Zadanie 1.13.1 Niech \(\frak M\) będzie \(\sigma \)-algebrą w \(\mathbb R\) generowaną przez wszystkie przedziały postaci \([2k,\,2k+3)\), gdzie \(k\in \mathbb Z\). Rozstrzygnąć, czy \([1,+\infty )\in \frak M\).
Zadanie 1.13.2 Wyznaczyć \(\sigma \)-algebrę zbiorów generowaną przez rodzinę
\[ \mathcal A=\left \{\{n,n+2019\}: n\in \mathbb N\right \}\subset \mathcal P(\mathbb N). \]
Zadanie 1.13.3 Niech \(\mathcal A=\{(n,n+1): \, n\in \mathbb Z\}\subset \mathcal P(\mathbb R)\). Wykazać, że jeżeli \(A\in \sigma (\mathcal A)\), to \(A\cap \mathbb Z=\emptyset \) albo \(\mathbb Z\subset A\).
Zadanie 1.13.4 Sprawdzić, czy \([1,6]\in \sigma (\{[-1,4],[1,5]\})\subset \mathcal P([-1,6])\).
Zadanie 1.13.5 Niech \(X=\{0, 1, 2\}\) i niech \(f:X\ni x\rightarrow x^2-2x\in \mathbb R\). Wypisać wszystkie elementy \(\sigma \)-algebry \(\{A\in P(X) : \exists \, B\in \mathcal B(\mathbb R), A = f^{-1}(B)\}\) i rozstrzygnąć, czy funkcja \(X\ni x\rightarrow x\in \mathbb R\) jest mierzalna względem tej \(\sigma \)-algebry.
Zadanie 1.13.6 Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą. Wykazać, że rodzina
\[ \frak N=\{A\in \frak M: \mu (A)=0 \ \text {lub} \ \mu (A’)=0\} \]
jest \(\sigma \)-algebrą.
Zadanie 1.13.7 Wykazać, że rodzina zbiorów
\[ \mathfrak M=\{A \subset \mathbb {R}:\quad \forall x\colon \ (x \in A \iff 1-x \in A)\} \]
jest \(\sigma \)-algebrą. Zbadać mierzalność funkcji \(\mathbb {R} \ni x \mapsto \sin (\pi x) \in \mathbb {R}\) względem \(\sigma \)-algebry \(\mathfrak M\).
Zadanie 1.13.8 Czy istnieje \(\sigma \)-algebra składająca się z przeliczalnej ilości zbiorów?
Zadanie 1.13.9 Niech rodzina podzbiorów \(\mathcal F\) będzie mocy co najwyżej continuum. Wykazać, że \(\sigma (\mathcal F)\) jest mocy co najwyżej continuum.
Zadanie 1.13.10 Rozważmy rodziny podzbiorów \(\mathbb R^2\):
\[ \begin {aligned} \mathcal A=&\left \{ (-\infty , x]\times (-\infty , y]\,: \, x,y\in \mathbb R\right \},\\ \mathcal B=&\left \{ [a,b]\times [c,d]\, : \, a,b,c,d\in \mathbb R, a<b, c<d\right \}. \\ \end {aligned} \]
Rozstrzygnąć czy któraś z inkluzji \(\sigma ({\mathcal A})\subset \sigma ({\mathcal B})\), \(\sigma ({\mathcal B})\subset \sigma ({\mathcal A})\) jest prawdziwa. Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 1.13.11 Niech \(f:\mathbb R^3\ni (x,y,z)\mapsto (x-3y+2z,\,x+4y-5z)\in \mathbb R^2\) i niech \(\mathcal M\) będzie \(\sigma \)-algebrą złożoną ze zbiorów postaci \(f^{-1}(A)\), gdzie \(A\in \mathcal B(\mathbb R^2)\). Sprawdzić, czy funkcja
\[ g:(\mathbb R^3,\mathcal M)\ni (x,y,z)\mapsto x+y+z\in (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) \]
jest mierzalna.
Zadanie 1.13.12 Rozstrzygnąć, czy funkcja \([0,\infty )\ni x\mapsto \lfloor \sqrt x\rfloor \in \mathbb R\) jest mierzalna względem \(\sigma \)-algebry generowanej przez przedziały postaci \([3n-2,3n+3)\), gdzie \(n\in \mathbb N\).
Zadanie 1.13.13 Niech \((X,{\frak M})\) będzie przestrzenią mierzalną. Niech \(\mu :{\frak M}\to [0,+\infty ]\) będzie funkcją, taką że \(\mu (\emptyset )=0\), \(\mu \) jest skończenie addytywna i przeliczalnie subaddytywna. Pokazać, że \(\mu \) jest miarą.
Zadanie 1.13.14 Niech \((X,{\frak M})\) będzie przestrzenią mierzalną. Niech \(\mu :{\frak M}\to [0,+\infty ]\) będzie funkcją skończoną, taką że \(\mu (\emptyset )=0\) i \(\mu \) jest skończenie addytywna. Pokazać, że \(\mu \) jest miarą wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zstępującego ciągu zbiorów \(A_n\searrow \emptyset \) zachodzi \(\mu (A_n)\searrow 0\), \(n\to \infty \).
Zadanie 1.13.15 Niech \(\mu \), \(\nu \) będą miarami na przestrzeni mierzalnej \((X,{\frak M})\) takimi, że \(\mu (X)=\nu (X)<+\infty \). Niech \(\mathcal A\) będzie \(\pi \)-układem generującym \(\frak M\) (tzn. \(\sigma (\mathcal A)=\frak M\)). Wykazać, że jeżeli dla dowolnego \(A\in \mathcal A\) zachodzi \(\mu (A)=\nu (A)\), to \(\mu =\nu \). Czy założenie dotyczące skończoności obu miar jest konieczne?
Zadanie 1.13.16 Czy istnieje miara \(\mu \) na zbiorze wszystkich podzbiorów liczb naturalnych taka, że \(\mu (2\mathbb N)=\mu (2\mathbb N+1)=1\)?
Zadanie 1.13.17 Czy istnieje probabilistyczna miara borelowska \(\mu \) na \(\mathbb R\) taka, że
\[ \forall n\in \mathbb N_+ \ \ \mu ((n,\infty )) = \left (1+\frac 1n\right )^{-n} ? \]
Zadanie 1.13.18 Czy istnieje niezerowa borelowska miara \(\mu \) na \(\mathbb R^2\) spełniająca warunek
\[ \forall \, k,l\in \mathbb Z \ \ \mu ([k,\infty )\times [l,\infty )) = \mu ([k+1,\infty ) \times [l+1,\infty )), \]
która jest
1. skończona?
2. \(\sigma \)-skończona?
Zadanie 1.13.19 Czy istnieje niezerowa borelowska miara \(\mu \) na \(\mathbb R\) spełniająca warunek
\[ \forall \, k\in \mathbb Z \ \ \mu ([k,k+1)) = (|k|+1)^{-1}, \]
która jest
1. skończona?
2. \(\sigma \)-skończona?
Zadanie 1.13.20 Niech \(\mathfrak M\) będzie \(\sigma \)-algebrą podzbiorów przedziału \((1,6]\) generowaną przez przedziały \((2,6]\) i \((3,6]\). Sprawdzić, czy funkcja
\[ f:(1,6]\ni x\mapsto \left [\frac 6x \right ]\in \mathbb R, \]
gdzie \([a]\) oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej \(a\), jest mierzalna względem \(\mathfrak M\).
Zadanie 1.13.21 Niech \(P\) będzie zbiorem zwartym w \(\mathbb R^n\) o mierze \(\mathcal L^n(P)=10\). Zdefiniujmy stożek o podstawie \(P\) i wysokości \(h>0\) jako
\[ S=\{(t,tx)\in \mathbb R^{n+1}: t\in (0,h), x\in P\}. \]
Uzasadnić, że stożek \(S\) jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i obliczyć jego miarę \(\mathcal L^{n+1}(S)\).
Zadanie 1.13.22 Pokazać, że funkcja \(\mu ^*:{\mathcal P}(\mathbb R)\to \mathbb R\) określona wzorem
\[\mu ^*(A)=\begin {cases}0,& 0,1\notin A, \\ \frac {1}{2},& 0\in A\;\mbox {i}\, 1\notin A,\\ 1,& 1\in A \end {cases}\]
jest miarą zewnętrzną. Z warunku Carathéodory’ego wyznaczyć \(\sigma \)-algebrę zbiorów \(\mu ^*\) mierzalnych.
Zadanie 1.13.23 Sprawdzić, czy funkcja
\[ \varphi (A) = \begin {cases} \sup \{|x|: (x,y)\in A\},& A\neq \emptyset , \\ 0, & A=\emptyset \end {cases} \]
jest miarą zewnętrzną na \(\mathbb R^2\). Jeśli tak, sprawdzić, czy zbiory \(\{(2013,0),(2014,1)\}\) oraz \(\{(3,4)\}\) są \(\varphi \)-mierzalne.
Zadanie 1.13.24 Definiujemy funkcję \(\varphi :\mathcal P(\mathbb N\cup \{0\})\to [0,+\infty ]\) w ten sposób, że \(\varphi (A)\) to ilość elementów zbioru \(\{k\in \mathbb N\cup \{0\}:A\cap \{2k,2k+1\}\ne \emptyset \}\). Wykazać, że \(\varphi \) jest miarą zewnętrzną oraz sprawdzić czy zbiory
\[ A=\{0,1,2,\cdots ,2019,2020\}, \ \ \ B=\{2n, n\in \mathbb N\cup \{0\}\} \]
spełniają warunek Carathéodory’ego względem \(\varphi \).
Zadanie 1.13.25 Dla zbiorów \(A\in {\mathcal P}(\mathbb R)\) definiujemy funkcję
\[ \varphi (A)=\begin {cases} 0, & \text { gdy } A=\emptyset , \\ 1, & \text { gdy } \, A \, \text { jest zbiorem jednoelementowym,} \\ 2, & \text { gdy } A \text { ma co najmniej dwa elementy.} \end {cases} \]
Pokazać, że \(\varphi \) jest miarą zewnętrzną. Wyznaczyć \(\sigma \)-algebrę zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego względem \(\varphi \).
Zadanie 1.13.26 Załóżmy, że \(\mu \) jest miarą zewnętrzną na zbiorze \(X\), i zdefiniujmy \(\nu :2^X\to [0,\infty ]\) wzorem
\[ \nu (A)= \left \{ \begin {array}{ll} 0, & \text { gdy } \mu (A)=0; \\ 1, & \text { gdy } \mu (A)\ne 0. \end {array} \right . \]
Sprawdzić, że \(\nu \) jest miarą zewnętrzną i wyznaczyć \(\sigma \)-algebrę zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego względem \(\nu \).
Zadanie 1.13.27 Pokazać, że funkcja \(\varphi :\mathcal {P}(\mathbb {Z})\rightarrow [0,+\infty ]\) określona wzorem
\[\varphi (A)=\left \{\begin {array}{lll} 0, & \textnormal {gdy }A=\emptyset ,\\ \frac {\sup \{|n|: n\in A\}}{\sup \{|n|: n\in A\}+1}, & \textnormal {gdy zbiÃşr $A$ jest skoÅĎczony,}\\ 1, & \textnormal {gdy zbiÃşr $A$ jest nieskoÅĎczony}\\ \end {array}\right .\]
jest miarą zewnętrzną i wyznaczyć \(\sigma \)-algebrę zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego względem \(\nu \).
Zadanie 1.13.28 Niech \(\mu \) będzie miarą borelowską na \(\mathbb R^2\) taką, że dla dowolnych \(a,b\in \mathbb Q\) spełniony jest warunek
\[ \mu ( (-\infty ,a] \times (-\infty ,b]) =e^{a+b} \]
Obliczyć \(\mu ( (0,1]^2)\) oraz \(\mu ( [0,1]^2)\).
Zadanie 1.13.29 Załóżmy, że \(\mu \) jest taką miarą na \(\sigma \)-algebrze borelowskich podzbiorów \(\mathbb R^2\), że
\[ \mu ((-\infty ,x]\times (-\infty ,y])=\begin {cases} (x+y)^3, & \text { gdy } \, x+y>0 \\ 0, & \text { gdy } \, x+y\leq 0. \end {cases} \]
dla każdego \((x,y)\in \mathbb R^2\). Obliczyć \(\mu ([1,2]\times [3,4])\).
Zadanie 1.13.30 Niech \(\mu \) będzie taką miarą na \((\mathbb R, {\mathcal B}(\mathbb R))\), że
\[ \mu \left ( (a,b)\right ) =3^b-3^a \, \, \text { dla } \, \, a,b\in \mathbb Q, \, a<b. \]
Obliczyć \(\mu ((\sqrt {2},+\infty ))\), \(\mu ([\sqrt {2}, \sqrt {3}])\) oraz \(\mu ((-\infty ,-\sqrt 2])\).
Zadanie 1.13.31 Dla dowolnego \(A\subset \mathbb N\) określmy
\[ \phi (A)=\begin {cases} \frac {\# A}{1+\# A} &\mbox { gdy $A$ jest zbiorem skoÅĎczonym}, \\ 1 &\mbox { gdy $A$ jest zbiorem nieskoÅĎczonym}. \\ \end {cases} \]
Pokazać, że \(\phi \) jest miarą zewnętrzną i wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Carathédory’ego względem tej miary zewnętrznej.
Zadanie 1.13.32 Niech \(X\neq \emptyset \). Określmy
\[ \phi :{\mathcal P}(X)\ni A \mapsto \begin {cases} 0, & \mbox { gdy } A=\emptyset , \\ 1, & \mbox { gdy } A\neq \emptyset .\\ \end {cases} \]
Czy funkcja \(\phi \) jest miarą zewnętrzną na \(X\)? Jeśli tak, to wyznaczyć zbiory mierzalne w sensie Caratheodory’ego względem \(\phi \).
Zadanie 1.13.33 Pokazać, że funkcja:
\[\mu ^*:{\mathcal P}(\mathbb R)\ni A\mapsto \sup \{|x|, x\in A\}\in [0,+\infty ]\]
jest miarą zewnętrzną (przyjmujemy \(\sup \emptyset =0\)). Z warunku Carathéodory’ego wyznaczyć rodzinę zbiorów mierzalnych względem \(\mu ^*\).
Zadanie 1.13.34 Niech \((X,\mathfrak M)\) będzie przestrzenią mierzalną a \(\mu , \nu \) będą miarami na \(\mathfrak M\). Zdefiniujmy dla \(A\in \mathfrak M\)
\[ \begin {aligned} &\sup (\mu ,\nu )(A):=\sup \left \{\mu _1(B)+\mu _2(A\setminus B):\ B\in \mathfrak M, B\subset A\right \},\\ &\inf (\mu ,\nu )(A):=\inf \left \{\mu _1(B)+\mu _2(A\setminus B):\ B\in \mathfrak M, B\subset A\right \}. \end {aligned} \]
Wykazać, że \(\mu \) i \(\nu \) są miarami.
Zadanie 1.13.35 Niech \(\mu \) będzie miarą skończoną na \((X,{\frak M})\). Niech zbiór \(C\in {\frak M}\) będzie taki, że \(\mu (X)=\mu (C)\). Czy jest prawdą, że \(\mu (A)=\mu (A\cap C)\) dla dowolnego \(A\in {\frak M}\)?
Zadanie 1.13.36 Niech \((X,\frak M)\) będzie przestrzenią mierzalną, a \(f_n:X\to \R \) ciągiem funkcji mierzalnych. Wykazać, że zbiorem mierzalnym jest zbiór tych \(x\in X\) dla których ciąg \((f_n(x))_{n=1}^\infty \) jest rosnący.
Zadanie 1.13.37 Niech \(\frak M\) będzie \(\sigma \)-algebrą podzbiorów \([0,1]\) taką, że
\[ \forall x\in [0,1] \, : \{x\} \in {\frak M}. \]
Niech \(\mu \) będzie taką miarą skończoną na powyższej \(\sigma \)-algebrze, że
\[ \forall x,y\in [0,1] \, : \, \mu (\{x\})=\mu (\{y\}) \]
Pokazać, że \(\mu (\mathbb Q\cap [0,1])=0\).
Zadanie 1.13.38 Rozważmy nieprzeliczalny zbiór \(X\) z \(\sigma \)-algebrą jego podzbiorów, które są co najwyżej przeliczalne lub mają co najwyżej przeliczalne dopełnienie i załóżmy, że \(f:X\to \mathbb R\) jest funkcją mierzalną. Udowodnić, że istnieje podzbiór \(Y\) zbioru \(X\), taki że \(X\setminus Y\) jest zbiorem przeliczalnym i \(f|Y\) jest funkcją stałą.
Zadanie 1.13.39 Niech \(f:\mathbb R\to \mathbb R\) jest klasy \(\mathcal C^1\). Wykazać, że jeżeli \(A\subset \mathbb R\) jest zbiorem miary Lebesgue’a zero, to \(f(A)\) jest też zbiorem miary Lebesgue’a zero.
Zadanie 1.13.40 Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią probabilistyczną. Wykazać, że dla dowolnych \(A_1,\dots ,A_n\in \frak M\), takich że \(\sum _{j=1}^n\mu (A_j)>n-1\) zachodzi \(\mu \left (\bigcap _{j=1}^nA_j \right )>0\).
Zadanie 1.13.41 \((X,\frak M,\mu )\) niech będzie przestrzenią mierzalną z miarą skończoną. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów \(A_1,\dots ,A_n\in \frak M\) zachodzi
\[ \mu \left (\bigcup _{j=1}^nA_j\right )=\sum _{k=1}^n(-1)^{k+1}\sum _{1\leq j_1<\dots j_k\leq n}\mu (A_{j_1}\cap \dots \cap A_{j_k}). \]
Zadanie 1.13.42 Niech \(A_1,\ldots ,A_n \subset [0,1]\) będą zbiorami borelowskimi, takimi że każdy \(x\) należy do przynajmniej \(k\) zbiorów. Pokazać, ze istnieje takie \(m\in \{1,\dots ,n\}\) takie, że \(\mathcal L^1(A_{m}) \geq \frac {k}{n}\).
Zadanie 1.13.43 \((X,\frak M,\mu )\) niech będzie przestrzenią mierzalną z miarą. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów \(A_j\in \frak M\), \(j\in \mathbb N\), takich że \(\mu (A_j\cap A_k)=0\), \(j\neq k\), zachodzi
\[ \mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_j). \]