^n_e(A\cup B)\).
Punkt \((3)\). Wynika z punktu \((2)\).
Punkt \((4)\). Każda kostka \(P\subset \R ^n\) jest zbiorem borelowskim. Z Obserwacji 1.7.3 dostajemy \(V^n(P)=\Le ^n_e(P)=\Le ^n(P)\).
Punkt \((5)\). Jeżeli \(Y\) jest zbiorem ograniczonym, to istnieje kostka domknięta \(P\) taka, że \(Y\subset P\), a wtedy \(\Le _e^n(Y)\leq \Le ^n_e(P)=V^n(P)<+\infty \).
Punkt \((6)\). Zauważmy, że \(\R ^n=\bigcup _{j=1}^{\infty }[-j,j]^n\).
Punkt \((7)\). Jeżeli \(\Le _e^n(Y)=+\infty \), to wystarczy przyjąć \(G=\R ^n\). Załóżmy teraz, że \(\Le _e^n(Y)<+\infty \). Dla dowolnego \(k\in \N \) istnieje pokrycie kostkami otwartymi \(P_j^k\) takie, że \(Y\subset \bigcup _{j=1}^{\infty } P_j^k\) oraz \(\Le ^n_e(Y)+\frac 1k\geq \sum _{j=1}^{\infty }V^n(P_j^k)\). Przyjmijmy \(\tilde G_k=\bigcup _{j=1}^{\infty } P_j^k\in \operatorname {top}\R ^n\). Wtedy
\[ \Le _e^n(Y)\leq \Le ^n_e(\tilde G_k)=\Le ^n(\tilde G_k)\leq \sum _{j=1}^{\infty }V^n(P_j^k)\leq \Le ^n_e(Y)+\frac 1k. \]
Zdefiniujmy zbiory
\[ G_k=\tilde G_1\cap \dots \cap \tilde G_k, \ \ G=\bigcap _{j=1}^{\infty }\tilde G_j. \]
Wtedy \(Y\subset G\subset G_k\), \(G_k\in \operatorname {top}\R ^n\), \(G\) jest zbiorem typu \(G_{\delta }\). Ponadto dostajemy
\( \seteqsection {1} \)
\begin{equation*} \begin {alignedat}{2} \Le _e^n(Y)\leq \Le ^n_e(G_k)= &\Le ^n(G_k)\leq \Le ^n_e(Y)+&\frac 1k, \\ &\downarrow k\to \infty &\downarrow k\to \infty \\ \Le _e^n(Y)\leq &\Le ^n(G)\leq &\Le ^n_e(Y). \end {alignedat} \end{equation*}
Punkt \((8)\). Wynika z punktu \((7)\).
Punkt \((9)\). Wystarczy zauważyć, że dla dowolnej kostki \(P\) zbiór \(a+P\) jest też kostką oraz \(V^n(a+P)=V^n(P)\). Ponadto każdemu pokryciu kostkami \(P_j\) zbioru \(Y\) odpowiada pokrycie \(a+P_j\) zbioru \(a+Y\), a każdemu pokryciu kostkami \(Q_j\) zbioru \(a+Y\) odpowiada pokrycie \(-a+Q_j\) zbioru \(Y\).
Punkt \((10)\). Dla \(s=0\) równość jest oczywista. Dla \(s>0\) wystarczy zauważyć, że dla dowolnej kostki \(P\) zbiór \(sP\) jest też kostką oraz \(V^n(sP)=s^nV^n(P)\). Ponadto każdemu pokryciu kostkami \(P_j\) zbioru \(Y\) odpowiada pokrycie \(sP_j\) zbioru \(sY\), a każdemu pokryciu kostkami \(Q_j\) zbioru \(sY\) odpowiada pokrycie \(s^{-1}Q_j\) zbioru \(Y\).
Punkty \((11)\) i \((12)\). Jeżeli \(Y\in \frak L_n\), to mierzalność zbiorów \(a+Y\) i \(sY\) wynika z Twierdzenia 1.7.8. Wzory \(\Le ^n(a+Y)=\Le ^n(Y)\) i \(\Le ^n(sY)=s^n\Le ^n(Y)\) wynikają z punktów \((9)\) i \((10)\).
Twierdzenie 1.7.8 Niech \(A\subset \R ^n\). Wtedy następujące warunki są równoważne:
1. \(A\in \frak L_n\);
2. \(\forall \, \epsilon >0 \ \exists \, G\in \operatorname {top}\R ^n: A\subset G, \, \Le ^n(G\setminus A)<\epsilon \);
3. \(A=B\setminus C\), gdzie \(B\) jest zbiorem typu \(G_{\delta }\) i \(\Le ^n(C)=0\);
4. \(\forall \, \epsilon >0 \ \exists \, F\in \operatorname {cotop}\R ^n: F\subset A, \, \Le ^n(A\setminus F)<\epsilon \);
5. \(A=B\cup C\), gdzie \(B\) jest zbiorem typu \(F_{\sigma }\) i \(\Le ^n(C)=0\);
6. \(A=B\cup C\), gdzie \(B\) jest zbiorem \(\sigma \)-zwartym6 i \(\Le ^n(C)=0\).
Dowód. Implikacja \((1)\Rightarrow (2)\). Ustalmy dowolne \(\epsilon >0\). Ponieważ miara Lebesgue’a jest \(\sigma \)-skończona (Twierdzenie 1.7.7), to istnieją zbiory \(A_j\in \frak L_n\),
\(j\in \N \), \(\Le ^n(A_j)<+\infty \) oraz \(A=\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\). Skoro \(\Le ^n_e(A_j)=\Le ^n(A_j)\), to korzystając z definicji miary zewnętrznej Lebesgue’a istnieją zbiory otwarte \(G_j\supset A_j\) (\(G_j\) jest
przeliczalną sumą kostek otwartych) takie, że
\(\Le ^n(G_j)\leq \Le ^n(A_j)+2^{-j-1}\epsilon \). Niech \(G=\bigcup _{j=1}^{\infty }G_j\in \operatorname {top}\R ^n\), wtedy \(A\subset G\) oraz
\[ G\setminus A=\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }G_j\right )\setminus \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }(G_j\setminus A_j) \]
i w końcu
\[ \Le ^n(G\setminus A)\leq \Le ^n\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }(G_j\setminus A_j) \right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\Le ^n(G_j\setminus A_j)\leq \frac {\epsilon }{2}<\epsilon . \]
Implikacja \((2)\Rightarrow (3)\). Dla dowolnego \(j\in \N \) istnieje zbiór \(G_j\in \operatorname {top}\R ^n\) taki, że \(A\subset G_j\) oraz \(\Le ^n(G_j\setminus A)\leq \frac 1j\). Zdefiniujmy zbiór \(B=\bigcap _{j=1}^{\infty } G_j\supset A\). Wtedy \(B\) jest zbiorem typu \(G_{\delta }\) i niech \(C=B\setminus A\subset G_j\setminus A\). Dostajemy, że \(\Le ^n(C)\leq \Le ^n(G_j\setminus A)\leq \frac 1j\), czyli \(\Le ^n(C)=0\).
Implikacja \((3)\Rightarrow (1)\). Zbiory \(B,C\in \frak L_n\), a wtedy \(A=B\setminus C\in \frak L_n\).
Implikacja \((2)\Rightarrow (4)\). Jeżeli \(A\in \frak L_n\), to \(A’\in \frak L_n\). Ustalmy dowolne \(\epsilon >0\). Z punktu \((2)\) wnioskujemy, że istnieje zbiór otwarty \(G\) taki, że \(A’\subset G\) oraz \(\Le ^n(G\setminus A’)< \epsilon \) oraz \(G\setminus A’=A\setminus G’\). Niech \(F=G’\), a wtedy \(F\subset A\) i \(\Le ^n(A\setminus F)=\Le ^n(G\setminus A’)< \epsilon \).
Implikacja \((4)\Rightarrow (5)\). Dla dowolnego \(j\in \N \) istnieje zbiór \(F_j\in \operatorname {cotop}\R ^n\) taki, że \(A\supset F_j\) oraz \(\Le ^n(A\setminus F_j)\leq \frac 1j\). Zdefiniujmy zbiór \(B=\bigcup _{j=1}^{\infty } F_j\subset A\). Wtedy \(B\) jest zbiorem typu \(F_{\sigma }\) i niech \(C=A\setminus B\subset A\setminus F_j\). Dostajemy, że \(\Le ^n(C)\leq \Le ^n(A\setminus F_j)\leq \frac 1j\), czyli \(\Le ^n(C)=0\).
Implikacja \((5)\Rightarrow (6)\). Wystarczy zauważyć, że każdy zbiór domknięty jest \(\sigma \)-zwarty.
Implikacja \((6)\Rightarrow (1)\). Wystarczy zauważyć, że przeliczalna suma zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mierzalna w sensie Lebesgue’a.
Wniosek 1.7.9 Miara Lebesgue’a jest miarą regularną7, tzn.
\[ \begin {aligned} \Le ^n(A)&=\inf \left \{\Le ^n(U): U\in \operatorname {top}\R ^n, A\subset U\right \}\ \text {(miara zewnÄŹtrznie regularna)}\\ &=\sup \left \{\Le ^n(K): K-\text {zbiÃşr zwarty}, K\subset A\right \}\ \text {(miara wewnÄŹtrznie regularna)}. \end {aligned} \]
Ćwiczenie 1.7.10 Znaleźć zbiór nieborelowski mierzalny w sensie Lebesgue’a.
Teraz podamy przykład zbioru niemierzalnego.
Przykład 1.7.11 (Zbiór Vitalego8). Istnieje zbiór \(V\subset \R \) niemierzalny w sensie Lebesgue’a9. Na odcinku \([0,1]\) zdefiniujmy relację równoważności
\[ x\sim y\ \Leftrightarrow x-y\in \Q . \]
Niech \(V\) będzie zbiorem utworzonym z reprezentantów klas abstrakcji \([0,1]/\sim \), tzn.
\[ \left (A\in [0,1]/\sim \right )\Rightarrow \left (\#(A\cap V)=1\right ). \]
Niech \(r_n\) będzie ciągiem liczb wymiernych z odcinka \([-1,1]\). Zdefiniujmy \(V_n=r_n+V\). Wtedy zbiory \(V_n\) są parami rozłączne, bo jeżeli istnieje \(x\in V_n\cap V_m\), to \(x=r_n+a=r_m+b\), i dochodzimy do sprzeczności, gdyż \(a-b=r_m-r_n\in \mathbb Q\). Ponadto \([0,1]\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }V_n\subset [-1,2]\), bo jeżeli \(x\in [0,1]\), to \(x\in [y]\in [0,1]/\sim \) oraz \(x\in V_k\), gdzie \(r_k=x-y\in \Q \cap [-1,1]\); jeżeli \(z\in V_n\), to \(z=r_n+x\), \(r_n\in [-1,1]\), \(x\in [0,1]\), czyli \(z\in [-1,2]\). Załóżmy teraz, że \(V\in \frak L_1\), wtedy również \(V_n\in \frak L_1\). Ponieważ zbiory te są ograniczone to \(\Le ^1(V)=\Le ^1(V_n)=c\), \(n\in \N \). Skoro \([0,1]\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }V_n\), to \(c>0\), a wtedy \(\Le ^1\left (\bigcup _{n=1}^{\infty }V_n\right )=\sum _{n=1}^{\infty }c=+\infty \), co jest niemożliwe skoro \(\bigcup _{n=1}^{\infty }V_n\subset [-1,2]\).
Przykład 1.7.12 (Zbiór Cantora10). Niech \(C_0=[0,1]\). Z odcinka \(C_0\) usuwamy środkowy odcinek otwarty \((\frac 13,\frac 23)\) i dostajemy zbiór domknięty \(C_1\). Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór \(C_n\), tak że jest sumą \(2^{n}\) rozłącznych odcinków domkniętych. Każdy z \(2^{n}\) odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na \(3\) rozłączne odcinki równej długości, z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Usuwamy ze zbioru \(C_n\) wszystkie środkowe odcinki otwarte. Precyzyjniej
\[ C_n=\frac 13C_{n-1}\cup \left (\frac 23+\frac 13C_{n-1}\right ), \ n\geq 1, \ C_0=[0,1]. \]
Zbiór
\[ C:=\bigcap _{n=1}^{\infty }C_n \]
nazywamy zbiorem Cantora. Zbiór Cantora jest mocy continuum, jest zwarty, doskonały (nie ma punktów izolowanych), nigdziegęsty (wnętrze domknięcia jest puste) i ma miarę Lebesgue’a zero (bo \(C_n\supset C_{n+1}\) oraz \(\Le ^1(C_n)=\left (\frac 23\right )^n\)).
5 Henri Lebesgue (1875-1941) – francuski matematyk.
6 Zbiór \(B\) jest zbiorem \(\sigma \)-zwartym, gdy jest przeliczalną sumą zbiorów zwartych.
7 Miarę nazywamy regularną, gdy jest miarą zewnętrznie regularną i wewnętrznie regularną.
8 Giuseppe Vitali (1875-1932) – włoski matematyk.
9 W konstrukcji zostanie wykorzystany Aksjomat wyboru.
10 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) – niemiecki matematyk.