W tym podrozdziale będziemy zawsze zakładali, że \(\mu \) i \(\nu \) są miarami nieujemnymi określonymi na przestrzeni mierzalnej \((X,\frak M)\).
Dowód. Z Twierdzenia 2.1.32 wiemy, że \(\nu \) jest miarą. Jeżeli \(f\in \mathcal M^+(X,\frak M)\), to istnieje ciąg funkcji prostych mierzalnych \(f_n\nearrow f\), \(f_n=\sum _{j=1}^{k(n)}a_j^n\chi _{A_j^n}\). Jeżeli \(A\in \frak M\), \(\mu (A)=0\), to
\[ \nu (A)=\int _Af\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _Af_n\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{k(n)}a_j^n\mu (A_j^n\cap A)=0. \]
Naszym celem jest udowodnienie twierdzenia odwrotnego do Obserwacji 3.3.1, czyli do znalezienia charakteryzacji wszystkich miar spełniających warunek (3.3.1).
1. Mówimy, że miara \(\nu \) jest absolutnie ciągła względem miary \(\mu \), (piszemy \(\nu <<\mu \)), gdy
\[ \forall \, A\in \frak M: \mu (A)=0 \Rightarrow \nu (A)=0. \]
2. Mówimy, że miara \(\mu \) jest skupiona na zbiorze \(A\in \frak M\), gdy
\[ \forall \, B\in \frak M: \mu (B)=\mu (A\cap B). \]
3. Mówimy, że miara \(\nu \) jest osobliwa względem miary \(\mu \) (piszemy \(\nu \bot \mu \)), gdy istnieją zbiory \(A,B\in \frak M\), \(A\cap B=\emptyset \) takie, że \(\mu \) jest skupiona na \(A\) i \(\nu \) jest skupiona na \(B\).
4. Jeżeli miary \(\mu \) i \(\nu \) są związane wzorem \(\nu (A)=\int _Af\,d\mu \), dla \(A\in \frak M\), to funkcję
\(f\in \mathcal M^+(X,\frak M)\) nazywamy gęstością miary \(\nu \) względem miary \(\mu \) lub pochodną Radona5–Nikodyma6 i piszemy \(\nu =f\mu (d\nu =fd\mu )\) lub \(f=\frac {d\nu }{d\mu }\).
Obserwacja 3.3.3 Niech \(\mu \), \(\nu \), \(\nu _1\), \(\nu _2\) będą miarami na \((X,\frak M)\). Wtedy
1. \(\nu \bot \mu \) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór \(C\in \frak M\) taki, że \(\mu (C)=0\) i \(\nu (C’)=0\);
2. jeżeli \(\nu \bot \mu \), to \(\mu \bot \nu \);
3. jeżeli \(\nu _1\bot \mu \) i \(\nu _2\bot \mu \), to \((\nu _1+\nu _2)\bot \mu \);
4. jeżeli \(\nu _1<< \mu \) i \(\nu _2<< \mu \), to \((\nu _1+\nu _2)<< \mu \);
5. jeżeli \(\nu _1<< \mu \) i \(\nu _2\bot \mu \), to \(\nu _1\bot \nu _2\);
6. jeżeli \(\nu << \mu \) i \(\nu \bot \mu \), to \(\nu =0\).
Dowód. Punkt \((1)\). Jeżeli istnieje zbiór \(C\in \frak M\) taki, że \(\mu (C)=0\) i \(\nu (C’)=0\), to \(\mu \) jest skupiona na \(C’\) i \(\nu \) jest skupiona na \(C\). I odwrotnie gdy istnieją zbiory \(A,B\in \frak M\), \(A\cap B=\emptyset \) takie, że \(\mu \) jest skupiona na \(A\) i \(\nu \) jest skupiona na \(B\), to można przyjąć \(C=B\).
Punkt \((2)\) wynika z symetrii warunku z punktu (1).
Punkt \((3)\). Załóżmy, że istnieją zbiory \(A,B\in \frak M\): \(\mu (A)=0\), \(\nu _1(A’)=0\) i \(\mu (B)=0\),
\(\nu _2(B’)=0\). Niech \(C=A\cup B\) wtedy mamy \(\mu (C)=\mu (A\cup B)\leq \mu (A)+\mu (B)=0\) oraz \(C’=A’\cap B’\) i wtedy \(\nu _1(C’)+\nu _2(C’)\leq \nu _1(A’)+\nu _2(B’)=0\), czyli \((\nu _1+\nu _2)\bot \mu \).
Punkt \((4)\). Jeżeli \(A\in \frak M\) jest taki, że \(\mu (A)=0\), \(\nu _1(A)=0\) i \(\nu _2(A)=0\), to wtedy \(\nu _1(A)+\nu _2(A)=0\), czyli \((\nu _1+\nu _2)<< \mu \).
Punkt \((5)\). Jeżeli istnieje zbiór \(C\in \frak M\) taki, że \(\mu (C)=0\) i \(\nu _2(C’)=0\) i wtedy \(\nu _1(C)=0\), czyli \(\nu _1\bot \nu _2\).
Punkt \((6)\). Z punktu (5) wynika, że \(\nu \bot \nu \), a wtedy to \(\nu =0\).
Ćwiczenie 3.3.4 Mamy \(\Le ^1|_{[0,1]}\bot \Le ^1|_{[2,3]}\) oraz \(\Le ^1\bot \delta _0\).
Twierdzenie 3.3.5 Załóżmy, że miary \(\mu \), \(\lambda \) są miarami \(\sigma \)-skończonymi.
1. (Rozkład Lebesgue’a) Istnieje dokładnie jedna para miar \(\lambda _a\) i \(\lambda _o\) taka, że
\[ \lambda =\lambda _a+\lambda _o, \ \lambda _a<<\mu , \ \lambda _o\bot \mu . \]
2. (Twierdzenie Radona-Nikodyma) Istnieje dokładnie jedna funkcja \(f\in \mathcal M^+(X,\mu )\) (z dokładnością \(\mu \)-p.w.) taka, że
\[ \forall \, E\in \frak M: \lambda _a(E)=\int _Ef\,d\mu . \]
Ponadto, jeżeli \(\lambda (X)<+\infty \), to \(f\in L^1(X,\mu )\).
Zanim podamy dowód Twierdzenia 3.3.5 przypomnimy kilka faktów dotyczących przestrzeni Hilberta7.
Uwaga 3.3.6 Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą. Zdefiniujmy normę
\[ ||f||_2:=\left (\int _X|f|^2\,d\mu \right )^{\frac 12}, \]
przestrzeń
\[ L^2(X,\mu ):=\{f\in \mathcal M(X): ||f||_2<+\infty \} \]
i relację równoważności w tej przestrzeni
\[ f\sim g \iff f=g \ \mu -\text {p.w.} \]
Wtedy \(L^2(X,\mu )/{\sim }\) jest przestrzenią wektorową oznaczaną również przez \(L^2(X,\mu )\).
Przestrzeń \(L^2(X,\mu )\) jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym
\[ \langle f,g\rangle =\int _{X}fg\,d\mu . \]
W dowolnej przestrzeni Hilberta z iloczynem skalarnym \(\langle \cdot ,\cdot \rangle \) zachodzi
• nierówność Schwarza8: dla dowolnych \(x,y\in H\) mamy
\[ |\langle x,y\rangle |\leq ||x||||y||, \ \text {gdzie} \ ||x||=\sqrt {\langle x,x\rangle }. \]
• twierdzenie Riesza9: dla dowolnego ciągłego funkcjonału liniowego10 \(L\) na \(H\) istnieje dokładnie jeden \(y\in H\) taki, że
\[ L(x)=\langle x,y\rangle . \]
Teraz udowodnimy Twierdzenie 3.3.5.
Dowód.(von Neumanna11)
Jednoznaczność rozkładu Lebesgue’a.
Niech \(\lambda =\lambda _a+\lambda _o=\lambda _a’+\lambda _o’\), wtedy \(\lambda _a-\lambda _a’=\lambda _s’-\lambda _s\) oraz
\[ \lambda _a-\lambda _a’<<\mu \ \text {i} \ \lambda _o’-\lambda _o\bot \mu , \]
czyli z Obserwacji 3.3.3 mamy \(\lambda _a-\lambda _a’=\lambda _o’-\lambda _o=0\).
Istnienie rozkładu i pochodnej Radona–Nikodyma.
I. Załóżmy na początek, że miary \(\mu \) i \(\lambda \) są skończone.
Niech \(\varphi =\mu +\lambda \) będzie miarą dodatnią. Zauważmy, że
\[ \int _Xf\,d\varphi =\int _Xf\,d\lambda +\int _Xf\,d\mu , \]
co można łatwo sprawdzić najpierw dla \(f=\chi _E\), potem dla \(f\in \mathcal M^+_0\) i w końcu dla \(f\in \mathcal M^+\). Jeżeli funkcja \(f\in L^2(X,\varphi )\), to z nierówności Schwarza otrzymujemy
\[ \left |\int _Xf\,d\lambda \right |\leq \int _X|f|\,d\lambda \leq \int _X|f|\,d\varphi \leq \left (\int _X|f|^2\,d\varphi \right )^{\frac 12}\left (\varphi (X)\right )^{\frac 12}. \]
Ponieważ \(\varphi (X)<+\infty \), to odwzorowanie
\[ f\mapsto \int _Xf\,d\lambda \]
jest funkcjonałem ciągłym na \(L^2(X,\varphi )\). Zatem z twierdzenia Riesza istnieje dokładnie jedna funkcja \(g\in L^2(X,\varphi )\) (\(g\) jest określona \(\varphi \)-p.w.) taka, że
\( \seteqsection {3} \) \( \seteqnumber {2} \)
\begin{equation} \label {w14} \forall \, f\in L^2(X,\varphi ): \, \int _Xf\,d\lambda =\int _Xfg\,d\varphi . \end{equation}
Dla \(E\in \frak M\), \(\varphi (E)>0\) i \(f=\chi _E\) mamy z równości (3.3.2)
\[ \lambda (E)=\int _Xf\,d\lambda =\int _Eg\,d\varphi , \]
a więc
\[ 0\leq \frac {1}{\varphi (E)}\int _Eg\,d\varphi \leq \frac {1}{\lambda (E)}\int _Eg\,d\varphi =1. \]
Stąd wnioskujemy, że \(g(x)\in [0,1]\) dla \(\varphi \)-p.w. \(x\in X\). Aby to wykazać weźmy odcinek \((a-r,a+r)\subset \R \setminus [0,1]\). Wystarczy pokazać, że \(\varphi (E)=0\), gdzie \(E=g^{-1}((a-r,a+r))\). Gdyby \(\varphi (E)>0\), to
\[ \left |\frac {1}{\varphi (E)}\int _Eg\,d\varphi -a \right |=\frac {1}{\varphi (E)}\left |\int _E(g-a)\,d\varphi \right |\leq \frac {1}{\varphi (E)}\int _E|g-a|\,d\varphi \leq \frac {1}{\varphi (E)}\int _Er\,d\varphi =r, \]
czyli \(\frac {1}{\varphi (E)}\int _Eg\,d\varphi \notin [0,1]\). Możemy teraz poprawić funkcję \(g\) na zbiorze miary zero tak, aby otrzymać
\[ \forall \, x\in [0,1]: 0\leq g(x)\leq 1. \]
Równość (3.3.2) możemy napisać w postaci
\[ \forall \, f\in L^2(X,\varphi ): \, \int _Xf\,d\lambda =\int _Xfg\,d\varphi =\int _Xfg\,d\mu +\int _Xfg\,d\lambda , \]
czyli
\( \seteqsection {3} \) \( \seteqnumber {3} \)
\begin{equation} \label {w15} \forall \, f\in L^2(X,\varphi ): \, \int _X(1-g)f\,d\lambda =\int _Xfg\,d\mu . \end{equation}
Zdefiniujmy zbiory
\[ A:=\{x\in X: 0\leq g(x)<1\} \ \text {oraz} \ B:=\{x\in X: g(x)=1\}, \]
a wtedy mamy
\[ \forall \, E\in \frak M: \lambda _a(E):=\lambda (A\cap E) \ \text {oraz} \ \lambda _o(E):=\lambda (B\cap E). \]
Biorąc \(f=\chi _B\) w równości (3.3.3) mamy
\[ 0=\int _B(1-g)\,d\lambda =\int _X(1-g)\chi _B\,d\lambda =\int _Xg\chi _B\,d\mu =\int _X\chi _B\,d\mu =\mu (B), \]
czyli \(\mu (B)=0\), a więc \(\lambda _o\bot \mu \).
Ponieważ funkcja \(g\) jest ograniczona, to do równości (3.3.3) można podstawić funkcję \(f=(1+g+\dots +g^n)\chi _E\), gdzie \(n\in \N \), \(E\in \frak M\). Wtedy otrzymujemy
\( \seteqsection {3} \) \( \seteqnumber {4} \)
\begin{equation} \label {w16} \int _E(1-g^{n+1})\,d\lambda =\int _Eg(1+g+\dots +g^n)\,d\mu . \end{equation}
Dla \(x\in B\) mamy \(g(x)=1\) i wtedy \(1-g(x)^{n+1}=0\) oraz dla \(x\in A\) mamy \(g^{n+1}(x)\nearrow 0\), \(n\to \infty \). Zatem przy \(n\to \infty \) dostajemy
\[ \int _E(1-g^{n+1})\,d\lambda =\int _{E\cap B}(1-g^{n+1})\,d\lambda +\int _{E\cap A}(1-g^{n+1})\,d\lambda \to \int _{E\cap A}1\,d\lambda =\lambda (E\cap A)=\lambda _a(E). \]
Ponadto \(g(1+g+\dots +g^n)\nearrow \frac {g}{1-g}=h\in \mathcal M^+(X)\) (\(h=+\infty \) na zbiorze miary zero \(B\)). Z twierdzenia o zbieżności monotonicznej mamy
\[ \int _Eg(1+g+\dots +g^n)\,d\mu \to \int _Eh\,d\mu , \ n\to \infty , \]
czyli
\[ \lambda _a(E)=\int _Eh\,d\mu . \]
Biorąc \(E=X\) mamy
\[ +\infty > \lambda _a(X)=\int _Xh\,d\mu \]
czyli \(h\in L^1(X,\mu )\) i \(\lambda _a<<\mu \).
II. Załóżmy, że \(\mu \) jest \(\sigma \)-skończona i \(\lambda \) jest skończona.
Wtedy istnieją zbiory rozłączne mierzalne \(X_n\) takie, że \(\mu (X_n)<+\infty \) i \(X=\bigcup _{n=1}^{\infty }X_n\). Stosujemy punkt I do miar na zbiorze \(X_n\). Dostajemy rozkład miar \(\lambda (E\cap X_n)\), które w sumie dają rozkład miary \(\lambda \). Otrzymujemy również funkcje \(h_n\) na \(X_n\), które definiują funkcję \(h\) na \(X\) (\(x\in X_n\) to \(h(x)=h_n(x)\)). Ponieważ \(\lambda (X)<+\infty \), \(h\in L^1(X,\mu )\).
III. Załóżmy, że miary \(\mu \) i \(\lambda \) są \(\sigma \)-skończone.
Powtarzamy rozumowanie z punktu II. Wtedy tylko funkcja \(h\) nie musi być całkowalna.
Jednoznaczność pochodnej Radona–Nikodyma.
Załóżmy, że istnieją dwie funkcje \(h_1\) i \(h_2\) takie, że
\[ \forall \,E\in \frak M: \ \lambda _a(E)=\int _Eh_1\,d\mu =\int _Eh_2\,d\mu . \]
Jeżeli \(\lambda \) jest skończona, to \(h_1,h_2\in L^1(X,\mu )\) i wtedy
\[ \forall \,E\in \frak M: \ \int _E(h_1-h_2)\,d\mu =0, \]
czyli \(h_1=h_2\) \(\mu \)-p.w.
Jeżeli \(\lambda \) jest \(\sigma \)-skończona, to wtedy dla dowolnego \(n\in \N \) mamy \(h_1=h_2\) \(\mu \)-p.w. na zbiorze \(X_n\), z czego wynika, że \(h_1=h_2\) \(\mu \)-p.w.
Twierdzenie Radona–Nikodyma nie jest prawdziwe dla miar, które nie są \(\sigma \)-skończone.
Przykład 3.3.7 Niech \(\mu \) będzie miarą liczącą na \(\R \). Wtedy mamy \(\Le ^1<<\mu \), ale nie istnieje funkcja \(f\) taka, że \(\Le ^1=f\,\mu \). Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że taka funkcja istnieje. Wtedy można znaleźć \(x\in \R \) taki, że \(f(x)>0\) i otrzymać
\[ 0<f(x)=f(x)\mu (\{x\})=\int _{\{x\}}f\,d\mu =\Le ^1(\{x\})=0. \]
5 Johann Karl August Radon (1887-1956) – austriacki matematyk.
6 Otto Marcin Nikodym (1887-1974) – polski matematyk.
7 David Hilbert (1862-1943) – niemiecki matematyk.
8 Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) – matematyk niemiecki.
9 Frigyes Riesz (1880-1956) – węgierski matematyk.
10 tzn. \(L:H\to \R \) jest liniowe i istnieje \(C>0\) takie, że dla dowolnego \(x\in H\) mamy \(||L(x)||\leq C||x||\).
11 John von Neumann (1903-1957) – węgierski matematyk.