Teoria miary i całki

2.2 Całka Lebesgue’a a całka Riemanna

Przypomnimy teraz konstrukcję całki Riemanna⁴ w \(\R ^n\).

• • Niech \(P=[a_1,b_1]\times \dots \times [a_n,b_n]\) będzie dowolną kostką domkniętą (kostką) w \(\R ^n\), gdzie \(a_j<b_j\), \(j=1,\dots ,n\).

• • Objętością kostki \(P\) nazywamy liczbę

  \[ V^n(P)=(b_1-a_1)\dots (b_n-a_n). \]

• • Podziałem kostki \(P\) nazywamy skończoną rodzinę kostek \(\Pi =\{P_1,\dots , P_m\}\) takich, że \(P=P_1\cup \dots \cup P_m\), \(\operatorname {int}P_j\cap \operatorname {int}P_k=\emptyset \), \(j\neq k\).

• • Średnicą podziału \(\Pi =\{P_1,\dots , P_m\}\) nazywamy liczbę

  \[ \operatorname {diam}(\Pi )=\max \{\operatorname {diam} P_1,\dots ,\operatorname {diam}P_m\}. \]

• • Niech \(\Pi _k\), \(k\in \N \), będzie ciągiem podziałów kostki \(P\). Powiemy, że jest to ciąg normalny, gdy \(\lim _{k\to \infty }\operatorname {diam}(\Pi _k)=0\).

• • Niech \(f:P\to \R \) będzie funkcją ograniczoną. Zdefiniujmy \(i(f,P):=\inf f(P)\), \(s(f,P):=\sup f(P)\). Dla dowolnego podziału \(\Pi =\{P_1,\dots , P_m\}\) kostki \(P\) zdefiniujmy poniższe sumy Darboux

  \[ \begin {aligned} L(f,\Pi )&:=\sum _{j=1}^m i(f,P_j)V^n(P_j) \ \text {(suma aproksymacyjna dolna $f$ przy podziale $\Pi $)};\\ U(f,\Pi )&:=\sum _{j=1}^m s(f,P_j)V^n(P_j) \ \text {(suma aproksymacyjna gÃşrna $f$ przy podziale $\Pi $)}. \end {aligned} \]

• • Zdefiniujmy następujące całki

  \[ \begin {aligned} \underline {\int _P}f&:=\sup _{\Pi }L(f,\Pi ) \ \text {(caÅĆka dolna z $f$ po kostce $P$)};\\ \overline {\int _P}f&:=\inf _{\Pi }U(f,\Pi ) \ \text {(caÅĆka gÃşrna z $f$ po kostce $P$)}. \end {aligned} \]

• • Niech \(\Pi =\{P_1,\dots , P_m\}\) będzie podziałem kostki \(P\) i niech \(\Xi =\{\xi _1,\dots ,\xi _m\}\) będzie ciągiem punktów pośrednich \(\xi _j\in P_j\), \(j=1,\dots ,m\). Dla funkcji ograniczonej \(f:P\to \R \) zdefiniujmy sumy aproksymacyjne Riemanna

  \[ r(f,\Pi ,\Xi ):=\sum _{j=1}^mf(\xi _j)V^n(P_j). \]

• • Dla każdego normalnego ciągu podziałów \(\Pi _k\), \(k\in \N \) mamy

  \[ \lim _{k\to \infty }L(f,\Pi _k)=\underline {\int _P}f \ \text {oraz} \ \lim _{k\to \infty }U(f,\Pi _k)=\overline {\int _P}f. \]

• • Funkcja \(f\) jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała \(c\in \R \) taka, że dla dowolnego normalnego ciągu podziałów \(\{\Pi _k\}_{k=1}^{\infty }\) i dla dowolnego ciągu punktów pośrednich \(\{\Xi _k\}_{k=1}^{\infty }\) istnieje granica \(\lim _{k\to \infty }r(f,\Pi _k,\Xi _k)=c (=\int _Pf)\).

• • Powiemy, że zbiór \(A\subset \R ^n\) ma miarę Jordana⁵ (objętość) równą zero, \(|A|=0\), gdy dla dowolnego \(\epsilon >0\) istnieje skończona ilość kostek \(P_1,\dots ,P_m\), takich że

  \[ A\subset P_1\cup \dots \cup P_m \ \text {i} \ V^n(P_1)+\dots +V^n(P_m)<\epsilon . \]

  Zauważmy, że jeżeli \(|A|=0\), to \(A\) jest podzbiorem zbioru o mierze Lebesgue’a zero np.

  \[ A\subset \bigcap _{j=1}^{\infty }\left (P_1^{j}\cup \dots \cup P_{m(j)}^{j}\right ), \ \text {gdzie} \ \Le ^n\left (P_1^{j}\cup \dots \cup P_{m(j)}^{j}\right )\leq \frac 1j \]

  i korzystając z zupełności miary Lebesgue’a dostajemy, że \(A\in \frak L_n\).

• • Funkcje ciągłe są całkowalne w sensie Riemanna.

• • Powiemy, że zbiór ograniczony \(A\subset \R ^n\) jest mierzalny w sensie Jordana, gdy funkcja \(\chi _A\in \mathcal R(P)\), dla \(A\subset P\). Liczbę \(|A|=\int _P\chi _A\) nazywamy miarą Jordna (objętością) zbioru \(A\).

• • Powiemy, że zbiór ograniczony \(A\subset \R ^n\) jest regularny, gdy \(|\partial A|=0\).

• • Jeżeli funkcja \(f:A\to \R \) jest ograniczona i \(A\) jest zbiorem regularnym, to powiemy, że \(f\) jest całkowalna w sensie Riemanna na zbiorze \(A\), gdy \(f_0\in \mathcal R(P)\), gdzie \(P\supset A\) jest kostką i

  \[ f_0=\left \{ \begin {array}{ll} f, & \text { na } A, \\ 0, & \text { na } P\setminus A. \end {array} \right . \]

  Definiujemy wtedy \(\int _Af:=\int _Pf_0\).

Dowód. Punkt \((1)\). Zauważmy, że \(A=(\operatorname {int} A)\cup B\), gdzie \(B\subset \partial A\), a więc \(\Le ^n(B)=0\). Z tego wynika, że \(A\in \frak L_n\).

Punkt \((2)\) i \((3)\). Zauważmy, że możemy założyć, że \(f\geq 0\) i zbiór \(A\) jest kostką domkniętą \(A=P\).

Niech \(\Pi _j=\{\overline {P}_{1,j},\dots , \overline {P}_{m(j),j}\}\) będzie ciągiem normalnym podziałów, gdzie \(P_{k,j}\) są kostkami otwartymi i \(\epsilon _j=\operatorname {diam}(\Pi _j)\to 0\). Przyjmijmy niech \(i_{k,j}=i(f,\overline P_{k,j})=\inf f(\overline P_{k,j})\), \(s_{k,j}=s(f,\overline P_{k,j})=\sup f(\overline P_{k,j})\) i wtedy

\[ \begin {aligned} L_j=L(f,\Pi _j)&:=\sum _{k=1}^{m(j)} i_{k,j}V^n(\overline P_{k,j})\to \underline {\int _P}f, j\to \infty ;\\ U_j=U(f,\Pi _j)&:=\sum _{k=1}^{m(j)} s_{k,j}V^n(\overline P_{k,j}) \to \overline {\int _P}f, j\to \infty . \end {aligned} \]

Niech \(B_j=\bigcup _{k=1}^{m(j)}\partial P_{k,j}\), wtedy \(P=P_{1,j}\cup \dots \cup P_{m(j),j}\cup B_j\), gdzie to suma parami rozłącznych zbiorów oraz \(\Le ^n(B_j)=0\). Zdefiniujmy funkcje proste \(\psi _j, \Psi _j\in \mathcal M^+_0(P)\)

\[ \psi _j=\sum _{k=1}^{m(j)}i_{k,j}\chi _{P_{k,j}}+0\chi _{B_j} \ \text {oraz} \ \Psi _j=\sum _{k=1}^{m(j)}s_{k,j}\chi _{P_{k,j}}+0\chi _{B_j}. \]

Zauważmy, że

\[ L_j=\int _P\psi _j\,d\Le ^n \ \text {oraz} \ U_j=\int _P\Psi _j\,d\Le ^n. \]

Jeżeli \(x\in P\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\), to wtedy istnieją \(k(j)\in \N \), takie że

\[ \forall \, x\in P_{k(j),j}: \psi _j(x)=i_{k(j),j}=\inf f(\overline P_{k(j),j}). \]

Ponieważ \(\operatorname {diam}(\overline P_{k(j),j})\to 0\), to \(\psi _j(x)\to \liminf _{y\to x}f(y)=:f_*(x)\). Podobnie można uzasadnić, że jeżeli \(x\in P\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\), to \(\Psi _j(x)\to \limsup _{y\to x}f(y)=:f^*(x)\). Tak więc \(\psi _j\to f_*\) i \(\Psi _j\to f^*\), \(j\to \infty \), \(\Le ^n\)-p.w., i z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (Twierdzenie 2.1.28) dostajemy

\[ \begin {aligned} \int _Pf_*\,d\Le ^n \leftarrow \int _P\psi _j\,d\Le ^n=L_j&:=\sum _{k=1}^{m(j)} i_{k,j}V^n(\overline P_{k,j})\to \underline {\int _P}f, j\to \infty ;\\ \int _Pf^*\,d\Le ^n \leftarrow \int _P\Psi _j\,d\Le ^n=U_j&:=\sum _{k=1}^{m(j)} s_{k,j}V^n(\overline P_{k,j}) \to \overline {\int _P}f, j\to \infty , \end {aligned} \]

czyli

\[ \int _Pf_*\,d\Le ^n=\underline {\int _P}f \ \text {i} \ \int _Pf^*\,d\Le ^n=\overline {\int _P}f. \]

Zauważmy, że \(f\in \mathcal R(P)\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\underline {\int _P}f=\overline {\int _P}f\), czyli

\[ \int _P(f^*-f_*)\,d\Le ^n=0, \]

To jest równoważne z faktem, że \(f^*=f_*\) \(\Le ^n\)-p.w. (bo \(f^*-f_*\geq 0\)) co z kolei jest tożsame z równością \(\Le ^n\left (\{a\in A: \text { $f$ nie jest ciÄĚgÅĆa w punkcie $a$}\}\right )=0\).

W końcu jeżeli \(f\in \mathcal R(P)\), to \(f=f^*=f_*\) \(\Le ^n\)-p.w. i

\[ \int _Pf=\overline {\int _P}f=\int _Pf^*\,d\Le ^n=\int _Pf\,d\Le ^n. \]