Niech \((X,d)\) będzie przestrzenią metryczną i niech \(p\in [0,+\infty )\). Dla \(Y\subset X\) zdefiniujmy
\[ h^p(Y)=\left \{ \begin {array}{ll} \frac {\pi ^{\frac p2}}{2^p\Gamma (\frac p2+1)}(\operatorname {diam}(Y))^p, & Y\neq \emptyset ; \\ 0, & Y=\emptyset , \end {array} \right . \]
gdzie \(\Gamma (x)=\int _0^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\) jest funkcją gamma Eulera11.
Funkcję \((0,+\infty )\ni x\to x^p\in (0,+\infty )\) przedłużamy na \([0,+\infty ]\to [0,+\infty ]\) w ten sposób, aby \(0^0=(+\infty )^0=1\), \(0^p=0\), \((+\infty )^p=+\infty \), \(p>0\).
Definicja 1.9.1 Liczbę
\[ \Ha _{\delta }^p(Y):=\inf \left \{\sum _{j=1}^{\infty }h^p(Y_j): Y_j\subset Y, j\in \N , Y\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }Y_j, \operatorname {diam}(Y_j)\leq \delta \right \} \]
nazywamy \(p\)-tą \(\delta \)-aproksymantą miary Hausdorffa12 zbioru \(Y\).
Zauważmy, że jeśli \(\delta _1\leq \delta _2\), to \(\Ha _{\delta _2}^p(Y)\leq \Ha _{\delta _1}^p(Y)\) (pokryć o średnicach większych jest więcej). Z tego wynika, że istnieje granica
\[ \lim _{\delta \searrow 0^+}\Ha _{\delta }^p(Y)=:\Ha _{e}^p(Y). \]
Obserwacja 1.9.2 \(\Ha _{\delta }^p\) i \(\Ha _{e}^p\) są miarami zewnętrznymi na \(X\).
Dowód. Wynika z Obserwacji 1.6.5.
Definicja 1.9.3 Niech \(\frak H_p\) oznacza \(\sigma \)-algebrę zbiorów mierzalnych względem \(p\)-miary zewnętrznej Hausdorffa \(\Ha _{e}^p\). Miarę \(\Ha _{e}^p|_{\frak H_p}\) nazywamy \(p\)-tą miarą Hausdorffa i oznaczamy \(\Ha ^p\).
Przykład 1.9.4 \(\Ha ^0\) jest miarą liczącą na \(X\) oraz \(\frak H_0=\mathcal P(X)\).
Przykład 1.9.5 Niech \(X=\R ^3\), wtedy
1. dla \(p=3\) miara \(\Ha ^3\) mierzy objętości zbiorów;
2. dla \(p=2\) miara \(\Ha ^2\) mierzy pole powierzchni;
3. dla \(p=1\) miara \(\Ha ^1\) mierzy długości łuków;
4. dla \(p=0\) miara \(\Ha ^0\) jest miarą liczącą.
Obserwacja 1.9.6 W \(\R ^n\) miary \(\Le ^n\) i \(\Ha ^n\) zgadzają się na zbiorach borelowskich.
Twierdzenie 1.9.7
1. \(\Ha ^p\) jest miarą zupełną.
2. \(\Ha ^p_e\) jest miarą zewnętrzną metryczną.
3. \(\mathcal B(X)\subset \frak H_p\).
4. Jeżeli \(A\subset \R ^n\) jest zbiorem zwartym, to \(\Ha ^p(A)<+\infty \).
5. \(\forall \, Y\subset X \ \exists \, G\subset X, G-\text {typu}\ G_{\delta }, Y\subset G: \Ha ^p_e(Y)=\Ha ^p(G)\).
6. \(\Ha ^p_e\) jest miarą zewnętrzną regularną.
7. Dla dowolnych \(Y\subset \R ^n\), \(a\in \R ^n\) zachodzi \(\Ha ^p_e(a+Y)=\Ha ^p_e(Y)\).
8. Dla dowolnych \(Y\in \frak H_p\), \(a\in \R ^n\) zachodzi \(a+Y\in \frak H_p\) oraz \(\Ha ^p(a+Y)=\Ha ^p(Y)\).
9. Jeżeli \(\Ha ^p(A)<+\infty \) i \(s>p\), to \(\Ha ^s(A)=0\).
Dowód. Jest analogiczny do dowodu Twierdzenia 1.7.7.
Liczbę
\[ \operatorname {dim}_{\mathcal H}(A)=\inf \{p\geq 0: \Ha ^p(A)=0\}\in [0,+\infty ] \]
nazywamy wymiarem Haussdorffa zbioru \(A\). Mamy następującą własność:
\[ \Ha ^p(A)=\left \{ \begin {array}{ll} +\infty , & p< \operatorname {dim}_{\mathcal H}(A);\\ c\in (0,\infty ), & p=\operatorname {dim}_{\mathcal H}(A); \\ 0, & p> \operatorname {dim}_{\mathcal H}(A). \end {array} \right . \]
Twierdzenie 1.9.8 Niech \(A\subset X\), \(\Ha ^p_e(A)<+\infty \). Wtedy następujące warunki są równoważne:
1. \(A\in \frak H_p\);
2. \(A=B\setminus C\), gdzie \(B\) jest zbiorem typu \(G_{\delta }\) i \(\Ha ^p(C)=0\);
3. \(A=B\cup C\), gdzie \(B\in \mathcal B(X)\) i \(\Ha ^p(C)=0\);
Dowód. Jest analogiczny do dowodu Twierdzenia 1.7.8.
11 Leonhard Euler (1707-1783) — szwajcarski matematyk i fizyk.
12 Felix Hausdorff (1868-1942) - niemiecki matematyk.