Teoria miary i całki

Definicja 1.12.1 Niech $(X,\frak M,\mu )$ będzie przestrzenią mierzalną z miarą. Mówimy, że pewna własność $W$ zachodzi $\mu$-prawie wszędzie ($\mu$-p.w.), gdy istnieje zbiór $Z\in \frak M$, $\mu (Z)$=0, taki że własność $W$ zachodzi na zbiorze $X\setminus Z$.

Obserwacja 1.12.2 Niech $(X,\frak M,\mu )$ będzie przestrzenią mierzalną z miarą zupełną.

• 1. Jeżeli $f,g:X\to \overline {\R }$, $f\in \mathcal M(X,\overline {\R })$ oraz $f=g$ $\mu$-p.w., to $g\in \mathcal M(X,\overline {\R })$.

• 2. Jeżeli $f,f_n:X\to \overline {\R }$, $n\in \N$, $f_n\in \mathcal M(X,\overline {\R })$ oraz $\lim _{n\to \infty }f_n=f$ $\mu$-p.w., to
  $f\in \mathcal M(X,\overline {\R })$.

Obserwacja 1.12.3 Niech $(X,\frak M,\mu )$ będzie przestrzenią mierzalną z miarą i niech $f\in \mathcal M(X,\R )$. Wtedy albo $f$ jest funkcją stałą $\mu$-p.w. albo istnieje stała $c$, taka że

$$\mu \left (\{x\in X: f(x)<c\}\right )>0 \ \ \text { oraz } \ \ \mu \left (\{x\in X: f(x)>c\}\right )>0.$$