Teoria miary i całki

Definicja 1.12.1 Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą. Mówimy, że pewna własność \(W\) zachodzi \(\mu \)-prawie wszędzie (\(\mu \)-p.w.), gdy istnieje zbiór \(Z\in \frak M\), \(\mu (Z)\)=0, taki że własność \(W\) zachodzi na zbiorze \(X\setminus Z\).

Obserwacja 1.12.2 Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą zupełną.

• 1. Jeżeli \(f,g:X\to \overline {\R }\), \(f\in \mathcal M(X,\overline {\R })\) oraz \(f=g\) \(\mu \)-p.w., to \(g\in \mathcal M(X,\overline {\R })\).

• 2. Jeżeli \(f,f_n:X\to \overline {\R }\), \(n\in \N \), \(f_n\in \mathcal M(X,\overline {\R })\) oraz \(\lim _{n\to \infty }f_n=f\) \(\mu \)-p.w., to
  \(f\in \mathcal M(X,\overline {\R })\).

Obserwacja 1.12.3 Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą i niech \(f\in \mathcal M(X,\R )\). Wtedy albo \(f\) jest funkcją stałą \(\mu \)-p.w. albo istnieje stała \(c\), taka że

\[ \mu \left (\{x\in X: f(x)<c\}\right )>0 \ \ \text { oraz } \ \ \mu \left (\{x\in X: f(x)>c\}\right )>0. \]