Miarę Lebesgue’a nie można rozszerzyć na \(\sigma \)-algebrę zawierającą kostki domknięte i większą niż rodzina zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a.
Twierdzenie 1.8.1 Niech \(\frak M\) będzie \(\sigma \)-algebrą w \(\R ^n\) zawierającą kostki domknięte i taką, że \(\Le ^n|_{\frak M}\) jest miarą. Wtedy \(\frak M\subset \frak L_n\).
Dowód. Skoro kostki domknięte są zawarte w \(\frak M\), to \(\mathcal B(\R ^n)\subset \frak M\). Niech \(Y\in \frak M\) i \(T\subset \R ^n\). Wtedy z Twierdzenia 1.7.7 istnieje zbiór \(B\supset T\) typu \(G_{\delta }\), taki że \(\Le ^n_e(T)=\Le ^n(B)\). Mamy
\[ \Le ^n_e(T\cap Y)+\Le ^n_e(T\cap Y’)\leq \Le ^n_e(B\cap Y)+\Le ^n_e(B\cap Y’)=\Le ^n(B\cap Y)+\Le ^n(B\cap Y’)=\Le ^n(B)=\Le ^n_e(T), \]
co oznacza na mocy warunku (1.6.2), że \(Y\in \frak L_n\).
Miara Lebesgue’a jest jedyną miarą określoną na \(\sigma \)-algebrze zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a i taką, że miara kostki jest równa jej objętości.
Twierdzenie 1.8.2 Niech \(\mu \) będzie miarą określoną na \(\sigma \)-algebrze \(\frak L_n\) i taką, że dla dowolnej kostki domkniętej \(P\subset \R ^n\) mamy \(\mu (P)=V^n(P)\). Wtedy \(\mu =\Le ^n\).
Dowód. Niech \(A\in \frak L_n\) i niech \(P_j\), \(j\in \N \), będzie ciągiem kostek domkniętych takim, że \(A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }P_j\). Wtedy
\[ \mu (A)\leq \mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }P_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (P_j)=\sum _{j=1}^{\infty }V^n(P_j), \]
i przechodząc do infimum po wszystkich pokryciach dostajemy \(\mu (A)\leq \Le ^n(A)\).
Teraz udowodnimy nierówność przeciwną. Załóżmy na początek, że \(A\in \frak L_n\) jest zbiorem ograniczonym, \(P\supset A\), gdzie \(P\) jest kostką domkniętą. Mamy \(\mu (P\setminus A)\leq \Le ^n(P\setminus A)<+\infty \), czyli \(\mu (P)-\mu (A)\leq \Le ^n(P)-\Le ^n(A)\), a stąd dostajemy \(\Le ^n(A)\leq \mu (A)\).
Jeżeli \(A\in \frak L_n\) jest zbiorem nieograniczonym, to istnieją zbiory \(A_1=A\cap [-1,1]^n\), \(A_j=A\cap \left ([-1-j,j+1]^n\setminus [-j,j]^n\right )\), \(j\geq 2\), mierzalne, rozłączne, ograniczone i takie, że \(A=\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\). Mamy
\[ \mu (A)=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_j)=\sum _{j=1}^{\infty }\Le ^n(A_j)=\Le ^n\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\Le ^n(A). \]
Miara Lebesgue’a jest jedyną miarą borelowską niezmienniczą ze względu na przesunięcia i taką, że miara kostki jednostkowej jest równa \(1\).
Dowód. Niech \(P_0=[0,1)^n\) będzie kostką jednostkową, \(\mu (P_0)=\Le ^n(P_0)=1\).
• Podzielmy każdy bok kostki \(P_0\) na \(k\) równych części, z których każdy jest odcinkiem lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym. Dostaniemy wtedy podział kostki \(P_0\) na \(k^n\) rozłącznych jednakowych kostek \(P_{j}=a_j+Q_k\), \(j=1,\dots ,k^n\), gdzie \(Q_k=\frac 1kP_0\). Mamy
\( \seteqsection {1} \)
\begin{equation} \label {w13} k^n\mu (Q_k)=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{k^n}a_j+Q_k\right )=\mu (P_0)=\Le ^n \left (\bigcup _{j=1}^{k^n}a_j+Q_k\right )=k^n\Le ^n(Q_k), \end{equation}
czyli \(\mu (Q_k)=\Le ^n(Q_k)\). Podobnie można wykazać, że miary te są równe na każdej kostce postaci \(a+\frac lkP_0\) (\(k,l\in \mathbb N\)), z tego wnioskujemy, że \(\mu =\Le ^n\) dla zbiorów otwartych.
• Z równości (1.8.1) dostajemy \(\mu (a+\frac 1kP_0)=k^{-n}\), a z tego wynika, że miara \(\mu \) jest skończona dla zbiorów borelowskich i ograniczonych. Teraz weźmy ograniczony zbiór typu \(G_{\delta }\) postaci \(A=\bigcap _{j=1}^{\infty }A_j\), gdzie zbiory \(A_j\) są otwarte i ograniczone. Mamy
\[ \mu (A)=\lim _{j\to \infty }\mu (A_j)=\lim _{j\to \infty }\Le ^n(A_j)=\Le ^n(A). \]
• Niech \(A\) będzie zbiorem ograniczonym i borelowskim miary zero, wtedy z Twierdzenia 1.7.8 \(A\subset B\), gdzie \(B\) jest zbiorem ograniczonym typu \(G_{\delta }\) i \(\Le ^n(B)=0\). Wtedy \(\mu (A)\leq \mu (B)=\Le ^n(B)=0\).
• Jeżeli \(A\) jest zbiorem borelowskim i ograniczonym, to z Twierdzenia 1.7.8 istnieją zbiór ograniczony \(B\) typu \(G_{\delta }\) i zawarty w nim zbiór borelowski \(C\) miary Lebesgue’a zero takie, że \(A=B\setminus C\). Wtedy
\[ \mu (A)=\mu (B\setminus C)=\mu (B)-\mu (C)=\Le ^n(B)-\Le ^n(C)=\Le ^n(B\setminus C)=\Le ^n(A). \]
• Jeżeli \(A\) jest dowolnym zbiorem borelowskim, to \(A\cap (-j,j)^n\nearrow A\) i z poprzedniego punktu mamy
\[ \mu (A)=\lim _{j\to \infty }\mu (A_j)=\lim _{j\to \infty }\Le ^n(A_j)=\Le ^n(A). \]